UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANADEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

JOABY DE OLIVEIRA SILVA

A INSTRUMENTALIZAÇÃO DO DESLOCAMENTO NO GEOGEBRA: UMACONTRIBUIÇÃO PARA A PASSAGEM DO DESENHO PARA FIGURA NO 6º ANO

DO ENSINO FUNDAMENTAL

Feira De Santana2016

JOABY DE OLIVEIRA SILVA

A INSTRUMENTALIZAÇÃO DO DESLOCAMENTO NO GEOGEBRA: UMACONTRIBUIÇÃO PARA A PASSAGEM DO DESENHO PARA FIGURA NO 6º ANO

DO ENSINO FUNDAMENTAL

Monografia apresentada a componente curricular Projeto II do cursode Licenciatura em Matemática da Universidade estadual de feira deSantana como requisito para a obtenção do grau de Licenciado emMatemática.Orientadora: Profa. Dr.Maria Auxiliado Moreno Pires

Feira de Santana2016

A INSTRUMENTALIZAÇÃO DO DESLOCAMENTO NO GEOGEBRA: UMACONTRIBUIÇÃO PARA A PASSAGEM DO DESENHO PARA FIGURA NO 6º ANO

DO ENSINO FUNDAMENTAL

por

JOABY DE OLIVEIRA SILVA

Monografia apresentada a componente curricular Projeto II do cursode Licenciatura em Matemática da Universidade estadual de feira deSantana como requisito para a obtenção do grau de Licenciado emMatemática.Orientadora: Profª. Dr.Maria Auxiliado Moreno Pires

BANCA EXAMINADORA:

Prof. Dr. Luiz Marcio Santos FariasDoutor em Didática da Matemática, Université de Montpellier IIUniversidade Federal da Bahia

Prof. Me. Edimo Fernandes CarvalhoMestre em Ensino Filosofia e História das Ciências, UFBA/UEFSUniversidade Estadual de Feira de Santana

Profª. Dr. Maria Auxiliadora Moreno PiresDoutora em Educação, UFRNUniversidade Estadual de Feira de Santana

Feira de Santana – BA, 14 de Abril de 2016

Se puede decir que la dificultad es para el aprendizaje lo que es lafricción para el movimiento. (Sfard, 2002, p. 13)

AGRADECIMENTOS

Não gosto muito do Conjunto dos Números Complexos porque ele não é bem ordenado,

assim, ordenarei meus agradecimentos de acordo com o surgimento em minha vida. Então...

O Primeiro em minha vida, Deus, recebe o meu primeiro muito obrigado por muitas coisas

(que só eu e ele sabemos) e por pessoas que ele pôs em meu caminho, como as que seguem:

Agradeço aos meu pai (seu Orlando) e a dona mainha (Rita), por terem caprichado tanto na

hora em que me fizeram e, por tantas outras coisas que não escreverei, pois não conto minha

vida particular! Ah, não posso esquecer do primeiro ensaio dos meus pais, que resultou no

meu irmão mais velho, Junio, e a tentativa de me copiar, mas que foi mal sucedida, que é

minha irmã mais nova, Geisa.

Muito obrigado aos meus colegas e professores do Colégio Estadual Reitor Edgard Santos,

em especial a Patricia Suzart e a pró Noêmia (em memória), que me fez cogitar ser professor.

Agradeço aos colegas do CETEB, principalmente as meninas (Gleyka, Kedma, Eva e

Andreia) que me ensinaram a ser menos “agreste”.

Agradeço aos professores e colegas do UPT dos anos 2008 e 2009.

Agradeço aos meus companheiros de UEFS, mesmo aqueles que ficaram pouco tempo

fisicamente próximos (Daniela, Alane, Camila), ao idoso Roberto e a Anayle pela companhia

no curso.

Muito obrigado a professora Andreia Maria Pereira de Oliveira, pelos ensinamento e pelo

convite para participar do GCMM, onde conheci professoras Sofia, Mercia, Celina, Hosanna,

Airan e Lílian e professores Jhonson, Henrique, Joubert, Wedeson, e a todos aqueles que

passaram brevemente pelo grupo.

Agradeço ao professor Luiz Marcio Santos Farias, pelas orientações e conselhos no Brasil e

na Europa. E a professora Maria Auxliadora Moreno Pires, por me acolher nessa reta final de

escrita da monografia.

Muchas gracias a toda la gente que he conocido en Barcelona (España), no puedo dejar de

citar Mari, que por muchas veces logró convencerme a salir de fiesta, a mis compañeros de

piso e vecina Lucas, Rafael, Efrain y Aina que me soportaron en el primero semestre

Agradezco al rey Daniel, al papa Luigi y al gran señor Manolo, que compartieron el piso y

momento inolvidables.

¿Como podría dejar de da gracias a las bellessime ragazze Glenda, Silvia e Annalisa? Que

prácticamente vivían en nuestro piso.

Agradezco a Lindt (é uma marca de chocolate suiço, para quem não sabe) por hacer

chocolates que llenaron mi cuerpo, mi alma e mi ser!

El meu agraïment al Professor Vicenç per la gran ajuda en les matèries acadèmiques.

Gracias a todos que formaron parte de este momento impar de mi vida!

De regreso a Brasil... obrigado a todos os que me acolheram bem, até aquela que eu tive que

deportar para Portugal!

“Gracias a la vida, que me a dado tanto!”

RESUMO

A diferença entre os conceitos de desenho e o de figura geométricas é a coluna central dessamonografia. Essa Problemática Desenho-Figura, foi aqui, analisada por meio da TeoriaAntropológica do Didático e da Teoria das Situações Didáticas. Assim, baseando-nos nelas, eem trabalhos sobre o mesmo tema, decidimos elaborar uma atividade utilizando o softwareGeogebra para tratar essa problemática. Por utilizarmos um artefato tecnológico, inserimos norol das nossas referências a Teoria da Instrumentação para que pudéssemos aproveitar asfuncionalidades do software. Neste sentido, buscamos apresentar os resultados que já foramobtidos no âmbito de uma pesquisa que visa instrumentalizar o uso do deslocamento noGeogebra para a transição do desenho para a figura no 6º ano do Ensino Fundamental. Para talfim, analisamos documentos oficiais e livros didáticos para localizar na Educação Básica omomento em que deve ocorrer essa transição depois, elaboramos e analisamos uma AtividadeInstrumentada. Até esse momento, comprovamos que a transição do desenho para a figura éum fenômeno didático que ocorre no 6º ano do Ensino fundamental. Além disso, temosproposta uma atividade, cuja análise revela um alto potencial para que alcancemos nossoobjetivo maior. Portanto, falta-nos a implementação e posterior análise dos resultados, na qualsugerimos que seja feita um confronto entre análises sob as perspectivas da TeoriaAntropológica do Didático e do Enfoque Ontosemiótico da cognição e instrução matemática.Palavras-Chave: Problemática Desenho-Figura; Teoria Antropológica do Didático; Teoria daInstrumentação; Geogebra; 6º Ano do Ensino Fundamental.

ABSTRACT

The distinction between the concepts of geometric drawing and geometric figure is the heartof this monograph. This Problem Drawing-Figure, was analyzed by the AnthropologicalTheory of Didactic and the Theory of Didactic Situations. Thus, based on them, and work onthe same theme, we decided to draw up an activity using the Geogebra software to addressthis problem. How we use a technological artifact, inserted in the list of our referencesInstrumentation Theory so we could take advantage of the functionality of the software. Forall that, we present the results that have been obtained as part of a research that aims toinstrumentalize the use of displacement in Geogebra for the transition from drawing to figurein the 6th year of elementary school. For this purpose, we analyzed official documents andtextbooks to locate in Basic Education the moment should occur after this transition, wedeveloped and analyzed a instrumented activity. Until then, we proved that the transition fromdrawing to figure is a didactic phenomenon that occurs in the 6th grade of elementary school.Furthermore, we have proposed an activity, whose analysis reveals a high potential for us toreach our main goal. Therefore, we lack the implementation and subsequent analysis of theresults, which suggest it is made a confrontation between analyzes from the perspectives ofAnthropological Theory of Didactic and Ontosemiotic Approach of cognition and mathinstruction.Kay-words: Problem Drawing-Figure; Anthropological Theory of Didactic; Theory ofDidactic Situations; Instrumentation Theory; Geogebra; 6th Year of Elementary School

RESUMEN

La diferencia entre los conceptos de dibujo y de figura geométrica es la base de este trabajo deconclusión de carrera. Ésta que es la Problemática Dibujo-Figura, ha sido analizada con laTeoría Antropológica de lo Didáctico e da la Teoría de las Situaciones Didácticas. De estemodo, basándonos en ellas, y en otras aportaciones acerca del mismo tema, hemos decididodesarrollar una actividad con el software Geogebra para manejar la problemática. En razón deluso de un artefacto tecnológico, añadimos a nuestras referencias la Teoría de laInstrumentación para que así podamos sacar provecho de las funcionalidades del software. Enéste sentido, presentamos los resultados que ya han sido obtenidos en una investigación quebusca instrumentalizar el uso del desplazamiento en el Geogebra para la transición del dibujoa la figura en 6º año de la Primaria brasileña. Para ello, analizamos documentos oficiales emanuales para ubicar el momento en que ocurre la transición, desarrollamos e analizamos unaActividad Instrumentada. Hasta este punto, hemos comprobado que la transición del dibujo ala figura es un fenómeno didáctico que se pasa en el 6º año de la Primaria. Además de que,proponemos una actividad, cuya análisis muestra una gran posibilidad de que logremosnuestro mayor objetivo. Por lo tanto, todavía nos falta implementar y analizar los resultadoscon la Teoría Antropológica de lo Didáctico e con el Enfoque Ontosemiótico de la cognición einstrucción matemática, para que después hagamos la confrontación de estas análisis.Pablabras-Clave: Problemática Dibujo-Figura; Teoría Antropológica de lo Didáctico; Teoríade la Instrumentación; Geogebra; 6º año de la Primaria

RÉSUMÉ

La différence entre les concepts de dessin et figure géométrique c'est la base de cetmonographie. Celle Problématique Dessin-Figure, était ici, il a été analysé avec la ThéorieAnthropologique du Didactique et la Théorie de les Situations Didactiques. Ainsi, nousbaseront en cet théories, et ouvrages sur même thématique, nous décideront élaborer uneactivité en utilisant le logiciel Geogebra pur traiter cette problématique. Comme nousutiliseront un artéfact technologique, nous introduiront en notre références la Théorie deInstrumentation à l'intention de profiter les propriétés du software. De cette façon, nous avonsprésenter les résultats qui ont été obtenus dans le cadre d'une recherche qui vise àinstrumentaliser la usage de le déplacement du Geogebra pur la transition de le dessin a lafigure en 6ème de Enseignement Fondamentale brésilienne. Pour sa fin, nous analyseronsdocuments officiel et manuelles pour situé en la Education Basique le moment que latransition doit arriver, nous élaboreront et nous analyserons une Activité Instrumentale.Jusque-là, nous avons prouvé que le passage du dessin à la figure est un phénomènedidactique qui se produit dans la 6ème de l'école élémentaire. En outre, nous avons proposéune activité, dont l'analyse révèle un fort potentiel pour nous d'atteindre notre objectif ultime.Donc, pas la mise en œuvre et l'analyse ultérieure des résultats, qui suggèrent qu'il est fait uneconfrontation entre les analyses des perspectives de la Théorie Anthropologique duDidactique et Approche Ontosémiotique de la cognition et les instruction mathématiques.Mots-clés: Problématique Dessin-Figure; Théorie Anthropologique du Didactique; Théoriede les Situations Didactiques; Geogebra; Sixième de Enseignement Fondamentale.

LISTA DE SIGLAS

GCMM Grupo Colaborativo em Modelagem Matemática

TIC Tecnologia da Informação e Comunicação

EM Educação Matemática

MMM Movimento da Matemática Moderna

ENEM Exame Nacional do Ensino Médio

PCN Parâmetros Curriculares Nacionais

EIAO Ambientes Interativos de Aprendizagem com Computador

TAD Teoria Antropológica do Didático

TSD Teoria das Situações Didáticas

PNLD Programa Nacional do Livro Didático

SAI Situações de Atividades Instrumentadas

OMR Organização Matemática de Referência

MEC Ministério da Educação

DM Didática da Matemática

EOS Enfoque Ontosemiótico

LISTA DE FIGURAS

ARTIGO 1

Figura 1: Desenhos representantes de quadrado construídos no software Geogebra... 48

Figura 2: Seta................................................................................................................ 49

Figura 3: Um dos elementos do dispositivo, no qual G e J são equidistantes em relação a H.....................................................................................................

57

Figura 4: Representação gráfica do modelo de Situações de Atividades Instrumentadas..............................................................................................

58

ARTIGO 2

Figura 1: Atividade construída no software Geogebra................................................. 63

Figura 2: Representação de uma atividade livro do Projeto Buriti: Matemática 5º

ano.................................................................................................................

76

Figura 3: Representação de uma atividade do Livro Matemática - Imenes & Lellis do 6º ano.......................................................................................................

76

Figura 4: Representação de uma atividade do livro Projeto Buriti: Matemática do 5ºano.................................................................................................................

77

Figura 5: Trecho do livro Matemática de Imenes & Lellis do 6º ano.......................... 77

ARTIGO 3

Figura 1: Modelo SAI................................................................................................... 86

Figura 2: Janela com os Comando................................................................................ 91

Figura 3: Barra de Ferramenta...................................................................................... 91

Figura 4: Interface gráfica do Geogebra mostrando as janelas de Álgebra, de Visualização 2D e Visualização 3D..............................................................

92

Figura 5: Primeira caixa aberta mostrando a ferramenta Mover selecionada............... 93

Figura 6: Arquivo do Geogebra utilizado na primeira questão da atividade................ 94

Figura 7: Arquivo do Geogebra utilizado na segunda questão da atividade................ 95

Figura 8: Arquivo do Geogebra utilizado na terceira questão da atividade................. 96

Figura 9: Arquivo do Geogebra utilizado na quarta questão da atividade................... 98

Figura 10: Arquivo do Geogebra utilizado na quinta questão da atividade................... 99

Figura 11: Arquivo do Geogebra utilizado na sexta questão da atividade..................... 100

Figura 12: Arquivo do Geogebra utilizado na sétima questão da atividade................... 102

Figura 13: Arquivo do Geogebra utilizado na oitava questão da atividade.................... 103

Figura 14: Arquivo do Geogebra utilizado na nona questão da atividade...................... 104

Figura 15: Arquivo do Geogebra utilizado na décima questão da atividade.................. 105

Figura 16: Arquivo do Geogebra utilizado na décima primeira questão da atividade... 106

ARTIGO 4

Figura 1: Primeiro arquivo do Geogebra a ser utilizado na segunda fase.................... 117

Figura 2: Segundo arquivo do Geogebra a ser utilizado na segunda fase.................... 119

Figura 3: Terceiro arquivo do Geogebra a ser utilizado na segunda fase..................... 120

Figura 4: Quarto arquivo do Geogebra a ser utilizado na segunda fase....................... 122

Figura 5: Quinto arquivo do Geogebra a ser utilizado na segunda fase....................... 124

Figura 6: Sexto arquivo do Geogebra a ser utilizado na segunda fase......................... 125

Figura 7: Falso losango utilizado na atividade em dupla............................................. 126

Figura 8: Losango verdadeiro utilizado na atividade em dupla.................................... 127

Figura 9: Falso retângulo utilizado na atividade em dupla........................................... 128

Figura 10: Retângulo verdadeiro utilizado na atividade em dupla................................. 129

Figura 11: Arquivo do Geogebra a ser utilizado como desafio final e individual.......... 130

CAPÍTULO 3

Figura 1: Software Geogebra........................................................................................ 136

Figura 2: Arquivo do Geogebra utilizado na questão 7................................................ 138

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO................................................................................................................ 13

OS CONTATOS COM A GEOMETRIA E COM AS TECNOLOGIAS DAINFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO.............................................................................. 13

ORGANIZAÇÃO DA MONOGRAFIA........................................................................... 15

CAPÍTULO 1................................................................................................................... 18

1.1 PROBLEMÁTICA...................................................................................................... 18

1.1.1 Sobre a educação no contexto geral.......................................................................... 18

1.1.2 Sobre a Educação Matemática.................................................................................. 20

1.1.3Sobre as tendências em Educação Matemática.......................................................... 22

1.1.4 Sobre a geometria e ao seu ensino ........................................................................... 25

1.1.5 Sobre as TIC e softwares.......................................................................................... 30

1.1.6 Sobre ensino e aprendizagem de geometria.............................................................. 33

1.1.7 Sobre Geogebra......................................................................................................... 34

1.2 JUSTIFICATIVA......................................................................................................... 36

1.2.1 TIC e o ensino da geometria..................................................................................... 36

1.2.2 Porque escolhemos o Geogebra?.............................................................................. 38

1.2.3 Pesquisas que veem sendo desenvolvidas sobre o Geogebra................................... 39

1.2.4 Por que o presente trabalho é relevante?................................................................... 40

CAPÍTULO 2 – ARTIGOS............................................................................................. 42

ARTIGO 1 – Bases teóricas para a elaboração de um dispositivo experimental nosoftware Geogebra............................................................................................................. 45

ARTIGO 2 – uma análise praxeológica das atividades propostas nos pcn e em livrosdidáticos: situando a passagem do desenho para figura na educação básica....................

61

ARTIGO 3 – A elaboração de um dispositivo experimental............................................. 81

ARTIGO 4 – análise de uma atividade elaborada no Geogebra para a transição dodesenho para a figura.........................................................................................................

109

CAPÍTULO 3 – CONSIDERAÇÕES E FUTUROS ENCAMINHAMENTOS......... 134

3.1 Problemas Técnicos e Organizacionais A Serem Evitados.......................................... 134

3.1.1 Apresentação............................................................................................................. 134

3.1.2 Objetivos da atividade............................................................................................... 135

3.1.3 Conteúdos................................................................................................................. 135

3.1.4 Procedimentos........................................................................................................... 136

3.1.5 Reflexões................................................................................................................... 139

3.2 Enfoque Ontosemiótico e Idoneidade Didática........................................................... 139

3.2.1 O Enfoque Ontológico e Semiótico para a cognição e instrução matemática

(EOS) ................................................................................................................................ 139

3.2.2 Conceito de Idoneidade Didática.............................................................................. 142

3.3 Sugestões para a continuação da pesquisa................................................................... 143

REFERÊNCIAS............................................................................................................... 147

APÊNDICE....................................................................................................................... 150

13

INTRODUÇÃO

OS CONTATOS COM A GEOMETRIA E COM AS TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO ECOMUNICAÇÃO

Recordo-me que durante todo meu Ensino Fundamental – que ainda era o de oito

anos – e Ensino Médio tive a Geometria como parte oficial da grade de disciplinas somente

por duas vezes, na 5ª e 6ª série (6º e 7º ano no atua Ensino Fundamental de nove anos).

Nessas duas séries ela aparecia como disciplina que compunha a parte optativa das

componentes curriculares. Fora isso, posso ser considerado um dos estudantes que

experimentou um ensino de matemática “amputado”, no sentido de que lhe faltava uma parte,

fundamental ao desenvolvimento do pensamento matemático.

Para ser totalmente justo, devo dizer que alguns tópicos de geometria apareceram

esporadicamente nos anos que se seguiram, por exemplo, o Teorema de Pitágoras e algumas

relações métricas no triângulo retângulo, mas que focava, principalmente, a introdução das

noções de seno cosseno. Essas falhas no ensino de geometria associado a um fato ocorrido em

sala constituíram a força motriz para que eu me enveredasse no estudo da matemática. O fato,

que acabei de citar, foi a expressão de surpresa de uma professora que, ao descobrir que nossa

turma de 7ª série não tinha aula de Geometria; ela disse: “Acho bom vocês estudarem

sozinhos mesmos, pois vão precisar muito. Peguem o livro e estudem.”. Eu acatei o conselho

dela.

Assim, peguei meu livro didático, um dicionário, caderno, lápis e borracha. Esse foi

o primeiro passo para que eu aprendesse a estudar geometria e, posteriormente, os demais

campos da matemática. Com essa experiência desenvolvi certa habilidade (ou facilidade) em

estudar de forma autônoma, fato este que me fez cogitar, ainda aos 14 ano, a possibilidade de

seguir estudando matemática no nível Superior. Outros fatores, como o trabalho do meu pai

com marcenaria, que me colocou em constante contato com o trabalho com diferentes formas

e unidades de medidas também influenciaram na minha boa relação com a geometria. Graças

a essas experiências, me tornei um dos abraçam a ideia de que o ensino da matemática deve

vir associado a suas aplicações ao cotidiano.

Concluídos o Ensino Fundamental, o Ensino Médio e, uma vez aprovado no

vestibular do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Feira de

Santana no ano de 2010, já no primeiro semestre a disciplina Sistemas Geométricos de

14

Representação dá início a um processo de expansão dos meus conhecimentos sobre

geometria. Esse processo tem continuidade com as duas Geometrias Analíticas, associadas a

Álgebra Linear, que contribuíram enormemente para que eu pudesse estabelecer interrelações

entre os campos algébrico e geométrico da matemática, relações estas, que foram

consolidadas durante alguns tópicos de Cálculo com Funções de Várias Variáveis. Não posso

deixar de citar as Geometrias Euclidiana I e II, nas quais reaprendi a geometria sob uma

perspectiva axiomática.

O aprendizado é feito de oportunidades de se experienciar certas situações que te

desafiam física e intelectualmente. Vejo as componentes curriculares citadas acima como

exemplos de oportunidades que tive de aprender um pouco mais sobre geometria e sobre

outros campos da matemática. Assim, como meu ingresso no Grupo Colaborativo em

Modelagem Matemática (GCMM) me permitiu comprovar que é possível relacionar o ensino

da matemática com situações do cotidiano. Durante os anos de participação tive contato com

vários professores da educação básica experientes, os quais me ensinaram muito sobre as

práticas em sala de aula, também foi por meio do GCMM que estabeleci as primeiras relações

com a pesquisa e a extensão universitária no campo da Educação Matemática. E nesse período

fui bolsista de extensão por duas vezes, nas quais desenvolvi os planos intitulados: A

elaboração de atividades de modelagem matemática e geometria com professores da educação

básica; Desenvolvimento colaborativo de atividades de modelagem matemática e geometria

como meio de inserção das TIC nas aulas de matemática.

O título do último plano de trabalho, escrito acima, já revela a presença de outro

elemento central desse trabalho, que são as Tecnologia da Informação e Comunicação (TIC).

As TIC entraram na minha vida bem tardiamente se comparado ao que ocorrem hoje em dia,

que o acesso a computadores e outros dispositivos eletrônicos de comunicação são bem mais

acessíveis. Até os 16 anos eu era um “analfabeto digital”, no entanto, fiz um breve curso em

2006 de informática básica, e em 2008 fiz a prova e ingressei em um curso de nível técnico

em Informática, durante o qual fui realmente “alfabetizado” digitalmente.

Esses meus estudos no curso técnico em Informática me concederam a habilidade e

autonomia de aprender como manipular softwares de vários tipos. Isso influenciou na

aceitação, por minha parte, do tema para o presente trabalho de conclusão de curso, proposto

por meu então orientador, professor Dr. Luiz Marcio Santos Farias. Em nossa primeira

15

conversa disse-lhe que desejava pesquisar sobre o ensino de geometria e, nessa linha, ele

descreveu um dos temas que havia desenvolvido durante seu doutorado que envolvia o uso do

Cabri Géomètre1 no tratamento de uma problemática peculiar ao ensino de geometria.

Contudo o Cabri é um software pago, então durante nossas orientações decidimos adotar o

Geogebra, que além de ter praticamente as mesmas funcionalidades do Cabri, é gratuito.

Porém, também tive que amadurecer minhas idéias acerca do uso de certos programas no

ensino de matemática. Esse amadurecimento veio por meio de estudos teóricos e de

disciplinas que fiz durante a graduação como Softwares Matemáticos, do 6º semestre do curso

de Licenciatura em Matemáticae da UEFS, e a Eines Informàtiques per a les Matemàtiques2.

A problemática inerente ao ensino de geometria, dita acima, que me foi apresentada é

a Problemática Desenho-Figura (LABORD, CAPPONI, 1994), que em linhas gerais consiste

na diferença dos conceitos de desenho geométrico e de figura geométrica, sendo o primeiro

um meio de representar características da figura, que por sua vez é um ente binário composto

por um conjunto de desenhos (ou representantes) e por propriedades que lhe caracteriza.

Assim, na próxima seção falaremos mais sobre o presente trabalho e faremos indicações de

que partes da monografia discutem mais sobre essa problemática.

ORGANIZAÇÃO DA MONOGRAFIA

Esta monografia está estruturada dentro dos moldes do multi-paper format, ou seja,

ela é composta por: um resumo; essa parte introdutória; um segundo capítulo contendo quatro

artigos prontos para a publicação; um terceiro capítulo com as ultimas considerações; e os

apêndices. O formato adotado, segundo Oliveira (2010, p. 18), já era utilizado por outras áreas

do conhecimento, e que o campo da educação passou a adotá-lo baseando-se na ideia de que,

a possibilidade de uma posterior publicação dos artigos, garantiria um maior acesso ao que

está sendo produzido, e além disso, seria uma forma do pesquisador praticar e se aperfeiçoar

na escrita de artigos, que é o tipo de texto que ele mais terá que produzir ao longo sua carreira.

Nesse sentido, no primeiro artigo buscamos apresentar as principais ideias das

teorias: Antropológica do Didático; Instrumentação; e das Situações Didáticas. As quais são

1 É um software de geometria dinâmica. Para mais informações no site: http://www.cabri.com.2 “Ferramentas Informáticas para a Matemática” disciplina que cursei durante o intercâmbio na Universitat Autònoma de Barcelona (Barcelona- Espanha).

16

consideradas como verdadeiras bússolas para o desenvolvimento da investigação e na

elaboração de um dispositivo experimental que utiliza o software Geogebra. Neste artigo,

apresenta-se a problemática Desenho-Figura, que é o cerne do trabalho, posteriormente

transcreve-se os principais postulados das referidas teorias e, exemplifica-se como esses

influenciaram na construção do dispositivo experimental. Assim, foi possível observar que o

referencial teórico permitiu a identificação da natureza do problema, viabilizou a proposição

de uma série de atividades como possível solução para este, além de dar ferramentas para se

analisar a efetividade das soluções propostas no tratamento do problema.

Enquanto que o segundo artigo, objetiva apresentar resultados de uma análise

praxeológica dos procedimentos e atitudes sugeridas nos Parâmetros Curriculares Nacionais e

das atividades dos livros didáticos. Essa análise voltou-se para a identificação do momento da

Educação Básica em que ocorre o processo de Transição do Desenho para Figura. Assim,

neste segundo artigo, conseguimos situar a manifestação da Problemática Desenho-Figura no

6º ano do Ensino Fundamental.

Já no terceiro artigo, nos baseamos na necessidade de que o ensino de geometria deixe

de explorar apenas o desenho e se volte também ao trabalho com a figura geométrica em sua

totalidade. Assim, no referido artigo apresentamos um pouco das teorias que nos norteiam e

uma justificativa mais fundamentada das razões da escolha do Geogebra. Além disso,

apresentamos a análise, em termos das Organizações Matemática e Didáticas, da primeira

parte da atividade que elaboramos para promover transição do desenho para figura. Com isso,

notamos o quanto o planejamento, e a análise desse, são importantes para um bom

desenvolvimento da atividade em sala.

No quarto artigo, falamos de duas concepções que surgem ao identificar um ente

geométrico, as quais são melhor entendidas por meio da análise do processo de Transposição

Didática. Diante dessa problemática, elaboramos arquivos no Geogebra com a finalidade de

apoiar o professor em suas explicações, ao mesmo tempo que, incentiva a exploração por

parte dos alunos. Com as análises realizadas, pudemos notar que, trabalhar com desenhos

estáticos no papel é diferente da maneira de lidar com construções feitas em softwares de

geometria dinâmica. E em atividades instrumentadas tanto o professor quanto só alunos

devem manipular o Geogebra, pois é a manipulação direta que propiciará ao estudante

estabelecer a relação entre sua ação e a reação do software.

17

Assim, essa pesquisa visa responder ao seguinte questionamento: Quais as possíveis

contribuições do deslocamento no Geogebra para a transição do desenho para a figura

no 6º ano do Ensino Fundamental? É claro que, para responder de forma mais precisa tal

pergunta, necessitávamos fazer a implementação e posterior análise dos dados obtido nela.

Porém, a aplicação em sala de aula de toda a atividade elaborada, ainda não foi realizada.

Desse modo, no último capítulo, em lugar dos resultados finais da pesquisa, apresentamos um

relato da implementação da primeira parte da atividade elaborada. Com isso desejamos

compartilhar uma experiência e chamar a atenção para alguns problemas que podem ocorrer

durante a implementação e, sugerir formas de evitá-los.

Além dessa narrativa, apresentamos em linhas gerais o Enfoque Ontosemiótico da

cognição e instrução matemática, dando destaque à noção de Idoneidade Didática. Isso se

deve a que, durante o processo de produção do presente trabalho, tivemos contato com essa

teoria e com o tipo de análise didática refinada que ela propõe. Então, decidimos indicar como

passos para a conclusão da presente investigação, a análise dos resultados da implementação,

sob a perspectiva da Teoria Antropológica do Didático, como já planejávamos desde o

começo, e sob o olhar do Enfoque Ontosemiótico. Essas análises serão confrontadas

posteriormente para que se possa avaliar pontos críticos da atividade e aperfeiçoá-la.

18

CAPÍTULO 1

Neste capítulo, faremos algumas comentários acerca da Educação de forma geral, da

Educação Matemática e suas Tendências. Também abordaremos a Geometria e seu ensino, o

uso das Tecnologias da Informação e Comunicação em diversas áreas, dentre elas a educação

e, afunilaremos esse tema até chegar no uso do Geogebra no ensino de geometria. Nesses

termos, situaremos, nas seções que seguem, a problemática da nossa investigação num

contexto mais geral e apresentaremos a relevância dessa pesquisa.

1.1 PROBLEMÁTICA

1.1.1 Sobre a educação no contexto geral

As pesquisas em educação vem mostrando, com o passar dos tempos, que não basta

apenas construir escolas, remunerar cada dia melhor os professores, promover políticas

públicas que incentivem as famílias brasileiras a colocarem seus filhos nas escolas, pois estas

ações, por si só, não garantem o aprendizado. Considerando o rendimento dos estudantes nas

diversas avaliações que passaram a fazer parte do cenário educacional brasileiro, podemos

constatar que estes têm aprendido pouco, e este fato muitas vezes os desestimula, fazendo

com que muitos abandonem a escola. Para aqueles que continuam, há ainda os problemas

relacionados a qualidade de ensino, pois ainda não se pode garantir que ao término de cada

ciclo escolar os estudantes possuam as habilidades esperadas.

Para tentar contornar esta situação, fala-se sobre o desenvolvimento de competências

nos estudantes (BRASIL, 1998), ou seja, estimular o desenvolvimento da capacidade de

mobilizar instrumentos (físicos ou cognitivos) com a intenção de resolver uma situação com

certo grau de complexidade. Para se trabalhar com situações dessa natureza o indivíduo deve

conhecer diversos conteúdos e conceitos, adquirir uma série habilidades, aprender a utilizar

uma linguagem própria da área que ele estuda, vencer certos ditos bem conhecidos, por

exemplo, “a matemática é difícil”e ainda têm que saber controlar os fatores emocionais.

Disso temos que a atuação do professor no processo de ensino não se restringe só a transmitir

o conhecimento.

Assim, tangenciamos outro ponto importante no contexto da qualidade de ensino,

que é a formação dos professores. Pois, é comum escutar de professores recém formados que

no momento em que assumiram efetivamente uma sala de aula, ainda não se sentiam

19

preparados para tal. O que vem sendo evidenciado é que, na formação dos professores, ainda

existem dilemas que vão desde uma dicotomia criada entre o que é ensinado na universidade e

a realidade escolar, à integração e articulação efetiva nas escolas da educação básica das

metodologias desenvolvidas nos centros acadêmicos.

Esse dilema (distanciamento) não é um aspecto positivo nem para o campo

acadêmico nem para a educação básica. Pois, o conhecimento acadêmico é construído

pensando-se em solucionar problemas, em grande parte, oriundos de questões sociais.

Enquanto isso, a educação básica busca formar cidadãos que viverão em uma sociedade

influenciada pelos pelos resultados dessas pesquisas. Então se os resultados das investigações

voltadas para a educação não forem agregados ao processo educacional, desde sua base, existe

uma grande probabilidade de que nem um nem outro atinjam seus objetivos.

O distanciamento não é percebido apenas entre o campo acadêmico e a educação

básica, pois é muito comum ouvirmos em sala de aula alunos questionarem “Em que eu vou

usar isso?”, referindo-se aos conteúdos que são ensinados. Tal questionamento, baseia-se na

dificuldade do aluno em relacionar o que é ensinado com suas aplicações, que por sua vez, se

apresenta como consequência dos métodos empregados no ensino e nas muralhas que são

erguidas para separa as diferentes disciplinas.

Além disso, podemos ressaltar a facilidade de acesso a informação como um fator

contemporâneo, cuja influencia sutil pode ser percebida tanto na maneira que os professores

ensinam, quanto na que os alunos aprendem. É inegável a variedade e quantidade de

conhecimento que podem ser rapidamente acessada via rede mundial de computadores. Dessa

forma o professor (ou a escola) não é mais a única fonte do conhecimento socialmente

validado, mas sim um auxiliar do processo de aprendizagem. E a aprendizagem já não ocorre

apenas com o acúmulo de conhecimento, mas também com o desenvolvimento da habilidade

de mobilizá-los em diversas situações quotidianas (estudo,trabalho, lazer, etc.).

Esse estabelecimento de relações com conteúdos e vida prática é, para algumas

pessoas, algo difícil de imaginar quando se refere a matemática. Uma possível razão para essa

dificuldade pode ser que estes indivíduos tenham experimentado um ensino

descontextualizado. Percebemos então que a forma pela qual a matemática é ensinada, pode

influenciar no como as pessoas a veem e se relacionam com ela. Tal influencia foi objeto da

atenção de alguns matemáticos do século XIX que passaram a se preocupar com a maneira

20

que a matemática era divulgada (ensinada) as novas gerações.

1.1.2 Sobre a Educação Matemática

A preocupação com os métodos empregados no ensino da Matemática, aliada a

atenção dada, por alguns estudo da psicologia desenvolvidos no início do século XX, ao

aprendizado da mesma, podem ter estimulado o surgimento da Educação Matemática (EM).

Tal preocupação e esforços justificavam-se pela necessidade de adequar o ensino da

matemática as necessidades sociais e econômicas vigentes na época. Para isso foi promovida

uma reforma educacional para o ensino da matemática, conhecida como Movimento da

Matemática Moderna (MMM) (FIORENTINE, LORENZATO, 2012).

Este movimento incentivou o formalismo tanto na linguagem quanto nos métodos

empregados no ensino. Além disso, é imputado a este movimento, o estigma de ter

abandonado o ensino da Geometria, fato este que é apontado como o princípio dos problemas

contemporâneos relacionados ao ensino deste campo da matemática. Contudo, o MMM

trouxe para o âmbito internacional, discussões acerca da Educação Matemática (op. cit.,

2012).

Pessoas mais velhas ao comentarem sobre a forma pela qual, a matemática lhes foi

ensinada, evidenciam métodos – tal como a obrigatoriedade de se decorar a tabela de fatos

(tabuada) – que hoje já não são mais praticados com a mesma frequência. Essa mudança de

prática decorre, provavelmente, das diferentes necessidades sociais, culturais e individuais

que o ensino da matemática tem que atender. Para que estes aspectos recebam o devido

tratamento, os educadores matemáticos direcionam esforço para a escolha de conteúdos

matemáticos julgados pertinentes para alcançar os objetivos. Após isso, eles buscam

identificar quais os melhores métodos para trabalhar com cada um desses conteúdos.

Podemos exemplificar o escrito acima com a seguinte suposição: é uma necessidade

que todos os indivíduos de uma sociedade tenham a habilidade de localizar um objeto no

espaço. Para isso, pondera-se que o trabalho com plano cartesiano pode ajudar a desenvolver

tal habilidade, logo este deve está presente na educação básica. Porém, percebe-se que com

crianças até certa idade, este conteúdo, quando abordados por meio de jogos, é melhor e mais

rapidamente compreendido, enquanto que com adolescentes, de uma faixa etária maior, pode-

se utilizar aulas expositivas, pois estes já possuem uma capacidade de abstração bastante

desenvolvida.

21

Mas quem colocará em prática ideias como estas? Será que estas pessoas estão

preparadas para isso? Claramente estas perguntas nos remetem a figura do professor e a sua

formação, tanto inicial quanto continuada. O professor de matemática é, sem dúvida, uma

peça chave para o sucesso, ou não, das propostas de melhorias no ensino de matemática, pois

estão em contado direto com os alunos. Cada um deles tem sua concepção acerca do ensino da

matemática, sendo que estas são implicadas pelas experiências vividas durante sua formação.

Com certa frequência, estes profissionais manifestam sua insatisfação com resultados

alcançados por seus alunos em exames nacionais. Existe a possibilidade real de que o

problema esteja, em parte, na prática docente. Ou seja, as técnicas de ensino empregadas

pelos professores, que em sua concepção são as melhores, podem não está em conformidade

com o que e como são cobrados tais conteúdos nos exames.

Um exemplo claro e atual desta situação é o desempenho no Exame Nacional do

Ensino Médio (ENEM)3, do qual muitos alunos se queixam de dificuldades em resolver as

questões, devido a forma como elas são apresentadas: questões interpretativas,

multidisciplinar, etc.. Tais queixas dos alunos ocorrem porque percebe-se um disparate entre o

“como” o ENEM exige e o “como” os conteúdo são ensinados.

O novo ENEM é composto por questões objetivas divididas em quatro áreas:

Linguagens e Códigos; Ciências da Natureza; Ciências Humanas; e Matemática. Referente a

esta última área, o exame traz questões de álgebra, sobre a qual muitos alunos manifestam

dificuldades ainda no Ensino Fundamental, e de geometria, cujo ensino vem passando por

uma processo de recuperação após ter sido “abandonado”. Ou seja, ele se fundamenta em dois

campos da matemática que apresentam problemas antigos e latentes, no que diz respeito ao

ensino desta.

A reestruturação do ENEM4 foi feita na intenção de reorganizar o Ensino Médio

numa perspectiva interdisciplinar de desenvolvimento de conhecimentos – saberes, valores,

competências e práticas. Possibilitando assim, que os alunos vejam a função prática do que é

ministrado nas aulas, e induzindo as instituições de ensino, principalmente as particulares, a

deixarem a prática de treinarem seus estudantes para passarem em vestibulares.

3 Este texto refere-se ao novo modelo do ENEM que entrou em vigor no ano de 2009.4 Isso pode ser comprovado pela matriz de referência para o ENEM de 2009 disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&view=download&alias=841-matriz-1&category_slug=documentos-pdf&Itemid=30192.

22

Para que os resultados esperados sejam logrados, pelo menos nas instituições da rede

pública de ensino, faz-se necessária uma mudança na prática pedagógica de muitos

professores da educação básica, e para que tal mudança ocorra acreditamos que são

necessárias melhorias nos cursos de formação inicial e continuada dos professores.

É importante salientar que quando falamos em mudança não estamos nos referindo a

adequação. Mas sim, deixar os procedimentos mecânicos e abraçar a reflexão sobre as

atividades desenvolvidas em sala, é apresentar conteúdos matemáticos de forma que seja

percebida tanto sua importância para o campo da matemática – pré-requisitos para a

aprendizagem de outros conteúdos – quanto para o cotidiano do aluno (aplicações em

situações extra-matemáticas).

Mas como fazer isso? A resposta para essa pergunta depende de onde (capital,

cidade do interior, reserva indígena, etc.), para quem (jovem, adulto, criança) vai ser ensinada

e de quais objetivos deseja-se alcançar. Identificados estes elementos, a Educação Matemática

conta com áreas de estudo que propõem uma maneira de ensinar que focam em aspectos as

vezes distintos, mas que convergem ao mesmo objetivo: ensinar a matemática. Estas “áreas”,

às quais nos referimos, são conhecidas como Tendências em Educação de Matemática.

1.1.3 Sobre as tendências em Educação Matemática

As diferentes tendências para o ensino da Matemática possuem características que

tratam de problemas relacionados com o ensino desta. Por exemplo, pode-se observar na

história da matemática que muito dos conhecimentos, hoje formalizados, se desenvolveram

por causa de necessidades socioculturais, como a construção das pirâmides do Egito, a qual

possui uma motivação religiosa. Bem como a expansão comercial de diversos povos da

antiguidade. Neste sentido a Etnomatemática leva em consideração os elementos culturais

(religião, atividade comercial, política, etc.) no processo de ensino aprendizagem da

matemática, tentando promover, sempre que possível, a identificação do aluno com aquilo que

é estudado. Prega-se a existência de diferentes matemáticas, as quais são construídas e

utilizadas por diferentes grupos sociais conforme suas necessidades.

Além dos elementos culturais, a própria História da Matemática apresenta-se como

uma tendência para o ensino desta. De forma geral, a História permite-nos compreender fatos

contemporâneos por meio da análise de sua origem histórica. Desse modo, a História da

Matemática pode subsidiar os professores na compreensão e na tentativa de solucionar

23

problemas relacionados ao ensino de certos conteúdos matemáticos. Assim, nos permite

conhecer e adaptar, em sala de aula, situações que outrora forram cruciais para o

desenvolvimento de dado conteúdo, cuja reprodução, ou simples exposição, pode facilitar o

ensino deste (BRASIL, 1998, p. 33). Bem como, permite a análise hitórica-matemática das

práticas pedagógicas que não surtiram o efeito desejado, evitando assim, a pratica de erros de

forma recorrente.

A Didática da Matemática, quando vista como uma tendência da educação

matemática, ocupa-se da comunicação dos saberes matemáticos e de suas transformações

(BROUSSEAU, 2007). Esta tendência fundamenta-se em um conjunto de teorias que

fornecem ferramentas para a compreensão de determinados aspectos dos processos de ensino

e aprendizagem da matemática. Por exemplo, Teoria das Situações Didáticas, a qual volta-se à

compreensão das interações entre professor, aluno e saber que ocorrem num meio, isso dito de

uma forma muito sucinta, pois voltaremos a abordar essa teoria no próximo capítulo.

Uma outra tendência é a Educação Matemática Crítica, a qual propõe que os alunos

resolvam e principalmente analisem a situação em estudo. Nela, os modelos matemáticos

aparecem como ferramentas que possibilitam a compreensão e geração de argumentos para

solucionar o problema. Muitas vezes para que tal análise das situações ocorra, primeiramente

os alunos devem resolver problemas.

E essa Resolução de Problemas é uma das tendência que se destaca como indicação

nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), pois resolver problemas é um ato cotidiano

(BRASIL, 1998). É importante salientar que uma situação pode apresentar-se como um

problema para algumas pessoas e para outras não, a depender do conhecimento e experiência

de quem a situação é apresentada. Estar alerta para este fato é importante na hora de escolher

uma situação que seja um problema para todos os indivíduos (estudantes) envolvidos na

resolução. Além disso, a interpretação é um ponto crucial na resolução de um problema

matemático e que pode influenciar diretamente na solução, por isso deve receber bastante

atenção de quem trabalha com essa tendência.

Muitas vezes confundida com a Resolução de Problema, a Modelagem Matemática

possui aspectos que a distingue, tal como a relação indissociável com a realidade. Essa

tendência tem sua origem no campo da Matemática Aplicada, contudo a alguns anos vem

sendo empregada na Educação Matemática (BASSANEZI, 2002). Sua essência está em

24

transformar situações-problema do cotidiano em problemas matemáticos, resolve-los e utilizar

tais soluções para compreender a situação de origem. A depender da perspectiva que se adota

o foco de uma atividade de modelagem pode estar no modelo matemático, no conteúdo ou na

discussão social dos resultados. Esta tendência enfrenta certa resistência dos professores, que

alegam que ela demanda muito tempo para ser implementada, e que tem um desenvolvimento

muito imprevisível.

Em se falando de cotidiano, escrever é um ato bastante corriqueiro. E quando

escrevemos sobre algo, não é muito difícil de aceitar a ideia de que estamos praticando uma

tradução daquilo que está em nossa mente para a linguagem usual, compreensível às demais

pessoas. Entretanto, no ato de ler ocorre o processo inverso. Porém, em abas as ações faz-se

necessária uma reflexão acerca do que se lê e/ou escreve. E tal reflexão pode tornar-se num

momento bastante propício para a apreensão de certos detalhes inerentes ao tema. É nessa

perspectiva que a tendência de Leitura e Escrita em Matemática se apoia. Ela defende que em

um memento de escrita sobre o conteúdo matemático trabalhado na aula, o aluno vê-se

obrigado a refletir sobre o conteúdo, promovendo assim a concretização mental destes, além

de gerar elos da matemática com outras disciplinas. Porém, com a separação rígida existente

entre as componentes curriculares da Educação Básica, muitas vezes trabalhar com a leitura e

a escrita tronam-se função exclusiva das disciplinas como português, redação e correlatas.

Agora, despertar o interesse, motivar os alunos a querer aprender, são desafios

inerentes ao trabalho dos professores. Para estes fins, pode-se utilizar Jogos nas aulas de

matemática. Os jogos, em geral, são desafiadores, divertidos e pode promover a iteração entre

alunos. Contudo, alguns professores de matemática se opõem a utilizar-los em suas aulas,

alegando que este torna o ambiente de sala de aula mais propício ao barulho e a outros tipos

de desordem. Porém, os erros que de fato não podem ser cometidos são, utilizá-lo apenas para

“distrair” os alunos, ou quando não teve tempo para planejar a aula.

Os jogos podem utilizar vários recursos, como materiais manipuláveis ou mesmo

digitais. Neste ultimo, evidencia-se uma intercessão com outra Tendência em Educação

Matemática, que é as Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC). Além dessa

intercessão, as TIC podem manter uma relação estreita com a modelagem matemática. Esta

relação se dá principalmente na coleta de informações acerca dos tema da atividade e na

validação dos modelos(MEYER; CALDEIRA; MALHEIROS , 2011).

25

Além disso, as TIC por si só apresenta potencialidades, como as de agilizar cálculos

e de constituir ambientes investigativos, que torna relevante sua inserção no ensino da

matemática. Entretanto, tais potencialidades podem ser melhor aproveitadas se os professores

estiverem preparados para utilizar as tecnologias em suas aulas. A falta desta preparação pode

constitui-se num entrave para o processo de ensino por meio de ferramentas tecnológicas. Por

exemplo, alguns softwares permitem a construção e manipulação de objetos geométricos de

forma interativa, se mal utilizados, possivelmente não produzirão efeitos positivos para o

ensino de Geometria.

Em meio a tantos métodos para o ensino de matemática, podemos identificar pelo

menos duas situações que podem dificultar a utilização destes métodos nas aulas de

matemática: o desconhecimento de tais tendências por parte dos professores, e a dificuldade

de escolher a mais adequada para o ensino do conteúdo desejado (quando e como utilizar).

Acreditamos que os eventos na área da Educação Matemática, bem como os cursos

de formação de professores de matemática se encarregam de divulgar tais tendências. No

tocante ao “quando e como utilizar”, além de sofrer influencias do contexto (proposta

pedagógica da escola, recursos disponíveis, etc.), cabe ao professor buscar, experimentar ou

informar-se sobre experiências vividas por outros professores para assim aprender a

identificar o melhor momento para utilizá-las.

Apesar dessas dificuldades na implementação das Tendências para o Ensino da

Matemática, suas propostas se mostram promissoras para a melhoria do ensino da matemática

como um todo, bem como de algumas áreas que sofreram “desgastes” ao longo dos anos, por

exemplo a Geometria5.

3.1.2 Sobre a geometria e ao seu ensino

O nome dessa área da matemática é uma palavra de origem grega, geo (terra) metron

(medida), que significa medida de terra. Este significado, de certo, está ligado a sua origem e

desenvolvimento, os quais ocorreram por meio da observação dos objetos presentes no espaço

e da necessidade de resolver problemas relacionados a construções (templos, casas, etc.), ao

comércio e a demarcações de terras. Neste contexto, e devido as suas múltiplas utilidades,

vários pensadores da antiguidade (Platão, Arquimedes, Tales, etc.) dedicaram-se ao estudo da

5

Neste texto, quando falamos em geometria, estamos nos referindo a conhecida geometria euclidiana plana e/ou espacial. Caso contrário especificaremos a qual geometria estamos nos referindo.

26

geometria. Toda esta dedicação resultou em elevá-la do patamar meramente empírico ao

campo de conhecimento com sua epistemologia própria.

A geometria se desenvolveu ao longo da história sempre associada a outras áreas da

matemática. A exemplo disso temos a geometria babilônica, que mesmo tendo um caráter

empírico, mantinha relações estreitas com a álgebra, a qual era usada para solucionar os

problemas. Eles desenvolveram um método geométrico de resolução de equações de segundo

grau, as quais eram encontradas em problemas referentes ao comércio, que era a atividade

econômica muito praticada naquela região (EVES, 2004).

As informações sobre as civilizações antigas nos permite afirmar que a geometria

desempenhou um papel importante na organização social, por exemplo, dos egípcios.

Conhecimentos geométricos eram necessários para a economia dessa civilização, uma vez que

esta girava em torno das cheias do rio Nilo, a qual desfazia as marcações das terras, contudo

os impostos eram pagos de acordo com as dimensões da terra possuída. Isso fazia com que o

trabalho de remarcar as terras fosse anual, e para realizá-los os agrimensores (pessoas

responsáveis pela medição e demarcação das terras egípcias) utilizavam noções de ângulo,

área, entre outras.

Além da economia, a arquitetura e religião egípcia se serviam dos conhecimentos

geométricos para realizar suas atividades, a exemplo disso temos as conhecidas pirâmides

egípcias – construções que impressionam por suas dimensões e precisão que serviam de

mausoléu para os faraós (soberano egípcio). Por causa de sua utilidade, a geometria foi

bastante desenvolvida nesta região.

Os babilônicos e egípcios não foram as únicas civilizações que se dedicaram ao

estudo da geometria. Os árabes, desempenharam o importante papel no desenvolvimento da

trigonometria, principalmente nas relações de seno, coseno, tangente, etc. (EVES, 2004).

Contudo este povo contribuiu para a conservação do conhecimento geométricos já existente

na época. Esta contribuição se deu por meio das traduções e reprodução e difusão de livros

que continham tais conhecimentos.

Muito do que se desenvolveu acerca deste domínio, foi compendiado pelo

matemático grego Euclides, que viveu na cidade de Alexandria do Egito por volta do ano 300

a. C.. A ele é conferida a autoria do livro Elementos, o qual era composto por treze volumes,

que tratavam de assuntos relacionados à teoria dos números e, em sua maioria, à geometria.

27

Sendo que a principal característica desta obra é a apresentação dos conhecimentos como

consequência de noções primárias (postulados e axiomas). Esse modo de desenvolvimento

teórico é conhecido como sistema dedutivo e é considerado um dos pilares de

desenvolvimento da Matemática.

Desse modo, percebemos que já na época de Euclides a geometria, embora

mantivesse uma relação íntima com representações (desenhos e construções), já não dependia

tanto delas, pois ela já estava mais fundamentada num plano teórico (ou abstrato). Ou seja, o

quadrado deixa o campo subjetivo, aquele que cada indivíduo vê e sente de forma diferente,

para ser: “entre as figuras quadriláteras, o quadrado é o que é juntamente equilátero e

retângulo” (EUCLIDES, 1944, p.20). Dada esta transformação as construções geométricas

(desenhos) passam a ser ferramentas utilizadas em experimentações, demonstrações e na

solução de problemas do campo teórico.

É evidente que a geometria provinda da percepção subjetiva, não perdeu sua

importância. Ela é ainda o primeiro ponto de contato do sujeito com o conhecimento

geométrico, pois as crianças no início de seu desenvolvimento cognitivo podem ser

estimuladas a perceber semelhanças e diferenças em formas. E neste momento o desenho joga

um papel crucial, pois ele evidencia algumas características da figura que possibilitarão a sua

categorização e posterior percepção das propriedades.

Contudo, é necessário transcender a percepção. Para isso, é necessário lançar mão de

uma importante ferramenta que é a definição. Esta deve explicitar o conjunto das

características elementares (mínimas), que uma vez identificadas num objeto, o faz pertencer

àquela categoria o que implica em dizer, que ele guarda as propriedades que são inerentes a

esta. Além disso, a definição é a base para a construção do desenho.

Como exemplo importância da definição, podemos ver que a depender de como

definimos os losangos, eles podem ou não abranger os quadrados. Se um losango for uma

“figura quadrilátera, equilátera, mas não retângula”, então exclui-se a possibilidade de se

categorizar o quadrado como um losango. Todavia, se retirarmos a parte “não retângula” da

definição, este passa a conter os quadrados também. A importância da definição evidencia um

outro cuidado que os professores devem ter no ensino da geometria, que é o cuidado com a

linguagem empregada.

Quando falamos em linguagem, estamos nos referindo a oral, a escrita e a visual. A

28

respeito da oralidade e da escrita, a atenção deve voltar-se para como se define os objetos

geométricos bem como o que se fala quando se responde um questionamento do aluno. Já a

atenção que deve ser dada para a linguagem visual, volta-se para evitar a criação de

estereótipos tais como o do triângulo retângulo cujos catetos sempre são desenhados paralelos

as margens inferior e lateral da folha ou do quadro.

Porém, melhor seria que, não só os professores dominassem a linguagem específica

para o ensino da geometria, mas também auxiliassem os alunos na aquisição deste domínio.

Pois, conhecer a linguagem específica e saber utilizá-la são requisitos para a resolução de

situações-problemas matemáticos, desse modo o exercício docente contribuiria para o

desenvolvimento da autonomia do estudante no processo de aquisição de conhecimento.

É verdade que o saber geométrico passou por mais transformações ao longo dos

séculos, principalmente na linguagem que ele era apresentado. Tais modificações foram

necessárias para que este saber se tornasse mais acessível a um número maior de pessoas.

Exceto no que diz respeito a linguagem, os documentos oficiais brasileiros sugerem uma

estrutura para o ensino de Geometria muito semelhante a do seu surgimento. Eles indicam

para as séries iniciais um ensino mais voltado para a percepção das formas para depois iniciar

o estudo das propriedades (BRASIL, 1997).

Um exemplo mais específico são os Parâmetros Curriculares Nacional (PCN) que

sugerem para o primeiro ciclo (corresponde a 2º e 3º anos) que o estudo da geometria surja da

observação dos elementos naturais (casa, árvore, lápis, etc.). Além disso, os alunos devem

comparar os objetos sólidos e planos, perceber semelhanças e diferenças. Neste processo uma

diferença que deve ser evidenciada é a existência, ou não, de uma terceira dimensão. Contudo

ainda não se indica que os elementos geométricos sejam nomeados (BRASIL, 1997).

Claramente neste ciclo escolar há um predomínio da geometria subconsciente, na

qual a comparação mencionada acima, somada a manipulação e construção de representantes

das figuras geométricas podem desempenhar um papel fundamental. O fato de não haver uma

preocupação em nomear os objetos em estudo, é justificado pela forte relação existente entre o

nome e suas propriedades, uma vez que estas serão foco dos estudos nos ciclos posteriores.

Ao falar sobre o segundo ciclo (4º e 5º ano), os Parâmetros indicam o uso de

atividades que estimulem os alunos a explorarem o espaço, observarem os elementos nele

presentes e classifica-los. Neste período, os alunos já estão aptos a identificarem elementos

29

dos poliedros (faces, arestas, vértices) e a trabalharem com algumas planificações e outras

formas de representação, bem como estabelecer relações entre os objetos bidimensionais e

tridimensionais.

Neste momento o desfio é estimular os alunos de forma que eles percebam as

semelhanças entres os entes geométricos, para que a partir dessas, possam agrupá-los. E a

identificação de faces, arestas, etc., bem como a planificação pode constituir uma

oportunidade para promover a transição do estudo das figuras de três dimensões para as

bidimensionais. Ou seja, promover a capacidade de abstrair uma das dimensões dos sólido

geométricos.

O terceiro ciclo (6º e 7º anos) é caracterizado por ser um período de mudanças na

organização escolar. Contudo é peculiar a esta faixa etária um crescente potencial de

abstração, o qual deve ser explorado afim de que os alunos possam perceber regularidades e

propriedades geométricas (BRASIL, 1997, p. 63). É justamente neste ciclo que o ensino de

geometria deve passar por uma brusca, mas necessária, modificação na forma pela qual seus

objetos de estudos são apresentados. Para que fique mais claro que mudança é essa e o desafio

que é promovê-la, precisamos perceber a distinção entre desenho de figura geométrica.

Segundo Laborde e Capponi (1994), o desenho pode ser entendido como um

elemento material, manipulável, que depende de um suporte (papel, plástico, parede, monitor,

etc.) para existir. Ele traduz para o mundo visual e/ou tátil características de uma entidade do

plano teórico ou imaginário, e é passível de múltiplas interpretações.

Enquanto isso, podemos interpretar a figura geométrica como um binômio

indissociável constituído por um referencial teórico e uma de suas possíveis representações.

Desse modo a figura depende, além do suporte, de um referencial teórico para sua existência.

Ela, quando observada, deve evidenciar as condições mínimas para a existência (ou

construção) do ente geométrico que se deseja representar.

Conhecer a diferença supramencionada é necessário para que se possa desenvolver

um trabalho com o ensino de geometria no 3º ciclo que contemple as indicações, presentes

nos Parâmetros Curriculares Nacionais, de focar no estudo das propriedades geométricas. Este

estudo, justifica-se, em parte, pelas diversas aplicações dessas propriedades, as quais

possibilitam a contextualização do ensino.

Para exemplificar, podemos mencionar uma propriedade que os triângulos possuem:

30

para modificarmos a dimensão de um dos seus lados temos que modificar a de pelo menos um

outro. Este atributo dos triângulos confere-lhes uma estabilidade, que possibilita sua utilização

em, por exemplo, construções de telhados garantindo que o ângulo deste não será alterado.

Percebe-se então que, o processo de percepção das propriedades das figuras

geométricas está intimamente ligada à transição do desenho para a figura. Esta transição

consiste em identificar os elementos geométricos não mais exclusivamente por sua forma,

mas também por aquelas características que permanecem invariantes mediante a submissão a

transformações (rotação, translação, ampliação, etc.). Há indícios de uma imprescindibilidade

de que tal transição ocorra, mas como promovê-la? Quais instrumento podem auxiliar neste

processo? Uma sugestão que atende a estas questões veem sendo desenvolvida com o uso das

TIC no ensino da geometria.

3.1.3 Sobre as TIC e softwares

O próprio termo tecnologia evidencia em seu significado algumas de suas

potencialidades. Tecnologia pode ser compreendida como um conjunto de conhecimentos

potencialmente empregáveis para suprir algumas necessidades humanas. A exemplo disso, o

conhecimento que um pedreiro tem acerca da construção de casas pode ser considerada uma

tecnologia voltada para atender a necessidade humana de moradia. A casa por sua vez pode

ser vista como uma ferramenta tecnológica, pois ela foi construída sob certos conhecimentos

para suprir uma necessidade do homem.

Além de habitação, a informação e a comunicação também são necessidades

humanas, que precisam ser supridas para possibilitar um bom convívio social. E durante os

séculos as ferramentas desenvolvidas para estes fins foram evoluindo, ao passo que, a

tecnologia foi se modernizando. Assim, no tocante a transmissão de informações, partiu-se de

instrumentos como blocos de argila, papiros, passando pelos livros até chegarmos hoje na

informática – termo oriundo da junção das palavras “informação” e “automática”. O grande

valor deste ultimo invento, é a possibilidade de se agilizar a produção e o compartilhamento

novos conhecimentos de forma quase simultânea.

Quando falamos em informática é quase impossível não nos remetermos aos

computadores. Contudo, cabe aqui salientar que as calculadoras, mesmo as mais simples, são

consideradas ferramentas informáticas, pois são dispositivos eletrônicos que efetuam cálculos

de forma automática. E é perceptível que os computadores, com o passar dos tempos, estão

31

cada vez mais presente em diferentes áreas da atividade humana. Seja no setor financeiro

(caixas eletrônicos, sistemas bancários, sistemas gerenciadores de bolsas de investimento,

etc.), na saúde com cirurgias e exames que têm seu alcance e precisão potencializados pelo

uso de computadores, no processo eleitoral de alguns países como o Brasil, na segurança com

o vídeo monitoramento de ruas e a construção de bancos de dados de suspeitos. Enfim, estes

são apenas alguns exemplos dos campos onde os computadores estão inseridos.

Dada esta evidente presença das TIC em diversos ramos da sociedade, seria de se

estranhar se a educação ficasse de fora. A respeito disso, podemos citar algumas aplicações

delas no campo da educação matemática, por exemplo: que estas podem agilizar cálculos, tal

aplicação é positiva desde que estes não sejam o foco da atividade desenvolvida; permite a

investigação, estabelecimento e validação de conjecturas acerca de propriedades de figuras

geométricas e elementos algébricos entre outros (BRASIL, 1998).

Neste sentido, Laborde e Capponi (1994) sugerem o uso de Ambientes Interativos de

Aprendizagem com Computador (EIAO), os quais possuem características que se apresentam

como vantagens sobre os outros ambientes. Por exemplo, comportam-se, em parte, de forma

independente de quem o utiliza, eles têm formas de funcionamento bem definidas e

“imutáveis”6; são fundamentados em conhecimentos matemáticos, ou seja, são produtos de

tecnologias fundamentadas em conhecimentos matemáticos e seguem a um conjunto de

primitivas e de restrições feitas em sua programação; e facilitam ações conceitualmente

complexas, pois agem de forma automática a certos comandos.

Exemplos claros desses ambientes são os softwares. Existem softwares que são

desenvolvidos exclusivamente para o ensino da matemática, que possibilitam o trabalho com

a álgebra, a aritmética, o cálculo, a geometria e alguns são conhecidos como softwares

recreativos, os quais são jogos eletrônicos que trabalham com primícias matemáticas. Há

também aqueles que foram desenvolvidos para outros fins, mas que pode ser utilizados neste

processo, como as planilhas eletrônicas.

Contudo, um EIAO exige de seu usuário certos conhecimentos acerca de seu

funcionamento e de como utilizá-lo. É justamente neste ponto que podemos notar um dos

desafios para a implementação das TIC no ensino de matemática: preparar os professores para

utilizar estes artefatos tecnológicos. Neste contexto, é plausível pensar que, se um profissional6 Essa imutabilidade se baseia na ideia de que ao alterar o código fonte de um programa, este passa a ser outro, semelhante, porém com funcionamento ligeiramente diferente.

32

utiliza uma ferramenta durante sua formação, será muito mais fácil para ele utiliza-la no

exercício da profissão, uma vez que ele adquirirá certa experiência com ela. Baseados nisso,

podemos inferir que se há cursos de formação de professores de matemática que não

oferecerem momentos adequados de utilização de softwares, os licenciados podem sair sem o

menor preparo para utilizar aplicativos matemáticos em suas aulas.

Além disso, tanto a não gratuidade quanto a língua, em que alguns softwares estão

escrito, podem ser fatores que causam resistência nos professores. De fato alguns aplicativos

possuem um preço um tanto quanto elevado, fazendo com que mesmo possuindo

funcionalidades interessantes, estes não sejam usados. Algo semelhante ocorre com relação a

língua. O fato de alguns programas não estarem escritos em português, ou em uma língua que

seja do dominada pelo professor, dificulta que ele aprenda a utilizá-lo.

Outro fator que pode interferir no processo de implementação das TIC, é o ambiente

físico da escola. As vezes os governos disponibilizam os materiais (computadores, lousas

digitais, tablet, etc.), porém, a escola não dispõe de um ambiente adequado para a instalação

destes. Há casos em que a rede elétrica não suporta os equipamentos, ou que não existe salas

adequadas para a instalação.

Mesmo quando a escola está preparada fisicamente para receber tais equipamentos, e

os professores sabem manuseá-los, corre-se o risco de ocorrer o uso exacerbado ou negligente

por parte destes. Acreditamos que um software educativo não é desenvolvido para entreter os

alunos, mas sim para auxiliá-lo no processo de aprendizagem, ainda que este se dê de uma

forma lúdica. Desse modo, as aulas, que utilizam artefatos tecnológicos, devem ser planejadas

tal como uma aula que utiliza recursos de outra natureza, ou seja, deve possuir objetivos a

serem alcançados seguindo-se determinados passos. Além disso, é necessário que os artefatos

tecnológicos sejam usados quando estes oferecem vantagens sobre outros meios.

Tal vantagem pode ser exemplificada pelos softwares de Geometria Dinâmica, os

quais possibilitam realizar construções geométricas e manipulação dos elementos (ponto, reta,

segmento de reta, etc.) destas. Essa manipulação pode permitir a identificação de propriedades

das construções. A percepção de tais propriedades poderia ocorrer com o uso de papel e lápis,

contudo seria muito mais trabalhosa, pois talvez fosse necessário realizar várias construções.

Este é um exemplo voltado para o ensino da geometria, que por sua vez, na educação

básica, consiste no estudo do espaço e das formas. Neste sentido, e sob a alegação de que as

33

formas tridimensionais são facilmente percebidas pelos nossos sentidos, os PCN sugerem que

o ensino da geometria seja iniciado por meio deles. Contudo a aprendizagem não depende

apenas da sequência dos conteúdos, mas também da forma como eles são ensinados.

3.1.4 Sobre ensino e aprendizagem de geometria

Por exemplo, se nas séries iniciais, os alunos estudam a geometria sem construir e

planificar sólidos geométricos, bem como compará-los com as figuras planas, conjectura-se

que a habilidade de reconhecer semelhanças e diferenças entre elas pode ficar comprometida.

Sem o desenvolvimento desta habilidade, fica inviabilizado o estudo das propriedades das

figuras geométricas, que são o foco do 3ª ciclo.

Entretanto, em que momento do seu processo de escolarização os alunos passarão, ou

deve passar, por esta mudança? Essa é uma questão pertinente, pois ela possibilitará que

esforços sejam direcionados para este nível escolar, afim de elaborar, ou utilizar, recursos que

possam contribuir nesse processo. Bem como, permitirá que o professor volte sua atenção

para este problema.

Essa mudança de foco pode enfrentar outro desafio, por exemplo, se os alunos e os

professores forem detentores de uma visão “estereotipada” dos entes geométricos. Esta visão

revela-se quando, por exemplo, há dificuldades de identificar um representante de um

quadrado, quando este está desenhado de forma que os lados não estejam paralelos aos lados

da folha ou lousa. Desconstruir este tipo de visão é uma das razões para o ensino de geometria

baseado figuras geométricas.

Outro aspecto que deve ser levado em consideração é a interpretação. Um mesmo

objeto pode produzir significados distintos em pessoas diferentes. Por exemplo, alguns favos

de mel ao serem vistos por uma pessoa “comum” são identificados apenas como o local onde

as abelhas depositam o mel. Porém um matemático pode ir um pouco além. Ele pode observar

que a forma semelhante a um prisma hexagonal lhe confere duas vantagens: aproveitamento

de espaço (cabem mais favos por unidade de área); capacidade de armazenagem, uma vez que

não há espaços vazios entre os favos. Assim como neste exemplo, as experiências e

conhecimentos influenciam na interpretação (reconhecimento) de um desenho como um

representante de uma figura geométrica.

A interpretação mencionada acima ocorre por meio da verificação (validação) das

propriedades geométricas impressas num desenho. O processo de averiguação das

34

características presentes numa representação pode ser realizada por meio do uso de artefatos

que são escolhidos de acordo com o suporte em que o desenho está construído. Por exemplo,

se o desenho foi construído sobre o papel, então tanto a régua graduada quanto o transferidor

podem ser transformados em instrumentos para a verificação das medidas dos lados de um

polígono bem como para a medição dos ângulos destes.

Contudo os suportes e as ferramentas de verificação possuem limitações. No

exemplo mencionado acima, devido as características do suporte, a representação é fixa o que

dificulta a verificação dos critérios utilizados na construção. E as ferramentas, a depender do

fabricante, podem possuir graduações imprecisas, fato que poderia desencadear problemas em

uma atividade, que envolva a comparação de resultados de medições, desenvolvida em sala de

aula. Devido a problemas como estes, e por outros que mencionaremos mais adiante , Laborde

e Capponi (1994) sugerem o uso de Ambientes Interativos de Aprendizagem com Computador

(EIAO). Um exemplo desse tipo de ambiente, que é bastante conhecido e amplamente

utilizado, é o Geogebra.

O Geogebra é um software de geometria dinâmica, desenvolvido por Markus

Hohenwarter, na Universidade de Salzburgo (Áustria) no ano de 2002 . Este aplicativo foi

escrito na linguagem Java, fato que lhe concede a possibilidade de rodar em várias

plataformas como Windows, Linux, Solares, Mechitoch, etc. O sistema tem ferramentas que

podem ser utilizadas em atividades de geometria, álgebra e cálculo. E por ser detentor de tais

características é que o Geogebra pode ser considerado um EAIO.

3.1.1 Sobre Geogebra

Em sua interface, o Geogebra possui um campo de entrada, por meio do qual é

possível criar diversos objetos como gráficos de funções, cônicas, polígonos, segmentos, entre

outros. Para tanto o usuário deve utilizar uma linguagem e uma série de comandos peculiares

do software. Por exemplo, para criar a função x² deve-se inserir x^2 e pressionar <enter>. E

para calcular a derivada desta função, inseri-se o comando Derivada[ x^2 ], então aparecerá o

gráfico da função f(x)=2x.

Para construir um triângulo equilátero com o lado medindo 6, deve-se usar a

ferramenta Segmento com Comprimento Fixo para criar um segmento depois, utilizando a

ferramenta Compasso, criar duas circunferência de raios iguais a medida do segmento, sendo

que o centro destas circunferências deve ser colocadas sobre as extremidades do segmento.

35

Ligando as extremidades do segmento com uma das interseções das circunferências, que é

marcada com a ferramenta Interseção de Dois Objetos, determinamos um triângulo equilátero

de lado 6.

Os exemplos citados nos dois parágrafos anteriores mostram que, para utilizar o

Geogebra no exercício da sua função, o professor não deve dominar somente os conteúdos

matemáticos, mas também é necessário que ele conheça o funcionamento, potencial e

limitações do programa. Desse modo, as possibilidades de subutilização do software são

minimizadas. Até porque, de nada adianta ter recursos metodológicos com um grande

potencial de ser utilizado para dar um diferencial às aulas, promovendo a aprendizagem, e não

saber utilizá-lo ou relacioná-lo com seus conhecimentos.

As dificuldades relativas a utilização do Geogebra podem ser sanadas por meio de

cursos ou de leitura individual de tutoriais encontrados em diversos sites na internet. Contudo

para que as potencialidades deste programa sejam exploradas adequadamente, seria mais fácil

se, tanto professores quanto alunos, já tivessem passado pelo processo de gênese instrumental7,

ou seja, se ele já tenham conhecimento sobre o “como utilizar” o programa para determinados

fins.

Como podemos notar o Geogebra mobiliza conhecimentos matemáticos que vão

desde a educação básica (construções geométricas) até a superior (integrais). Também é de

censo comum que ofertar um ensino de qualidade desde as séries iniciais pode ter implicações

positivas nos níveis mais elevados da educação. Então, de que forma o Geogebra pode ser

utilizado na melhoria da qualidade do Ensino Fundamental ofertado?

Este software possui ferramentas que podem ser utilizadas de diferentes formas. Aqui

destacamos a ferramenta Mover, que serve para selecionar objetos, bem como para deslocá-

los (movê-los). Essa possibilidade de deslocar objetos, por exemplo pontos, quando aplicada

sobre um dos vértices de um quadrilátero o deforma. Cada uma dessas “deformações” podem

ser vistas como um representante dos quadriláteros desde que se mantenham as propriedades

básicas de um quadrilátero.

Já mencionamos aqui algumas questões relacionadas a importância do ensino de

geometria para o desenvolvimento de habilidades relevantes para a percepção de mundo. E

que o ensino de geometria passa por uma mudança nos objetivos na passagem do 5º para o 6º

7 Situaremos e conceituaremos melhor esse processo definido dentro da Teoria da Instrumentação no Artigo I.

36

ano, pois neste momento é necessário que os alunos percebam a diferença entre um desenho e

figura geométrica. Diante disso, nos questionamos: Quais as possíveis contribuições do

deslocamento no Geogebra para a transição do desenho para figura no 6º ano do Ensino

Fundamental?

1.2 JUSTIFICATIVA

Nesta seção trataremos de apresentar uma série de razões e argumentos que ressaltam

a importância do desenvolvimento dessa pesquisa. Assim, tornaremos a falar das TIC no

ensino de geometria, sobre nossa escolha pelo uso do Geogebra e, de algumas pesquisas que

veem sendo desenvolvidas com ele.

1.2.1 TIC e o ensino da geometria

Nos PCN encontramos a seguinte afirmação:“O uso de alguns softwares disponíveis

também é uma forma de levar o aluno a raciocinar geometricamente.” (BRASIL, 1997, p. 83).

Esse tipo de raciocínio é fundamental em situações cotidianas e para execução de algumas

atividades por parte de profissionais do ramo da marcenaria, engenharia, coreografia, dentre

outras. E para estimular o desenvolvimento dessa natureza de pensamento, existem alguns

softwares que podem ser usados em tarefas de construção, visualização e/ou manipulação de

elementos geométricos.

Dentre os softwares matemáticos existentes, há aqueles que possuem ferramentas

desenvolvidas especialmente para o ensino de Geometria. Alguns desses programas permitem

a construção e manipulação de objetos geométricos (pontos, retas, polígonos, sólidos, etc.).

Os softwares matemáticos que possuem estas funcionalidades, são denominados de Software

de Geometria Dinâmica. Podemos citar alguns que são bastante conhecidos e utilizados:

Cabrí-Gèométrie, Geogebra, Régua e Compasso, Cinderela.

Ferreira; Soares e Lima (2009) ao discutirem sobre a importância das demonstrações

no Ensino de Geometria e das novas tecnologias na formação de professores, falam de alguns

benefícios oriundos da utilização desta categoria de softwares no ensino de geometria. Estes

autores assumem as ideias de Piaget sobre a aprendizagem, ou seja, que esta ocorre a partir da

ação do sujeito sobre o meio, desse modo, eles constataram que:

[...] os ambientes de geometria dinâmica foram identificados como um rico e

eficiente recurso que vem contribuir para a efetivação de uma proposta de

ensino que privilegia uma aprendizagem interativa, onde o sujeito é o agente

37

maior de sua aprendizagem [...] (FERREIRA; SOARES e LIMA, 2009, p.

185)

Eles perceberam que tarefas, nas quais os alunos têm que manipular construções

geométricas, possibilitam a interação do estudante com o conhecimento matemático, do

estudante com seus pares e diminui a necessidade de intervenções do professor. Desse modo o

sujeito (estudante) age sobre os elementos geométricos e desenvolve conhecimentos sobre

este. E ainda:

[...] o trabalho no ambiente de Geometria Dinâmica se constitui numa

alternativa eficiente no processo de formação de professores no sentido de

favorecer o uso das demonstrações, especialmente porque nesse ambiente é

possível contemplar tanto os aspectos conceituais quanto aos aspectos

didáticos da Geometria.” (op. cit., 2009, p. 204)

Percebemos aqui, que o uso da geometria dinâmica na formação de professores

contribui tanto para o desenvolvimento do conhecimento geométrico necessário para o ensino,

quanto para aquisição de experiência de sala de aula para este ensino. Ou seja, parece ser mais

“fácil” um professor, que teve experiências com uso de softwares durante sua formação,

utilizá-lo com mais eficiência, explorando mais o seu potencial, do que um professor que não

teve esta oportunidade fazê-lo. Além disso, os softwares de geometria dinâmica podem

constituir micromundos, ou seja, eles permitem o desenvolvimento de objetos que podem ser

modificados por meio da interação dos estudantes. Segundo Barros e Stivam (2012, p. 189),

essa interação “deve possibilitar a construção de novos objetos e, a partir dessas construções

concretas, acontecerão as mentais”

Essa mudança da construção concreta para a mental é exemplificada no trabalho de

Nogueira Farias e Farias (2007), que desenvolveram uma atividade com o Cabí-Gèométrie em

uma escola francesa, no qual a princípio os estudantes realizavam atividades de construção e

verificação de propriedades de figuras geométricas planas utilizando diretamente o programa.

Depois eles realizaram uma atividade na qual uma dupla de estudante tinha que dar as

instruções para outra dupla (que estava manipulando o computador) a fim de verificar se uma

dada construção era de fato um losango. Para solucionar esta tarefa, a dupla que dava as

instruções teve que mobilizar tanto as competências tecnológicas (uso do software), quanto às

competências geométricas desenvolvidas.

Neste trabalho o Cabrí-Géomètre foi usado para constituir um micromundo. Pois, os

38

micromundos permitem que a aprendizagem de conceitos matemáticos ocorra como fruto da

interação do indivíduo (estudantes) com o ambiente, sendo que nesta interação os estudantes

têm que mobilizar habilidades que já possuem. E para que ele utilize tais habilidades, o

ambiente deve apresentar-se de forma atrativa. Uma vez envolvidos, os alunos passam a

explorar seus conhecimentos matemáticos prévios e a construir novos (BARROS, STIVAM,

2012)

1.2.2 Porque escolhemos o Geogebra?

Já foi comprovado que os softwares matemáticos oferecem várias contribuições para

o desenvolvimento de competências matemáticas, nos estudante, necessárias para o exercício

da cidadania. No entanto, são tantas opções de programas, que o processo de escolha exige

alguns cuidados. Até porque o professor, com sua jornada de trabalho e outras atividades, não

dispõe de muito tempo para aprender a utilizar vários softwares. Neste sentido, para o

desenvolvimento desta pesquisa escolheremos o Geogebra.

Para listar as razões para escolha dita acima, Começaremos a pelo nome do software:

GEOmetria e álGEBRA, como se pode perceber, o Geogebra pode ser usado no ensino de

geometria, álgebra e ainda de cálculo. Ele é um programa gratuito cuja interface possui uma

barra de menu, a qual dá acesso grande parte das funcionalidades desse sistema. E ainda outra

barra, na qual é possível ter acesso rápido a diversas ferramentas que auxiliam na construção,

manipulação e exploração dos elementos criados, por exemplo, na Janela Gráfica (VER

ARTIGO 3 NO CAPÍTULO 2).

Essa janela gráfica é onde os elementos criados (gráficos, polígonos, pontos, linhas,

etc.) podem ser visualizados e movimentados. Ela possui eixos ordenados e malhas, os quais

auxiliam na construção dos objetos em estudo, e podem ser exibidos e ocultado de modo bem

simples. Na janela de álgebra são visualizados, na forma algébrica ou numérica, os elementos

que foram construídos. Nela aparecem os nomes dos objetos, as equações, etc.. Abaixo dessas

duas janelas, há um campo de entrada, no qual é possível inserir diversos comandos.

O Geogebra é considerado um programa de geometria dinâmica, contudo é

importante salientar que este pode ser usado em cálculos aritméticos (soma, adição,

multiplicação, fatoração, radiciação), assim como para representação gráficas e

algébricamente de equações, inequações, funções, polinômios entre outros. Disso temos que,

este programa pode ser usado para abordar diversos conteúdos. Sendo assim, um forte

39

candidato para aqueles professores que não dispõe de muito tempo.

Voltando-se para o uso do Geogebra, Jesus e Rolkouski (2012) identificaram três

categorias de utilização desse software, por meio da análise de relatos de professores, os quais

participaram de um curso de formação continuada no estado do Paraná. As três categorias

identificadas foram o uso do Geogebra: como lápis e papel; como comprovador de teoria; e

como disparador de atividades exploratórias.

Nessa primeira categoria (o Geogebra como lápis e papel) ocorre simplesmente a

mudança de suporte utilizado para realização da tarefa. Ou seja, uma atividade que poderia ser

desenvolvida utilizando papel e lápis passa a ser realizada no software. Desse modo o uso do

programa torna-se dispensável. Já o segundo caso (o Geogebra como comprovador da teoria)

caracteriza-se pela tentativa de persuadir o estudante acerca da veracidade do conteúdo

ministrado na aula. Por exemplo, utilizar o programa para comprovar que os lados opostos de

um paralelogramo são congruentes.

O Geogebra como um disparador de atividades exploratórias, que é a terceira

categoria listada, funciona pautada no dinamismo do sistema, o estudante manipula o software

e observa as mudanças, identificando padrões e elaborando e verificando conjecturas. Por

exemplo, o estudante pode construir alguns triângulos diferentes, e em cada um, medir seus

ângulos internos e depois somá-los, desse modo eles perceberão que a soma sempre será 180º.

Utilizando a ferramenta Mover, os alunos podem modificar a forma de um desses triângulos e

verificar que o resultado da adição dos ângulos internos se mantêm.

Desse modo percebemos que o Geogebra além do seu potencial para abordar vários

conteúdos matemáticos, também pode ser utilizado de diversas formas dependendo do

objetivo estabelecido para aula. Acrescente-se a isso a possibilidade de utilizar este software

como um eficiente meio de avaliação da aprendizagem dos alunos, como comprovou

Lombardo et. al. (2012). Inclusive o Geogebra possui uma ferramenta chamada Protocolo de

Construção, a qual possibilita rever os passos seguidos durante a realização da atividade.

Sendo assim, o professor pode, em um momento posterior a implementação da atividade

avaliativa, verificar se os procedimento utilizados pelos alunos foram corretos. Esse Protocolo

de Construção também é utilizado em várias pesquisas como uma importante fonte de dados.

1.2.3 Pesquisas que veem sendo desenvolvidas sobre o Geogebra

O Geogebra é um dos Softwares Matemáticos mais utilizados, e isso se deve tanto a

40

gratuidade, quanto as suas potencialidades, as quais são exploradas em pesquisas dos mais

variados temas do campo da matemática. Por exemplo, López (2012) explora as

potencialidades e analisa as contribuições deste programa na aquisição de competências

geométricas num curso de formação de professores. Enquanto que Santos et. al. (2012)

analisa a utilização do Geogebra no desenvolvimento do conceito intuitivo de integral

definida. Como ultimo exemplo citamos Lieban e Müller (2012) que divulgam uma série de

materiais, disponibilizados num site, as quais vêm contribuído para aprendizagem tanto de

alunos quanto de professores.

Nestes exemplos mencionados acima, notamos a presença do software Geogebra em

pesquisas, nacionais e internacionais, sobre formação de professores, aprendizagem de tópicos

específicos da matemática e melhoria das práticas pedagógicas com a inserção das TIC.

Mediante a isso, há que se ter cuidado com a maneira com a qual se utiliza este software em

sala, para evitar o uso excessivo e inadequado dele, ou seja, não sub-utilizar este recurso

metodológico.

1.2.4 Por que o presente trabalho é relevante?

Sem dúvida que o sub-uso é um risco eminente a inserção das novas tecnologias na

educação. E para que isso não ocorra, quando o professor começar a utilizá-las é importante

que ele tenha consciência do que quer alcançar ao trabalhar como software. Certamente este

objetivo varia conforme o nível escolar, e dos problemas inerentes a estes. Desse modo, o uso

do software deve ser direcionado para solucioná-lo. Porém o professor deve ter, no mínimo,

indícios de que trabalhar com esses recursos tecnológicos seja um método eficaz de encara a

problemática vivida por seus alunos.

E é justamente no sentido de subsidiar o professor, que esteja atuando no 6º ano do

Ensino Fundamental, no desenvolvimento de um trabalho com o ensino de geometria, que

possibilite que seus alunos possam fazer a transição do desenho para figura, que esta pesquisa

encontra seu valor. Assim, tem-se por objetivo instrumentalizar o uso do deslocamento no

Geogebra como forma de promover a passagem do desenho para figura no 6º ano do Ensino

Fundamental.

Desse modo, esta pesquisa trará a luz situações didáticas, que envolvem diversas

ferramentas do software Geogebra e o modo pelo qual estas pode ser utilizadas para permitir

que os alunos abandonem o trabalho sobre o desenho e passem a aprender as propriedades dos

41

entes geométricos, que é fundamental para que se dê continuidade a aprendizagem de

geometria nos níveis posteriores. Possibilitando que estes desenvolvam as competências

inerentes ao estudo das propriedades geométricas.

42

CAPÍTULO 2

ARTIGOS

Neste capítulo, apresentaremos quatro artigos prontos para a publicação, os quais

dissertam sobre as etapas da pesquisa intitulada a instrumentalização do deslocamento no

Geogebra: uma contribuição para a passagem do desenho para figura no 6º ano. A seguir

apresentarei os resumos e, posteriormente, os artigos na íntegra.

2.1 ARTIGO 1 – Bases Teóricas para a elaboração de um dispositivo experimental no

software Geogebra.

O presente artigo constitui a parte inicial de um trabalho de conclusão de curso intitulado: A

instrumentalização do deslocamento no Geogebra: uma contribuição para a passagem do

desenho para figura no 6º ano. Neste sentido buscamos apresentar as principais ideias da

Teoria Antropológica do Didático (TAD), da Teoria da Instrumentação e da Teoria das

Situações Didáticas (TSD) que nos nortearam no desenvolvimento da nossa investigação e na

elaboração de um dispositivo experimental que utiliza o software Geogebra. Para tal,

apresentamos a problemática Desenho-Figura, que é o cerne do trabalho, posteriormente

transcrevemos os principais postulados das referidas teorias e, exemplificamos como esses

influenciaram na construção do dispositivo experimental. Após isso, notamos que o

referencial teórico aqui apresentado permite que identifiquemos a natureza do problema, que

proponhamos uma série de atividades como possíveis soluções para estes e, que analisemos se

as soluções propostas efetivamente servem para tratar o problema.

2.2 ARTIGO 2 – Uma análise praxeológica das atividades propostas nos pcn e em livros

didáticos: situando a passagem do desenho para figura na educação básica.

Com este trabalho objetiva-se apresentar resultados de uma análise praxeológica das

propostas procedimentais e atitudinais encontradas nos Parâmetros Curriculares Nacionais e

das atividades nos livros didáticos. Tal análise foi desenvolvida para identificar em que

momento da Educação Básica o processo de Transição do Desenho para Figura ocorre, assim,

43

ela constitui a segunda parte da pesquisa de conclusão de curso intitulada: A

instrumentalização do deslocamento no Geogebra: uma contribuição para a passagem do

desenho para figura no 6º ano. Além da análise, trazemos a Problemática Desenho-Figura e a

Teoria Antropológica da Didática, as quais fundamentam a pesquisa como um todo. Assim,

nesta etapa, conseguimos situar a manifestação da Problemática Desenho-Figura no 6º ano do

Ensino Fundamental.

2.3 ARTIGO 3 – A elaboração de um dispositivo experimental

Há uma necessidade latente de que o ensino de geometria deixe de explorar apenas o

representante e se volte também ao trabalho simultâneo com as propriedades, ou seja, que o

trabalho de sala de aula abarque a figura em sua totalidade. Pensando nisso, realizamos

estudos teóricos e análises de documentos oficiais que nos guiaram na elaboração de

atividades instrumentadas com uso do Geogebra voltadas à abordagem da Problemática

Desenho-Figura. Assim, neste artigo apresentaremos um pouco das teorias que nos norteiam e

uma justificativa mais fundamentada das nossas razões para escolhermos o Geogebra. Além

disso, apresentaremos a análise, em termos das Organizações Matemática e Didáticas, da

primeira parte da atividade que elaboramos para promover transição do desenho para figura.

Uma vez feito isso, notamos o quanto o planejamento, e a análise desse, são importantes para

um bom desenvolvimento da atividade em sala.

2.4 ARTIGO 4 – Análise de uma atividade elaborada no geogebra para a transição do

desenho para a figura

Podemos identificar duas concepções que podem ser evocadas ao se tentar identificar um ente

geométrico, a do trabalho sobre o desenho e do trabalho sobre a figura. Essas duas forma de

trabalho constituem a Problemática Desenho-Figura. As causas e justificativas para a

existência dessas duas concepções podem ser encontradas por meio da análise do processo de

Transposição Didática. Tendo em vista essa problemática, criamos arquivos do Geogebra com

a finalidade de apoiar o professor em suas explicações e que ao mesmo tempo sirva de objeto

de exploração para os alunos. Tais construções foram feitas com um certo cuidado em não

44

deixar as figuras em posições tradicionais. E as teorias das Situações Didácticas e

Antropológica do Didático nos permitem realizar um planejamento mais detalhado, uma vez

que nos faz atentar para fatos que devem ocorrer em sala e para o papel a ser desempenhado

pelo professor e pelo aluno em determinados momentos. Com as análises realizadas, pudemos

notar que trabalhar com desenhos estáticos no papel é diferente da maneira de lidar com

construções feitas em softwares de geometria dinâmica. E em atividades instrumentadas o

professor não pode monopolizar a manipulação do Geogebra, pois é a manipulação direta que

propiciará ao estudante estabelecer a relação entre sua ação e a reação do software.

45

ARTIGO 1

BASES TEÓRICAS PARA A ELABORAÇÃO DE UM DISPOSITIVO

EXPERIMENTAL NO SOFTWARE GEOGEBRA

46

BASES TEÓRICAS PARA A ELABORAÇÃO DE UM DISPOSITIVO

EXPERIMENTAL NO SOFTWARE GEOGEBRA

Resumo

O presente artigo constitui a parte inicial de um trabalho de conclusão de curso intitulado: Ainstrumentalização do deslocamento no Geogebra: uma contribuição para a passagem dodesenho para figura no 6º ano. Neste sentido buscamos apresentar as principais ideias daTeoria Antropológica do Didático (TAD), da Teoria da Instrumentação e da Teoria dasSituações Didáticas (TSD) que nos nortearam no desenvolvimento da nossa investigação e naelaboração de um dispositivo experimental que utiliza o software Geogebra. Para tal,apresentamos a problemática Desenho-Figura, que é o cerne do trabalho, posteriormentetranscrevemos os principais postulados das referidas teorias e, exemplificamos como essesinfluenciaram na construção do dispositivo experimental. Após isso, notamos que oreferencial teórico aqui apresentado permite que identifiquemos a natureza do problema, queproponhamos uma série de atividades como possíveis soluções para estes e, que analisemos seas soluções propostas efetivamente servem para tratar o problema. Palavras-chave: TAD, TSD, Teoria da Instrumentação, Geogebra, Problemática Desenho-

Figura.

Abstract

This article is the first part of a course conclusion work entitled: The instrumentalization ofthe shift in Geogebra: a contribution to the transition from drawing to figure in the 6th year. Inthis regard we seek to present the main ideas of the Anthropological Theory of the Didactic(ATD), the Theory of Instrumentation and Theory of Didactic Situations (TDS) that guide thedevelopment of our research and development of an experimental device that uses softwareGeogebra. To this end, we present the design problem-figure, which is the heart of the work,then we transcribe the main postulates of these theories and, we exemplify how theseinfluenced the construction of the experimental device. After this, we note that the theoreticalframework presented here allows us to identify the nature of the problem, we proposed aseries of activities as possible solutions to these and, we examine whether the proposedsolutions effectively serve to treat the problem.Keywords: ATD; TDS; Instrumentation Theory; Geogebra; Problematic Drawing-Figure.

47

Introdução

Este artigo tem por objetivo apresentar as principais ideias das teorias – sobretudo

da Teoria Antropológica do Didático (TAD), da Teoria da Instrumentação e da Teoria das

Situações Didáticas (TSD) – que nos deram suporte para que compreendêssemos a

problemática desenho-figura e propuséssemos um dispositivo experimental utilizado o

software Geogebra que promovesse a passagem do desenho para figura em alunos do 6º ano

do Ensino Fundamental.

Para alcançarmos a meta anteriormente citada, necessitamos em um primeiro

momento reconhecer que dentro de um sistema educacional, no qual o ensino da matemática

se faz presente, a forma como as diferentes áreas desta matéria (álgebra, geometria e

aritmética), e os conteúdos relacionados a elas, têm aspectos que são trabalhados de formas

distintas em níveis diferentes desse sistema. A exemplo disso, temos a forma como os entes

geométricos são abordados nos diferentes níveis do sistema educacional brasileiro.

Esse tratamento diferenciado, dado a um mesmo elemento geométrico, pode ser

mais facilmente notado se observarmos os dois extremos da Educação Básica brasileira, a

saber, o os primeiros anos do Ensino Fundamental e o Ensino Médio. Essa diferença pode

ser inferida, numa perspectiva nacional, pela observância das atitudes, procedimentos e

conteúdos sugeridos nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), também a um nível

local, ao observarmos os livros adotados pelas instituições da rede básica de ensino e/ou a

própria postura dos professores que ensinam neste nível.

Neste sentido, podemos divisar que há um caminho percorrido, partindo do

Fundamental ao Médio, o qual sai do elementar ao mais complexo, do concreto ao abstrato.

Por exemplo, enquanto no Fundamental temos o estudo dos sólidos geométricos,

basicamente, pautado no reconhecimento visual destes entes, no Ensino Médio temos, ou em

tese deveríamos ter, uma exploração das propriedades destes elementos e um forte uso de

ferramentas algébricas para obtenção e/ou análise de suas características.

É intuitivo pensar que tais mudanças são dadas de forma gradual ao longo dos anos,

porém isso não é condição necessária e suficiente para afirmar que se dá de forma “suave” e

sem grandes problemas. E é justamente um desses câmbios de perspectiva do ensino da

geometria, que Laborde e Capponi (1994) nomeiam de Problemática Desenho-Figura. Em

linhas gerais esses autores defendem a tese de que a figura geométrica e o desenho, embora

48

tenham uma relação intima, não significam a mesma coisa.

Nesta distinção, as propriedades geométricas têm um papel central, uma vez que a

figura geométrica pode ser entendida como um conjunto de propriedades e uma de suas

representações, enquanto que o desenho é uma “tradução” das ideias, indicadas pelas

propriedades, para o mundo dos sentidos. Ou seja, a figura possui duas componentes

fundamentais, sendo uma delas um dos possíveis desenhos, que apesar de não ser único,

representam parcialmente o abstrato (as propriedades). Por exemplo, as figuras geométricas

denominadas como quadrado são quadrilátero de lados congruentes e ângulos internos retos,

e os desenhos abaixo (Figura 1) são representantes desse ente geométrico, pois evidenciam

as propriedades que caracterizam um quadrado.

Figura 1: Desenhos representantes de quadrado construídos no software Geogebra.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Há um aspecto inerente ao desenho que é a sua passividade com respeito as

interpretações dos sujeitos que lhe observa. Ou seja, quando um indivíduo observa um

desenho, ele o interpreta de acordo com suas experiências e conhecimentos (LABORDE;

CAPPONI, 1994), isso implica dizer que a compressão daquilo que o desenho representa é

um processo subjetivo. Para exemplificar, se um professor de matemática e uma pessoa que

não tenha uma formação matemática observarem a Figura 2 e forem questionados sobre o

que ela representa, em um primeiro momento, ambos podem dizer que é uma seta, no

entanto se solicitamos que digam se o desenho tem algum outro significado para eles,

49

certamente o professor poderá chegar a dizer que ela representa a junção de dois polígonos

(um quadrilátero e um triângulo).

Figura 2: Seta.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Essa interpretação da seta como a composição de elementos geométricos se justifica

pelos conhecimentos sobre as propriedades dos entes geométricos que o professor possui.

Quando um sujeito olha para um representante, por exemplo, de um quadrilátero e o

identifica como tal, é porque ele conseguiu notar as características geométricas que o

distinguem dos demais elementos da geometria.

Contudo, a forma pela qual os novos conhecimentos geométricos são integrados aos

conhecimentos que indivíduo já traz consigo, pode lhe conduzir a interpretações

equivocadas. Tais interpretações se revelam quando uma pessoa, diante de um problema de

geometria, acaba “enxergando” propriedades em um desenho, que na verdade não estão lá.

Por exemplo, se ao observar a Figura 2 o indivíduo afirma que ela é composta por um

retângulo e por um triângulo equilátero. Uma afirmação desta natureza evidencia que o

sujeito possui conhecimentos geométricos, mas também mostra que ele guiou-se pela

aparência do desenho e fez uma assertiva “preconceituosa”, uma vez que, não existem

evidencias concretas (ortogonalidade dos ângulos, congruência entre lados, etc.), nem

passíveis de dedução, que comprovem o que foi dito.

No tocante a este erro, de deduzir sem possuir primícias que garantam a inferência

lógica, tem seu epicentro no fato de que “o ensino de Geometria ignora as relações entre

objeto [figura] geométrico e desenho, silenciando sobre a distinção entre os dois ou agindo

como se um elo natural os unisse”(LABORDE; CAPPONI, 1994). Os abalos desse descuido

com o ensino da Geometria são causados por posturas assumidas pelos professores que, a

título de exemplo, sempre que vão representar um triângulo retângulo, o constroem com os

catetos paralelos as bordas do quadro, promovendo assim a idéia de que o objeto geométrico

chamado triângulo retângulo só possui uma representação variando basicamente a medida

dos lados. Outra forma pela qual os abalos se manifestam, é quando em determinados níveis

50

de ensino, o trabalho se fundamenta em nomear, em lugar da manipulação das propriedades.

Essa problemática vem sendo tratada em diversos trabalhos tanto no âmbito

nacional quanto internacional. Comprovamos isso com o trabalho de Nogueira Farias e

Farias (2007) e Farias (2013) que apresentam uma proposta, desenvolvida em uma escola

francesa, envolvendo o uso da ferramenta deslocamento do Cabri-Gèométrie e as

características dinâmicas deste software como uma forma de tratar essa problemática.

Ferragina et. al. (2012) propõe uma reflexão sobre construção de triângulos com o uso do

software Geogebra como uma forma de promover a passagem do trabalho sobre o desenho

para o trabalho sobre a figura. Também explorando as construções, Itzcovich (2005) traz

uma série de atividades que busca dá um tratamento a vários temas relacionados ao ensino

de Geometria inclusive à Problemática Desenho-Figura.

Esses trabalhos destacam a relevância de se ofertar certa atenção a diferença entre

desenho e figura no processo de ensino de geometria. Desse modo, com a intenção de

apresentar uma proposta de tratamento dessa problemática, buscamos no decorrer deste texto

falar sobre as principais referencias teóricas que nos auxiliaram na compreensão da

problemática; na localização, dentro do sistema de ensino brasileiro, quando ocorre a

mudança do trabalho sobre o desenho para o sobre a figura geométrica; na elaboração de

situações de ensino que contribuíssem para a transição do desenho para figura; na utilização

de ferramentas tecnológicas para esse fim; e na análise dos resultados obtidos.

As principais teorias que lançamos mão foram a Teoria Antropológica do Didático,

Teoria das Situações Didáticas e Teoria da Instrumentação, todas elas se inserem dentro do

conjunto das teorias que compõem a Didática da Matemática francesa. Falaremos mais

adiante sobre elas, contudo, começaremos caracterizando metodologicamente a parte da

nossa investigação para a qual esse artigo está dedicado.

Metodologia

A parte da pesquisa relatada neste artigo tem um caráter de estudo bibliográfico,

pois não fala do processo de experimentação em si, limitando-se a apresentar: os estudos

teóricos acerca da Problemática Desenho-Figura e sua relevância para o ensino de geometria;

a Teoria Antropológica do Didático, principalmente a idéia de transposição didática e os

elementos da sua vertente praxeológica; a Teoria das Situações Didáticas e de como ela

51

aborda as relações entre os principais elementos (professor, aluno, saber e meio) presentes

nos processos de ensino e aprendizagem; e como a Teoria da Instrumentação distingue e

explica as forma de uso de ferramentas tecnológica – potenciais instrumentos que vão desde

os mais convencionais como os livros didáticos, ao mais atuais como softwares – no

tratamento de problemas de natureza cognitiva.

Essas teorias, e seus principais conceitos, foram estudados e relacionados com as

partes da investigação, as quais elas dariam assistência. Por exemplo, o estudo da TAD e de

seu conceito de transposição didática nos conduziram a analisar os PCN, posteriormente, os

livros didáticos para localizarmos em que ano (nível da educação básica) deve ocorrer a

mudança do trabalho sobre o desenho para o trabalho sobre a figura nas aulas de geometria.

Por meio desse tipo de associação é que justificamos a presença de cada uma delas no nosso

trabalho. Assim sendo, discorremos nas próximas seções sobre essas teorias.

As Teorias

Teoria Antropológica do Didático

A Teoria Antropológica do Didático foi proposta por Yves Chevallard e se insere

dentro das teorias de base da Didática da Matemática, e esta distingue os saberes em três

tipos de acordo com a proximidade com o ato de ensino. Destes o Saber Sábio se caracteriza

por ser o estágio de um saber quando este se configura como tal, ou seja, quando um

conjunto de conhecimentos adquire o estatuo de saber. Ele é também chamado de Saber de

Referência, pois é ele quem serve de fonte para o Saber a Ensinar, que como o próprio nome

sugere, é aquele saber que possui um potencial, reconhecido socialmente, para ser ensinado.

Porém, esse segundo nível do saber ainda é diferente daquele que de fato é ensinado pelos

professores em sala, o qual é denominado de Saber Ensinado.

O processo que diferencia cada um dos três saberes, apresentados anteriormente, é

denominado de Transposição Didática. Contudo, o processo transpositivo não se restringe a

transportar uma parte do Saber de Referência para o nível do Saber a Ensinar, e/ou deste

último para o Saber Ensinado. Pois no ínterim desse fenômeno o saber passa por uma

transformação (adaptação) que o diferencia do estado anterior.

A princípio a idéia da Transposição Didática – enquanto processo que separa o

Saber Sábio do Saber Ensinado – nos fala da diferença entre, por exemplo, a matemática

acadêmica, aquela praticada em instituições de nível superior, e a matemática escolar que já

52

conhecemos. No entanto, o processo transpositivo chama a atenção para os elementos que

influenciam nessa diferenciação, e como eles se organizam em diferentes esferas.

A exemplo desses elementos, temos o professor, o estudante e o saber que, ao

estabelecerem relações ente si, compõem um Sistema Didático, do qual falaremos mais

adiante quando abordarmos a TSD. Os diversos sistemas didáticos possuem um entorno mais

imediato chamado de Sistema de Ensino, o qual trata, dentre outras coisas, de assegurar a

formação de grupos de sistemas didáticos de forma que estes sejam viáveis. Este por sua vez,

possui um entorno bastante complexo, a sociedade. Contudo, tomamos dos elementos

constituintes da sociedade ao redor de um sistema de ensino apenas os pais, os acadêmicos –

que no nosso caso são os matemáticos – e o órgão do governo responsável pelo Sistema de

Ensino. Chevallard (1991) denomina este entorno de Noosfera, e afirma que:

É esta [Noosfera], a qual procederá a seleção dos elementos do Saber Sábioque, designamos como “Saber a Ensinar”, serão então submetidos aotrabalho de transposição; também é ela que assumirá a parte visível dessetrabalho, o qual podemos chamar de trabalho externo da transposiçãodidática, por oposição ao trabalho interno, que se realiza no interior dosistema de ensino, posterior a introdução oficial dos novos elementos noSaber Ensinado.(CHEVALLARD, 1991, p. 36)

Essas ideias da TAD, expostas até aqui, nos revelam que se desejamos saber o que

ensinar e em que momento ensinar, devemos buscar essas informações dentro da Noosfera e

posteriormente do Sistema de Ensino. No caso da nossa investigação, necessitávamos saber

se em algum momento as propriedades geométricas ocupavam um lugar de destaque no

ensino de geometria. Para tal, observamos que a educação no Brasil é de responsabilidade do

Ministério da Educação e Cultura, e esse possui documentos oficias que trazem sugestões de

procedimento, atitudes e conteúdos que podem ser utilizados na Educação básica.

Os documentos referidos anteriormente são os Parâmetros Curriculares Nacionais, o

qual organiza o Ensino Fundamental em quatro ciclos. Então, de posse desses documentos,

observamos as indicações para o trabalho em cada ciclo e, dessa forma, percebemos a

existência de indicações de um trabalho sobre o desenho em um ciclo e ao passar para o

ciclo seguinte as sugestões revelavam um trabalho sobre as propriedades das figuras

geométricas. Porém, os ciclos são compostos por mais de uma série escolar. Assim sendo,

para sabemos em que ano8 do Ensino Fundamental, mais precisamente, ocorre essa mudança

8 O Ensino Fundamental é atualmente dividido em 9 ano, sendo cinco destes constituem o que chamamos de Fundamental I e se divide em 1º e 2º ciclos, e quatro deles compõem o Fundamental II divido em 3º e 4º ciclo sendo que cada um contem dois ano.

53

de postura, recorremos aos livros didáticos que são regulamentados pelo Programa Nacional

do Livro Didático (PNLD)9. O PNLD julga quais livros podem ser adotados por instituições

da rede pública de ensino – as quais estão inseridas no entorno mais próximo ao sistema

didático – porém são as instituições (colégios e escolas) que optam por adotar um livro ou

outro.

Para efetuarmos a análise dos PCN dos livros didáticos, dita acima, nos baseamos

em outra ideia da TAD, que afirma que um objeto do saber não pode existir por si mesmo,

no vácuo, (HENRIQUES et. al., 2007) ele só passa existir quando podemos identificá-lo nas

práticas realizadas em uma instituição (sugestões dos PCN, atividades dos livros didáticos,

aula, etc.) ou por pessoas pertencentes a esta instituição. Desse modo, a vertente

praxeológica da TAD surge como um modelo de análise das práticas institucionais e pessoais

em torno de um objeto do saber. Essa vertente descreve as práticas fazendo uso de quatro

noções:

Tarefa: é adotado o símbolo T para representar um tipo de tarefaidentificado numa praxeologia, contendo ao menos uma tarefa t. Essa noçãosupõe um objeto relativamente preciso. Por exemplo, calcular o produto dedois números naturais, é um tipo de exercício, mas calcular, assim isolado, éum gênero que requer um determinativo.Técnica: denotada por τ, é uma maneira de fazer ou realizar um tipo deexercícios T. Com efeito, uma praxeologia relativa a T, necessita demaneiras de realizar os exercícios t ∊ T, isto é, de uma técnica, do gregotekhnê, que significa saber-fazer. Assim, para um dado tipo de tarefa T,existe, em geral, uma única técnica, ou ao menos um conjunto de técnicasreconhecidas institucionalmente e que permitem também realizar t ∊ T.Tecnologia: denotada por θ, é um discurso racional (o logos) tendo porobjetivo justificar a técnica τ, garantindo que esta permita realizar osexercícios do tipo T. Uma segunda função da tecnologia é a de explicar,tornar compreensível a técnica. Se a sua primeira função – justificar atécnica – consiste em assegurar que a técnica alcance o objetivo, a segundafunção – explicar - consiste em expor o porque fazer de tal maneira. Teoria: representada por Θ, tem a função de justificar e tornarcompreensível uma tecnologia θ.(FARIAS et. al., 2013, p.43)

Quando destacamos estas quatro noções de uma atividade em análise, estamos

destacando o que é que está sendo pedido (ao aluno), quais os métodos para realizar o

que está sendo pedido e porque esses métodos funcionam. Os dois primeiros destaques

são atribuições do chamado bloco saber-fazer, compostos pelas noções de Tarefa e Técnica,

9 Para mais informações sobre o PNLD pode-se acessar o site do MEC: http://portal.mec.gov.br/index.php?Itemid=668id=12391option=com_contentview=article.

54

já o ultimo destaque se refere ao bloco do saber, representado pela Tecnologia e a Teoria.

Por exemplo, se um livro apresenta um quadrilátero, do qual uma de suas diagonais

é dada, dizendo que este é um retângulo e solicita a medida da outra diagonal e que a

resposta seja justificada (Tarefa), notamos que o livro explora uma propriedade dos

retângulos, que é a congruência das suas diagonais. A resposta para essa tarefa poderia ter

sido dada seguindo dois caminhos (Técnicas): observando no desenho que as diagonais eram

aparentemente iguais (τ1); ou baseados nas propriedades dos retângulos afirmar que a outra

diagonal tem que ter mesma medida (τ2). O uso da τ1 caracterizaria que este ainda trabalha

sobre o desenho, porém se identificamos o uso da τ2 então, temos um trabalho sobre a

figura. A depender de qual das Técnicas é considerada válida pelo livro em análise é que

poderemos dizer que tipo de trabalho é realizado.

Agora, o funcionamento do ponto de vista matemático desse bloco prático-técnico

nos é fornecido pelo bloco tecnológico-teórico, composto pelas noções de Tecnologia e

Teoria. Uma vez chegado a este ponto, necessitamos compreender melhor, num nível mais

interno, como se dá a passagem do trabalho sobre o desenho para o sobre a figura. Ou seja, o

nível dos Sistemas Didáticos, que é onde realmente desejamos intervir. Para isso, nos

baseamos na Teoria das Situações Didáticas.

Teoria das Situações Didáticas

A TSD é uma das principais contribuições teóricas do professor Brousseau, o qual

se dedica a estudos relacionados a Didática da Matemática desde os ano 70. E essa teoria se

volta, essencialmente, para o estudo das relações entre o professor, o estudante, e o saber, e

dá significativa importância ao meio em que essas relações são estabelecidas. Enquanto os

três elementos se relacionam, o meio se comporta de forma autônoma, segundo as

características inerentes a sua constituição. Por exemplo, o gráfico de uma função polinomial

do 1º grau representada num software de geometria dinâmica tem sua inclinação alterada

quando o parâmetro que representa o coeficiente angular tem seu valor alterado e, esse

comportamento segue padrões preestabelecidos em sua programação pautada em conceitos

matemáticos, e não varia com a alternância de usuários.

E se esse meio e outros elementos são postos no entorno do aluno com a finalidade

de contribuir para o desenvolvimento da componente matemática da formação dele, temos aí

constituída uma Situação Didática, as quais são classificadas por Brousseau (2007) em

55

quatro tipos: Situação de Ação; Situação de Formulação; Situação de Validação; e Situação

Institucionalização.

Em uma Situação de Ação o sujeito atua diretamente sobre o meio e:

Se o meio reage com certa regularidade, o sujeito pode vir a relacionaralgumas informações com suas decisões, a antecipar suas reações e levá-laem conta em suas futuras ações(BROUSSEAU, 2007, p. 24)

Baseando-nos nessa ideia, elaboramos situações didáticas, nas quais o software

Geogebra constituía o meio antagônico sobre o qual o sujeito (estudantes) agiria

manipulando representantes de entes geométricos, e a reação do programa –

desaparecimento ou manutenção das características visíveis – poderiam reafirmar ou

modificar os conhecimentos dos alunos acerca daquele ente. E esse processo, Nogueira e

Farias (2007) afirmam ser o potencial que um software de geometria dinâmica possui de

validar ou invalidar a existência de uma propriedade em uma construção geométrica.

Contudo, antes que o sujeito valide ou invalide qualquer propriedade, por meio da

manipulação do software, podemos notar que se configura uma Situação de Formulação.

Esse tipo situação ocorre quando o indivíduo organiza e/ou retoma um conhecimento

baseando-se nas informações coletadas durante a situação de ação. Por exemplo, ao mover

alguns elementos (pontos, lado, etc.) da construção de um paralelogramo, o aluno observa

que ele consegue ampliá-lo ou reduzi-lo, no entanto, ao observar as medidas dos lados

opostos, percebem que estas se alteram, mas permanecem iguais entre si.

No exemplo acima, após ter percebido (e/ou enunciado) a suposta propriedade do

paralelogramo, o aluno segue manipulado para certificar-se de que ela é verdadeira. Ou seja,

ele inicia uma Situação de Validação, na qual ele busca corrigir possíveis equívocos em sua

percepção. E elabora argumentos capazes de convencer a si ou a outra pessoa em seu entorno

(colegas ou professor).

Nota-se que as três situações descritas até aqui possuem uma base bastante

subjetiva, ou melhor, dependem de forma incontestável do conhecimento, da habilidade e da

percepção do estudante. Desse modo, surge a necessidade de separar (não por completo) esse

novo conhecimento da situação da qual ele emergiu, e relacioná-lo a um saber. E cabe ao

professor promover Situações de Institucionalização, nas quais ele garante a consistência,

eliminando as contradições e assim concede ao conhecimento o estado cultural de saber.

Além das ideias acima, temos que na Teoria das Situações o conhecimento e o saber

56

são elementos distinguíveis. Assim o conhecimento é visto como “meio transmissível (por

imitação, iniciação, comunicação, etc.)” enquanto que o saber “é o produto cultural de uma

instituição e tem por objetivo identificar, analisar e organizar os conhecimentos afim de

facilitar sua comunicação” (BROUSSEAU, 2007, p. 28). Pautados nessa distinção,

buscamos dentro do saber geométrico aquele que desejamos que os alunos tenham contato,

aqueles conhecimentos que poderiam ser comunicados, a princípio, por meio da

manipulação do software.

Em um sistema didático, é papel do professor selecionar situações para que o aluno

aprenda. Diante de tais situações, os estudantes podem criar outras situações das quais o

professor não tem nem controle nem influência direta. Tais situações são denominadas de

Situações Adidáticas. Embora o nome sugira a ausência ou fuga do ato de ensinar, o

professor pode por meio da escolha de variáveis didáticas – que são um tipo de variável

cognitiva, cuja alteração de seus valores pode provocar mudanças em um conhecimento –

dentro das situações propostas, pode fazer com que as situações adidáticas contribuam para

fins didáticos.

Por exemplo, o professor pode propor uma situação a qual exija que o aluno

movimente um dado ponto no plano. Esse ponto pode ser livre e, assim, a possibilidade

movê-lo poderia sugerir a existência de infinitos pontos no plano, ou a ideia de ponto como

uma posição no plano. Ou ainda, o ponto poderia está fixo em uma reta, o que restringiria

seus movimentos em uma dimensão, caracterizando assim uma reta como um objeto

geométrico unidimensional. Além de está sobre uma reta, o ponto, a ser movimentado,

poderia manter uma relação de equidistâcia de um terceiro, o que permitiria que o estudante

entendesse o conceito de pontos equidistantes. Notemos nesses exemplos, que a relação de

um ponto com os demais é uma variável que pode ser manipulada pelo professor a fim de

promover a aprendizagem de diferentes conhecimentos.

57

Figura 3: Um dos elementos do dispositivo, no qual G e J são equidistantes em relação a H.

Fonte: Elaborado pelo autor.Teoria da Instrumentação

Uma ferramenta tecnológica é desenvolvida para auxiliar o homem na execução de

alguma atividade. Porém, de nada adianta existir uma tecnologia, que foi construída para a

realização de uma tarefa específica, se a pessoa que a realizará não souber utilizar tal

tecnologia, ou pior, se fizer uso incorreto dela, o que poderia ocasionar atrasos ou o não

cumprimento da atividade. Por exemplo, existe uma ferramenta elétrica capaz de apertar e

folgar parafusos de modo automatizado, contudo se a pessoa não souber manuseá-la, então a

utilizará como se fosse uma chave comum, ou ainda, não fará uso deste artefato.

Neste sentido, a Teoria da Instrumentação, desenvolvida por Rabardel (1995), trata

da ergonomia cognitiva e abrange tanto o aprender a usar uma ferramenta (martelo,

calculador, software, etc.), quanto o aprender sobre um objeto do conhecimento por meio da

utilização de uma ferramenta tecnológica. Por exemplo, essa teoria discursa sobre o

processo, no qual o professor aprende a utilizar o software matemático e sobre como ele

deve utilizar esse instrumento em suas aulas a fim de contribuir para o aprendizado dos seus

alunos sobre o conteúdo tratado na aula.

Para que possamos compreender como essa teoria aborda os temas acima

destacados, necessitamos inicialmente conhecer três conceitos básicos, são eles: o artefato

que pode ser entendido como um dispositivo material utilizado como meio de ação do

sujeito (estudante, professor, etc.) sobre o objeto do conhecimento (linguístico, matemático,

etc.); a gênese instrumental, pode ser compreendida como sendo um procedimento no qual

58

as características do artefato (potencialidades, limitações, etc.) são aliadas às ações, ou

habilidades, do sujeito, bem como às suas experiências e conhecimentos prévios dando

origem ao instrumento, o qual é definido por Henriques et. al. (2007):

como uma entidade mista formada por dois componentes: Por um lado, umartefato (material ou simbólico) produzido pelo sujeito ou por outros. Deoutro lado, um (ou vários) esquema(s) de utilização associado(s),resultante(s) de uma construção própria do sujeito, autônomo ou de umaapropriação de ESU (Esquemas Sociais de Utilização), estes já formadosexternamente a ele. (op. cit., 2007, p.4)

As múltiplas interações entre este instrumento (i), o sujeito (S) e o objeto (O), são

evidenciadas pelo modelo de Situações de Atividades Instrumentadas (SAI). Por meio deste

modelo é possível identificar e estudar as seguintes relações: S – O (sujeito - objeto); S – i

(sujeito – instrumento); i – O (instrumento – objeto); S(i) – O (sujeito – objeto mediado pelo

instrumento). Dentro da especificidade dessa pesquisa em desenvolvimento, temos como

potencial instrumento o Software Geogebra, e o sujeito ao qual voltamos nossa atenção é o

estudante, que é aquela pessoa sobre a qual desejamos saber, se diante de uma atividade

geométrica, ela trabalha sobre o desenho ou sobre a figura geométrica, que por sua vez é o

nosso objeto de conhecimento matemático. No caso dessa pesquisa, o foco estará na relação

[S(i) – O], pois esta tem por objetivo analisar as contribuições do Geogebra para a passagem

do desenho para a figura no 6º ano (neste caso os sujeitos são os alunos do 6º ano)

Figura 4: Representação gráfica do modelo de Situações de Atividades Instrumentadas.

Fonte: Elaborado pelo autor inspirado em Henriques et. al. (2007)

Um dos postulados dessa teoria é de que um dado artefato não é a princípio um

instrumento, e para que se torne em um instrumento ele terá que passar por um processo de

gênese instrumental, no qual conhecimentos e experiências do sujeito são aliados as

potencialidades do artefato. Essa gênese pode ser de dois tipos (ou dimensões). A primeira

delas está voltada para a relação S – i, ou seja, volta-se para que o sujeito aprenda a utilizar o

59

instrumento, e tal dimensão é chamada de Instrumentação. E a segunda dimensão,

denominada Instrumentalização, se incube daqueles processos em que o sujeito S “atribui ao

instrumento uma possibilidade de agir sobre o objeto O” (HENRIQUES et. al, 2007, p. 55),

ou seja, está voltada para a relação i – O .

Baseado-nos nessas duas dimensões da gênese instrumental, o dispositivo

experimental elaborado buscará propiciar que os estudantes aprendam a utilizar o Geogebra,

explorando para isso a intuitividade da interface gráfica do software. Além disso, as

atividades elaboradas estabelecerão que a relação do aluno com o objeto matemático da aula

dar-se-á por meio das características dinâmicas do Geogebra.

Considerações Finais

Esses estudos, que vêm sendo realizados durante a construção do trabalho de

conclusão de curso denominado A Instrumentalização do Deslocamento no Geogebra: uma

contribuição para a passagem do desenho para figura no 6º ano, tem-nos revelado a

importância de se propor ferramentas para o tratamento da problemática Desenho-Figura,

que se trata de um problema relativamente complexo e que urge de uma abordagem teórico-

prática.

No que diz respeito ao aspecto teórico, nesse trabalho, notamos o quanto e como as

teorias listadas nos norteiam no desenvolvimento do trabalho. Com respeito a isso,

(HENRIQUES et. al., 2007), apresentam as referências teóricas como mecanismos essenciais

para o bom desenvolvimento de investigações na área da Didática da Matemática, ao passo

que, diante de um fenômeno didático, poderemos por meio delas, compreender e interpretá-

lo.

Com isso, notamos que o referencial teórico, aqui apresentado, nos propiciou uma

visão mais detalhada da natureza da problemática Desenho-Figura, inerentes ao ensino de

geometria a partir do 6º ano do Ensino Fundamental. E pautados nessa perspectiva

elencamos algumas nuanças fundamentais para a elaboração de uma atividades que utilizem

o software Geogebra e as propuséssemos como sendo possíveis soluções para a

problemática. Além disso, encontramos, em nosso referencial, ferramentas que nos serão

úteis para avaliar os resultados da implementação da solução proposta.

60

Referências

BROUSSEAU, G. Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas.Tradução: Dilma Fregona. 1ª ed. Buenos Aires: Libros Zorzal, 2007. 128 p. (FormaciónDocente)

CHEVALLAR, Y. La transposición didáctica: del saber sabio al saber enseñado. Argentina:Aique Grupo Editor S.A., 1991

FARIAS, L. M. S. Contribuições do cabri geometre II plus para a passagem do desenhopara figura no ensino de matematica. In: Congreso Internacional Euro-Iberoamericanosobre la Formación del Profesorado de Educación Secundaria. Reflexión, Análisis ypropuestas, 2013, Madrid. Congreso Internacional Euro-Iberoamericano sobre la Formacióndel Profesorado de Educación Secundaria. Reflexión, Análisis y propuestas. Madrid: UNED,2013. v. II. p. 349-352.

FARIAS, L. M. S. ; MAIA, S. M. S. ; NEVES, K. S. Análises didáticas à luz da teoriaantropológica do didático.. In: X COLÓQUIO NACIONAL E III COLÓQUIOINTERNACIONAL DO MUSEU PEDAGÓGICO, 2013, VITÓRIA DA CONQUISTA. Aprodução do conhecimento no limiar do século XXI: tendências e conflitos. Vitória daConquista: MUSEU PEDAGÒGICO, 2013. p. 36-56.

FERRAGINA, R; AMMAN, S.; BIFANO F.; CICALA, R.; GONZÁLEZ, C.; LUPINACCI, L. Geogebra entra al aula de matemática. 1º ed. Buenos Aires: Miño y Dávila, 2012.

HENRIQUES, A. ; ATTIE, J. P. ; FARIAS, L. M. S. Referências teóricas da didáticafrancesa: análise didática visando o estudo de integrais múltiplas com auxílio do softwareMaple. Educação Matemática Pesquisa (Impresso), v. 9, p. 1-168, 2007.

LABORDE C.; CAPPONI B. Aprender a ver e a manipular o objeto geométrico além dotraçado no Cabrri-Géomètre. Em Aberto, Brasilia, ano 14, n. 62. abr./jun. 1994.

NOGUEIRA FARIAS, V.L.; FARIAS, L. M. S. Construção de situações de aprendizagemem geometria plana utilizando o software cabri-geomètre: o deslocamento no ambientecomputacional cabri-geomètre.. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃOMATEMÁTICA, 2007, Belo Horizonte. Diálogos entre a pesquisa e a prática educativa, 2007.v. 1.

RABARDEL, Pierre. Les hommes et les technologies. Paris: Armand Colin, 1995.

61

ARTIGO 2

UMA ANÁLISE PRAXEOLÓGICA DAS ATIVIDADES PROPOSTAS NOS PCN E EM

LIVROS DIDÁTICOS: SITUANDO A PASSAGEM DO DESENHO PARA FIGURA

NA EDUCAÇÃO BÁSICA.

62

UMA ANÁLISE PRAXEOLÓGICA DAS ATIVIDADES PROPOSTAS NOS PCN E EM

LIVROS DIDÁTICOS: SITUANDO A PASSAGEM DO DESENHO PARA FIGURA NA

EDUCAÇÃO BÁSICA.

Resumo

Com este trabalho objetiva-se apresentar resultados de uma análise praxeológica daspropostas procedimentais e atitudinais encontradas nos Parâmetros Curriculares Nacionais edas atividades nos livros didáticos. Tal análise foi desenvolvida para identificar em quemomento da Educação Básica o processo de Transição do Desenho para Figura ocorre, assim,ela constitui a segunda parte da pesquisa de conclusão de curso intitulada: Ainstrumentalização do deslocamento no Geogebra: uma contribuição para a passagem dodesenho para figura no 6º ano. Além da análise, trazemos a Problemática Desenho-Figura e aTeoria Antropológica do Didático, as quais fundamentam a pesquisa como um todo. Dessemodo, nesta etapa, conseguimos situar a manifestação da Problemática Desenho-Figura no 6ºano do Ensino Fundamental.Palavras-chave: Passagem do Desenho para Figura, Teoria Antropológica do Didático,Praxeologia, 6º Ano.

A PRAXEOLOGICAL ANALYSIS OF THE PROPOSED ACTIVITIES IN PCN AND

TEXTBOOKS: SITUATING THE PASSAGE OF THE DRAWING TO FIGURE IN

BASIC EDUCATION.

Abstract

In this paper we report results of an praxeological analysis of the Parâmetros CurricularesNacionais and textbooks. This analysis is designed to identify at what time of the BasicEducation the Transition Process of the Drawing to the Figure occurs, so it is the second partof the research entitled: The instrumentalization of the displacement in Geogebra: acontribution to the passage of drawing to figure in the 6th year. Further the analysis, we bringProblematic Drawing-Figure and Anthropological Theory of Didactics, which underlie theresearch as a whole. Thus, at this stage, we place the Problematic Drawing-Figure in the 6thyear of elementary school.Keywords: Passage of the Drawing to Figure, Anthropological Theory of Didactics,Praxeology, 6th Year.

63

Introdução

Este artigo é produto da análise inicial dos dados de uma pesquisa de conclusão de

curso desenvolvida na Universidade Estadual de Feira de Santana. Essa investigação

fundamenta-se essencialmente na problemática estabelecida sobre a diferença entre desenho e

figura geométrica, (LABORDE; CAPPONI, 1994), a qual está diretamente relacionada com a

geometria e seu ensino na Educação Básica. No presente trabalho, além dessa problemática,

traremos considerações acerca da Teoria Antropológica do Didático (TAD), a qual abrange o

estudo das relações existentes entre instituição, pessoa e objeto do conhecimento

(CHEVALLARD, 1992) e pode ser considerada a coluna vertebral de todo nosso trabalho.Neste sentido, o presente artigo busca apresentar os resultados de uma análise

praxeológica da organização matemática presente nos Parâmetros Curriculares Nacionais e

nos livros didáticos. Em princípio apresentaremos a diferença entre desenho e figura, depois

teceremos alguns comentários sobre a TAD, a metodologia empregada, e então a análise dos

dados, como se pode ver nas seções subsequentes.

A Diferença entre Desenho e Figura GeométricaVejamos a seguinte tarefa:

Figura 1: Atividade construída no software Geogebra.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Diante da atividade apresentada acima, muitos não hesitariam em calcular o produto

das medidas dos lados do quadrilátero exposto, obtendo como resultado 6 unidades de área, e

dada as dimensões do triângulo, fazer uso da fórmula inerente ao cálculo da área deste, e obter

também 6 unidades de área. Desse modo poderíamos concluir que as áreas são iguais.Porém a resolução descrita acima estaria incorreta em decorrência de um equívoco

64

relacionado ao cálculo da área do quadrilátero. O equivoco consistiria em considerar o

quadrilátero um retângulo quando não há indícios, nem no desenho nem no enunciado da

questão. Tal engano decorre de uma interpretação baseada no desenho e não sobre a figura

geométrica.Este equivoco pode ser melhor compreendido ao distinguirmos desenho geométrico

de figura geométrica. Tal distinção, apresentada por Laborde e Capponi (1994), pode ser

entendida, de modo sintético, como sendo o desenho uma entidade material sobre um suporte

(papel, parede, tela de computador, etc.) e que pode ser utilizado para representar uma ideia

ou referencial teórico. Enquanto que a figura é constituída por um binômio, indissociável,

formado por um referencial teórico e uma das possíveis representações (desenho) desse.Baseados nessa diferença, podemos inferir que o desenho depende exclusivamente

do suporte para existir, pois mesmo que o observemos e não compreendamos o seu real

significado, ele continua sendo um desenho. Contudo, a figura existe para comunicar algumas

propriedades de um elemento teórico, assim, a figura não existe sem o referencial teórico e

sem uma de suas representações (desenho). Acrescente-se a isso, que esse desenho não é

único, mas sim uma das possíveis representações desse elemento teórico. Mesmo assim, tanto

o desenho quanto a figura estão sujeitos a interpretação de quem os observa.A interpretação, a qual nos referimos acima, varia conforme com o grau de

conhecimento geométrico do sujeito e do contexto no qual a atividade está inserida. Por

exemplo, se o quadrilátero exposto anteriormente, fosse visto por uma pessoa que domine os

conhecimentos geométricos, num contexto em que ele representasse o esboço do piso de uma

sala, ela não hesitaria em considerar sua forma como retangular, até porque em situação de

compra de revestimentos e materiais para sua manutenção trabalha-se com aproximações

(para cima) das quantidade necessárias. Todavia, se o quadrilátero estivesse presente num

problema geométrico, como foi o caso da atividade (Figura 1), essa pessoa seria mais

cautelosa na classificação do mesmo. Com respeito a isso, Laborde e Capponi (1994) afirmam

que: Dentro desta abordagem, as relações entre um desenho e seu referencial

elaboradas por um sujeito, leitor ou produtor do desenho, constituem para

esse sujeito o "significado" associado da figura geométrica. (op. cit., p.52)

A parti dessa ideia, esboça-se a importância da distinção entre desenho e figura

geométrica para o ensino da Geometria. Pois, passar por essa transição do pensamento

geométrico pautado no desenho para o baseado na figura, adquire mais valor ao possibilitar

65

que o aluno passe da geometria subjetiva para uma mais abstrata, ou seja, amplie o

significadado aos objetos geométricos. Principalmente se assumirmos a Geometria como uma

ferramenta de produção, controle e/ou predição do desenho, ou seja, como uma modelização

do desenho (LABORDE; CAPPONI, 1994). Porém estes mesmos autores afirmam que “o

ensino de Geometria ignora as relações entre figura geométrica e desenho, silenciando sobre a

distinção entre os dois ou agindo como se um elo natural os unisse.” (op. cit., p. 54)

No entanto, por considerarem essa diferença importante para o ensino de Geometria,

e conscientes da necessidade de estimular o desenvolvimento da competência de distinguir

estes dois elementos, Nogueira Farias e Farias (2007) realizaram uma pesquisa com alunos de

uma escola francesa, na qual apresentam o uso da ferramenta Deslocamento do softwares

Cabri-Gèométrie como forma de estimular a Passagem do Desenho para Figura nos

estudantes.

Até este momento, temos estabelecida a diferença entre desenho e figura, bem como

reconhecida a importância de deixar de trabalhar sobre o desenho para trabalhar sobre a figura

geométrica e, também um possível instrumento (software) para isso. Contudo, surgem alguns

questionamentos:

a) Em que momento (ciclo ou ano escolar) a transição desenho para figura deve

ocorrer?

b) Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) falam algo a respeito? Se sim, o que

falam?

c) Como é feito o trabalho de transição do desenho para figura nos livros didáticos?

As respostas para estes questionamentos nos possibilitariam desenvolver um trabalho

pedagógico adequado ao nível escolar e a idade dos alunos, de modo que promovesse a

transição do desenho para figura. E para obter tais respostas desenvolvemos uma análise

praxeológica das organizações matemáticas encontradas nos PCN e nos livros didáticos.

Porém, antes de apresentarmos a análise, falemos brevemente da TAD que serviu de guia

teórico em todos os momento do desenvolvimento dessa investigação.

Quadro Teórico: Teoria Antropológica do DidáticoComo dissemos antes, este artigo apresenta a uma análise inicial dos dados da

pesquisa de conclusão de curso intitulada “A Instrumentalização do Deslocamento no

66

Geogebra: uma contribuição para passagem do desenho para figura no 6º ano do Ensino

Fundamental”. Tanto a coleta, quanto essa análise foram feitas a partir das ideias presente na

Teoria Antropológica do Didático, a qual surge como uma expansão da Teoria da

Transposição Didática, propostas pelo professor Yves Chevallard.Dentre as ideias apresentadas pela TAD aparecem a distinção de três tipos de saberes:

o Saber Sábio; o Saber a Ensinar; e o Saber Ensinado. O primeiro deles é também chamado de

Saber de Referência, o qual é constituído a partir do momento em que conhecimentos –

aquilo que pode ser aprendido por transmissão e/ou imitação (BROUSSEAU, 2007, p. 28) –

são agrupados por apresentarem algum tipo de similaridade, tal como tratarem um mesmo

problema ou partirem de um mesmo conjunto básico de princípios. Ou seja, o saber de

referência é endêmico de instituições que produzem conhecimento, papel este, que atualmente

é desempenhado, maioritariamente, por universidades e por institutos de pesquisa.A seu turno, o Saber a Ensinar tem como referência o Saber Sábio, ou seja, é

alicerçado sobre os elementos deste. Por assim ser, o Saber a Ensinar propõe,

organizadamente, quais conhecimentos devem ser ensinados nas instituições, de acordo com

as necessidades (exigências) da sociedade. De forma análoga, o Saber Ensinado – que é

aquele identificado no ambiente da sala de aula – é composto por elementos do Saber a

Ensinar. No entanto, esses elementos que são identificados em mais de um tipo de saber não

são simplesmente copiados de um e colados no outro, ele passa por um processo que é

denominado Transposição Didática: “Em sentido restrito, a transposição didática é o passar do

saber sábio ao saber ensinado” (CHEVALLARD, 2000, p. 22, tradução nossa). Porém, ao

contrário do que o nome sugere, durante o processo transpositivo o conhecimento passa por

transformações que o adequam de modo que corrobore para o cumprimento dos objetivos da

sua nova instituição de “residência”.Essas instituições onde ocorrem cada um dos saberes supramencionados estão

contidas em três entornos. O primeiro, e mais interno, é o mesmo Sistema Didático descrito

por Brousseau (2007), o qual é composto essencialmente pelo professor, o(s) aluno(s) e o

saber, ou seja aqueles três elementos que vem a mente quando pensamos em ensino, mais o

meio em que se dá essa interação. Já o segundo entorno, Sistema de Ensino, tem como

funções: permitir o funcionamento didático, ou seja, o ensino; organizar os Sistemas

Didáticos de forma sustentável; regular a movimentação do aluno entre diferentes Sistemas

67

Didáticos. Como exemplo de instituições contidas nesse segundo entorno temos as escolas e

secretarias de educação. Num nível mais externo, temos um subconjunto da sociedade, cujos

esforços estão voltados para o processo de ensino, denominado por Chevallard (2000) como

Noosfera. A Noosfera é composta por elementos sociais tais como os pais dos alunos, o órgão

do governo (no Brasil é o Ministério da Educação e Cultura), livros didáticos, entre outros

cujas atividades têm implicações no processo de ensino.Como vimos, dentro de cada um desses entorno podemos encontrar mais de uma

instituição, cada uma desempenhando um papel para a manutenção e eventuais modificações

no processo de ensino, determinando quais objetos do saber devem ser ensinado e quais o

são efetivamente. Vemos assim surgir um dos principais postulados da TAD, segundo

Henriques et. al. (2007), que é considerar tudo como sendo um objeto. Porém, esses objetos

do saber não têm vida própria, é imprescindível para sua existência que os agentes

institucionais tenham consciência da sua relevância e que utilizem ele em suas práticas.A observância dessas práticas é muito relevante, pois podemos estar cientes da

importância, por exemplo, da geometria plana para a formação matemática dos nossos alunos,

mas se não a ensinarmos (praticamos em sala de aula) essa “consciência” não dará nenhum

furto, e para os estudantes, o objetos da geometria não existirá. Por assim ser, para que a TAD

pudesse avançar no estudo das práticas institucionais e pessoais , fez-se necessário o

desenvolvimento de um modelo Praxeológico, compostos essencialmente por quatro noções: Tipo Tarefa, representado pela letra T, é exatamente aquilo que o sujeito faz ou que

lhe é solicitado fazer. É caracterizado pelo verbo empregado, no entanto não se restringe a ele.

Por exemplo, calcular a medida da diagonal de um retângulo dadas as medidas de seus lados,

nesse caso o Tipo Tarefa Ti a ser realizada é “calcular a medida da diagonal” e o verbo

“calcular” determina o gênero dessa tarefa, sendo que diferentes tarefas podem pertencer ao

mesmo gênero. O restante do enunciado “... dadas as medidas de seus lados” serve para

especificar o tipo da tarefa. Para nos referirmos a uma Tarefa específica utilizamos a letra t. E para resolvermos as tarefas empregamos Técnicas, as quais são denotadas pela

letra grega τ. Desse modo, dado um Tipo de Tarefa Ti temos associada a ela ao menos uma

Técnica τi, ou seja, um modo de realizá-la. Essas duas primeiras noções comporão o bloco da

praxes [T,τ], ou seja, o Saber-Fazer. Assim, quando um sujeito se vê diante de uma tarefa, por

exemplo, traçar o diâmetro de uma circunferência, se ele identifica o centro da circunferência

e desenha um segmento de reta que unem dois pontos distintos da circunferência passando

68

pelo centro, então podemos dizer que ele sabe fazer, ou domina as técnicas τi de realização, da

tarefa Ti.No entanto, de onde surgem as Técnicas? Como elas funcionam? E por que elas

funcionam? As respostas para essas perguntas estão, segundo Chevallard (1998), presentes na

noção de Tecnologia (θ). Ou seja, ela é um discurso coerente elaborados com duas

finalidades, explicar e justificar a técnica. E os elementos necessários para que a Tecnologia

desempenhe tais funções, são provenientes da Teoria (Θ). Assim, vemos configurado o

logos10 do objeto do saber, ou seja, o bloco Tecnológico-Teórico [θ, Θ].A partir dessas noções, se identificamos que tarefas distintas compartilham a mesma

Técnica e por conseguinte todo o bloco Tecnológico-Teórico, dizemos que tais tarefas

pertencem a mesma Organização Praxeológica Local. Porém, se compartilham apenas o o

bloco [θ, Θ], teremos uma Organização Praxeológica Regional. E, de modo semelhante, se as

prática giram em torno da mesma Teoria teremos identificado uma Organização Praxeológica

Global. Como estamos tratando aqui de objetos matemáticos, dentro da TAD, costuma-se

chamar as Organizações Praxeológicas de Organização Matemática (OM) em torno de um

objeto do saber encontrada em uma instituição. Com isso, se analisamos as praticas em uma Instituição de Referência11

encontraremos a Organização Matemática de Referência (OMR) que norteiam a elaboração de

parâmetros, indicações e manuais (livros) para o ensino (Saber a Ensinar). Assim, se

desejamos verificar a existência da diferença entre desenho e figura, temos que olhar

inicialmente para a OMR e ver se nela esses elementos são realmente distintos. Constatada tal

diferença, deve-se dirigir à esfera onde se encontra o Saber a Ensinar, para verificarmos se as

prática que diferencia figura e desenho passaram pelo processo transpositivo. E, por fim,

deve-se analisar se nas práticas, desenvolvidas em sala de aula, a Problemática Desenho-

Figura também está presente. A seguir descreveremos os métodos empregada na análise dos

dados.

MetodologiaA primeira fase dessa investigação consistiu-se no estudo bibliográfico da

Problemática Desenho-Figura e das teorias Antropológica do Didático, das Situações

Didáticas e, da Instrumentação. Já a segunda parte, tratada neste artigo, é constituída por uma

análise praxeológica das atividades matemáticas propostas nos Parâmetros Curriculares10 Palavra grega comumente traduzida para o Português como “lugar”.11 São aquelas instituições nas quais podemos encontrar o Saber Sábio

69

Nacionais referentes a três ciclos iniciais do Ensino Fundamental e de livros didáticos que

foram adotados pelas instituições públicas de ensino da região de Feira de Santana – BA12,

cidade na qual a pesquisa se desenvolve.Utilizamos a abordagem praxeológica, que é um modelo que utiliza as noções de

Tipo de Tarefa (T), Técnica (τ), Tecnologia (θ) e Teoria (Θ) para analisar as práticas

humanas e institucionais, e que podem ser usadas para modelação de atividades matemáticas

(HENRIQUES et. al., 2007).Neste sentido, descrevemos as Organizações Matemáticas presentes nos PCN e nos

livros didáticos analisados. Por meio da observação dessa organização, saberemos se existem

ou não práticas que discernem desenho e figura geométrica, em caso positivo,

identificaremos onde ela ocorre. Com isso, localizamos o ciclo e o ano escolar em que a

transição do desenho para figura deve ocorrer, bem como a maneira que é feito o trabalho

para a transição do desenho para figura nos livros didáticos. Tais conclusões, assim como os

dados e a análise destes, serão apresentados nas seções que seguem.

Análises dos Dados

Organização Matemática de ReferênciasNas seções anteriores, relatamos sobre os três tipos de saberes e apresentamos a

noção de Transposição Didática como processo de constituição do Saber Ensinado a partir de

objetos do conhecimento encontrados no Saber Sábio. No caso específico dessa investigação,

que visa tratar uma problemática inerente ao ensino das propriedades das figuras geométricas

planas, encontramos como principal fonte histórico-epistemológica do Saber Sábio o livro Os

Elementos, cuja autoria é atribuída ao matemático Euclides, que viveu por volta do século III

a.c.. Segundo Ibarra et. al. (2011) a análise das fontes histórico-epistemológicas são

fundamentais para a construção da OMR. Por assim ser, mas visando manter o foco na

apresentação das análises dos PCN e dos livros didático, falaremos brevemente sobre a OMR

referente aos nosso objetos de estudo (figuras geométricas), tendo como principal fonte o

livro Os Elementos de Geometria de Euclides (1944).O livro citado acima é uma versão da tradução para o português do livro compêndio

composto por 13 capítulos, o qual serviu de referência para o ensino da matemática durante

vários séculos. Nas primeiras páginas de cada capítulo são apresentados conceitos,

12 A cidade de Feira de Santana localizada a 109 Km da capital Salvador.

70

proposições e axiomas mínimos necessários para resolver os problemas e demonstrar os

teoremas propostos. Logo no primeiro capítulo encontramos a grande maioria dos elemento

constituintes da OMR relativa as figuras geométricas. Não explicitamos nesse texto todas

elas, apenas descreveremos como elas são apresentadas e organizadas. Como podemos ver

nos parágrafos a seguir.O livro começa pela definição dos objetos mais elementares, dizendo que “Ponto é o

que não tem partes, ou o que não tem grandeza alguma.”, chegando em entes mais complexos

como o “Romboide [paralelogramo] é uma figura, que tendo os lados opostos iguais, nem é

equilátera, nem equiângula”(EUCLIDES, 1944, p.19). Pudemos notar que boa parte das

definições não são acompanhadas por um desenho que as representem, porém alguns desses

representantes só aparecerão após a definição de outros elementos mais complexos. Por

exemplo, o caso da definição de linha reta [segmento de reta] que não apresenta um desenho

no instante que é definida, contudo ao definir ângulo reto é mostrada uma representação

gráfica da linha reta.Vemos por meio desses exemplo que o desenho, assume um papel secundário na

caracterização do ente geométrico. Não queremos dizer com isso que ele seja desnecessário,

muito pelo contrário, temos que ele é essencial para a rápida comunicação (comunicação

visual) das propriedades. Estas, por sua vez, são imprescindíveis para distinção de um

elemento geométrico de outro, isso fica bem claro nas seguintes definições: “Entre as figuras

quadriláteras, o quadrado é o que é juntamente equilátero e retângulo”; “a figura, que de uma

parte, for mais comprida, pode ser retângula, mas não equilátera.” (EUCLIDES, 1944, p. 20).Baseado nessas definições e utilizando um pequeno número de axiomas o autor

demonstra algumas propriedades não tão evidentes acerca dos elementos. Desse modo, fica

evidentes que exibir todas as tarefas acompanhada das técnicas utilizadas para resolvê-las, a

tecnologia e teoria presentes no livro tomado como referência, demandaria um espaço que não

dispomos neste artigo. Por assim ser, nos limitaremos a descrição feita acima e iniciaremos a

análise dos Parâmetros Curriculares Nacionais, como podemos ver na seguinte subseção.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais

Por se tratarem de documentos oficiais, elaborados com a pretensão de dar aos

estudantes acesso ao conjunto de conhecimentos elaborados pela sociedade e vistos como

necessários ao exercício da cidadania (BRASIL, 1997 e 1998), e por trazerem indicações que

servem de guia para a organização e desenvolvimento das atividades educacionais do nosso

71

país, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) 13, referentes ao 1º, 2º e 3º ciclo do Ensino

Fundamental, foram escolhidos para serem analisados. Além desses aspectos descritos, os

PCN são (ou representam) do ponto de vista da Teoria Antropológica do Didático a ideia e a

importância dada pelo governo federal, enquanto instituição, à educação brasileira. E por

assim ser, estudar as práticas dessa instituição entorno das figuras geométricas é um passo

importante para o bom andamento dessa investigação. Diante disso, ao analisarmos os PCN

observamos suas indicações e objetivos estabelecidos para o ensino de geometria com o

intuito de identificarmos indícios de como deve (ou deveria) ser realizado o trabalho nos

diferentes ciclos escolares. Baseados nessa observação, destacamos as Organizações

Matemáticas referentes aos nossos objetos de estudo, e de acordo com os Tipos de Tarefas e

as Técnicas requeridas concluímos se as atividades, em cada ciclo, deveriam ser pautadas

sobre o desenho ou sobre a figura geométrica. Já as Tecnologias e Teorias identificadas nos

revelam o grau de compatibilidade com a Organização Matemática de Referência.

Para exemplificarmos como se deu esta análise dos Parâmetros, destacamos abaixo

objetivos e sugestões de procedimentos retiradas dos PCN, e na sequência apresentamos

nossas deduções. Sendo assim, de acordo com os PCN do 1º e 2º ciclo as atividades, voltadas

para o ensino de geometria, nestes níveis devem levar os alunos a:

Desenvolver a habilidade de localizar objetos no espaço (BRASIL, 1997, p. 53);

Destacamos do objetivo acima o seguinte tipo de Tarefa (T1): localizar objetos no espaço.

Tal tarefa é caracterizada pelo gênero “localizar” que para ser satisfeito, exige a escolha de

um ponto de referência, é uma prática comum que esse ponto seja a própria criança. Essa

escolha do referencial pode ser considerado o primeiro passo da Técnica (τ1) de resolução de

T1 os demais procedimentos dependerão muito mais dos conhecimentos que a criança possui

da língua materna do que da noção matemática de distância a ser utilizada para dizer se um

objeto está mais próximo ou mais longe que outro. Essa forma de resolver funciona, pois está

pautada em ideias semelhantes as utilizadas por Decartes para desenvolver o sistema de

representação no plano, que baseia-se em utilizar duas retas perpendiculares e um sistema de

medidas para graduá-las, essa é a Tecnologia (θ1) matemática implícita na resolução de T1. Já

a Teoria (Θ1) em jogo é aquela presente na geometria euclidiana, na qual todos os objetos no

13 Estes estão disponíveis nos portal do Ministério da Educação e Cultura nos seguintes endereços: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf (1º e 2º ciclo) e http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf (3º ciclo) 2º ciclo

72

espaço podem ser vistos como conjuntos de pontos.Comparar objetos: perceber semelhanças e diferenças (op. cit., p. 56);Comparar objetos não é um tipo de Tarefa (T2) exclusivamente matemático, pois

pode-se comparar somente as cores e o material de que ele é feito. Contudo, é possível

observar (visualmente ou sobrepondo os objetos) suas formas (se são arredondados,

achatados, etc.), medi-los, com instrumentos específicos ou com o próprio corpo, e confrontar

as informações. Estas ações constituem uma Técnica (τ2) relativa a T2. Sem dúvidas que esse

ato de comparar é o ponta-pé inicial para a aquisição de conhecimentos acerca das

propriedades que identificam um ente geométrico. No entanto, para a implementação de τ2 o

representante (sólido geométrico, ou desenho) é imprescindível. A Tecnologia (θ2) consiste em que os objetos estudados atualmente na

geometria são abstrações – produto da mente humana – de objetos encontrados na natureza, os

quais se distinguem por suas corres, odores e formas, e é sobre essa última característica que a

geometria se debruça e elabora ferramentas para realizar as comparações, tais como os

sistemas de medias que variaram razoavelmente com os séculos e com as diferentes

civilizações. Além de um sistema de medida, a Teoria (Θ2) se fundamenta na distinção entre

as figuras planas e os sólidos geométricos como podemos ver, principalmente, no início do

capítulo XI em Euclides (1944), no qual ele define sólidos geométricos.Construir e planificar objetos tridimensionais (BRASIL, 1997, p.56);O ato de representar um objeto tridimensional sobre um plano é, sem dúvida, uma

Tarefa (T3) matemática, cuja Técnica (τ3) empregada para resolvê-la consiste em projetar

suas faces sobre uma superfície “plana” respeitando suas dimensões, posições relativas e

formas. Para tal, emprega-se a Tecnologia (θ3) exceto os sólidos originados a partir da

revolução de círculos, elipses e outras figuras compostas por linhas curvas, todos os sólidos

podem ser representados num plano, uma vez que suas faces já são figuras planas ou a

interseção de duas superfícies seja uma linha reta ou curva. Teoria (Θ3) as definições das

figuras espaciais já que se baseiam na forma das superfícies e nas posições relativas entre

elas. Percebemos nestes exemplos que o foco do estudo da Geometria nestes níveis

está na percepção das formas e no desenvolvimento de noções espaciais (dentro, fora,

esquerda, direita, etc.). Desse modo, fica evidente que o trabalho sobre o desenho é suficiente

para que sejam alcançados os objetivos inerentes destes ciclos. Pois, para alcançá-los, basta

que sejam observadas as características físicas de um ente geométrico, expressas por um

73

desenho. Desse modo, não é necessário estudar nem usar as propriedades geométricas.Já para o 3º ciclo identificamos algumas indicações de trabalhos sobre o

desenho, semelhantes as encontradas nos ciclos anteriores, por exemplo, o a planificação de

sólidos. No entanto a seguir destacamos algumas sugestões de trabalho que se diferem

daquelas do ciclo anterior.Verificação de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. (BRASIL,

1998, p. 72)A Tarefa (T4) é a seguinte: verificar a soma dos ângulos internos de um triângulo.

Claramente, estudantes desse nível escolar não possuem conhecimentos sobre lógica

matemática e técnicas de demonstrações suficientes para realizar essa tarefa de forma

rigorosa. Por assim ser, uma das Técnicas (τ4) mais utilizadas é o método exploratório:

construir triângulos diferentes, medir seus ângulos internos e soma-los; ou recortar os ângulos

desses triângulos e agrupa-los verificando que aparentam forma um ângulo de 180º. Uma vez

eliminadas (ou relevadas) as imprecisões das construções, derivadas dos instrumentos

utilizados, τ4 sempre funcionará pois de fato a soma dos ângulos internos de qualquer

triângulo é igual a 180º e, a vericidade dessa afirmação se demonstra utilizando outros

resultados de proposições geométricas, tais como o Teorema do Ângulo Externo

(EUCLIDES, 1998, p.31) e a Congruência dos Ângulos Alternos com respeitos a duas retas

paralelas (Tecnologia (θ4)). Aqui não apresentamos uma demonstração, mas sugerimos a

leitura da proposição XXXII da página 40 de Euclides (1944). Esse teorema faz parte da

Teoria (Θ3) das propriedades das figuras geométricas planas, mais especificamente da

Trigonometria.As construções geométricas devem ser interpretadas para subsidiarem a classificação

dos entes geométricos (BRASIL, 1998, p. 77);Os termos destacados nesta colocação dos PCN, nos remetem ao tipo de Tarefa (T5)

classificar os objetos geométricos, o qual é solucionado por meio da observação de

características (formato e número de faces, número de lados, amplitude de ângulos, etc.),

depois agrupa-se os objetos que possuem uma ou mais características em comum, e nomeia-se

estes grupos (τ5). A Tecnologia (θ5) consiste na idéia de que as figuras geométricas são

definidas pelo conjunto de elementos que a compõe e também se distinguem por

características específicas desses mesmos elementos, então a comparação só chega ao fim

após a percepção daquilo que é comum e o que é peculiar de cada figura. Como podem haver

figuras de um mesmo tipo, mas que se distinguem, por exemplo, pela medida dos ângulos, a

74

Teoria (Θ5) tem que abranger tanto as propriedades “óbvias” quanto as menos evidentes, as

quais necessitam de um análise para ser verificada, como é o caso da congruência das

diagonais dos retângulos.Diferente dos ciclos anteriores, agora quando as atividades envolvem a construção de

representações de entes geométricos (bidimensionais ou tridimensionais), essas são realizadas

para possibilitar a observação de algumas características como número de faces e de lados,

amplitude ângulos, entre outras, afim de nomeá-los e posteriormente agrupá-los conforme

semelhanças observadas. Por exemplo, polígonos convexos e polígonos não-convexos.Trabalhar com as transformações (ampliação, translação) para que os alunos

percebam as características invariantes (p. 73 e 82);

Neste trecho identificamos pelo menos dois tipos de tarefas: ampliar figuras geométricas

(T61); e transladar figuras geométricas (T62). Descrevamos a primeira: T61 é resolvida

desenhando uma segunda figura, cujos lados são múltiplos das medidas dos lados

correspondentes (ou arestas, ou raio e comprimento no caso de circunferências) da figura

original (Técnica (τ61)). A ampliação consiste em obter figuras semelhantes a figura original,

ou seja, mantêm-se as medidas dos ângulos e as relações de congruência entre os lados, mas

altera-se as medidas dos lados multiplicando todos por um mesmo fator, e em decorrência

disso amplia-se o perímetro, área ou volume, então dada uma figura e um fator x>1, sempre é

possível obter uma figura semelhante a original cujo quociente das medidas dos lados

correspondentes é x (Tecnologia (θ61)). Claramente a θ6 baseia-se nas ideia de

Proporcionalidade e no Conceito de Semelhança de Figuras, os quais compõem a nossa Teoria

(Θ6).

Ao executarem este tipo de tarefa, os estudantes podem perceber que algumas relações não se

alteram. Por exemplo, Ao realizarem tais transformações com um paralelogramo, os

estudantes percebem que as diagonais sempre se interceptam no ponto médio, ou seja, essa é

uma característica dos paralelogramos que não varia conforme alteramos suas dimensões e

posição. Essas “características invariantes” são as propriedades das figuras geométricas.

A Tarefa (T62), transladar figuras geométricas, faz parte da mesma Organização Matemática

Regional, uma vez que é composta pelo mesmo bloco tecnológico-teórico [θ6, Θ6], no entanto

a Técnica (τ62) consiste em construir uma figura, semelhante a original, com razão igual a 1,

mas com os pontos correspondentes de cada figura estejam a mesma distância.

Indica-se o uso de materiais manipuláveis e softwares para realizar tais atividades

75

(p. 124);Essas indicações metodológicas são justificadas pelo aspecto dinâmico que elas

oferecem durante o uso em sala de aula, por incentivarem a participação dos alunos, por meio

de explorações e investigações, no seu processo de aprendizagem.A primeira e a segunda indicação dos PCN para o 3º ciclo, destacadas aqui,

evidenciam uma certa dedicação a percepção das propriedades geométricas, sendo que estas

constituem o referencial teórico, o qual distingue a figura geométrica do desenho. Os dados expostos acima e as reflexões sobre as organizações matemáticas presentes

neles, evidenciam uma mudança no foco do ensino de Geometria entre o 2º e o 3º ciclo. Essa

mudança consiste em que em um, os trabalhos estão voltados para o desenho, enquanto que

no outro, o foco está nas propriedades das figuras geométricas. E isso, nos possibilita inferir

que é nesses ciclos que ocorre, ou deveria ocorrer a passagem do desenho para figura. Porém,

estes dois ciclos abrangem quatro anos escolares distintos (4º, 5º, 6º e 7º ano do Ensino

Fundamental), sendo assim precisamos situar essa transição de forma mais precisa. E com

essa finalidade recorremos a análise de livros didáticos.

Análise dos livros didáticosO Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), é vinculado ao Ministério da

Educação e Cultura (MEC), e tem por objetivo dar subsídios, por meio da distribuição de

livros didáticos aos alunos da educação básica, ao trabalho pedagógico do professor14. Para

tal, são elaborados guias baseados em avaliações pedagógicas feitas por autores, editores e

professores de várias instituições de diversas regiões do país.Para este trabalho, foram analisados livros de coleções que foram adotados pelas

escolas e colégios da cidade de Feira de Santana – BA, e região metropolitana. Sendo que

todos estes livros possuem o carimbo do PNLD, o que garante que eles passaram pela

avaliação do MEC. Desse modo, apresentaremos trechos de duas coleções que evidenciarão

como se deu a nossa análise. Abaixo segue representações15 similares às atividades presentes

nos livros do 5º ano Projeto Buriti: Matemática e do 6º ano Matemática – Imenes & Lellis:

14 Informações retiradas do site: http://portal.mec.gov.br/index.php?Itemid=668id=12391option=com_contentview=article 15 Por motivo de direitos autorais não colocamos a imagem da própria atividade

76

Figura 2:Representação de uma atividade livro do Projeto Buriti: Matemática 5º ano.

Fonte: Gay (2011).

Figura 3: Representação de uma atividade do Livro Matemática - Imenes & Lellis do 6º ano.

Fonte: Imenes e Lelles (2011).

Observemos a organização praxeológica dessas representações: Essas são Tarefas

(t7) de definição do losango pertencentes ao Tipo de Tarefa (T7) de definição dos

quadriláteros especiais, cuja Técnica (τ7) empregada para solucioná-las foi, evidenciar as

características mínimas que distinguem o losango dos demais quadriláteros, nos dois casos a

definição foi feita de forma escrita, a primeira (τ71) utilizando uma linguagem mais coloquial

e a outra (τ72) mais formal , e de forma gráfica por meio de um desenho, sendo que um deles

(τ72) enfatiza a congruência dos lados, enquanto que o outro (τ71) deixa isso a cargo da

aparência do desenho. Tais técnicas utilizam-se de uma Tecnologia (θ7) fundamentada em

distinguir os quadriláteros dos demais polígonos pela quantidade de lados e, de forma interna,

essa classe de figuras se distingue pela relação entre os lados (paralelos, perpendiculares,

congruentes, etc.) e ângulos internos e a Teoria (Θ7) é a base da Geometria Euclidiana, ou

seja, são as relações entre ponto, reta e plano.

Quanto a organização matemática, estas tarefas são muito semelhantes, porém é

possível perceber importantes diferenças na linguagem usada na definição. No caso da tarefa

do 6º ano utiliza-se um termo matemático mais formal (congruentes) e na representação do

losango, existe a preocupação de explicitar a propriedade (a congruência entre os quatro

lados) que caracteriza a figura geométrica em discussão, preocupação esta que não

encontramos no livro do 5º ano. Inferimos assim, ainda que de forma muito sutil, uma

intenção de enfatizar as propriedades da figura.

77

Vejamos mais:

Figura 4: Representação de uma atividade do livro Projeto Buriti: Matemática do 5º ano.

Fonte: Gay (2011).

Figura 5: Trecho do livro Matemática de Imenes & Lellis do 6º ano.

Fonte: Imenes e Lelles (2011).

Ambas atividades se voltam para o calculo de áreas, sendo a do 5º ano ( T81) Calcular

a área do retângulo e a do 6º ano (T82) Calcular a área de uma figura composta por dois

quadrados. O T81 é resolvido por meio da observação da representação do piso do escritório o

que leva o estudante a intuir que seja da forma retangular e, por assim ser, multiplica-se os

78

valores da largura e do comprimento dados, obtendo como resultado 6 metros quadrados (τ81).

A Tecnologia (θ8) posta em prática é a determinação de uma unidade de área, neste caso o

metro quadrado, e a área total é igual a quantidade de unidades necessárias para recobrir toda

a região plana. θ8 permanece válido mesmo quando as dimensões não são inteiras, nestes

casos toma-se frações da unidade de área em uso para recobri o restante da região, que não

comporte a unidade inteira. Como Teoria (Θ8) temos que o plano é um ente geométrico

bidimensional e infinito, porém este pode ser subdividido em semi-planos (mesmo possuindo

uma delimitação, ainda são infinitos) e em figuras determinadas por poligonais ou linhas

fechadas, as quais fazem distinção entre os pontos do plano (pontos internos, externos e de

fronteira) essa região delimitada por uma linha fechada determinam o que chamamos de área

(porção limitada do plano) e a depender do formato, emprega-se uma forma de distribuir uma

unidade de medida de área nela até preenchê-la.

A atividade que contém a Tarefa T82 se distingue da T81, primeiramente, por ser mais

complexa, uma vez que faz-se necessário a realização de um outro tipo de tarefa antes de ser

realizada, que é decompor a figura em dois quadrados com dimensões diferentes. A Técnica

(τ82) utilizada para solucionar T82 se distingue de τ81 apenas pelo passo inicial, em que o

estudante não terá que “intuir”, mas sim deduzir por meio das propriedades (medida dos

ângulos, paralelismo e congruência dos lados, etc.) evidenciadas no desenho que as figuras

são quadrados. Já o bloco teórico-tecnológico [θ8, Θ8] permanece o mesmo, configurando-se

assim como pertencentes a mesma Organização Matemática Regional.

Da mesma forma, tratam-se de tarefas semelhantes, porém, é perceptível por parte

dos autores do livro do 6º ano, a intenção de deixar evidentes as propriedades necessárias para

caracterizar a figura com a qual se está trabalhando. Esta preocupação não é observada no

livro do 5º ano, nele a semelhança visual do desenho com a figura geométrica que se deseja

trabalhar é tida como suficiente para o cumprimento da tarefa.

Baseados em análises praxeológica de tarefas semelhantes vimos configurar-se

diferentes práticas entorno de um mesmo objeto geométrico, uma vez que tarefas de um

mesmo tipo se distinguiam pelos métodos empregados em suas resoluções. Assim, notamos

que para o 5º ano são utilizadas representações mais passíveis as interpretações do sujeito,

enquanto nos livros do 6º ano vemos a tentativa explicita de evidenciar as propriedades

mínimas para que o sujeito identifique com qual figura está tratando naquele instante. Ou seja,

79

o desenho deixa de apenas representar o ente geométrico e passa a transmitir informações

(propriedades) sobre ele tonando desnecessário “dizer” de quem se trata. Por isso, podemos

afirmar que a passagem do trabalho sobre o desenho para o sobre a figura deve ocorre, no

nosso Sistema de Ensino, do 5º para o 6º ano do ensino Fundamental.

Considerações finaisAs ideias apresentadas, nos possibilitaram discutir sobre uma problemática inerente

ao ensino e aprendizagem de geometria que é passagem do desenho para a figura. E a análise

dos Parâmetros Curriculares Nacionais permitiu que localizássemos tal passagem entre o 2º e

3º ciclo do Ensino Fundamental.Além disso, a apreciação das organizações praxeológicas encontradas nos livros

didáticos deu-nos com mais precisão a localização do fenômeno da distinção entre desenho e

figura geométrica, o qual deve ocorrer, segundo nossas análises, no 6º ano do Ensino

Fundamental. E ainda ficou evidente que o trabalho sobre o desenho é suficiente para que os

alunos do 1º e 2º ciclos alcancem os objetivos estabelecidos para o ensino de Geometria neste

nível. Contudo, a permanência desse ensino pautado no desenho mostra-se como um potencial

obstáculo para aprendizagem de geometria.Feitas estas constatações, os próximos passos do desenvolvimento dessa pesquisa,

serão o planejamento de situações didáticas envolvendo o software Geogebra direcionadas

para alunos do 6º ano. Após isso, promoveremos, por meio de tarefas, a gênese instrumental

nesses alunos, e por fim analisaremos as contribuições do Geogebra na passagem do desenho

para figura no 6º ano.

Referências

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais.

Terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental: matemática. Brasília: Ministério da

Educação/Secretaria de Educação Fundamental, 1998. 148p. (PCNs 5ª a 8ª Séries).

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Primeiro e segundo ciclos do ensino fundamental: matemática. Brasília: Ministério da Educação/Secretaria de Educação Fundamental, 1997. 148p. (PCNs 1ª a 4ª Séries).

BROUSSEAU, G. Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas.Tradução: Dilma Fregona. 1ª ed. Buenos Aires: Libros Zorzal, 2007. 128 p. (FormaciónDocente)

80

CHEVALLARD, Y. Concepts fondamentaux de la didactique : perspectives apportées par une approche anthropologique. Recherches en Didactique des Mathématiques, V. 12, n°1, 1992. p. 73-112.

_______. La transposición didáctica: del saber sabio al saber enseñado. 3. ed Buenos Aires: Aique, 2000. 196 p. (Psicologia cognitiva y educacion) ISBN 9507013806

_______. Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathématiques: L'ap-proche anthropologique, Actes de I'U. E. de la Rochelle, 1998.

EUCLIDES. Elementos de geometria. Sao Paulo: Cultura, 1944. 324 p

IBARRA, L. et. al. Un estudio sobre la noosfera para entender la enseñanza de la geometría a través de la construcción de triángulos In: BOSCH, M.; GASCÓN, J.; RUIZ OLARRÍA, A.; ARTAUD, M.; BRONNER, A.; CHEVALLARD, Y.; CIRADE, G.; LADAGE, C.; LARGUIER, M. (Eds.) Un panorama de la TAD, Barcelona: CRM Documents, 2011, p. 367 - 381.

IMENES, Luiz Márcio.; LELLIS, Marcelo C. T. Matemática - Imenes & Lellis – 6º ano. São Paulo: Moderna, 2011. 336p.

GAY, Mara Regina G. Projeto Buriti: Matemática – 5º ano. 2 ed. São Paulo: Moderna, 2011. 272p.

HENRIQUES, Afonso.; ATTIE, João Paulo.; FARIAS, Luíz Márcio S. Referências teóricas da didática francesa: análise didática visando o estudo de integrais múltiplas com auxílio do software Maple. Educação Matemática Pesquisa (Impresso), v. 9, p. 1-168, 2007.

LABORDE Colette.; CAPPONI Bernard. Aprender a ver e a manipular o objeto geométrico além do traçado no Cabrri-Géomètre. Em Aberto, Brasilia, ano 14, n. 62. abr./jun. 1994.

NOGUEIRA FARIAS, Virginia Lucia; FARIAS, Luíz Marcio S. Construção de situações de aprendizagem em geometria plana utilizando o software cabri-geomètre: o deslocamento no ambiente computacional cabri-geomètre.. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃOMATEMÁTICA, 2007, Belo Horizonte. Diálogos entre a pesquisa e a prática educativa, 2007.v. 1.

81

ARTIGO 3

A ELABORAÇÃO DE UM DISPOSITIVO EXPERIMENTAL

82

A ELABORAÇÃO DE UM DISPOSITIVO EXPERIMENTAL

Resumo:Há uma necessidade latente de que o ensino de geometria deixe de explorar apenas orepresentante e se volte também ao trabalho simultâneo com as propriedades, ou seja, que otrabalho de sala de aula abarque a figura em sua totalidade. Pensando nisso, realizamosestudos teóricos e análises de documentos oficiais que nos guiaram na elaboração deatividades instrumentadas com uso do Geogebra voltadas à abordagem da ProblemáticaDesenho-Figura. Assim, neste artigo apresentaremos um pouco das teorias que nos norteiam euma justificativa mais fundamentada das nossas razões para escolhermos o Geogebra. Alémdisso, apresentaremos a análise, em termos das Organizações Matemática e Didáticas, daprimeira parte da atividade que elaboramos para promover transição do desenho para figura.Uma vez feito isso, notamos o quanto o planejamento, e a análise desse, são importantes paraum bom desenvolvimento da atividade em sala.Palavras-chave:Problemática Desenho-Figura; Organização Matemática; OrganizaçãoDidática; Atividade Instrumentada; Geogebra.

AbstractThere is a latent need for the teaching of geometry sure to explore only the representative andalso return to work simultaneously with the properties, that is, the classroom workencompasses the figure in its entirety. Thinking about it, we carry out theoretical studies andanalyzes of official documents that guided us in the development of instrumented activitieswith use of Geogebra geared to addressing the Problematic Drawing-Figure. Thus, in thisarticle we present some of the theories that guide us and a more reasoned explanation of ourreasons for choosing Geogebra. Furthermore, we present the analysis in terms of Mathematicsand Didactic Organizations, the first part of the activity we worked to promote transition fromdrawing to figure. Once this is done, we notice how much planning and analysis that areimportant for a good development of the activity in the room.Keywords: Problem Design-Figure; Mathematics Organization; Didactic Organization;Instrumented Activity; Geogebra.

83

Introdução:No decorrer desse artigo trataremos de apresentar a terceira etapa de uma

investigação mais geral que busca responder ao seguinte questionamento: Quais as possíveis

contribuições do deslocamento no Geogebra para a transição do desenho para figura no 6º

ano? Pela própria pergunta já se pode intuir que essa pesquisa centra-se na Problemática

Desnho-Figura de Laborde e Capponi (1994).

A problemática citada acima vota-se para a distinção desenho e figura, bem como,

essa distinção implica em formas de ensino de geometria diferentes. O desenho é, segundo os

autores, algo representativo de um modelo geométrico idealizado, este pode servir como um

primeiro contanto de um sujeito com o ente geométrico, ao qual os autores denominam figura.

Assim, a figura é composta pela união de dois conjuntos, um de propriedades, ou seja,

características que combinadas tornam a figura única, e o outro contendo um ou vários

representantes (desenhos), que têm por finalidade trazer ao mundo dos sentidos as

propriedades.

Diante dessa distinção, os autores afirmam que é fundamental para a aprendizagem

de geometria que os alunos comecem a trabalhar sobre o desenho para assim terem os

primeiros contatos com as propriedades geométricas. No entanto, há uma necessidade latente

de que o ensino de geometria deixe de explorar apenas o representante e se volte também ao

trabalho simultâneo com as propriedades, ou seja, que o trabalho de sala de aula abarque a

figura em sua totalidade.

Baseando-nos nessa idéia, buscamos teorias que explicasse os processos de ensino e

aprendizagem de matemática, para que assim pudéssemos compreender como ocorreria essa

mudança na forma de trabalho sobre o desenho para o trabalho sobre a figura. Nossas fontes

teóricas estão dentro do campo conhecido como Didática da Matemática (Francesa), na qual

encontramos uma forma de contemplar o que ocorre dentro e fora da sala de aula. E estes

estudos nos guiaram numa análise dos documentos e materiais oficiais que regem e orientam

o ensino em geral e em especial o de matemática no Brasil.

Esses estudos teóricos e essas análises de documentos, nos guiaram na elaboração de

atividades instrumentadas voltadas à abordagem da Problemática Desenho-Figura. A escolha

do instrumento computacional (software) a ser utilizado se deu por suas potencialidades no

tratamento dessa e de outras problemáticas inerentes ao ensino de matemática, sua gratuidade

84

e pelas diversas pesquisas que vêm sendo realizadas sobre e por meio dele. Este instrumento

ao qual nos referimos, é o software Geogebra.

Assim, nas próximas seções desse trabalho apresentaremos um pouco das teorias que

nos norteiam e uma justificativa mais fundamentada das nossas razões para escolhermos o

Geogebra. Além disso, temos como pivô deste artigo a apresentação e análise da primeira

parte da atividade que elaboramos com o uso do Geogebra para promover transição do

desenho pra figura. Vejamos estes elementos serem contemplados nas seções que seguem.

Aporte teórico:A Didática da Matemática (DM) pode ser vista por dois prismas diferentes, num

deles ela é considerada como uma tendência da Educação Matemática, tal como o uso das

Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC), História da Matemática, Modelagem

Matemática e outras, visão essa que impera em alguns países como o Brasil. Contudo, ela

também pode ser vista como a própria Educação Matemática, como ocorre na França que,

haja vista, foi o terreno fértil no qual a Didática da Matemática se desenvolveu com muita

força e com grande agilidade.Um dos principais nomes da Didática da Matemática Francesa é o professor Guy

Brousseau, o qual é considerado o pai da Didática principalmente por causa da Teoria das

Situações Didáticas. Essa teoria é, sem dúvida alguma, uma das maiores contribuições do

professor Brousseau para DM. A TSD, quando inserida nesse campo teórico sobre ensino e

aprendizagem de matemática, apresentou o conceito de Situações Didáticas que, agora,

davam importância também ao papel do professor no processo de ensino, sem deixar de lado a

relação do aluno com o saber. E para compreendermos esse conceito temos que está cientes

dos principais elementos envolvidos no processo de ensino, são eles o professor, o aluno e o

saber. Esses três elementos estabelecem relações de mão dupla, as quais se realizam em um

meio. E esse meio seria, a grosso modo, os materiais que são produzidos e utilizados para

ensinar. A partir disso temos que:A situação é, então, um entorno do aluno planejado e manipulado pelo

docente, que o considera como uma ferramenta. […] reservamos o termo

Situação Didática para os modelos que descrevem a atividade do professor e

também a do aluno. (BROUSSEAU, 2007, p. 17 – 18, tradução nossa)Mais a diante o autor apresenta outro ponto de vista das Situações Didáticas,sendo

essa um “entorno do aluno, que inclui tudo o que coopera especificamente na componente

85

matemática de sua formação” (op. cit., p. 49).Nesses termos, este artigo se propõe a analisar um conjunto de Situações Didáticas

elaboradas a fim de que os alunos aprendam algumas propriedades das figuras geométricas

planas (saber), que são fundamentais para progredir no estudo da geometria. E durante essa

análise buscaremos também mostrar de que forma o professor pode proceder a fim de que as

situações propostas cumpram seu papel. Como veremos mais detalhadamente nas seções que

seguem, o principal meio utilizado no planejamento das situações didáticas foi o Geogebra,

que é um software de geometria dinâmica. Então, por estarmos utilizando uma ferramenta

tecnológica no processo de ensino-aprendizagem, sentimos necessidade de uma base teórica

que nos apoiasse com ideias acerca de como deve ser o uso de um software num contexto

escolar.Esse apoio intelectual foi encontrado na Teoria da Instrumentação defendida por

Rabardel (1995). Essa teoria parte da distinção entre artefato e instrumento. O primeiro

compreende o aspecto material; é o objeto a ser utilizado em determinada ação, e esse uso está

regido, em parte, por suas características físicas, por exemplo, ninguém utilizaria um martelo

para levar água até a boca. Haja vista que, a atividade será realizada por um sujeito , detentor

de habilidades, conhecimentos e experiências, as quais ele mobilizará na escolha e uso do

artefato. Durante esse processo, o sujeito pode modificar seus conhecimentos, desenvolver

novas habilidades por meio de novas experiências, ou seja, ele pode perceber que determinado

artefato é melhor do que outro para cumprir uma tarefa. Esse é um processo bastante

complexo, denominado gênese instrumental, que envolve diversas variáveis inerentes tanto

ao artefato quanto ao sujeito. Como o próprio nome desse processo sugere, ele dá origem ao

instrumento, que pode ser entendido como:uma entidade mista formada por dois componentes: Por um lado, um

artefato (material ou simbólico) produzido pelo sujeito ou por outros. De

outro lado, um (ou vários) esquema(s) de utilização associado(s),

resultante(s) de uma construção própria do sujeito, autônomo ou de uma

apropriação de ESU (esquemas sociais de utilização), estes já formados

externamente a ele. (HENRIQUES et. al. , 2007, p.4)Como podemos notar, o uso de uma ferramenta tecnológica é fortemente

influenciada por regras estabelecidas num entorno social. Além disso, é parte das praticas

sociais aquelas ações voltadas á transmissão dos conhecimentos acumulados até aquele

momento, por assim ser, os instrumentos desempenham um papel no contato dos novos

86

indivíduos com os objetos do saber presentes naquela sociedade. Assim, no sentido de estudar

as relações que se estabelecem entre os Sujeitos (S), um Instrumento (i) e um Objeto (O) do

saber, Rabardel (1995) propõe o modelo de Situações de Atividades Instrumentadas (SAI). O modelo SAI descreve e estuda quatro tipos de relações: sujeito com o objeto (S –

O); sujeito com o instrumento (S–i); instrumento com o objeto (i–O); e o sujeito com o objeto

mediado pelo instrumento (S(i) – O). Em nossa investigação temos por Sujeito os estudantes,

aos quais serão propostas situações didáticas elaboradas com o uso do software Geogebra

(instrumento) voltadas ao ensino das propriedades das figuras geométricas, que é o nosso

Objeto do saber. Por estamos debruçados sobre as possíveis contribuições da ferramenta “Mover” do

Geogebra para que o estudante do 6º ano deixe de trabalhar exclusivamente sobre o

representante (desenho) e passe a tomar em consideração a figura geométrica (desenho +

propriedades) como um todo, essa pesquisa está focada na relação S(i)–O. Mas também,

damos a devida atenção para relação [S – i], pois López (2012), após listar contribuições do

Geogebra para a formação de professores, salienta que tais benefício só são alcançados depois

que o processo de gênese instrumental é realizado com sucesso.Figura 1: Modelo SAI

Fonte: Henriques et. al. (2007, p. 55)Ainda sobre a gênese instrumental, Henriques et. al. (2007) falam sobre duas

dimensões desse processo: Instrumentação, que compreende o aprender a utilizar o artefato,

nela os problemas são adaptados para serem solucionados pelo uso dos recursos do artefato.

Já a dimensão da Instrumentalização consiste em que o sujeito aprenda algo sobre o objeto

do saber, posto em jogo, por meio do uso do artefato. No caso desse trabalho, a distinção de

figuras geométricas por meio da observação das propriedades, que é o nosso problema, foi

87

adaptado a fim de ser tratado pela exploração do caráter dinâmico do Geogebra. Durante o desenvolvimento dessas situações didáticas vemos se configurar

diferentes momentos ou tipos de situações. Segundo Brousseau (2007), quando uma Situação

Didática é posta em jogo, podem surgir quatro tipos diferentes de situações: Situação de Ação,

que ocorre quando o aluno é apresentado ao problema, ele o aceita e começa a agir para

resolvê-lo; uma vez que o estudante tenha começado a trabalhar, ele usa seus conhecimentos e

habilidades para agir sobre o problema e, ao passo que observa as reações do meio, ele passa a

elaborar um caminho para chegar a solução, ou seja, nesse momento em que se estabelece um

caminho para o cumprimento do que é solicitado pela situação, se configura uma Situação de

Formulação do método de resolução do problema; uma vez estabelecido um meio de se

chegar ao resultado, ele tem que elaborar um argumento que convença a um indivíduo

(professor, colega ou a si próprio), ou seja, ele busca meios de garantir a validade do processo

de resolução elaborado por ele, sendo essa a principal característica de uma Situação de

Validação. Como é fácil de se notar, nesses três primeiros tipos de situações o estudante pode

trabalhar praticamente sem a influência do professor, uma vez que este último pode resignar-

se apenas a propor a situação e deixar que o aluno aja. Por assim ser, diferentes alunos podem

trilhar diferentes caminhos para resolver, chegando ou não ao mesmo resultado, mobilizando

conhecimentos diferentes. No entanto, segundo Chevallard (2000), um dado conhecimento

está presentes no Saber a Ensinar16 por que existe uma demanda social para o ensino e a

aprendizagem acerca de tal conhecimento. Essa é uma das razões pela qual faz-se necessária a

Situação de Institucionalização. Nela, o professor sistematiza e valida os métodos e

conhecimentos que são reconhecidos na instituição de ensino, ou seja, neste momento cabe ao

professor organizar tudo o que foi feito e trabalhado em sala.Em confluência com essas noções da TSD estão os tipos de de Momentos Didáticos

(CHEVALLARD, 1998). Esses momentos didáticos aparecem motivados pela modelização

das práticas de ensino. Enquanto as Situações Didáticas buscam modelizar o que acontece em

sala de aula guiando-se pelas ações dos indivíduos (professo e aluno), os Momento Didáticos

norteiam-se pelo objeto matemático, ou seja pelas práticas de estudo que são desenvolvidas

em torno dele.

16 O Saber a Ensinar é derivado do saber acadêmico, ou seja, do conjunto de conhecimentos formais sobredeterminada área, e constitui a proposta de entidades sociais (pais, setor de educação do governo) daquiloque deve ser ensinado nas escolas.

88

Chevallar afirma que toda atividade humana pode ser modelada em termos

Praxeológicos, no qual o Tipo de Tarefa, a Técnica, Tecnologia e a Teoria 17 se encarregam de

descrever o que o autor chama de Organização Matemática, a qual torna visível as relações

pessoais e institucionais com o objeto matemático. Da mesma forma, Chevallard (1998)

distingue seis dimensões do processo de estudo – que segundo Espinoza e Azcárate (2000)

abrange tanto a criação (ou re-criação) das Organizações Matemática como das consequências

desse processo, são elas: o momento do primeiro encontro, o momento exploratório, o

momento do trabalho da técnica, o momento tecnológico-teórico, o momento da

institucionalização e, o momento da avaliação. Essas autoras também chamam a atenção para

o fato de que os momentos não são frações do tempo de aula, e por assim serem, eles podem

ocorrer simultaneamente.O momento do primeiro encontro pode ser caracterizado pela apresentação de um

novo problema ao aluno, este está intimamente ligado ao contato do estudante com a Tarefa.

Já o momento exploratório, é aquele que inicia assim que o estudante entra em contato como

o objeto matemático explorado no problema proposto até que ele tome consciência da(s)

Técnica(s) a ser empregada na resolução do problema.Quando as práticas de sala de aula ingressam na dimensão do trabalho da técnica,

existe um esforço no sentido de que o aluno se familiarize com o uso das Técnicas que

surgiram, busque estabelecer relações entre elas e analise suas limitações e potencialidades

(ESPINOZA e AZCÁRATE, 2000, p. 358). Além disso, esta dimensão faz surgir a

necessidade do momento tecnológico-teórico a partir do ponto em que as técnicas trabalhadas

precisam ser explicadas e/ou justificadas. Esse quarto momento surge, muitas vezes, porque

alguns alunos não chegam a encontrar uma Técnica para trabalhar com o objeto matemático

em jogo. Da mesma forma que isso acontece, pode ocorrer o surgimento de Técnicas muito

diversificadas, então caberá ao regente da aula, enquanto membro de uma instituição de

ensino, persuadir os alunos a rejeitarem algumas – por não darem o tratamento mais adequado

ao objeto matemático naquele momento – e adotarem outras, por serem essas as Técnicas

reconhecidas na instituição escolar.Esse momento de Institucionalização, mostra-se muito útil para que fique claro

aquilo que é necessário, aquilo deve vir a ser lembrado e o que poderá ser esquecido. E, uma

17 A Tarefa é a ação solicitada ou realizada, a Técnica são os modos de realizar a Tarefa, a Tecnologia justificae explica o funcionamento da Técnica e, por fim, a Teoria é o conjunto de conhecimentos que subsidiam aTecnologia no cumprimento de suas funções (CHEVALLARD, 1998).

89

vez vivenciada todas essas experiências com o objeto, é uma necessidade institucional (ou

pessoal) verificar se o exposto foi de fato aprendido, ou seja, descobri qual o nível do domínio

do sujeito sobre a organização matemática. Assim sendo, entra em jogo o momento de

avaliação, o qual, além do que foi dito, relaciona-se intimamente com o momento de

institucionalização, pois “por um lado, se avalia aquilo que foi feito visível ou

institucionalizado e, por outro, se institucionaliza para, entre outras coisas poder avaliar”

(ESPINOZA e AZCÁRATE, 2000, p. 359).Neste contexto, temos dois instrumentos para analisar as atividades propostas, um

deles voltado para as ações dos sujeitos e outro para tratamento dado ao objeto matemático.

No entanto, essa análise prévia volta-se a propiciar uma compreensão mais abrangente

daquilo que está sendo proposto, bem como tentar evitar que ocorram alguns problemas

derivados da existência de um Contrato Didático, o qual não é um contrato convencional, mas

sim um conjunto de expectativas tanto do aluno em relação ao procedimento do professor,

quanto do professor com respeito ao aluno. Por exemplo apresentaremos algumas sugestões

de condução da aula para evitar que o professor, na tentativa de auxiliar o aluno, faça

perguntas muito fáceis a tal ponto de que ele praticamente responda o problema. Esse

processo em que o professor provoca uma minimização do uso autônomo dos conhecimentos

por parte dos alunos é conhecido como Efeito Topaze (BROUSSEAU, 2007, p. 75).

Assim como fizemos com as influências do Contrato Didático, buscamos chamar a

atenção para os possíveis problemas que podem surgir devido a mudança de concepção18 com

respeito ás figuras geométricas. Segundo Brousseau:A aprendizagem apresenta frequentes rupturas que podem ter formas e

origem variadas […]. Algumas das concepções não desaparecem

imediatamente em benefício de uma concepção melhor: resistem, provocam

erros e se constituem assim em “obstáculos”. (Ibid, 2007, p. 44, tradução

nossa)Com base nisso, procuramos não perder de vista os obstáculos epistemológicos,

tampouco os obstáculos didáticos. Esse primeiro tipo de obstáculos consiste num

conhecimento que se mostra bastante eficaz e produz resultados verdadeiros em determinadas

situações, mas que se opõe, ou dificulta a aquisição de um novo conhecimento. Desse modo,

os obstáculos epistemológicos são identificados por meio de erros que são causados por uma

18 “Cada maneira organizada e particular de tratar uma noção matemática constitui o que chamamos de concepção” (BROUSSEAU, 2007, p. 43)

90

concepção “equivocada”, mesmo assim, eles não devem ser evitados, por serem necessário ao

processo de aprendizagem (Ibid, 2007, p. 45). Já os obstáculos didáticos, que são originados

das escolhas feitas pelo docente como métodos, materiais, discursos, etc., os quais dificultam,

ou impedem o aprendizado de novos conhecimentos. Este segundo tipo de obstáculo deve ser evitado por meio de escolhas conscientes

fundamentadas nos objetivos a serem alcançados e nas potenciais contribuições dos elementos

a serem inseridos no processo de ensino. Diante disso, na próxima seção apresentaremos o

software Geogebra, alguma características gerais e também aquelas que são pertinentes a

pesquisa em questão.

O Geogebra:

O Geogebra é um software livre19 de matemática dinâmica que mescla

funcionalidades aplicáveis ao ensino e estudo de geometria, álgebra e cálculo. Esse

instrumento computacional tem sua origem nos estudos de mestrado de Markus Hohenwarter

na Universidade de Salzburgo (Áustria) no ano de 2002, e agora conta com uma grande

equipe de programadores e de tradutores. A construção do Geogebra foi inspirada em

funcionalidades de vários softwares tais como o Cabri Géomètrie, Shetchpad, Derive e Maple

(FERRAGINA et. al., 2012). Além disso, ele é multiplataforma, o que significa que ele

funciona em diferentes sistemas operacionais e, mais recentemente, foi disponibilizado uma

versão que pode ser usada em smartphones. Essa ultima característica, combinada ao fato dele

ser livre, permite que qualquer instituição de ensino possa baixar e utilizar gratuitamente

independente do tipo de equipamento que ela detenha.

No tocante a construção de objetos matemáticos, esse programa permite que eles

sejam criados basicamente por meio de comandos, que podem ser encontrados na Janela de

Ajuda (Figura 2), ou por meio das ferramentas (Figura 3) situadas em uma barra logo

abaixo da barra de menu. Esses objetos construídos no Geogebra podem ser vistos em

diferentes sistemas de representação –algébrico, geométrico e numérico – graças as janelas

que compõem a interface gráfica do programa. As referidas janelas são: Janela de Álgebra, na

qual ficam as representações de funções e variáveis dos objetos criados; Janela de de

Visualização em 2D e 3D20 , na qual aparecem representados graficamente os objetos como19 Os softwares livres são aqueles que o usuário pode propor modificações para facilitar o uso (FERRAGINA

et. al., 2012). 20 A janela 3D só passou a está disponível em versões a partir da 5.

91

gráficos de funções, polígonos, poliedros, etc. (ver Figura 4); Planilha semelhante a do Excel;

e uma Janela CAS que nos permite efetuar cálculos aritméticos e simbólicos como calcular

raízes quadradas, fatorar números e polinômios e, resolver equações e sistemas lineares.

Figura 2: Janela com os Comando. Figura 3: Barra de Ferramenta.

Fonte: Elaborada pelo autor. Fonte: Elaborada pelo autor.

92

Figura 4: Interface gráfica do Geogebra mostrando as janelas de Álgebra, de Visualização2D e Visualização 3D.

Fonte: Elaborado pelo autor.As construções feitas na Janelas de Visualização são dinâmicas, ou seja, podem ser

deformadas, rotacionadas, transladadas, ampliadas e reduzidas sempre respeitando as

premissas utilizadas na sua construção. Diante dessas funcionalidades, é possível formular

situações didácticas, utilizando o software, que levem “o aluno a raciocinar geometricamente”

(BRASIL, 1997, p. 83). Em conformidade a isso, os PCN falam que “por meio da observação

e experimentação elas [estudantes] começam a discernir características de uma figura e a usar

as propriedades para conceituar classes de formas.”(Ibid, 1997, p.82).

Vemos com o que foi dito no parágrafo anterior, que a importância de se utilizar

softwares nas aula de matemática é uma prática reconhecida e recomendada a nível nacional,

e que o Geogebra se encaixa perfeitamente nessas sugestões. E, se observarmos bem,

podemos notar que que há mais do que simples indicação do uso, pois existe um programa do

governo federal, o ProInfo21, voltado a promover o uso pedagógico da informática na rede

pública de educação. Esse programa funciona em conjunto com os governos estaduais e

municipais, os quais fornecem, dentre outras coisas, a infraestrutura para a instalação dos

computadores ofertados pelo governo federal. O ProInfo é apenas um dos programas,

podendo ser citado também o anúncio feito em fevereiro de 2012 da distribuição de tablets

21 Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/proinfo/proinfo>. Acesso em: 4 jan. 2016.

93

para professores do Ensino Médio22.

Neste contexto de medidas governamentais para a inserção e uso da informática nas

aulas da Educação Básica por meio da distribuição de diferentes tipos equipamentos, fazem

com que as características multiplataforma do Geogebra, associada a sua gratuidade, já sejam

suficiente para justificar nossas opção por este software. Tal escolha está longe de ser

exclusividade nossa, uma vez que o volume pesquisas envolvendo o uso do Geogebra é tão

expressivo a ponto de haver uma revista23 associada a PUC-SP, inteiramente dedicada a

trabalhos de investigação com ele.

Agora, de uma forma mais específica, o Geogebra apresenta uma ferramenta, que

combinada ao seu caráter dinâmico, torna-se fundamental para o desenvolvimento da nossa

investigação. A ferramenta a qual nos referimos, é a Mover, que está localizada na primeira

caixa (ver Figura 5) da barra de ferramenta. O próprio nome da ferramenta já sugere sua

funcionalidade: mover objetos; e esse tipo de inferência será explorado na atividade

elaborada, apresentada e analisada na seção que segue.

Figura 5: Primeira caixa aberta mostrando a ferramenta Mover selecionada.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Apresentação e Análise das Atividades Elaboradas:

A partir de agora descreveremos como foram construídos cada arquivo do Geogebra

a ser utilizado em cada questão dessa atividade, analisaremos também os itens e faremos

indicações para o professor regente de como conduzir a aula. A primeira delas é que ao iniciar

a aula o professor também tenha acesso a um computador com o Geogebra e que a tela desse

esteja projetada de forma que todos os alunos presentes possam vê-la. Desse modo, seguimos

com as questões:

22 Mais informações sobre o anúncio estão disponíveis em: <http://portal.mec.gov.br/component/content/article?id=17479:ministerio-distribuira-tablets-a-professores-do-ensino-medio>. Acesso em: 4 jan. 2016.

23 Home page da revista do Instituto São Paulo Geogebra: <http://revistas.pucsp.br/index.php/IGISP/issue/archive>. Esta revista está associada à Faculdade de Ciências exatas e Tecnologia da PUC-SP.

94

1)Faça com que o ponto A e o ponto B se encontrem.

Figura 6: Arquivo do Geogebra utilizado na primeira questão da atividade.

Fonte: Elaborado pelo autor.Aqui queremos que os estudantes venham a descobrir de forma intuitiva a função de

deslocar da ferramenta mover e, que eles notem que o ponto A pode ser movido livremente no

plano. Para isso foram criados dois pontos livres A e B, utilizando a ferramenta Ponto.

Esta questão solicita que o estudante realize a tarefa implícita de reduzir a zero a

distância entre os dois pontos. No entanto, o objetivo principal está em que os alunos

encontrem e utilizem a ferramenta Mover. Como estas questões têm o duplo papel de ensinar

geometria e promover o uso do Geogebra, o professor não pode dizer aos estudantes qual

ferramenta utilizar, pois além dos nomes delas já serem bastante intuitivos, ainda, ao repousar

o mouse sobre cada ferramenta, aprecem informações sobre elas. Desse modo, cabe ao

professor questionar sobre qual ferramenta eles deverão usar para realizar o que a questão

pede e, caso eles não respondam, ele pode pedir que abram as caixas uma a uma, coloquem o

cursor sobre cada ferramenta e leiam. Assim temos iniciado o momento de exploração.

Uma vez identificada a ferramenta, vemos iniciar o momento do trabalho sobre a

técnica, a qual é por sua vez muito simples. Consiste em posicionar o cursor sobre o ponto A,

manter o botão esquerdo do mouse pressionado e deslocar o ponto A até o ponto B. É certo

que o professor pode encontrar alunos que ainda não tenham tanta intimidade com o uso do

computador, então este deve iniciar um momento de institucionalização, solicitando que todos

observem a projeção e ele realiza todo o processo e mostre uma técnica alternativa que seria:

selecionar o ponto A com um clic e depois utilizar as setas do teclado para mover o ponto.

A depender do tempo disponível, o professor pode ensinar aos alunos como Habilitar

95

o Rastro clicando com o botão direito e solicitar que eles novamente aproximem o ponto A do

B. Esse processo fará com que surjam vários “caminhos” diferentes que o ponto A pode

percorrer, uns maiores e outros menores. Neste momento, o professor pode questionar acerca

de como seria o menor caminho que o ponto A poderia percorrer até o ponto B, explorando

assim a noção de segmento de reta. Para certificar-se de que todos os alunos estão

acompanhando o professor deve observar as telas antes de iniciar a segunda questão.

2)Aproxime o ponto B do ponto C o máximo que você conseguir.a)O que acontece com o ponto A?

Figura 7: Arquivo do Geogebra utilizado na segunda questão da atividade.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Na construção do arquivo para essa questão criamos dois pontos B e Z, a partir deles

criamos uma reta e, posteriormente criamos um ponto A sobre a reta e um ponto C fora dela,

por fim ocultamos a reta e o ponto Z. Essa questão visa que os alunos exercitem o uso da

ferramenta Mover, mas que eles percebam que o deslocamento de um objeto pode influenciar

outro objeto. Do ponto de vista geométrico, essa questão junto com as ideias trabalhadas na

anterior farão com que os alunos distingam pontos livres e pontos não livres.A tarefa a ser realizada aqui é do mesmo tipo da questão anterior, a qual é resolvida

por meio do mesmo conjunto de técnicas, no entanto o foco está nas consequências do

emprego da técnica. Desse modo, faz surgir a necessidade de um momento tecnológico-

96

teórico, logo após os alunos terem escrito suas respostas, para justificar o movimento

“involuntário” do ponto A. Nesse momento o professor solicita mais uma vez que todos

observem a projeção, então ele deverá tornar visível a reta e o ponto Z, evidenciando assim

que o ponto A se move porque ele é pertencente a reta BZ [θ, Θ]. Aproveitando o ensejo,

pode-se iniciar o momento de institucionalização durante o qual o professor deverá evidenciar

– utilizando a ferramenta mover e possivelmente habilitando o rastro – as diferenças dos

movimentos que os pontos C e A podem realizar. Ao fazer uso da função Habilitar Rastro para

o ponto A, ele pode argumentar que em cada lugar que o ponto deixa seu rastro está sendo

ocupado por outro ponto, desse modo ele pode fazer com que os alunos compreendam a reta

como um conjunto de pontos alinhados.3)Faça com que o ponto A se aproxime do ponto Ba)O que acontece com os pontos C e D?

Figura 8: Arquivo do Geogebra utilizado na terceira questão da atividade.

Fonte: Elaborado pelo autor.A construção foi realizada da seguinte forma: Foram criados dois pontos livres A e B;

criou-se um segmento de tamanho fixo, sendo uma das extremidades o ponto A e a outra um

ponto C gerado pelo próprio programa; com a ferramenta Polígono Regular e criou-se um

triângulo equilátero sendo os ponto A e C vértices deste; o terceiro vértice foi nomeado como

D; por último foram ocultados todos os elementos, menos os quatro pontos. Esse item da

atividade foi pensado para cumprir os seguintes objetivos: praticar o uso da ferramenta

Mover; evidenciar que mais de dois elementos podem está relacionados (neste caso eles são

vértices de um triângulo); verificar se os alunos conhecem a figura geométrica determinada

97

pelos pontos A, C e D.

Para cumprirmos com os objetivos acima, continuamos com a mesma dinâmica das

questões anteriores em que os alunos lêem, manipulam o arquivo, e responde. Agora, em

lugar do professor tomar o papel de único protagonista do momento tecnológico-teórico, ele

pode perguntar aos alunos o por quê do movimento dos pontos C e D, para que assim eles

entrem em situações de formulação e validação, nas quais poderão aguçar sua percepção da

relação entre entes geométricos, a argumentação e a comunicação de suas idéias.

É provável que os estudantes não saibam responder. Assim ocorrendo, caberá ao

professor instigá-los com perguntas do tipo: será que os pontos C e D estão presos

(pertencem a uma) numa reta? Vocês conseguem movimentar o ponto C? O movimento do

ponto C é em linha reta? E o ponto D, conseguem movê-lo? Cabe aqui muita atenção na

elaboração das perguntas para que elas não respondam, mas sim instiguem os alunos a

explorarem e formularem respostas, evitando assim que se estabeleça um contrato didático

baseado no Efeito Topaze, descrito no aporte teórico desse artigo. E caso o aluno não

responda exatamente aquilo lhe é solicitado – justificar o movimento dos pontos C e D – o

professor não pode “fingir” que o aluno respondeu corretamente só porque eles se aproximou,

mas sim incentivá-lo a melhorar sua argumentação ou continuar explorando a construção.

Assim procedendo, o ministrante da aula evitará mais uma consequência negativa do contrato

didático denominado por Brousseau (2007, p. 77) de Efeito Jourdain.

Diante de tudo isso, não é extremamente necessário que os estudantes consigam

justificar, o mais relevante agora é que a ferramenta Mover e o deslocamento provocando por

ela passem a ser um instrumento de exploração, ou seja, aqui o mais relevante é que o

processo de gênese instrumental progrida. Caso os alunos não consigam justificar dentro de

um tempo razoável de investigação, então o professor “retoma as rédeas” podendo fazer

coincidir os momentos tecnológico-teórico e institucionalização.

Mas uma vez deve-se tornar visível os elementos ocultos e perguntar se os alunos

sabem o nome do polígono que aparece. É também relevante informar que os pontos A, C e D

são os vértices do triângulo e, caso eles não lembrem ou não saibam o conceito de vértice o

professor deve afirmar que o vértice é o ponto em comum entre os lados da figura. Além

disso, ressaltar que esse é um triângulo especial pois a medida dos lados dele são iguais e por

isso que ao arrastar o ponto A, os outros o acompanham mantendo a mesma distancia de

98

antes.

Essa questão possui um potencial para definir a circunferência como o lugar

geométrico dos pontos equidistantes de um dado ponto fixo, e isso se daria pela exploração do

movimento do ponto C. No entanto, julgamos que é demasiada informação para os alunos em

uma única questão e sugerimos que o foco seja mantido no uso e consequências da ferramenta

Mover e na apreensão de conhecimentos necessários para o estudo dos polígonos.

4)Aproxime o ponto D do ponto A. a)O que ocorre com a reta a?

Figura 9: Arquivo do Geogebra utilizado na quarta questão da atividade.

Fonte: Elaborado pelo autor.

A t é aqui é fácil observa um padrão nessas questões, nas quais os enunciados

aparecem como uma variável didática que foi fixada com o intuito de que a atenção dos

alunos se voltem para outra variável, que é a reação do meio (software Geogebra) às suas

ações – mover determinado objeto da construção –. Assim, nas questões anteriores vimos

como objetos mais complexos, como reta e polígono, determinavam e/ou restringiam os

movimento de um mais simples (ponto), porém agora nos atentamos ao inverso.

Embora pareça que, essa questão não passa de um exercício simples, se a

observarmos tomando em conta as questões que a antecederam, ela foi proposta para, em

conjunto com o seguinte item da atividade, levarem os alunos começar a “duvidar” da mera

percepção visual, e notarem que o movimento pode revelar propriedades até ali não cogitadas,

como veremos a seguir.

99

5)Coloque o ponto F entre os pontos J e K. Assinale a alternativa correta.

Figura 10: Arquivo do Geogebra utilizado na quinta questão da atividade.

Fonte: Elaborado pelo autor.

a) O que acontece com a reta c? ( ) A reta c se move ( ) a reta c gira em torno do ponto E ( ) nada acontece com o a reta c ( ) a reta c some.

b) E porque isso acontece? ( ) Porque o ponto F está “preso” na reta c ( ) porque o ponto F não está “preso” na reta c ( ) porque o ponto F está fixado.

c) O mesmo ocorre se colocarmos o ponto E entre os pontos J e K? Por quê?

Para a construção desse arquivo, criamos um segmento JK e a reta c passando pelos

pontos E e F2,criamos um ponto livre F, o qual foi posicionado sobre a reta c, por fim,

ocultamos o ponto F2. Como estávamos dizendo no fim da análise do item anterior, este foi

elaborado para que os alunos percebam que as vezes “as aparências enganam”. Essa

afirmação decorre de que, na questão anterior, o deslocamento do ponto D provocava o

movimento da reta, revelando assim a existência de uma relação entre ponto e reta. Já aqui,

embora pareça a mesma situação, somente o deslocamento de F pode revelar sua principal

propriedade, que é ser um ponto livre.

100

É fácil de se notar que a estrutura da questão, mesmo de forma diretiva, deixa a cargo

do estudante justificar o comportamento da construção, uma vez que os sub-itens a) e b)

solicitam que eles observem a consequência do movimento e expliquem esse comportamento

da construção, respectivamente. No entanto, o sub-item c) é um pouco menos diretivo, uma

vez que os alunos podem redigir sua resposta como queiram, embora seja bem provável que

eles utilizem termos iguais ou semelhantes aos encontrados nos sub-itens anteriores, o que

não deve ser tido como algo negativo, uma vez que eles estão ainda em processo de

desenvolvimento da habilidade de argumentação matemática.

Durante o processo de institucionalização o professor pode optar por associar a

expressão “está preso” a noção de pertinência. Também pode chamar a atenção para o

comportamento inesperado do ponto F afirmando que ele foi criado com a propriedade de ser

livre no plano, que mesmo tendo sido posicionado sobre a reta, ele continuou guardando sua

propriedade, a qual foi revelada ao ser movido, diferente do ponto E, que é um ponto cuja

propriedade é pertencer a reta, e por assim ser, nem a reta pode ser dissociada dele, nem ele

dela. Fazendo, assim, as propriedades serem vistas como características das quais os objetos

geométricos não podem se desvencilhar.

6)Aproxime o ponto G do ponto H.

Figura 11: Arquivo do Geogebra utilizado na sexta questão da atividade.

Fonte: Elaborado pelo autor.a)Descreva o que acontece com o ponto J.

101

b)Afaste o ponto G do ponto H. Depois, meçam a distância do ponto G ao ponto H edo ponto H até o ponto J e marque a resposta correta:( )A Distância de GH é o dobro da distância de HJ;( ) A Distância de GH é menor que a distância de HJ;( ) A Distância de GH é igual a distância de HJ;( ) A Distância de HJ é maior do que a distância de GH;

c)Afaste o ponto G do ponto H. O que acontece com as medidas dos segmentos GH eHJ?

Por acreditarmos que a descrição da construção já traz informações relevantes para

compreender o que é proposto na questão seguimos com os detalhes desta. Primeiramente

criamos dois pontos livres E1 e F1 a partir desses dois criamos a reta b sobre qual criamos os

ponto G e H e, com o auxílio da ferramenta Reflexão em Relação a um Ponto – localizada

na nona caixa de ferramentas – criamos o ponto J, que é a reflexão do ponto G em relação ao

ponto H.

Dada essa construção e, após realizar a tarefa de reduzir a distância entre os ponto G

e H, o sub-item a) busca que os alunos percebam que a distância do ponto J ao H depende da

distância de G a H. Já os sub-itens b) e c) se aproximam mais do objetivo geral da atividade

que é verificar que os segmentos GH e HJ são congruentes – o conceito de segmentos

congruentes é relevante para a distinção de alguns polígonos como losangos.

A técnica utilizada no sub-item b) para medir é precedida por um processo

semelhante ao utilizado na questão 1 para identificar qual ferramenta usar. Portanto, o

professor, mais uma vez, deve solicitar que os alunos abram as caixas de ferramentas, e leiam

os nomes das ferramentas. Para agilizar o processo de exploração do software ele pode

orientá-los a começarem com as caixas de ferramentas da direita. Uma vez encontrada a

ferramenta, devem clicar no ponto G depois no H, medindo assim o segmento GH, e da

mesma forma o HJ, feito isso, eles devem comparar as medidas apresentadas pelo Geogebra.

Neste contexto, o sub-item c) vem para que os estudantes percebam que as medidas não estão

iguais por uma mera coincidência, mas sim por que essa é uma propriedade dos dois

segmentos.

O temo “congruente” não é mencionado em nenhum momento na questão, ficando

assim a cargo do professor, durante o momento de institucionalização, formalizar esse

conceito, o qual provavelmente será encontrado na definição de de figuras geométricas nos

102

livros textos e até no complemento dessa atividade.

7)Faça com que o segmento BF fique com a mesma medida do segmento CD,enquanto isso observe o ponto E. O que acontece com o ponto E?

Figura 12: Arquivo do Geogebra utilizado na sétima questão da atividade.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Primeiramente criamos os pontos A e B e a reta a que passa por eles, depois

construimos o segmento CD de modo que ele cruzasse a reta AB e marcamos a intercessão

(ponto E) de ambos com a ferramenta Ponto de Intercessão de Dois Objetos e, por fim,

criamos o segmento BF, medimos a ambos os segmentos e fixamos o ponto F. Com essa

questão visamos que os estudantes percebam que certos objetos só existem em condições

determinadas e, também buscamos apresentar o conceito de ponto de intercessão.A tarefa de aproximar dois pontos está agora atrás da máscara de igualar as medidas

de dois segmentos. Existiriam duas formas de resolver esse problema, uma seria mover o

ponto F, contudo se os alunos tentarem movê-lo, então perceberão que este não pode ser

movido, restando assim apenas a opção de mover o ponto B. Ao moverem o ponto B tentando

igualar as medidas dos segmentos notarão que o ponto E desaparece. Neste momento, cabe ao

professor, mais uma vez estimular que os alunos apresentem justificativas para tal

acontecimento, transpondo assim a simples observância e avançando no sentido da ação

seguida da reflexão sobre a ação.8)Responda as questões abaixo:

103

Figura 13: Arquivo do Geogebra utilizado na oitava questão da atividade.

Fonte: Elaborado pelo autor.a)Os pontos B e F pertencem a reta a? Por quê?

b)Os segmentos AB e EF são congruentes (têm a mesma medida)?

Para construção desse arquivo, criamos uma reta que passa pelos pontos A e B,

criamos um quadrilátero regular com a ferramenta Polígono Regular, marcamos o ponto E

sobre a reta, utilizamos o comando F=Ponto[Círculo[E, b]] para criar o ponto F pertencente

a uma circunferência de raio b (que é a medida do segmento AB) e cento em E, criamos o

ponto livre G e com a ferramenta Polígono construimos um triângulo de vértices E, F e G.

A partir dessa questão temos uma mudança de postura que pode ser notada a partir da

leitura do enunciado. Agora os estudantes não são direcionados a fazerem algo e observar as

reações do software, mas sim, diante do que lhe é questionado, pensar quais devem ser suas

ações para encontrar a resposta. Assim, para responder o sub-item a) basta que ele repita uma

ação já realizada antes, que é tentar mover o ponto B, ao fazer isso, ele notará que a reta

acompanha o ponto B sem se desvencilharem, porém o ponto F sai de cima da reta. A razão

do comportamento desses objetos já está explicita na própria descrição da construção, que é: a

reta tem por propriedade ser uma reta que passa por dois pontos, um deles é o B; Já o ponto F

é um ponto que depende exclusivamente do ponto E e do segmento AB.

Já a o sub-item b) revela a importância da institucionalização realizada na questão 6,

104

pois necessita que os aluno saibam o conceito de segmentos congruentes sob um ponto de

vista de construções geométricas dinâmicas, ou seja, aquelas cujas propriedades são mantidas

mesmo com o deslocamento dos seus objetos. Para resolvê-la o estudante necessita medir os

segmentos utilizando a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, mover as

extremidades dos segmentos e observar que as medidas permanecem iguais independente do

movimento realizado. Cabe ao professor, após os alunos terem respondido o sub-item,

ressaltar essa “resistência” da propriedade ao movimento.

9)As retas m e n, que estão no arquivo do Geogebra, são paralelas. Se colocarmos oponto A em cima do ponto B:

Figura 14: Arquivo do Geogebra utilizado na décima questão da atividade.

Fonte: Elaborado pelo autor.a)O que acontece com o ponto C?

b)O que que acontece com as retas m e n?Para a confecção desse arquivo criamos três pontos livres A, B e D os quais serviram

de base para criação de uma reta m que passa pelos pontos B e D, e outra denominada n

paralela a m e que passa por A, depois criamos dois pontos, o C na reta n e o E em m, esses

dois últimos pontos foram fixados de forma que AC fosse congruente a BE.O sub-item a) vem a dar conta de abordar o conceito de pontos coincidentes, o qual

pode ser utilizado na definição de retas paralelas – retas que quando sobrepostas, todos os

105

pontos de uma coincidem com um ponto da outra –. Após os alunos responderem ao sub-item

b) o professor pode conceituar retas paralelas como duas retas que não possuem pontos em

comum e que caso dois pontos coincidam todos os outros coincidirão também dando origem

assim ao que chamamos de retas coincidentes. Essa idéia de retas paralelas ficará mais clara

na questão seguinte.10)Coloque o ponto C sobre o ponto A e responda:

Figura 15: Arquivo do Geogebra utilizado na décima questão da atividade.

Fonte: Elaborado pelo autor.a)O mesmo que aconteceu com as retas da questão anteriorb)acontece com as retas r e s?c)As retas r e s são paralelas? Por quê?

O arquivo foi construído da seguinte maneira: criou-se uma reta passando pelos

pontos A e B; o mesmo foi feito com os pontos C e D; foram criados os pontos E e F, os quais

foram fixados sobre as retas CD e AB, respectivamente.Na resolução dessa questão os alunos farão um exercício de comparação com os

resultados da questão anterior potencializando assim uma melhor compreensão do conceito de

retas paralelas tomando como base a ideia de retas concorrentes, cujo conceito será

institucionalizado pelo professor.11)Responda as questões abaixo:

106

Figura 16: Arquivo do Geogebra utilizado na décima primeira questão da atividade.

Fonte: Elaborado pelo autor.a)Se colocarmos o ponto C sobre o ponto A, os segmentos AB e DC ficam um emcima um do outro?

b)Se colocarmos o ponto E sobre o G, o que acontece com os segmentos EF e GH?

c)Podemos dizer que os segmentos EF e GH são paralelos? Por que?

d)Podemos dizer que os segmentos AB e DC são paralelos? Por que?

Foram criados três segmentos AB, DC e EF, na sequência criou-se um ponto G pelo

qual foi traçada uma reta paralela ao segmento EF, sobre essa reta criamos um ponto H,

ocultamos a reta e criamos segmento unindo G e H. Nesta questão temos um uso maior da

notação para segmentos, a qual será necessária durante o trabalho com as figuras geométricas

plana, bem como o uso da ferramenta mover para descobrir propriedades dos segmentos.

Essa questão é um bom momento para que o professor observe as ações dos seus

alunos afim de identificar se eles acompanharam todo o processo que foi sendo desenvolvido

nas outras questões. É importante que neste estágio a ferramenta Mover já tenha sido

consolidada pelos alunos como um instrumento de exploração de propriedades das

107

construções. No entanto, a certeza de que o processo de gênese instrumental ocorreu com

sucesso, só poderá ser obtida nas próximas etapas dessa sequências de situações didáticas.

As etapas por vir são: uma aula sobre polígonos convexos, a qual se dará também

com o uso do Geogebra e de outros recursos que o professor julgue necessário; e a etapa final

é uma avaliação de todo o processo. A análise das situações que propomos para essas duas

ultimas etapas não serão apresentadas aqui, por limitação de espaço, ficando assim para um

trabalho posterior.

Considerações finais:A análise que apresentamos neste artigo foi uma análise a priori das situações

didática que elaboramos. Embora não tenhamos dito, essa atividade era compota por mais

questões, as quais, mesmo diferentes, se mostravam pouco proveitosas por abordarem os

mesmos conceitos e aumentar ainda mais o tempo de implementação da atividade, por isso

optamos em retirá-las. Esse fato, revela não somente a importância do planejamento de uma

aula, quer seja ou não, com uso de softwares, mas também uma análise mais cuidadosa desse

planejamento antes mesmo de ser implementado.

Um outro aspecto que foi bastante enfatizado o duplo papel das atividades. Em

nossas análise buscamos apresentar as contribuição para a aprendizagem acerca do uso da

ferramenta Mover do Geogebra, bem como sobre conceitos geométricos essenciais para a

compreensão da figura geométrica como um todo. Esse procedimento se justifica pela

intenção de contemplar as duas dimensões do processo gênese instrumental, bem como

provocar o estabelecimentos e explorar as relações entre Sujeito, Instrumento e Objeto,

presentes no modelo SAI.

Além disso, insistimos para que o professor instigue aos alunos a justificarem está

fundamentado na sugestão dos PCN, citado anteriormente, de levar os alunos a raciocinarem

geometricamente. E, nesse processo de justificação, as propriedades geométricas vão tomando

lugar de destaque, fato este que será imprescindível para cumprir o objetivo de que os alunos

deixem o trabalho sobre o desenho e passem a trabalhar nas aula de geometria sobre a figura.

Também, referente às indicações dos PCN para o ensino da matemática por meio do

uso de softwares, pudemos constatar por meio da observação de diversas características e

funcionalidades do Geogebra, que este atende (dá suporte) a grande maioria das sugestões

inerentes ao ensino de geometria por meio do uso de ferramentas tecnológicas. Revelando-se

108

assim como a opção mais adequada para se adotada para o desenvolvimento desta e de outras

atividades na mesma linha.

Referências:

BROUSSEAU, G. Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas. Tradução: Dilma Fregona. 1ª ed. Buenos Aires: Libros Zorzal, 2007. 128 p. (Formación Docente)

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Primeiro e segundo ciclos do ensino fundamental: matemática. Brasília: Ministério da Educação/Secretaria de Educação Fundamental, 1997. 148p. (PCNs 1ª a 4ª Séries).BRASIL. MEC. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/proinfo/proinfo>. Acesso em: 4 jan.2016

CHEVALLARD, Y. La transposición didáctica: del saber sabio al saber enseñado. 3. ed Buenos Aires: Aique, 2000. 196 p. (Psicologia cognitiva y educacicion) ISBN 9507013806

_______. Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathématiques: L'approche anthropologique, Actes de I'U. E. de la Rochelle, 1998.

ESPINOZA, L.; AZCÁRATE, C. Organizaciones matemáticas y didácticas em torno al objeto de “limite de función” :una propuesta metodológica para el análisis. Enseñanza de Las Ciencias, v. 18, n. 3, p. 355-368. Institut de Ciències de l'Educación de la Universitat Autònoma de Barcelona, 2000.

FERRAGINA, R; AMMAN, S.; BIFANO F.; CICALA, R.; GONZÁLEZ, C.; LUPINACCI, L. Geogebra entra al aula de matemática. 1º ed. Buenos Aires: Miño y Dávila, 2012.

LABORDE Colette.; CAPPONI Bernard. Aprender a ver e a manipular o objeto geométrico além do traçado no Cabrri-Géomètre. Em Aberto, Brasilia, ano 14, n. 62. abr./jun. 1994.

LOPEZ, N. R. Resolución de Problemas Geométricos com Geogebra em la formación de professorado de la educación primária: un estudio de caso. Revista do Instituto Geogebra Internacional de São Paulo ISSN 2237-9657, São Paulo, vol. 1, n. 1. 2012. <http://revistas.pucsp.br/index.php/IGISP/issue/view/557/showToc> . Acesso em: 12 nov. 2015

WHAT is Geogebra?. Disponível em: <http://www.geogebra.org/about>. Acesso em: 2 jan. 2016

RABARDEL, Pierre. Les hommes et les technologies. Paris: Armand Colin, 1995.

109

ARTIGO 4

ANÁLISE DE UMA ATIVIDADE ELABORADA NO GEOGEBRA PARA A

TRANSIÇÃO DO DESENHO PARA A FIGURA

110

ANÁLISE DE UMA ATIVIDADE ELABORADA NO GEOGEBRA PARA A

TRANSIÇÃO DO DESENHO PARA A FIGURA

Resumo:

Podemos identificar duas concepções que podem ser evocadas ao se tentar identificar um entegeométrico, a do trabalho sobre o desenho e do trabalho sobre a figura. Essas duas forma detrabalho constituem a Problemática Desenho-Figura. As causas e justificativas para aexistência dessas duas concepções podem ser encontradas por meio da análise do processo deTransposição Didática. Tendo em vista essa problemática, criamos um arquivo do Geogebracom a finalidade de apoiar o professor em suas explicações e que ao mesmo tempo sirva deobjeto de exploração para os alunos. Tais construções foram feitas com um certo cuidado emnão deixar as figuras em posições tradicionais. E as teorias das Situações Didácticas eAntropológica do Didático nos permitem realizar um planejamento mais detalhado, uma vezque nos faz atentar para fatos que devem ocorrer em sala e para o papel a ser desempenhadopelo professor e pelo aluno em determinados momentos. Com as análises realizadas, pudemosnotar que trabalhar com desenhos estáticos no papel é diferente da maneira de lidar comconstruções feitas em softwares de geometria dinâmica. E em atividades instrumentadas oprofessor não pode monopolizar manipulação do Geogebra, pois é a manipulação direta quepropiciará ao estudante estabelecer a relação entre sua ação e a reação do software.Palavras-chave: Problemática Desenho-Figura, Teoria das Situações Didáticas, Concepções,Teoria Antropológica do Didático, Geogebra

Abstract

We can identify two conceptions that can be avoided when trying to identify a geometric one,the work on the design and work on the figure. These two forms of work are the ProblematicDrawing-Figure. The causes and justifications for the existence of these two concepts can befound by analyzing the Didactic Transposition process. Considering this problem, we createda Geogebra file in order to support the teacher in his explanations and at the same time serveas an object of exploitation for students. Such constructions were made with some care not tolet the figures in traditional positions. And the theories of Didactic Situations andAnthropological of the Didactical allow us to perform more detailed planning, since it makesus pay attention to facts that must take place in the classroom and the role to be played by theteacher and the student at certain times. With the analyzes, we noted that working with staticdrawings on paper is different from the way of dealing with buildings made in dynamicgeometry software. And in instrumental activities the teacher can not monopolizemanipulation Geogebra, it is the direct manipulation that provides the student establish therelationship between his action and the reaction of the software.Keywords: Problem Design-Figure, Theory of Situations, Conceptions, AnthropologicalTheory of Didactical, Geogebra.

111

Introdução

O texto que segue está voltado a descrição e análise da segunda e terceira fases da

atividade elaborada com a finalidade de obter dados para analisar as contribuições do

Geogebra no tratamento da Problemática Desenho-Figura no 6º ano. A primeira fase dessa

atividade – apresentada e analisada num artigo anterior a esse – foi construída para que os

alunos tivessem um primeiro contato com o software Geogebra, aprendessem a utilizar a

ferramenta Mover e, durante esse processo, revisassem alguns conceitos básicos para o estudo

das figuras geométricas planas.

Para tal, ela constava de 11 questões, cada uma associada a uma construção feita no

Geogebra, nas quais os estudantes deveriam manipular a construção para poderem resolver.

Essas construções, além de servirem para o processo de resolução, apresentavam potencial

para que o professor as utilizassem para fazer mais algumas considerações sobre os conteúdos

que estavam sendo abordados.

Agora, a segunda fase dessa atividade é na verdade duas aulas – se considerarmos

uma aula como as atividades que se desenvolvem dentro de um intervalo de tempo de

cinquenta minutos – nas quais serão abordados conceitos e propriedades sobre seis figuras

geométricas planas: triângulo; trapézio; paralelogramo; losango; retângulo; e quadrado. Essas

aulas também terão como principal recurso material o Geogebra. São seis construções, uma

para cada figura, as quais serão manipuladas tanto pelo professor quanto pelos estudantes. E a

participação dos alunos nas aulas será promovida por meio das “perguntas de bolso” que o

professor trará.

Depois dessas aulas, inicia-se a terceira fase da atividade, que pode ser vista como

um momento de avaliação geral dos trabalhos realizados na duas fases anteriores. Essa ultima

etapa é composta por um trabalho em dupla e outro individual. A atividade em dupla, na

verdade entre duplas, segue a mesma dinâmica encontrada em Nogueira Farias e Farias

(2007), uma dupla manipulará uma construção segundo os questionamentos elaborados pela

outra dupla. E o trabalho individual é um pequeno desafio baseado numa construção um

pouco mais complexa, por se tratar de uma figura composta de varias outras, na qual os

alunos deverão validar ou invalidar uma série de propriedades.

Uma vez apresentada essa visão geral do trabalho, partiremos, nas seções que

seguem, com uma apresentação dos principais conceitos teóricos que nortearam a proposta da

112

atividade, a análise da segunda e terceira fase acompanhada do procedimento de construção

de cada arquivo utilizado e, por fim traremos algumas considerações finais junto a

apresentação dos próximos passo dessa pesquisa.

Teorias utilizadas para a análise

Dentro da Teoria das Situações Didáticas, Brousseau (2007) fala sobre a concepção

que um sujeito tem de um objeto matemático, a qual é manifestada por meio do modelo de

resposta que o indivíduo dá em uma determinada situação. Segundo esse autor a concepção é

um conjunto de conhecimentos e saberes24 mobilizados simultaneamente para resolver uma

situação.

Baseando-nos nesse conceito, podemos identificar duas concepções que podem ser

evocadas ao se tentar identificar um ente geométrico. A primeira delas é o trabalho sobre o

desenho, onde elementos gráficos como cor, tamanho e posição servem de parâmetro para

distinção de um ente geométrico do outro. Essa concepção é, por exemplo, bastante eficaz em

situações de separação em categorias, comumente utilizadas com crianças da educação

infantil e das séries iniciais.

Já a segunda concepção, trabalho sobre a figura, que se caracteriza por está pautada

em propriedades mais abstratas dos entes geométrico e que são mais independentes do

suporte. O trabalho sobre a figura é mais exigido durante a resolução de problemas mais

complexos, que exigem dedução ou que envolvem a escolha das características que melhor se

adequam a um problema de aplicação, como a escolha do formato de um reservatório, ou a

disposição do madeiramento do telhado.

Essas duas formas de se trabalhar com os entes geométricos foram estudadas e

problematizadas por Laborde e Capponi (1994). Essa Problemática Desenho-Figura parte do

conceito de desenho geométrico como sendo um representante dependente do suporte material

utilizado, passível de interpretação do sujeito e que tem por finalidade transmitir (ou

informar) uma quantidade de propriedades da figura geométrica. A figura geométrica por sua

vez, é um ente binário composto por um conjunto de representantes e uma série de

propriedades que se interrelacionam.

Disso tudo vemos que, a Problemática Desenho-Figura se enquadra como uma

24Brousseau (2007, p. 28) distingue conhecimento de saber. Conhecimento é aquilo que pode ser transmitido ou aprendido por meio de imitação, comunicação, etc. Enquanto isso, o saber é um conjunto de conhecimentos organizados por uma instituição a fim de comunicá-lo.

113

mudança de concepção acerca de objetos geométricos. O estudante, até determinado nível

escolar, estuda geometria trabalhando sobre o desenho, no entanto, em dado momento ele

passa a ter que resolver uma gama de problemas para os quais os conhecimentos sobre o

representante não são mais suficientes, sendo exigido agora conhecimento sobre as

propriedades geométricas. E essa ruptura com uma concepção para o estabelecimento de

outra, nem sempre se dá de forma pacífica e, por assim ser, pode constituir-se num obstáculo

do tipo epstemológico (BROUSSEAU, 2007, p. 44).

Mudanças de forma de trabalho dessa natureza são bastante comuns dentro do

âmbito do ensino escolar e, as origens, causas e justificativas para esse fato podem ser

encontradas por meio da análise do processo de Transposição Didática pelo qual o objeto

matemático passou antes de ser efetivamente ensinado. Para definir Transposição Didática,

Chevallard (2000) distingue três tipos de saberes: o saber sábio, que é encontrado em

instituições voltadas para a produção de conhecimentos, como é o caso das universidades, é

um conjunto de conhecimentos que foram analisados e categorizados; o saber a ensinar, que é

uma “versão” do saber sábio que foi adaptada para o ensino por ter sua importância

reconhecida por determinados setores da sociedade; e o saber ensinado, composto pelos

conhecimentos que são efetivamente trabalhados em sala de aula. Nesse contexto, a

Transposição Didática é o processo de transformação pelo qual o saber sábio passa até chegar

a se tornar um saber ensinado.

Englobando essas ideias, Chevallard (1992) propõe a Teoria Antropológica do

Didático (TAD), a qual situa a atividade matemática, e por consequência a atividade de estudo

da matemática, dentro das atividades humanas e das instituições sociais. Além disso, a TAD

admite que toda atividade humana pode ser encaixada num modelo único denominado

Praxeologia. Neste contexto as noções de Tarefa, que é a ação a ser realizada pelo estudante;

Técnica, que é o(s) modo(s) de se realizar a tarefa; Tecnologia, a qual é uma explanação que,

além de explicar, justifica o porque o uso da técnica produz resultados verdadeiros; e a Teoria,

que dá subsídios a Tecnologia para o cumprimento da sua dupla função (CHEVALLARD,

1998).

Essas duas primeiras noções, Tarefa e Técnica, compõem o bloco denominado

Prático-Técnico, ou seja, o saber-fazer, que é o trabalho mais explícito sobre objeto

matemático. Já as duas últimas, Tecnologia e Teoria, unem-se para formar o logos, também

114

conhecido como bloco Tecnológico-Teórico. Assim, os dois blocos constituem, juntos, a

Organização Praxeológica entrono de um objeto matemático, a qual será frequentemente

chamada de Organização Matemática.

Dentro da TAD também é dado uma notória importância ao trabalho do professor,

uma vez que é ele quem efetivamente ensina – além de participar da processo transpositivo –

e escolhe, dentro de um universo de objetos matemáticos, aqueles que serão trabalhados e

como se dará esse trabalho. Diante disso, é evidente a necessidade de se modelizar e analisar

as práticas de ensino. É nesse sentido que a Chevallard (1998) apresenta os seis momentos de

estudo como uma forma de descrever a Organização Didática do processo de estudo25, isso

sem perder de vista o objeto matemático.

Temos que tais momentos não são temporais, mas sim dimensões do processo de

estudo, o que viabiliza a ocorrência de dois momentos de estudo no mesmo espaço de tempo.

Assim, o momento do primeiro encontro é o contato inicial que o estudante tem com um

determinado tipo de problema envolvendo um objeto matemático específico. Há também o

momento exploratório que é quando o aluno manipula o objeto matemático até que emirja

uma Técnica para a resolução do problema. Fica implícito que um sujeito pode está

explorando um objeto – por exemplo, tentando construir ou manipulando uma figura

geométrica – e a partir disso o problema surja e ele tenha seu primeiro encontro com o

problema e depois prossiga na busca de uma Técnica de resolução. Vemos assim ocorrer dois

momentos ao mesmo tempo.

Uma vez encontrada uma possível Técnica de resolução, entra-se no momento de

trabalho sobre a técnica. Essa dimensão acontece para que o estudante aprenda a utilizar a(s)

técnicas(s) conhecendo sua potencialidades e limitações. E esse momento é, as vezes,

responsável pelo surgimento do momento tecnológico-teórico, que é quando se manifesta a

necessidade de explicar e/ou justificar o funcionamento da técnica. Mas é do senso comum

que, o professor pode iniciar sua aula já pelo momento tecnológico-teórico, por exemplo,

quando ele vai ensinar os alunos a resolverem equações polinomiais do segundo grau, ele

pode falar das técnicas e depois passar uma lista de exercícios para os alunos utilizarem a

técnica.

Durante esses momentos o objeto matemático em estudo, está sendo manipulado,25 O Estudo é um processo que abarca a criação, recriação e consequências da Organização Praxeológica no

entorno de um objeto matemático (ESPINOZA e AZCÁRATE, 2000).

115

trabalhado e analisado pelo professor e pelos alunos, contudo, faz-se necessário que todos os

conhecimentos mobilizados sejam apresentados de forma ordenada, de acordo com as

exigências da instituição de ensino. E é no momento da institucionalização que o professor

identifica de forma explicita o objeto, valida ou invalida técnicas e deixa claro para os aluno

aquilo que deve ser aprendido e lembrado e o que não é necessário. No entanto é preciso

certificar-se de que o processo de estudo produziu os frutos desejados, e é para esse fim que

se estabelece o momento da avaliação. Espinoza e Azcárate (2000) vão mais fundo dizendo

que a institucionalização é realizada para que se possa avaliar o processo, e da mesma forma,

só se avalia aquilo que foi institucionalizado.

É perceptível que essas dimensões do estudo orbitam o objeto matemático. Mesmo

reconhecendo que o professor e o aluno desempenham funções nesse processo, os holofotes

voltam-se para o saber que está sendo estudado. Contudo, Brousseau (2007) discorre sobre

quatro tipos de Situações Didáticas – entorno do aluno estruturado pelo professor com o fim

de que o aluno aprenda – que servem para modelar e descrever as atividades do professor e do

aluno.

O primeiro tipo de Situação Didática é a Situação de Ação, a qual acontece quando o

estudante é apresentado ao problema e aceita resolvê-lo, ou seja, ele toma para si a

incumbência de chegar a uma solução. As Situações Didáticas ocorrem em um meio que reage

as ações dos sujeitos. E, durante a situação de ação, o estudante observa as reações do meio e

baseado nelas, ele elabora uma maneira de solucionar o problema. A esse processo de

elaboração de uma possível solução é dado o nome de Situação de Formulação. Porém, esse

método de resolução ainda está no campo das ideias do aluno, sendo assim, o próximo passo é

entrar numa Situação de Validação, durante a qual ele reunirá argumentos capazes de

convencer a si e ao demais (professor e colegas) da eficiência de sua estratégia formulada.

Essas situações podem ocorrer com ou sem a intervenção direta do professor e por isso, há a

necessidade de se validar ou invalidar todo o processo de acordo com os objetivos da Situação

Didática proposta, desse modo, tem-se justificada e requerida uma Situação de

Institucionalização.

Em todas as situações propostas nessa atividade utilizamos o software Geogebra, que

é um programa gratuito de geometria dinâmica desenvolvido para fins educacionais e que, por

causa de suas funcionalidades, pode ser utilizado para abordar problemas de cálculo, álgebra e

116

geometria. Sendo assim, as Situações Didática presentes nessa atividade se enquadra no que

Rabardel (1995) chama de Situação de Atividade Instrumentada (SAI).

O SAI é na verdade um modelo elaborado para analisar as relações que se

estabelecem durante implementação de uma atividade que utilize um artefato 26 tecnológico.

Nesse modelo encontramos quatro tipos de relações que se estabelecem entre o Sujeito,

aquele quem realiza a atividade, o Instrumento27 e o Objeto, que neste caso são as figuras

geométricas. As relações citadas anteriormente são: Sujeito-Objeto; Sujeito-Instrumento;

Instrumento-Objeto; e Sujeito Objeto mediado pelo Instrumento (HENRRIQUES et. al.

2007).

Partindo das ideias e conceitos relatados, na próxima seção apresentaremos e

analisaremos a segunda e terceira etapa da atividade proposta seguindo principalmente as

noções básicas constituintes das Organizações Matemática e Didáticas.

Análise da segunda e terceira etapa da atividades

Segunda fase:

Iniciamos agora a apresentação analítica da segunda fase da atividade que

elaboramos para coletar dados sobre as possíveis contribuições da ferramenta Mover do

Geogebra para a passagem do trabalho sobre o desenho para o sobre a figura no 6º ano do

Ensino Fundamental. Trata-se de um conjunto de aulas sobre seis figuras geométricas planas.

Para cada uma delas, criamos um arquivo do Geogebra com a finalidade de apoiar o professor

em suas explicações e que ao mesmo tempo sirva de objeto de exploração para os alunos.

Além desses objetivos, as construções foram feitas com um certo cuidado em não deixar as

figuras em posições tradicionais, como o quadrado com lados paralelos aos da tela, ou o

trapézio “sentado” sobre um dos seus lados paralelos.

É interessante que essas construções sejam utilizadas na ordem em que aparecem a

seguir, para assim, possibilitar que os estudantes percebam algumas dessas figuras como casos

especiais de outras, por exemplo, o retângulo como sendo um paralelogramo cujos ângulos

internos são retos. No tocante ao encaminhamento da aula, ela se fundamentará em “perguntas

26 Artefato é qualquer dispositivo tecnológico que pode ser empregado para um ou mais fins. É aquilo que é dado ao sujeito para realizar determinada atividade.

27 O conceito de Instrumento é peça chave para a Teoria da Instrumentação. O instrumento é na verdade umartefato que passou por um processo no qual suas potencialidades e limitações são associadas aoconhecimentos do sujeito que lhe utiliza, processo esse denominado gênese instrumental (Henriques et. al.2007).

117

de bolso” – questões preparadas pelo professor previamente para motivar (ou instigar) a

manipulação das construções tanto por parte dos alunos quanto por parte de professor – e

enquanto os alunos manipulam, o professor deve observar como eles o fazem. E ao final do

uso de cada uma, o professor pode utilizar os livro didático para institucionalizar as

definições.

É interessante que, ao passo que forem sendo constatadas as propriedades de cada

figura por meio da manipulação do software, o professor oriente os alunos a anotarem tais

características observadas, desse modo ele terá material para a avaliar se os alunos estavam

acompanhando a aula. Porém, nenhuma das perguntas feitas nesta etapa devem ser escritas

pelo professor, nem deve ser permitido que os alunos as escrevam, evitando assim uma

reprodução das mesmas na fase seguinte da atividade. Feitas essas considerações gerais,

partiremos para as mais específicas de cada construção, as quais serão sempre iniciadas com a

descrição dos passos realizados para construir cada uma com a intenção de evidenciar as

propriedades e para possibilitar que o professor recrie essas construções sozinho como se

fosse uma receita de bolo.

Figura 1: Primeiro arquivo do Geogebra a ser utilizado na segunda fase.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Esse triângulo foi construído utilizando a ferramenta Polígono, contida na quinta

118

caixa de ferramentas do Geogebra, bastando apenas clicar em três locais distintos do plano –

que é a Janela de Visualização –, nos quais o programa criou os pontos A, B e C. Essa aula

pode ser iniciada propondo aos alunos a tarefa de reconhecer o triângulo. E, por se tratar de

uma figura que provavelmente eles já estudaram antes, é esperado que a técnica de

reconhecimento esteja pautado no desenho. Essa predição ficará mais evidente se na

sequência propormos a tarefa de definir, mesmo que de forma oral, o triângulo. Vemos abaixo

duas sugestões de perguntas que podem ser feitas aos alunos.

Vocês sabem o que é isso (qual é o nome do) que está desenhado?

O que é um triângulo?

Para que os alunos extrapolem a ideia de triângulo como uma figura de três lados,

devemos apresentar-lhes mais algumas propriedades do triângulo como a desigualdade

triangular, a soma dos ângulos internos e, havendo tempo hábil, o conceito da altura do

triângulo, podendo essa última ser postergada para um momento dedicado ao cálculo de áreas.

Por exemplo, para abordar a desigualdade triangular podemos realizar os seguintes

questionamentos:

Quanto medem os lados desse triângulo?

E se eu pegar duas dessas medidas, somá-las e depois comparar com a medida do

lado que não foi usado, a soma é maior ou menor?

Eu consigo diminuir a medida dos lados que somei a ponto de que a soma fique

menor que a media do outro lado?

Aqui o professor pode solicitar que essas contas sejam feitas a mão ou pelo próprio

software a depender da disponibilidade de tempo. Assim, com esses questionamentos, é

estabelecido um problema de identificar uma relação entre as medidas dos lados do triângulo,

e esse é o momento do primeiro encontro dos estudantes com ele. Além disso, promove-se um

momento de exploração da construção e, consequentemente, um momento de trabalho sobre a

técnica, que é a de utilizar a ferramenta Mover do Geogebra para fazer variar algum elemento

da construção para observar o dos outros elementos.

Uma vez que os alunos percebam que essa soma é sempre maior que a medida do

lado não somado, o professor pode justificar que a resposta para a ultima pergunta é não,

porque se a soma dos dois segmento fosse menor, então com os três não seria possível

“montar” um triângulo. E durante o momento de institucionalização o professor pode

119

apresentar uma aplicação desse conhecimento sobre essa propriedade do triângulo, que a

escolha do menor caminho a ser percorrido partindo-se de um vértice para chegar em outro.

Para que os alunos de fato aprendam essa propriedade, é fundamental que os alunos

tomem para si esse papel de investigação e, com o auxílio do professor, eles observem as

reações do meio (Geogebra), contudo a formulação da resposta deve partir do aluno, de forma

individual e, em conjunto com seus pares, a validação das sua conjecturas.

De forma semelhante o professor pode explorar a propriedade da soma dos ângulos

internos.

Figura 2: Segundo arquivo do Geogebra a ser utilizado na segunda fase.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Utilizando a ferramenta Reta, criamos a reta a passando pelos pontos A e B,

posteriormente, com a ferramenta Ponto, marcamos o ponto C e, com a ferramenta Reta

Paralela, criamos a reta b clicando na reta a e no ponto C. Depois marcamos o ponto D sobre

a reta b. Então com a ferramenta Polígono, construímos o quadrilátero ABCD, que é um

trapézio. Por fim, ocultamos as retas.

Tal como o triângulo, pode-se iniciar o trabalho com essa construção procurando

saber se os alunos a conhece. É bem provável que eles não a reconheçam, assim ocorrendo, o

professor poderá propor a tarefa de listar diferenças entre essa figura e o triângulo, e

posteriormente explorar a construção a fim de se identificar mais propriedades. Sugerimos as

120

seguintes perguntas:

Qual a diferença entre essa figura e a anterior?

Ela tem pares de lados paralelos? Quantos?

Essa segunda pergunta é a que promoverá todo o processo de manipulação da figura.

A tarefa proposta com a segunda pergunta é identificar lados paralelos, a qual pode ser

realizada, dada as características dinâmicas da figura, fazendo um dos vértices coincidir com

outro adjacente e pertencente ao lado oposto, se isso fizer com que os segmentos (lados)

coincidam, então são paralelos, caso contrário, não são paralelos. Com essas informações

sobre a figura, o professor pode sugerir que os alunos procurem no livro didático a figura que

goza das propriedades de ser quadrilátero e possuir um par de lados paralelo. Esse processo de

identificar o nome de uma figura partindo das propriedades é relevante para que os alunos

deem real importância às característica fundamentais e, não associem o nome da figura a um

único representante. E, procedendo assim, a responsabilidade pelo momento de

institucionalização passa a ser compartilhada também com os alunos.

Figura 3: Terceiro arquivo do Geogebra a ser utilizado na segunda fase.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Com a ferramenta Reta, criamos a reta a passando pelos pontos A e B, depois

criamos um ponto C e uma reta b paralela a reta a utilizando, respectivamente, as ferramentas

Ponto e Reta Paralela. Criamos uma reta c passando pelos pontos B e C e outra reta d

passando por A e paralela a reta c. Feito isso, utilizamos a ferramenta Interseção de Dois

121

Objetos, localizada na segunda caixa de ferramentas, para determinar o ponto D, que é o

ponto de interseção as retas d e b. Ocultamos as retas e, com a ferramenta Polígono, criamos

o Paralelogramo ABCD clicando nos pontos marcados no plano.

De maneira análoga, este item se propõe a trabalhar com a comparação com as

figuras vistas anteriormente com o objetivo de definir a figura por meio das propriedades que

lhes são peculiares. Assim, as duas perguntas sugeridas anteriormente podem ser utilizadas

com a mesma função de motivar a verificação do paralelismo entre os lados. Já neste

momento de trabalho sobre a técnica, os estudantes notarão a primeira característica que

diferencia essa figura das demais, porém ainda deve-se propor uma investigação acerca de

congruência entre lados e entre ângulos.

Quanto medem os lados desse quadrilátero?

Existem lados congruentes?

Eles são congruentes mesmo ou foi uma simples coincidência?

Essa primeira pergunta acima, faz reviver a tarefa de medir os lados, a qual já foi

realizada no estudo do triângulo. No entanto, verificar a congruência dos lados é uma tarefa

que ainda não foi realizada, e ela está associada a uma técnica que se baseia no uso da função

de deslocamento da ferramenta Mover para alterar a medida de um dos lados e assim o sujeito

poderá observa a variação na medida dos outros lados. Ao aplicar essa técnica, o estudante

poderá notar os pares de lados opostos (AD e BC, AB e CD) são de fato congruentes, e isso se

justifica por estarem contidos em pares de retas paralelas (Tecnologia) e é fácil provar que

quando um par de retas paralelas interceptam outro par de retas paralelas estes determinam

dois pares de segmentos congruentes, pois esse fato decorre de que todos os pontos de uma

reta estão a mesma distância da reta dita paralela a primeira (Teoria).

É interessante que já nesse estudo do paralelogramo, o professor conduza os alunos

por uma análise dos ângulos internos da figura, pois, além de apresentar uma propriedade

importante dos paralelogramos, esse tipo de observação será fundamental para definições

futuras como a do retângulo e quadrado. Pensando nisso, o professo pode perguntar:

Quanto medem os ângulos internos dessa figura?

Alguns deles possuem a mesma medida?

Se a soma dos ângulos internos de um triângulo já foi trabalhada com a primeira

construção, a tarefa medir os ângulos internos de uma figura não será nenhuma novidade.

122

Porém, se isso ainda não foi feito, então será necessário que o professor manipule o Geogebra

mostrando aos alunos o que é um ângulo interno, o que é um ângulo externo e

consequentemente como medi-los. Assim ocorrerá um momento de trabalho da técnica de

medição de ângulos com a ferramenta Ângulo do Geogebra e, logo em seguida, a

institucionalização do conceito de ângulo interno de uma figura geométrica plana.

O nome dessa figura pode ser dito pelo próprio professor, ressaltando que esse nome

decorre do paralelismo dos lados, ou incentivando que os estudantes busquem no livro

didático, pelas propriedades, qual é o nome da figura em questão. Cabe dizer que o professor

tem que analisar previamente o livro didático adotado para ver se ele é propício para essa

busca.

Figura 4: Quarto arquivo do Geogebra a ser utilizado na segunda fase.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Criamos a reta a passando pelos pontos A e B, em seguida criamos a reta mediatriz c

do segmento AB com o uso da ferramenta Mediatriz, contida na terceira caixa de ferramentas.

Marcamos o ponto C sobre a mediatriz b e o ponto D de interseção de b e a. Com a

ferramenta Círculo dado Centro e Um de seus Pontos, sexta caixa, criamos uma

circunferência de centro em D e raio CD clicando primeiramente em D depois em C. Com a

123

ferramenta Ponto28, marcamos o ponto E, que é uma das interseções da circunferência com a

mediatriz. Ocultamos as retas, a circunferência e o ponto D. Então criamos o losango ABCE

com a ferramenta Polígono.

Qual é a característica que diferencia essa figura da vista anteriormente?

Ao propor esse problema aos alunos, busca-se desenvolver uma certa autonomia na

caracterização das figuras geométricas e na investigação de propriedades. E se os estudantes

aceitarem o desafio, então eles iniciarão um momento de exploração do objeto matemático.

Durante esse momento eles certamente buscarão observar os mesmos elementos dos itens

anteriores, como paralelismo e congruência dos lados, sempre utilizando as ferramentas

Mover e Distância para esse fim.

Como as técnicas necessárias já foram trabalhadas, as situações de Formulação e

Validação podem durar pouco tempo. Desse modo, o professor pode solicitar que eles digam

qual lado é paralelo a outro, etc. Isso pode ser feito por meio da seguintes indagações:

Qual lado é paralelo ao lado BC?

O lado AC é congruente a quantos lados? Quais são eles?

É importante começar a utilizar a notação de segmentos para identificar os lados,

pois, além de irem se acostumando com a linguagem que será encontrada em muitos textos e

problemas geométricos, esta forma de se referir aos elementos que compõem a figura será útil

na terceira fase. Caso os estudantes ainda não tenham analisado os ângulos internos o

professor poderá questiona-los de forma semelhante:

Os ângulos EÂC e AÊB são congruentes?

Os alunos podem não está familiarizados com a notação de ângulos, sendo assim

pode ser necessário que o professor explique como é feita.

28 Para marcar uma interseção utilizando a ferramenta Ponto, basta colocar o cursor sobre a interseção dos dois objetos e clicar. Sabendo que essa técnica só funciona se a interseção for de fato um ponto

124

Figura 5: Quinto arquivo do Geogebra a ser utilizado na segunda fase.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Mais uma vez começamos construído uma reta a passando pelos ponto A e B, depois

criamos com a ferramenta Reta Perpendicular a reta b passando por A e perpendicular a a.

Então marcamos o ponto C sobre b e criamos a reta reta d perpendicular a b passando por C.

Criamos uma reta c paralela a b passando por B e, marcamos D que é a interseção de b e c.

Por fim, ocultamos as retas e criamos o polígono retângulo ABCD.

Uma vez percorrido todo o caminho até chegar aqui, o professor pode reassumir o

papel daquele que explora a construção ao passo que indaga se a propriedade observada é

comum a outra figura, ou pode continuar solicitando que os alunos manipulem e façam

comparações com figuras anteriores. No caso do retângulo, está claro que a propriedade

característica dele só emergirá da exploração dos ângulos internos.

125

Figura 6: Sexto arquivo do Geogebra a ser utilizado na segunda fase.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Essa construção é bem mais simples, pois bastou-nos criar os pontos A e B,

posteriormente selecionarmos a ferramenta Polígono Regular clicando nos pontos o programa

abriu uma janela, na qual inserimos a quantidade de lados do nosso polígono, que como é um

quadrado, tem 4 lados.

O quadrado apresenta uma espécie de fechamento de de ciclo, ou seja, ele é a única

figura tratada aqui que não será possível identificar uma propriedade que lhe seja peculiar, a

ideia é que os estudantes percebam que é a combinação de características de outras figuras

numa só que faz do quadrado um polígono especial. Essa constatação só é possível se o

professor continuar a estimular que os alunos sigam comparando as figuras.

Uma vez concluída essa aula, durante a qual vários conceitos, propriedades e

métodos foram institucionalizados, faz-se necessário avaliar o que ficou, se os objetivos

foram alcançados e, principalmente, se os estudantes diante de uma figura geométrica estão

atentos às propriedades da figura. Para isso, propomos a terceira fase dessa atividade que se

constitui como um momento de avaliação geral dos processos realizados até aqui.

Terceira fase:

Essa etapa final da atividade está subdividida em duas. Uma atividade que segue os

moldes da atividade apresentada em Nogueira Farias e Farias (2007), por se tratar de uma

atividade em que a turma deve ser dividida em duplas. Haverão dois tipos de função para cada

dupla. Uma dupla receberá uma folha com uma das imagens que segue abaixo, e uma

pergunta do tipo “Essa figura é um losango?”, “Essa figura é um quadrado?”; então a dupla

126

terá que elaborar perguntas sobre a figura sem poder mencionar o nome presente na folha

recebida. Essas perguntas serão dirigidas a outra dupla, que por sua vez, estarão sentados em

frente a um computador com a construção no Geogebra.

Ao par de estudantes, que têm acesso ao Geogebra, caberá manipular a construção

para responderem as questões que lhes são dirigidas, eles também não podem dizer o nome da

figura que manipulam. Tanto as perguntas, quanto as respostas devem ser anotadas, nos

campos indicados na folha, pela dupla que emite as questões. É necessário que cada par de

estudante experimente ambas as funções.

Abaixo seguem, acompanhados da descrição da construção, quatro figuras: um

losango falso e outro verdadeiro; um retângulo falso e outro verdadeiro.

Figura 7: Falso losango utilizado na atividade em dupla.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Para realizarmos essa construção, primeiro criamos quatro pontos A, B, C e D livres

no plano, depois, com o auxilio da ferramenta Polígono criamos o quadrilátero ABCD. Feito

isso, com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, medimos os lados do

quadrilátero. Por último, movemos os ponto de forma que a medida dos lados ficassem iguais.

127

Figura 8: Losango verdadeiro utilizado na atividade em dupla.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Com a ferramenta Segmento criamos o EF, depois a reta mediatriz f foi criada

utilizando a ferramenta Mediatriz clicando nos ponto E e F. Marcamos o ponto G sobre f e o

ponto H na interseção de f com EF. Criamos uma circunferência centrada em H e raio igual ao

comprimento de GH utilizando a ferramenta Círculo dado Centro e Um de seus Pontos.

Marcamos o ponto de interseção I de f com a circunferência no lado oposto ao de G em

relação ao segmento EF. Então ocultamos a reta, o segmento, a circunferência e o ponto H e

construímos um quadrilátero com os ponto EFGI, que é um Losango.

128

Figura 9: Falso retângulo utilizado na atividade em dupla.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Criamos a reta a passando pelos pontos A e B1, marcamos o ponto B sobre a e com a

ferramenta Ângulo com Amplitude Fixa clicamos no ponto A e no ponto B 1, criando assim um

ângulo medindo 90º e um ponto A' foi criado automaticamente. Traçamos a reta b passando

pelos ponto B1 e A' e um ponto C sobre essa reta. De forma análoga a anterior, criamos outro

ângulo de 90º clicando em B1 e C, e assim, o programa criou B'. Passamos uma reta c por C e

B' e outra reta d perpendicular a essa passando por A. Marcamos a interseção D entre c e d.

Depois, ocultamos as as retas, os pontos A', B', B1, marcamos os ângulos com a ferramenta

Ângulo e solicitamos que o programa não realçasse os ângulos retos, desse modo a

representação deles não se distinguiria dos outros e assim o estudantes teriam que verificar

também a medida desses ângulos.

129

Figura 10: Retângulo verdadeiro utilizado na atividade em dupla.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Foi construída uma reta a passando pelos ponto A e B, e outra reta b perpendicular a

a passando por A. Sobre b marcamos o ponto C pelo qual traçamos uma reta c paralela a a e

também a reta d paralela a b e marcamos o ponto de interseção entre c e d. Feito isso,

ocultamos as todas as retas e com a ferramenta Ângulo marcamos os quatro ângulos da Figura

10, acessamos as propriedades desses ângulos, e desabilitamos a opção Realçar Ângulos

Retos. Por fim, criamos um polígono com os ponto A, B, C e D.

Essa Figura 10 é a última construção a ser utilizada na primeira sub-etapa. Já Figura

11 mostra um desafio que será proposto para que os alunos resolvam-no individualmente. O

desfio tem por objetivo avaliar se os aluno utilizam efetivamente a ferramenta Mover para

explorar (ou verificar) propriedades de uma figura.

130

Figura 11: Arquivo do Geogebra a ser utilizado como desafio final e individual.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Criamos os ponto A e B e um ângulo com amplitude fixa de 90º com vértice em B o

que fez com que o Geogebra gerasse o ponto A', pelo qual traçamos a reta a que também

tange o ponto B e, sobre a marcamos C. Na sequência marcamos as retas b paralela a a

passando por A e a reta c perpendicular a b passando por C. Marcamos a interseção de b e c, o

ângulo CDA e construímos o polígono ABCD.

Marcamos o ponto E sobre o segmento AB e F como ponto médio de BC, utilizando

a ferramenta Ponto Médio ou Centro. Traçamos a reta e perpendicular a BC, sobre a qual

marcamos H, a reta f passando por E e F e a reta h paralela a f e passando por H. Marcamos o

ponto G, que é a interseção de h com o segmento CD. Então construímos o polígono EFGH e

marcamos os segmento FH e EG. Dessa forma concluímos a construção em vede e amarelo

(Figura 11).

A figura da direita foi construída de forma semelhante, no entanto não foi guardada o

paralelismo entre os segmentos A2D2 e B2C2 e isso implicou em que os segmentos A2B2 e B2

C2 não são paralelos.

131

Considerações finais

É possível notar que a atividade foi desenvolvida baseada nos nas ideias dos tipos de

situações didáticas e nos momento didáticos e, para cada objeto matemático abordado,

observamos os aspectos proxeológicos e didáticos construídos em torno deles. E as teorias das

situações didácticas e antropológica do didático, ao nos fornecerem modelos para a descrição

de episódios de aula, nos permitem realizar um planejamento mais detalhado, uma vez que

nos faz atentar para fatos que devem ocorrer em sala e para o papel a ser desempenhado pelo

professor e pelo aluno em determinados momentos.

Por meio da análise pré-implementação realizada aqui, verificamos que ao variar o

tipo suporte utilizado na representação de figuras geométricas a forma de se trabalhar também

sofre uma transformação, por isso que, trabalhar com desenhos estáticos no papel é diferente

da maneira de lidar com construções feitas em softwares de geometria dinâmica como é o

caso do Geogebra.

Assim, as fases da atividade, aqui apresentadas, propiciam aos alunos uma nova

forma de trabalhar com as figuras geométricas. Permitindo a exploração de características não

perceptíveis a simples vista e até aquelas que só poderiam ser abordadas por meio de

demonstrações de teoremas ou efetuando inúmeras construções, caso o suporte utilizado fosse

o papel ou quadro.

Além disso, as características dinâmicas – que têm como protagonista a ferramenta

Mover com sua função de deslocar os elementos não-fixados de qualquer construção – do

Geogebra associada a sua diversidade de ferramentas, permite que o professor extrapole os

objetivos de cada atividade discorrendo sobre outros temas que não forma elencados para

serem abordados na aula, e isso, sem uma demanda de tempo muito maior.

É imprescindível que o professor domine as potencialidades e limitações de cada

ferramenta a ser utilizada durante as etapas dessa atividade. Embora tenhamos nos

preocupado em apresentar o processo de construção e sugestões para o encaminhamento da

atividade, podem surgir problemas de ordem operacional, por exemplo, ao tentar medir um

ângulo, existe um sentido que deve ser seguido na seleção dos pontos e, caso esse sentido não

seja respeitado, o Geogebra medirá outro ângulo e não o desejado. Assim, para contribuir no

processo de gênese instrumental que seus alunos estarão envolvidos, o professor já deverá ter

percorrido esse caminho.

132

Outro ponto ao qual devemos nos atentar é que, o professor não pode monopolizar

manipulação do Geogebra, nem mesmo durante a segunda fase. Isso por que, é a manipulação

direta que propiciará ao estudante estabelecer a relação entre sua ação e a reação do software.

Neste momento, já temos concluídas as etapas de estudo teórico, elaboração e análise

de uma proposta de atividade que evidencie as possíveis contribuições do Geogebra para a

passagem do desenho para figura. Os próximos passos dessas pesquisa serão a implementação

e posterior análise dos dados coletados. Como a implementação se dará num laboratório com

vários computadores, utilizaremos um programa para gravar todas as ações dos alunos durante

a manipulação do Geogebra. Outra fonte de dados a serem analisados são toda as produções

escritas (anotações, fichas com perguntas respostas) dos alunos.

Referência

BROUSSEAU, G. Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas. Tradução: Dilma Fregona. 1ª ed. Buenos Aires: Libros Zorzal, 2007. 128 p. (Formación Docente)

CHEVALLAR, Y. La transposición didáctica: del saber sabio al saber enseñado. 3. ed Buenos Aires: Aique, 2000. 196 p. (Psicologia cognitiva y educacicion).

_______. Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathématiques: L'approche anthropologique, Actes de I'U. E. de la Rochelle, 1998.

_______. Concepts fondamentaux de la didactique : perspectives apportées par une approche anthropologique. Recherches en Didactique des Mathématiques, V. 12, n°1, 1992. p.73-112.

ESPINOZA, L.; AZCÁRATE, C. Organizaciones matemáticas y didácticas em torno al objeto de “limite de función” :una propuesta metodológica para el análisis. Enseñanza de Las Ciencias, v. 18, n. 3, p. 355-368. Institut de Ciències de l'Educación de la Universitat Autònoma de Barcelona, 2000.

HENRIQUES, A. ; ATTIE, J. P. ; FARIAS, L. M. S. . Referências teóricas da didática francesa: análise didática visando o estudo de integrais múltiplas com auxílio do software Maple. Educação Matemática Pesquisa (Impresso), v. 9, p. 1-168, 2007.

LABORDE, C.; CAPPONI, B. Aprender a ver e a manipular o objeto geométrico além do traçado no Cabrri-Géomètre. Em Aberto, Brasilia, ano 14, n. 62. abr./jun. 1994.

NOGUEIRA FARIAS, V.L.; FARIAS, L. M. S. . Construção de situações de aprendizagem em geometria plana utilizando o software cabri-geomètre: o deslocamento no ambiente

133

computacional cabri-geomètre.. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2007, Belo Horizonte. Diálogos entre a pesquisa e a prática educativa, 2007.v. 1.

RABARDEL, Pierre. Les hommes et les technologies. Paris: Armand Colin, 1995.

134

CAPÍTULO 3

CONSIDERAÇÕES E FUTUROS ENCAMINHAMENTOS

Este último capítulo está dividido em três seções: Problemas Técnico

Organizacionais a Serem Evitados; Enfoque Ontosemiótico e Idoneidade Didática; e

Sugestões para a Continuação da Pesquisa. Sendo que na primeira apresentamos uma

narrativa acerca de uma implementação da primeira parte da atividade desenvolvida. O

objetivo dessa é compartilhar essa implementação que serviu para “refinar” a nossa proposta

de atividade e, aproveitamos para destacar problemas de ordem técnica – por exemplo,

dificuldade em localizar os arquivos do Geogebra – e organizacional como é o caso da

disposição dos computadores no laboratório de informática. No segundo apresentaremos o

Enfoque Ontosemiótico da cognição e instrução matemática, o qual vem sendo utilizado como

um modelo para a análise didática na Educação Matemática e avaliação de processos de

instrução matemática. Já na terceira e última seção, faremos sugestões de como pode ser dado

prosseguimento a essa investigação.

3.1 PROBLEMAS TÉCNICOS E ORGANIZACIONAIS A SEREM EVITADOS

3.1.1 Apresentação

No decorrer desta seção, trataremos de compartilhar uma experiência de ensino que

ocorreu em uma turma do 6º ano do Ensino Fundamental de um colégio estadual localizado

na cidade de Feira de Santana (Bahia). Essa aula foi desenvolvida no laboratório de

informática da unidade escolar, teve a duração de três horas-aula (totalizando duas horas e

meia) e foi ministrada pelo autor deste trabalho que é um estudante da Licenciatura em

Matemática da UEFS.A turma era composta por 22 alunos, os quais foram distribuídos em duplas nos 11

computadores do laboratório do colégio, todos eles munidos do software Geogebra na sua

versão portátil29. O software era a principal ferramenta a ser utilizada no desenvolvimento das

atividades propostas em sala, a qual era composta por 11 questões, que de forma geral,

solicitava que os alunos abrissem um arquivo do Geogebra, salvo em uma pasta no

computador, manipulasse a construção presente neste e respondessem a uma questão.A aula seguia uma dinâmica fixa para a resolução de todas as questões: num primeiro

29 Tal versão pode ser encontrada no seguinte endereço: http://wiki.geogebra.org/en/Reference: GeoGebra_ Installation

135

momento, os alunos tinham que ler, manipular e responder a questão; e depois, o regente da

aula falava sobre os conhecimentos geométricos envolvidos em cada questão, justificando o

comportamento de cada construção. Maiores detalhes dessa implementação, assim como as

características e conteúdos abordados serão explicitados as subseções que seguem.

3.1.2 Objetivos da atividadeA atividade implementada voltava-se ao tratamento da Problemática Desenho-Figura

descrita por Laborde e Capponi (1994), segundo os quais a figura geométrica é um ente

binário composto por uma parte mais abstrata, propriedades, e uma parte mais concreta, a qual

busca transmitir ao mundo dos sentidos informações sobre sua outra face teórica, esse

representante da figura geométrica é denominado desenho. Em conformidade com as ideias dos autores citados acima, o desenho é mais

suscetível a interpretação do sujeito que trabalha com ele, por exemplo, sustenta-se a ideia de

que um matemático ao vê o desenho de um círculo o associa a conhecimentos (algébricos e

geométricos), e assim, lhe confere uma interpretação distinta de uma criança, que pode vê-lo

como o desenho de uma roda de bicicleta.Diante de tal distinção, alguns trabalhos, Itzcovich (2005), Nogueira Farias e Farias

(2007), Ferragina (2012) e Farias (2013), vêm sendo realizados para tratar este problema.

Com o intuito de levarmos os alunos a compreenderem que uma figura geométrica não se

restringe apenas à sua representação (desenho), elaboramos uma atividade com uma série de

onze questões – a serem desenvolvida, utilizando o Geogebra – que evidenciasse o fato de

algumas características de construções (desenho) geométricas permanecerem inalteradas

mesmo quando alguns elementos dessa são movidos.Como a atividade anteriormente mencionada utilizaria o software Geogebra, que é

um artefato tecnológico, a estruturação das tarefas foi feita pensando nas duas dimensões do

processo de Gênese Instrumental (RABARDEL, 1995): Instrumentação, que pode ser vista

como o aprender a utilizar o software; e a Instrumentalização, na qual nosso problema é

adaptado e tratado pelas características (neste caso o dinamismo) do software. Assim, todas as

questões tinham um triplo objetivo: tratar a Problemática Desenho-Figura; abordar conceitos

geométricos; e ensinar os alunos a utilizarem Geogebra.

3.1.3 ConteúdosSegundo uma análise dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) para o Ensino

Fundamental e de livros didáticos aprovados pelo Plano Nacional do Livro Didático (PNLD),

136

feita por Silva (2013) e por Farias et. al. (2014), o ensino de geometria sofre uma alteração no

sentido de que o trabalho sobre o desenho deve ser substituído pelo trabalho sobre a figura, ou

seja, deve-se deixar de estudar somente o representante e dá enfoque no estudo das

propriedades geométricas.Essa mudança ocorre, segundo os autores, no 6º ano do Ensino Fundamental. Neste

sentido, nossa atividade visava evidenciar as propriedades de entes geométricos, partindo dos

mais elementares (pontos, retas e planos), porém o foco real seriam as figuras geométricas

planas como triângulos e quadriláteros.

3.1.4 Procedimentos Iniciamos a implementação da atividade solicitando que os alunos sentassem

preferencialmente em duplas. Num primeiro momento, um integrante de cada dupla

manipularia o computador e o outro ficaria responsável por escrever as respostas nas folhas,

que continham as onze questões, a qual foi distribuída logo após eles decidirem quem seriam

seus pares. Por volta da sexta questão da atividade solicitamos que os papeis se invertessem,

para que ambos tivessem a oportunidade de manipular o software. Uma vez acomodados, como está descrito acima, e de posse da atividade, falamos da

estrutura do software Geogebra, apresentado para eles as barras de menu e de ferramentas (e

como selecionar uma ferramenta), as janelas de álgebra e gráfica e o campo de entrada (ver

Figura 1), e para isso utilizamos um computador, cuja tela estava projetada no quadro. Figura 1: Software Geogebra.

Fonte: Elaborado pelo autor.Dando continuidade, solicitamos que eles lessem a questão 1, que a princípio pedia

que abrissem o arquivo do Geogebra nomeado com Dispositivo-01, em seguida que fizessem

137

com que o ponto A e o ponto B se encontrassem. Acreditávamos que os alunos tivessem

“intimidade” com o procedimento de encontrar uma pasta na Área de Trabalho e abri um

arquivo dentro dela, porém nossa crença revelou-se falsa, pelo menos para a grande maioria

deles. Diante disso, explicamos como eles deveria fazer para abrir os arquivos, só então eles

começaram a responder a questão. Durante essa tentativa de resolver, alguns não tinham nem ideia de como proceder,

então solicitamos que eles abrissem a primeira caixa de ferramenta e lessem os nomes de cada

uma e, baseando-se no que a questão lhes pedia, nos comunicassem qual delas eles achavam

que poderia servir para “aproximar o ponto A do ponto B”. Poucos segundos depois, alguns

afirmaram que seria a ferramenta Mover. Então concordamos com a resposta deles e lhes

dissemos que continuassem resolvendo.Essa questão e as que a seguiam, foram planejadas para dar lugar aos quatro tipos de

Situações Didáticas descritas por Brousseau (2007). O primeiro tipo é a Situação de Ação, que

se dá quando os estudantes aceitam a questão como um problema e começam a tentar resolvê-

lo. Já o segundo tipo é a Situação de Formulação, quando os alunos começam a conjecturar

sobre uma resposta para o problema.Além desses, temos a Situação de Validação, quando a solução encontrada começa a

ter sua validade testada. E, por fim, temos a Situação de Institucionalização, na qual o

professor socializa a solução (ou as soluções) mais adequada para o nível escolar. Por isso,

priorizamos que os estudantes iniciassem a resolução das questões sem que lhes déssemos

qualquer instrução acerca de como resolvê-las.Ao passar de uma questão para a seguinte, as construções a serem manipuladas

tornavam-se progressivamente mais complexas, partindo de dois pontos livres no plano

(questão 1) a posições relativas entre segmentos e retas passando por relação de pertinência

entre ponto e reta, equidistância de pontos, intercessão entre retas, entre outros. Vejamos

abaixo na Figura 2 a construção relacionada a questão 7, a qual pedia aos alunos que fizessem

com que o segmento BF ficasse com a mesma medida do segmento CD e relatassem o que

aconteceria com o ponto E:

138

Figura 2: Arquivo do Geogebra utilizado na questão 7.

Fonte: Elaborado pelo autor.Durante a resolução dessa questão, os alunos deslocaram o ponto B, utilizando a

ferramenta Mover, na direção do ponto F até reduzir a medida do segmento a 4 unidades de

comprimento, e ao fazerem isso, o ponto E desapareceu. Logo após os alunos escreverem as

respostas na folha, o regente da aula iniciava um momento de Institucionalização, em que ele

falava acerca do por que as construções se comportavam daquele jeito e dos conhecimentos

geométricos envolvidos na questão. No caso específico dessa questão acima, perguntamos aos alunos se eles sabia a

razão pela qual o ponto E desaparecia. Eles não souberam responder, fato este que já era

esperado. Assim sendo, lhes dissemos que o ponto E era o resultado do encontro da reta AB

com o segmento CD – frisando que o encontro (intercessão) de duas retas era sempre um

ponto – e quando a reta AB deixava de interceptar o segmento CD, o ponto E desaparecia.Neste momento, notamos que a resposta de muitas das questões, logo após termos

feito essa socialização, eram apagadas pelos alunos e eles escreviam exatamente aquilo que o

regente da aula falava. Este procedimento não nos pareceu correto, pois eles poderiam ter

dado respostas equivalentes, mas nem as avaliavam, simplesmente apagavam e escreviam do

jeito que o professor falou. Então optamos por orientá-los, que a partir desse momento, só se

utilizaria caneta ao responder as questões e, se as respostas deles estivessem diferentes da que

o professor falou, eles poderiam escrevê-la a parte.

139

3.1.5 Reflexões

Durante a implementação dessa atividade, notamos uma série de problemas técnico-

organizacionais que podem influenciar no bom andamento de uma aula envolvendo o uso de

softwares. O primeiro aspecto que destacamos, é a importância de que os computadores

estejam dispostos no laboratório de forma que o professor possa observar se os alunos estão

respondendo a atividade ou se estão dispersos em outras.

Um segundo problema que pode surgir, refere-se ao processo de avaliação dos

alunos. Para observarmos se os alunos de fato manipularam o programa para responder a

questão, tivemos que utilizar outro software para gravar o que se passava na tela de cada

computador. E na parte escrita, não permitimos que eles escrevessem a lápis, mas somente a

caneta, evitando que apagassem as resposta logo após a institucionalização. Além disso, é de

suma importância que o professor sempre verifique se os alunos de fato estão compreendendo

a atividade e, para isso, no momento da institucionalização dos conhecimentos trabalhados em

cada questão, o professor deve fazer perguntas que levem os alunos a refletirem sobre aquilo

que eles fizeram.Notamos também que, se houvéssemos colocado hyperlinks, para os arquivos do

Geogebra, num documento do Editor de Textos que continham as questões, o problema inicial

referente a abertura dos arquivos não teria ocorrido. Por fim, com a aplicação dessa atividade

adquirimos experiência para evitarmos muitos problemas que podem atrapalhar a aula e

consequentemente a aprendizagem dos alunos.

3.2 Enfoque Ontosemiótico e Idoneidade Didática

3.2.1 Enfoque Ontológico e Semiótico para a Cognição e Instrução Matemática (EOS)Até este momento, nossa pesquisa foi norteada principalmente pela Teoria

Antropológica do Didático (TAD), a qual vem sendo utilizada para analisar as práticas em

torno dos objetos matemáticos descritas nas Organizações Matemáticas e Didáticas. Como

pudemos ver nos Capítulos anteriores, a TAD volta-se principalmente para os conhecimentos

institucionais. Este fato é apontado por Godino (2002) como um aspecto dessa teoria que

merece ser revisto, passando-se a dar atenção, também, aos conhecimentos pessoais.

Neste sentido, foi desenvolvido um conjunto de noções teóricas denominado

Enfoque Ontosemiótico (EOS) da cognição e instrução matemática, o qual trabalha tanto

sobre o Significado Institucional quanto o Significado Pessoal acerca dos objetos

140

matemáticos. E uma das diferenças entre a TAD e o EOS está justamente relacionada a ideia

de objeto30 matemático. Ou seja, o EOS amplia o significado de objeto matemático ao definir

seis categorias de objetos primários: linguagem; situação; ação; conceitos; propriedades; e

argumentação.

Os objetos do tipo linguísticos são tidos tanto como representação de outros objetos,

quanto instrumentos para a atividade matemática, por exemplo, gráficos e notações. Os

objetos situacionais são aqueles que promovem e contextualizam a atividade matemática,

como é o caso dos problemas, das aplicações e dos exercícios. As situações normalmente são

as causas do surgimento das ações do sujeito frente a uma tarefa matemática. Por sua vez, os

objetos categorizados como conceitos são dados pelas definições e descrições. Já as

proposições e enunciados de teorema pertencem a outro tipo de objetos denominado

propriedades, ou seja, aquelas características que são próprias de objetos secundários. Por fim,

a argumentação corresponde aos objetos empregados para justificar ou explicar as

proposições, em matemática normalmente têm um caráter dedutivo.

Esses seis tipos de objetos são ditos “primários”, pois eles podem ser combinados

para compor outros, inclusive as noções de tarefa, tecnologia da TAD são consideradas

objetos secundários, uma vez que podem ser decompostos em termos desses seis objetos

primários. Contudo essas entidades primárias são sub-divisíveis e possuem cinco dimensões

duais, ou seja, eles podem ser objetos pessoais ou institucionais, elementais ou sistemáticos,

ostensivos ou não-ostensivos31, exemplo ou tipo e, expressão ou conteúdo (GODINO, 2002;

FONT; PLANAS; GODINO, 2010). Assim, todo objeto matemático primário ou secundário,

não importando a qual categoria pertence, apresentam essas dimensões.

Nesses termos a figura geométrica denominada paralelogramo, agora considerada

como um objeto matemático secundário, pode ser estudada a partir da decomposição em

objetos primários. Ou seja, o próprio nome da figura “paralelogramo” é um objeto linguísticos

assim como um de seus representantes (desenho). No tocante as situações, que podem ser

utilizada no processo de estudo do paralelogramo, temos problemas e exercícios envolvendo

cálculo de áreas, perímetros, decomposição de figuras mais complexas, etc. Já as ações

30 Segundo Godino (2002, p. 242) é “tudo aquilo que pode ser indicado, mostrado, ou servir de referencia” quando fazemos, comunicamos ou aprendemos matemática.

31 Essa noção de objetos ostensivos e não-ostensivos se distinguem da encontrada na TAD. Elas não são duas classes de objetos, mas sim duas características que todos os objetos possuem. (GODINO, 2002, p. 246)

141

praticadas – por exemplo, calcular a área, desenhar um paralelogramo – para cumprir o que é

proposto nas situações são outro tipo de objeto matemático relacionado, assim como, o

próprio conceito “quadrilátero cujos lados opostos são paralelos”.

Desse modo, podemos notar que o conceito descreve e relaciona algumas

características que são fundamentais para diferenciar o paralelogramo de outras figuras

geométricas planas. Enquanto isso as propriedades são aqueles objetos que expressam

características derivadas do conceito, por exemplo: dado um paralelogramo qualquer, os lados

opostos são congruentes. E podemos utilizar argumentos como “a congruência dos lados

oposto do paralelogramo é consequência do paralelismo desses lados”. Assim observar a

decomposição de um objeto matemático secundário pode nos dá informações acerca do

significado institucional ou pessoal atribuído ao objeto, os quais podem ser geradores de

dificuldades que surjem durante o processo de ensino e/ou aprendizagem desse objeto.

Porém, não é só com noções da Teoria Antropológica que o Enfoque Ontosemiótico

estabelece confrontos, ele também amplia conceitos de outras teorias como a Teoria das

Situações Didáticas, Sistemas de Representação de Registro Semiótico, entre outras. Desse

modo, o EOS é um conjunto de ferramentas teóricas que permitem confrontar os significados

pessoais e institucionais mobilizados durante o processo de instrução matemática e assim,

identificar conflitos semióticos – diferentes significados atribuídos a uma mesma expressão

num mesmo contexto – a qual pode explicar problemas em processo de ensino e na

aprendizagem (GODINO, 2002, p. 251).

Além disso, o modelo proposto permite apontar e descrever interações em sala como

causadoras de mudanças de significado. A partir dessa aplicação metodológica do modelo

Ontosemiótico, vemos que este pode contribuir para comprovar se as atividades, propostas

neste trabalho, contribuirão ou não para que alcancemos os objetivos aos quais se propõem.

Conforme Font, Planas e Godino (2010), o modelo para análise didática proposto

pelo EOS se aplica na descrição, explicação e avaliação de processos de instrução

matemática. Para isso, o processo de análise didática está dividido em cinco níveis, sendo que

os quatro primeiros níveis contribuem para a função descritiva e explicativa do modelo,

enquanto que o quinto nível corresponde ao caráter avaliativo e aporta contribuições para o

melhoramento do processo de instrução matemática.

Durante o desenvolvimento do Nível 1, Identificação das Práticas Matemáticas, é

142

realizada a identificação do problema central e de como ele é resolvido, enquanto que na

Identificação de Objetos e Processos Matemáticos, Nível 2, buscamos identificar quais o

objetos matemáticos, quais métodos, processos matemáticos são utilizados para solucionar o

problema. Já o Nível 3, dedicado à Descrição de Interações no Entorno de Conflitos,

procedemos com a identificação dos momentos críticos da aula e a descrição de como o

professor e os alunos interagem nesses momentos críticos. O Nível 4 é a etapa da

Identificação de Normas, ou seja, nele verificamos se as interações identificadas no nível

anterior apresenta alguma regularidade, que é o que os autores classificam como normas ou

metanormas. Por fim, a análise didática por meio do modelo Ontosemiótico é concluído no

Nível 5, no qual retoma-se tudo o que foi feito nos outros níveis e busca-se avaliar se: Algo

que aconteceu durante o processo de instrução foi “desnecessário”?; Existe algo realizado em

sala que, uma vez substituído, poderia contribuir para uma melhora no aprendizado do aluno?;

Faltou algo no processo de instrução? em caso afirmativo, Como integrá-lo ao planejamento

da aula?. Ou seja, nesse nível avalia-se a Idoneidade Didática do processo de instrução

(FONT; PLANAS; GODINO, 2010). Assim na próxima subseção traremos algumas

informações acerca da ideia de avaliação da Idoneidade Didática do processo de instrução

matemática.

3.2.2 Conceito de Idoneidade DidáticaEm Godino et. al. (2006) os autores argumentam que inexiste uma forma de ensinar

matemática, que possa ser considerada a melhor forma possível em um contexto. Nesta

direção, eles propõem um método para avaliar o nível de adequação – ou a idoneidade – de

um processo de ensino de matemática em um contexto específico. Para isso, eles se baseiam

em dez necessidades que os estudantes manifestam quando estão aprendendo matemática, e

mais algumas necessidades relacionadas ao professor, ao ambiente físico e a instituição.

Assim, é proposto o conceito de Idoneidade Didática, a qual é composta por seis

critérios, que devem ser satisfeito da forma mais equitativa possível, para que um processo de

estudo possa ser considerado didaticamente idôneo. Ou seja, para avaliar a adequação de um

processo de instrução deve-se observar se esse possui Idoneidade Epistêmica, ou seja, se os

significados que foram institucionalizados possui um grau satisfatório de correspondência

com o significado institucional, para isso é necessário definir um saber de referencia. Já a

Idoneidade Cognitiva que julga o nível de proximidade dos significados aprendidos pelos

143

estudantes com os que eram desejados que eles alcançassem, assim, é preciso realizar uma

avaliação dos significados pessoais iniciais dos alunos, que haja adaptações a diferenças

individuais e que o aprendizado alcançado esteja próximo do significado institucional. E a

Idoneidade Interacional se destina a avaliar o quanto a dinâmica do estudo propicia

reconhecer conflitos ou disparidades entre os significados atribuídos a uma expressão por dois

indivíduos ou por uma pessoa e a instituição, bem como o quanto esse processo de estudo

permite tratar esses conflitos. Enquanto que o grau de adequação dos recursos materiais e

temporáis disponíveis para o desenvolvimento do processo de ensino é avaliado para garantir

que dito processo tenha Idoneidade Mediacional. Dentre esse seis critérios ainda temos a

Idoneidade Emocional, que busca mensurar o grau de interesse e motivação dos alunos

envolvidos no processo de estudo, e a Idoneidade Ecológica, a qual avalia se o que é

proposto está ajustado ao entorno social, aos documentos oficiais que normatizam o ensino e

se está relacionado com outros conteúdos da matemática e de outras disciplinas (GODINO et.

al., 2006).

Com respeito as idoneidades Epistêmica e Cognitiva, salienta-se que um plano de

ensino não deve possuir um nível muito alto, pois corre-se o risco de que os alunos não

alcance os objetivos pretendidos. Porém, esse conjunto de idoneidades parciais pode ser

aplicado na análise tanto de processos de ensino pontuais quanto na análise da proposta

curricular (GODINO et. al., 2006) para a identificação de possíveis pontos de melhora do

processo de instrução matemática (FONT; PLANAS; GODINO, 2010). Baseando-nos nas

ideias fundamentais do Enfoque Ontosemiótico da cognição e instrução matemática,

traçaremos na próxima seção o caminho a ser percorrido para a conclusão dessa investigação.

3.3 Sugestões para a Continuação da Pesquisa

Nesta seção final tratamos de apresentar algumas indicações de como deve ser dada a

continuidade dessa pesquisa acerca das possíveis contribuições do deslocamento no Geogebra

para a transição do trabalho sobre o desenho para o sobre a figura. Assim, no capítulo anterior

fizemos uma análise que nos revelou, principalmente, os significados institucionais dos

objetos matemáticos utilizados no desenvolvimento da atividade. Além disso, as Organizações

Matemáticas identificadas revelou as prática em torno dos objetos que são realmente

propostas na atividade, assim como, a Organização Didática trouxe uma visão detalhada dos

encaminhamentos de todo o processo de estudo. Com isso, temos um planejamento da

144

atividade bastante detalhado, que o torna passível de ser submetido a uma análise didática a

priori nos termos do Enfoque Ontosemiótico para a cognição e instrução matemática. Desse

modo, teremos uma análise mais detalhada e que levará em conta outros aspectos – além dos

que são considerados pela TAD – como o grau de motivação dos alunos, a adequação

temporal e material, entre outros, que surgem ao avaliar a Idoneidade Emocional e

Mediacional da atividade proposta.

Uma vez cumprida essa etapa, é fundamental que seja realizado o processo de

implementação da atividade. Para essa aplicação em sala de aula, é fundamental a observância

detalhada das sugestões feitas durante a análise no capítulo anterior, os problemas

apresentados no relato da primeira seção desse capítulo, bem como as sugestões de melhora

que advirão da análise nos moldes do EOS. É interessante que haja um acompanhamento

prévio da turma em que será aplicada a atividade, para que se obtenha dados acerca dos

significados pessoais que os alunos atribuem aos objetos matemáticos que serão abordados,

dos tipos de interação que predominam nas aula de geometria, para assim avaliar se a

dinâmica da atividade provocará a ruptura de alguma cláusula do contrato didático existente,

uma vez que essa ruptura pode influenciar positiva ou negativamente na aprendizagem dos

estudantes.

De posse dos dado coletados por meio da implementação a observação prévia

realizaremos duas análises a posteriori, uma nos moldes da perspectiva da Teoria

Antropológica, observando as Organizações Matemáticas e Didáticas que realmente foram

reconstruídas e institucionalizadas em sala, e outra segundo o Enfoque Ontosemiótico

avaliando, principalmente, a Idoneidade Didática de todo o processo de estudo. Além de

mensurar a idoneidade da tarefa proposta de forma geral, daremos uma atenção especial ao

confronto dos significados pessoais prévios com os posteriores e compará-los com os

pretendidos, observando assim como as interações promovidas em sala de aula pelo uso do

software Geogebra influenciaram na aprendizagem dos alunos.

A dupla análise que citamos acima – uma com a TAD e outra com o EOS – pauta-se

numa prática que vem sendo cada vez mais frequente em investigações no campo da Didática

da Matemática, que é a coordenação entre referenciais teóricos. Henriques et. al (2007) ao

falar da importância do referencial teórico para fundamentar uma pesquisa no campo do

ensino e aprendizagem, afirma que é por meio da teoria que o pesquisador consegue

145

compreender o papel e o comportamento do objeto que ele pretende estudar e lhe confere a

possibilidade de interpretar. E quando ele menciona referencial teórico, ele está se reportando

a um conjunto de teorias que subsidiarão a pesquisa com a oferta de ferramentas úteis no

desenvolvimento de cada etapa desse processo de investigação.

De fato, a depender da natureza daquilo que será estudado, frequentemente,

necessitaremos de mais de uma teoria para que assim possamos observar (analisar) sob

perspectivas distintas as múltiplas faces do objeto pesquisado. E esse fato se deve a que as

diferentes teorias, mesmo estando dentro de um único campo científico, se baseiam em pontos

de referencia distintos, o que lhes confere o potencial de (re)enunciar a questão da pesquisa

utilizando elementos diferentes umas das outras. Posterior a formulação da pergunta, a própria

teoria nos fornece instrumentos que nos permitirá respondê-la, revelando assim um olhar do

elemento investigado sob o prisma daquela teoria em particular. Neste momento surge a

necessidade de transformar esses múltiplos olhares em um só, que é um processo tal como o

de planificar um sólido, que resulta numa representação do objeto de forma que temos acesso

a mais informações (características do objeto) do que quando visualizamos apenas uma de

suas faces. Essa coordenação de teorias, segundo Rodríguez, Bosch e Gascón (2008), deve

principalmente levar em consideração como cada uma delas “questiona a realidade e formula

problemas sobre isso”.

Com essa coordenação de teorias vislumbramos identificar falhas – bem como as

formas de corrigi-las – na atividade que propomos nesse trabalho e assim investigar as

possíveis contribuições do deslocamento do Geogebra para a passagem do desenho para a

figura no 6º ano do Ensino Fundamental.

Além dessas considerações pertinentes ao bom desenvolvimento da presente

investigação, durante o processo de estudo teórico, elaboração e refinamento da proposta,

surgiram alguns questionamentos, os quais deixamos aqui como sugestões para futuras

investigações. Primeiro nos questionamos: É possível desenvolver uma ferramenta, pautada

nessas teorias e que seja de fácil manipulação, para que o professor utilize nos seus

planejamentos? A segunda questão surge da participação de grupos de pesquisa e extensão

como o Grupo Colaborativo em Modelagem Matemática32 e do Observatório da Educação

32 Neste site http://colaboracaoprofessores.blogspot.com.br/ podem ser encontrados informações sobre o grupo bem como materiais produzidos.

146

Matemática33, a questão é a seguinte: Quais as contribuições da TAD e do EOS para a

elaboração e análise de Materiais Curriculares Educativos?

33 Ver mais detalhes em: http://www.educacaomatematica.ufba.br.

147

REFERÊNCIAS

BARROS, A.P.R.M; STIVIAM, E.P. O software Geogebra na concepção de micromundo.S ã o P a u l o , v . 1 , n . 1 , 2 0 1 2 , p p . 1 8 4 - 1 9 4 . D i s p o n í v e l e m :<http://revistas.pucsp.br/index.php/IGISP/ article/view/8388/6915>. Acesso em: 13 de marçode 2016

BASSANEZI, Rodney Carlos. Modelagem matemática: um método científico de pesquisa ouuma estratégia de ensino e aprendizagem? In: ______. Ensino-aprendizagem comModelagem Matemática. São Paulo: Contexto, 2002.

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental: matemática. Brasília: Ministério da Educação/Secretaria de Educação Fundamental, 1998. 148p. (PCNs 5ª a 8ª Séries).

BROUSSEAU, Guy. Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas.Tradução de Dilma Fregona. 1ª ed. Buenos Aires: Libros Zorzal, 2007. 128 p. (FormaciónDocente).

EUCLIDES. Elementos de geometria. Sao Paulo: Cultura, 1944. 324 p.

ITZCOVICH, Horacio. (2005). Iniciación al estudio Didáctico de la Geometría. BuenosAires : Editorial El Zorzal,.

EUCLIDES. Elementos de geometria. Sao Paulo: Cultura, 1944. 324 p.

EVES, H. Introdução a História da Matemática. Campinas, SP: Universidade de Campinas, 2004. 843 p.

FARIAS, L. M. S. Contribuições do cabri geometre II plus para a passagem do desenhopara figura no ensino de matemática. In: CONGRESO INTERNACIONAL EURO-IBEROAMERICANO SOBRE LA FORMACIÓN DEL PROFESORADO DE EDUCACIÓNSECUNDARIA. REFLEXIÓN, ANÁLISIS Y PROPUESTAS, 2013, Madrid. CongresoInternacional Euro-Iberoamericano sobre la Formación del Profesorado de EducaciónSecundaria. Reflexión, Análisis y propuestas. Madrid: UNED, 2013. v. II. p. 349-352.

______.; SILVA, J. O.; CARVALHO, E. F. Las Teorías de las Situaciones e de laInstrumentación para el Pasaje del Dibujo a figura: una génesis para la enseñanza y elaprendizaje de las propiedades geométricas. In: II CONGRESO INTERNACIONAL DECIENCIAS DE LA EDUCACIÓN Y DEL DESARROLLO, 2014, Granada. Libro de Actasdel II Congreso Internacional de Ciencias de la Educación y del Desarrollo. Granada:Asociación Española de Psicología Conductual (AEPC), 2014. p. 573-573.

FERRAGINA, R.; AMMAN, S.; BIFANO F.; CICALA R.; GONZÁLEZ, C.; LUPINACCI,L. (2012). GeoGebra entra al aula de matemática. (1°.ed.). Buenos Aires: Miño y Davila.

148

FERREIRA, E. B.; SOARES, A. B.; LIMA, J. C. As Demonstrações no Ensino da Geometria:discussões sobre a formação de professores através do uso de novas tecnologias. Bolema, RioClaro, v. 22, n. 34, p. 185–208, fev., 2009.

FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática: percursosteóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2012. p. 7-55

FONT, V.; PLANAS, N.; GODINO, J. D. Modelo para el análisis didáctico en educaciónmatemática. Infancia y Aprendizaje, Madrid, v. 33, n. 1, p. 89-105, feb. 2010.

GODINO, J. D. Un Enfoque Ontológico Semiótico de la Cognición Matemática.Recherches en Didactique des Mathématiques. Vol. 22, nº 2.2, p. 237-284. 2002

GODINO, J. D. et al . Análisis y valoración de la idoneidad didáctica de procesos de estudiode las matemáticas¹. Paradìgma, Maracay, v. 27, n. 2, p. 221-252, dic. 2006. Disponible en<http://www.scielo.org.ve/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1011-22512006000200011&lng=es&nrm=iso>. Acessado em 03 março 2016.

HENRIQUES, A. ; ATTIE, J. P. ; FARIAS, L. M. S. . Referências teóricas da didáticafrancesa: análise didática visando o estudo de integrais múltiplas com auxílio do softwareMaple. Educação Matemática Pesquisa (Impresso), v. 9, p. 1-168, 2007.

JESUS, C. R.; ROLKOUSKI, E. O geogebra na prática pedagógica dos professores dematemática: reflexões a partir dos registros dos egressos de cursos. São Paulo, v. 1, n. 1,2 0 1 2 , p p . 1 4 4 - 1 5 9 . D i s p o n í v e l e m :<http://revistas.pucsp.br/index.php/IGISP/article/view/8331>. Acesso em: 13 de março de2016

LABORDE C.; CAPPONI B. Aprender a ver e a manipular o objeto geométrico além dotraçado no Cabrri-Géomètre. Em Aberto, Brasilia, ano 14, n. 62. abr./jun. 1994.

LIEBAN, D. E.; MÜLLER, T. C. Construção de utilitários com o software Geogebra: umaproposta de divulgação da geometria dinâmica entre professores e alunos. São Paulo, v. 1, n.1 , 2 0 1 2 , p p . 3 7 - 5 0 . D i s p o n í v e l e m :<http://revistas.pucsp.br/index.php/IGISP/article/view/8331>. Acesso em: 13 de março de2016

LOMBARDO, G. C.; CARONÍA, S.; OPERUC, R. V. Anlálisis de los métodosconstructivos para obtener homólogas de la circunferencia.São Paulo, v. 1, n. 1, 2012, pp.144-159. Disponível em: <http://revistas.pucsp.br/index.php/IGISP/article/view/9842>.Acesso em: 13 de março de 2016

LÓPES, N. R. Resolución de problemas con Geogebra en la formación de profesorado deeducación primaria: un estúdio de casos. São Paulo, v. 1, n. 1, 2012, pp. 51-64. Disponívelem: <http://revistas.pucsp.br/index.php/IGISP/article/>. Acesso em: 13 de março de 2016

149

MEYER, J. F. C. A.; CALDEIRA, A. D.; MALHEIROS A. P. S. Modelagem em EducaçãoMatemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2011.

OLIVEIRA, A. M. P. Modelagem Matemática e as Tensões nos Discursos dos Professores.2010. 199f. Tese (Doutorado em Ensino, Filosofia e História das Ciências) UniversidadeFederal da Bahia, Universidade Estadual de Feira de Santana, Salvador, 2010.

NOGUEIRA FARIAS, V. L.; FARIAS, L. M. S. . Construção de situações de aprendizagemem geometria plana utilizando o software cabri-geomètre: o deslocamento no ambientecomputacional cabri-geomètre. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃOMATEMÁTICA, 2007, Belo Horizonte. Diálogos entre a pesquisa e a prática educativa, 2007.v. 1.

RABARDEL, Pierre. Les hommes et les technologies: approche cognitive des instrumentscontemporains. Paris: Armand Colin, 1995.

RODRÍGUEZ, E.; BOSCH, M.; GASCÓN, A. A networking method to compare theories: metacognition in problem solving reformulated within the Anthropological Theory of the Didactic. ZDM - The International Journal on Mathematics Education, Turkey, v. 40, n. 2, p. 287-301, Apr. 2008.

SANTOS, E. C. et. al. A utiliação do Geogebra no processo ensino e aprendizagem da integral:uma articulação entre a pesquisa e a docência. São Paulo, v. 1, n. 1, 2012, pp. 129-143.Disponível em: <http://revistas.pucsp.br/index.php/IGISP/article/>. Acesso em: 13 de marçode 2016

SILVA, J. O. Contribuições do Geogebra para a Passagem do Desenho para Figura no 6ºano. In: II SEMINÁRIO DO LIAPEME, 2013. Feira de Santana. Resumos... Feira deSantana 2013.

150

APÊNDICES

151

APÊNDICE AATIVIDADES DE INSTRUMENTAÇÃO

Abra o arquivo “Dispositivo – 01” e responda:1) Faça com que o ponto A e o ponto B se encontrem.Abra o arquivo “Dispositivo – 01 -1” e responda:2) Aproxime o ponto B do ponto C o máximo que você conseguir.a)O que acontece com o ponto A?______________________________________________________________________________________________________________________________________________Abra o arquivo “Dispositivo – 01 -2” e responda:3) Faça com que o ponto A se aproxime do ponto Ba)O que acontece com os pontos C e D?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

Abra o arquivo “Dispositivo – 01 -4” e responda:4) Aproxime o ponto D do ponto A. a)O que ocorre com a reta a?______________________________________________________________________________________________________________________________________________Abra o arquivo “Dispositivo – 01 -5” e responda:5) Coloque o ponto F entre os pontos J e K.a) O que acontece com a reta c? Assinale a alternativa correta ( ) A reta c se move ( ) a reta c gira em torno do ponto E ( ) nada acontece com o a reta c ( ) a reta c some.

b) E porque isso acontece? ( ) Porque o ponto F está “preso” na reta c ( ) porque o ponto F não está “preso” na reta c ( ) porque o ponto F está fixado.

c) O mesmo ocorre se colocarmos o ponto E entre os pontos J e K? Por quê?______________________________________________________________________________________________________________________________________________Abra o arquivo “Dispositivo – 01 -6” e responda:6) Aproxime o ponto G do ponto H.a)Descreva o que acontece com o ponto J.______________________________________________________________________________________________________________________________________________b)Afaste o ponto G do ponto H. Depois, meçam a distância do ponto G ao ponto H e do pontoH até o ponto J e marque a resposta correta:( )A Distância de GH é o dobro da distância de HJ;( ) A Distância de GH é menor que a distância de HJ;( ) A Distância de GH é igual a distância de HJ;

152

( ) A Distância de HJ é maior do que a distância de GH;

c)Afaste o ponto G do ponto H. O que acontece com as medidas dos segmentos GH e HJ?______________________________________________________________________________________________________________________________________________Abra o arquivo “Dispositivo – 02” e responda:7) Faça com que o segmento BF fique com a mesma medida do segmento CD, enquantoisso observe o ponto E. O que acontece com o ponto E?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Abra o arquivo “Dispositivo – 03” e responda:8) Responda as questões abaixo:a)Os pontos B e F pertencem a reta a? Por quê?_______________________________________________________________________b)Os segmentos AB e EF são congruentes (têm a mesma medida)?_______________________________________________________________________Abra o arquivo “Dispositivo – 04” e responda:9) As retas m e n, que estão no arquivo do Geogebra, são paralelas. Se colocarmos oponto A em cima do ponto B:a)O que acontece com o ponto C?__________________________________________________b)O que que acontece com as retas m e n?__________________________________________________Abra o arquivo “Dispositivo – 04 -1” e responda:10) Coloque o ponto C sobre o ponto A e responda:a)O mesmo que aconteceu com as retas da questão anteriorb)acontece com as retas r e s?c)As retas r e s são paralelas? Por quê?Abra o arquivo “Dispositivo – 04 -2” e responda:11) Responda as questões abaixo:a)Se colocarmos o ponto C sobre o ponto A, os segmentos AB e DC ficam um em cima um dooutro?_______________________________________________________________________b)Se colocarmos o ponto E sobre o G, o que acontece com os segmentos EF e GH?_______________________________________________________________________c)Podemos dizer que os segmentos EF e GH são paralelos? Por que?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________d)Podemos dizer que os segmentos AB e DC são paralelos? Por que?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

• ATENÇÃO PARA A EXPLICAÇÃO DO PROFESSOR.• EXPERIMENTAÇÃO

153

APÊNDICE B

VERIFIQUE A CONSTRUÇÃOSeus colegas receberam um arquivo do Geogebra com a construção abaixo:

Vocês devem descobrir se a construção é ou não é um Losango. Para isso vocês podem fazerperguntas ao seus colegas.ATENÇÃO: Vocês não podem falar a palavra “Losango”.Tanto as perguntas que vocês fizerem, quanto as respostas dada pelos seus colegas queestão usando o computador, devem ser escritas na lista que segue.

154

APÊNDICE C

VERIFIQUE A CONSTRUÇÃOSeus colegas receberam um arquivo do Geogebra com a construção abaixo:

Vocês devem verificar se a construção é ou não é um Losango. Para isso vocês podem fazerperguntas ao seus colegas.

ATENÇÃO: Vocês não podem falar a palavra “Losango”.Tanto as perguntas que vocês fizerem, quanto as respostas dada pelos seus colegas queestão usando o computador, devem ser escritas na lista que segue.

155

APÊNDICE D

VERIFIQUE A CONSTRUÇÃOSeus colegas receberam um arquivo do Geogebra com a construção abaixo:

Vocês devem verificar se a construção é ou não é um Retângulo. Para isso vocês podem fazerperguntas ao seus colegas.

ATENÇÃO: Vocês não podem falar a palavra “Retângulo”.Tanto as perguntas que vocês fizerem quanto as respostas dadas pelos seus colegas,que estão usando o computador, devem ser escritas na lista que segue.

156

APÊNDICE E

VERIFIQUE A CONSTRUÇÃOSeus colegas receberam um arquivo do Geogebra com a construção abaixo:

Vocês devem verificar se a construção é ou não é um Retângulo. Para isso vocês podem fazerperguntas aos seus colegas.ATENÇÃO: Vocês não podem falar a palavra “Retângula”.Tanto as perguntas que vocês fizerem quanto as respostas dadas pelos seus colegas,que estão usando o computador, devem ser escritas na lista que segue.

157

APÊNDICE F

É um retângulo?______________________________________________________________Explique sua resposta:___________________________________________________________________________________________________________________________________

Resposta:________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

______________________________

Resposta:________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

______________________________

Pergunta:________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

______________________________

Resposta:________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

______________________________

Pergunta:________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

______________________________

Pergunta:________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

______________________________