UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO · 2019. 10. 25. · diversos tipos de acidentes do trabalho com diferentes tempos de recuperação e taxas de falhas. Diante deste contexto, será

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE

PRODUÇÃO

PROCESSOS SEMI-MARKOVIANOS E ANÁLISE DE

VARIABILIDADE POPULACIONAL PARA ESTIMAÇÃO DA

INDISPONIBILIDADE DOS TRABALHADORES POR

ACIDENTES DO TRABALHO

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA À UFPE

PARA OBTENÇÃO DE GRAU DE MESTRE

POR

FLÁVIO LEANDRO ALVES DOS SANTOS

Orientador: Enrique Andrés López Droguett, Ph.D.

RECIFE, ABRIL / 2013

Catalogação na fonte

Bibliotecária Margareth Malta, CRB-4 / 1198

S237p Santos, Flávio Leandro Alves dos.

Processos semi-markovianos e análise de variabilidade populacional

para estimação da indisponibilidade dos trabalhadores por acidentes do

trabalho / Flávio Lendro Alves dos Santos. - Recife: O Autor, 2013.

ix, 76 folhas, il., gráfs., tabs.

Orientador: Prof. Dr. Enrique Andrés López Droguett.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco. CTG.

Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção, 2013.

Inclui Referências e anexos.

1. Engenharia de Produção. 2. Processo Semi-Markov. 3. Análise de

variabilidade populacional. 4. Inferência Bayesiana. I. Droguett, Enrique

Andrés López. (Orientador). II. Título.

UFPE

658.5 CDD (22. ed.) BCTG/2013-160

http://www.pdfcomplete.com/cms/hppl/tabid/108/Default.aspx?r=q8b3uige22

ii

Aos meus pais,

Maria de Fátima e Luís Pedro

pela dedicação, incentivo e amor.

iii

AGRADECIMENTOS

Primeiramente gostaria de agradecer a Deus, que sempre me deu força em todos os

momentos para concluir o mestrado e sem ele não conseguiria atingir esse objetivo.

A minha a minha mãe, Maria de Fátima, meu pai, Luís Pedro e meus irmãos (Janaina e

Franklin) que sempre me deram amor e apoio em todas as ocasiões da minha vida.

A minha querida namorada, Mayra Queiroz, pelo incentivo em realizar essa jornada, por

sua paciência em momentos difíceis e pelo amor que existe entre nós.

Aos meus amigos Ricardo Ferreira, Guilherme Cerqueira, Manoel Torres, Rodrigo

Bernardo, Romero Sales e Thiago Albuquerque pela grande amizade, pelas conversas

construtivas e por todos os momentos que passamos juntos nessa jornada.

Ao Professor Enrique Droguett, por ter me aceitado como seu aluno e pelos excelentes

conselhos que me possibilitou à conclusão deste trabalho.

Ao Professor Márcio Moura, pelo incentivo, companheirismo e grande ajuda prestada

neste trabalho.

Aos amigos do Ceerma, Ana Agra, Edlaine Correia, Daniella Nóbrega, Cláudia Silva,

Victor Viana, Yuri Dourado, Marcela Guimarães, Jeane Kury e Rodolfo Araújo por fazer o

dia a dia de trabalho ser sempre agradável.

De forma geral, agradeço a todos que contribuíram direta e indiretamente por esse

trabalho, seja com ajuda acadêmica ou com conselhos de incentivo.

iv

RESUMO

O presente trabalho propõe uma metodologia que permite obter métricas de

Disponibilidade e Indisponibilidade de um funcionário que trabalha em uma das seis regiões

de atuação de uma Companhia de geração de energia elétrica, através da integração entre o

processo semi-Markoviano (PSM) e Análise de variabilidade populacional Bayesiana.

A Análise de variabilidade populacional Bayesiana é um método para se chegar a uma

distribuição a priori para avaliação Bayesiana dos parâmetros de confiabilidade baseado em

dados parcialmente relevante. Já o processo semi-Markoviano pode ser visto como um

processo cujas sucessivas transições de estados são governadas pelas probabilidades de

transição do processo Markoviano (PM), mas sua permanência em qualquer estado é descrita

por uma variável aleatória que depende do estado atual ocupado e do estado em que a

próxima transição será feita.

A integração do PSM e da Análise de variabilidade populacional Bayesiana origina um

modelo híbrido o qual é capaz de representar o comportamento do trabalhador que sofre

diversos tipos de acidentes do trabalho com diferentes tempos de recuperação e taxas de

falhas. Diante deste contexto, será utiliza a Análise de variabilidade populacional Bayesiana

para a estimação da distribuição da taxa de acidentes e de recuperação para o processo semi-

Markoviano.

Após aplicação da metodologia, é exposto métricas de um operário em cada uma das

seis regiões de atuação da companhia elétrica como: Tempo operacional médio,

Disponibilidade média, Disponibilidade instantânea ao final da missão, Tempo falho médio,

Indisponibilidade média, Indisponibilidade instantânea ao final da missão e a Probabilidade

do funcionário não acidentado e acidentado por acidente de trabalho.

v

ABSTRACT

This paper proposes a methodology to obtain metrics availability and unavailability of an

employee working in one of six areas of activity of a company to generate electricity, through

the integration between the semi-Markov process (PSM) and Bayesian approach for

population variability analysis.

The Bayesian approach for population variability analysis is a method to reach a prior

distribution for Bayesian assessment of reliability parameters based on data partially relevant.

Already the semi-Markov process can be seen as a process whose successive state transitions

are governed by the transition probabilities of the Markov process (MP), but his stay in any

state is described by a random variable that depends on the current state and busy state

wherein the next transition will be made.

The integration of SPM and Bayesian approach for population variability analysis yields

a hybrid model which is able to represent the behavior of workers who suffer from various

types of accidents at work with different recovery times and failure rates. Given this context,

it uses Bayesian approach for population variability analysis to estimate the distribution of

accident rates and recovery to semi-Markov process.

After application of the methodology, metrics is exposed workers in the six regions of

operation of the utility as: average operating time, average availability, instant availability at

the end of the mission, Time flawed medium Unavailability average Unavailability instant the

end of the mission, expected number of accidents and the probability of non-injured

employees and injured by an accident at work.

vi

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 1

1.1 Objetivos ................................................................................................................................. 5

1.1.1 Objetivo geral .................................................................................................................. 5

1.1.2 Objetivos específicos ....................................................................................................... 5

1.2 Estrutura da dissertação ......................................................................................................... 5

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................................................................... 6

2.1 Conceitos e Aplicações ............................................................................................................ 6

2.2 Processos semi-Markovianos .................................................................................................. 7

2.2.1 PSMH descrito por probabilidades de transição ............................................................. 9

2.2.2 PSMH descrito por taxas de transição .......................................................................... 10

2.3 Inferência Bayesiana ............................................................................................................. 11

2.4 Análise de variabilidade populacional Bayesiana ................................................................. 13

2.4.1 Mistura de funções de Verossimilhança ....................................................................... 16

2.4.2 Modelo Lognormal-Poisson-Lognormal ........................................................................ 17

2.4.3 Caso especial: Modelo Lognormal-Poisson ................................................................... 20

2.4.4 Especificação a priori ..................................................................................................... 21

2.4.5 Medidas de variabilidade .............................................................................................. 21

3 METODOLOGIA PROPOSTA ........................................................................................................... 23

3.1 Integração: Processo semi-Markoviano e Análise de variabilidade populacional Bayesiana 23

4 EXEMPLO DE APLICAÇÃO .............................................................................................................. 27

4.1 Descrição do Problema ......................................................................................................... 27

4.2 Definição e categorização das variáveis ................................................................................ 29

4.3 Testes de aderência e homogeneidade ................................................................................ 30

4.4 Análise de variabilidade populacional Bayesiana ................................................................. 31

4.5 Análise de Sensibilidade ........................................................................................................ 47

4.6 Processos semi-Markovianos ................................................................................................ 50

5 CONCLUSÃO .................................................................................................................................. 54

5.1 Limitações e Desafios Futuros ............................................................................................... 55

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................................. 56

ANEXOS ................................................................................................................................................. 64

Anexo I – Análise gráfica das métricas de disponibilidade e indisponibilidade das Regiões B, C, D, E

e F. ..................................................................................................................................................... 64

vii

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1: Esquema Bayesiano. Fonte: PAULINO et al.(2003, p 22). ................................................... 13

Figura 3.1: Fluxograma para obtenção das métricas de disponibilidade e indisponibilidade. ............. 26

Figura 4.1: Linha do tempo de N trabalhadores. Fonte: MARCOULAKI et al. (2012). .......................... 27

Figura 4.2: Modelo Estocástico para a disponibilidade e indisponibilidade do trabalhador. ............... 28

Figura 4.3: Percentual de funcionários nas regiões de atuação da Companhia de geração de energia

elétrica. .................................................................................................................................................. 29

Figura 4.4: Função Densidade de Probabilidade da taxa do tempo (dias) entre acidentes dos

funcionários da Companhia de geração de energia elétrica. ................................................................ 33

Figura 4.5: Função de Distribuição Acumulada a posteriori da taxa do tempo(dias) entre acidentes dos

funcionários das regiões de atuação da Companhia de geração de energia elétrica .......................... 34

Figura 4.6: Função Densidade de Probabilidade da taxa de recuperação (dias) dos funcionários da

região A da Companhia de geração de energia elétrica. ...................................................................... 35

Figura 4.7: Função de Distribuição Acumulada a posteriori da taxa de recuperação (dias) do

funcionário da Companhia de geração de energia elétrica da região A. .............................................. 36

Figura 4.8: Função Densidade de Probabilidade a posteriori da taxa de recuperação (dias)dos

funcionários da região B da Companhia de geração de energia elétrica. ............................................ 37

Figura 4.9: Função de Distribuição Acumulada a posteriori da taxa de recuperação (dias) dos

funcionários da Companhia de geração de energia elétrica na região B. ............................................ 38

Figura 4.10: Função Densidade de Probabilidade a posteriori dos dias de recuperação dos

funcionários da região C da Companhia de geração de energia elétrica. ............................................ 39

Figura 4.11: Função de Distribuição Acumulada a posteriori da taxa de recuperação dos funcionários

da Companhia de geração de energia elétrica na região C. ................................................................. 40


funcionários da região D da Companhia de geração de energia elétrica. ............................................ 41

Figura 4.13: Função de Distribuição Acumulada a posteriori da taxa de recuperações dos funcionários

da Companhia de geração de energia elétrica na região D. ................................................................. 42


funcionários da região E da Companhia de geração de energia elétrica. ............................................. 43

Figura 4.15: Função de Distribuição Acumulada a posteriori da taxa de recuperação dos funcionários

da Companhia de geração de energia elétrica na região E. ................................................................. 44


funcionários da região F da Companhia de geração de energia elétrica. ............................................. 45

Figura 4.17: Função de Distribuição Acumulada a posteriori da taxa de dias de recuperação dos

funcionários da Companhia de geração de energia elétrica na região F. ............................................. 46

Figura 4.18: Função Densidade de Probabilidade a posteriori da taxa de acidente para os percentis

5%, 50% e 95% da taxa do tempo (dias) entre acidentes n a região A. ................................................ 48

Figura 4.19: Função Densidade de Probabilidade a posteriori da taxa de acidentes para os percentis

5%, 50% e 95% da taxa de recuperação nas categorias da região A. ................................................... 49

Figura 4.20: Taxa de visita ao Estado 0 – trabalhador disponível – na região A. ................................. 51

Figura 4.21: Taxa de visita aos Estados (1, 2, 3, 4 e 5) em que o funcionário não está apto ao trabalho

na região A. ........................................................................................................................................... 52

Figura 4.22: Probabilidade dos Estados (1, 2, 3, 4 e 5) em que o funcionário não está apto ao trabalho

na região A. ........................................................................................................................................... 52

viii

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1: Teste de homogeneidade de Levene: dias de recuperação por região .............................. 30

Tabela 4.2: Teste de homogeneidade de Levene: dias de recuperação na região A............................. 30

Tabela 4.3: Teste de homogeneidade de Levene: dias de recuperação na região B. ............................ 30

Tabela 4.4: Teste de homogeneidade de Levene: dias de recuperação na região C. ............................ 30

Tabela 4.5: Teste de homogeneidade de Levene: dias de recuperação na região D. ........................... 31

Tabela 4.6: Teste de homogeneidade de Levene: dias de recuperação na região E. ............................ 31

Tabela 4.7: Teste de homogeneidade de Levene: dias de recuperação na região F. ............................ 31

Tabela 4.8: Curvas percentuais da distribuição de variabilidade da taxa de dias até o acidente. ....... 32

Tabela 4.9: Estimativa da taxa de acidente e Fator de Erro para o tempo (dias) até o acidente na

região A. ................................................................................................................................................ 47

Tabela 4.10: Estimativa da taxa de acidentes e fator de erro para os dias de recuperação das

categorias da região A .......................................................................................................................... 48

Tabela 4.11: Métricas de Disponibilidade e Indisponibilidade do funcionário da Companhia de geração

de energia elétrica nas regiões de atuação. ......................................................................................... 50

1

1 INTRODUÇÃO

O estudo da segurança do trabalho passa a tomar uma atenção maior após a Revolução

Industrial, quando começou a surgir o trabalhador assalariado e o empregador capitalista na

imagem de patrão. Segundo Bitencourt & Quelhas (1998) as tarefas do dia a dia dos operários

se tornaram mais simples com ajuda das máquinas na produção, acarretando tarefas

repetitivas que levou ao aumento do número de acidentes. De acordo com Costa (2003),

diante de um cenário de exploração aos trabalhadores que tinham carga horária elevada, sem

descanso na jornada de trabalho semanal e das condições de periculosidade ambiental que

contribuíam para o aumento dos números de acidentes, foi criada a primeira lei trabalhista que

surgiu na Inglaterra para coibir essas irregularidades aos funcionários.

O conceito de acidente do trabalho típico é dado conforme o Art. 19, caput, da Lei nº

8.213/1991:

“É o que ocorre pelo exercício do trabalho a serviço da empresa ou pelo

exercício do trabalho dos segurados referidos no inciso VII do art. 11 desta

Lei, provocando lesão corporal ou perturbação funcional que a causa à

morte ou a perda ou redução, permanente ou temporária, da capacidade

para o trabalho”.

O conceito de acidente de trajeto ou acidente de percurso é dado conforme o Art. 21,

caput, da Lei nº 8.213/1991:

“Acidente de trajeto é o acidente sofrido pelo segurado ainda que

fora do local e horário de trabalho, a serviço da empresa ou no

percurso da residência para o local de trabalho ou deste para aquela,

qualquer que seja o meio de locomoção, inclusive veículo de

propriedade do segurado”.

A previdência Social garante aos trabalhadores cobertura nos afastamentos por

acidentes ocorridos no ambiente de trabalho ou em razão da sua execução. O conceito de

acidente segundo o regulamento da Previdência social – Art. 30, parágrafo único, Decreto nº

3.048/1999 é definido a seguir:

2

“Entende-se como acidente de qualquer natureza ou causa aquele de

origem traumática e por exposição a agentes exógenos (físicos,

químicos e biológicos), que acarrete lesão corporal ou perturbação

funcional que cause a morte, a perda, ou a redução permanente ou

temporária da capacidade laborativa”.

Conforme RIVM (2008) sempre que um trabalhador exerce suas atividades ligadas ao

trabalho e depara com várias situações de perigo, existe a possibilidade de um acidente que

poderá resultar em uma lesão corporal. Tais lesões não irão acontecer sempre, mas ocorrerão

ocasionalmente na população ativa durante o tempo de vida dos funcionários.

Segundo dados da OIT (Organização Internacional do Trabalho), cerca de 317 milhões

de trabalhadores sofrem acidentes do trabalho a cada ano. Isto representa uma média de

850.000 lesões diárias, fazendo que os trabalhadores passem quatro ou mais dias afastados de

seus empregos. Os dados da EUROSTAT (2007) mostram que 3,2% entrevistados da União

europeia (EU-27) relataram que no período de um ano sofreram um ou mais acidentes de

trabalho. Esse percentual corresponde aproximadamente 6,9 milhões de pessoas na EU-27.

No Brasil, segundo o Ministério da Previdência Social (MPAS), em 2011 foram registrados

711.164 casos de acidentes e doenças do trabalho, entre os trabalhadores assegurados da

Previdência Social.

A experiência devido à ocorrência de acidentes do trabalho tem levado agências

reguladoras a serem mais rigorosas na garantia da segurança, por exemplo, no setor elétrico a

norma CFR 1910 padrão 29 subparte S da OSHA (Occupational Safetyand Health

Administration) exige que em uma planta do setor elétrico todos os perigos devam ser

identificados a fim de determinar suas severidades e designar quais equipamentos de proteção

pessoal e práticas seguras de trabalho devem ser seguidas de forma a proteger os operadores e

sistema.

A causa do acidente pode ser definida como qualquer fator que, se removido, teria

evitado o acidente; é a ação e/ou a condição que precede imediatamente o acidente,

(REDONDO, 1970). Conforme a NBR 14280 (2001) existem várias causas que contribuem

para a ocorrência do acidente do trabalho que são fatores pessoais (falta de conhecimento,

motivação deficiência e etc.), ato de insegurança (forma imperfeita de trabalhar, que violam

as regras de segurança) e ambiente de trabalho (manutenção inadequada, ferramentas

inadequadas e etc.).

3

Assim, os acidentes do trabalho geram diversos prejuízos para os funcionários e para a

empresa, portanto gerenciar os riscos associados a acidentes do trabalho é fundamental, não

apenas para reduzir custos relativos aos acidentados, mas também devido à indisponibilidade

do sistema. Segundo a CNP/SP (2004) os acidentes do trabalho acarretam perdas gerais ao

empreendimento devido ao tempo perdido, aos transtornos para os empregados, pela parada

das máquinas, setores que podem ser interditados por longo prazo de tempo, redução do

rendimento do trabalhador ao voltar do período de recuperação, perda de prestigio com o

público consumidor de seus produtos, aumento de gastos com processos judiciais de

indenização e custos com ações corretivas para minimizar futuros acidentes. Marcoulaki et al.

(2012) ainda expõe que as perdas de tempo de trabalho estão vinculadas aos prejuízos

econômicos da empresa e as estimativas de perda de tempo não podem levar em conta apenas

o número de acidentes, pois é uma função da frequência dos acidentes e a gravidade do

acidente.

Desta maneira, funcionários e contratados que trabalham em uma empresa estão

frequentemente envolvidos em acidentes de trabalho e alguns desses acidentes deixam por

vários dias de afastamento o trabalhador até sua recuperação, esse tempo de afastamento do

empregado gera prejuízos financeiros a empresa. Com base no cenário relatado anteriormente,

é importante se ter ferramentas que permitam calcular a indisponibilidade do trabalhador, isto

é, o período entre o momento que o funcionário sofreu o acidente até sua plena recuperação,

assumindo sua atividade na empresa.

Alguns modelos Markovianos ou semi-Markovianos são encontrados na literatura com

objetivo de calcular a disponibilidade ou indisponibilidade de sistemas ou equipamentos,

como por exemplo, os citados por Mendes (2008), Jens (2006), Vesely (1993) e Moura &

Droguett (2008). Segundo Mathieu et al. (2005), os modelos semi-Markovianos possuem

algumas vantagens em relação aos modelos Markovianos por ter maior tratabilidade

matemática e simples interpretação. Enquanto nos processos Markovianos (PM) as

distribuições de transições entre os estados têm distribuição exponencial (caso contínuo), no

caso semi-Markoviano os tempos entre transições podem assumir diferentes tipos de

distribuições.

Aplicações dos processos semi-Markovianos (PSM) podem ser encontradas em várias

áreas, como por exemplo, o estudo feito na área financeira por D’amico (2005), que emprega

modelos semi-Markovianos de confiabilidade em um ambiente de risco de crédito a empresas.

Felli (2007) utiliza um modelo semi-Markoviano para explorar o perfil da população dos

pacientes de um ensaio clínico com intuito de desenvolver novos medicamentos e tratamentos

4

complexos. Ainda dentro da área de saúde, Wu (1982) desenvolveu um modelo de sobrevida

baseado em um PSM para descrever multi-estados, onde os dados estão parcialmente

censurados. Janssen & Manca (2001) utilizou o PSM na ciência atuarial para modelos de

recompensa de seguros de saúde. Outros recentes trabalhos que têm como tema central o PSM

são os de D’amico & Petroni (2012), Lefebvre (2011), Gosavi (2011), Guenther (2010), Hunt

& Devolder (2011) e Zhang & Hou (2012).

Os esforços para diminuir os prejuízos econômicos gerados pela indisponibilidade do

trabalhador devido a acidentes do trabalho é umas das maiores preocupações das organizações

atualmente. A fim de se obter a disponibilidade e indisponibilidade do trabalhador será

utilizado o Processo semi-Markoviano que é uma generalização do Processo Markoviano e

por isso fornece uma maior flexibilidade para a modelagem de sistemas dinâmicos complexos

(WANG, 2010).

Porém, ainda existem vários tipos de acidentes que podem ter diferentes tempos de

recuperação e taxas de falhas, tornando a amostra não homogênea. Nesses casos, não é

realista assumir que todos os funcionários de uma empresa possuam as mesmas medidas de

confiabilidade, pois desta forma não proporcionará estimativas adequadas para os parâmetros

(taxas de transições do PSM). Para superar essas dificuldades será utilizada a Análise de

variabilidade populacional (ver (Droguett et al. (2004), Kaplan (1983), Ramos et. al. (2012),

Pörn (1996) e Sivini (2006)) para a estimação da distribuição da taxa de acidentes e de

recuperação, de acordo com as categorias do problema em estudo. Os dados necessários para

obtenção da distribuição da taxa de acidentes são: tempo até o acidente e o tempo que os

acidentados passam em licença médica.

A Análise de variabilidade populacional Bayesiana é um método para se chegar a uma

distribuição a priori para avaliação Bayesiana dos parâmetros de confiabilidade baseado em

dados parcialmente relevante (DROGUETT et al., 2004). Desta forma, à medida que as novas

evidências tornam-se disponíveis, as distribuições de probabilidade destes parâmetros assim

como o nível de conhecimento sobre o comportamento do sistema podem ser atualizadas.

Neste trabalho, é apresentado uma exemplo de aplicação em uma Companhia de

geração de energia elétrica dividida em 6 regiões de atuação, onde será obtido a

Disponibilidade e Indisponibilidade do trabalhador. Com base na disponibilidade e

indisponibilidade a companhia elétrica será capaz de estimar por quantos dias seu funcionário

ficará afastado pelo acidente do trabalho e consequentemente estimar seus custos, podendo

aperfeiçoar as condições do ambiente de trabalho a fim de diminuir os acidentes

economizando recursos para a empresa.

5

1.1 Objetivos

1.1.1 Objetivo geral

Desenvolver uma metodologia que permita obter as métricas de Disponibilidade e

Indisponibilidade: Tempo operacional médio, Disponibilidade média, Disponibilidade

instantânea ao final da missão, Tempo falho médio, Indisponibilidade média,

Indisponibilidade instantânea ao final da missão e a Probabilidade do funcionário não

acidentado e acidentado por acidente de trabalho via hibridismo entre processo semi-

Markovianos e Análise de variabilidade populacional Bayesiana.

1.1.2 Objetivos específicos

Para se atingir o objetivo geral, os seguintes objetivos específicos são estabelecidos:

Teste de homogeneidade entre as regiões de atuação da Companhia de geração de

energia elétrica;

Análise de variabilidade populacional Bayesiana para estimar a Função Densidade

de Probabilidade para as taxas de acidentes e as taxas de recuperações do processo

semi-Markoviano;

Análise dos resultados encontrados.

1.2 Estrutura da dissertação

Este trabalho desenvolve-se em seis capítulos, como descrito na sequencia, constituindo

a presente introdução o primeiro capítulo. O capítulo dois trata da fundamentação teórica

fundamentação teórica onde são expostos conceitos e definições referentes à processos semi-

Markovianos, inferência Bayesiana e Análise de variabilidade populacional Bayesiana. O

terceiro capítulo apresenta os procedimentos metodológicos para o desenvolvimento do

trabalho proposto da integração do processo semi-Markoviano e da Análise de variabilidade

populacional Bayesiana. No capítulo 4, é apresentada a descrição do problema assim como os

resultados alcançados da análise do modelo híbrido para o mesmo. No capítulo cinco são

apresentadas as conclusões e considerações finais. E, ao final deste, listam-se as fontes

bibliográficas utilizadas nesta pesquisa.

6

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 Conceitos e Aplicações

Segundo Howard (2007), o PSM pode ser visto como um processo cujas sucessivas

transições de estados são governadas pelas probabilidades de transição do PM, mas sua

permanência em qualquer estado é descrita por uma variável aleatória que depende do estado

atual ocupado e do estado em que a próxima transição será feita.

Alguns desenvolvimentos científicos sobre o PSM podem ser citados, como é o caso em

que Grabski (2007) em seu trabalho apresenta definições básicas e teoremas de PSM, onde o

mesmo permite construir diversos modelos de confiabilidade. Grabski (2002), em outro

estudo, aborda as propriedades da função de confiabilidade de um sistema com taxa de falha

modelada por um PSM, onde as funções de confiabilidade são obtidas utilizando

transformada de Laplace-Stieltjes. Moura (2006) propõe um modelo para a avaliação da

medida de disponibilidade de sistemas tolerantes a falha baseado na integração de um PSM

com tempo contínuo e redes Bayesianas, onde essa integração resulta em um modelo

estocástico híbrido que é capaz de representar as características dinâmicas de um sistema.

Ouhbi & Limnios (2002) investigam e propõem uma fórmula simples para a taxa de falha

(ROCOF) de um sistema de estados finitos de PSM, a partir da fórmula para a ROCOF é

obtido um estimador estatístico desta função, onde esse estimador é fortemente consistente e

assintoticamente normal. Veeramany & Pandey (2010) apresentam um modelo para avaliar as

frequências de ruptura e confiabilidade do sistema de tubulação de uma usina nuclear com

base na teoria de PSM, onde esse modelo é capaz de incorporar o efeito do envelhecimento de

degradação dos tubos da usina. Yu (2010) apresenta uma visão geral do modelo semi-

Markoviano oculto, incluindo modelagem, inferência, estimação, implementação e aplicações.

Xie (2005) estuda a política de rejuvenescimento de dois níveis para sistemas de software

com processo de degradação. O PSM é construído, e com base na sua solução de forma

fechada é obtida a disponibilidade do sistema como uma função bivariada, em seguida a

política rejuvenescimento é analisada para maximizar a disponibilidade do sistema. Pievatolo

& Valadè (2003) estudam o desempenho da confiabilidade do sistema de energia constante,

onde é apresentado um modelo analítico capaz de lidar com distribuições de tempos de falha e

reparo não exponencial utilizando o PSM e, assumindo independência estocástica para os

componentes do sistema em estudo, é calculado o tempo médio entre acidentes e o tempo

médio de recuperação do compressor de saída de voltagem. Chen & Trived (2005) constroem

um processo de decisão semi-Markov para otimização da política de manutenção baseados em

7

problemas de manutenção preventiva, e apresentam a abordagem conjunta da taxa de inspeção

e política de manutenção. El-Gohary (2004) mostra estimativas obtidas por Máxima

verossimilhança e pela abordagem Bayesiana dos parâmetros de um modelo de confiabilidade

semi-Markov com três estados, onde o núcleo de renovação que depende de um vetor de

parâmetros desconhecido é utilizado para definir o PSM que pode ser usado para descrever

alguns modelos de confiabilidade. Dong (2009) utiliza uma metodologia baseada no processo

homogêneo semi-Markoviano oculto adicionado a uma estrutura temporal para previsão de

partículas no ar que são importantes para o controle e redução de poluentes no ar.

2.2 Processos semi-Markovianos

PSMHs contínuos no tempo podem ser introduzidos considerando uma nomenclatura

similar à dada em Corradi et al. (2004). Permita { } representar o espaço finito de

estados e definir as seguintes variáveis aleatórias , onde e são

o estado e o instante da n-ésima transição, respectivamente.

O processo estocástico { } é chamado de processo de renovação Markoviano

homogêneo se

]

]

(2.1)

O núcleo de um PSMH é definido como:

] (2.2)

A equação (2.1) é a probabilidade do PSMH alcançar o estado j no instante dado

que permaneceu no estado i por unidades de tempo, onde t é o tempo de

permanência no estado i dado que o PSMH desloca-se para o estado j.

De acordo com Howard (2007), o núcleo descreve fundamentalmente um PSMH

já que governa estocasticamente as transiçõs entre estados assim como os tempos de

permanência t ambos condicionados no estado corrente i.

O PSMH deixará o estado i depois de permanecer neste estado por t unidades de tempo

com probabilidade dada por:

8

] (2.3)

o qual representa a função de distribuição acumulada (CDF) do tempo de espera no estado i.

As equações (2.2) e (2.3) são relacionadas como segue:

∑

(2.4)

Na verdade, significa a probabilidade do PSMH deixar o estado i quando o seu

estado sucessor é desconhecido.

O comportamento estocástico ao longo do tempo de um PSMH pode ser avaliado

calculando as probabilidades (probabilidade do PSMH estar no estado j no instante t)

dadas as condições iniciais . Permita, portanto, ser o número de vezes que o

estado j de um PSMH é visitado a partir de qualquer outro estado r no intervalo [0, t].

Permita, também, que ] seja seu valor esperado. Caso seja

continuamente diferenciável, então é a sua função densidade

correspondente. Como o processo sobre consideração é regular, isto é, não mais do que uma

transição pode ocorrer em qualquer intervalo , então pode ser assumida

como a probabilidade de uma transição ocorrer para o estado j em um intervalo de tempo

infinitesimal dt como segue:

{ }.

Assim, segue que:

∑ ∑ ∫

, (2.5)

onde é a derivada do núcleo do PSMH on instante t.

A equação (2.5) significa que o estado j pode ser alcançado se o PSMH estava

inicialmente no estado i e permanece neste estado até o instante t, quando uma transição para

o estado j ocorre, ou se o PSMH alcançou o estado i no instante , permanecendo neste estado

por unidades de tempo, então uma transição para o estado j ocorre.

9

O somatório ao longo do número de estados N leva em consideração todos os possíveis

estados intermediários por onde o PSMH pode transitar. O termo integral, por sua vez,

significa que a transição para o estado i pode ocorrer em qualquer instante de tempo ].

A equação (2.5) corresponde a um sistema de N equações integrais com raízes ,

. As probabilidades ] podem ser obtidas a partir das condições

iniciais como segue:

[ ]

∫

[ ] (2.6)

A equação (2.6) significa que um PSMH pode estar no estado j no instante t se estava

inicialmente no estado j e permanece neste estado pelo menos até o instante t ou se visitou o

estado j em qualquer instante ] com probabilidade e permaneceu lá por

unidades de tempo. A equação (2.6) corresponde a N integrações diretas que podem ser

resolvidas independentemente usando a solução da equação (2.5).

A definição dos PSMHs por probabilidades ou taxas de transição depende de como o

núcleo e a função de distribuição são definidas. Nas próximas duas seções, as

particularidades de cada tipo de definição serão analisadas.

2.2.1 PSMH descrito por probabilidades de transição

Para descrever um PSMH a partir de suas probabilidades de transição, é preciso definir as

probabilidades do processo Markoviano embutido e as funções de distribuição do

tempo de permanência t no estado i dado o próximo estado j a ser ocupado pelo processo.

Basicamente, segue que:

] , (2.7)

onde ] é a matriz de probabilidades de transição do processo Markoviano homogêneo

embutido no PSMH.

10

A CDF do tempo de permanência t dado i e j é definida como:

] (2.8)

As probabilidades são relacionadas como segue:

{

Basicamente, um PSMH descrito por probabilidades de transição funciona da seguinte

maneira: quando o estado i é alcançado, o próximo estado j a ser ocupado pelo processo é

imediatamente amostrado a partir das probabilidades do processo Markoviano

homogêneo. Dados os estados i e j, o tempo de permanência t no estado i é amostrado da CDF

. Assim o tempo da próxima transição é determinado como .

2.2.2 PSMH descrito por taxas de transição

Os requisitos de informação para definição de um PSMH a partir de suas taxas de

transição são as funções . A taxa de transição de um PSMH é definida em Becker

et al. (2000) como:

, (2.9)

onde e são os instantes da última e próxima transições, respectivamente. O tempo de

permanência t é dado pela diferença .

A equação (2.9) significa que uma transição para o estado j ocorre em um intervalo de

tempo infinitesimal dt depois que o processo permaneceu no estado i por uma duração t, dado

que não houve antes qualquer transição deixando tal estado.

Para o caso homogêneo, no qual as taxas de transição dependem apenas do tempo

decorrido desde a última transição (tempo de permanência), Becker et al. (2000) definem o

núcleo como:

11

∫

( ∫

) (2.10)

onde

∑

A CDF do tempo de espera no estado i é definida como:

( ∫

) (2.11)

Basicamente, um PSMH descrito por taxas de transição funciona da seguinte maneira:

quando o estado i é alcançado, o tempo de permanência t no estado i e o próximo estado j a

ser ocupado pelo processo são amostrados diretamente a partir do núcleo .

2.3 Inferência Bayesiana

Os métodos bayesianos têm origem na ideia de impor uma probabilidade aos motivos de

um evento observado a partir de um valor tomado a priori e atualizado em função dessa

observação (COUTINHO, 1994).

O uso da inferência Bayesiana se faz vasto na literatura. Sobre este tema podemos citar

trabalhos como o de Silva & Mattos (2001) que propõem uma aplicação de métodos de

computacionais, para análise de confiabilidade com abordagem Bayesiana, em itens de

produtos manufaturados em degradação. Galvanin (2007) sugere uma metodologia para

extração de contornos de telhados de edifícios usando Modelo Digital de Elevação (MDE),

inferência Bayesiana e Markov Random Field (MRF). Ribeiro (2005) realiza aplicações da

inferência Bayesiana em estudos de confiabilidade em dados de falha em análises de

segurança, explicando o impacto da mesma em estudos de análise de riscos (EAR) ambientais

em plantas industriais e em análises probabilísticas de segurança (APS) em instalações

nucleares. Vieira (2006) expõe uma metodologia Bayesiana de controle da qualidade de

produtos indústrias, em unidades em testes sobre forte estresse. Moselhy & Marzouk (2012)

12

expõem uma nova abordagem para inferência Bayesiana que se baseia na construção de

mapas. Scotto & Soares (2007) apresentam um método que combina a metodologia Bayesiana

e as técnicas de valor extremo para estimar a ocorrência de ondas elevadas.

Um dos primeiros autores a definir probabilidade como o grau de confiança foi

Bernoulli na sua obra Ars Conjectandi de 1713, onde define que “Probabilidade é o grau de

certeza e difere da certeza absoluta assim como a parte difere do todo”.

O grau de confiança é uma medida do conhecimento de um indivíduo sobre uma dada

proposição ou evento. Desta forma, o grau de confiança é subjetivo. É uma medida de

incerteza (ou certeza) e, portanto é uma representação do estado mental e não do mundo

externo.

A inferência Bayesiana é baseada em probabilidade subjetiva ou credibilidade a

posteriori associada a diferentes valores do parâmetro θ (desconhecido) e condicionada pelo

particular valor de y observado (PAULINO et al., 2003).

As vantagens da abordagem Bayesiana são: o tratamento numérico, ausência de

assintóticos, enquadramento formal para a combinação de informações e recuso intuitivo,

(KÉRY, 2010).

O conhecimento a priori sobre o parâmetro é resumido pela densidade , onde

é a verossimilhança ou distribuição de probabilidade condicional de y dado , e o

conhecimento atualizado está presente na densidade a posteriori, . A partir do teorema

de Bayes se tem:

(2.12)

onde o denominador do lado direito é a probabilidade marginal. Para o caso discreto

∑ , ou seja, a soma para todos os valores possíveis de e no caso

contínuo temos ∫

, (CONGDON, 2006).

Conforme Kéry (2010) observa-se que na equação (2.12) a distribuição a

posteriori, é proporcional ao produto da função de verossimilhança, , e da

distribuição a priori do parâmetro . Para assegurar que este produto é uma função de

distribuição de probabilidade adequada, isto é, com integral igual a 1, o termo

, que não

depende de , funciona como uma constante normalizadora de . Assim, o teorema de

Bayes pode ser escrito da forma abaixo:

13

(2.13)

Pode-se reescrever equação acima em palavras como

A verossimilhança tem importante tarefa na fórmula de Bayes, pois fornece um meio de

combinar as informações sobre o parâmetro θ contidas nos dados observados em y. Esta

forma simplificada do teorema de Bayes será útil em problemas que envolvam estimação de

parâmetros já que o denominador é apenas uma constante normalizadora (EHLERS, 2003).

Na visão de Paulino (2003) para os bayesianos a distribuição a posteriori incorpora, por

via do teorema de Bayes, toda a informação disponível sobre o parâmetro. No esquema

Bayesiano (Figura 2.1) nota-se que todas as inferências são realizadas a partir da aplicação

lógica do cálculo de probabilidade.

Figura 2.1: Esquema Bayesiano. Fonte: PAULINO et al.(2003, p 22).

2.4 Análise de variabilidade populacional Bayesiana

Análise de variabilidade populacional é um método para se chegar a uma distribuição a

priori para avaliação Bayesiana dos parâmetros de confiabilidade baseado em dados

parcialmente relevante (DROGUETT et al., 2006).

Dados

Amostra

Distribuição

a priori

Teorema de

Bayes

Raciocínio

Dedutivo

Inferência

Estatística

Modelo

Experimental

14

Segundo Kaplan (1983) a análise de variabilidade é primeira etapa de duas etapas da

atualização dos parâmetros do processo Bayesiano. A segunda etapa do processo Bayesiano

corresponde à atualização com base em dados específicos do sistema.

Segundo Droguett et al. (2004), a distribuição da variabilidade populacional é

desenvolvida com base no tempo de execução dos dados. No entanto, as estimativas da taxa

de ocorrência também podem estar disponíveis e constituem outra fonte valiosa de

informação, principalmente quando os dados são escassos ou faltantes. Neste caso, o uso de

técnicas bayesianas é de fundamental importância, bem como a opinião do especialista. O uso

dessas técnicas consiste na atualização de alguma distribuição de probabilidade inicial, a

distribuição priori, baseada na evidência específica. As soluções para a análise de

variabilidade populacional, também conhecida como Bayes hierárquico, Bayes empírico, ou

análise não homogênea, envolvem o uso de modelos Bayes hierárquico de distribuição

paramétrica para descrever a variabilidade. O interesse é investigar a variabilidade das taxas

de acidente e de recuperação.

Desta forma, se X indica a medida de interesse (taxa de acidente e recuperação), a

avaliação da distribuição da variabilidade populacional de X é baseada nos seguintes tipos de

informação:

: Análise ou opinião do especialista;

: Análise dos dados de exposição (tempo de execução ou demanda) com

operação de sistemas semelhantes em aplicações análogas;

: Estimativas ou distribuições sobre a confiabilidade de X medidas de várias

fontes, tais como base de dados ou opiniões de especialistas.

A análise Bayesiana de variabilidade populacional tem a capacidade de utilizar dados

oriundos de quaisquer das três fontes descritas anteriormente, bem como agregar valores

permitindo uma melhor avaliação do sistema.

A verdadeira distribuição de variabilidade populacional pode ser apresentada como

membro de uma família de distribuição paramétrica. Quando esta distribuição é incerta, esta

incerteza é expressa sobre a forma de distribuição de probabilidade sobre todos os membros

da família distribucional. Se denota a variabilidade distribucional

do modelo paramétrico, então a distribuição de probabilidade sobre todos os

parâmetros do modelo pode ser usada para descrever a incerteza sobre a distribuição da

variabilidade do modelo. A estimativa da densidade da variabilidade populacional é dada por:

15

∫

∫ ( )

(2.14)

A equação (2.14) consiste na representação de uma “mistura” de distribuições do

modelo escolhido, onde o modelo paramétrico da variabilidade é representado por

e , que representa a incerteza sobre a distribuição de

variabilidade. Tem-se que a distribuição de incerteza sobre o espaço de ( ) , onde

, é a mesma que a incerteza sobre os valores de , uma vez que para cada

valor de existe um único ( ) e vice-versa. Desta forma, o objetivo de estimar ( )

fica reduzido a estimar . Considerando que o estado de conhecimento a priori sobre é

representado pela distribuição de probabilidade , e dada a evidência disponível, , usa-

se o teorema de Bayes para encontrar a distribuição de probabilidade a posteriori sobre .

Seja uma distribuição de probabilidade sobre os parâmetros do

modelo de variabilidade , onde foram descritos anteriormente.

Então a distribuição sobre X do sistema específico condicional a e a nova evidência

é dada por:

∫ ( )

∫

∫ ( )

(2.15)

onde .

A distribuição a posteriori dos parâmetros da variabilidade populacional baseado nos

três tipos de evidência é obtida através do teorema de Bayes

( | )

∫

(2.16)

onde é a verossimilhança da informação, e é a distribuição a priori

sobre . Assumindo que as evidências e são independentes, a função de

verossimilhança torna-se:

16

( | ) ( | ) ( | ) (2.17)

Por outro lado, escrevendo a equação (2.17) em termos das verossimilhanças das

informações de cada item, obtém-se:

( | ) ∏ ( | ) ( | )

(2.18)

observar-se que ( | ) e ( | ) são as probabilidades das evidências e do

i-ésimo item do total de n itens, assumindo que o conjunto de parâmetros da curva da

variabilidade populacional é .

Observa-se que a medida de confiabilidade para o i-ésimo sistema, , é desconhecido,

sabendo que é um dos possíveis valores de X. Além disso, X tem distribuição de acordo

com , com também desconhecido. Portanto, é possível calcular as probabilidades de

observar as informações e permitindo que a medida de confiabilidade possa assumir

todos os valores possíveis, isto é, calculando a média de ( | ) sobre a distribuição

X.

( | ) ∫ ( | ) ( | )

(2.19)

A equação (2.19) pode ser substituída na equação (2.18) para a obtenção da função de

verossimilhança da informação total.

2.4.1 Mistura de funções de Verossimilhança

De acordo com Droguett et al. (2006), para a execução da análise de variabilidade

populacional de uma medida de confiabilidade é fundamental especificar uma distribuição de

probabilidade adequada que possa descrever a variabilidade subjacente da medida de

interesse, , assim como a função de verossimilhança . A construção da

verossimilhança depende do tipo de evidência disponível. São considerados dois tipos de

categorias de evidência:

Tipo (Evidência de exposição): número de acidentes e tempo de exposição

(tempo de serviço ou número de demandas). Por exemplo, {

17

} ou { }, onde é o número de acidentes, é o

tempo para observar acidentes no i-ésimo sistema, é o número total de

demandas e é o número total de funcionários.

Tipo (Fonte de estimativas): considera-se a opinião do especialista. A

evidência é sob a forma de { } , onde

é a estimativa

fornecida pela i-ésima fonte e é o desvio padrão logarítmico que representa a

opinião do i-ésimo especialista.

Podem existir várias versões das misturas de funções de verossimilhança dependendo da

medida de interesse X e de como os dados são apresentados. Serão apresentados a seguir o

desenvolvimento dos modelos Lognormal-Poisson-Lognormal e Lognormal-Binomial-

Lognormal, respectivamente. Também serão apresentados os dados obtidos através da opinião

de especialistas são casos especiais dos modelos mistos. Formulações alternativas com os

modelos Gama-Poisson-Lognormal e Beta-Binomial-Lognormal seguem diretamente.

A especificação da distribuição de probabilidade que irá descrever a variabilidade se

deve a natureza da medida de confiabilidade, por exemplo, o número de falhas observadas em

um instante de tempo poderá ser modelado pela distribuição Poisson.

Como relatado anteriormente, há possibilidade de diferentes formas de construção da

verossimilhança que depende da natureza da evidência e da escolha da distribuição de

probabilidade da variabilidade subjacente, que geraram diferentes modelos de mistura de

verossimilhança, tais como Lognormal-Poisson-Lognormal, Lognormal-Binomial-

Lognormal, Gama-Poisson-Lognormal e Beta-Binomial-Lognormal.

2.4.2 Modelo Lognormal-Poisson-Lognormal

Suponha-se que o interesse seja avaliar a variabilidade populacional da taxa de acidente

e as fontes disponíveis são: dados observados em operação { } e

estimativas dadas por diferentes especialistas , definidos anteriormente. Considera-se

que a variabilidade populacional do verdadeiro valor da taxa de falha siga uma

distribuição Lognormal:

√ [

(

)

] (2.20)

18

Portanto, a distribuição a posteriori dos parâmetros da variabilidade da equação 44 pode

se escrita por:

( | )

∫ ∫

(2.21)

Para o i-ésimo sistema a verossimilhança do tipo de informação , , pode

ser construída caso seja conhecida a taxa de falha , de cada sistema, pode-se usar a

distribuição Poisson para estimar a probabilidade das falhas observadas em .

(2.22)

Tomando como base o modelo de erro multiplicativo proposto por Mosleh (1992), a

função de verossimilhança para o i-ésima fonte estimada, , pode ser escrita em

termos da distribuição Lognormal com média , isto é:

√

[

(

)

] (2.23)

que é considerado um especialista imparcial. Utilizando a transformação , a

equação (2.20) pode ser rescrita da seguinte forma:

|

| (2.24)

desde que , então

√

[

(

)

] (2.25)

portanto,

√

[

(

)

] (2.26)

19

tem distribuição normal com média igual a .

Como é conhecido apenas que é um dos possíveis valores para a taxa de falha

representada pela distribuição da variabilidade populacional ( ) ao integrar-se a

probabilidade da equação (2.19) sobre todos os possíveis valores de , a fim de calcular a

probabilidade dos dados incondicionais em relação ao valor desconhecido de

∫

(2.27)

onde se considera os dados observados durante um período de execução e as estimativas das

evidências são independentes. Observa-se que a i-ésima estimativa do especialista é a

mesma para o i-ésimo sistema para os dados observados no tempo de execução .

Substituindo a equação (2.26) e (2.22) na equação (2.27):

∫

[

(

)

(

)

] (2.28)

Uma possível solução para equação (2.28) pode ser obtida se

{

[(

)

(

)

]} [

(

)

]

Desta forma, pode-se mostrar que:

√

(2.29)

Assim, a função de verossimilhança dada pela equação 56 é

∫

[

{(

)

}]

realizando algumas manipulações algébricas torna-se:

20

[

]

∫

[

(

)

] (2.30)

A equação anterior pode ser escrita como o produto entre as distribuições Gama e

Lognormal.

[

]

√ ∫

√

[

(

)

] (2.31)

Substituindo as expressões e

dados pela equação (57), tem-se:

[

]

√ √

∫

(

√

) (2.32)

Portanto, a probabilidade total é obtida substituindo-se na equação (2.29) na equação a

seguir:

∏

(2.33)

2.4.3 Caso especial: Modelo Lognormal-Poisson

Quando os dados de execução estão disponíveis e considerando o modelo de

variabilidade populacional tendo uma distribuição Lognormal, pode-se utilizar o modelo

Lognormal-Poisson com parâmetros e para estabelecer sua verossimilhança, dada na

forma a seguir:

∫

√

(

)

√ ∫

√

(

)

(2.34)

21

Observa-se que a equação acima pode ser definida como o produto das distribuições

Gama e Lognormal.

2.4.4 Especificação a priori

A análise de variabilidade populacional pode ser usada para construir a distribuição a

priori para análises específicas do sistema de confiabilidade com base em dados e opinião de

especialistas para sistemas similares. A distribuição a priori pode ser informativa ou não.

Quando se refere à distribuição a priori informativa leva-se em consideração a opinião do

especialista da área de estudo em relação ao parâmetro de interesse. Uma a priori não

informativa será baseada apenas em evidências. Quanto maior o número de evidências

utilizadas na obtenção da verossimilhança, menor será a influência da distribuição a priori

para obter a posteriori. Em um modelo com distribuição Lognormal, a priori será definida

fornecendo-se a mediana e um Fator de Erro (FE). Segundo Mosleh (1992), o fator de erro é

uma relação do percentil superior ao valor mediano de uma quantidade incerta, distribuída de

acordo com uma distribuição Lognormal. O fator de erro é dado na equação

(2.35)

onde é a mediana e é 95º percentil que indica que há 95% de dados inferiores a esse

valor. Quanto maior o FE, maior o grau de incerteza da taxa. Quando menor o FE, maior a

confiança se tem na qualidade das informações adquiridas.

2.4.5 Medidas de variabilidade

Segundo Droguett et. al. (2004), a função de verossimilhança e as distribuições a priori

são incorporadas em procedimento de inferência Bayesiana em que a densidade a posteriori

, é calculada. A inferência Bayesiana em que a densidade a posteriori é executada

usando o método Markov Chain Monte Carlo (MCMC), que permite que amostras sejam

geradas de uma função de densidade contínua não normalizada. O MCMC resulta em um

conjunto de amostras { }, representando a densidade a posteriori sobre os

parâmetros do modelo de distribuição de variabilidade ( ) { }.

22

Dado S, a densidade de variabilidade populacional estimada é calculada a seguir:

∫ ( )

∑ ( )

A média e variância são calculadas a seguir:

∫

∑

(2.36)

∫

∑

(2.37)

onde e são a média e variância de ( ).

Os resultados gerados incluem limites de incerteza da densidade de variabilidade

acumulada:

∫

(2.38)

e na forma de z-percentis , é definido como , pode-se encontrar

o valor de a seguir:

∫

(2.39)

Com base nos limites o analista tem um referencial para avaliar a incerteza estimada da

distribuição de variabilidade populacional.

23

3 METODOLOGIA PROPOSTA

O presente capítulo tem por objetivo apresentar como será a conexão entre o processo

semi-Markoviano e Análise de variabilidade populacional Bayesiana. O modelo proposto será

apresentado através de uma aplicação a um banco de dados de uma Companhia de geração de

energia elétrica com diversos tipos de acidentes do trabalho e tempos de recuperação

distintos.

3.1 Integração: Processo semi-Markoviano e Análise de variabilidade

populacional Bayesiana

O objetivo geral do presente trabalho é desenvolver uma metodologia que permita

representar de forma mais realista sistemas complexos através do hibridismo entre o processo

semi-Markoviano e Análise de variabilidade populacional Bayesiana, que permite obter

métricas de Disponibilidade e Indisponibilidade (disponibilidade média, disponibilidade

instantânea ao final da missão, indisponibilidade média, indisponibilidade instantânea ao final

da missão). Segundo Rausand & Hoyland (2003), a disponibilidade instantânea, , é

definida como sendo a probabilidade de um sistema estar disponível para o uso no tempo t:

]

A probabilidade que um sistema esteja indisponível no instante de tempo t é definida

como (Indisponibilidade instantânea). A soma de e deve ser unitária.

(3.1)

A Disponibilidade média, , e Indisponibilidade média, , considerando o

intervalo de tempo T são definidas por (CASSADY, 2003)

∫

(3.2)

∫

(3.3)

24

Também será possível obter através do hibridismo entre o processo semi-Markoviano e

Análise de variabilidade populacional Bayesiana o Tempo operacional médio e o Tempo

falho médio do funcionário, assim como a Taxa de visita aos Estados e a Probabilidade do

funcionário não acidentado e acidentado por acidente de trabalho.

A Disponibilidade e Indisponibilidade do trabalhador serão estimadas utilizando a

distribuição de probabilidade das variáveis “tempo até o acidente” e “recuperação”, através

dos seguintes passos abaixo (ver Figura 4.1):

i. Supor que inicialmente, que um funcionário i qualquer da Companhia de

geração de energia elétrica possa estar em qualquer um dos seis estados:

operacional (0), apto a executar suas atividades; acidentado (1), situação em que

se encontra em licença médica de até 3 dias; acidentado (2), situação em que se

encontra em licença médica de 4 até 14 dias; acidentado (3), situação em que se

encontra em licença médica de 15 dias até 1 mês; acidentado (4), situação em

que se encontra em licença médica acima de 1 mês até 3 meses; acidentado (5),

situação em que se encontra em licença médica acima de 3 meses. Portanto, o

ciclo acidente-recuperação pode ser modelado por um processo estocástico para

o qual as taxas de transição entre estados precisam ser estimadas a partir de

dados de acidentes de trabalho;

ii. Como relatado no Item 1, é preciso estimar a Função Densidade de

Probabilidade para as taxas de acidentes λ e as taxas de recuperações μ. Neste

trabalho, serão usados métodos Bayesianos de estimação da distribuição da taxa

de acidentes e de recuperação, de acordo com as categorias relatadas

anteriormente. Os dados necessários exigidos para isto são, respectivamente,

tempo até o acidente e o tempo em que os acidentados passam em licença

médica. O processo semi-Markoviano, será utilizado para obter a

disponibilidade e indisponibilidade média do funcionário ao longo de um

período de um ano.

iii. Portanto, a partir dos Itens 2, é estimado a incerteza sobre a disponibilidade e

indisponibilidade média dos acidentados através de percentis que são traçados

em torno desse indicador.

iv. As saídas do passo 3 multiplicadas por um horizonte de tempo de interesse de

um ano irão fornecer o tempo perdido esperado que os funcionários da

Companhia de geração de energia elétrica passarão indisponíveis (em licença

médica). É importante destacar que os funcionários pertencentes a diferentes

25

categorias (em licença médica) terão frequências e severidades distintas de

acidentes.

v. Do passo 4, obtém a incerteza (percentis de 5%, 50% e 95%) sobre o tempo que

os funcionários de cada categoria passariam em licença médica ao longo do ano.

vi. A saída do passo 5 seria a curva de incerteza (percentis 5%, 50% e 95%) dos

dias perdidos de trabalho de cada categoria definida anteriormente. Com estas

informações, será possível priorizar determinados grupos de funcionários da

Companhia elétrica que possuem maior probabilidade de ocorrência e

severidade de acidentes;

vii. A partir do momento que novos acidentes acontecerão, as taxas de transição λ e

μ serão reavaliadas, i.e., suas PDF’s serão novamente estimadas no passo 2 e

todos os passos serão seguidos novamente para estimação da disponibilidade e

indisponibilidade do trabalhador no ano seguinte.

26

Figura 3.1: Fluxograma para obtenção das métricas de disponibilidade e indisponibilidade.

27

4 EXEMPLO DE APLICAÇÃO

4.1 Descrição do Problema

Considere um ambiente de trabalho com trabalhadores e um período de observação

que inicia em e termina em . A Figura 4.1, mostra a linha do tempo para cada

trabalhador (o tempo de trabalho não é necessariamente o mesmo para todos os

trabalhadores), , onde o mesmo trabalha entre e e durante

esse tempo se envolve em acidentes. O trabalhador começa a trabalhar na empresa no

instante , e depois de um intervalo de tempo , sofre um acidente, retornando ao trabalho

após o primeiro acidente, depois do intervalo . Um segundo acidente ocorre depois do

intervalo , e o tempo de retorno ao trabalho é representado por , e assim ocorre

sucessivamente. Os tempos iniciais coincidem com . Os tempos

finais coincidem com . Apenas os trabalhadores 1, 6, 8 e 9

permaneceram empregados durante todo período de observação, enquanto os demais

trabalharam apenas por uma porção de tempo. O tempo trabalhado do trabalhador n antes de

acidentes ocorrer é denotado por . O respectivo tempo de recuperação é

denotado por . O intervalo entre o último acidente de, , e é denotado por .

Figura 4.1: Linha do tempo de N trabalhadores. Fonte: MARCOULAKI et al. (2012).

28

O comportamento dinâmico do trabalhador em uma empresa é representado por um

processo estocástico semi-Markoviano como mostra a Figura 4.2. Os trabalhadores que se

encontram no Estado 0 estão desempenhando sua função normalmente (disponíveis para

trabalhar). Já os trabalhadores que permanecem nos Estados (1, 2, 3, 4 e 5) estão se

recuperando de um acidente (indisponíveis, pois sofreram um acidente) são classificados

segundo a Eurostat (2007) da seguinte forma: Estados 1 – De 0 até 3 dias, Estados 2 - De 4

até 14 dias, Estados 3 – De 15 dias até 1 mês, Estados 4 – Acima de 1mês até 3 meses e

Estados 5 - Acima de 3 meses. Um processo aleatório gera os acidentes com taxa , de modo

que um trabalhador que estava disponível (Estado 0), passa a ficar indisponível nos demais

estados. Outro processo aleatório gera um tempo de recuperação de um acidente, para que um

trabalhador que está no Estado 1 retorne ao Estado 0 com taxa . De forma análoga é obtido

às taxas .

Assim, as taxas ,

são independentes e suas transições podem assumir

qualquer tipo de distribuição de probabilidade. Portanto, o PSM se adapta em nosso problema

por ter maior flexibilidade em termos de distribuições de probabilidade e não possui a

limitação de assumir que os tempos entre eventos sejam necessariamente exponenciais o que

permite um maior poder de generalização do modelo.

Figura 4.2: Modelo Estocástico para a disponibilidade e indisponibilidade do trabalhador.

Porém, existem vários tipos de acidentes do trabalho com diferentes taxas de

recuperação e taxas de acidentes, que podem ocasionar a formação de uma amostra não

homogênea, ou seja, as taxas de recuperação e taxas de acidentes por diferentes tipos de

29

acidentes não têm variabilidade semelhante, por esse motivo não proporciona uma amostra

realista e não possuem o mesmo parâmetro de confiabilidade para o problema.

Para superar essas dificuldades será necessário utilizar a Análise da variabilidade

populacional para superar a falta de homogeneidade da população e estimar a distribuição das

taxas de transição de acidente ( ) e de recuperação (

) entre os estados

disponíveis e indisponíveis.

Supondo uma Companhia de geração de energia elétrica composta por 5.576

funcionários divididos em seis regiões (A, B, C, D, E e F) de atuação. Desse contingente, 804

acidentes foram observados no período entre Janeiro de 2005 a Setembro de 2012.

Figura 4.3: Percentual de funcionários nas regiões de atuação da Companhia de geração de energia elétrica.

Observa-se pela Figura 4.3, que as regiões de atuação da Companhia de geração de

energia elétrica das regiões A, B e C possuem maior percentual de concentração de

funcionários.

A análise de Disponibilidade e Indisponibilidade do trabalhador será modela através do

software E&P Office, versão 3.2. Os testes estatísticos serão realizados no software livre R,

versão 2.15.1.

4.2 Definição e categorização das variáveis

Tomando como base a data de admissão do assalariado e realizando a diferença entre a

data do acidente é possível obter uma nova variável chamada “tempo até o acidente”. A

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

A BC

DE

F

44,40

17,08 16,26

11,61

7,24

3,42

Po

rce

nta

gem

(%

)

Região

30

variável “recuperação” corresponde ao tempo decorrido desde a ocorrência do acidente até o

retorno do acidentado ao trabalho, a mesma é categorizada segundo a classificação da

Eurostat (2007) da seguinte forma: 0 até 3 dias, 4 até 14 dias, 15 dias até 1 mês, acima de 1

mês até 3 meses e acima de 3 meses.

4.3 Testes de aderência e homogeneidade

A fim de verificar qual a distribuição de probabilidade se ajusta para as variáveis

“tempo até o acidente” e “recuperação” foi utilizado o teste de kolmogorov-smirnov (ver

Mood et. al. 1976, p. 508), onde nenhuma distribuição paramétrica se ajustou aos dados.

Portanto, será utilizada para as duas variáveis distribuições não paramétricas obtidas pela

Análise de variabilidade populacional Bayesiana, uma vez que a variável “recuperação” não é

homogênea em relação à região de atuação da Companhia de geração de energia elétrica.

A fim de indicar que as variâncias não são iguais para as regiões, foi utilizado o teste de

homogeneidade de Levene (ver Levene, 1960) (Tabela 4.1), verifica-se que se rejeita a

hipótese das regiões de atuação da Companhia de geração de energia elétrica ter a mesma

variância em relação ao número de dias de recuperação, isto é, as regiões não apresentam

variâncias homogêneas.

Tabela 4.1: Teste de homogeneidade de Levene: dias de recuperação por região

Levene Valor de p

Recuperação 1402,234 0,009

Com o propósito de verificar a homogeneidade dentro de cada região, as mesma foram

divididas em 2 grupos, primeiro grupo até o valor da sua mediana e o segundo acima do valor

da sua mediana. A seguir são apresentados os resultados dos testes de homogeneidade:

Tabela 4.2: Teste de homogeneidade de Levene: dias de recuperação na região A.

Levene Valor de p


Tabela 4.3: Teste de homogeneidade de Levene: dias de recuperação na região B.

Levene Valor de p

Recuperação 178,40 <0,0001

Tabela 4.4: Teste de homogeneidade de Levene: dias de recuperação na região C.

31

Levene Valor de p


Tabela 4.5: Teste de homogeneidade de Levene: dias de recuperação na região D.

Levene Valor de p


Tabela 4.6: Teste de homogeneidade de Levene: dias de recuperação na região E.

Levene Valor de p


Tabela 4.7: Teste de homogeneidade de Levene: dias de recuperação na região F.

Levene Valor de p


Observa-se que em todas as regiões são não homogêneas em relação aos dias de

recuperação devido a acidentes de trabalho. Assim, para desenvolver uma distribuição de

probabilidade que possa caracterizar a incerteza dos parâmetros da variabilidade populacional

será utilizada a metodologia da Análise de variabilidade populacional.

4.4 Análise de variabilidade populacional Bayesiana

Nesta seção, será utilizada a Análise de variabilidade populacional Bayesiana discutida

na Seção 2.4, visto que os dados coletados são provenientes de acidentes do trabalho distintos,

caracterizando desta forma uma população que não apresenta variância constante. Portanto, é

assumido que a variabilidade da taxa de acidentes é distribuída de acordo com o modelo

Lognormal-Poisson apresentado na equação 2.34 Através da Análise de variabilidade será

possível estimar distribuição de probabilidade para o processo semi-Markoviano.

A Tabela 4.8 apresenta os valores para as curvas da média e dos percentis de 5%, 50%

(mediana) e 95% da distribuição acumulada da variabilidade populacional da taxa de acidente

das seis regiões de atuação da Companhia de geração de energia elétrica.

32

Tabela 4.8: Curvas percentuais da distribuição de variabilidade da taxa de dias até o acidente.

Valor Média Curva de 5% Curva de 50% Curva de 95%

Região A

1st 0,000089 0,000075 0,000098 0,000125

5th 0,000107 0,00009 0,00011 0,000132

10th 0,000116 0,0001 0,000117 0,000137

50th 0,000146 0,000133 0,000146 0,00016

90th 0,000185 0,000154 0,000182 0,000218

95th 0,000201 0,000159 0,000194 0,000241

99th 0,000242 0,000168 0,000218 0,000292

Região B

1st 0,00009 0,00007 0,00011 0,00015

5th 0,00011 0,00009 0,00012 0,00015

10th 0,00012 0,0001 0,00013 0,00016

50th 0,00016 0,00014 0,00016 0,00019

90th 0,00021 0,00016 0,00021 0,00028

95th 0,00024 0,00017 0,00022 0,00032

99th 0,00031 0,00018 0,00025 0,00041

Região C

1st 0,00008 0,00007 0,0001 0,00013

5th 0,0001 0,00008 0,0001 0,00013

10th 0,00011 0,00009 0,00011 0,00014

50th 0,00013 0,00011 0,00013 0,00015

90th 0,00016 0,00013 0,00016 0,0002

95th 0,00018 0,00013 0,00017 0,00022

99th 0,00021 0,00014 0,00018 0,00026

Região D

1st 0,00004 0,00002 0,00005 0,00008

5th 0,00006 0,00004 0,00007 0,0001

10th 0,00008 0,00006 0,00008 0,00011

50th 0,00016 0,00013 0,00016 0,0002

90th 0,00033 0,00021 0,00032 0,00052

95th 0,00042 0,00024 0,00038 0,00069

99th 0,00071 0,0003 0,00055 0,00119

Região E

1st 0,00007 0,00005 0,0001 0,00015

5th 0,0001 0,00007 0,00011 0,00016

10th 0,00012 0,00008 0,00013 0,00017

50th 0,00017 0,00013 0,00017 0,00022

90th 0,00026 0,00017 0,00024 0,00037

95th 0,0003 0,00018 0,00026 0,00045

99th 0,00043 0,0002 0,00031 0,00065

Região F

1st 0,00004 0,00002 0,00006 0,00012

5th 0,00006 0,00003 0,00008 0,00013

10th 0,00008 0,00004 0,00009 0,00014

50th 0,00013 0,00009 0,00013 0,00019

90th 0,00023 0,00013 0,0002 0,00039

95th 0,00028 0,00014 0,00023 0,0005

99th 0,00046 0,00015 0,00029 0,00082

33

Região A

Região B

Região C

Região D

Região E

Região F

Figura 4.4: Função Densidade de Probabilidade da taxa do tempo (dias) entre acidentes dos funcionários da

Companhia de geração de energia elétrica.

A Figura 4.4 apresenta a Função Densidade de Probabilidade da distribuição não

paramétrica para a variável “tempo até o acidente” das regiões de atuação, obtida através da

Análise de variabilidade populacional Bayesiana.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025

Taxa de acidentes

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,0001 0,0002 0,0003

Taxa de acidentes

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002

Taxa de acidentes

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,0002 0,0004 0,0006

Taxa de acidentes

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,0001 0,0002 0,0003

Taxa de acidentes

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,0001 0,0002 0,0003

Taxa de acidentes

34

Figura 4.5: Função de Distribuição Acumulada a posteriori da taxa do tempo(dias) entre acidentes dos

funcionários das regiões de atuação da Companhia de geração de energia elétrica

De fato, como mostra a Figura 4.5, é possível observar a curva em vermelho

correspondente a Função de Distribuição Acumulada da variabilidade populacional. As outras

duas curvas correspondem aos percentis inferior (5%) e superior (95%), onde essas curvas

mostram a incerteza em torno da estimativa da variabilidade populacional da taxa de

recuperação. Observa-se principalmente nas regiões D, E e F uma menor incerteza para

valores baixos da taxa de recuperação.

Região A Região B

Região C Região D

Região E Região F

35

De 0 até 3 dias

De 4 até 14 dias

De 15 dias até 1 mês

Acima de 1 mês até 3 meses

Acima de 3 meses

Figura 4.6: Função Densidade de Probabilidade da taxa de recuperação (dias) dos funcionários da região A da

Companhia de geração de energia elétrica.


paramétrica da taxa de recuperação, devido algum acidente de trabalho das categorias na

região A, obtida através da análise de variabilidade populacional. A categoria “De 4 até 14

dias” apresenta uma menor incerteza, uma vez que sua distribuição probabilidade apresenta

uma menor dispersão do que as demais.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6

Taxa de recuperação

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,05 0,1 0,15 0,2


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,01 0,02 0,03


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,005 0,01 0,015 0,02


36

Figura 4.7: Função de Distribuição Acumulada a posteriori da taxa de recuperação (dias) do funcionário da

Companhia de geração de energia elétrica da região A.

De fato, como mostra a Figura 4.7, é possível observar a curva em azul correspondente

a Função de Distribuição Acumulada da variabilidade populacional. As outras duas curvas

correspondem aos percentis inferior (5%) e superior (95%), onde essas curvas mostram a

incerteza em torno da estimativa da variabilidade populacional da taxa de recuperação. Os

limites de incerteza podem ser resultado da pequena quantidade de evidência utilizada na

Análise e de variabilidade populacional ou do valor do fator de erro atribuído.

De 0 até 3 dias De 4 até 14 dias

Acima de 3 meses

De 15 dias até 1 mês Acima de 1 mês até 3 meses

37

De 0 até 3 dias

De 4 até 14 dias



Figura 4.8: Função Densidade de Probabilidade a posteriori da taxa de recuperação (dias)dos funcionários da

região B da Companhia de geração de energia elétrica.

De acordo com a Figura 4.8 as categorias “De 0 até 3 dias” e “Acima de 1 mês até 3

meses” apresentam uma maior incerteza em relações as demais categorias, já que as mesmas

possuem caudas extensas nas suas distribuições de probabilidade.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,05 0,1 0,15 0,2


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,05 0,1


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1


38

Figura 4.9: Função de Distribuição Acumulada a posteriori da taxa de recuperação (dias) dos funcionários da

Companhia de geração de energia elétrica na região B.

Observa-se na Figura 4.9 que os limites de incerteza das categorias “De 0 até 3 dias” e

“Acima de 1 mês até 3 meses” são menores para valores baixos da taxa de recuperação, isto

é, tem menor incerteza para esse valores.

Na região B a categoria “Acima de 3 meses” possui apenas 2 observações

impossibilitando a realização da Análise de variabilidade populacional, não permitindo a

construção de uma distribuição não paramétrica para a mesma.

De 0 até 3 dias De 4 dias até 14 dias

De 15 dias até 1 mês Acima de 1mês até 3 meses

39

De 0 até 3 dias

De 4 até 14 dias



Acima de 3 meses

Figura 4.10: Função Densidade de Probabilidade a posteriori dos dias de recuperação dos funcionários da

região C da Companhia de geração de energia elétrica.


paramétrica da variável “recuperação” das categorias na região C, obtida através da análise de

variabilidade populacional.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,05 0,1 0,15 0,2


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,05 0,1


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,01 0,02 0,03


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,01 0,02


40

Figura 4.11: Função de Distribuição Acumulada a posteriori da taxa de recuperação dos funcionários da

Companhia de geração de energia elétrica na região C.

Na Figura 4.11 é possível observar as curvas de 5% e 95% de incerteza da distribuição

de variabilidade acumulada da taxa de recuperação, onde os valores inferiores e superiores da

probabilidade do tempo de recuperação, bem como os limites de incerteza são de uma

possível falta de evidência utilizada na Análise e de variabilidade populacional e do valor do

Fator de Erro atribuído.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

3.00E-03 1.00E+00 2.00E+00 3.00E+00 4.00E+00 5.00E+00


5% Variabilidade populacional média 95%

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.00E+00 1.00E-01 2.00E-01 3.00E-01 4.00E-01 5.00E-01 6.00E-01


5% Variabilidade populacional 95%

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.00E+00 5.00E-02 1.00E-01 1.50E-01 2.00E-01 2.50E-01 3.00E-01



0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.00E+00 2.00E-02 4.00E-02 6.00E-02 8.00E-02 1.00E-01 1.20E-01 1.40E-01



0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.00E+00 2.00E-01 4.00E-01 6.00E-01 8.00E-01 1.00E+00




De 15 dias até 1 mês Acima de 1mês até 3 meses

Acima de 3 meses

41

De 0 até 3 dias

De 4 até 14 dias



região D da Companhia de geração de energia elétrica.

Através da Figura 4.12 observa-se que a Função Densidade de Probabilidade da

categoria “De 15 dias até 1 mês” tem uma dispersão maior que as demais categorias

evidenciando uma maior incerteza em relação as duas outras categorias.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3


42

Figura 4.13: Função de Distribuição Acumulada a posteriori da taxa de recuperações dos funcionários da

Companhia de geração de energia elétrica na região D.

Na Figura 4.13 nota-se que na categoria “De 15 dias até 1 mês“ praticamente não existe

incerteza para valores baixos da variabilidade populacional da taxa de recuperação, uma vez

que seus limites estão muitos próximos.

Na região D as categorias “Acima de 1 mês até 3 meses” (nenhuma observação) e

“Acima de 3 meses” (uma observações) não possuem dados suficientes para realizar a Análise

de variabilidade populacional, impossibilitando a construção de uma distribuição não

paramétrica para a mesma. Uma alternativa para superar essa limitação de ter poucas

observações seria utilizar em conjunto os dados empíricos com a opinião do especialista para

realizar a Análise de variabilidade populacional.



43

De 0 até 3 dias

De 4 até 14 dias



região E da Companhia de geração de energia elétrica.

É possível observar através da Figura 4.14, uma maior incerteza nas categorias “De 0

até 3 dias” e “De 15 dias até 1 mês”, uma vez que a Função densidade dessas categorias

apresenta uma grande dispersão.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,1 0,2 0,3


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1


44

Figura 4.15: Função de Distribuição Acumulada a posteriori da taxa de recuperação dos funcionários da

Companhia de geração de energia elétrica na região E.

Na Figura 4.15 é possível observar que os limites de incerteza da categoria “De 4 até 14

dias” são maiores tanto para todos valores da taxa de recuperação em relação as demais

categorias.

Na região E as categorias “Acima de 1 mês até 3 meses” (nenhuma observação) e

“Acima de 3 meses” (duas observações) não possuem dados suficientes para realizar a

Análise de variabilidade populacional, impedindo a construção de uma distribuição não

paramétrica para a mesma. Uma possível solução para a falta de dados empíricos é a opinião

do especialista, assim os dados empíricos e a opinião do especialista são utilizadas para

realizar a Análise de variabilidade populacional.



45

De 0 até 3 dias

De 4 até 14 dias



região F da Companhia de geração de energia elétrica.

A Figura 4.16 apresenta a Função Densidade de Probabilidade a posteriori da taxa da

recuperação na região F, obtida através da análise de variabilidade populacional. As

categorias “De 4 até 14 dias “ e “De 15 dias até 1 mês” apresentam grande dispersão na sua

distribuição aumentando a incerteza sobre a taxa de recuperação.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15


46

Figura 4.17: Função de Distribuição Acumulada a posteriori da taxa de dias de recuperação dos funcionários

da Companhia de geração de energia elétrica na região F.

Através da Figura 4.17 é possível que a categoria “De 0 até 3 dias” possui limites de

incerteza mas estreitos para baixos valores e mas largos para grandes valores. As demais

categorias têm limites de incerteza muito próximos para baixos valores.

Na região F as categorias “Acima de 1 mês até 3 meses” e “Acima de 3 meses” (duas

observações) não possuem dados suficientes para realizar a Análise de variabilidade

populacional, impossibilitando a construção de uma distribuição não paramétrica para a

mesma. Um recurso para solucionar a falta de dados empíricos das categorias mencionadas

acima é a opinião do especialista, desta forma os dados empíricos e a opinião do especialista

são empregadas para realizar a Análise de variabilidade populacional.



47

4.5 Análise de Sensibilidade

Com a análise de sensibilidade é possível avaliar o grau de confiança dos resultados em

situações de decisões incertas ou suposições sobre os dados e resultados usados. A função da

análise de sensibilidade é identificar se a modificação de alguns critérios é suficiente para

modificar os resultados e a interpretação.

São testados diferentes valores para a priori, com intuito de verificar se existe uma

sensibilidade muito grande dessas a priori em relação aos dados. É calculada a taxa dos

percentis (5%, 50% e 95%) dos dados empíricos, onde as mesmas serão estimativas da

mediana da distribuição a priori. Os valores do Fator de Erro (FE) são obtidos pela equação

(2.35) (

) tomando os valores das taxas dos percentis 50% e 95%, onde esses valores

serão estimativas do FE da distribuição a priori. Realizando a análise de sensibilidade com os

diversos valores obtidos será possível observar o quão sensível é a distribuição a posteriori

em relação da distribuição a priori.

É feito uma análise de sensibilidade com 3 distribuição diferentes, assumindo os valores

estimados da taxa de acidentes para os percentis 5%, 50% e 95% para as variáveis “tempo até

o acidente” e “recuperação” nas categorias da região A, pois a mesma possui uma maior

concentração de funcionários do que as demais regiões.

A Tabela 4.9 mostra que se tem um baixo valor para o Fator de Erro para o tempo até o

acidente na região A, com isso pode-se concluir que se em uma boa qualidade das

informações adquiridas para essa região.

Tabela 4.9: Estimativa da taxa de acidente e Fator de Erro para o tempo (dias) até o acidente na região A.

Fator de erro 1.60448

Estimativa da taxa de acidentes 5% 0.0046



48

Figura 4.18: Função Densidade de Probabilidade a posteriori da taxa de acidente para os percentis 5%, 50% e

95% da taxa do tempo (dias) entre acidentes n a região A.

Observa-se que na Figura 4.18 não há grande dispersão dos dados e a distribuição a

posteriori não é tão sensível em relação à distribuição a priori, uma vez que as curvas das

distribuições estão muito próximas uma da outra.

De acordo com a Tabela 4.10 a categoria “De 0 a 3 dias” apresenta um valor, mas

elevado que as demais categorias, este alto valor da pode indicar uma baixa qualidade das

informações para essa categoria.

Tabela 4.10: Estimativa da taxa de acidentes e fator de erro para os dias de recuperação das categorias da

região A

Categorias Estimativa da taxa de acidente

Fator de erro 5% 50% 95%

De 0 a 3 dias 39,216 3,226 0,333 9,677

De 4 até 14 dias 0,25 0,125 0,077 1,625

De 15 dias até 1mês 0,0667 0,0667 0,0415 1,607

Acima de 1 mês até 3 meses 0,029 0,151 0,011 1,315

Acima de 3 meses 0,011 0,008 0,004 1,925

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0,0000000 0,0000500 0,0001000 0,0001500 0,0002000 0,0002500 0,0003000

Taxa de acidentes

fdp 5% fdp 50% fdp 95%

49

Figura 4.19: Função Densidade de Probabilidade a posteriori da taxa de acidentes para os percentis 5%, 50% e

95% da taxa de recuperação nas categorias da região A.

Através da Figura 4.19 é possível observar que as categorias “De 0 a 3 dias” e “Acima

de 1 mês até 3 meses” possuem uma maior dispersão dos dados em relação as demais

categorias, além disso, a sensibilidade da distribuição a posteriori é grande em relação a

distribuição a priori.

De 0 a 3 dias.

De 4 até 14 dias.

De 15 dias até 1mês.

Acima de 1 mês até 3 meses.

Acima de 3 meses.

0

0,5

1

0 5 10 15 20 25



0

0,5

1

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25



0

0,5

1

0,00 0,05 0,10 0,15



0

0,5

1

0 0,02 0,04 0,06



0

0,5

1

0 0,01 0,02 0,03



50

4.6 Processos semi-Markovianos

Nesta seção, a evolução temporal da disponibilidade e indisponibilidade é estimada a

partir do processo semi-Markoviano discutido na Seção 2.2. O uso do processo semi-

Markoviano é utilizado em nosso caso para ter um maior detalhamento das métricas de

Disponibilidade e Indisponibilidade.

A Tabela 4.11 apresenta importantes resultados de Disponibilidade e Indisponibilidade

do funcionário das regiões de atuação da companhia elétrica.

De maneira geral, as 6 regiões analisadas possuem um Tempo Operacional Médio

semelhante, dando-se destaque para a região E, que mostrou possuir o maior desses tempos.

Essa semelhança é confirmada pela análise da Disponibilidade Média, onde os valores se

encontraram entre 97,1% (Região C) e 98,7% (Região E). Analogamente, o Tempo Falho e a

Indisponibilidade – ambos os valores médios, podem ser analisados com a mesma linha de

raciocínio. A região C apresenta o maior valor para o Tempo Falho Médio, Indisponibilidade

Média e Indisponibilidade Instantânea ao Final da Missão.

Tabela 4.11: Métricas de Disponibilidade e Indisponibilidade do funcionário da Companhia

de geração de energia elétrica nas regiões de atuação.

Métrica Região

A B C D E F

Tempo Operacional Médio 355,886 357,185 354,388 358,017 360,303 356,933

Disponibilidade Média 0,975 0,978 0,971 0,981 0,987 0,978

Disponibilidade Instantânea ao Final da Missão 0,968 0,97 0,959 0,97 0,983 0,962

Tempo Falho Médio 9,114 7,815 10,612 6,983 4,697 8,067

Indisponibilidade Média 0,025 0,021 0,029 0,019 0,013 0,022

Indisponibilidade Instantânea ao Final da Missão 0,031 0,03 0,041 0,03 0,017 0,038

Para melhor explorar os resultados obtidos acima, alguns gráficos podem fornecer um

maior detalhamento sobre o comportamento dessas métricas. A Figura XX demonstra o

comportamento das curvas de disponibilidade e indisponibilidade da Região A. Existem

indícios de uma leve perda de disponibilidade ao longo do ano, demonstrando uma alta

capacidade dos trabalhadores em se manterem disponíveis ao serviço. Existem diversos

fatores que contribuem para esse resultado, os quais podem ser melhores explorados pela

companhia.

51

Figura XX: Disponibilidade e Indisponibilidade do trabalhador da região A da Companhia de geração de

energia elétrica em um período de 1 ano.

Figura 4.20: Taxa de visita ao Estado 0 – trabalhador disponível – na região A.

A Figura 4.20 representa um resultado interessante – a taxa de visita do trabalhador ao

estado de disponibilidade. Apesar de apresentar uma baixa taxa, esse resultado é uma

implicação direta da disponibilidade do trabalhador na maior parte do seu tempo. Ou seja, o

fato do trabalhador estar 97,5% (Tabela 4.11) do tempo disponível acarreta em poucas saídas

do estado 0. Consequentemente, isso implica poucas visitas ao mesmo estado, visto sua

permanência nele.

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Ind

isp

on

ibili

dad

e

Dias

95% Média 5%

0,94

0,96

0,98

1

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Dis

po

nib

ilid

ade

Dias

95% Média 5%

0

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0,001

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Fre

qu

ên

cia

Dias

Média Percentil 5% Percentil 50% Percentil 95%

52

Figura 4.21: Taxa de visita aos Estados (1, 2, 3, 4 e 5) em que o funcionário não está apto ao trabalho na

região A.

A Figura 4.21 é um resultado análogo ao anterior, pois demonstra as taxas de visita aos

demais estados. Devido à longa permanência no estado de disponibilidade, é de se esperar

baixas taxas de visitas nos demais estados, o que é comprovado pelos gráficos. É de se

destacar a maior taxa para o Estado 1 – afastamento por até 3 dias, justificado pelo próprio

período de afastamento (período curto).

Figura 4.22: Probabilidade dos Estados (1, 2, 3, 4 e 5) em que o funcionário não está apto ao trabalho na

região A.

0,000156

0,000158

0,000160

0,000162

0,000164

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Fre

qu

ên

cia

Dias

Estado 1 Estado 2 Estado 3 Estado 4 Estado 5

0,000

0,010

0,020

0,030

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Pro

bab

ilid

ade

Dias


53

A Figura 4.22 destaca a probabilidade de o trabalhador estar indisponível por diferentes

períodos de tempo – Estados 1 a 5. Percebe-se que é mais provável o trabalhador se afastar

por mais de 3 meses (Estado 5), o que pode indicar a ocorrência de acidentes de trabalhos

mais graves na companhia. Portanto, a companhia pode trabalhar em campanhas e medidas

com o objetivo de diminuir tais acidentes.

Vale ressaltar que análises semelhantes são feitas para as demais regiões e tais gráficos

estão presentes no Anexo I.

54

5 CONCLUSÃO

A primeira etapa para o desenvolvimento deste trabalho foi mostra definições, motivos

e suas consequências do acidente do trabalho tanto para os funcionários como para a empresa

de forma geral.

Em seguida, foram apresentadas as técnicas para chegar ao modelo hibrido entre o

processo semi-Markoviano e a Análise de variabilidade populacional Bayesiana, onde

também foi apresentada uma breve revisão bibliográfica dos mesmos.

Na continuação do trabalho, são apresentadas as etapas para chegar ao modelo hibrido e

em seguida é realizado um exemplo de aplicação da metodologia em uma Companhia de

energia elétrica. Foi realizado testes de homogeneidade entre as regiões de uma companhia de

energia, onde foi possível verificar que os tempos de recuperação não apresentam variâncias

iguais tanto entre as regiões como dentro de cada uma delas. Neste caso, não é realista

assumir que todos os empregados da região, composta por diferentes subpopulações, possuam

os mesmo parâmetros de confiabilidade para a taxa de recuperação.

Para contornar há não homogeneidade entre as regiões foi utilizada a Análise de

variabilidade populacional Bayesiana que é um procedimento de estimação utilizado para a

quantificação da variabilidade de métricas de confiabilidade num conjunto de subpopulações

de sistemas similares. As distribuições de variabilidade obtidas são usadas como distribuições

a priori em atualizações Bayesianas específicas para um sistema. A Análise de variabilidade

populacional foi utilizada para estimar a Função Densidade de Probabilidade para as taxas de

acidentes e as taxas de recuperações do processo semi-Markoviano, de acordo com as

categorias das regiões. Com o PSM foi possível estimar as métricas de Disponibilidade e

Indisponibilidade: Disponibilidade média, Disponibilidade instantânea ao final da missão,

Tempo falho médio, Indisponibilidade média, Indisponibilidade instantânea ao final da

missão, Tempo operacional médio e a Probabilidade do funcionário não acidentado e

acidentado por acidente de trabalho para o trabalhador das 6 regiões de atuação.

Os resultados obtidos através do hibridismo do PSM e Analise de variabilidade

populacional mostrou que a região C apresenta os maiores valores para o Tempo falho médio,

Indisponibilidade média, Indisponibilidade instantânea ao final da missão, enquanto a região

E apresentou os menores valores para essas métricas. Esses resultados mostraram que a região

E merece uma maior atenção com as politica de segurança para seus funcionários. Além

55

desses resultados, foi apresentado o comportamento da disponibilidade e indisponibilidade do

trabalhador durante um período de 1 ano.

Com essas informações a Companhia de geração de energia elétrica será capaz de

conhecer o comportamento dos funcionários em cada região de atuação e promover novas

políticas de segurança do trabalho para os seus trabalhadores, assim diminuindo os gastos

com despesas médicas, parada das máquinas e redução de rendimento do trabalhador ao voltar

do período de recuperação.

5.1 Limitações e Desafios Futuros

A limitação que se deve ser considera é o fato de algumas regiões possuírem um

número muito pequeno de observações em determinadas categorias que inviabiliza a

realização da Análise de variabilidade populacional, consequentemente impedindo a

estimação da Função densidade de probabilidade da taxa de acidente e recuperação que são

utilizadas no processo semi-Markoviano. Uma provável solução para a falta de observações

em algumas regiões e/ou para uma possível baixa qualidade dos dados é a utilização da

opinião do especialista (Engenheiro, Estatístico e etc.) em conjunto com os dados empíricos,

pois quanto maior for o conhecimento do especialista sobre a probabilidade do acidente

menor será a incerteza sobre sua distribuição de probabilidade.

.

56

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64

ANEXOS

Anexo I – Análise gráfica das métricas de disponibilidade e indisponibilidade

das Regiões B, C, D, E e F.

Figura A1: Indisponibilidade do trabalhador na região B da Companhia de geração de energia elétrica durante

um período de 1 ano.

Figura A2: Disponibilidade do trabalhador na região B da Companhia de geração de energia elétrica durante


0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Ind

isp

on

ibili

dad

e

Dias

95% Média 5%

0,93

0,94

0,95

0,96

0,97

0,98

0,99

1

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Dis

po

nib

ilid

ade

Dias

95% Média 5%

65

Figura A3: Taxa de visita ao Estado (0) em que o funcionário está apto ao trabalho na região B.

Figura A4: Taxa de visita aos Estados (1, 2, 3 e 4) em que o funcionário não está apto ao trabalho na região B.

0

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Fre

qu

ên

cia

Dias

Percentil 95% Média Percentil 50% Percentil 5%

0,000176

0,000178

0,00018

0,000182

0,000184

0,000186

0,000188

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Fre

qu

ên

cia

Dias

Estado 1 Estado 2 Estado 3 Estado 4

66

Figura A5: Probabilidade dos Estados (1, 2, 3 e 4) em que o funcionário não está apto ao trabalho na região B.

Figura A6: Indisponibilidade do trabalhador na região C da Companhia de geração de energia elétrica durante


0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Pro

bab

ilid

ade

Dias

Estado 1 Estado 2 Estado 3 Estado 4

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Ind

isp

on

ibili

dad

e

Dias

95% Média 5%

67

Figura A7: Disponibilidade do trabalhador na região C da Companhia de geração de energia elétrica durante


Figura A8: Taxa de visita ao Estado (0) em que o funcionário está apto ao trabalho na região C.

0,94

0,95

0,96

0,97

0,98

0,99

1

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Dis

po

nib

ilid

ade

Dias

95% Média 5%

0,00000

0,00020

0,00040

0,00060

0,00080

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Fre

qu

ên

cia

Dias


68

Figura A9: Taxa de visita aos Estados (1, 2, 3, 4 e 5) em que o funcionário não está apto ao trabalho na região

C.

Figura A10: Probabilidade dos Estados (1, 2, 3, 4 e 5) em que o funcionário não está apto ao trabalho na

região C.

0,000137

0,000139

0,000141

0,000143

0,000145

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Fre

qu

ên

cia

Dias


0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Pro

bab

ilid

ade

Dias


69

Figura A11: Indisponibilidade do trabalhador na região D da Companhia de geração de energia

elétrica durante um período de 1 ano.

Figura A12: Disponibilidade do trabalhador na região D da Companhia de geração de energia elétrica durante


0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Ind

isp

on

ibili

dad

e

Dias

95% Média 5%

0,88

0,9

0,92

0,94

0,96

0,98

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Dis

po

nib

ilid

ade

Dias

95% Média 5%

70

Figura A13: Taxa de visita ao Estado (0) em que o funcionário está apto ao trabalho na região D.

Figura A14: Taxa de visita aos Estados (1, 2 e 3) em que o funcionário não está apto ao trabalho na região D.

0

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0,001

0,0012

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Fre

qu

ên

cia

Dias


0,000234

0,000237

0,00024

0,000243

0,000246

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Fre

qu

ên

cia

Dias

Estado 1 Estado 2 Estado 3

71

Figura A15: Probabilidade dos Estados (1, 2, 3, 4 e 5) em que o funcionário não está apto ao trabalho na

região D.

Figura A16: Indisponibilidade do trabalhador na região E da Companhia de geração de energia elétrica

durante um período de 1 ano.

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Pro

bab

ilid

ade

Dias


0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Ind

isp

on

ibili

dad

e

Dias

95% Média 5%

72

Figura A17: Disponibilidade do trabalhador na região E da Companhia de geração de energia elétrica durante


Figura A18: Taxa de visita ao Estado (0) em que o funcionário está apto ao trabalho na região E.

0,93

0,94

0,95

0,96

0,97

0,98

0,99

1

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Dis

po

nib

ilid

ade

Dias

95% Média 5%

0

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Fre

qu

ên

cia

Dias


73

Figura A19: Taxa de visita aos Estados (1, 2, e 3) em que o funcionário não está apto ao trabalho na região E.

Figura A20: Probabilidade dos Estados (1, 2, e 3) em que o funcionário não está apto ao trabalho na região E.

0,0002

0,0002008

0,0002016

0,0002024

0,0002032

0,000204

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Fre

qu

ên

cia

Dias


0

0,004

0,008

0,012

0,016

0,02

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Pro

bab

ilid

ade


74

Figura A21: Indisponibilidade do trabalhador na região F da Companhia de geração de energia elétrica

durante um período de 1 ano.

Figura A22: Disponibilidade do trabalhador na região F da Companhia de geração de energia elétrica durante


0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Ind

isp

on

ibili

dad

e

Dias

95% Média 5%

0,88

0,9

0,92

0,94

0,96

0,98

1

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Dis

po

nib

ilid

ade

Dias

Média 5% 95%

75

Figura A23: Taxa de visita ao Estado (0) em que o funcionário está apto ao trabalho na região F.

Figura A24: Taxa de visita aos Estados (1, 2, e 3) em que o funcionário não está apto ao trabalho na região F.

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Fre

qu

ên

cia

Dias


0,000158

0,00016

0,000162

0,000164

0,000166

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Fre

qu

ên

cia

Dias


76

Figura A25: Probabilidade dos Estados (1, 2, e 3) em que o funcionário não está apto ao trabalho na região F.

0

0,004

0,008

0,012

0,016

0,02

0,024

0,028

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

Pro

bab

ilid

ade

Dias


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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO · 2019. 10. 25. · diversos tipos de acidentes do trabalho com diferentes tempos de recuperação e taxas de falhas. Diante deste contexto, será