Universidade Federal de Itajubápedro.unifei.edu.br/pessoal/Estatistica2010.pdf · Estatística Aplicada Balestrassi – Paiva – Ferreira (UNIFEI – IEPG) 3 X •Pressão de ar

Estatística Aplicada

Balestrassi – Paiva – Ferreira (UNIFEI – IEPG)1

“Pensar estatisticamente será um dia, para a eficiente prática da

cidadania, tão necessário como a habilidade de ler e escrever.”

H. G. Wells (Escritor, considerado o pai da moderna Ficção Científica, 1895)



Processo

Fatores Incontroláveis (ruído)

Fatores Controláveis

Entrada Saída

...

...x1 x2 xp

z1 z2 zq

y1

y2

ym

Motivação das empresas para estudo e uso de Estatística:

Foco no Processo: Um dos principais requisitos da ISO 9001:2000



X•Pressão de ar air strip•Pressão de ar air bag•Pressão de ar front piston•Pressão Hidráulica•Temperatura•Vazão de óleo Solúvel•Pressão do Nitrogênio

Y•Espessura da parede Top Wall•Espessura da Parede Mid Wall•Profundidade do Dome•Altura da Lata•Visualização

Processo Bodymaker de fabricação de latas

Z•Operador•Rede Elétrica•Qualidade da Bobina

Exemplo de Processo

Aplicação: Pense em um problema similar em sua área de atuação

É complexo inferir sobre X,Y e Z sem Estatística!

Y=f(X)+Z



DO THE REAL

THING!

Faça anotações! Aplicando os conhecimentos na sua área é a únicaforma de sedimentá-los!

Cone of Learning



Statgame e Statquiz(Interessante para verificar

o conhecimento básico)

Recursos de Software

O uso de recursos computacionais tornou os cálculos atividades fáceis permitindo uma maior ênfase na compreensão e interpretação dos resultados



Pratique:

1. Gere a planilha ao lado e entenda a diferença entre Worksheet e Project. Observe o que é Session.

2. Calcule as principais Estatísticas Descritivas da planilha gerada.

Siga o caminho: <Stat> <Basic Statistics> <Graphical Summary>

3. Navegue no Statguide

4. Navegue pelo Tutorial do Minitab

5. Observe os ícones para Worksheet, Session, Show Graphs Folder e Edit Last Dialog

www.minitab.comwww.e-academy.com



6. Gere uma série de 100 valores aleatórios que poderia simular uma variabilidade em Temperatura;

Use <Calc> <Random Data> <Normal Distribution> e inclua os parâmetros convenientes (Ex.: Média=100, S=10).

7. Calcule as principais estatísticas descritivas da planilha usando Graphical Summary. Faça outros gráficos.

8. Entenda o procedimento <Calc> <Set Base>?

9. Salve a planilha na Desktop com um nome qualquer.

10. Feche o programa minitab e depois abra a planilha que você salvou.



Obtenha domínio sobre o Minitab a partir do arquivo minitab.pdf.

Um bom Material de Apoio



Uma ótima bibliografia:

Montgomery, D.C., Runger, G.C., Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, 2ª ed., LTC Livros Técnicos e Científicos, 2002, 461 p.

Não deixe de ler:Fora de Série (Outliers) – Malcolm Gladwell –Editora Sextante – Descubra por que algumas pessoas tem sucesso e outras não

Uma Senhora Toma Chá – David Salsburg –Editora Zahar – Como a estatística revolucionou a ciência no século XX



SUMÁRIO

1 – Estatística Descritiva

2 – Distribuições de Probabilidade

3 – Estimação e Intervalos de Confiança

4 – Testes de Hipótese

5– Análise de Variância

6 – Correlação e Regressão

7– Testes de Independência


Balestrassi – Paiva – Ferreira (UNIFEI – IEPG)

11

1 - Estatística Descritiva

“Deus não joga dados com o universo” (Albert Einstein)

“Os experimentos geralmente não são determinísticos” (Fisher)



A essência da ciência é a observação. Estatística: A ciência que se preocupa com a organização, descrição, análise e interpretação dos dados experimentais. Ramo da Matemática Aplicada. A palavra estatística provêm de Status.

Do que trata a Estatística

Estatística Básica (Anova, TH, Regressão)

Séries Temporais

Data Mining

Six Sigma

Redes Neurais

Controle de Qualidade

Estatística Bayseana

Simulação / PO

DOE /Taguchi /RSM

Análise do Sistema de Medição

Estatística Multivariada

Amostragem / Pesquisa

Confiabilidade

Caos

Em 1662, John Graunt publicou os primeiros informes estatísticos. Era sobre nascimento e mortes.



A População (ou Distribuição) é a coleção de todas as observações potenciais sobre determinado fenômeno.

O conjunto de dados efetivamente observados, ou extraídos, constitui uma Amostra da população.

Um Censo é uma coleção de dados relativos a Todos os elementos de uma população.

Um Parâmetro está para a População assim como uma Estatística está para a Amostra.

População e Amostra



Variável

Qualitativa

Quantitativa

Ordinal

Nominal

Discreta

Contínua

Ex.: Para uma população de peças produzidas em um determinado processo, poderíamos ter:

Variável TipoEstado: Perfeita ou defeituosa Qualitativa NominalQualidade: 1a, 2a ou 3a categoria Qualitativa OrdinalNo de peças defeituosas Quantitativa DiscretaDiâmetro das peças Quantitativa Contínua

(Também Dados Categóricos ou de Atributos)

Tipos de Dados

(Variáveis)



Aplicação: Gere sequências de valores aleatórios que represente problemas em sua área.

O que significa o procedimento <Calc> <Set Base>?

Amostragem: Gere a sequência 1 2 3 ...100.

<Calc> <Make Patterned Data>

Selecione uma amostra com 10 valores a partir das sequências geradas anteriormente.

Use <Calc> Random Data> <Sample from Column>

<Calc> <Random Data> Números Aleatórios



Aplicação:

Gere uma sequência de dados que represente um processo em sua área e calcule as estatísticas desse conjunto de dados.

Use:

<Random> e

<Graphical Summary>

Ex.:Número de acessos à página do Site da Empresa durante os últimos 100 dias úteis.

<Graphical Summary>



Medidas de Posição: Média

xx x x

n

x

nn

ii

n

=+ + +

==

∑1 2 1L

∑

∑

=

==++++++

= n

ii

n

iii

n

nn

p

px

ppppxpxpxx

1

1

21

2211

L

L

Aritmética Simples

Aritmética Ponderada

+...+

+...+

+...+

Um pouco sobre arredondamento de médias:Tome uma decimal acima da dos dados: Ex.: 2,4 3,4 e 5,7 => média =3,73

Em várias operações, arredonde apenas o resultado final



Chama-se Robert

Pesa 78 Kg

Manequim 48

85 cm de cintura

Consome anualmente 8,5 Kg massa, 11,8Kg de bananas, 1,8 Kg de batatas fritas, 8,15Kg de sorvete e 35,8 Kg de carne.

Vê TV por ano 2567 horas

Recebe anualmente 585 “coisas” por correio (cartas e outros)

Diariamente dorme 7,7 horas, gasta 21 minutos para chegar ao trabalho e trabalha 6,1 horas

Um Cidadão Americano “Médio”



~xn o

=+⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

12

termo ~x

n n

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 21

2

o o

termo termo

{ }35 36 37 38 40 40 41 43 46 40, , , , , , , , ~⇒ =x

{ }12 14 14 15 16 16 17 2015 16

215 5, , , , , , , ~ ,⇒ =

+=x

Ex.:

Se n é ímpar: Se n é par:

Medidas de Posição: Mediana

Mediana é o valor “do meio” de um conjunto de dados dispostos em ordem crescente ou decrescente.

Inconveniente: Não considera todos os valores da amostra!



Média x Mediana

x = 345 7,~x = 300

Ex.: { 200, 250, 250, 300, 450, 460, 510 }

Ambas são boas medidas de Tendência Central.

Prefira a média

x

{ 200, 250, 250, 300, 450, 460, 2300 }

= 601~x = 300

Devido ao Outlier 2300, a mediana é

melhor estatística que a média.



Medidas de Dispersão

Rode e Entenda o programa Interativo da

PQ Systems

Discuta:

1) Porque os bancos adotam fila única?

2) “Por favor, com quantos dias de antecedência eu devo postar uma carta de aniversário para minha mãe?”



A = { 3, 4, 5, 6, 7 }B = { 1, 3, 5, 7, 9 }C = { 5, 5, 5, 5 }D = { 3, 5, 5, 7 }E = { 3.5, 5, 6.5 }

Uma medida de Posição não ésuficiente para descrever um conjunto de dados. Os Conjuntos ao lado mostram isso! Eles possuem mesma média, sendo diferentes.

Algumas medidas de Variabilidade:

Amplitude (H): Tem o inconveniente de levar em conta apenas os dois valores extremos:

HÁ =7-3=4

Variabilidade

Amplitude=Range



Considerando os desvios em relação à média, temos, para A, por exemplo:

A = { 3, 4, 5, 6, 7 } xxi - {-2, -1, 0, 1, 2}

Medidas de Dispersão

0)(1 11

≡−=−=− ∑ ∑∑= ==

xnxnxxxxn

i

n

ii

n

iiInconveniente:

Uma opção para analisar os desvios das observações é:considerar o total dos quadrados dos desvios.

( )x xii

− = + + + + ==∑ 2

1

5

4 1 0 1 4 10



Desvio Padrão

.

( )x x

n

ii

n

−=∑ 2

1

Associando ao número de elementos da amostra (n), tem-se:

...que é a Variância ( Var(x))S2 =

S S= 2 ...que é o Desvio Padrão (DP(x)), uma medida que é expressa na mesma unidade dos dados originais



Dispersão: Fórmulas Alternativas

( )21

2

1

2

2 xn

x

n

xxn

ii

n

ii

−=−

=∑∑

==σ( )

Sx x

n

ii

n

2

2

1

1=

−

−=∑

Variância Amostraln-1 está

Relacionado a um problema de tendenciosidade

Variância Populacional(σ2 ou σn

2 )



Média = 3 Média = 3

Soma daúltima coluna= 10

Soma daúltima coluna= 10

Divide a Soma por (n-1):= Variância = S2

= 2,5

Divide a Soma por (n-1):= Variância = S2

= 2,5

X =Soma dos pontos de dados

Número dos pontos de dados

X54312

X210-2-1

( )X X−41041

( )X X−2

Raiz Qadrada da Variância = Desv.Pa. = S= 1,58

Raiz Qadrada da Variância = Desv.Pa. = S= 1,58

S S= 2

Calcular a Variância e o Desvio Padrão de X

S2

Exemplo

Uma Regra Prática para

conjunto de dados típicos:

S=Amplitude/4



Média da PopulaçãoN

X=µ

N

1i∑

=i

Média da Amostra

Desvio Padrão da População σµ

=(X )

N

i2

i=1

N

−∑

Desvio Padrão da Amostra

x =x

n

ii=1

n

∑

s =(X )

N -1

i2

i=1

N

−∑ X

Expressões para Média e Variância



25%

50%

75%109

104

99

94

DBP

* Outlier ( fora da distância do Q3 + 1,5D )

Q3=75ª Percentil

Observação Máxima

Q1=25ª Percentil

Q2=Mediana (50ª Percentil)

D=Q3-Q1

InterquartilEDA (Exploratory Data Analysis) e Método dos

Cinco Números

Outra Estratégia: Percentis e Boxplot

Boxplot é desgastante quando feito sem computador pois supõe a ordenação de dados.



Valor do meio

Quartis:

Q1=Quarta Observação Crescente=71.7

Q3=Quarta Observação Decrescente=150.6

Outliers: Q3+1.5D=150.6+1.5(150.6-71.7)=268.95

São outliers valores maiores que 268.95

Percentis e Boxplot

2.(n+1)/4 0

3.(n+1)/4 0

(n+1)/4 0

Para valores não inteiros dos quartis,

usa-se interpolação

graficos.mtw



30

Escores padronizados (z)

zx x

sii=

− x

Grupo Peso médio Desvio PadrãoA 66.5 kg 6.38 kgB 72.9 kg 7.75 kg

Ex.: Dois grupos de pessoas acusam os seguintes dados:

e 3,238,6

5,662,81 : em =−

=AzA 95,175,7

9,7288 : em =−

=BzB

xi - considera o afastamento de xi em relação à média.

A divisão por s torna s como unidade ou padrão de medida.

Nesses grupos há duas pessoas que pesam respectivamente, 81.2 kg e 88.0 kg.

Logo, a pessoa de A revela um maior excesso relativo de peso.



ϕ(z)

z

xµ-3σ µ -2σ µ -σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ

-3 -2 -1 0 1 2 3

Distribuião Normal Reduzida ou Padronizada

σµ−

=xz);(: σµNX Z: N(0; 1)

Tal fórmula está tabelada e fornece valores acumulados

Qual o formato da curva acumulada?

Distribuição Normal

N(0,1) é a distribuição Benchmark




zx x

sii=

−

Uma mulher deu à luz um filho 308 dias após a visita de seu marido que serve na marinha dos EUA. Sabendo-se que uma gravidez normal tem média de 268 dias e desvio-padrão de 15 dias, determine se o tempo de gravidez da mulher pode ser considerado comum.

O marido tem razão de se preocupar?




zx x

sii=

−

Regra 68 -- 95 -- 99Cerca de 68% dos valores estão a menos de 1 desvio padrão a

contar da média (-1 < z < 1)

Cerca de 95% dos valores estão a menos de 2 desvios padrão a contar da média (-2 < z < 2)

Cerca de 99% dos valores estão a menos de 3 desvios padrão a contar da média (-3 < z < 3)

Regra 68 -- 95 -- 99



Assimetria (Skewness)

Próximo de 0: Simétrico

Menor que 0: Assimétrico àEsquerda

Maior que 0: Assimétrico àDireita

Achatamento (Kurtosis)

Próximo de 0: Pico Normal

Menor que 0: Mais achatada que o Normal (Uniforme)

Maior que 0: Menos achatada que o normal (Afinada)

Skewness and Kurtosis



Assimetria, Percentis e Boxplot



Exercício

Encontre todas as estatísticas descritivas para a série da tabela a seguir.

10 23 34 40 58 7413 24 35 41 58 8015 25 37 48 63 8215 25 38 53 64 8820 30 39 58 70 25021 32 39 58 70 254



Ex.: População = X=Diâmetro de determinada peça (em mm).Dados brutos: { 168, 164, 164, 163, 165, 168, 165, 164, 168, 168 }Rol: { 163, 164, 164, 164, 165, 165, 168, 168, 168, 168 }Amplitude (H) = 168 - 163 = 5

Xni

(Frequência Absoluta)

fi(Frequência

Relativa)

Ni(Frequência

Absoluta Acumulada)

FiFrequência

Relativa Acumulada)

163 1 0.1 1 0.1

164 3 0.3 4 0.4

165 2 0.2 6 0.6

168 4 0.4 10 1.0

Σ 10 1

Distribuição de Freqüências

n ni

K

1∑ =

fnni

i=

f ii

K

=∑ =

11

FNni

i=



x(Variável)

xi (ponto médio)

ni(frequência absoluta)

fi(frequência

relativa)

f%(frequência percentual)

Ni(AbsolutaAcum.)

Fi(RelativaAcum.)

F%(Percentual

Acum.)

10 ├ ─ 20 15 2 0.04 4 2 0.04 420 ├ ─ 30 25 12 0.24 24 14 0.28 2830 ├ ─ 40 35 18 0.36 36 32 0.64 6440 ├ ─ 50 45 13 0.26 26 45 0.9 9050 ├ ─ 60 55 5 0.1 10 50 1.0 100

Σ 50 1 100

Classes (ou Categorias)

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS



x(Variável)

xi (ponto médio)

ni(frequência absoluta)

(Xi).(ni)

10 ├ ─ 20 15 2 3020 ├ ─ 30 25 12 30030 ├ ─ 40 35 18 63040 ├ ─ 50 45 13 58550 ├ ─ 60 55 5 275

Σ 50 1820

Classes (ou Categorias)

EXEMPLO – MÉDIA P/DADOS AGRUPADOS

4,3650

1820

.

1

1

==

==

∑

∑

=

=

X

n

nxXMédia n

ii

n

iii



10

8

6

4

2

10 20 30 40 60 x

ni

Construção da tabela de distribuição de freqüências a partir do histograma de classes desiguais. Exercício: Complete a tabela.

X ni fi

10 |-- 20

20 |-- 30

30 |-- 40

40 |-- 60

Σ 1

Histogramas



3 7

Processo A

Processo B

Tempo Total (A+B)

?

= 3s = 1

X = 7s = 2

X

321

2.23 5 (2) (1) S S S 222B

2ABA

=+≠

==+=+=+

Correto; Some as

variâncias e depois

obtenha o Desvio Padrão

Incorreto;

Soma de Normais



-10 -5 0 5 10 15

Linha A

Linha B

Diferença:Linha A – Linha B

?

= 3s = 1X = 7

s = 2X

4 - 7 - 3 X -X X BABA ===−

121

2.235(2)(1)SSS 222B

2ABA

= −−≠

==+=+=–Correto

Incorreto

Diferença de Normais



Representação Gráfica:Ramo-e-folhas

⎯ xRamos ⎯ x x Folhas

⎯ x x x x x⎯ x x x

81 113 108 74 79 78 90 93 105 109 93

106 103 100 100 100 101 101 101 95 90 94

90 91 92 93 87 89 78 89 85 94 86

11 3

10 8 5 9 6 3 0 0 0 1 1 1

9 0 3 3 5 0 4 0 1 2 3 4

8 1 7 9 9 5 6

7 4 9 8 8

11 3

10+ 8 5 9 6

10- 3 0 0 0 1 1 1

9- 0 3 3 5 0 4 0 1 2 3 4

8 1 7 9 9 5 6

7 4 9 8 8

Ex.:

graficos.mtw



Stem-and-Leaf Display: folha_ramo

Stem-and-leaf of Ramo N = 33Leaf Unit = 1.0

1 7 44 7 8895 8 1

10 8 56799(10) 9 000123334413 9 512 10 00011135 10 56891 11 3

Obtendo o seguinte Folha

e Ramo.

Compare os resultados

fazendo um Histograma.

O que representa tal

coluna?

Coluna folha_ramo

Ramo-e-folhas



Exercício no Minitab: Faça o gráfico abaixo a partir dos dados seguintes.

Plot



Faça o gráfico bidimensional a partir dos dados a seguir

<Marginal Plot>

graficos.mtw



Os dados representam uma série temporal

Tal gráfico é útil para ver a estabilidade de um processo.

Control Chart é Melhor!

<Stat> <Quality Tools>

<Run Chart>

•Column=Tempo na fila

•Subgroup Size=1

Runchart

runchart.mtw



•Identifica Diversos tipos de variação

•A análise de efeitos é similar em DOE

•Permite identificar interações

•Não é o mesmo que Estatística Multivariada

15 18 21

17,5

18,5

19,5

20,5

21,5

22,5

23,5

TipoMetal

Forç

a

0,5

1,0

2,0

TempoSinterUse os

Dados a seguir

<Stat>

<Quality Tools>

<Multi-Vari>:

Response: Força (y)

Factor1: TempoSinter (x1)

Factor2: TipoMetal (x2)

Multi-Vari

Sinter.mtw



Multi-Vari – Monte a Tabela

x1 x2 y x1 x2 y x1 x2 y0,5 15 23 1 15 22 2 15 180,5 15 20 1 15 20 2 15 180,5 15 21 1 15 19 2 15 160,5 18 22 1 18 24 2 18 210,5 18 19 1 18 25 2 18 230,5 18 20 1 18 22 2 18 200,5 21 19 1 21 20 2 21 200,5 21 18 1 21 19 2 21 220,5 21 21 1 21 22 2 21 24

Nível 0,5 Nível 1,0 Nível 2,0



2 - DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE



1 - Motivação2 - Distribuições de Probabilidade

• Distribuições Contínuas• Distribuição Discretas

Sumário



Motivação

•O reconhecimento da importância dos processos estocásticos;

•A consideração da “Incerteza” associada aos eventos;

•Exatidão na modelagem matemática;

•Correta determinação da probabilidade de ocorrência dos fenômenos;

•A otimização de processos industriais e de serviços através de técnicas de SIMULAÇÃO.



DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE



Formatos de Distribuições



( ) 0≥xf

( ) 1=∫∞

∞−xf

( ) ∫ >=≤≤b

aabdxxfbXaP )( )(

Algumas Distribuições Contínuas:

Normal Uniforme Chi-square Fisher(F) Student(t)

Beta Cauchy Exponential Gamma Laplace Logistic Lognormal Weibull

f(x) => fdp

Função densidade de probabilidade

Área da curva é unitária

Probabilidade estáassociada a área

Distribuições Contínuas de Probabilidade



e) M áx f(x) o co rre em x = µ

f) O s po nto s de inflexão são x = µ ± σ

g) E (X ) = µ

h) V ar(X ) = σ 2

f(x)

xµ µ+σ

a) f x dx( )− ∞

∞∫ = 1

b) f(x) ≥ 0

c) lim ( ) lim ( )x x

f x f x→ ∞ → − ∞

= =0 0 e

d ) f(µ + x) = f(µ - x)

( )2

21

21)(

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−= σ

µ

πσ

x

exf





Pouca Utilidade Prática

Retorna a probabilidade Acumulada

Retorna a Variável quando é dada a probabilidade

acumulada

Exemplo

X:N(100,5)P(X<=95)=0,1587



µµ

1σ1σ

TT LSELSE

p(d)

3σUsed With Permission

© 6 Sigma Academy Inc. 1995


);(: σµNX

Se a dimensão de uma peça segue uma distribuição Normal X: N(80,3) qual a Probabiliade de ter uma peça defeituosa de

acordo com a figura?



Exercício 1:Em uma população onde as medidas tem Média 100 e Desvio Padrão 5, determine a probabilidade de se ter uma medida:

a) Entre 100 e 115

b) Entre 100 e 90

c) Superior a 110

d) Inferior a 95

e) Inferior a 105

f) Superior a 97

g) Entre 105 e 112

h) Entre 89 e 93

i) 98

Dica:

Crie uma coluna com os valores 100 115...98 no Minitab

Crie uma coluna com

os valores 0,74...0,05 no Minitab

Exercício 2:Em uma população onde as medidas tem Média 100 e Desvio Padrão 5, determine os valores k tais que se tenha a probabilidade:

a) P(X>k)=0,26

b) P(X<k)=0,32

c) P(100-k<100<100+k)=0,47

d) P(x<100-k)+P(x>100+k)=5%


Use: <Calc><Probability Distribution><Normal>



Probabilidades e Escores padronizados (z)

σµ−

= ii

xz

Exemplo

Um cliente tem um portfólio de investimentos cuja média é US$ 500.000 com desvio padrão de US$ 15.000. Determine a probabilidade de que o valor de seu portfólio esteja entre US$ 485.000 e US$ 530.000.




Exemplo

Se X tem distribuição normal N(15, 4), encontre a probabilidade de X ser maior que 18.

Exemplo

Uma companhia produz lâmpadas cuja vida segue uma distribuição normal com média 1.200 horas e desvio padrão de 250 horas. Escolhendo-se aleatoriamente uma lâmpada, qual é a probabilidade de sua durabilidade estar entre 900 e 1.300 horas?




Exemplo

Um grupo de estudantes obtém notas que são normalmente distribuídas com média 60 e desvio padrão 15. Que proporção dos estudantes obtiveram notas entre 85 e 95?

Exemplo

No caso da prova do exercício anterior, determine a nota acima da qual estão 10% dos melhores alunos da classe.




Exercício

É sabido que a quantidade anual de dinheiro gasto em livros por alunos de uma universidade, segue uma distribuição normal com média $380 e desvio padrão de $50.

Qual é a probabilidade de que um aluno escolhido aleatoriamente no campus gaste mais do que $ 360 por ano?



Probabilidades e Produção

Exercício

A demanda antecipada de consumo de um certo produto érepresentada por uma distribuição normal com média 1.200 unidades e desvio padrão de 100.

a) Qual é a probabilidade de que as vendas excedam 1.000 unidades?

b) Qual é a probabilidade de que as vendas estejam entre 1.100 e 1300 unidades?

c) A probabilidade de se vender mais do que k unidades é de 10%. Determine k.



Probabilidades e Investimentos

Exercício

Um portfólio de investimentos contém ações de um grande número de empresas. Ao longo do último ano as taxas de retorno das ações dessas corporações seguiram distribuição normal com média de 12,2% e desvio padrão de 7,2%.

a) Para que proporção de empresas o retorno foi maior que 20%?

b) Para que proporção de empresas o retorno foi negativo?

c) Que proporção de empresas tiveram retornos entre 5% e 15%?



Probabilidades e Investimentos

Exercício

Considere dois investimentos. Em ambos, a taxa de retorno segue uma distribuição normal, com média e desvio padrão conhecidos conforme tabela a seguir. Deseja saber qual dos investimentos émais provável de produzir retornos de no mínimo 10%. Que investimento deveria ser escolhido?

Média Desvio

Investimento A 10,4 1,2

Investimento B 11,0 4,0



Probabilidades e Finanças

Exercício

Um portifólio de investimentos contém ações de um grande número de empresas. Ao longo do último ano as taxas de retorno das ações dessas corporações seguiram distribuição normal com média de 12,2% e desvio padrão de 7,2%.

a) Para que proporção de empresas o retorno foi maior que 20%?

b) Para que proporção de empresas o retorno foi negativo?

c) Que proporção de empresas tiveram retornos entre 5% e 15%?



Distribuição Uniforme

F(x)

a b

( ) ∫+∞

∞−

== dxxxfXE )(µ

( ) ( ) ( )12

12

)(22

22 abdxab

baxdxxfxXVar −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=−== ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

µσ

1)()(.1

=−===

xfabhbAA

( )2

1 badxab

xXEb

a

+=

−== ∫µ

( ) ( )∫+∞

∞−

−== dxxfxXVar )(22 µσ

)(1)(

abxf

−=



x

F(x)

140120100806040200

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0,00

0

0

Função Exponencial

Distribuição Exponencial

( ) ( ) 20

222 11)(

λλ

λµσ λ =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−== ∫∫

+∞−

+∞

∞−

dxexdxxfxXVar x

( )λ

λµ λ 1

0

=== ∫∞

− dxexXE x

( ) ixexf λλ −= .



X-Data

Y-D

ata

1086420

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0

0

VariableC7 * Weibull 1 1C8 * Weibull 3,4 2C9 * Weibull 4,5 6.2

Weibull

Distribuição Weibull

( )β

δβ

δδβ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

x

exxf1




Exemplo

A espessura de um componente é uma variável aleatória uniformemente distribuída entre os valores 0,95 a 1,05 cm.

a) Determine a proporção de componentes que excedem a espessura de 1,02 cm.

b) Qual é o valor de espessura que é excedida por 90% dos componentes?

c) Qual é o valor da espessura abaixo da qual estão 75% dos componentes?




Exemplo

Suponha que uma variável aleatória seja uniformemente distribuída no intervalo [1.5; 5.5].

a) Determine a probabilidade de x ser menor que 2,5.

b) Qual é a probabilidade de x ser maior que 3,5?

c) Determine o valor de k, de modo que a probabilidade de x ser maior que k seja de 40%




Exemplo

Considere o seguinte conjunto de dados: [26, 22, 21, 19, 8, 4]. Ajustando estes dados por distribuição exponencial, determine:

a) A probabilidade de uma v.a. x ser menor que 10.

b) A probabilidade de uma v.a. x ser menor que 5.

c) P(5< x < 10).




Exemplo

Suponha que X tem uma distribuição exponencial com média igual a 10. Determine:

a) A probabilidade de uma v.a. x ser maior que 10.

b) A probabilidade de uma v.a. x ser menor que 20.

c) Encontre k tal que P(X<k)=0,95




Exemplo

O tempo entre as chamadas telefônicas para uma loja de suprimentos é distribuído exponencialmente com um tempo médio de 15 minutos entre as chamadas. Determine:

a) A probabilidade de não haver chamadas por um período de 30 minutos.

b) A probabilidade de que no mínimo uma chamada chegue dentro do intervalo de 10 minutos.

c) A probabilidade de que a primeira chamada chegue entre 5 e 10 minutos.

d) O intervalo de tempo, tal que exista uma probabilidade de 90% de haver no mínimo uma chamada no intervalo.




Exemplo

O tempo entre as chegadas de ônibus a uma estação rodoviária édistribuído exponencialmente, com média 10 min. Determine:

a) x, tal que a probabilidade de vc esperar mais de x minutos seja de 10%.

b) x, tal que a probabilidade de vc esperar menos de x minutos seja de 90%.

c) x, tal que a probabilidade de vc esperar menos de x minutos seja de 50%.




Exemplo

O tempo entre a chegada de e-mails em seu computador édistribuído exponencialmente com média igual a duas horas. Determine:

a) Qual a probabilidade de vc não receber uma mensagem durante o período de duas horas?

b) Se vc não tiver recebido uma mensagem na últimas quatro horas, qual será a probabilidade de vc não receber mensagens nas próximas duas horas?




Exemplo

O tempo entre as chamadas para o escritório do CEO de uma corporação é exponencialmente distribuído com média igual a 10 minutos. Determine:

a) Qual a probabilidade de não haver chamadas dentro de meia hora?

b) Se a secretária do CEO se ausentar por 5 minutos, qual será probabilidade dela não atender (e repassar) uma “importante” ligação para o chefe?



( ) 0≥ixf

( ) 11

=∑=

n

iixf

( ) ( )ii xfxXP ==

Algumas Distribuições Discretas

A Distribuição Binomial

A Distribuição de Poisson

A Distribuição Geométrica

A Distribuição de Pascal

A Distribuição Multinomial

A Distribuição Hipergeométrica

A soma das frequências é

unitária

A probabilidade é a frequência

Distribuição Discretas de Probabilidade



Use o programa Statdisk

<Analysis>

<Probability Distribution>

<Binomial Distribution>

Observe em <Options> os valores acumulados

Distribuição Binomial



Ex.: A probabilidade de um teste “Burn in / Burn out”queimar um componente eletrônico é 0,2 (p). Colocando-se três (n) componentes sob teste, qual a probabilidade de que pelo menos dois deles (x) se “queime”?

E(X) = np e Var (X) = npq

( ) ( )valores outrospara

0

,...2,1,0)1(!!

!

=

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

== − nxppxnx

nxXP xnx




E = {QQQ, QQN, QNQ, NQQ, NNQ, NQN, QNN, NNN}onde Q e N representam a queima ou não do componente

x

0

1

2

3

P(x)

P{NNN} = P(X = 0) = q3 = (0.8)3

P{NNQ} + P{NQN} + P{QNN} = P(X = 1) = 3pq2 = 3(0.2)(0.8)2

P{QQN} + P{QNQ} + P{NQQ} = P(X = 2) = 3p2q = 3(0.2)2(0.8)

P{QQQ} = P(X = 3) = p3 = (0.2)3

P(X ≥ 2) = P(X=2) + P(X= 3) = 3p2q + p3 = 0.104 = 10,4%

X: Número de Queimas Q




Exercício:

Suponha que uma válvula eletrônica, instalada em determinado circuito, tenha probabilidade 0.2 de funcionar durante o tempo de garantia. São ensaiadas 20 válvulas.

a) Qual a probabilidade de que delas, exatamente k, funcionem durante o tempo de garantia (k = 0, 1, 2, ... 20)?

b) Qual a probabilidade de que 4 funcionem durante o tempo de garantia?

c) Qual o número médio e o desvio padrão de válvulas que irão funcionar durante o tempo de garantia?

X ≡ Número de válvulas que funcionam durante o tempo de garantia.p = 0.2X = 0, 1, 2, ... 20




P(X = x)

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18

com média E(x) = np = 20.(0.2) = 4

e desvio padrão npq = 1788.

( ) ( ) kk

kkXP −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 208.02.020

=)=(

E(X) = np e Var (X) = npq

( ) valoresoutros para 0

,2,1,0 )1(

=

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== − nxpp

xn

xXP xnx L




Exercício: Complete a tabela referente a Distribuição Binomial a seguir:

n p k P(X=k) F(k) P(X>k) P(X<k) E(x)

4 0,2 2

8 0,5 4

12 0,7 3

20 0,8 12

100 0,6 63




n p k P(X=k) F(k) P(X>k) P(X<k) E(x)

4 0,2 2 0,1536 0,1536 0,0272 0,8192 0,8

8 0,5 4 0,2734 0,2734 0,3633 0,0899 4

12 0,7 3 0,0015 0,0015 0,9983 0,0002 8,4

20 0,8 12 0,0222 0,0222 0,9679 0,0099 16

100 0,6 63 0,0682 0,0682 0,2386 0,6932 60




Distribuição Hipergeométrica

Ex.: Pequenos motores elétricos são expedidos em lotes de 50unidades. Antes que uma remessa seja aprovada, um inspetor escolhe 5 desses motores e os inspeciona. Se nenhum dos motores inspecionados for defeituoso, o lote é aprovado. Se um ou mais forem verificados defeituosos, todos os motores da remessa são inspecionados. Suponha que existam, de fato, três motores defeituosos no lote. Qual a probabilidade de que a inspeção 100% seja necessária?

P X P X( ) ( ) .≥ = − = = −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

≅1 1 0 1

30

475

505

0 28



Distribuição Hipergeométrica

)0(1)1( =−=≥ XPXP



Ex.: Em uma experiência de laboratório passam, em média, por um contador, quatro partículas radioativas por milissegundo. Qual a probabilidade de entrarem no contador seis partículas em determinado milissegundo?

Utilizando a distribuição de Poisson com λ = 4, então:

1042.0!64)6(

64

===−eXP

npnp

Xk

ekXPk

====

===−

µσµλ

λλ

2,1, , L0!

)(

Distribuição de Poisson

No Minitab use: <Calc> <Probability Distribution> <Poisson>



Use o programa Statdisk

<Analysis>

<Probability Distribution>

<Poisson Distribution>

Observe em <Options> os valores acumulados




Exercício: Complete a tabela referente à Distribuição Poisson:

Média k P(X=k) F(k) P(X>k) P(X<k)

4 2

8 4

12 3

20 12

100 63




Ex.: Chegam, em média, 10 navios-tanque por dia a um movimentado porto, que tem capacidade para 15 desses navios. Qual a probabilidade de que, em determinado dia, um ou mais navios tanque tenham de ficar ao largo, aguardando vaga?

Temos aqui que, para λ = 10:

0487.09513.01)15(1)15( =−=≤−=> XPXP




Ex.: Uma central telefônica recebe em média 300 chamadas por hora e pode processar no máximo 10 ligações por minuto. Estimar a probabilidade de a capacidade da mesa ser ultrapassada.

Temos agora:λ = 300/60 = 5 chamadas/minuto em média

%4,1014.0986.01)10(1)10( ==−=≤−=> XPXP





Aproximação da Distribuição Binomial

P X knk

p pk n k( ) ( )= =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − −1

!)(lim

kekXP

k

n

λλ−

∞→==

Seja X uma v.a. distribuída binomialmente com parâmetro p(baseado em n repetições de um experimento). Isto é,

Admita-se que quando n → ∞, p →0 e np → λ.Nessas condições é possível demonstrar uma importante consideração:



Ex.: A probabilidade de um indivíduo ter reação negativa a certa injeção é de 0,001. Determinar a probabilidade de que de 2.000 indivíduos injetados, exatamente 3 tenham reação negativa.

Usando a distribuição binomial com n = 2.000 e p = 0.001 temos:

19973 )999.0()001.0(3

2000)3( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==XP

O cálculo desses números dá origem a considerável dificuldade. Pela aproximação de Poisson temos:

1804.0!32)3(

32

===−eXP


2)001.0)(2000( === npα




Ex.: Consideremos um experimento binomial com n = 200, p = 0.04 em que se pede a probabilidade de, no máximo, 5 sucessos.

kk

k kXP −

=∑ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≤ 5

5

0

)96.0()04.0(200

)5(

λ = np = (200) (0.04) = 8

P(X ≤ 5) = 0.1912 Obtido de Tabela (ou micro)

O cálculo direto é impraticável, usando a Distribuição Binomial





Ex.: A probabilidade de um indivíduo ter reação negativa a certa injeção é de 0,001. Determinar a probabilidade de que de 2.000 indivíduos injetados, mais de quatro tenham reação negativa.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0526.01224

68

24161

!02

!12

!32

!421

]01234[14

2

0223242

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−=

=+=+=+=+=−=>

−

−−−−

e

eeeeXPXPXPXPXPXP


2)001.0)(2000( === npα



3 - Estimação de Parâmetros e Intervalos de Confiança



Idéia Central:Criar e avaliar intervalos de Confiança para dados amostrais.

Tópicos abordados:• Inferência Estatística• O Teorema Central do Limite • Intervalos de Confiança• A Distribuição t de Student.

EstimaEstimaçção de Parâmetros e ICão de Parâmetros e IC



População

Amostragem

Estimação de parâmetros

e escolha da Distribuição

Cálculo de Probabilidades

(Usando a Distribuição acima)

Inferência

Estatística

Informação para

tomada de decisão

Ex.: Para a distribuição normal os

parâmetros são µ e σ2.

Os termos população e

distribuição são equivalentes.

Estimação de Parâmetros -

Noções



Nomenclatura



“Para uma população não normal com média µ e desvio padrão σ, a distribuição da média amostral para amostras de tamanho nsuficientemente grande é aproximadamente normal com média µ e desvio padrão ,isto é:

~ N : (0,1)”

X

nσ

nXσ

µ−=Ζ

Ou seja:

Se X:(µ, σ) então a distribuição amostral de é N(:(µ, ) X nσ

O Teorema Central do Limite



“Para uma população normal com média µ e desvio padrão σ, a média amostral para amostras de tamanho n suficientemente grande éaproximadamente normal com média µ e desvio padrão , isto é:

~ N : (0,1)”

X

nσ

nXσ

µ−=Ζ

Ou seja:

Se X:N(µ, σ) então a média amostral de é N:(µ, ) X nσ

TCL

nσErro Padrão = Standard Error=SE=



z

X

-1.96 0 1.96

0.0250.025

0.95

Consideremos uma população normal com média µ, desvio padrão σ e uma amostra dessa população.

nuX

σ−

~ N : (0,1)

Pelos resultados do Teorema do Limite Central

Fixando α em 0.05, ou seja, 1- α=0.95,

95.0)96.196.1( =<<− ZP

%)95:(µIC ... para Sigma conhecido



População normal com média µ e desvio padrão σ

nuX

σ−

~ N : (0,1)

Pelos resultados do TCL: α : Nível de significância

1- α: Nível de confiança

95.0)96.196.1( =<<− ZP

95.096.196.1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡<

−<−

nXPσ

µ

[ ] 95.0)(96.1)(96.1 =+<<− nXnXP σµσ

[ ] ( ) ( )[ ]nXnX σσθθ 96.1; 96.1ˆ;ˆ10 +−= %)95:(µIC=

Confiança e Significância



θ

Ela não significa que a probabilidade do parâmetro µ cair dentro de um intervalo especificado seja igual a 0.95. µ sendo o parâmetro, está ou não, dentro do intervalo.

“0.95 é a probabilidade de que um intervalo aleatório contenha µ .”

[ ] 95.0)(96.1)(96.1 =+<<− nXnXP σµσ

IC - Interpretação



- tα/2 0 tα/2

α/2 α/2

1-α

t

( ) ( )[ ]nStXnStXIC 22 ; )100)1(:( αααµ +−=−

nSXt )( µ−

= ∑=

−−

=n

ii XX

nS

1

22 )(1

1

%)95:(µIC ... para Sigma Desconhecido



(Distribuição t de Student)

nSXt )( µ−

= ∑=

−−

=n

ii XX

nS

1

22 )(1

1

“Distribuição t de Student”, com v

graus de liberdade

v = n - 1Tal distribuição é

usualmente tabelada para alguns valores de v e α

Normal

hv(t)

t



Intervalos de Confiança para PROPORÇÕES

Exemplo

Uma amostra aleatória de 85 camisas, 10 apresentaram algum tipo de defeito (furos, manchas, costuras soltas etc). Construa um intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional de defeituosos.

( ) ( )n

ppZppn

ppZpˆ1ˆˆˆ1ˆˆ 22

−+≤≤

−− αα

Usando a aproximação pela NORMAL.



ExemploUm candidato político deseja avaliar se as

suas intenções de votos são maiores do que as do concorrente, com uma margem de pelo menos 5%. Possui, na última pesquisa realizada, 35% da preferência do eleitorado.

Admitindo a = 1% e b = 5%, qual o tamanho de amostra necessária?

Tamanho de Amostra



Power and Sample Size

selecionar: Stat > Power and Sample Size > 2 Proportions“Proportion 1 values”: < 0,35 >

“Power values”: < 0,95 >“Proportion 2”: < 0,30 >

selecionar: Optionsmarcar “Greater Then”

“Significance level”: < 0,01 >OK OK



4 – TESTES DE HIPÓTESE



Idéia Central:Estudar os experimentos envolvendo Teste de Hipóteses para um e dois tratamentos.

Tópicos abordados:• Teste de Hipóteses

Experimentos Experimentos Comparativos SimplesComparativos Simples



Exemplos:

• Duas linhas de produção supostamente idênticas estão apresentando resultados diferentes. Como confirmar isso?

• A variabilidade de um processo é maior que outro. Temos certeza?

• Os dados estão normalmente distribuídos?

• Como saber estatisticamente se dois funcionários tem o mesmo desempenho?



Um produto original é identificado pelo seu peso (em libras) e reconhecidamente segue uma distribuição normal N(50; 0.8).

Do mesmo modo, produtos falsificados tem pesos significativamente maiores que 50 lb, seguindo distribuição também normal N(52, 0.8).

Uma amostra aleatória revelou um peso médio de 51,3 lb.

Baseado nesta amostra a que conclusões se pode chegar?

Decisão Estatística



• Qual é a probabilidade de que (em função da amostra) um produto original seja classificado como Falso?

• Qual a probabilidade de que o produto original seja corretamente identificado?

• Qual a probabilidade de que um produto falsificado seja classificado como original?

• Qual é a probabilidade de se detectar produtos falsificados neste caso?



54535251504948

100

80

60

40

20

0

50 52



54535251504948

100

80

60

40

20

0

51,350 52



54535251504948

100

80

60

40

20

0

51,350 52

5%Erro Tipo 1 (Alfa)



54535251504948

100

80

60

40

20

0

51,350 52

5%19%

Erro Tipo 1 (Alfa)

Erro Tipo 2 (Beta)



54535251504948

100

80

60

40

20

0

51,350 52

5%19%

Erro Tipo 1 (Alfa)

Erro Tipo 2 (Beta)

CONFIANÇA (1-Alfa)



54535251504948

100

80

60

40

20

0

51,350 52

5%19%

Erro Tipo 1 (Alfa)

Erro Tipo 2 (Beta)

POWER(1-Beta)CONFIANÇA

(1-Alfa)



• Na afirmação: “Uma pessoa é considerada inocente até que se prove o contrário pois é um erro maior condenar um inocente do que libertar um culpado.”, defina:

• Erros Tipo I e Tipo II

• Hipóteses Nula e Alternativa

H0: o réu é inocente (hipótese fundamental)

H1: o réu é culpado (hipótese alternativa)



Os erros de julgamento poderiam ser : condenar um réu inocente ou, então, absolver um réu culpado.

REALIDADE

H0 verdadeira H0 falsa

aceitarH0

decisão correta1 - α

erro tipo IIβ

DECISÃO

rejeitarH0

erro tipo Iα

decisão correta1 - β

Hipóteses e Erros



• ERRO DO TIPO I

Rejeitar Ho sendo Ho verdadeira

P(Erro I) = P(rejeitar Ho|Ho é verdadeira) = α

• ERRO DO TIPO II

Não rejeitar Ho sendo Ho falsa

P(Erro II) = P(não rejeitar Ho|Ho é falsa) = β

Tipos de Erros



No Minitab: Análise do P-value !

1) Definir as hipóteses;

2) Escolher a estatística de teste adequada;

3) Escolher α e estabelecer a Região Crítica (RC);

4) Com base em uma amostra de tamanho n, extraída da população, calcular θ;

5) Rejeitar Ho caso θ ∈ RC. Não rejeitar Ho em caso contrário.

Construção de T.H.



Testes de Hipóteses Estatísticas

Os testes de hipóteses em Estatística podem ser empregados para avaliar ou comparar:

• médias;• variâncias (ou desvios-padrão);• proporções;• distribuições de probabilidade e correlação.

Estas análises podem se do tipo “igual”, “menor que” ou, ainda, “maior que”.

Testes Paramétricos



• Para avaliar médias, empregam-se dois diferentes tipos de testes: z ou t.

• o teste z é empregado somente se o desvio-padrão da população (s) é conhecido (caso pouco provável);

• o teste t é utilizado nas demais circunstâncias e, por isso, este é que serávisto no curso.

TH p/ Média



Ex.

The production manager of a company has asked you to evaluate a proposed new procedure for producing its double-hung windows. The present process has a mean production of 80 units per hour with a population standard deviation of 8 units. The manager indicates that she does not want to change to a new procedure unless there is strong evidence that the mean production level is higher with the new process.

A random sample of 25 units revealed the sample mean was 83. Based on this sample, is there strong evidence to support the conclusion that the new process resulted in higher productivity?



nXZσ

µ0−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤

80:

80:

1

0

µ

µ

H

H



•P-Value é a área ou probabilidade que fica acima (ou abaixo) do valor obtido experimentalmente.

Quanto menor o P-Value, menor seráa chance de se cometer um erro do tipo 1!

P-Value = P(1-Ø)

P-Value



Alfa



Teste Unilateral Esquerdo

Teste Unilateral Direito

Teste Bilateral

α

α

α/2

A1A2

A1

A2

A2A1

P-Value = A1 Aceita-se Ho

P-Value = A2 Rejeita-se Ho

P-Value = A1 Aceita-se Ho

P-Value = A2 Rejeita-se Ho

P-Value = A1+A2

Unilateral e Bilateral



Exemplo

A manufacturing process involves drilling holes whose diameters are normally distributed with population mean of 2 inches and population standard deviation 0.06 inches. A random sample of 9 measurements had a sample mean of 1.95 inches. Use a significance level of 5% to determine if the observed sample mean is unusual and suggests that the drilling machine should be adjusted.

nXZσ

µ0−=

⎩⎨⎧

≠=

2:2:

1

0

µµ

HH



Question 1:A company which receives shipments of batteries tests a random sample of nine of them before agreeing to take a shipment. The company is concerned that the true mean lifetime for all batteries in the shipment should be at least 50 hours. From past experience, it is safe to conclude that the population distribution of lifetimes is normal, with standard deviation of 3 hours. For one particular shipment, the mean lifetime for a sample of nine batteries was 48.2 hours. Test at 5% level the null hypothesis that the population mean lifetime is at least 50 hours.

EXERCÍCIOS



Question 2:An engineering research center claims that through the use of a new computer control system, automobiles should achieve on average an additional 3 miles per gallon of gas. A random sampleof 100 automobiles was used to evaluate this product. The samplemean increase in miles per gallon achieved was 2.4 and the sample standard deviation was 1.8 miles per gallon.

EXERCÍCIOS

Test the hypothesis that the population mean is at least 3 miles per gallon using 5% significance level. Find the P-value of this test, and interpret your findings.



Question 3:A beer distributor claims that a new display, featuring a life-size picture of a well-known rock singer, will increase product sales in supermarkets by an average of 50 cases in a week. For a random sample of 20 liquor weekly sales, the average sales increase was 41.3 cases and the sample standard deviation was 12.2 cases. Test at the 5% level the hypothesis that the population mean sales increase is at least 50 cases.

EXERCÍCIOS



Question 4:In contract negotiations, a company claims that a

new incentive scheme has resulted in average weekly earning of at least $400 for all customer service workers. A union representative takes a random sample of 15 workers and finds that their weekly earnings have an average of $381.25 and a standard deviation of $48.60. Assume a normal distribution.

a) Test the company’s claim;b) If the same sample results had been obtained

from a random sample of 50 employees, could the company’s claim be rejected at a lower significance level than in part (a)?

EXERCÍCIOS



Question 5:A bearing used in an automotive application is supposed to have a nominal inside diameter of 1.5 inches. A random sample of 25 bearings is selected and the average inside diameter of these bearing is 1.4975 inches. Bearing diameter is known to be normally distributed with standard deviation 0.01 inch. Test the null hypothesis using a two-sided approach and considering.

EXERCÍCIOS



Question 6:A process that produces bottles of

shampoo, when operating correctly, produces bottles whose contents weigh, on average, 20 ounces. A random sample of nine bottles from a single production run yielded the following content weights (in ounces):

EXERCÍCIOS

21,4 19,7 19,7 20,6 20,8 20,1 19,7 20,3 20,9.

Assuming that the population distribution is normal, test at the 5% level against a two-sided alternative the null hypothesis that the process is operating correctly.



A Resistência ao Estufamento das latas para a inspeção final deve ser maior que 90 psi. Tal resistência obedece a uma distribuição normal com desvio padrão de 1 psi . As medidas da Resistência para uma determinada linha/turno estão dadas na planilha Resistência.MTW

Teste a Hipótese de que as medidas da Resistência ao Estufamento estão dentro do limite de especificação. (Prove que as medidas são maiores que 90)

Gere: N(91; 0.83)

Exemplo 1Z



•TH - Proporções

01

00

:H

:H

π<π

π≥π

01

00

:H

:H

π>π

π≤π

01

00

:H

:H

π≠π

π=π

Onde: π é a proporção populacional e π0 é uma constante

T.U.E BilateralT.U.D

T.U.E T.U.D Bilateral

211

210

:H

:H

π<π

π≥π

211

210

:H

:H

π>π

π≤π

211

210

:H

:H

π≠π

π=π



Em uma indústria de autopeças, historicamente 3,5% das peças produzidas contém algum tipo não-conformidade. Uma equipe está trabalhando na redução desta incidência de defeitos e, no último mês, foram produzidas 1500 peças e somente 45 estavam fora da especificação. A equipe obteve melhoria no desempenho ?

035,0:

035,0:

1

0

<

≥

π

π

H

H

Exemplo – 1 Proportion



<Stat > <Basic Statistics > <1 Proportion>Selecione Summarized data

“Number of trials”: 1500“Number of successes”: 45

Options “test proportion”: < 0,035 >“alternative”: < less than >

%0,31500

45==p

π0



Uma equipe deseja aumentar a porcentagem (ou proporção) de pedidos aceitos pelos clientes.A equipe acredita ter identificado uma das causas de perdas de pedidos que é o prazo elevado para envio da cotação ao cliente. Conseguiram reduzir este tempo e os resultados das últimas 10 semanas estão fornecidos no arquivo pedidos.mtw.

Qual é a conclusão ?



<Stat > <Basic Statistics > <2 Proportions>Selecione Samples in different columns

First= antesSecond= depois

Options “test difference”: < 0 >“alternative”: < less than >

Obs: no arquivo, “s”indica pedido aceito, e “n”, pedido recusado

2 Proportions



Test and CI for Two Proportions: antes; depois

Success = s

Variable X N Sample p

antes 11 43 0,255814depois 14 30 0,466667

Estimate for p(antes) - p(depois): -0,21085395% upper bound for p(antes) - p(depois): -0,0253151Test for p(antes) - p(depois) = 0 (vs < 0): Z = -1,87

P-Value = 0,031

Rejeita-se H0



<Stat><Basic Statistics> <1 Sample Z>

Selecione Resistencia

Sigma=1 (isso geralmente não é fornecido)

Test mean= 90

<Options>

Alternative= Greater than

<Graphs...>

Individual plot



One-Sample Z: Resistencia

Test of mu = 90 vs mu > 90

The assumed sigma = 1

Variable N Mean StDev SE MeanResistencia 15 91,111 0,834 0,258

Variable 95,0% Lower Bound Z PResistencia 90,686 4,30 0,000

H0 H1

Rejeita-se H0Região Crítica

Valor dentro da Região Crítica

Uma boa regra:

Se P-Value < α, rejeita-se Ho



A especificação da Largura da Flange das latas para a inspeção final é definida como 0.082’’+/- 0.010’’ e obedece a uma distribuição normal. As medidas da Largura da Flange para uma determinada linha/turno estão dadas na planilha.

Teste a Hipótese de que as medidas da Largura da Flange estão dentro do limite de especificação. (Prove que os valores são em média maiores que 0,072” e menores que 0,092”)

Gere: N(0.0835; 0.00345)

Teste de média t para 1 amostra

Exemplo 1t



<Stat><Basic Statistics> <1 Sample t>

Selecione Largura Flange

Test mean= 0,092

<Options>

Alternative= Less than

<Graphs...>

Histogram of data


Selecione Largura Flange

Test mean= 0,072

<Options>

Alternative= Greater than

<Graphs...>

Histogram of data

Teste 1 (Para provar que os valores são menores que 0,092)

Teste 2 (Para provar que os valores são maiores que 0,072)



01

00

:H

:H

µ<µ

µ≥µ

01

00

:H

:H

µ>µ

µ≤µ

01

00

:H

:H

µ≠µ

µ=µ

Teste de Hipótese para Médias – Uma amostra


nXZ

/0

0 σµ−

=nS

XT/

0µ−=Teste Z: Teste T:

1Z e 1t



211

210

:

:

µµ

µµ

<

≥

H

H

211

210

:

:

µµ

µµ

>

≤

H

H

211

210

:

:

µµ

µµ

≠

=

H

H

Teste de Hipótese para Médias – Duas amostras


( )

2

22

1

21

21210

nn

XXZ

σσ

µµ

+

−−−=

Variâncias Conhecidas

( )

21

2121

111nnS

XXT

p

+

−−−=

µµVariâncias Desconhecidas

2Z e 2t



Estimador Combinado

( ) ( )( ) ( )11

11

21

222

2112

−+−−+−

=nn

SnSnS p

: :

: :

21

22

21

nn

SS Variância Amostral Grupo 1 Variância Amostral Grupo 2

Tamanho do Grupo 1 Tamanho do Grupo 2

2t – Cálculo da Variância



22

12

1

22

12

0

:

:

σσ

σσ

<

≥

H

H

TH p/ Variâncias


22

21

0 SSF =Estatística de Teste:

22

12

1

22

12

0

:

:

σσ

σσ

>

≤

H

H

22

12

1

22

12

0

:

:

σσ

σσ

≠

=

H

H



ExemploDois tipos de Bico de Aplicação de verniz (Tipo I e Tipo II) foram avaliados. Deseja-se investigar o efeito desses dois Bicos com relação ao Peso do Verniz (em mg) medido após o processo. Tais medidas são dadas na planilha ao lado.

As variâncias são iguais? (Teste a Hipótese nula de que os dois bicos produzem um peso de Verniz com mesma variância.)

Peso_Verniz.MTW



Obs.: Teste o Procedimento Stack Columns

Para usar Samples in one column

<Stat><Basic Statistics> <2 Variances>

Selecione Samples in different columns

First= Verniz_tipo1

Second= Verniz_tipo2



95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs

Verniz_tipo2

Verniz_tipo1

1,21,00,80,60,40,2

Data

Verniz_tipo2

Verniz_tipo1

112,5112,0111,5111,0110,5110,0

F-Test

0,236

Test Statistic 2,74P-Value 0,150

Levene's Test

Test Statistic 1,51P-Value

Test for Equal Variances for Verniz_tipo1; Verniz_tipo2

Prefira sempre, pois independe da distribuição dos dados.

As variâncias são iguais!

Levene’s Test



Bonferroni confidence intervals for standard deviations

Lower Sigma Upper N Factor Levels

0.358564 0.548160 1.10380 10 Verniz_tipo1

0.216713 0.331303 0.66713 10 Verniz_tipo2

F-Test (normal distribution)

Test Statistic: 2.738

P-Value : 0.150

Levene's Test (any continuous distribution)

Test Statistic: 1.505

P-Value : 0.236 (variâncias iguais)

Após empilhamento dos dados faça: <Anova> <test for equal variances>

Esse método é melhor, pois pode testar mais que dois conjuntos de dados.

Test for Equal Variances



Exemplo: Em relação ao problema anterior, teste se as médias são diferentes. (Peso_Verniz.MTW)


Selecione Samples in different columns

First= Verniz_tipo1

Second= Verniz_tipo2

Selecione: Assume equal variances

<Options>

Test mean= 0

Alternative= not equal

<Graphs>

Selecione Boxplots of data



Two-Sample T-Test and CI: Verniz_tipo1, Verniz_tipo2Two-sample T for Verniz_tipo1 vs Verniz_tipo2

N Mean StDev SE Mean

Verniz_t 10 110.792 0.548 0.17

Verniz_t 10 112.205 0.331 0.10

Difference = mu Verniz_tipo1 - mu Verniz_tipo2

Estimate for difference: -1.413

95% CI for difference: (-1.838, -0.987)

T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -6.97

P-Value = 0.000 DF = 18 Both use Pooled StDev = 0.453

Médias diferentes



Dat

a

Verniz_tipo2Verniz_tipo1

112,5

112,0

111,5

111,0

110,5

110,0

Boxplot of Verniz_tipo1; Verniz_tipo2



Observações Emparelhadas

0:

0:

2101

2100

≠−=∆

=−=∆

µµ

µµ

H

H

0:

0:

2101

2100

<−=∆

≥−=∆

µµ

µµ

H

H

0:

0:

2101

2100

>−=∆

≤−=∆

µµ

µµ

H

H

nSDT

D /0

0∆−

=Diferença Amostral

Média

Desvio Padrão das diferenças entre 1 e 2

Paired t



• Consiste em dois testes (um antes e outro depois) com a mesma unidade experimental (amostra).

Ex.: O peso de pessoas antes e depois de um tratamento.

• Em geral, as unidades experimentais são heterogêneas (σ grande) e exibem alta correlação positiva.

Paired t - Características



Suspeita-se que dois funcionários estão monitorando o manômetro de um processo de uma forma desigual. Para diferentes pressões foram lidas (de uma forma emparelhada) os resultados da planilha ao lado.

Teste a Hipótese de que os dois operadores tem o mesmo desempenho.

Exemplo - Paired t



Paired t

<Stat><Basic Statistics> <Paired t>

Selecione Samples in columns

First sample= Operador 1

Second sample= Operador 2

<Options>

Test mean= 0

Alternative= not equal

<Graphs>

Individual value plot



Paired T-Test and CI: Operador 1, Operador 2Paired T for Operador 1 - Operador 2

N Mean StDev SE Mean

Operador 1 10 194 428 135

Operador 2 10 196 428 135

Difference 10 -2.400 1.075 0.340

95% CI for mean difference: (-3.169, -1.631)

T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = -7.06 P-Value = 0.000

Médias diferentes



Tamanho de Amostras em Testes de Hipóteses

Power Sample Size

Fatores determinantes do Tamanho da Amostra (n) Fonte Efeito sobre “n”

1 Desvio Padrão dos dados Deve ser estimado. Quando o Desvio Padrão diminui, n cresce.

2 Nível de Significância (α) Em geral, 0.05. Se α diminui, n cresce.

3 Diferença a ser detectada (d)

Você decide o tamanho adequado.

Quanto menor for a diferença desejada, maior

n.

4

Poder do Teste: (1-β) Probabilidade de detectar uma diferença quando ela

realmente existir.

Usualmente, 90% Se o poder do teste cresce, n cresce.



•Exemplo

Uma equipe de melhoria desenvolveu um novo procedimento de manutenção. Espera-se que o tempo de manutenção diminua com a utilização do novo procedimento. Para identificar se as mudanças foram eficazes, a equipe decide coletar amostras dos dois processos: o novo e o antigo.



Questão 1: Qual o teste de Hipóteses adequado para esta situação?

• 2 Sample-t (média de dois grupos)

Questão 2: Que Informações são necessárias para se determinar o tamanho de amostra necessária ao teste?

• Uma estimativa do desvio padrão do tempo de manutenção;• A diferença que deve ser detectada entre os tempos médios dos dois processos;• A probabilidade de detectar esta diferença (Geralmente 90%);• O nível de significância desejado (Geralmente5%);

Questionamentos



Questão 3:Que suposições a equipe está fazendo?

• Que o processo é estável;• Que os dados são Normais.

Questão 4:Como estas suposições podem ser verificadas?

• Carta de Controle;• Teste de Normalidade.



0 10 20 30 40

50

60

70

80

90

100

110

120

Tim

e (m

inut

es)

X=87

UCL=118

LCL=56

Examinando-se a carta de controle, verifica-se:

O processo é estável e a média atual é 87 minutos

•Exemplo – Verificação



0 10 20 30 40

50

60

70

80

90

100

110

120

Tim

e (m

inut

es)

X=87

UCL=118

LCL=56

10.3 656181

6LCLUCL

=−

=−

10.3 656181

6LCLUCL

=−

=−

10.1 387181

3AvgUCL

=−

=−

10.1 387181

3AvgUCL

=−

=−

Portanto, pode-se adotar um desvio padrão de 10.



Se a equipe deseja provar que o tempo médio de manutenção

utilizando-se o novo procedimento é de 75 minutos, e se considerarem a probabilidade de 90% de chance de detecção desta diferença (12 minutos),

com um nível de significância de 0,05, qual será o tamanho da

amostra necessária?



<Stat > <Power and Sample Size> <2 Sample t>Differences= 12Power values= 0,9Sigma= 10<Options>

Selecione Not equal como Alternative Hypothesis



2-Sample t Test

Testing mean 1 = mean 2 (versus not =)

Calculating power for mean 1 = mean 2 + difference

Alpha = 0,05 Sigma = 10

Sample Target Actual

Difference Size Power Power

12 16 0,9000 0,9072

Tamanho de amostra necessária.



5– ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA)



• As bases da Análise de Variância• Um fator (One-way)• Dois fatores (Two-way)• Análise de Médias (ANOM)• Balanced ANOVA

ANOVA é um Teste para Comparar Médias

(O nome é enganoso!)

ANOVA

Análise de Variância



Entendendo o significado da

ANOVA...

ANOVA - Visualmente



Tratamentos

RespostaA B C5 9 104 1 56 8 87 11 78 6 10

Somatório 30 35 40Médias 6 7 8

As médias são realmente diferentesou tudo não passa de casualidade?

negadoser vai sinais dos um menos Pelo::

1

0

===

HH CBA µµµ

As Bases da ANOVA



Passo 1: Cálculo da Variação Total

5 5-7=-2 44 4-7=-3 9

Etc. Etc. Etc7 0 0

10 3 9105 0 96

iX ii xXX =− 2ix

( A, B

e C

)

∑VT - Variação Total

Como VT>0 érazoável imaginar que ela se compõe de variações que ocorrem Dentro dos Grupos (VD - Within) e Entre os tratamentos (VE - Between)

Foram considerados 15 observações: Glib=14

Média geral

Algoritmo: Variação Total



5 5-6=-1 14 -2 46 0 07 1 18 2 4

10

Passo 2: Cálculo da Variação Dentro do Grupo - Within

AA XX − 2)( AA XX −AX 2)( BB XX − 2)( CC XX −

58 18

VD=10+58+18=86 Foram considerados 5 observações em cada caso: Glib=12

Algoritmo: Variação Within



6 -1 16 -1 16 -1 16 -1 16 -1 1

5

Passo 3: Cálculo da Variação Entre Tratamentos (Between)

XX A − 2)( XX A −AX

0 5

VE=5+0+5=10

2)( XX B − 2)( XX C −

Foram considerados 3 observações : Glib=2

Algoritmo: Variação Between



VT=VD+VE ! 96=86+10

Graus de Liberdade:

A VT possui (15-1)=14 GLIB

(3 Tratamentos) (5 Observ/Trat)

A VD possui (5-1)(3)=12 GLIB

(5 Observ/Amostra)(3 Amostras)

A VE possui (3-1)=2 GLIB

(3 Tratamentos -1)

A B C5 9 104 1 56 8 87 11 78 6 10

GLIBVT=GLIBVD+GLIBVE ! 14=12+02

Algoritmo: Graus de Liberdade



VT=VD+VE ! 96=86+10

GLIBVT=GLIBVD+GLIBVE ! 14=12+02

VD/GLIBVD = 86/12 = 7,17

VE/GLIBVE= 10/2 = 5

Estimativas de Variâncias:

F0= 5/7,17=0,70

Fcrítico= 3,89 (em função dos GLIBVE GLIBVD e alfa=5%

F0<Fcrítico Não se Rejeita Ho

Algoritmo: Teste de Fisher para Médias



Fonte de Variação

Própria Variação GLIB Variância

Estimada F0

VE 10 2 10/2=5 5/7,17=0,70

VD 86 12 86/12=7,17

VT 96 14

Quadro Resumo Básico

Algoritmo: Quadro resumo



One-way ANOVA: A; B; C (use unstacked)

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Factor 2 10,00 5,00 0,70 0,517

Error 12 86,00 7,17

Total 14 96,00

Individual 95% CIs For Mean

Based on Pooled StDev

Level N Mean StDev ----+---------+---------+---------+--

A 5 6,000 1,581 (------------*------------)

B 5 7,000 3,808 (------------*------------)

C 5 8,000 2,121 (------------*------------)

----+---------+---------+---------+--

Pooled StDev = 2,677 4,0 6,0 8,0 10,0

Minitab <ANOVA>One-Way Unstacked



Exemplo Na definição do Setup dos fatores para o processo Inside Spray quatro conjuntos de níveis para os parâmetros de Temperatura foram avaliados. Deseja-se investigar o efeito desses quatro Setups com relação a Distribuição do Verniz interno no fundo para cerveja medidas em mg/pol2 após o processo. Tais medidas são dadas na planilha ao lado.

One-Way ANOVA



Usar o Procedimento Stack Columns para executar o Teste ANOVA One-Way (preferível pois faz a análise de resíduos!!)

ANOVA One-Way (Unstacked)

ANOVA One-Way (Unstacked)



As médias são diferentes

ANOVA One-Way: Resultados



Setu

p1

Setu

p2

Setu

p3

Setu

p4

4.5

5.5

6.5

7.5

8.5

Boxplots of Setup1 - Setup4(means are indicated by solid circles)

ANOVA One-Way: Boxplots



6.0 6.5 7.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Fitted Value

Res

idua

l

Residuals Versus the Fitted Values(response is mg)

ANOVA One-Way: Residuals x Fitted



Exemplo

No processo Bodymaker deseja-se investigar a Profundidade do Dome em função de 3 conjuntos de parâmetros (envolvendo pressão, Temperatura Vazão, etc...) e também em dois turnos de operação. Foram então colhidas amostras da Profundidade do Dome (em polegadas) para diferentes Turnos e diferentes Conjuntos de Parâmetros. Anova_2.MTW

Two-Way ANOVA

Processo de fabricação de latas



ANOVA Two-Way: Follow along



Diferentes

Iguais

ANOVA Two-Way: Resultados



Exemplo 3

Foram avaliados três níveis de pressões de ar draw pad (em psi) e também três níveis de pressões de ar blow off (em psi) na influência de problemas visuais após o processo Minster. O número de defeitos visuais (Riscos, Abaulamento, orelhas, rebarbas, rugas e ovalização) está mostrado na planilha ao lado. Anova_3.MTW

ANOM

Análise de Médias

ANOM: Para identificar qual média é diferente e avaliar a Interação!



ANOM

Isso é melhor estudado em DOE!



Não há interação entre as pressões Blow e Draw. O Efeito de

Blow é significativo!

ANOM: Gráficos



A Pressão Blow afeta mais a

média

3,0 e 8,83 são valores distantes

de 6,22

Draw

Blow

ANOM: Resultados



Exemplo 5

Deseja-se avaliar o tempo gasto (em minutos) por seis funcionários para ajustar o Setup de dois processos (I e II) usando dois diferentes procedimentos (um novo e um antigo). A planilha seguinte mostra os resultados obtidos.

Anova_5.MTW

Balanced Anova

Processo de fabricação de latas

Isso é a base para DOE - Delineamento

de Experimentos!



Balanced ANOVA



Diferentes

Balanced ANOVA: Resultados



TWO-WAY

Ex.6: An engineer suspects that the surface finish of metal parts is influenced by paint used and the drying time.

Using a 5% significance level, test the influence of these two factors as also its interaction.



TWO-WAY

Drying Time (min)

Paint 20 25 30 Total(yi..)

1 74 64 50 188 73 61 44 178 78 85 92 255 621

2 92 86 68 246 98 73 88 259 66 45 85 196 701

Total:(y.j.) 434 437 451 1322

(y…)



TWO-WAY

Ex.7: Am experiment describes na investigation about the effect of glass type and phosphor type on the brigtness of a television tube. The response is the current (mA) necessary to obtain a specified brightness level.

Using a 5% significance level, test the influence of these two factors as also its interaction.



6 – CORRELAÇÃO E REGRESSÃO



• Correlação• Procedimentos Gerais Y=f(X)• Regressão linear• Ajuste da Regressão• Regressão linear Múltipla• Best Subsets

A análise de regressão é uma técnica estatística usada para modelar e investigar a relação entre duas ou mais variáveis. O modelo é freqüentemente usado para previsões.

Regressão é um teste de hipótese Ha: O modelo permite significativamente prever a resposta.

Análise de Regressão



Coeficiente de Correlação

Ex.: Suponha que o nosso desejo seja o de quantificar a associabilidade entre duas variáveis relacionadas a cinco agentes de uma seguradora. Assim, temos:X≡ Anos de experiência do agente.Y ≡ Número de clientes do agente.

8765432

70

60

50

ExperiênciaAnos de

Clie

ntes

Agente x yA 2 48B 4 56C 5 64D 6 60E 8 72

(x, y) é um par aleatório – Dados emparelhados

Diagrama de Dispersão



y

x x x−

y y−

x xs

zx

x−

=

yy

zs

yy=

−

r=Correlação de Pearson

Série de dados originais (x e y) são valores quantitativos.

O conjunto de pontos é deslocado, tendo agora como centro, os valores médios.

A escala de x e y éagora padronizada. Isso torna os valores independente da sua unidade.

∑=

==n

iyx ii

zzn

YXr1

1),(Corr



Agente x y zx zy zx . zy

A 2 48 -3 -12 -1.5 -1.5 2,25B 4 56 -1 -4 -0.5 -0.5 0,25C 5 64 0 4 0 0.5 0D 6 60 1 0 0.5 0 0E 8 72 3 12 1.5 1.5 2,25

Total 25 300 0 0 0 0 4,75

x x− y y−

Coeficiente de Correlação

x = 5Sx = 2

y = 60S y = 8 %9595,0

575,4),( ===YXr = Correlação



r X Yn

z zn

x xs

y ysx y

i

ni

x

i

yi

n

i i= = =

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= =∑ ∑Corr ( , )

1 11 1

( )( )r

nx x y y

s sX Y

s si i

x y x y

=− −

⋅=

⋅∑1 Covariância ( , ) − ≤ ≤1 1r

A correlação apresentada aqui é linear. Existem outros tipos de correlação!

P_value p/ Correlação

Agente x y

A 2 48

B 4 56

C 5 64

D 6 60

E 8 72

Pearson correlation of Anos Exp and Clientes = 0,950

P-Value = 0,013

Ex.: Cálculo da correlação da tabela ao lado

Forte Correlação pois P-Value <0,05



Faça a análise de Correlação dasvariáveis ao lado na planilhaBidimensional.mtw

Correlação no Minitab

O Coeficiente de Correlação étambém chamado de Coeficiente de Pearson.



A) Uma medida de Correlação fornece dois tipos de informações a respeito do relacionamento de duas variáveis. Quais são elas?

B) Qual coeficiente de correlação abaixo indica o mais forte relacionamento?

a) 0.70 b) 0.03 c)-0.77 d) 0.10

C) Se a correlação Rxy=0.45, então Ryx=

D) Qual o valor do coeficiente de correlação melhor descreve os seguintes valores das variáveis X e Y, relacionadas abaixo:

X: 20 30 40 50 60

Y: 40 30 20 10 0

a) -1.0

b) 0.0

c) 0.5

d) 1.0

E) Qual a correlação do gráfico abaixo?

Algumas questões sobre Correlação:



F) Se um coeficiente de correlação for de +1.4, o que ocorre?

a) O Relacionamento é extremamente forte

b) O Relacionamento é positivo

c) As respostas acima estão corretas

d) Um erro computacional foi cometido

G) Um coeficiente de Pearson de -0.5 entre os valores de Leitura (X) e o número de dias ausentes da escola (Y) indica que:

a) Metade dos valores de Leitura são menos do que o número de dias ausentes da escola

b) Maiores valores de Leitura são associados com menor ausência da escola

c)A soma do produto XY é igual a -0.5

d) Quase não existe relacionamento entre X e Y

Algumas questões sobre Correlação:



É comum associar-se um defeito com uma variável que está sempre presente quando ele ocorre (é o caso do operador que é culpado, pois quando ele executa a operação ocorre um defeito – Toda operação geralmente tem um operador).

© 1995 Six Sigma Academy Inc.

Dia Fator 1 Fator 2 Resultado1 Água Whisky Ficou Bêbado2 Água Vodka Ficou Bêbado3 Água Rum Ficou Bêbado4 Água Bourbon Ficou Bêbado

Conclusão: a água embebeda

Variável Comum



Se a história servisse de base, os Republicanos deveriam estar vestindo a camisa dos Yankees e dando uma força para o New York vencer o campeonato. Desde a Segunda Guerra Mundial, toda vez que os Yanks venceram em um ano de eleição, o Partido Republicano assumiu a Casa Branca.

Yankees RepublicanosGANHARAM PERDERAM GANHARAM PERDERAM

1976

1964

1960

1956

1952

As “armadilhas”: correlações casuais

Variável Comum



As “armadilhas”: causa reversa

Um fator “X” tem influência sobre um “Y” quando, na verdade, o que ele está vendo é a conseqüência do “Y” .

Um exemplo deste caso é o do Departamento de Vendas que insatisfeito com as Vendas resolve dar uma série de descontos e faz promoções para atrair os clientes . Só que a verdadeira causa do problema é o Serviço de Atendimento ao Cliente .

Com os novos descontos e a nova promoção fica mais difícilainda administrar o Serviço de Atendimento ao Cliente, ocasionando num aumento da insatisfação do cliente e diminuindo mais ainda as vendas (“o tiro saiu pela culatra”) .



As “armadilhas”: fatores omitidos

Pesquisas continuamente demonstram que a medida que o tamanho dos hospitais aumenta, a taxa de mortalidade dos pacientes aumenta dramaticamente. Portanto, deveríamos evitar hospitais grandes?

Esta análise é enganadora, pois omite um segundo X2 (fator) importante -- a gravidade da condição do paciente quando é admitido ao hospital. Os casos mais sérios tendem a ser levados aos hospitais maiores!

Fumar cigarros causa câncer? E se eu dissesse que ... (1) Médicos franceses não encontram esta correlação;(2) O tabaco dos EUA geralmente é exposto a pesticidas, fertilizantes e preservativos contendo substâncias conhecidamente cancerígenas, e;(3) O tabaco francês raramente entra em contato com tais substâncias químicas.



Em 1950, um fazendeiro afirmou que suas árvores frutíferas estavam sendo prejudicadas pelas ondas de rádio de uma estação local próxima. Ele colocou uma tela de arame ao redor de algumas das árvores para “protegê-las” destas ondas de rádio e, realmente, as árvores protegidas se recuperaram rapidamente, enquanto que as desprotegidas ainda sofriam.

Na mesma época, muitas árvores cítricas em todo país foram ameaçadas por uma doença chamada de “folha pequena”. Alguns fazendeiros Texanos descobriram que uma solução de sulfato de ferro curava a doença. No entanto, nem sempre funcionava no Texas, e praticamente nunca funcionava na Flórida ou na Califórnia.

O mistério foi desvendado quando o problema verdadeiro foi revelado -- deficiência de zinco no solo. A cerca do fazendeiro Radiofóbico era de tela galvanizada, sendo que traços do zinco da galvanização eram levados da tela para o solo.

O sulfato de ferro nada tinham a ver com a cura, mas sim os baldes de ferro galvanizados usados para espalhar a substância! Em outras regiões, onde outros tipos de baldes eram usados, as árvores continuaram doentes.

Em 1950, um fazendeiro afirmou que suas árvores frutíferas estavam sendo prejudicadas pelas ondas de rádio de uma estação local próxima. Ele colocou uma tela de arame ao redor de algumas das árvores para “protegê-las” destas ondas de rádio e, realmente, as árvores protegidas se recuperaram rapidamente, enquanto que as desprotegidas ainda sofriam.

Na mesma época, muitas árvores cítricas em todo país foram ameaçadas por uma doença chamada de “folha pequena”. Alguns fazendeiros Texanos descobriram que uma solução de sulfato de ferro curava a doença. No entanto, nem sempre funcionava no Texas, e praticamente nunca funcionava na Flórida ou na Califórnia.

O mistério foi desvendado quando o problema verdadeiro foi revelado -- deficiência de zinco no solo. A cerca do fazendeiro Radiofóbico era de tela galvanizada, sendo que traços do zinco da galvanização eram levados da tela para o solo.

O sulfato de ferro nada tinham a ver com a cura, mas sim os baldes de ferro galvanizados usados para espalhar a substância! Em outras regiões, onde outros tipos de baldes eram usados, as árvores continuaram doentes.

O Fazendeiro Radiofóbico



As “armadilhas”: multicolinearidade

É difícil saber o quê causa o quê, quando alguns fatores [X’s] tendem a ocorrer juntos regularmente.

• “Tenho visto uma redução dramática nas perdas desde que comecei a implementar as ferramentas estatísticas na fábrica!” No entanto, foi exatamente na mesma época em que o RH introduziu seu novo sistema de recompensa e reconhecimento. O que ocasionou a melhoria?

• Em 1967, um artigo rotulou um determinado tipo de carro como sendo inseguro. O modelo em questão era um carro pequeno esportivo de alto desempenho. Mas que tipo de motorista seria atraído a tal carro? E se eu dissesse que a maioria dos proprietários deste carro tendiam a ser motoristas jovens menores de 25 anos com novas idéias. Esta faixa etária não paga prêmios de seguro mais elevados devido a maior incidência de acidentes?



y

x

Linha de Regressão A variável X é dita variável independente (ou exógena), enquanto Y é dita variável dependente (ou endógena).

•Y=f(x) Simples

•Y=f(x,y,z...) Múltipla

Y=f(x)



Variáveis Indicativas (para Xs Discretos)

xx

xx

x

x

x

x

x x

xx

x

xx

Xi

Y

Xa

Xb

Xc

Curvilínea (Um X)

X

Y

Linear Simples (Um X)

X

Y

Múltipla (Dois ou mais Xs)

Y

X 2

X1

Logística (Ys Discretos)1

0

% y

es

X

Curvilínear (Dois ou mais Xs)

Y

X1

X 2

Regressão



xy βα +=y

x x1 x2 x3

,ˆ bxay +=

Uma importante condição para o uso de regressão simples é que os resíduos (e) sejam independentes de x. Porque?

Curva de Resíduos (e)

Resíduos



x

y

757065605550

8

7

6

5

4

3

2

eiei2

1 ini e=Σ

bxay +=ˆ

( ) ( )21

21

21 ˆ ii

niii

nii

ni bxayminyyminemin −−Σ=−Σ=Σ ===

Regressão Linear Simples

iy

iy



21 i

ni e=Σ bxay +=ˆ

( ) ( )21

21

21 ˆ ii

niii

nii

ni bxayminyyminemin −−Σ=−Σ=Σ ===

.0 e 01

21

2 == ∑∑ ==

n

i in

i i db

da ∂

∂∂∂

∑∑

=

=

=−−−

=−−−n

i iii

n

i ii

bxayx

bxay

1

1

,0)(2

,0)(2

A matemática da Regressão Linear



⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

=−

−=

∑∑

=

=

,

,)(

)(

12

1

xbyaSS

xx

yxxb

xx

xyn

i i

n

i ii

⎪⎩

⎪⎨⎧

+==+=

∑ ∑∑∑ ∑

= ==

=n

i

n

i

n

i iii

n

i

nii

ixbxayx

i xbnay

1 12

1

1,1

Ufa!



Ex.: Obter a equação da reta (chamada de reta dos mínimos quadrados) para os seguintes pontos experimentais:

x 1 2 3 4 5 6 7 8y 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0

Traçar a reta no diagrama de dispersão. Calcular o coeficiente de correlação linear.

Qual o valor previsto para x=9?Qual a Tolerância de X para 1<Y<1.5?

Exemplo



.421622048

)36(204

,1,94,415,508

2,9365,502

=−=−=

=−=⋅

−=

xx

xy

S

S

Regressão: By Hand



.421622048

)36(204

,1,94,415,508

2,9365,502

=−=−=

=−=⋅

−=

xx

xy

S

S

.174,0976,0150,18

36217,082,9

,217,042

1,9

=−=⋅−≅−=

≅==

xbya

SS

bxx

xy

xy 217,0174,0ˆ +=

Regressão: Cálculos



Regressão: Gráfico

x

y

876543210

2,00

1,75

1,50

1,25

1,00

0,75

0,50

S 0,121335R-Sq 95,7%R-Sq(adj) 95,0%

Fitted Line Ploty = 0,1750 + 0,2167 x



98,006,242

1,9

,06,258,1064,128

)2,9(64,122

≅⋅

==

∴=−=−=

yyxx

xy

yy

SSS

r

S

Relembre Correlação!

Regressão: Correlação



Regressão linear simples no Minitab

Previsão



Ajuste da Regressão

Linear R-quadrado é a porcentagem da variação explicada pelo seu modelo.

R-quadrado (ajustado) é a porcentagem da variação explicada pelo seu modelo, ajustada para o número de termos em seu modelo e o número de pontos de dados.

O “valor-p” para a regressão é para ver se o modelo de regressão inteiro é significativo.

—Ha: O modelo permite significativamente prever a resposta.



Quadrático

Ajuste Quadrático



Cúbico

Ajuste Cúbico



Intervalos de confiança e de previsão Uma faixa (ou intervalo) de confiança é uma medida da certeza da forma da linha de regressão ajustada. Em geral, uma faixa de 95% implica em uma chance de 95% de que as linha verdadeira fique dentro da faixa. [Linhas vermelhas]

Uma faixa (ou intervalo) de previsão é uma medida da certeza da dispersão dos pontos individuais em torno da linha de regressão. Em geral, 95% dos pontos individuais (da população em que a linha de regressão se baseia) estarão contidos dentro da faixa. [Linhas azuis]

Ajuste da Regressão



CTQ

1

2

Estreitando Tolerâncias



CTQ

1 1’

2’ 2

Estreitando Tolerâncias



Pratique Regressão Linear Simples

Determine a função de transferência entre o Número de Setups e o Tempo de Ciclo para diversas operações em uma certa empresa. Use a planilha cycletime.mtw.

Faça a análise de Resíduos.

Qual a previsão do Tempo de Ciclo para uma operação que consiste em 10 Setups de equipamento?

A equação final é adequada? Se não for, como melhorá-la?



Uma reação Química foi realizada sob seis pares de diferentes condições de pressão e temperatura. Em cada caso foi medido o tempo necessário para que a reação se completasse. Obter a equação de regressão do tempo em relação a pressão e temperatura.

Regressão Múltipla

Regressão.mtw



Menores que 0,05

Maior melhor

Regressão Múltipla: Resultados



92 estudantes americanos participam de um simples experimento. Cada estudante registra o seu peso, altura, gênero, pulso e se é fumante ou não. Todos eles jogam uma moeda e sorteiam se vão dar uma corrida (cara) ou não por um minuto. Após a corrida, todos os alunos registram o seu pulso novamente. Um aluno sugere que seja inserida a seguinte “importante”consideração: Se a pessoa pinta o cabelo ou não.

Deseja-se fazer uma regressão do segundo pulso em relação a todas as outras variáveis.

Regressão.mtw

Best Subsets



Equação de regressão inicial. Muito complexa

Correlação muito alta. Quem pinta cabelo é“geralmente” mulher

Best Subsets: Resultados



Melhor ajuste

Best Subsets: Resultados



30 40 50

-3

-2

-1

0

1

2

3

Pred. Y

Residual

0 50 100

-3

-2

-1

0

1

2

3

Pred. Y

Residual

0 50 100

-3

-2

-1

0

1

2

3

Time Order

Residual

0 50 100

-3

-2

-1

0

1

2

3

Time Order

Residual

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-3

-2

-1

0

1

2

3

X

Residual

10 20 30

-3

-2

-1

0

1

2

3

X

Residual

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

Residual

Nscore

-1 0 1 2 3 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Residual

Nscore

Bom Ruim

Nos casos ruins tente uma transformação

em X,em Y ou ambos. Use Box-Cox

Transformation

Considere a possibilidade da

existência de variáveis ocultas que

não foram consideradas no

modelo (Lurking)

Residuals vs Each X

Time Plot of Residuals

Residuals vs Predicted Y (Fits)

Normal Probability Plot of Residuals

Análise de Resíduos

Entenda que X e Y não precisam ser normalmente distribuídos. Os resíduos, contudo, deveriam ser.



Regressão Curvilínea

200 250 300 350 400

1900

1950

2000

2050

2100

Temperature

Seal Strength(g/cm2)

Um laboratório está fazendo testes em adesivos em função da temperatura. Quando a temperatura aumenta a força do contato entre duas superfícies aumenta Em um determinado ponto, contudo a força desse contato começa a diminuir em função de propriedades térmicas do adesivo. Qual o modelo empírico da força (Seal Strength) em função da temperatura?

Curve.mtw



Termo quadrático

Observe resíduos

VIF

Armazena resíduos

Função quadrática

Deve-se criar a variável quadrática e em seguida rodar o modelo em Regression

Termo quadrático da regressão



Regressão Curvilínea

XX2

The regression equation isSealStrength = 923 + 7.45 Temperature - 0.0125 TempSqrd

Predictor Coef StDev T P VIFConstant 922.98 72.33 12.76 0.000Temperat 7.4469 0.5033 14.80 0.000 132.9TempSqrd -0.0124596 0.0008499 -14.66 0.000 132.9

S = 25.18 R-Sq = 69.4% R-Sq(adj) = 68.7%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F PRegression 2 139321 69661 109.87 0.000Residual Error 97 61498 634Total 99 200819

Source DF Seq SSTemperat 1 3051TempSqrd 1 136270

X e X2 são fortemente correlacionados. Nenhuma surpresa

Conclusão: Existe uma curvatura significativa



PORTFÓLIO

n PREÇO VENDAS

1 5,5 4202 6,0 3803 6,5 3504 6,0 4005 5,0 4406 6,5 3807 4,5 4508 5,0 420

Ex.1: De acordo com os dados da tabela ao lado, há correlação entre o preço de um produto e o respectivo volume de vendas?



PORTFÓLIO

n Price Sales1 19,2 25,42 20,5 14,73 19,7 18,64 21,3 12,45 20,8 11,16 19,9 15,77 17,8 29,28 17,2 35,2

Exercício 2:

A liquor wholesaler is interested in assessing the effect of the price of a whiskey on the quantity sold. The results in table represent the price (US$) and the respective eight weeks of sales. What are your conclusions?



PORTFÓLIO

n Dosage Recovery Time

1 1,2 252 1,0 403 1,5 104 1,2 275 1,4 16

Exercício 3:

Doctors are interested in the relationship between the dosage of a medicine and the time required for a patient’s recovery. Based on the following data, verify if the variables are correlated.



PORTFÓLIO

n x y1 3,6 242 3,3 213 2,8 224 2,6 225 2,7 186 2,9 137 2,0 98 2,6 6

Exercício 4:

The table shows, for eight vintages of select wine, purchase per buyer (y) and the wine buyer’s rating in a year (x).

Are the variables correlated?

* Vintage: safra de vinho



Exemplo: Determine a correlação entre o tempo de experiência e o salário anual do funcionário e se existe diferença significativa entre os salários dos homens e das mulheres. (Use Anova e 2-sample t)

Mulheres

Salário ($) 36730 40650 46820 50149 59679 67360

Experiência 5 7 9 10 14 17

Homens

Salário ($) 51535 62289 72486 75022 93379 105979

Experiência 5 7 9 10 14 17



Exercício 6:

Determinar a composição ótima da seguinte carteira:

PORTFÓLIO

A B

Retorno: 0,15 0,20

D.P. : 0,20 0,30

Variância: 0,04 0,09



PORTFÓLIO

n ATIVO 1 ATIVO 2

1 0,15 0,122 0,17 0,133 0,04 0,094 -0,08 0,075 0,15 0,096 0,22 0,117 0,03 0,098 -0,14 0,069 0,02 0,08

10 0,15 0,10

Exercício 7:

Determinar a composição ótima da carteira formada pelos ativos a seguir, considerando-se um retorno mínimo de 9%.



7 – TESTES DE INDEPENDÊNCIA ( )2χ



Suponha que uma amostra com n observações possa ser classificada em uma tabela cruzada, formada por um fator de linha e um de coluna.

Se a hipótese nula puder ser escrita como:

H0: Não há associação entre os dois atributos.

Então a freqüência esperada dentro de cada célula será:

nCR

E jiij =

Onde: Ri = total da linha i; Cj = total da coluna j



A rejeição da hipótese nula se dará se:

( ) 2),1)(1(

1 1

22

αχχ −−= =∑∑ >

−= cr

r

i

c

j ij

ijijT E

EO

O teste é baseado na magnitude da discrepância entre as quantidades observadas e esperadas.



Método H M Total

Agência 256 (233,5) 74 (96,5) 330Internet 41 (58,7) 42 (24,3) 83Toll-free 66 (70,8) 34 (29,2) 100Total: 363 150 513

Ex.1: De acordo com os dados da tabela abaixo, avalie se existe relação entre o método de reserva de passagens e o sexo do passageiro.



A rejeição da hipótese nula se dará se:

( ) ( ) ( ) 8,262,29

2,2934...5,96

5,96745,233

5,233256 2222 =

−++

−+

−=Tχ

O valor crítico do teste será:

99,5205.0,2

2),1)(1( ==−− χχ αcr

Como o valor de teste é maior que o valor crítico, rejeita H0. Logo, o tipo de reserva está relacionado ao sexo do passageiro. O indício da diferença está no maior .2

celχ



GenderTotal

Candidate Male FemaleA 150 130 280B 100 120 220

Total 250 250 500

Ex.2: Following a presidential debate, people were asked how they might vote in the forth coming election. Is there any association between one’s gender and choice of a candidate?

Documents

Universidade Federal de Itajubápedro.unifei.edu.br/pessoal/Estatistica2010.pdf · Estatística Aplicada Balestrassi – Paiva – Ferreira (UNIFEI – IEPG) 3 X •Pressão de ar