TEXTO DE REVISO de Movimento Harmnico Simples - MHS Caro aluno (a) : No livro texto (Halliday) o cap.16 Oscilaes introduz alguns conceitos muito importantes, que sero retomados ao longo dos captulos 17 e 18 (ondulatria). fundamental que o aluno consiga compreender os enunciados que envolvam cdigos e smbolos fsicos. Assim, como se expressar corretamente utilizando a linguagem fsica e os seus smbolos de forma adequada. Este texto de reviso um texto introdutrio, talvez a melhor forma de abord-lo seja sugerir que ele seja lido individualmente e, depois verificar a compreenso do contedo fazendo uma auto-avaliao atravs dos testes e exerccios propostos. Fazer esta reviso uma atitude prudente e sensata, mas de modo especial esta reviso deve ser feita por aqueles que sentem dificuldade de base neste tema. Boa Sorte! Ondulatria e Movimento Harmnico Simples (MHS) 1 - Movimento Harmnico Simples (MHS): Todo movimento harmnico simples (MHS) peridico e oscilatrio. O termo harmnico provm do fato de que suas funes horrias so senoidais que na Trigonometria so denominadas funes harmnicas. (No movimento harmnico temos tambm as funes horrias co-senoidais). 1.1 - Movimento Peridico: Todo movimento onde uma mesma situao se repete em intervalos de tempo iguais. No movimento peridico, definem-se: a) Perodo (T): o menor intervalo de tempo para a repetio do fenmeno. b) Freqncia (f): o nmero de vezes que a mesma situao repetida por unidade de tempo.

Sabe-se que: f . T = 1 T = 1/f ou f = 1/T 1.2 - Movimento Oscilatrio (ou Vibratrio): Todo movimento de vaivm realizado simetricamente em torno de um ponto de equilbrio. O ponto de equilbrio (0) corresponde ao ponto de oscilao ou vibrao nula. Um pndulo simples oscilando ou uma barra rgido vibrando, como nas figuras seguintes representam esse movimento.

Atravs do pndulo simples, estudam-se alguns conceitos bsicos para o entendimento do MHS. 1.3 - Pndulo Simples: Dispositivo constitudo por uma partcula pesada, suspensa por um fio ideal de comprimento L (fig 1). Num determinado local, desprezadas as foras dissipativas (como a resistncia do ar), o corpo pendular, quando devidamente movimentado, oscila simetricamente em torno da posio 0 de equilbrio, tendo como extremos os pontos A e B (figura 2).

O movimento pendular peridico. O ngulo denominado amplitude do pndulo. Esse ngulo formado pelo alongamento mximo do fio com a vertical que passa pelo ponto de suspenso. Para pequenas amplitudes ( 50), o perodo de oscilao expresso por:

gl2T =

ATENO: O perodo de um pndulo simples: s depende do comprimento do fio e da acelerao da gravidade local; no depende da massa pendular; iscrono, isto , o perodo no depende da amplitude.

EXEMPLO: Um pndulo simples, de comprimento 90cm, realiza pequenas oscilaes num local onde g = 10m/s2. Determine o perodo e a freqncia das oscilaes. Resoluo: l = 90cm = 0,9m g = 10 m/s2

s88,1T10

9,02Tgl2 =Aplicando-se frmula do perodo do pndulo simples: T =

Como f = 1 1

1880 53

Tf f

,, Hz

Exerccio de aprendizagem: Um pndulo simples oscila num plano vertical com pequena amplitude. a) Do que depende o tempo decorrido numa oscilao? b) Se o pndulo fosse quatro vezes mais comprido, o perodo seria maior ou menor? Quantas vezes? 2 - Oscilador Harmnico: Didaticamente, estuda-se uma partcula realizando um MHS no oscilador harmnico. Um oscilador harmnico consiste numa partcula de massa m presa a uma mola ideal de constante elstica K. Na figura, o conjunto est sobre um plano horizontal sem atrito, com a partcula na posio 0 de equilbrio, isto , a mola est no seu estado natural.

Aplicando-se uma fora externa sobre o corpo, no sentido de esticar ou comprimir a mola, e soltando-o, o mesmo comea a executar um MHS de perodo T. Supondo-se que no haja foras dissipativas, o valor x do deslocamento efetuado chamado de amplitude (a) do MHS. A trajetria retilnea do corpo orientada, e o ponto 0, de equilbrio, a sua origem. Portanto, pode-se ter x = +a (ponto A) com a mola

esticada e x = -a (ponto B) com a mola comprimida. A fora aplicada , a cada instante, igual em valor

absoluto, fora elstica

F

F

F

el , expressa por:

Fel = -Kx (Lei de Hooke) O sinal menos significa que a fora elstica restauradora, ou seja, est sempre orientada para a posio 0 de equilbrio.

Nota-se que, na posio de equilbrio (x = 0), a fora elstica nula e, nos extremos A e B, assume o valor mximo em mdulo.

Como F Fel = :

F = - Fel (F = m . a , da 2a. lei de Newton)

m . a = -K . x a = k xm

Acelerao escalar instantnea de uma partcula em MHS, na posio x.

Sendo T o perodo do MHS e comeando-se a contar o tempo (t = 0) a partir do ponto extremo B, as figuras seguintes representam as posies da partcula a cada um quarto de perodo, at complet-lo.

{t = 0 x = -a (v = 0)

tT= 4 x = 0 (v > 0)

tT= 2 x = a (v = 0)

tT=

34

x = 0 (v < 0)

{t = T x = -a (v = 0) Nos pontos extremos, a velocidade nula, pois a partcula est mudando de sentido e, na posio de equilbrio, a velocidade mxima em valor absoluto. 3 - Energia Mecnica: Dado um sistema mola partcula, pela Conservao da Energia, sabe que a energia mecnica total a soma das energias cintica (Ec) e potencial (Epel), ou seja: E = Ec + Epel

onde : Ec = mv 2

2 - a expresso da energia cintica, que est relacionada a corpos em movimento;

Epel = K x 2

2 - a expresso da energia potencial elstica, que est relacionada posio de um corpo.

A seguir ilustramos uma partcula de massa m presa a uma mola de constante elstica K, realizando um MHS, de amplitude a, com extremos A e B. O ponto C um ponto intermedirio qualquer.

Quando a partcula estiver: a) num dos pontos extremos A ou B: x = a e v = 0

Ento: ( )E

Ek x k a k a

c

pel

== = =

0

2 2

2 2 2

2

Portanto: E = 0 + k a

Ek a

2 2

2 2 Quanto maior a energia mecnica total cedida ao sistema, maior

a amplitude do MHS. b) no ponto 0 de equilbrio: x = 0 e v = Vmx Ento:

( )

Portanto: E = m Vmax 2

2 + 0 E = m Vmax

2

2

=

===0E

2Vm

2Vm

2vmE

pel

2max

2max

2

c

Quanto maior a energia total cedida ao sistema, maior a velocidade mxima. c) num ponto C qualquer:

Ento: E

m v

Ek x

c

pel

=

=

2

22

2

Portanto: E = m v 2

2 +

k x 22

Expresso geral da energia mecnica total do sistema. Dessa maneira, o diagrama das energias em funo da abscissa x, fica assim:

Aplicao: A figura ilustra uma partcula de massa m = 0,5kg, oscilando em torno da posio 0, com MHS. Desprezando as foras dissipativas e sendo k = 200 N/m a constante elstica da mola, determine:

a) a energia mecnica total do sistema; b) a velocidade da partcula, ao passar pela posio de equilbrio; c) a velocidade da partcula, no instante em que ela passa pela posio x = + 10cm. Resoluo: m = 0,5kg k = 200 N/m a) Pela figura, a amplitude do MHS vale: a = 20cm = 0,2m. A energia mecnica total, quando a partcula estiver nos extremos, expressa por:

E = ( )k a

E =

2 2

2200 0 2

2,

E = 4J

b) A energia mecnica total do sistema, quando a partcula estiver passando pelo ponto 0 de equilbrio, expressa por:

E = m Vmax 2

2 Logo: 4 =

0 52

2, Vmax Vmx = 4m/s O sinal mais significa que a partcula est-se movendo no sentido da orientao do eixo x e o sinal menos, o contrrio. c) Pela expresso geral da energia mecnica total do sistema, tem-se:

E = m v k x +

2 2

2 2, onde x = 10cm = 0,1m

4 = ( )0 5

2200 0 1

2

2 2, , +V v2 = 12 v 3,46 m/s

Exerccio de aprendizagem: Uma partcula oscila em MHS, presa extremidade de uma mola cuja constante elstica vale 5,0 N/m. A amplitude do movimento de 10 cm. Determine: a) a energia mecnica da partcula; b) a energia potencial e cintica quando a partcula passar pela posio dada pela elongao x = 2,0 cm. a) 2,5 . 10-2 J b) EP = 1,0 . 10-3 J Ec = 2,4 . 10-2 J 4 - Relao com MCU: O movimento harmnico simples (MHS) est relacionado com o movimento circular uniforme (MCU) da seguinte forma: Enquanto uma partcula efetua um MCU no sentido anti-horrio de uma circunferncia de raio R, confundida com o crculo trigonomtrico, a sua projeo perpendicular no eixo dos co-senos executa um MHS simultneo.

Na figura seguinte, observe-se que, num determinado instante t, estando a partcula num posto P da

trajetria circular, as projees ortogonais do vetor raio R

, vetor velocidade e vetor acelerao

centrpeta do MCU correspondem, nesse mesmo instante, respectivamente, posio

vc

acp

x

, velocidade

v

, e acelerao da partcula projetada, que efetua um MHS no eixo dos co-senos (que coincide com o eixo x).

Assim, quando a partcula, em MCU, estiver passando pelos pontos A e B os vetores raio R

e acelerao

centrpeta estaro projetados em verdadeira grandeza (tamanho real) e o vetor ser um ponto. acp

vc

Da, conclui-se que: R = Xmax = a acp = mx extremos MHS v = 0

Mas quando a partcula, em MCU, estiver passando pelos pontos C e D, o vetor que estar

projetado em verdadeira grandeza, enquanto os vetores

vc

R

e ter~ao projees nulas. Portanto: acp

vc = v = vmx x = 0 posio de equilbrio do MHS = 0 11.5 - Funes Horrias:

As funes horrias dos alongamentos x = f (t), da velocidades v = f (t) e das aceleraes = f (t) do MHS sero mostradas a seguir, de acordo com os conceitos do segmento anterior e mais a teoria do MCU, cujas principais expresses so:

= 2T

(velocidade angular)

acp = 2 . R (acelerao centrpeta) = 0 + . t (funo horria do espao angular) vc = . R (velocidade linear) Sendo P a partcula em MCU, a sua projeo ortongonal P, no eixo x, estar em MHS. Num instante t qualquer, tem-se: a) FUNO HORRIA DO ALONGAMENTO (OU POSIO OU ELONGAO)

No tringulo sombreado:

cos = xr

ou x = r cos ; e como R = a = 0 + t x(t) = a cos (t + 0) x = f (t) do MHS b) FUNO HORRIA DA VELOCIDADE: No tringulo sombreado:

sen = vvc

; sinal de v negativo, pois na figura

o movimento do corpo retrgado. Assim: v = -vc sen ; como vc = R, tem-se: v = -R sen , onde R = a = 0 + t ou v = - . a . sem (t + 0) v = f (t) do MHS c) FUNO HORRIA DA ACELERAO: No tringulo sombreado:

cos = acp

; o sinal de negativo, pois na figura o valor algbrico da velocidade est diminuindo. Ento: = -acp . cos ; como acp = 2R obtm-se: = -2R cos , onde R = a = 0 + t Logo: = -2 . a . cos (t + 0) ou = -2 . x pois x = a . cos (t + 0) = f (t) do MHS

OBS: No MHS, as grandezas do MCU tm outras, apesar de conservarem as mesmas unidades. Assim: 0 {no MCU o ngulo inicial} unidade: rad (radiano) {no MHS a fase inicial } = 2

T {no MCU a velocidade angular} unidade: rad/s {no MHS a pulsao}

Aplicao: Uma partcula realiza um MHS de funo x = 10 . cos 4 2

+t unidade CGS.

Determine: a) a amplitude, a pulsao e a fase inicial; b) o perodo e a freqncia do movimento.

Resoluo: a) Para se determinar as grandezas pedidas, basta comparar a funo numricas dada com a funo genrica.

Funo numrica: x =10 cos 4 2

+t

x = a cos ( . t + 0)

Assim: a = 10cm = 4

rad/s 0 = 2

rad

b) Como = 2T

: T = 2 =

2

4

T = 8s; e f =

1 18T

= f = 0,125 Hz

Exerccio de aprendizagem:

Uma partcula realiza um MHS de funo x = 10 cos 2

+t , no sistema CGS. Determinar:

a) a amplitude, a pulsao e a fase inicial b) o perodo e a freqncia do movimento. R: a) a = 10 cm = /2 nd/s = rad b) T = 4s f = 0,25 Hz 11.6 - Perodo (T) e Constante Elstica (k): O perodo de um MHS o menor tempo necessrio para a partcula completar um ciclo (uma volta). Como no movimento do pndulo simples, o perodo do MHS no depende da amplitude a; depende apenas da massa da partcula e da constante elstica (K) da mola. As duas expresses da acelerao instantnea do MHS, so:

= k xm.

(I) e = - 2 . x (II)

Igualando-se (I) e (II), tem-se: k xm.

= 2 . x k = m . 2 constante elstica

E ainda: km

km

= 2 (em mdulo) 2

2

T

km

Tmk

=

= (perodo)

Obs.: s vezes um corpo pode executar um MHS associado a duas (ou mais) molas. Sendo k1 e k2, as constantes elsticas das molas, estas podem estar associadas em srie ou em paralelo.

a) Associao em srie:

Demonstra-se que a mola equivalente, neste caso, tem constante elstica ke expressa por:

1 1 1

1 2k k ke= +

b) Associao em paralelo:

Demonstra-se que a mola equivalente, neste caso, tem constante elstica ke expressa por:

ke = k1 + k2 Qualquer que seja o tipo de associao, o perodo de oscilao do MHS dado por:

T = 2 mke

Aplicao: Determine o perodo de oscilao de um corpo de massa 200g preso a uma mola de constante elstica 320 N/m, cujo MHS tem amplitude 20cm. Caso a amplitude se reduza metade, o que ocorre com o perodo?

s20

T402

160012

3202,02T

km2T

====

=Aplicando-se a frmula do perodo do MHS:

Mesmo que a amplitude se altere, nada ocorre com o perodo, pois ele no depende da amplitude. Aplicao 2: As constantes elsticas das molas 1 e 2 ligadas conforme a figura valem, respectivamente, 20 N/m e 80 N/m. A massa do corpo suspenso na extremidade da mola 2 vale 1Kg. Calcule: a) a constante ao sistema da mola equivalente ao sistema; b) o perodo das oscilaes realizadas pelo sistema; c) o alongamento total do sistema devido ao peso do corpo. Admita g = 10 m/s2. Resoluo: k1 = 20N/m k2 = 80N/m m = 1Kg

16N/m=+=+

=+= ke80208020

kkkk

kk1

k1

k1

21

21e

21ea) Como as molas esto associadas em srie:

s2

T1612T ==

ekmT =b) Aplicando-se a frmula do perodo:

c) sem o corpo com o corpo

Pela Lei de Hooke para as deformaes elsticas (em valor absoluto): Fel = k . x Como no equilbrio: Fel = P = mg, vem: mg = k x

. 10 = 16 . x x = 0,625m = 62,5cm

xerccios de Fixao:

e 1

E

) (UFMG) Numa regio onde a acelerao da gravidade g, o perodo t de um pndulo simples de

) (Fusvest-SP) A figura ilustra um pndulo formado por um fio e por uma esfera oca, cheia de areia, com

3) Calcular o perodo de oscilao de um pndulo simples de comprimento igual a 1,6m, executando

) (Fuvest-SP) Considere trs pndulos, figura:

s massas de A e B so iguais a 1Kg e a massa de C igual a

) os trs pndulos possuem a mesma freqncia. ndulos A e C.

ias dos pndulos A e B.

) Na Terra, certo pndulo simples executa oscilaes com perodo de 1s. rao da gravidade 6 vezes

) Que aconteceria com o perodo desse pndulo, medida que fosse removido para uma regio livre de

1comprimento L dado por T = 2 (L/g)1/2. Um pndulo simples, cuja massa igual a 200g, gasta 1,5s para se deslocar de um extremo ao outro de sua trajetria. Mantendo-se inalteradas as demais condies, aumenta-se a massa do pndulo para 400g. Qual o tempo que esse pndulo gastar para ir de um extremo ao outro de sua trajetria? 2um orifcio em sua extremidade inferior. O pndulo oscila com amplitude constante e a areia escoa regularmente pelo orifcio. Qual das figuras a seguir melhor representa o perfil da areia depositada?

pequenas oscilaes num local onde g = 10m/s2. Despreze influncias do ar e considere igual a 3.

1m 1m2 m 4 conforme indica a A2Kg. Quanto os mesmos so postos a oscilar com pequenas amplitudes, podemos afirmar que: ab) a freqncia do pndulo B maior que as dos pc) os pndulos B e C possuem a mesma freqncia. d) os pndulos A e C possuem a mesma freqncia. e) a freqncia do pndulo C maior que as freqnc 5a) Qual o perodo desse pndulo se posto a oscilar na Lua, onde a acelemenor? baes gravitacionais.

6) (ITA-SP) Dois pndulos simples, P1 e P2, de comprimentos L1 e L2, esto indicados na figura. Determine L2 em funo de L1 para que a situao indicada se repita a cada 5 oscilaes completas de P1 e 3 oscilaes completas de P2.

7) (Unicamp-SP) Um pndulo simples, que executa um movimento harmnico simples num ambiente

e a freqncia de suas oscilaes. estar parado na

) Um bloco de massa 4Kg encontra-se em repouso apoiado num plano horizontal sem atrito, preso a

escuro, iluminado por um holofote estroboscpico. a) Sendo 1 = 0,4m o comprimento do pndulo, calculb) Qual deve ser a freqncia mxima do estroboscpico para que esse pndulo pareaposio vertical? (g = 10m/s2) 8uma mola ideal de constante elstica 400N/m (figura a). Afastando o bloco 0,5m de sua posio inicial e abandonando-o, ele oscila em movimento harmnico simples (figura b).

Exerccio 10

Determine: do movimento do bloco.

sa-mola.

) (PUC-SP) Num local em que a acelerao da gravidade de 10m/s2 tem-se uma mola vertical e leve,

plitude das oscilaes do sistema? cm) da posio de equilbrio, o que acontecer com o

0) O sistema apresentado na figura (1) oscila com freqncia f1, verticalmente: Se o fio for cortado como

1) Um bloco suspenso por uma mola oscila verticalmente sob a ao da gravidade terrestre. Se esse

2) Deixa-se o quilograma-padro oscilar livremente na extremidade de uma mola ideal, sendo que ele o

a) o perodob) a energia mecnica do sistema mas 9com um extremo fixo. No extremo livre colocada uma massa de 100 gramas, que, no equilbrio, alonga a mola em 5cm. Da posio de equilbrio, a massa puxada para baixo 2cm e abandonada a oscilar livremente. a) Qual a amb) Se a massa for deslocada 4cm (em vez de 2perodo de oscilaes? 1mostra a figura (2), o corpo de massa M passar a oscilar verticalmente com freqncia f2, igual, maior ou menor que f1? 1sistema for transportado para a superfcie da Lua, onde o mdulo do campo gravitacional cerca de 1/6 do terrestre o que ocorrer com o perodo das oscilaes verticais desse sistema? 1faz com freqncia igual a 1,0Hz. Em seguida, retira-se o quilograma-padro e coloca-se, em seu lugar, um corpo de massa desconhecida m, que oscila com freqncia igual a 0,50Hz. Determine a massa m.

13) A figura mostra um bloco com massa de 4 Kg, preso na extremidade de uma mola ideal. Puxando o

influncias do ar e considere g = 10m/s e = 10. Analise as afirmaes a seguir:

de equilbrio vale zero.

N.

rmaes .

IV

4) Um corpo de massa m, preso a uma mola de const

5) Um bloco preso a uma mola de massa desprezvel, executando um MHS. Sabendo que a energia

de.

6) (ITA-SP) Uma partcula de massa m realiza um movimento harmnico simples de amplitude A, em

7) (UFCE) O perodo de oscilao de M na situao (P) Tp e na situao (S) Ts. Determine Ts/Tp.

bloco 20cm para baixo da posio de equilbrio e abandonando-o em seguida, ele oscila com freqncia de 5Hz. Despreze 2A amplitude do movimento oscilatrio do bloco 20cm. I- O perodo do movimento oscilatrio 0,2s. II- A fora resultante sobre o bloco na posio III- A fora elstica sobre o bloco na posio de equilbrio vale 40N. IV- Nos pontos de inverso, a fora resultante sobre o bloco vale 800So corretas: a) todas as afib) apenas I e III c) apenas II, III e d) apenas II, III e V. e) apenas III, IV e V. 1 ante elstica K, executa um mHS ao longo de um eixo horizontal Ox. As elongaes do corpo variam de x = -A at x = A. Determine a elongao quando a energia cintica do bloco iguala-se energia potencial elstica. 1mecnica mantm-se constante no valor 3,6 J e que no ponto de elongao igual a 30cm a energia cintica do bloco vale 2,7 J, determine para esse MHS: a) a constante de fora b) a amplitu 1torno de posio de equilbrio O. Considerando nula a energia potencial para a partcula em 0, calcule a elongao para a qual a energia cintica igual ao dobro da energia potencial. 1

8) Na figura, o corpo de 1Kg de massa oscila na vertical, em MHS: Dados KA = KB = 2 N/m e KC =

9) (ITA-SP) Uma partcula move-se no plano (x,y) de acordo com as equaes: o mdulo da velocidade

122 N/m. Calcule o perodo de oscilao desse corpo. 1x = v0t y = A cos t onde V0 = 3,0m/s, A = 1,00m e = 8,0 rad/s. Calcule da partcula no instante em que t = /6 rad.

20) (Fuvest-SP) Dois corpos, A e B, ligados por um fio, encontram-se presos extremidade de uma mola

endo de 200g a massa do corpo B determine:

) orpo A.

1) Um corpo de massa 2Kg oscila verticalmente em MHS, suspenso por uma mola helicoidal ideal. As

etermine: cia e a amplitude do movimento do corpo;

endo-se que no instante t = 0 a elongao nula e o

ESPOSTAS:

) 1,5s 4) d adamente - b) tender ao infinito

2,4s 15) a) 20N/m - b) 60cm

e em repouso. Parte-se o fio que liga os corpos pelo grfico (g = 10 m/s2): S a a constante elstica da mola; b) a freqncia de oscilao do c 2posies ocupadas pelo corpo so registradas numa fita vertical de papel, por meio de um estilete preso ao corpo. A fita desloca-se horizontalmente com velocidade constante de 0,2 m/s. Da) a freqnb) a constante elstica da mola adotando 2 = 10 c) a equao horria do movimento do corpo, sabcorpo est subindo. R 12) b 5) a) aproxim3) T = 6) L2 = 25/9 L1 7) a) Aproximadamente 0,8Hz - b) 1,6Hz 8) 0,2 s 50J 16) x = A/ 3 9) a) 2cm - b) p a m 17) 2 erm necer o mes o

- b) f = 5Hz

A/

10) aumenta 18) 2 s 11) o mesmo 19) 5m/s 12) 4Kg 20) a) K = 20N/m 13) a 21) A = 0,1m f = 0,4Hz

2 14) x = b) K = 12,8N/m

0 832

, +

c) y = 0,1 cos

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