UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTEarquivos.info.ufrn.br/arquivos/20110752281e4c7764678e33... · 2016-08-23 · uma matriz B nxn, onde B=A-1 é a inversa de A, ... Inversão

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

Prof. Hector Carrion S. Álgebra Linear

Aula 03

Inversão de matrizes

Resumo

•Matriz inversa

•Inversa de matriz elementar

•Matriz adjunta

•Inversão de matrizes


•Uma matriz quadrada Anxn admite inversa se existe

uma matriz Bnxn , onde B=A-1 é a inversa de A, tal que:

•Uma matriz inversível é dita também não singular

. A inversa de uma matriz é única (provar).

1AAAA ou , -1-1IBAAB


•Propriedades (A,B,C e D matrizes inversíveis)•Cada matriz admite uma única inversa•A.A-1=A-1.A=I

•(A-1)-1=A•(AT)-1=(A-1)T

•(AB)-1=B-1.A-1

•(ABCD)-1=(BCD)-1A-1

=(CD)-1B-1A-1

=D-1C-1B-1A-1,

verifique que : (ABA-1)3=AB3A-1


•Matriz elementar - Emxn (K), K={R, C,..}

•Matriz obtida com apenas uma operação elementar a partir da matriz Identidade

100

010

001

I3x3 102

010

001

1EL3 = L3 - 2 L1

E1 é matriz elementar


•As matrizes elementares são inversíveis e sua

Inversas são matrizes elementares.

. Se pode verificar facilmente que

E2 é também elementar e

I E2

-1

121221 EE sejaou ,IEEEE

102

010

001

2E

L3 = L3 + 2 L1


Determinação da inversa de uma matriz.

. Caso particular:matriz 2 x 2

• Usando operações elementares e a matriz identidade.

• Matriz adjunta


Determinação da inversa de uma matriz.

. Matrizes A2 x 2

Matriz inversa

Importante: Se det(A) ≠ 0 A é inversível

dc

baA

ac

bd

AA

)det(

11


Aplicação direta:

• A X = B, se det(A) ≠ 0 então

A tem inversa (A-1 existe).

• Então X= A-1 B solução do

Sistema linear anterior

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

2221

1211

aa

aaA

A

ababx

A

ababx

det

det

2111122

1222211

21

11

b

bB

2

1

x

xX


Teorema: Seja Anxn a matriz de coeficientes do sistema de equações lineares A X=B, B1xn é matriz coluna. O sistema tem solução única se A é inversível, e a solução é X=A-1B.Exemplo: Seja o sistema linear não homogêneo.

det(A) ≠ 0, então X= A-1 B é solução dosistema linear anterior : {x1=7/5; x2=-3/5} (solução

única).

132

2

21

21

xx

xx

32

11A

1

2B


I) Inversão de matrizes (método de Gauss)

•Uso da identidade

Teorema: Anxn é inversível se e somente se for linha equivalente à matriz identidade

•Operações elementares

•Caso não haja a equivalência, a matriz não admite inversa

1~ AIIA




Exemplo

521

301

210

A




Exemplo

100521

010301

001210

IA


100521

010301

001210

IA

L3=L3+L2

110820

010301

001210

~IA

L3=L3-2L1

112400

010301

001210

~IA


L3=L3/4

Troca L1 com L2

L2=L2-2L3

41

41

21100

010301

001210

~IA

41

41

21100

001210

010301

~IA

41

41

21100

21

212010

010301

~IA


L1=L1-3L3

I A-1

1~ AIIA

41

41

21100

21

212010

43

41

23001

~IA


II) Inversão de matrizes : usando matriz adjunta

•Matriz de Cofatores

nnnn

n

n

ccc

ccc

ccc

C

21

22221

11211

ij

ijij

ij

a elemento ao relativoar complement

menor dito é M ),~

det(M

)1( )~

det()1(c

ij

ij

ji

ij

ji

A

MA


•Matriz adjunta

•É a transposta da matriz de Cofatores

TCAAdj )(

521

301

210

A

Determine a matriz adjunta de A



•A inversa de uma matriz quadrada A de orden n é:

•A matriz A admite inversa (inversível) se, somente se, det(A) não é nulo.

Logo

• Se det(A)=0 então a matriz A não admite inversa

)()det(

11 AadjA

A



•Uso da matriz adjunta

Exemplo

521

301

210

A


•Matriz dos cofatores

•Matriz Adjunta

123

121

286

C

112

228

316

)(Aadj


•Determinante

•Matriz inversa

4)det(A

112

228

316

4

11A

)()det(

11 AadjA

A

41

41

21

21

212

43

41

23

1A


Se A é uma matriz de ordem n × n, então as

seguintes afirmativas são equivalentes

a) det(A) ≠ 0

b) A é inversivel

c) Ax = b tem uma solução única, b = [bi]1xn.

d) Ax = 0 tem somente a solução trivial.

e) A é linha equivalente à identidade In

f) A pode ser escrita como produto de matrizes

elementares.


•Exercício 1.- Calcule det(A-1), existe a inversa de A.

•Exercício 2.-Resolva a equação C-1(A+X)B-1=I para X,

considere A, B inversíveis.

•Exercício 3.-Dada a matriz A, construa a matriz elementar E a partir da matriz identidade, somando -3 vezes a linha 2 da I4x4 . Calcule B= EA, qual é a operação

elementar para passar de A a B ?.

Determine uma matriz F tal que

FE=I (identidade). 123

012

001

A


•Exercício 4.- Calcule a inversa de A AT, A-1 existe.

•Exercicio 5.- Demonstre I+X+X2+...Xn = (Xn+1 - I)(X-I)-1 , sendo que I é matriz identidade e (X-I) tem inversa.

•Exercício 6.-Dada a matriz B, Determine inversa de B

•Exercício 7.- Dado A, determine A-2

)cos()sin(0

)sin()cos(0

001

B41

12A


•Exercício 8.- demonstre que se A é inversível então A X=0, tem somente a solução trivial.

•Exercicio 9.- Seja A simétrica é inversível,então A-1

é simétrica..

•Exercício 10.-Mostre que a matriz A não é inversível

R ,,a, ,)(cos)(cos)(cos

)(sin)(sin)(sin

A 222

222

aaa

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