Universidade Federal do ParáInstituo de Tecnologia Faculdade de Engenharia CivilPrograma de Educação Tutorial Engenharia Civil – PETCIVIL

Cálculo Zero

Trigonometria

Ministrantes: Dion Cunha 8° Semestre Eng Civil João Felipe 3° Semestre Eng Civil

A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três),

gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo:

Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria

podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e

ângulos).

τριγωνομετρία

Aristarco de Samos (310-230 a.C.).

Foi o primeiro defensor da ideia de que a Terra gira em torno do Sol (Modelo Heliocêntrico).Sobre os tamanhos e as distâncias do entre o Sol e a Lua é a sua única obra conhecida.

Qual era o problema?

obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns, como a distância da Terra à Lua, o raio médio da terra, a largura de um rio, a altura de uma montanha, etc

E hoje? Por que devo

estudar trigonometria?

Matemática Aplicada a Engenharia I e II

Física Aplicada a Engenharia I e II – Mecânica

Mecância dos Sólidos - Estática dos Corpos Rígidos

Mecânica dos Solos II – Critérios de Ruptura dos Solos / Mohr e Coulomb

Bora começar, bora?

DEFINIÇÃO DE ÂNGULO Do latim - angulu (canto, esquina), do grego - gonas; reunião de duas semi-retas de mesma origem não colineares.

(gr.): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 1/400 da circunferência denominamos de grado.

GRADO

( º ): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 da circunferência denominamos de grau.

GRAU

A unidade RADIANOUma maneira de medir arcos de uma circunferência é compará-los com um outro arco escolhido para ser

unidade de medida sobre a mesma circunferência . Esse arco é chamado unitário.

Veja o exemplo:

Quantas vezes o arco unitário u “cabe” no arco AB?

Basta fazer a razão entre o comprimento do arco AB e o comprimento do arco

unitário.

RADIANO

( rad): Um radiano (1 rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da

circunferência que o contém.

Vejamos um exemplo para esclarecer as coisas:

Um arco AB de comprimento l está contido numa circunferência de raio r = 4

cm. Calcular a medida do arco AB em radianos, quando l for igual a : 8

cm, 14 cm e 21 cm.

Assim, decorre da definição, que a medida em radianos de uma arco AB

é dada por:

Em cálculos, ângulos devem ser representados em radianos nas funções trigonométicas, dado que simplifica e torna as coisas mais naturais.

Por exemplo, o uso de radianos leva à identidade com

 

que é a base de muitas outras elegantes identidades em matemática, incluíndo

Trigonometria no Triângulo Retângulo

a: hipotenusab e c: catetosh: altura relativa a hipotenusam e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusado triângulo.

          

senÔ = o/asenÊ = e/a                           

Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.

cosÊ = o/a cosÔ = e/a

Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.

tgÊ = e/o tgÔ = o/e

Observe: sen Ê = cos Ô, sem Ô = cos Ê e tg Ê = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90°

Ê e Ô são ângulos completares

Obs: Será usada na demonstração do seno da soma de dois arcos

Círculo, Ciclo , Circunferência Trigonométrica

Definições

Reduções

O teorema de Pitágoras

• “A área do quadrado cujo lado é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos”.

Demonstração

• A área do trapézio com bases a, b e altura a+b é igual à semi-soma das bases vezes a altura. Por outro lado, a mesma área é também igual à soma dos áreas dos três triângulos retângulos.

James Abram Garfield , 1881

cos(a - b)

cos(a - b)=cosa.cosb + sena.senb

cos(a + b)

Arcos Complementares

sen(a + b) e sen(a – b)

Fórmulas do arco duplo

Fórmulas do arco metade

Transformação em produto

Funções Trigonométricas Inversas

BibliografiaMatemática 2° Grau Volume Único – Manoel Jairo Bezerra. Ed. Scipione

Meu Professor de Matemática e outras histórias – Elon Lages Lima. SBM

Estática – Mecânica para Engenharia 10ª Ed. R.C. HIBBELER. Ed. Pearson Prentice Hall

Um Curso de Cálculo volume I. Hamilton Luiz Guidorizzi. LTC

http://projeto.licenciar.vilabol.uol.com.br/F_Trigonometrica.htm

http://projeto.licenciar.vilabol.uol.com.br/F_Trigonometrica.htm