UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS

FACULDADE DE ESTATÍSTICA

TESTE t-STUDENT

TESTE IGUALDADE DE VARIÂNCIAS

BELÉM 2014

TAIS MEDEIROS SILVA 201107840019

TESTE t-STUDENT

TESTE IGUALDADE DE VARIÂNCIAS

Trabalho apresentado para obtenção de nota

parcial na disciplina Estatística Aplicada

referente a avaliação do 8º período do curso

de Bacharelado em Estatística da

Universidade Federal do Pará.

Orientadores: Prof.Dr. Heliton Tavares e

Prof.Dr.ª Regina Tavares.

BELÉM 2014

TESTE t-STUDENT

A estatística t foi introduzida em 1908 por William Sealy Gosset, químico da

cervejaria Guinness em Dublin, Irlanda ("student" era seu pseudônimo). Gosset havia

sido contratado devido à política inovadora de CLaude Guinness de recrutar os melhores

graduados de Oxford e Cambridge para os cargos de bioquímico e estatístico da indústria

Guinness.Gosset desenvolveu o Teste t como um modo barato de monitorar a qualidade

da cerveja tipo stout. Ele publicou o Teste t na revista acadêmica Biometrika em 1908,

mas foi forçado a usar seu pseudônimo pelo seu empregador, que acreditava que o fato de

usar estatística era um segredo industrial. De fato, a identidade de Gosset não foi

reconhecida por seus colegas estatísticos.

O teste t-Student ou somente teste t é um teste de hipótese que usa

conceitos estatísticos para rejeitar ou não uma hipótese nula quando a estatística de

teste ( ) segue uma distribuição t-Student.

Essa premissa é normalmente usada quando a estatística de teste, na verdade, segue

uma distribuição normal, mas a variância da população é desconhecida. Nesse caso, é

usada a variância amostral e, com esse ajuste, a estatística de teste passa a seguir uma

distribuição t-Student.

Unicaudal X bicaudal

Dependendo da definição da hipótese nula, deve ser usado uma ou duas caudas da

distribuição t-Student na avaliação do teste. Por exemplo, se a hipótese nula for e

a hipótese alternativa , o teste deve ser feito somente para valores maiores do que

e, portanto, ao consultar a função densidade de probabilidade da distribuição t-Student,

deve-se considerar somente a área superior a , ou seja, somente uma das "caudas" da

distribuição.

Por outro lado, se a hipótese nula for e, consequentemente, a hipótese alternativa

, teríamos que avaliar ao mesmo tempo a possibilidade de e de .

Para isso, ao consultar a função densidade de probabilidade da distribuição t-Student,

devem ser consideradas as áreas abaixo da curva para valores superiores a e inferiores a

, ou seja, as duas "caudas" da distribuição. Como a distribuição é simétrica, os

tamanhos dessas áreas são iguais.

O teste t-Student dividi-se em:

TESTE DE HIPÓTESES PARA UMA AMOSTRA

Constitui um dos testes paramétricos de largo uso quando a variância da população é

desconhecida, utilizando-se o valor obtido, para o cálculo dessa estatística, da amostra

coletada. Deve-se fixar: se a variância paramétrica é desconhecida = Teste t-Student,

independe do tamanho amostral.

Definições:

= média da população e = tamanho da amostra

∑

= média da amostra

= variância da amostra

√ = desvio padrão da amostra

√ = erro padrão

= teste t gl = graus de liberdade = n-1

Exemplo:

Um estudo foi efetuado em amostra aleatória de 16 pessoas deprimidas, verificando-se

que o tempo médio de sono foi igual a 7,03 horas, com variância de 0,68. Procurou-se

comparar com o período de sono de pessoas consideradas normais, cujo valor obtido na

literatura é de 7,31 horas. Deseja saber se o tempo de sono dos deprimidos é menor que o

de indivíduos normais?

1° passo: Enunciar as hipóteses

Nessas condições, como se deseja saber se o tempo de sono dos deprimidos é menor que

o de indivíduos normais, o teste escolhido é t unilateral:

2° passo: Estabelecer o nível de significância

3° passo: ( Cálculos)

√

√

√

Observando na tabela o t tabelado será:

Comparando com o t calculado temos: | |

4° passo: Conclusão

Como o t obtido é menor que o valor tabelado ao nível de significância de 5%, para 15

graus de liberdade, não se rejeita a hipótese nula. Portanto, o tempo de sono dos

deprimidos é estatisticamente maior ou igual aos de indivíduos normais.

TESTE DE HIPÓTESES PARA DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES

Aplica-se sempre que se pretende comparar as médias de uma variável quantitativa em

dois grupos diferentes de sujeitos e se desconhecem as respectivas variâncias.

Neste tipo de teste são retiradas duas amostras de forma independente, isto é, as medidas

são obtidas em unidades amostrais diferentes.

A) Variâncias iguais, porém desconhecidas

Consideraremos agora, que as variâncias das populações são iguais, porém,

desconhecidas, ou seja,

. Então, para testar a igualdade das médias, vamos

considerar a variável

√

Que tem distribuição t de Student com graus de liberdade. Aqui o é o

desvio padrão agrupado que é dado por

√

Temos que o é dado por

√

Exemplo: Para ilustrar a aplicação deste teste de hipótese, considere os dados de duas

amostras apresentadas a seguir e, a um nível de significância , decida se existe

diferença significativa entre as médias populacionais e .

Amostra 1

17,5910 20,8350 19,1690 18,7550

18,7560 17,5270 19,2900 19,2030

18,9770 17,0780 22,0590 18,4190

20,3080 17,6200 18,5850 20,7640

18,8990 21,4260 17,8900 21,0550

Amostra 2

22,057 22,629 24,62 21,491 21,198

22,881 22,86 22,058 22,699 22,909

17,968 24,515 23,15 24,662 23,327

23,382 22,426 22,787 21,983 24,534

21,043 21,203 24,009 21,917 21,152

Vamos testar se as médias das amostras 1 e 2 são iguais ou diferentes, portanto

1. Estabelecemos as hipóteses

Temos a partir dos dados que a média e o desvio padrão da amostra 1 são

e , respectivamente. A média e desvio padrão da amostra 2

são e , respectivamente. O tamanho de cada amostra

é e . Com isso, temos que o desvio padrão agrupado é dado por

√

2.Para este exemplo, fixamos o nível de significância .

3. Como o teste é bilateral e sabendo que o número de graus de liberdade é

, encontramos na Tabela da distribuição de Student os seguintes valores

críticos e .

4. Calculamos o valor da estatística .

√

Como , rejeitamos a hipótese nula, ou seja, estatisticamente as médias não

são iguais.

B) Variâncias desconhecidas e diferentes

Vejamos agora como realizar um teste para igualdade das médias tendo variâncias

desconhecidas e diferentes

.Para isto consideramos a variável tal que

√

Ou seja, a variável dada pela equação acima tem distribuição t de Student com graus

de liberdade, onde

(

)

(

)

(

)

Calcula-se sob

√

Obtemos o intervalo de confiança para a diferença de duas médias com variâncias

desconhecidas e diferentes:

( (

) √

)

Exemplo: compare as médias das amostras na produção de eixo comando desenvolvido

por dois sistemas de usinagem. Com os seguintes dados:

Sistema de Usinagem 1 Sistema de Usinagem 2

18,7997 21,1609

20,5035 26,1371

18,6214 21,4737

19,9192 30,9934

21,117 22,8421

20,8353 24,4133

17,527 20,4137

17,078 25,5475

17,6197 21,8791

21,4255 22,6706

18,7545 24,7531

19,2026 25,7219

18,4187 22,6389

20,7641 26,2308

21,0553 26,7998

17,5905 28,4708

18,7561 26,9941

18,9772 25,1489

20,3084 24,6179

18,8988 27,0194

19,1688 25,0589

19,2898 22,1119

22,059 20,3069

18,5854 23,6758

17,8896 27,1201

29,6136

25,9948

18,223

23,7336

22,4208

Hipóteses:

(

)

(

*

(

)

(

*

(

)

2. Para este exemplo, fixamos o nível de significância .

3. Como o teste é bilateral e sabendo que o número de graus de liberdade é ,

encontramos na Tabela da distribuição de Student os seguintes valores críticos

e .

Calculamos o valor da estatística .

√(

)

Como , rejeitamos a hipótese nula, ou seja, estatisticamente as médias não

são iguais.

TESTES DE HIPÓTESES PARA DUAS AMOSTRAS RELACIONADAS

(TESTE T PAREADO)

Para realizarmos os testes de igualdade de variâncias e os testes de médias, precisamos

que as duas populações sejam independentes. Porém, na prática, temos algumas situações

onde as populações não são independentes. Numa situação de comparação inter

laboratorial onde dois laboratórios medem a mesma peça, por exemplo, as medidas entre

os laboratórios não são independentes. Neste caso, utilizamos o teste pareado.

Para realizar o teste pareado devemos primeiramente estabelecer uma das hipóteses:

O parâmetro será estimado pela média amostral das diferenças, ou seja, , O

parâmetro será estimado pela variância amostral das diferenças, ou seja,

∑

O teste será realizado pela expressão:

√

Que sob sugue uma distribuição de Student com graus de liberdade.

Exemplo: Um método para avaliar a efetividade de uma droga é observar sua

concentração em amostras de sangue ou urina em certos períodos de tempo após seu uso.

Suponha que desejaríamos comparar a concentração de dois tipos de aspirinas (tipo A e

B) na urina da mesma pessoa, 1 hora após ela ter tomado a droga. Uma dosagem

específica da aspirina A é ministrada e, em seguida, é medida sua concentração na urina.

Uma semana depois, após a primeira aspirina ser presumidamente eliminada do

organismo, uma dosagem da aspirina B é ministrada na mesma pessoa e sua concentração

na urina é medida. Pode-se afirmar que a média de proteína urinária sofreu alterações? Os

resultados desse experimento são apresentados na tabela a seguir.

aspirina_A aspirina_B

15 13

26 20

13 10

28 21

17 17

20 22

7 5

36 30

12 7

18 11

Teste de hipóteses

Temos,

√

√

Como rejeita-se a hipótese nula ao nivel de significância de 5%. Portanto,

estatisticamente a média de concentração das aspirinas A e B na urina são diferentes.

TESTE IGUALDADE DE VARIÂNCIAS

Para o modelo heterocedástico, vamos inicialmente testar as hipóteses:

Dadas as amostras aleatórias independentes de tamanhos 1n e 2n de populações com

variâncias 2

1 e 2

2 e admitindo que essas populações tenham distribuições

aproximadamente normais, costuma-se basear os testes da hipótese nula 2

2

2

1 oH

na estatística F.

A estatística do teste será:

⁄

⁄

Os métodos mais utilizados são os testes de Cochran, Bartlett e de Levene.

Exemplo: Que se verificar se duas máquinas produzem peças com a mesma

homogeneidade quanto à resistência a tensão. Para tal, sorteiam-se duas amostras de 6

peças de cada uma das máquinas e observam-se as resistências.

máquina X 145 127 136 142 141 137

máquina Y 143 128 132 138 142 132

1ª passo:

2º passo

⁄

⁄

3º passo:

Fixando , a RC é dada por:

{ }

Com tais que

( | ) ( | )

Assim

⁄

4º passo:

Com os dados apresentados, temos

. Portanto o valor observado da

estatística

Como o valor observado da estatística não pertence à RC, aceitamos e concluímos que as

máquinas produzem com a mesma variabilidade.

BIBLIOGRAFIA

[1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Teste_t_de_Student

[2] AYRES, Manuel.Elementos de Bioestatística 2.ed. Belém-pa: 2012.

[3] http://www.portalaction.com.br/558-573-3%C2%BA-caso-vari%C3%A2ncias-

desconhecidas-e-diferentes

[4] BOLFARINE,Heleno; SANDOVAL, Mônica Carneiro. Introdução à Inferência

Estatística. São Paulo: SBM,2000.

[5] http://www.portalaction.com.br/557-572-2%C2%BA-caso-vari%C3%A2ncias-

iguais-por%C3%A9m-desconhecidas