Universidade Federal de São Paulo Instituto de Ciência e ... · Dinâmica do MHS (Condições Iniciais) Useas“condiçõesiniciais”paradeterminarafase φ! Suponhaquefoiditoque

Oscilações

1. Movimento Oscilatório2. Cinemática do Movimento Harmônico Simples (MHS)3. MHS e Movimento Circular Uniforme4. Força e Energia do MHS5. Exemplos6. Exercícios

Universidade Federal de São PauloInstituto de Ciência e TecnologiaBacharelado em Ciência e Tecnologia

2

Movimento Oscilatório

� Cordas vocais

� Diapasão

� Instrumentos de cordas

� Ondas na água

� Ondas sonoras

� Ondas em cordas

“Variações temporais” “Variações espaciais”

Vibrações Ondase

3

Movimento Oscilatório

� Hélice na água

� Asas de abelha

� Elétrons em uma lâmpada

� Ondas na água

� Ondas sonoras

� Ondas de luz

“Variações temporais” “Variações espaciais”

Vibrações Ondase

4

Movimento Harmônico Simples

Movimento oscilatório que se repete periodicamente.Resulta em ondas senoidais.

Exemplos:• Massa em uma mola• Pêndulo

5

Uma massa vibrante conectada a uma mola é deslocada da

posição de equilíbrio, e depois solta.

O deslocamento máximo é chamado amplitude da vibração.

Um ciclo é uma vibração completa.

O período é o tempo necessário para completar um ciclo

completo.

A frequência é a conta de quantos ciclos o sistema

completa em 1 s.


6


7


O gráfico de um Movimento Harmônico Simples (MHS)é descrito por uma curva senoidal.

8


9


10


Quando o corpo é deslocado de uma distância x a partirde sua posição de equilíbrio, a mola exerce sobre umaforça -kx, dada pela lei de Hooke.

xF kx= −

onde k é a constante de força da mola, uma medida desua rigidez.

O sinal negativo indica que a força é uma forçarestauradora, isto é, ela tem o sentido oposto ao dodeslocamento a partir da posição de equilíbrio.

11

Condições para o Movimento Harmônico Simples:

No movimento harmônico simples, a aceleração, e

portanto, também a força resultante, são ambas

proporcionais e opostas ao deslocamento a partir da

posição de equilíbrio.


12

O tempo que leva para um objeto deslocado executar um

ciclo completo de movimento oscilatório – de um extremo

ao outro e de volta ao anterior – é chamado de período T.O inverso do período é a frequência f, que é o número deciclos por unidade de tempo:


1f

T=

13


Unidade de Frequência:

A unidade de frequência é o ciclo por segundo (ciclo/s),

chamado de hertz (Hz).

Exemplo:

Se o tempo para um ciclo completo de oscilações é 0,25 s,

a frequência é 4,0 Hz.

14


Posição no Movimento Harmônico Simples:

A figura abaixo mostra como podemos, experimentalmente,

obter x versus t para uma massa presa a uma mola. A

equação geral para esta curva é

cos( )x A tω δ= +

onde A, ω e δ são constantesO deslocamento máximo xmáx do equilíbrio é chamado deamplitude A.

15


O argumento da função cosseno, ωωωωt+δδδδ, é a fase do

movimento, e a constante δδδδ é a constante de fase, que é

igual à fase em t=0.

Nota que:

cos( ) sen( 2),t tω δ ω δ π+ = + +

assim, expressar a equação como uma função cosseno ou

como uma função seno depende simplesmente da fase da

oscilação em t=0.

16


Podemos mostrar que:

2

2

x

x

kx ma

ou

k d x ka x ou x

m dt m

− =

= − = −

É solução de:

cos( )x A tω δ= +

Velocidade no Movimento Harmônico Simples

17


A primeira derivada de x dá a velocidade vx

( )senx

dxv A t

dtω ω δ= = − +

Aceleração no Movimento Harmônico Simples

Derivando a velocidade em relação ao tempo temos a

aceleração:

( )2

2

2cosx

d xa A t

dtω ω δ= = − +

18


Substituindo ( )senA tω δ+

A frequência angular:

por x fica 2

2

2x

d xa x

dtω= = −

k

mω =

19


A frequência se relaciona com a frequência angular da

forma1

2 2 fT

ω π π= =

Como ,k mω =

a frequência e o período de um corpo preso a uma mola se

relaciona com a constante de força k e a massa m da forma

1 1

2

kf

T mπ= =

20


A frequência aumenta com o aumento de k (rigidez da

mola) e diminui com o aumento da massa m.

A Equação para frequência fornece uma maneira de se

medir a massa inercial de um astronauta em um ambiente

“sem gravidade”.

A frequência (e, portanto, também o período) do

movimento harmônico simples (MHS) é independente da

amplitude.

21

Dinâmica do MHS (Resumo)

Sabemos que em todo instante F = ma deve ser válido.

Mas neste caso F = -kx

Portanto: -kx = ma =

e ma =2

2

d xm

dt2

2

d xm

dt

2

2

d x kx

dt m= − Equação diferencial para x(t) !

22

Dinâmica do MHS (Resumo)2

2

d x kx

dt m= −

22

2

d xx

dtω= −

k

mω =

Tentemos a solução

( )sindx

v A tdt

ω ω= = −

( )2

2 2

2cos

d xa A t x

dtω ω ω= = − = −

definamos

( )cosx A tω=

23

Dinâmica do MHS (Resumo)

Posição: x(t) = A cos(ωt + δ)

Velocidade: v(t) = -ωA sin(ωt + δ)

Aceleração: a(t) = -ω2A cos(ωt + δ)

Considerando as derivadas, pois:

( )( )

dv ta t

dt=

( )( )

dx tv t

dt=

xMAX = A

vMAX = ωA

aMAX = ω2A

24

Dinâmica do MHS (Condições Iniciais)Use as “condições iniciais” para determinar a fase φ!Suponha que foi dito que x(0) = 0 , e que xinicialmente aumenta (i.e. v(0) = positiva):

x(0) = 0 = A cos(φ) φ = π/2 ou -π/2

v(0) > 0 = -ωA sin(φ) φ < 0

x(t) = A cos(ωωωωt + φφφφ)

v(t) = -ωωωωA sen(ωωωωt + φφφφ)

a(t) = -ωωωω2A cos(ωωωωt + φφφφ)

φφφφ = -ππππ/2Portantoππππ 2π2π2π2π

sincos

θθθθ

25

Dinâmica do MHS (Condições Iniciais)

x(t) = A cos(ωt - π/2 )

v(t) = -ωA sin(ωt - π/2 )

a(t) = -ω2A cos(ωt - π/2 )

Encontramos portanto φφφφ = -ππππ/2 !

x(t) = A sin(ωωωωt)

v(t) = ωωωωA cos(ωωωωt)

a(t) = -ωωωω2A sin(ωωωωt)

ππππ 2π2π2π2πωωωωt

x(t)A

-A

26

Solução do MHS

( )cosy A tω φ= +

27

Solução do MHS

cos2

y A tπ

ω

= −

( )seny A tω=

28

Resumo do MHSA solução mais geral é x = A cos(ωt + φ)onde A = amplitude

ω = frequência angular

φ = fase

Para uma massa em uma mola:

A frequência não depende da amplitude!!

Isso na realidade é geral para qualquer MHS !

A oscilação ocorre ao redor do ponto de equilíbrio, onde a

força resultante é nula!

k

mω =

29

Solução do MHS

� Mostramos que (que vem de F = ma) tem solução

� Essa não é a única solução, entretanto, também é uma solução.

� A solução mais geral é uma combinação linear dessas duas possíveissoluções:

22

2

d xx

dtω= −

( )cosx A tω=

( )senx A tω=

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )2

2 2 2

2

sen cos

cos sin

sin cos

x B t C t

dxB t C t

dt

d xB t C t x

dt

ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

= +

= −

= − − = −

30

Derivação

( ) ( ) ( )cos e equivalente a sen cosx A t x B t C tω φ ω ω= + = +

Queremos usar a solução mais geral. Vamos mostrar que:

( )

( ) ( )

( ) ( )

cos

cos cos sen sen

cos sen

x A t

A t A t

C t B t

ω φ

ω φ ω φ

ω ω

= +

= −

= +

onde cos e - senC A B Aφ φ= =

Funciona!

Assim, podemos usar como a solução mais geral!

( )cosx A tω φ= +

31


Exercício 1:

Você está sentado na prancha de surfe, que sobe e desce

ao flutuar sobre algumas ondas. O deslocamento vertical

da prancha y é dado por

( )1

1,2 cos2,0 6

y m ts

π = +

a) Determine a amplitude, a frequência, a frequência

angular, a constante de fase, a frequência e o período do

movimento.

32


b) Onde está a prancha, em t=1,0 s?

c) Determine a velocidade e a aceleração, como funções

do tempo t.

d) Determine os valores iniciais da posição, da velocidade

e da aceleração da prancha.

33


Exercício 2:

Um corpo oscila com uma frequência angular w=8,0 rad/s.

Em t=0, o corpo está em x=4,0 cm com uma velocidade

inicial vx=-25 cm/s.

a) Determine a amplitude e a constante de fase do

movimento.

b) Escreva x como função do tempo.

34

Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular

Existe uma relação entre o movimento harmônico simples eo movimento circular de rapidez constante.Considere uma partícula se movendo com rapidezconstante v em um círculo de raio A.

35


Seu deslocamento angular em relação à orientação +x édado por.

tθ ω δ= +

onde representa o deslocamento angular no tempo 0 e

representa a rapidez angular da particula.

vt

Aδ ω= =

A componente x da posição da partícula é.

( )

cos

cos

x A

x A t

θ

ω θ

=

= +

Que é a mesma equação

para o MHS.

36


Quando uma partícula se move com rapidez constante emum círculo, sua projeção sobre um diâmetro do círculodescreve um movimento harmônico simples (MHS).

A rapidez de uma partícula que se move em um círculo édada por.

v rω=

onde representa o raio da trajetoria da particula.r

Para uma partícula em movimento circular.

r A= v Aω=

37


A projeção do vetor velocidade sobre o eixo x é:

senxv v θ= −

que é a mesma equação para o MHS.

Substituindo v e θ, temos:

( )

sen

sen

x

x

v v

v A t

θ

ω ω δ

= −

= − +

A relação entre o movimento circular e o movimentoharmônico simples é mostrada de forma muito bonitapela trilha de bolhas produzida por uma hélice de barco.

38


cosx

Aθ = cosx A θ=

tθ ω=

cosx A tω= 2 fω π=

cos 2x A ftπ= 2cos

tx A

T

π=

A

θ

x

2 2-A x

x

y v0

v

θ

z

v

xA

x

zy

ω: velocidade angular

ou

0 0 0

2sin sin 2 sin

tv v v ft v

T

πθ π= − = − = −

0 cos2F

a a ftm

π= = −

39


Como relacionar o MHS com o MCU?

x

y

-1

1

0 θθθθ

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

2

π π

( )cos cosy R R tθ ω= =

2π

40

Força Elástica e Energia PotencialSeja um corpo distante x do equilíbrio, sob a ação da forçarestauradora

F kx= −

Configuração de referência: x0 = 0

0

( ) 0 ( )

x

U x k xdx= − −∫Ou:

2

2

1)( kxxU ====

41

Energia no MHSPara o movimento harmônico simples

( )2 21cos

2U kA tω δ= +

A Energia Cinética do sistema é

21

2K mv=

( )cosx A tω δ= +

Energia Potencial no MHS

onde m é a massa do corpo e v é sua rapidez. Para omovimento harmônico simples,

( )senxv A tω ω δ= − +

42

Energia no MHSSubstituindo, fica

( )2 2 21sen

2K m A tω ω δ= +

Energia Cinética no MHS

Usando2 k

mω =

( )2 21sen

2K kA tω δ= +

43

Energia no MHSA Energia Mecânica Total E é a soma das energiaspotencial e cinética

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2

1 1cos sen

2 2

1cos sen

2

E U K kA t kA t

kA t t

ω δ ω δ

ω δ ω δ

= + = + + +

= + + +

( ) ( )2 2cos sen 1t tω δ ω δ+ + + =

Como

44

Energia no MHS

Energia Mecânica total no MHS21

2E U K kA= + =

A Energia Mecânica total no movimento harmônico simplesé proporcional ao quadrado da amplitude.

45

Energia no MHS

� Tanto para a mola quanto para o pêndulo, pode-se

derivar a equação do MHS usando a conservação de

energia.

� A energia total (K + U) do sistema em MHS será

sempre constante.

� Isso não deveria ser uma surpresa, pois somente há

forças conservativas presentes, e portanto a energia

total K+U é conservada.

46

Conservação da Energia Mecânica no MHS

2 2 21 1 1

2 2 2E mv kx E kA= + ⇒ =

47

Conservação da Energia Mecânica no MHSA Figura abaixo mostram os gráficos de U e de K em

função do tempo. Estas curvas possuem o mesmo perfil,

exceto que uma é zero quando a outra é máxima.

Seus valores médios, sobre um ou mais ciclos, são iguais e,

porque U + K = E, seus valores médios são dados por

1

2med med

U K E= =

48

Conservação da Energia Mecânica no MHS

49

Exercícios

Exercício 1. Um corpo de 3,0 kg, preso a uma mola, oscila

com uma amplitude de 4,0 cm e um período de 2,0 s.

(a) Qual é a energia total?

(b) Qual é a rapidez máxima do corpo?

(c) Em qual posição x1 a rapidez do corpo é a metade de seu

valor máximo?

50

Exercícios

Exercício 2. Energia e momento linear no MHS Um bloco

de massa M preso a uma mola de constante k descreve um

movimento harmônico simples horizontal com uma

amplitude A1. No instante em que o bloco passa pela

posição de equilíbrio, um pedaço de massa de vidraceiro de

massa m cai verticalmente sobre o bloco de uma pequena

altura e gruda no bloco.

51

Exercícios

(a) Calcule a nova amplitude e o período.

52

Exercícios

(b) Repita a parte (a) supondo que a massa caia sobre o

bloco no momento em que ele está na extremidade de sua

trajetória.

53

Exercícios

Solução:

(a) O problema envolve o momento em uma dada posição e

não em dado instante, logo podemos usar o método da

energia. Antes de a massa cair sobre o bloco, a energia

mecânica da mola e do bloco oscilantes era constante.

Quando a massa gruda no bloco, a colisão é completamente

inelástica; existe conservação do componente x do

momento linear, porém a energia mecânica diminui.

54

Exercícios

Solução:

Depois que a colisão termina, a energia mecânica passa a

ser novamente constante com um novo valor menor do que

antes da colisão. Vamos examinar estes três estágios –

antes, durante e depois da colisão.

Antes da colisão a energia mecânica total da mola e do

bloco é dada por

2

1 1

1

2E kA=

55

Exercícios

Solução:

Como o bloco está na posição de equilíbrio, U = 0, logo a

energia é puramente cinética.

2 2

1 1 1

1 1

2 2E Mv kA= =

Designando por v1 a velocidade do bloco na posição de

equilíbrio, obtemos

logo1 1

kv A

M=

56

Exercícios

Solução:

Durante a colisão existe conservação do componente x do

momento linear do sistema massa e bloco. (Por quê?)Imediatamente antes da colisão este momento linear é

dado pela soma de Mv1 (para o bloco) e zero (para a

massa).

Imediatamente depois da colisão, o bloco e a massa se

movem juntos com velocidade v2 e o momento linear deste

conjunto é dado por

57

Exercícios

Solução:

Pela lei da conservação do momento linear, obtemos

( ) 2M m v+

( )1 20Mv M m v+ = + logo2 1

Mv v

M m=

+

A colisão dura um intervalo de tempo muito pequeno, de

modo que imediatamente depois da colisão o bloco e a

massa se encontram ainda na posição equilíbrio.

58

Exercícios

Solução:

A energia ainda é puramente cinética, porém é menor doque a energia cinética antes da colisão:

( )2

2 2 2

2 2 1 1

1

1 1 1

2 2 2

M ME M m v v Mv

M m M m

ME

M m

= + = =

+ +

=

+

59

Exercícios

Solução:

(A energia cinética perdida é usada para elevar a

temperatura da massa e do bloco). Como

2

2 2

1

2E kA= onde A2 é a amplitude depois da colisão, temos

2 2

2 1 2 1

2 1

1 1

2 2

M ME E kA kA

M m M m

MA A

M m

= ⇒ =

+ +

=+

60

Exercícios

Solução:

Quanto maior for o valor de m da massa do vidraceiro,

menor será a amplitude da oscilação. O cálculo do período

da oscilação depois da colisão é dado por:

2 2M m

Tk

π+

=

Quando a massa do vidraceiro cai sobre o bloco que oscila

no momento em que ele passa pela posição de equilíbrio, o

período se torna mais longo e a amplitude se torno menor.

61

Exercícios

Solução:

(b) Neste caso, quando a massa do vidraceiro cai sobre o

bloco, ele está instantaneamente em repouso; todo energia

mecânica é armazenada na mola como energia potencial.

Novamente durante a colisão existe conservação do

componente x do momento linear do sistema massa e

bloco, porém agora este componente é igual a zero antes e

depois da colisão.

62

Exercícios

Solução:

O bloco possuía energia cinética zero imediatamente antes

da colisão; a massa e o bloco devem possuir energia

cinética zero imediatamente depois da colisão.

Logo, neste caso a soma da massa extra da massa do

vidraceiro não possui nenhum efeito sobre a energia

mecânica. Ou seja,

63

Exercícios

Solução:

e a amplitude continua sendo dada por A1. Contudo, operíodo ainda varia quando a massa é grudada no bloco; o

seu valor não depende do modo pelo qual a massa é

adicionada ao sistema, apenas depende do valor da massa

total.

2

2 1 1

1

2E E kA= =

64

Exercícios

Solução:

Logo, T2 é igual ao obtido na parte (a),

2 2M m

Tk

π+

=

Quando a massa do vidraceiro é adicionada deste modo

não ocorre nenhuma variação na amplitude, mas o período

se torna mais longo.

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