O Sistema Massa-Mola

O sistema massa mola, como vimos, é um

exemplo de sistema oscilante que descreve um

MHS.

Como sabemos (aplicando a Segunda Lei de Newton) temos que F = ma

Como sabemos, no caso massa-mola (e em todos os sistemas com MHS)

Fx = -Cx, onde C neste caso é k (constante de elasticidade da mola)

portanto:

ou

Equação diferencial linear ordinária de segunda ordem homogênea com

coeficientes constantes.

Se olhamos para a equação veremos que a solução tem que ser uma

função do tipo seno ou co-seno, ou e±ct ou outra função periódica!

Escolhemos a mais simples:

1

Como encontrar as constantes A, e ?

Substituindo a solução proposta x(t) na equação obtemos: k

m

A e podem ser obtidas a partir da posição inicial xo = A cos e da

velocidade inicial vo = -A sen.

O Sistema Massa-Mola

2

Observações

O Sistema Massa-Mola

Compliância = 1/k

k

m M0 ????

Combinação de molas em paralelo igual deformação e soma das forças

portanto a constante da mola efetiva (resultante) será a soma das duas!

Do que depende k?

Combinação de molas em série igual força e soma das deformações

portanto a compliância da mola efetiva (resultante) será a soma das

compliâncias das molas individuais!

E em série?

3

Exercícios1. Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola de constante

k=400 N/m. Em um certo instante t a posição (medida a partir da

posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco

são: x = 0,100m, v = -13,6 m/s e a = -123 m/s2. Calcule (a) a frequência

linear de oscilação, (b) a massa do bloco e (c) a amplitude do

movimento.2

2 123 m/s35.07 rad/s .

0.100 m

aa x

x

Portanto , f = /2 = 5.58 Hz.

(a)

(b)2

400 N/m= 0.325kg.

(35.07 rad/s)

km

m

(c)

2 2(0.325 kg / 400 N/m)(13.6 m/s) (0.100 m) 0.400m.mx

4

1

2𝑘𝑥𝑚

2

=1

2𝑚𝑣2 +

1

2𝑘𝑥2 → 𝑥𝑚 =

𝑚

𝑘𝑣2 + 𝑥2

2. Na figura duas molas são ligadas entre si a um bloco de massa 0,245

kg que oscila em um piso sem atrito. As duas molas possuem uma

constante elástica k = 6430 N/m. Qual é a frequência das oscilações?

Precisamos encontrar a constante efetiva kef da

combinação de molas da figura. Para isso

determinamos a magnitude F da força exercida

sobre a massa m quando a elongação total é x.

Nesse caso teremos que kef = F/x.

Vamos supor que a mola da esquerda sofre uma elongação xe e a mola

da direita uma elongação xd.

Então a mola da esquerda exerce uma força kxe sobre a mola da direita

e a mola da direita exerce uma força kxd sobre a mola da esquerda.

Pela Terceira Lei de Newton as forças devem ser iguais! portanto xd =

xe e x = 2 xe = 2 xd.

A mola da esquerda exerce uma força sobre o bloco de magnitude F =

kxe

Então o kef = kxe/2xd= k/2 e a frequência será 𝑓 =

𝑘𝑒𝑓𝑓𝑚2𝜋

=

𝑘2𝑚

2𝜋

Exercícios

5

Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (13) (23) (24)

Perguntas: (7) (8) (9)

Com m = 0,245 kg e k = 6430 N/m, a frequência será f = 18,2 Hz.

𝑓 =1

2𝜋

𝑘𝑒𝑓𝑓

𝑚𝑓 =

1

2𝜋

𝑘

2𝑚

Exercícios

6

Fixação

Fio de suspensão

Linha de

referência

( ) cosmt t

O Pêndulo de Torção

O pêndulo de torção é um exemplo de sistema oscilante.

Consiste de um disco com momento de inércia I

suspenso por um fio.

Quando o disco gira teremos um deslocamento angular

a partir da posição de equilíbrio.

A torção do fio armazena energia potencial produzindo o

torque restaurador = -.

Esta é a forma angular da Lei de Hooke. A constante é

chamada constante de torção do fio.

Podemos calcular o período T e a frequência angular da oscilação.

Notemos que I é a inércia rotacional do disco em torno do eixo que coincide

com o fio. O ângulo é dado pela equação:

7

Fixação

Fio de suspensão

Linha de

referência

Vamos obter a equação diferencial e resolver ela.

Como sabemos (aplicando a Segunda Lei de Newton

para a rotação) temos que = I

Neste caso = -, onde C neste caso é (constante

de torção do fio) portanto:

ou

Como já vimos, a solução mais simples é:

Se chamamos A=m teremos:

Logo:

Checar!

O Pêndulo de Torção

8

PivôO Pêndulo Simples

O pêndulo simples (matemático) consiste de uma massa m

suspensa por uma corda inextensível de comprimento L.

Se deslocamos a massa do seu equilíbrio, a força resultante

atuando sobre ela é tal que o sistema vai descrever um MHS.

Há duas forças atuando sobre m: a força gravitacional e a

tensão da corda.

O torque líquido destas forças é = -rFg = -Lmg sen

Aqui é o ângulo entre a corda e o eixo vertical.

Se <<1 em radianos! (digamos menor que 5º) podemos

considerar:Sen Onde está expresso em radianos

A partir desta aproximação o troque é = -Lmg

Comparando esta expressão com a da força F = -Cx vemos

que C = mgL e portanto podemos determinar T e da

oscilação

2L

Tg

9

No desenvolvimento das equações obtidas nos utilizamos a aproximação

<< 1 o que nos permitiu realizar a substituição sen .

Vamos agora decidir o que é um ângulo “pequeno”, ou seja, até que

valores do ângulo a aproximação é razoavelmente precisa?

(graus) (radianos) sen

5 0,087 0,087

10 0,174 0,174

15 0,262 0,259 (1% erro)

20 0,349 0,342 (2% erro)

Conclusão: se mantemos < 10 ° o erro será inferior a 1%

Como em este caso a inércia rotacional I em torno do ponto

de pivô indicado é igual a mL2, então:

O Pêndulo Simples

10

Vamos agora obter a equação diferencial do movimento e

resolver ela.

O Pêndulo Simples

Como vimos, o torque líquido sobre o pêndulo

é = -rFg = -Lmg sen

Aplicando a Segunda Lei de Newton para a

rotação temos que = I

Neste caso = -Lmg sen , onde C neste caso

é Lmg portanto:

Considerando ângulos pequenos teremos sen e como I = mL2 :

ou

11

O Pêndulo Simples

Como já vimos, a solução mais simples é:

Se chamamos A=m teremos:

Logo:

Checar!12

O Pêndulo FísicoO pêndulo físico é um corpo rígido suspenso de um

ponto O que oscila sob a influência da gravidade.

O torque líquido é = -mgh sen onde h é a distância

entre o ponto O e o centro de massas C do corpo

suspenso.

Se utilizamos a aproximação do ângulo pequeno <<1

teremos = -mgh

Novamente, comparando esta expressão com a

equação da força F = -Cx vemos que C = mgh e

portanto podemos determinar T e da oscilação

2 I

Tmgh

Onde I é o momento de inércia respeito do eixo que

passa pelo ponto O ( ao slide) e por um conhecido

teorema:IO = IC+ mh2

13

OUTRA VEZ!!! vamos agora obter a equação diferencial

do movimento e resolver ela.

O torque líquido é = -mgh sen

Aplicando a Segunda Lei de Newton para a rotação

temos que = I

Neste caso = -mgh sen , onde C neste caso é mgh

portanto, considerando sen :

Logo:

Checar!

O Pêndulo Físico

14

Exercícios1. Um pêndulo físico é formado por uma régua de um metro de

comprimento , cujo ponto de suspensão é um pequeno furo feito na

régua a uma distância d da marca de 50 cm. O período de oscilação é

2,5 s. Determine o valor de d. Lembrar que o momento de inércia

rotacional respeito do seu centro de massa para uma barra de

comprimento L é mL2/12.

Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (39) (49)

Perguntas: (11)

IO = IC+ mh2Temos que Onde h = d o valor desconhecido.

TmL md

mgd

L

gd

d

g

2

122

12

2 2 2

/

. 2 I

Tmgh

Como

d = 0,056 m.

15

Consideremos um objeto descrevendo uma

trajetória circular de raio xm com velocidade

uniforme v.

Se projetamos a posição P’ da partícula em

movimento, sobre o eixo x obteremos o ponto

P.

A coordenada de P é descrita pela equação x(t)

= xm cos(t+)

Entanto P’ descreve um MCU o ponto P

descreve um MHS.

Vamos ver agora qual é a situação da velocidade e a aceleração para as

projeções do MCU sobre o eixo x

O MHS e o Movimento Circular

16

A velocidade v do ponto P’ é xm.

A direção do vetor velocidade v é ao longo

da tangente à trajetória circular.

Se projetamos o vetor velocidade v sobre o

eixo x teremos v(t) = - xm sen(t+)

A vetor aceleração a aponta ao centro O.

Se projetamos ela sobre o eixo x teremos:.

a(t) = - 2xm cos(t+)

O MHS e o Movimento Circular

17

Conclusão: Seja como for que olhamos para

as projeções do MCU (velocidade, aceleração

ou posição) todas elas são MHS

Espaço real Espaço de fases

Velocidade

Po

siçã

o

Orbita

Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (91) (105)

O MHS e o Movimento Circular

18

Cíclotron

Como vimos, o movimento

harmônico está relacionado com as

componentes do movimento circular. Um caso

importante é o movimento de uma partícula

carregada num campo magnético constante

(movimento cíclotron).

O MHS e o Movimento Circular

.

.elétronB

v

F

C

r

Uma partícula de massa m e carga q quando

injetada com uma velocidade ν em ângulo reto

a um campo magnético uniforme B, segue

uma órbita circular, com velocidade uniforme.

A força centrípeta requerida para tal

movimento é proveniente da força magnética:

19

O MHS e o Movimento Circular

A órbita circular de raio r para um elétron é mostrado na figura. A força magnética:

A frequência correspondente:

A frequência angular:

Nota 1: O período cíclotron não depende da velocidade ν. Todas as partículas de

mesma massa completam uma órbita circular durante um mesmo tempo T

independentemente da velocidade.

Nota 2: Partículas rápidas e de igual massa se movimentam em órbitas circulares de

raios maiores, enquanto partículas lentas se movem em órbitas de raios menores.

Todas as órbitas tem o mesmo período T.

.

.elétronB

v

F

C

r

Cíclotron

mvr

q B

q B

m

20

O MHS e o Movimento Circular

mvr

q B

2 m

Tq B

Agora, considerando o

movimento de uma carga em

um campo magnético uniforme

B quando a velocidade inicial v

forma um ângulo com B.

Decompomos v em duas

componentes:

Uma componente (ν||) paralela e o outra (ν┴) perpendicular ao B (veja a figura a) ν|| =

ν cos ν┴= sen . A partícula executa dois movimentos independentes.

Um é o movimento cíclotron que está em um plano perpendicular a B analisado no

slide anterior. O raio O período .

O segundo movimento está ao longo da direção de B e este movimento é retilíneo

uniforme com velocidade constante ν||. A combinação dos dois movimentos resultam

em uma trajetória helicoidal . O passo p da hélice é :

Trajetórias helicoidais

21𝑝 = 𝑇𝑣∥ =

2𝜋𝑚𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜙

𝑞𝐵