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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O
ENSINO MÉDIO
VICENTE DE FREITAS FILHO
UMA ABORDAGEM HISTÓRICA DA EQUAÇÃO DO 2 º GRAU
MARTINS
2016
VICENTE DE FREITAS FILHO
UMA ABORDAGEM HISTÓRICA DA EQUAÇÃO DO 2 º GRAU
Monografia apresentada como requisito
parcial à obtenção do título de Especialista
na Pós-Graduação em Ens ino de
Matemát ica para o Ens ino Médio .
Polo de Martins, Modalidade de Ensino a
Distância, da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte, orientado pela professora
Esp. Danielle de Oliveira N. Vicente.
Aprovado em ______/______/_________
Banca Examinadora
________________________________________________________
Prof. Esp. Danielle de Oliveira N. Vicente
_________________________________________________________
Prof. Dr. Iesus Carvalho Diniz
_________________________________________________________
Prof. Me. Odilon Júlio dos Santos
Meus Pais Vicente Pedro de Freitas (in-
memorian) e Francisca Neuza de Freitas.
AGRADECIMENTOS
Antes de tudo gostaria de agradecer a Deus, pelo dom da vida e porque a ele tudo pertence
e se estou aqui neste momento é porque ele permitiu;
Aos meus pais, Vicente Pedro de Freitas (in-memorian) e Francisca Neuza de Freitas pela
educação, apoio moral e pelo carinho que sempre me dedicou;
A minha esposa Ivonete Lopes Barra e meu filho João Víctor Lopes de Freitas, pela
compreensão e pelo carinho nas horas mais difíceis, principalmente neste momento de
elaboração do meu trabalho da especialização;
A minha orientadora, Prof.ª.Esp. Danielle de Oliveira N. Vicente, pelo apoio, estímulo,
colaboração e por sua grande compreensão para comigo;
Aos colegas do curso de especialização, pelas trocas de experiências, pelos incentivos nos
momentos de dificuldades, por todos esses momentos de troca de conhecimento e de
alegrias.
E a todos que colaboraram para a realização deste trabalho.
A razão é como uma equação . De
matemát ica. . . t ira a prát ica . De
ser mos. . . um pouco mais de nós!
(Fernando Anit e l l i)
RESUMO
Desenvolveu-se neste trabalho um estudo a respeito das equações do 2º grau, a partir de
reflexões e discursões sobre os elementos evolutivos presentes na história da equação.
Destacamos, a história da matemática e sua importância para o processo de ensino da
matemática. Apresentamos algumas considerações acerca da equação do 2º grau, ressaltando
alguns estudiosos e as orientações dos PCN (BRASIL, 1997; 1998). Desenvolvemos nossos
estudos direcionados por uma linha cronológica e evolutiva de como surgiu os primeiros
registros históricos e os métodos de resolução. O marco inicial para o surgimento ou registro,
consta da civilização egípcia que em seus papiros representavam os resultados de seus
estudos. Surgiram ainda os Babilônios (Mesopotâmicos) que apresentavam suas soluções
como “receitas” para aquele problema. Já os gregos apresentaram resultados mais de cunho
algébrico e geométrico, indo além das outras civilizações, construindo uma teoria para
fundamentar seus estudos. Os árabes também desenvolveram um tratado sobre os seis tipos
de equações, produzido uma fórmula para cada tipo de equação. Ao se analisar a abordagem
realizada pela civilização Hindu, vemos que esta produziu resultados muito importantes, o
método de completar quadrados e também a fórmula de Bhaskara, que apresentou um
método para a obtenção de solução que é utilizado até hoje. Já os chineses, desenvolveram
um método próprio para determinar a solução. Os europeus por sua vez, apresentaram
resultados mais significativos, mostrando maneiras diferentes de se obter o conjunto solução
das raízes da equação. No contexto atual vemos que a fórmula de Bhaskara é a que se utiliza
no ensino de matemática no Brasil.
Palavras chave:
História da Matemática, Ensino de Matemática, Equações do 2° Grau.
ABSTRACT
We developed in this work a study about the 2nd degree equations, from reflections and
discussions on the evolutionary elements present in the history of the equation. We point
out, the history of mathematics and its importance to the mathematics teaching process. Here
are some considerations about the 2nd degree equation, highlighting some scholars and the
guidelines of the CPN (BRAZIL, 1997; 1998). We develop our studies directed by a
chronological and evolutionary line how did the first historical records and the method of
resolution. The starting point for the emergence or record, consists of Egyptian civilization
in its papyri represented the results of their studies. still emerged the Babylonians
(Mesopotamians) presenting their solutions as "recipes" for that problem. Already the
Greeks showed results over algebraic and geometric nature, going beyond the other
civilizations, constructing a theory to support their studies. The Arabs also developed a
treatise on the six types of equations produced a formula for each type of equation. When
analyzing the approach carried out by Hindu civilization, we see that it is produced very
important results, the method of completing squares and also the quadratic formula, which
presented a method for obtaining solution that is used today. Already the Chinese have
developed a method to determine the solution. European turn showed significant results,
showing different way to obtain the solution set of roots of the equation. In the present
context we see that the formula is Bhaskara that is used in mathematics teaching in Brazil.
Keywords:
History of Mathematics, Mathematics Teaching, the 2nd degree equations.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: O Papiro de Moscou...............................................................................................30
Figura 2: Parte do papiro de Rhind (ou de Ahmes) ...............................................................30
Figura 3. Fotografia da Plimpton..........................................................................................35
Figura 4: Sistema de numeração mesopotâmico (Babilônico / Sumério) .............................35
Figura 5: Livro Os elementos de Euclides de Alexandria .....................................................41
Figura 6: Representação geométrica da expressão (a+b )2= a2 + 2ab + b2 .............................41
Figura7: Livro Arithmetica de Diofanto...............................................................................42
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 10
2 A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO ENSINO ................. 12
2.1 Utilização da história da matemática como recurso para ensino ....................... 12
3 CONCEPÇÕES SOBRE O ENSINO DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU ....................... 19
3.1 Breve reflexões acerca do ensino da matemática ................................................ 19
3.2 A resolução de problemas e suas contribuições para a aprendizagem da
matemática................................................................................................................. 22
3.3 Polya e suas reflexões sobre a resolução de problema ........................................ 25
4 ANÁLISE HISTÓRICA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU ........................................... 29
4.1 Os egípcios e a equação do 2º grau ...................................................................... 29
4.2 Os babilônios e a equação do 2º grau .................................................................. 34
4.3 Os gregos e a equação do 2º grau ........................................................................ 39
4.4 Os hindus e a equação do 2º grau ........................................................................ 44
4.5 Os árabes e a equação do 2º grau ........................................................................ 49
4.6 Os chineses e a equação do 2º grau ..................................................................... 54
4.7 Os europeus e a equação do 2º grau .................................................................... 55
4.8 A equação do 2º grau na atualidade .................................................................... 59
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................... 61
REFERÊNCIAS.................................................................................................................64
ANEXOS.............................................................................................................................69
10
1 INTRODUÇÃO
O conhecimento de mundo, traz consigo a relevância sobre tudo aquilo que a
sustenta. Para compreendermos os costumes, valores e marcos da humanidade, é preciso
antes de mais nada, meditar o tempo presente, recorrendo ao passado como modo de
enxergar as mudanças frente ao tempo.
A história da humanidade está ligada uma imensidão de fatos que a história tem o
papel importante de olharmos sobre o que se passou. Inserido neste senário evolutivo, vemos
a matemática e um imenso grupo de estudiosos que desde os primórdios até o presente
momento marcaram suas épocas.
A matemática, é de certeza um dos pilares ou se não a base que sustentar o mundo
atualmente. Isso, é destacável por esta ciência está intimamente ligada de maneira prática a
maneiras de organização, financeira e principalmente tecnológica.
Com isso, se percebe o quanto é importante e em consonância a isso, é necessário
entender como a matemática vem evoluindo com os tempos, ou mais especificamente como
os modelos, com por exemplo a equações de 2º grau vem colaborando para que o homem
compreenda os problemas do dia a dia, e obtenha suas soluções aplicando o modelo mais
conveniente.
Nesta perspectiva, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 2001, p.42),
afirma que a História da Matemática, expõe que estase construiu como uma resposta as
perguntas e inquietações oriundas dos mais diversos contextos, determinadas por problemas
que em suma maioria eram de natureza prática, ou por situações problema ligadas a outras
ciências, bem como através de problemas vinculados a investigações acerca da própria
Matemática.
Este trabalho se dará por uma pesquisa bibliográfica acerca da temática e está
estruturado em 3 capítulos. Partindo de uma abordagem didática sobre a o ensino da
matemática, e além do mais um estudo sobre o contexto histórico das equações segundo uma
ordem temporal dos fatos que fundamentaram cada período e suas contribuições.
O 2º capítulo deste trabalho é terá uma abordagem acerca do ensino da matemática,
abordando uma perspectiva histórica acerca da relação entre o conhecimento abordado em
sala de aula e o conhecimento acerca de como a história está inserida neste contexto. Ainda,
11
será feito algumas reflexões sobre a importância e as contribuições, as quais são destacadas
por alguns estudiosos e documentos acerca do ensino da matemática.
Iremos no 3º realizar algumas considerações sobre as equações do 2º grau, tendo
como ponto de partida o processo de ensino e aprendizagem das mesmas pelos alunos e suas
implicações. Será enfatizado aspectos didáticos sobre o ensino das equações, fundamentada
pela visão de alguns estudiosos.
Os fatos abordados nos dois capítulos anteriores, fundamentam a necessidade de se
realizar uma análise histórica com destaque aos principais fatos sobre, como se dava o
processo e o entendimento dos modelos que envolviam as técnicas de resolução das
equações.
Finalmente no 4º capítulo fazemos referência a algumas das principais civilizações,
tendo como marco inicial os manuscritos e os matemáticos ou seus estudiosos que deram as
primeiras contribuições no período dos Egípcios onde os problemas surgiam em suma
maioria por situações práticas vividas.
Outra civilização objeto de estudo são os Babilônios, que apresentavam em seus
escritos uma resolução de caráter mais algébrica, com modelos que se assemelham ao que
hoje utilizamos. Faremos estudos sobre os gregos e seus principais estudiosos com destaque
para Euclides, um dos maiores matemáticos da época.
Passeando neste estudo histórico, enfatizaremos a civilização Indiana, destacando os
autores deste período. Na civilização Árabe, situaremos algumas das muitas contribuições
de seus principais percussores, como Al Khowarizmi, Abu Kamil, Al Khayyam e Al
Qalasadi. Também faremos referências aos estudos realizados pelos chineses e também
pelos europeus, mostrando como a equação com o passar dos tempos foi importante dentro
de cada período e de cada civilização.
12
2 A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO ENSINO
Neste capítulo abordaremos algumas reflexões iniciais e necessária sobre o ensino da
matemática, tendo como instrumento para discursão algumas concepções pedagógicas e
propostos educacionais existentes em documentos oficiais e também estudos realizados por
alguns teóricos que contribuem de maneira muita significativa para a compreensão do que o
ensinar matemática, bem como a relevância do elo existente entre os modelos ensinados e a
história a qual se está vinculado.
2.1 Utilização da história da matemática como recurso para ensino
A construção e a evolução da sociedade e dos conhecimentos por ela produzidos está
profundamente vinculada aos seus valores e principalmente a sua difusão cultural. Neste
contexto, a história nos possibilita o resgate do passado como uma forma de entender como
os modos de sociedades evoluíram.
Para Boyer (1974),
É costume dividir o passado da humanidade em eras períodos, com
particular referência a níveis e características culturais. [...] A Idade da
Pedra, um longo período que precede o uso de metais, não teve um fim
abrupto. Na verdade, o tipo de cultura que representou terminou muito
mais tarde na Europa do que em certas partes da Ásia e da África. O
surgimento de civilizações caracterizadas pelo uso de metais teve lugar
primeiro em vales de rios, como o do Egito, Mesopotâmia, Índia e China.
(BOYER, 1974. p. 23)
Dessa forma, a história das civilizações traz consigo também a história do
conhecimento matemático difundido e lapidado por ela ao longo dos tempos, isto pois, da
mesma maneira as mudanças no contexto da humanidade não se produziram sozinhas, a
matemática necessitou deste processo para se aprimorar. Ressalta Santos (2009, p. 19) ao
destacar que “é importante olhar para o passado para estudar matemática, pois perceber as
evoluções das ideias matemáticas observando somente o estado atual dessa ciência não nos
dá toda a dimensão das mudanças”.
13
Ao passo disso, temos ainda que esta relação histórica entre matemática e sociedade,
é extremamente contributiva, visto que a matemática é presente em todas as esferas do
processo pelo qual passou a humanidade, seja no aspecto social ou econômico.
Nesta perspectiva colabora D’Ambrósio (1999), citando que,
“As ideias matemáticas comparecem em toda a evolução da humanidade,
definindo estratégias de ação para lidar com o ambiente, criando e
desenhando instrumentos para esse fim, e buscando explicações sobre os
fatos e fenômenos da natureza e para a própria existência. Em todos os
momentos da história e em todas as civilizações, as ideias matemáticas
estão presentes em todas as formas de fazer e de saber.” (p. 97).
Ao pararmos para pensar um pouco, sobre a forma como as coisas que cercam a nossa
realidade, estão ligadas a matemática, da ação mais simples como o acordar, onde qualquer
atitude vital, batimento do coração, andar e respirar, entre outra é uma representação da
aplicação da matemática. Com isso vemos que não precisamos ir longe ou tentar encontrar
alguma ocasião ou momento que represente uma circunstância de sua aplicação. Em suma,
é possível encontrar a matemática presente em quase tudo, ou tudo, e que este conhecimento
é essencial no rumo dos passos ao qual à humanidade caminha.
A este respeito, ressalta Santos, et al (2011, p.1), onde,
A matemática está presente em quase todas as ações do dia-a-dia, ela faz
parte do cotidiano e da história. Esta disciplina está na vida do homem
desde os tempos antigos, por isso, é necessário que se utilize a História da
Matemática, no processo de aprendizagem matemático, para que esta
ferramenta instigue e possibilite um melhor entendimento do estudo
matemático. Há um crescente movimento em busca de novas metodologias
de ensino, e a História da Matemática é umas dessas tendências, pois ela
auxilia na construção do conhecimento e na evolução dos conceitos
matemáticos.
Já os Parâmetros Curriculares Nacionais PCN (1997) colaboram que,
A Matemática, surgida na Antiguidade por necessidades da vida cotidiana,
converteu-se em um imenso sistema de variadas e extensas disciplinas.
Como as demais ciências, reflete as leis sociais e serve de poderoso
instrumento para o conhecimento do mundo e domínio da natureza.
(BRASIL, 1997, p. 23).
14
Atualmente percebemos que o ensino e a aprendizagem da Matemática vêm passando
por algumas dificuldades, isso pois, hoje de uma maneira muito mais complexa de se
compreender, os alunos apresentam uma certa “rejeição” a este conhecimento, que como já
foi destacado, é um pilar que possibilitou e possibilita ao homem, a compreensão e as mais
variadas transformações do seu meio, tendo a matemática como instrumento norteador.
Devido as dificuldades constatadas, muitos estudiosos buscam dentro de tantos
problemas, entender quais são as causas por traz disso. Norteados pela ânsia de diagnosticar
com uma precisão estes pontos, os estudiosos da educação matemática, destacam algumas
práticas metodológicas, para que inseridas no ensino possa facilitar e estimular a
aprendizagem dos discentes.
Dentre as metodologias de ensino destacamos, a modelagem matemática, a
Etnomatemática e a História da Matemática, que se o professor conseguir desenvolver uma
boa relação entre o conteúdo e qual das metodologias sugeridas se aplicará melhor, isso
poderá gerar um melhor entendimento dos problemas, bem como das ferramentas utilizadas
para a construção das estratégias de resolução.
Biembengut e Hein (2005, p. 7) ao discutirem sobre modelagem matemática, os
mesmos destacam que:
A modelagem matemática, arte de expressar por intermédio de linguagem
matemática situações-problemas de nosso meio, tem estado presente desde
os tempos mais primitivos. Isto é, a modelagem é tão antiga quanto a
própria Matemática, surgindo de aplicações na rotina diária dos povos
antigos.
Já no campo da Etnomatemática, um dos seus principais estudiosos Ubiratan
D’Ambrósio, ressalta que,
Etnomatemática é a matemática praticada por grupos culturais, tais como
comunidades urbanas e rurais, grupos de trabalhadores, classes
profissionais, crianças de uma certa faixa etária, sociedades indígenas, e
tantos outros grupos que se identificam por objetivos e tradições comuns
aos grupos. (D’AMBRÓSIO, 2005, p. 9)
Logo mais, ao falarmos sobre a prática envolvendo a História da Matemática,
salientamos que aqui os seus conhecimentos são desenvolvidos, tendo como ponto de partida
o seu contexto histórico, cujo um dos seus objetivos é possibilitar aos alunos a compreensão
15
da mesma, passando assim, a enxergar a matemática não como um saber sem sentido, mas
sim, uma construção da humanidade.
Assim, de acordo com Groenwald (2004, p.47),
O enfoque histórico é uma proposta metodológica que permite ao aluno
descobrir a gênese dos conceitos e métodos que aprenderá em aula. Em
outras palavras este enfoque permitirá ao aluno fazer relação das ideias
matemáticas desenvolvidas em sala de aula com suas origens. O
conhecimento da história da matemática proporciona uma visão dinâmica
da evolução dessa disciplina, buscando as ideias originais em toda sua
essência.
Podemos observar que, a matemática está diretamente ligada a história e o processo
evolutivo das civilizações. Nessa linha de pensamento, percebemos que as práticas e
metodologias, defendem uma relação mais próxima entre o conhecimento e o objetivo da
aprendizagem, e ainda vale destacar que a história tem um papel significativo, nos mais
diversos períodos e civilizações, e com isso é apontada como uma ferramenta apropriada na
ação concreta da aprendizagem da matemática.
Dessa forma, ao se trabalhar o conteúdo tendo como pontapé inicial o seu contexto
histórico não significa uma transmissão de datas e nomes para o aluno, mas sim ressaltar os
principais percussores da matemática.
Segundo as DCE,
A abordagem histórica não se resume a retratar curiosidades ou biografias
de matemáticos famosos; vincula as descobertas matemáticas aos fatos
sociais e políticos, às circunstâncias históricas e às correntes filosóficas
que determinaram o pensamento e influenciaram o avanço científico de
cada época. (DCE de MATEMÁTICA, 2006, p. 45).
Além disso, os PCNs (1998, p.42) destacam que,
A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao
processo de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao
revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades
e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos,
ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do
passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno
desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento.
16
Além disso, conceitos abordados em conexão com sua história constituem
veículos de informação cultural, sociológica e antropológica de grande
valor formativo. A história da matemática é, nesse sentido, um instrumento
de resgate da própria identidade cultural.
Em consonância com isso, os PCNs ainda nos revelam que, os conteúdos abordado
estejam vinculados com seu contexto histórico, se instituem como importantes condutores
das informações, seja elas de natureza cultural, social e evolutiva, assim se percebe é quanto
é importante trabalhar a história da Matemática atrelada ao ensino da matemática.
A História da Matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate da
própria identidade cultural. Ao verificar o alto nível de abstração
matemática de algumas culturas antigas, o aluno poderá compreender que
o avanço tecnológico de hoje não seria possível sem a herança cultural de
gerações passadas. (BRASIL, 1998, p.42)
Logo mais, MIGUEL e MIORIN (2004, p. 53) entendem que,
Dessa forma, podemos entender ser possível buscar na História da
Matemática apoio para se atingir, com os alunos, objetivos pedagógicos
que os levem a perceber, por exemplo; (1) a matemática como uma criação
humana; (2) as razões pelas quais as pessoas fazem matemática; (3) as
necessidades práticas, sociais , econômicas e físicas que servem de
estímulo ao desenvolvimento das ideias matemáticas; (4) as conexões
existentes entre matemática e filosofia, matemática e religião, matemática
e lógica, etc.; (5) a curiosidade estritamente intelectual que pode levar à
generalização e extensão de ideias e teorias; (6) as percepções que os
matemáticos têm do próprio objeto da matemática, as quais mudam e se
desenvolvem ao longo do tempo; (7) a natureza de uma estrutura, de uma
axiomatização e de uma prova.
É conveniente que os docentes adotem uma postura mais reflexiva sobre a
aprendizagem, que conheça, discuta e reflita, sobre as mais diversas maneiras de se construir
os conteúdos e as situações envolvendo aplicação da matemática, colaborando para uma
aprendizagem expressiva, onde consinta em ponderações, apreciações, verificações e
generalizações, desenvolvendo um sujeito que acima de qualquer coisa, tenha ação criativa
e crítica, diante do seu meio social.
Para Castrucci, Giovanni e JR (1998, p. 3)
17
Pode parecer, a princípio, que alguns temas da matemática não têm
aplicação imediata no mundo em que vivemos; isso pode gerar certo
desapontamento. Na verdade, a aplicação da matemática no cotidiano
ocorre como resultado do desenvolvimento e do aprofundamento de certos
conceitos nela presentes. (CASTRUCCI, GIOVANI, JUNIOR, 1998, p.3)
Norteados por estes pressupostos devemos sempre ter em mente que o homem,
initerruptamente sempre procurou aperfeiçoar, tanto os seus instrumentos, conhecimentos e
consequentemente seus modos de vida. Nesta busca interminável por mais uma descoberta,
o seu caminho se construiu com muita energia e tempo envolvido, como muitas tentativas,
tendo sempre alguns erros até surgisse algum resultado satisfatório, isso de maneira
gradativa com o passar dos tempos até a obtenção das fórmulas que hoje utilizamos para
resolver os problemas matemáticos, seja de natureza teórica ou prática.
Conforme Farago (2003, p.17),
A história da matemática constitui um dos capítulos mais interessantes do
conhecimento. Permite compreender a origem das ideias que deram forma
a nossa cultura e observar também os aspectos humanos do seu
desenvolvimento: enxergar os homens que criaram essas ideias e estudar
as circunstancia em que elas se desenvolveram. Assim, esta história é um
valioso instrumento para o ensino aprendizado da própria matemática.
Podemos entender porque cada conceito foi introduzido nesta ciência e
porque, no fundo, ele sempre era algo natural no seu momento.
Entendemos que é de extrema importante debater as práticas e os métodos como
ocorrem o processo de ensino e aprendizagem da matemática, tendo como norte para
produzir um saber sustentado na compreensão dos aspectos que envolvam os modelos, mas
ao mesmo tempo aproximada da História Matemática.
Diante dos aperfeiçoamentos das metodologias e da maneira como pensamos a
matemática, podendo assim, propiciar ao educando uma formação mais completa, tendo com
relevância, todos os aspectos históricos e culturais, do aprimoramento da matemática. Cabe
ainda neste cenário, uma abordagem sobre alguns saberes que foram e são fundamentais para
a humanidade, e um desses conhecimentos é a Equação do 2º Grau.
18
19
3 CONCEPÇÕES SOBRE O ENSINO DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
No capítulo anterior, discutimos acerca da importância da história da matemática e
consequentemente de suas contribuições para o processo de ensino e aprendizagem.
Enveredados por este caminho, neste capítulo faremos algumas considerações sobre a
equação de 2º grau, considerando alguns aspectos atuais sobre o seu ensino, com ênfase
sobre o método utilizado para repassar o conteúdo, introduzindo ainda, conceitos vinculados
a resolução de problemas, visto que os primeiros modelos da equação, surgiram pela
necessidade encontrar respostas aos problemas do dia a dia.
3.1 Breve reflexões acerca do ensino da matemática
As mudanças na sociedade, os avanços ocorridos na tecnologia e na comunicação
criou um ambiente, fundamentado pela competividade e aprimoramento do que existe. Para
uma compreensão do mundo, de um modo mais crítico e estruturado, é necessário existir
saberes distintos, almejando se adequar às inovações na mesma rapidez com que estas
progridem.
Além do mais, pode-se constatar que a escola não consegue acompanhar o
desenvolvimento ocasionado pela globalização, pois exigisse uma maior e mais rápida
transformação dos conhecimentos apresentados, em ferramentas transformadoras dos
objetos sociais presentes na atualidade.
O que se nota nas salas de aulas, é que o ensino em especial o de matemática, ainda
sobrevive das práticas tradicionais, enraizadas em uma aprendizagem direcionada para a
memorização de fórmulas e dados completamente distante das necessidades daqueles
vivenciadas pelos alunos, que se encontram em um outro patamar, inseridos em uma nova
era, a era das tecnologias. Se a escola ainda permanecer neste caminho, o que teremos como
resultado é um distanciamento cada vez maior entre a escola e o educando.
Exprime Toledo e Toledo (1997), que uma pergunta é comum entre os alunos: “Para
que eu preciso estudar Matemática? ”. Ao meditarmos sobre a matemática, percebemos que
está se originou e edificou-se durante todo o percurso histórico pelo qual trilhou a
humanidade, sendo uma ferramenta, que inicialmente estava vinculada a resolver os
problemas de natureza prática, a partir das situações vivenciadas no dia a dia.
20
Porém, é preciso destacar que existem muitas mudanças acontecendo no âmbito da
sala de aula, e que o que se pode diagnosticar, é um desinteresse cada vez maior dos alunos
com os estudos. Este momento nebuloso, não é exclusividade da matemática, mas de todas
as áreas do conhecimento.
Mesmo assim, ainda podemos observar que o ensino de matemática, a partir de uma
abordagem mecânica e sistemática, a torna muito mais desinteressante e atrativa por parte
dos alunos, que muitos já trazem consigo as dificuldades, e as lacunas deixadas pelos
professores da series iniciais, que as vezes não trabalham a matemática como os seus alunos
como deveriam.
A aplicação dos aprendizados em contextos diferentes daqueles em que
foram adquiridos exige muito mais que a simples decoração ou a solução
mecânica de exercícios: domínio de conceitos, flexibilidade de raciocínio,
capacidade de análise e abstração. Essas capacidades são necessárias em
todas as áreas de estudo, mas a falta delas, em Matemática, chama a
atenção. (MICOTTI, 1999, p. 10)
Direcionados por nossas reflexões, é destacável que os problemas estão relacionados
direto ou indiretamente, e que nesta ótica, a cada ano que o aluno vai passando pela sala de
aula, os problemas da aprendizagem, vem se tornando uma “bola de neve” de tamanho
incalculável. Não é possível apontar de certeza qual o centro dos problemas educacionais,
mas podemos destacar, fatos como a organização curricular até a falta de conhecimento dos
documentes que direcionam e orientam a educação.
Existe uma distância entre o que está proposto nesses documentos e a
prática escolar, cuja superação tem se mostrado difícil. As dificuldades vão
desde problemas com a formação inicial e continuada a pouca
disponibilidade de material didático-pedagógico; desde a estrutura
verticalizada dos sistemas de ensino à incompreensão dos fundamentos da
lei, das diretrizes e parâmetros. (RICARDO, 2003, p.8).
Dessa forma percebemos que ensinar matemática, é mais do que ensinar os modelos,
mais do que isso, é fundamentar uma aprendizagem significativa, relacionando o conteúdo
com as situações que os educandos podem vir a vivenciar. Colabora Biaggi (2000), ao
afirmar que “não é possível preparar alunos capazes de solucionar problemas ensinando
21
conceitos matemáticos desvinculados da realidade, ou que se mostrem sem significado para
eles, esperando que saibam como utilizá-los no futuro”.
No entendimento de D’AMBROSIO (2012),
A típica aula de matemática em nível de primeiro, segundo ou terceiro
graus ainda é uma aula expositiva, em que o professor passa para o quadro
negro aquilo que ele julga importante. O aluno, por sua vez, copia da lousa
para o seu caderno e em seguida procura fazer exercícios de aplicação, que
nada mais são do que uma repetição na aplicação de um modelo de solução
apresentado pelo professor.
Além do mais, este modelo de pensamento e ação no ato de ensinar, destacado por
D’Ambrósio, apenas alimenta ainda mais a visão da matemática, como sendo
desmotivadora, sem utilidade para na vida do educando, criando no mesmo uma falsa
possibilidade de aprendizagem, onde este se dar pela quantidades de exercícios, e não
estimulando ao aluno, em que o ato de aprender vai além do método, e que o método surge
como instrumento para ser utilizados na buscas pelas respostas, ou solução das situações
vivenciadas.
Ressalta os PCNs, (2001, p. 62-63), que;
É importante que estimule os alunos a buscar explicações e finalidades para
as coisas, discutindo questões relativas à utilidade da Matemática, como
ela foi construída, como pode construir para a solução tanto de problemas
do cotidiano como de problemas ligados à investigação científica. Desse
modo, o aluno pode identificar os conhecimentos matemáticos como meios
que o auxiliam a compreender e atuar no mundo.
Diante do cenário de transformação que se passa e busca, por mais que ainda exista
alguns livros didáticos, que apresente uma ênfase maior sobre às fórmulas, podemos notar
algumas poucas mudanças, mas muitas vezes, saberes iniciais como história da matemática
ou um exemplo de uma situação prática onde aquele conhecimento é utilizado.
Diante dessa atitude tomada pelo professor, o aluno está sendo estimulado mais a
decorar o que se ensina e repetir vários exercícios do assunto, sem possibilitar o
entendimento e aquisição dos saberes fundamentais para aplicar o conteúdo em situações
problema, ou sem mesmo gerar, estímulo e curiosidade.
22
3.2 A resolução de problemas e suas contribuições para a aprendizagem da matemática
Quando se discute atualmente acerca de novas formas de construir matemática, nos
remetemos de imediato ao que hoje se aponta por muitos como uma porta para descobrir
saberes. Assim, a associação entre os conceitos e sua aplicabilidade a partir de problemas
práticos, possibilitam ao homem, na sua incessante busca de uma relação cada vez mais
dominante com a natureza e, posteriormente, com os meios de produção.
Sobre a resolução de problemas, os PCN (1998), o mesmo descreve que esta
metodologia de aprendizagem, se norteia pelos seguintes princípios:
A situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e
não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos,
ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a
exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos
precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las;
O problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de
forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há
problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão
que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada;
Aproximações sucessivas de um conceito são construídas para resolver
um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que
aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações,
rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na
História da Matemática;
Um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos,
por meio de uma série de retificações e generalizações. Assim, pode-
se afirmar que o aluno constrói um campo de conceitos que toma
sentido num campo de problemas, e não um conceito isolado em
resposta a um problema particular;
A resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida
em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação
para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode
apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas. (PCN,
1998, p. 40 – 41).
É ressaltado por Polya, (1994, p. 5), que "uma grande descoberta resolve um grande
problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema".
Com isso, nesta busca de se produzir uma metodologia de ensino que possibilite ao
aluno o entendimento e a relevância do que é estudado, enxergamos dentre as metodologias
23
da aprendizagem, a utilização da resolução de problemas como um meio de ao ensinarmos
as equações de 2º grau, trabalhar conjuntamente, os modelos e fórmulas, em uma ótica da
necessidade por parte dos alunos sobre o conteúdo estudado, e não o que o professor julga
ser importante na sua concepção.
Concorda Toledo e Toledo (1997), destacando que os problemas de matemática
muitas vezes são trabalhados de forma desmotivadora, apenas como um conjunto de
exercícios acadêmicos. Visto desta forma, os problemas matemáticos e as equações, passa a
não ter muito sentido para o aluno, já que não apresentam situações que possam ser
vivenciadas pelo educando, e que este possa utiliza-la como ferramenta.
Para Van de Walle (2009, p. 139) “as situações do mundo real podem ser utilizadas
para estabelecer a necessidade de muitos tópicos de álgebra’. Nesta mesma concepção, os
PCNs (1998, p.116), asseguram que ser mais favorável apresentar situações que estimulem
e direcionem os alunos na construção de noções acerca da álgebra, tomando a observação
como parte da aprendizagem. Além do mais, “É importante que os alunos percebam que as
equações facilitam muito as resoluções de problemas difíceis”. PCNs (1998, p.121).
Um exemplo bem claro presente nas aulas matemáticas como um todo, é destacado,
pois, por mais que alguns livros trazem algumas orientações para iniciar os assuntos, alguns
educadores, veem que aplicar exercícios e repeti-los, é um caminho para realmente aprender
a matemática.
No entendimento de Oliveira (2001), sobre o ensino da matemática, o autor faz
considerações relevantes sobre o processo, afirmando que,
O ensino da matemática privilegia o raciocínio dedutivo, e não o raciocínio
indutivo. Deduzir significa inferir, ou seja, derivar uma inferência de um
princípio geral. O estudo e o ensino da Matemática significa resolver
problemas. Para outros, significa estabelecer provas através de deduções.
Em ambos os casos, a Matemática utiliza muitos conceitos definidos – e o
domínio desses conceitos é um pré-requisito para poder aprender as regras
que permitem deduzir provas ou resolver problema. (OLIVEIRA, 2001, p.
175).
Ao analisarmos os PCNs, os estudos das equações do 2º grau, estão situados no grupo
dos Números e Operações. Além do mais, o documento ainda faz colaborações ao professor,
orientando que o mesmo procure, ao ensinar o conteúdo a utilização de problemas
matemáticos, como meio de gerar interesse, motivação e compreensão do objeto de estudo.
24
A respeito do professor que saem do contexto tradicionalista, Gonçalves e Brito
(2001, p.225), cooperam, ao assegurar que;
[...] professores com atitudes positivas em relação à matemática
encoraja os seus estudantes à independência, possibilitando o
desenvolvimento do raciocínio e das habilidades básicas para resolução de
problemas.
Ainda, segundo os PCN (1998, p.84), podemos destacar como sendo essencial “[...]
a formulação e a resolução de problemas por meio de equações (ao identificar parâmetros,
incógnitas, variáveis) e o conhecimento da ‘sintaxe’ (regras para resolução) de uma
equação”. Neste sentido, quando conseguimos adentrar nas situações-problema, inserindo as
incógnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras, teremos um resultado
mais satisfatório e significativo, pois as fórmulas passarão a ter sentido nas situações.
Acerca da resolução de problemas no ensino da matemática, ONUCHIC e
ALLEVATO, destacam a importância, afirmando que:
Resolução de problema coloca o foco da atenção dos alunos sobre
ideias e sobre o “dar sentido”. Ao resolver problemas, os alunos
necessitam refletir sobre as ideias que estão inerentes e/ou ligadas ao
problema;
Resolução de problemas desenvolve o “poder matemático”. Os
estudantes, ao resolverem problemas em sala de aula, se engajam em
todos os cinco padrões de procedimentos citados nos Standards 2000:
Resolução de problemas, raciocínio e prova; comunicação; conexões e
representações; que são os processos de fazer matemática, além de
permitir ir bem além à compreensão do conteúdo que está sendo
construído em sala de aula;
Resolução de problemas desenvolve a crença de que os alunos são
capazes de fazer Matemática e de que Matemática faz sentido. Cada
vez que o professor propõe uma tarefa com problemas e espera pela
solução, ele diz aos estudantes: “Eu acredito que vocês podem fazer
isso!”. Cada vez que a classe resolve um problema, a compreensão, a
confiança e a auto avaliação dos estudantes são desenvolvidas;
Resolução de problemas provê dados de avaliação contínua que
podem ser usados para tomar decisões instrucionais, ajudar os alunos
a ter sucesso (...);
A formalização de toda teoria matemática pertinente a cada tópico
construído, dentro de um programa assumido, feito pelo professor ao
25
final da atividade, faz mais sentido para os alunos (ONUCHIC;
ALLEVATO, 2004, p. 213-214).
Além disso, no que se refere ao estudo das equações do 2º grau, os PCNs apresentam
uma importante metodologia a ser utilizada, considerando que a,
Resolução de situações-problema que podem ser desenvolvidas por uma
equação de segundo grau cujas raízes sejam obtidas pela fatoração,
discutindo o significado dessas raízes em confronto com a situação
proposta. (BRASIL, 1998, p.88).
Estas metodologias apresentadas pelos PCNs, traz um melhor entendimento dos
probleminhas matemáticos, como um elemento colaborativo para auxiliar nos enfoques
inicias das equações do 2° grau. Isso desde, que ocorram este elo entre os resultados
descobertos e o problema a qual é fonte de estudo, tornando de extrema importância o
estimulo do pensamento, da reflexão acerca de tudo que está envolvido fazendo como o
incentivo seja sobre a descoberta e a construção da solução do problema, sem atribuir os
resultados as formulas utilizadas, mas sim, a observação, elaboração e execução do processo
de solução, de modo que o aluno compreenda as etapas e não se sinta perdido.
Dessa forma, ao aluno conseguir visualizar o real objetivo das equações, que mais do
que uma fórmula é uma estratégia, construído por passos, ao qual direciona o educando a
descobrir o resultado desejado. É importante salientar, que este estimulo inicial propiciado
pelo professor, é um fundamental para mudar, alguns pensamentos errôneos de que
matemática se resume a fórmulas e cálculos, alimentando no aluno a vontade por estudar a
matemática, tendo a dimensão de sua importância.
3.3 Polya e suas reflexões sobre a resolução de problema
Enveredados por nossas reflexões sobre ensino de matemática, bem como as
contribuições que a utilização das resoluções de problemas, será fruto de discursão algumas
etapas propostas pelo renomado e pesquisador em Educação Matemática George Polya, que
em seu célebre e admirável livro “A arte de resolver problemas”, possibilitou uma nova
dinâmica para o ensino da matemática.
26
Livro este, que abriu um leque de questionamentos sobre, uma reflexão mais
profunda na hora de resolver um problema, não tendo em primeiro momento a única visão
das fórmulas, mas um entendimento sobre o que é objeto de estudo.
Em seu livro, Polya expõe a heurística que é à técnica desenvolvida por ele para
resolver as situações problemas. Gomero (2012, p. 4), descreve que, “A heurística é o estudo
das estratégias e táticas utilizadas para resolver problemas em qualquer esfera”.
Além do mais, Gomero (2012, p.4), ainda ressalta que,
[...] geralmente um problema pode ser abordado e resolvido de muitas
maneiras diferentes, e isto se aplica em particular a problemas de
Matemática. [...] prestando mais atenção à identificação das estratégias e
táticas utilizadas do que às ferramentas, isto é, à própria Matemática. O
objetivo principal é resolver cada problema de tantas maneiras diferentes
quanto seja possível.
Dessa forma, destacamos as etapas propostas por Polya (1995), a serem adotadas na
resolução dez problemas:
1ª. Compreensão do problema;
2ª. Elaboração de um plano;
3ª. Execução do plano;
4ª. Verificação da solução encontrada.
Verificando as etapas sugeridas por Polya, percebemos que a maneira como cada
uma está definida, representa um a sequência bem objetiva a ser utilizada na resolução de
um problema. Além do mais, tais etapas se apresentam como um pré-requisito para o
próximo passo, de maneira que qualquer erro cometido, impossibilitará a obtenção do
resultado.
Logo, pela primeira etapa sugerida, percebemos que o antes que qualquer outra ação
se faz necessário a compreensão do problema, e para que isso ocorra, é preciso instigar no
educando a reflexão sobre o que é o problema, e consiga realizar uma interpretação acerca
do que se pede.
Já a segunda etapa se baseia no fato de que o aluno precisará construir uma maneira
ou estratégia para poder obter a solução. Além disso, é necessário que aluno estabeleça um
elo entre os dados que são fornecidos e o que se pede no problema, valendo salientar que
27
nesta fase o aluno deverá pensar em outros problemas que sejam semelhantes, isso pois irá
ajudar de maneira significativa para a construção do plano de resolução.
Na terceira etapa proposta, o aluno deverá colocar em prática a estratégia ou os
caminhos que escolheu para a resolução. Neste momento ele irá pôr em ação o plano que ele
delimitou na segunda etapa, se atentando a cada passo que será realizado, isso de maneira
criteriosa, afim de evitar algum desvio na execução ou passos desnecessários.
Por fim, na quarta e última etapa sugerida por Polya, será o momento para analisar e
verificar a solução encontrada. Dessa forma, o aluno deve verificar os métodos usados, para
assim tentar determinar outras maneiras de se resolver o problema de uma maneira mais
simples.
Neste momento, é importante frisar a importância destas etapas, pois vinculadas uma
com outra, produzirá no aluno, uma maior reflexão sobre a maneira de se portar diante de
uma situação problemas, pois municiados desses simples passos, o aluno mais do que
determinar uma solução, ele constrói uma ou mais soluções para uma mesma situação, e
dessa maneira que acontece uma aprendizagem expressiva.
Logo mais, percebemos que o método ou etapas para resolver problemas é muito
importante para fortalecer a aprendizagem da matemática. Além do mais, inseridos neste
contexto, situando as equações do 2º grau, se percebe que está também se encontra em muitos
probleminhas de aplicação da matemática no dia a dia.
Além do mais, consta nos PCN (BRASIL, 1998, p.84) que ao se proporem situações
problema bastante diversificadas, o aluno poderá reconhecer diferentes funções da Álgebra.
Segundo Dante (1991),
[...] é possível, por meio da resolução de problemas, desenvolver no aluno
iniciativa, espírito explorador, criatividade, independência e a habilidade
de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos
recursos disponíveis, para que ele possa propor boas soluções às questões
que surgem em seu dia a dia, na escola ou fora dela.
Para isso é fundamental a compreensão e a reflexão do professor sobre como ensinar
este conteúdo da equação 2º grau, presente no 9º ano do ensino fundamental, é que eu seu
estudo é importantíssimo para o aluno que vai ingressar no ensino médio. Neste cenário uma
aproximação é importante ressaltar a relação entre o contexto histórico, os problemas
matemáticos, não se restringindo apenas aos conceitos mais algébricos.
28
Ao se trabalhar com resolução de problema, devemos acreditar, motivar e possibilitar
aos alunos, que a matemática não é difícil e que ele será capaz de resolver qualquer problema
que se apresenta. Assim, colabora Centurión (2003), afirmando que alunos motivados são
capazes de raciocínios maravilhosos e surpreendentes.
Nenhum conhecimento é desnecessário neste caminho que o aluno traça deste as
series iniciais até chegar ao ensino médio, mas é muito importante destacar as construções e
a relevâncias de alguns saberes que surgiram para atender as necessidades do homem
primitivo, e com o passar dos tempos este se moldaram e resultaram nas fórmulas que hoje
utilizamos.
Resolver ou entender equações do 2º grau foi extremamente necessário
principalmente nas civilizações que datam em manuscritos de sua utilização, como os
egípcios, os babilônios, os gregos, os hindus e as demais civilizações que vieram
posteriormente, até os dias atuais.
O que pode enxergar de um modo geral, é a presença de situações vivenciadas que
faziam com que o homem buscasse meios para determinar uma solução, mesmo não tendo
o conhecimento da álgebra, eles conseguiam montar estratégias para tal finalidade. Então,
esta reflexão, nos colocar em destacar dois pontos muito importantes, a história da
matemática, e sua relação com as situações problemas.
Relacionar tanto a história como os problemas, é uma importante ferramenta que o
professor possui, não se apegando exclusivamente as fórmulas, mas apresentando um leque
de possibilidade, para assim produzir em suas aulas, a motivação e a aprendizagem dos seus
alunos, fatos estes tão almejados atualmente em nosso cenário educacional.
No próximo capítulo, iremos expor a história da equação do 2º grau ressaltando as
diferentes técnicas de resolução de problemas utilizados pelas civilizações, construindo um
percurso histórico a partir dos primeiros povos, e depois deles como seu deu este processo
de aprimoramento, no estudo, trabalho e aplicação da equação, desde os métodos antigos até
os contemporâneos.
29
4 ANÁLISE HISTÓRICA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Neste capítulo, realizaremos reflexões sobre as civilizações antigas, e como datam
de documentos que a aproximadamente a mais de 4.000 anos, as civilizações começaram a
desenvolver procedimentos que eram capazes de determinar uma solução para equações do
2º grau, adotando fórmulas de maneira intuitiva. Tendo em vista, todo o contexto histórico
atrelado a equação do segundo grau, enfatizaremos alguns problemas retirados do famosos
Papiros, e outros tipos de manuscrito, afim de com isso, conseguir traçar uma linha histórica
de como a equação se moldou a partir de cada civilização, até os dias atuais, onde estes
modelos são resolvidos através de uma fórmula presente nos livros de matemática no Brasil,
como a fórmula de Bhaskara.
4.1 Os egípcios e a equação do 2º grau
A história descreve que a civilização Egípcia, como um dos povos mais antigos, e ao
mesmo tempos, destaca algumas particularidades associadas a estes povos. Além do mais
não podemos deixar de mencionar, o rio Nilo, onde as suas terras férteis eram responsáveis
pela produção de tudo o que era consumido.
Porém com todas as condições existentes, naquele tempo os egípcios, não tinham
nenhum conhecimento que lhe propiciasse superar algumas situações do dia a dia. Um
exemplo destas situações, podemos destacar, as atividades comerciais, sem nenhum
conhecimento numérico, e talvez o que se apresenta nos livros de matemáticas, foi o
surgimento das primeiras noções básicas da matemática egípcia, vinculado a medição de
terra.
Quando o rio enchia as demarcações que existiam, eram arrancadas pela água, e
quando o rio baixava, era preciso saber onde cada propriedade estava localizada antes da
cheia e quais eram as suas dimensões. Outro fator que contribuiu, foi as atividades agrícolas
de irrigação que eles realizavam. Assim, a matemática egípcia está associada a atender as
necessidades pelas quais eles passavam, também como resolver problemas, e determinar
maneiras eficientes para realizar a construção de estruturas hidráulicas, reservatórios para
armazenar a água e canais para a irrigação e a drenagem das terras que ficavam alagadas
durante as cheias.
30
Diante disso, eles começaram a documentar a maneira como resolviam os problemas
que existiam, bem como de atividades de contagem, conhecimento medicinais. Durante
algumas escavações que foram realizadas no Egito no século XVIII, muitos foram os
documentos contendo anotações, documentos estes que, devido ao material que utilizavam
na sua confecção eram chamados de papiros. Nesta perspectiva, para Katz (2010), o
conhecimento matemático do antigo Egito, está presente nestes papiros que traziam escritos
problemas matemáticos bem como suas soluções. Dentre estes os papiros encontrados,
destacamos o papiro de Kahun, de Berlim, de Moscou e o Papiro Rhind (ou de Ahmes).
Dentre estes, destacamos o papiro de Moscou, que hoje se encontra em Moscou na
Rússia. Este papiro tem em suas dimensões 5,5m de comprimento e 8 cm de largura, e em
comparações o papiro de Rhind, ele possui apenas 25 problemas, e segundo dados históricos
ele foi escrito pela décima segunda dinastia, que data de aproximadamente 1890 a.C.
Figura 1: O Papiro de Moscou
Fonte: BOYER, (2001, p.13)
Além do papiro de Moscou, apresentamos abaixo, uma parte do papiro de Rhind,
também chamado de papiro de Ahmes, que segundo dados históricos, foi escrito por
aproximadamente 1.650 a.C.
Figura 2: Parte do papiro de Rhind (ou de Ahmes).
Fonte: http://www.kalipedia.com/historia-universal/tema/edad-antigua/papiro-rhind.html.
31
A respeito do papiro de Rhind, Eves (2002) colabora afirmando que,
O papiro matemático de Rhind é uma cópia de um trabalho ainda mais
antigo. Foi copiado por um escriba (escriturário egípcio) chamado Ahmes
em escrita hierática, em 1650 a.C, e por esse motivo também é referenciado
por papiro de Ahmes. O papiro foi adquirido por Alexander Henry Rhind
em Luxor, Egito, em 1858. O Museu britânico incorporou-o ao seu
patrimônio em 1865, permanecendo em seu acervo até os dias atuais.
(EVES, 2002)
Além do mais para o autor, apesar do papiro se apenas um sinal elementar, em relação
no que se refere à matemática antiga na visão dos egípcios, Eves (2004) ressalta o quanto o
papiro de Rhind é importante, devido ao fato de mostrar os métodos por traz dos
conhecimentos adquiridos pelos povos egípcios.
[...] o papiro de Rhind é uma fonte rica sobre a matemática egípcia,
pois descreve os métodos de multiplicação e divisão dos egípcios, o
uso que faziam das frações unitárias, seu emprego da regra de falsa
posição, solução para problemas de determinação de área de um
círculo e muitas aplicações da matemática em problemas práticos.
(EVES, 2004, p. 70).
O papiro era escrito em hierático, onde, o hierático era uma das três maneiras com as
quais os egípcios escreviam, e especificamente neste papiro foi escrito por eles 85 problemas
matemáticos, que em sua grande maioria estão associados as situações praticas vivenciadas
no dia a dia pelos egípcios.
Vale destacar que existem no papiro, problemas de natureza algébrica e também
geométrica. Os problemas algébricos representavam situações envolvendo, à divisão de
cerveja, pães dentre outros, bem como as operações aritméticas, e a determinação da
quantidade de alimentos, que estavam associadas as equações de grau um, operações com
frações e problemas de medidas. Já em relação à geometria, os problemas retratam situações
relativas ao cálculo da medida dos volumes, compartimentos e áreas de figuras planas.
Dessa forma, em relação ao conhecimento matemático presentes nos papiros, destaca
Boyer (2001, p.9) que,
32
Há um limite para a quantidade de informação matemática que se pode
retirar de calendários e pedras tumulares, e nossas ideias sobre a
contribuição egípcia seriam muito imprecisas se dependêssemos somente
de material de origem cerimonial e astronômica. A matemática é muito
mais do que contar e medir, os aspectos que são tratados em inscrições
hieroglíficas.
Então, para resolver os problemas matemáticos, os egípcios desenvolveram alguns
métodos para obter uma solução. Algumas situações se modelavam na forma de equações
do 1º grau, e para poder encontrar umas respostas correta, utilizavam-se de um método
chamado de “método de falsa posição”, que se encontram descritos nos papiros, dentre eles
o de Moscou e o de Rhind.
Entretanto, não existem nos papiros registros de como eles as equações do 2º grau,
porém mesmo sem comprovação, dize que eles elaboraram um método semelhante ao
utilizado para as equações do 1º grau, que ficou conhecido como “dupla falsa posição”, para
encontrar as soluções de equações do tipo x2 + y2 = k e y= ax, onde o número k e a, devem
ser positivos.
Para melhor entendermos como funciona esta técnica da falsa posição utilizado pelos
egípcios, vejamos o exemplo de um problema resolvido retirado do papiro de Berlim,
aplicando este método, mencionado por CARVALHO (2008, apud SANTANA, 2013, p. 19-
20).
Exemplo: A área de um quadrado é 100 e tal quadrado é igual à soma de
dois quadrados menores, em que o lado de um é igual 4
3 do lado do outro.
(Realce em itálico de nossa autoria).
Solução: Utilizando a simbologia atual!
Sejam x e y lados de dois quadrados que satisfazem
x2 + y2 = 100 (1)
4x = 3y (2)
A equação (1) é satisfeita por x=3 e y= 4, assim x2 + y2 = 32 + 42 = 25.
Para obter a soma 100, bastaria multiplicar ambos os membros por 4, isto
é, bastaria fazer
x= 4.32; e y= 4.42, então resultaria em:
x2 + y2 = 36 + 64 = 100 e 4x= 4.6=24; 3y=3.8=24.
33
Um outro problema bem interessante de se observar, é o problema 25 que está no
Papiro de Ahmes, em que Roque (2012), descreve como seria a “receita” para a resolução
do problema, como destacamos abaixo.
Problema 25 extraído do Papiro Ahmes: Uma quantidade e sua metade
somadas fazem 16. Qual é a quantidade?
Solução:
i) Admitimos que a quantidade é 2 (um chute para começar) Obtemos de
i) que 2 somado com sua metade é igual a 3. Mas queremos o número que
somado com sua metade dê 16. Logo, devemos procurar pelo número que
multiplicado por 3 deve dar 16, que é 16/3, e este será o número pelo qual
2 deve ser multiplicado para obtermos o número procurado 32/3.
Adaptação de Roque (2012, p.80).
Dessa forma, podemos perceber que a maneira como os egípcios “resolviam” estes
tipos de problemas não apresentava um método algébrico, mas talvez mais aritmético.
Neste mesmo entendimento, ressalta Andrade (2000), ao afirmar que,
[...] num raciocínio algébrico a incógnita é tida como conhecida, é
representada por uma letra, palavra ou símbolo e é envolvida em operações
como se de um número se tratasse. O procedimento dos Egípcios baseava-
se em fazer cálculos com números concretos até chegarem ao valor da
incógnita. A incógnita era apenas o ponto de chegada dos problemas.
(ANDRADE, 2000, p.12).
À vista disso, o que se pode observar que as civilizações egípcias apresentaram as
primeiras contribuições, de maneira muito significa para o desenvolvimento do estudo da
equação do segundo grau, isso se pode constatar pelos papiros encontrados, e também pelas
enormes construções das grandes pirâmides, que para a época representava uma arquitetura
muita robusta.
Talvez muito do conhecimento dos egípcios possa estar ainda perdido em meio a
história, mas vale ressaltar que os primeiros passos realizados pelas civilizações egípcias
foram essenciais para o aprimoramento realizado pelos gregos, na geometria, trigonometria,
dentre outros conhecimentos.
34
4.2 Os babilônios e a equação do 2º grau
Uma outra civilização que merece destaque no mesmo período que os povos Egípcios
é a civilização Babilônica, também conhecida por civilização Mesopotâmica. Estes fatos são
destacados por Andrade (2000), onde o autor destaca aspectos relacionados aos
Mesopotâmicos e também a maneira que eles utilizavam para realizar seus escritos.
Há uma maior abundância de documentos relativos à matemática desta
civilização, em virtude do material utilizado para a escrita ser diferente; em
vez de papiros, os Mesopotâmios utilizavam tábuas de barro mole, as quais
eram escritas com um estilete e cozidas ao sol ou num forno. Desta forma,
eram mais resistentes ao tempo e, consequentemente, mais duradouras.
Andrade (2000, p.12).
Ao se comparar as duas civilizações, egípcia e Babilônica, BOYER (1996, p.23),
ressalta que cerca de 2000 anos antes de Cristo, para os Babilônios já era bem comum
problemas onde se pediam para se determinar dois números, dados seu produto e ou sua
soma ou sua diferença.
Dessa forma, pode-se perceber que os Babilônicos detinham alguns conhecimentos
matemáticos muito além dos povos de sua época. Estudos demonstraram que eles possuíam
mais facilidade e habilidade para lidar com cálculos, não se sabe o porquê, mas talvez isso
se der devido ao fato em de sua linguagem e seu sistema de numeração é mais compreensível,
em comparação com os egípcios.
Acerca disso colabora, Bourbaki (1994, apud ANDRADE, 2000, p.14), ressaltando
que,
Os mais antigos documentos provenientes da civilização babilónica
mostram-nos como já eles estavam na posse de um sistema completo de
regras e cálculos para números racionais maiores do que zero,
comprimentos e áreas; apesar dos textos que chegaram até nós lidarem
apenas com problemas nos quais os dados eram explicitamente valores
numéricos, [mas] não nos deixam dúvidas que a generalidade das regras
por eles usadas denota uma facilidade técnica notável no trato das equações
do 1° e 2º grau. Bourbaki (1994, apud ANDRADE, 2000, p.14).
35
Além do mais, os babilônicos possuíam métodos para resolver equações do tipo
quadrática e biquadrática, fórmulas para o cálculo de áreas de figuras e do volume de sólidos,
todas de maneira bem rudimentar, aplicada apenas para os casos mais simples. Esses
conceitos, como alguns de trigonometria, estão apresentados na tábua Plimpton 322.
Figura 3. Fotografia da Plimpton
Fonte: www.history.mcs.standrews.ac.uk/HistTopics/Babilonyan_Pythagoras.html
Ainda podemos o sistema um sistema numérico de base sexagesimal, onde em
comparação aos Egípcios que possuíam um sistema de base 10. O sistema de base dos
babilônicos, possibilitavam muito os cálculos, onde são divisores naturais de 60.
Figura 4: Sistema de numeração mesopotâmico (Babilônico / Sumério) Fonte: http://www.mundoeducacao.com.br
Para resolver os problemas existentes, consta nos escritos da civilização babilônica,
suas técnicas utilizadas para resolver equações, onde estas deveriam ser equações de 2º grau
completa e ter seus coeficientes todos positivos, os quais podem ser divididas em três tipos.
Destacamos ainda, que os símbolos °°, °°°, representam as potências positivas de 60.
A primeira equação é do tipo, x2+ px = q, onde para uma melhor compreensão
introduziremos um problema associado a este modelo de equação.
36
Eu adicionei a área e o lado do meu quadrado, deu 45'. Tu consideras 1, a
unidade. Divides o 1 a meio: dá 30'. Multiplicas 30' por 30': dá 15'. Junta
o15'ao 45': dá 1. É o quadrado de 1. Subtrais 30', que foi o que tu
multiplicaste, a 1: obténs 30', é o lado do quadrado. (MAHAMMED, apud
ANDRADE, 2000, p.16).
Onde uma possível solução para o problema acima, segundo Andrade (2000) se
constrói da seguinte forma:
Representando o lado do quadrado por x, o problema se se reduz a equação
correspondente x2+ x = 45' que é do tipo x2+ px = q. O algoritmo usado foi
o seguinte:
x= √(10
2)
2
+ 45′ − 10
2= √(30′)2 + 45′ − 30′=√(15′)2 + 45′ − 30′=
√10 − 30′ = 1º- 30’= 30’, que corresponde no caso geral a x=
√(𝑝
𝑞)
2
+ q − 𝑝
2. (ANDRADE, 2000, p.16).
Já, o segundo tipo de equação desenvolvido, é da forma x2- px = q ou x2= px + q.
Afim de entender qual a técnica utilizadas, utilizaremos o seguinte problema.
Eu subtraí à área da superfície, o lado do meu quadrado: deu 14°° 30°.
Consideras 1, a unidade. Divides o 1 a meio: dá 30'. Multiplicas 30' por
30': dá 15'. Juntas o 15'ao 14°° 30°. dá 14°° 30°15'. É o quadrado de 29°
30'. Junta 30', que foi o que tu multiplicaste, a 29° 30': obténs 30°, é o lado
do quadrado. (MAHAMMED, apud ANDRADE, 2000, p.17).
Logo, uma possível solução para o problema anterior, descrito por Andrade (2000)
seria da seguinte forma:
Neste caso, o problema reduz-se a resolver a equação x2 - x = 14°°30°, que
é do tipo x2 - px = q. Uma vez que os Babilónios não aceitavam coeficientes
negativos, este problema foi interpretado como sendo do tipo x2 = px + q
(onde novamente p e q são positivos). Este tipo de equação já tem um
algoritmo de resolução diferente do anterior:
x= √(10
2)
2
+ 14°°30° + 10
2 = √(30′)2 + 14°°30° + 30′ =
√15′ + 14°°30° + 30′ = √14°°30°15′ + 30′ = 29° 30'+ 30’= 30’, que
corresponde no caso geral a x= √(𝑝
𝑞)
2
+ q + 𝑝
2. (ANDRADE, 2000, p.16).
37
Logo, um exemplo para o terceiro de tipo de solução construído pelos babilônios, é
representado no seguinte enunciado.
Eu adicionei o comprimento e a largura do meu retângulo: deu 60 30'; a sua
área é 7° 30'. Tu divides 60 30' a meio: dá 30 15'. Multiplicas 30 15' por 30
15': dá 10° 33'4-5". [A seguir] subtrais 7º 30' de 10°33'45": dá 3º3'45". É o
quadrado de 1º45'. Junta 3º15'; que foi o que tu multiplicaste, a 1º45': dá
5º, é o comprimento do retângulo. Retira de 3º15'que foi o que tu
multiplicaste, 1º45': dá 1º30', é a largura. (MAHAMMED, apud
ANDRADE, 2000, p.18).
Para o problema acima, destacamos a solução apresentada por (MAHAMMED, apud
ANDRADE, 2000, p.18).
Neste caso, o problema reduz-se a resolver o sistema {𝑥 + 𝑦 = 6030′
𝑥𝑦 = 7030′, que
é equivalente a resolver a equação x2+ 7030′ = 6030′x. Os cálculos
apresentados correspondem, em simbologia atual.
º5
'15º3'45º1
'15º3''45'3º3
'15º3'30º7''45'33º10
'15º3'30º7)'15º3(
2
'30º6'30º7
2
'30º6
2
2
x
e
'30º1
'45º1'15º3
''45'3º3'15º3
'30º7''45'33º10'15º3
'30º7)'15º3('15º3
'30º72
'30º6
2
'30º6
2
2
y
daí que, designamos a soma das raízes por S e o seu produto por P, obtemos
que P
SSye
SP
Sx
22
2222
.
Dessa forma, pode-se destacar que em relação aos egípcios, os babilônios,
apresentaram modelos e técnicas que por mais que ainda tivesse a mesma ênfase, porem as
38
ditas “receitas” que era como eles descreviam a solução, foi um primeiro encaminhamento
e produziu um leque maior, para ser estudado, mesmo que eles só possuíam conhecimentos
para lidar com expressões positivas.
Descreve Boyer (1974), que,
Até os tempos modernos não havia ideia de resolver uma equação
quadrática da forma x2+ px + q = 0, onde p e q são positivos, pois a equação
não tem raiz positiva. Por isso as equações quadráticas na antiguidade e na
Idade Média, e mesmo no começo do período moderno, forma
classificadas em três tipos 1) x2+ px = q, 2) x2 = px + q e 3) x2+ q = px.
Todos esses tipos são encontrados em textos do período Babilônio antigo,
de uns 4000 anos atrás. (BOYER, 1974. p. 23).
Os exemplos expostos e discutidos anteriormente, apresentam um certo gral de
dificuldade de compreensão. Para compreendermos um pouco melhor o método de resolução
construído pelos babilônios, analisaremos um exemplo e solução apresentado por Fragoso
(2000, p.20 - 21), onde o autor destaca que os babilônios escreviam o enunciado das
equações e sua solução utilizando as palavras, como o exemplo abaixo.
Exemplo: Qual é o lado de um quadrado em que a área menos o lado dá
870? (o que hoje se escreve: x2 - x= 870). (realce nosso)
Solução:
Tome a metade de 1 (coeficiente de x):
1
2 = 0,5
Multiplique por ela mesma:
(0,5x0,5 = 0,25)
Some o resultado a 870 (termo independente)
0,25+ 870= 870,25
Obtém-se um quadrado:
870,25 = 29,52
Cujo lado somado à metade de 1 vai dar (30) o lado do quadrado
procurado, ou seja, 29,5 + 0,5 = 30.
Sendo assim, em observância as reflexões apresentadas até aqui, se ressalta o fato de
que as técnicas utilizadas pelos Babilônios não se constroem a partir de problemas do dia a
dia, diferentemente dos egípcios. Além do mais, as técnicas associadas aos três tipos de
39
resolução apresentados, demonstraram a capacidade destes povos na manipulação algébrica
no processo de resolução de uma equação quadrática.
Sobre isso, Boyer (1974, p. 25) nos chama a atenção para a questão dos problemas
pertinente aos Babilônios, uma vez que não se tem conhecimento de problemas originados
de situações do seu quotidiano que fizessem com que eles desenvolvessem uma maneira
mais clara e objetiva para se resolver as equações do 2º grau. Assim, a maneira como eles
começaram a construir as suas soluções foi o alicerce, para que as outras civilizações
aprimorassem, até chegar ao modelo utilizado atualmente.
4.3 Os gregos e a equação do 2º grau
Norteados pelo tempo, destacamos agora a civilização Grega, e o processo evolutivo
que a matemática sofreu na maneira, como estes povos a lapidaram. O que podemos perceber
das civilizações Egípcias e Babilônicos, perpetuavam seus conhecimentos a partir da
indagação do “como”, em contrapartida, os problemas vivenciados a luz dos filósofos gregos
passaram a ser interpretados para o “por quê”.
Neste contexto Struik (1978 apud Andrade 2000, p. 20) enfatiza que “o objetivo
inicial da civilização Grega era compreender o lugar do Homem no universo, e a matemática
ajudava no sentido de ordenar as ideias de uma forma racional”.
A matemática construída até este momento, sem apresentava como uma
representação da vivencia prática dos povos, e com os gregos passaram a se desenvolver
alicerçada em conceitos, teoremas e axiomas elaborados por eles, para dar uma melhor
fundamentação da matemática.
Acerca disso Castelo (2013) destaca que,
Dois fatores estimularam e facilitaram o grande desenvolvimento da
ciência e da matemática pelos filósofos gregos: a substituição da escrita
grosseira do antigo oriente por um alfabeto fácil de aprender e a introdução
da moeda cunhada, o que estimulou ainda mais o comércio. A matemática
moderna teve origem no racionalismo jônico, e teve como principal
estimulador Tales de Mileto. Este racionalismo objetivou o estudo de
quatro pontos fundamentais: compreensão do lugar do homem no universo
conforme um esquema racional, encontrar a ordem no caos, ordenar as
ideias em sequências lógicas e obtenção de princípios fundamentais.
Castelo (2013, p. 27)
40
E diante de cenário o autor ainda enfatiza, um novo tempo para a matemática, com
destaque para dois grupos de estudiosos, os Sofistas e os Pitagóricos, onde o autor os
caracterizam, como.
Os Sofistas abordavam os problemas de natureza matemática como uma
investigação filosófica do mundo natural e moral, desenvolvendo uma
matemática mais voltada à compreensão do que à utilidade. É o começo da
abstração matemática, em detrimento da matemática essencialmente
prática. [...] Os Pitagóricos, sociedade secreta criada por Pitágoras de
Samos, enfatizavam o estudo dos elementos imutáveis da natureza e da
sociedade. [...] . Os Pitagóricos estudavam o quadrivium (geometria,
aritmética, astronomia e música). Sua filosofia pode ser resumida na
expressão “tudo é número”, com a qual diziam que tudo na natureza pode
ser expresso por meio dos números. Pitágoras dizia que: “tudo na natureza
está arranjado conforme as formas e os números”. Castelo (2013, p. 28)
Nesta perspectiva Fragoso (2000, p. 23), colabora acerca do matemático grego
Diofanto de Alexandria, que em seu tempo e até hoje é apontado por alguns estudiosos com
o pai da álgebra, mesmo que tal denominação não deva ser assumida. Do matemático
Diofanto, é atribuído a obra Arithmetica, que segundo fontes históricas era formada por treze
livros, porém apenas os seis primeiros foram os que conservaram.
Ainda que não existam e nem se conheçam informações verdadeiras que nos
possibilite enxergar o aprimoramento e desenvolvimento da matemática no âmbito da
civilização grega, o que se apresenta para fundamentar certos questionamentos, são obras
escritas creditadas a alguns matemáticos gregos, apontados como muito importantes para a
sua época, com destaque para Euclides, Pitágoras e Diofanto, dentre outros.
Euclides de Alexandria (360 a. C - 295 a.C.)
Dentre os matemáticos gregos, o mais conhecido, ou maior destaque por seus
trabalhos é Euclides de Alexandria, cujo obra mais conhecida é “Os elementos”, coleção de
livros compostas em 13 volumes, que apresentam algumas aplicações da álgebra na
Geometria em especial, a Geometria no plano, também chamada de Geometria Euclidiana,
em homenagem as Euclides por todas as suas contribuições.
41
Figura 5: Livro Os elementos de Euclides de Alexandria
Os estudos de Euclides acerca da Geometria, se concentravam mais especificamente
em suposições puramente lógica na formulação de teoremas, postulados, definições e
axiomas. Em termos de matemática, o livro Os elementos foi o livro de matemática mais
impresso até os dias de hoje.
Sobre Euclides, apresentaremos abaixo uma discursão sobre seu método de resolver
equações de 2º grau, retirado de seu celebre livro os Elementos, livro II.
Exemplo: A proposição 4 do livro Elementos, livro II, de Euclides.
Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a
linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes
o retângulo que as partes contêm.
Isto é, (a + b)2= a2 + 2ab + b2.
O que hoje conhecemos por (a + b)2= a2 + 2ab + b2 era representado por
Euclides através da figura abaixo(nº). E o termo conhecido por a2, para
Euclides era realmente um quadrado como mostra também a figura.
Figura 6: Representação geométrica da expressão (a+b )2= a2 + 2ab + b2.
Fonte: (BAUMGART, 1992, p. 6-7)
Diofanto de Alexandria
42
No que se a refere-se a Diofanto de Alexandria, uma obra de grande contribuição
escrito por este matemático foi o livro “Arithmética”, obra está influenciada pela cultura
ocidental da época. Nesta obra, Diofanto apresenta, discuti e analisa as soluções de equações
de 1º e 2º grau bem como de equações indeterminadas.
Figura7: Livro Arithmetica de Diofanto
Nos problemas Diofantinos verificou-se o uso de generalizações de métodos, embora
nem sempre se buscava todas as soluções possíveis. Nas situações problema este matemático
usava vários números desconhecidos e, quando possível, em termos de um apenas.
O procedimento de Diofanto é totalmente diferente, do ponto de vista
conceitual, dos procedimentos de falsa posição, e da geometria de colagem.
Com efeito, aqui, uma incógnita (designada por aritmo, que quer dizer
número) é posta em evidência nos cálculos. Esta incógnita não é como nos
processos aritméticos, o ponto de chegada dos cálculos, ela não é mais,
como acontece no caso da geometria da colagem, um ponto de referência
estático no desenvolvimento do problema, mas sim uma quantidade que é
operada como se fosse um número conhecido. (Radford 1993, apud
Andrade, 2000, p. 37).
Logo, para entendermos melhor o método construído por Diofanto, apresentaremos
uma demonstração proposta por Fragoso (2000, p.24).
Vamos chamar dois números tais que sua soma seja 20 e a soma dos
quadrados 208. De início os números são designados por x e y, mas como
10 + x e 10 – x (em termos de nossa notação). Assim temos: (10 + x)2 +
(10 – x)2= 208, logo x = 2; portanto, os números procurados são 8 e 12.
Diofanto buscou novos conhecimentos como, por exemplo: ele buscou
retratar o problema análogo em que a soma dos dois números e a soma dos
cubos são dadas como sendo 10 e 370.
43
Para compreendermos um pouco melhor a técnica utilizada por Diofanto, analisemos
o problema I – 27, retirado do livro Arithmética, escrito por ele.
Problema 1-27. Extraído de Diofanto (1959, apud Andrade 2000, p.38).
Encontrar dois números tais que a sua soma e o seu produto sejam dois
números dados. É preciso, no entanto, que o quadrado da semi-soma dos
números procurados exceda por um quadrado o produto desses números;
coisa que é figurativo. Propomos, portanto que a soma dos números seja
20 unidades, e que o produto seja 96 unidades. Diofanto (1959, apud
Andrade 2000, p.38)
Pelo enunciado podemos construir o problema, utilizando a linguagem atual como a
qual estamos habituados, da seguinte maneira, através do sistema
96
20
axb
ba, que isolando
alguma das variáveis, recairemos no seguinte sistema, com uma equação do 2º grau
aa 20962 , que genericamente era representada por pxqx 2.
Dessa forma, a solução dada por Diofanto (1959 apresentada por Andrade (2000, p.
39), se dar da seguinte forma.
[Consideremos ] que a diferença entre os números seja 2 aritmos. Daí que,
como a soma dos números é 20 unidades, se dividirmos em duas partes
iguais, cada uma das partes será metade da soma, ou seja, 10 unidades. Daí
que, se nós juntarmos a uma das partes, e se retirarmos à outra parte, a
metade da diferença entre os números, ou seja 1 aritmo, estabelece-se de
novo que a soma dos números é 20 unidades, e que a sua diferença é 2
aritmos. Em consequência disso, consideremos que o número maior é 1
aritmo aumentado de 10 unidades, que são a metade da soma dos números;
daí que o número mais pequeno será 10 unidades menos 1 aritmo, e temos
[novamente] que a soma dos números é 20 unidades e que a diferença entre
eles é 2 aritmos.
Temos também que o produto dos números é 96 unidades. Ora, o seu
produto é igual a 100 unidades menos 1 quadrado de aritmo; se igualarmos
isso a 96 unidades, vem que o aritmo é igual a 2 unidades. Em
consequência disso, o número maior será 12 unidades e o mais pequeno 8
unidades, e estes números satisfazem a proposição. Diofanto (1959, apud
Andrade 2000, p.39). ( Realce nosso).
44
Assim, vale ressaltar que os gregos deram importantes contribuições, para a
matemática enfatizando principalmente geométrico, e como este surgiam muitos problemas
que envolviam as equações, sejam de grau 1, 2 ou superior. Eles também foram importantes,
na elaboração de uma nova matemática, sustentada por definições mais bem elaboradas,
teoremas, axiomas, postulados, e tudo isto está presente em problemas por eles escritos e
resolvidos, em obras importantíssimas para a matemática como Os elementos, que é um dos
livros mais conhecidos da matemática.
Além do mais, muitos foram os matemáticos gregos que contribuíram para
fundamentar uma matemática, mais bem solidificada, e estruturada. Com isso, matemáticos,
como Euclides, Pitágoras que lhe é atribuído um dos teoremas mais importantes da
matemática, o famoso “Teorema de Pitágoras”, Diofanto, Apolônio, Ptolomeu, dentre
outros, mas as obras aqui apresentadas, foram muito importantes no estudo das equações do
2º grau, bem como de técnicas para resolve-las.
4.4 Os hindus e a equação do 2º grau
Uma outra civilização de destaque em seus estudos com a matemática, foram os
Indianos, também chamada de civilização Hindu. Da mesma maneira como as outras, os
hindus, também passaram a desenvolver modelos matemáticos com o objetivo de simplificar
e resolver as situações que recaiam em problemas matemáticos.
Muitos matemáticos surgiram e deixaram boas contribuições, mas talvez o de maior
destaque no estudo da matemática e de um modelo mais simplificado para resolver equações
do 1º grau e 2º grau, foi o ilustre matemáticos hindu da época Bhaskara, que além de
desenvolver este método para as equações, também apresentou resultados importantes para
solucionar problemas financeiros e também comerciais.
Outro respeitável matemático hindu, foi Brahmagupta que construiu importantes
resultados e contribuição para a Álgebra. Brahmagupta foi um dos primeiros a usar números
negativos e o zero em operações aritméticas, desenvolvendo ainda um método para a
resolução de equações de 2º grau, considerando as suas raízes pertencentes ao conjunto dos
números inteiros.
Além do mais, sobre os matemáticos indianos Pedroso (2000) colabora que.
45
A matemática hindu produziu até o renascimento grandes personagens,
dentre os quais destacam-se Aryabhata (séc. VI d.C.), Brahamagupta (séc.
VII d.C.), Sridhara (séc. XI d.C.) e Bhaskara (1114-1185), que muito
contribuíram para a resolução da equação do 2º grau ao resolver problemas.
Segundo o próprio Bhaskara a regra que usava e que originou a fórmula
atual era devido a Sridhara e que curiosamente é chamada, somente no
Brasil, de Fórmula de Bhaskara. Pedroso (2000, p. 6).
Assim como as demais civilizações, a hindu também construiu um sistema de
numeração próprio e além mais, no campo de estudos da matemática ciou algumas notações
para representar as operações. Além do mais, Motta (2000, p.6) descreve que “Os hindus
foram hábeis aritméticos e deram contribuições significativas à Álgebra. Muitos dos
problemas aritméticos eram resolvidos por falsa posição. Outro método de resolução
preferido era o de inversão no qual se trabalha pra trás, a partir dos dados”.
Para um melhor entendimento dos métodos hindus, Pedrozo (2010), destaca algumas
notações importantes.
ya (abreviação de yavattavat) era a primeira incógnita;
ka ( kalaka ou “negro”) era a segunda incógnita;
v (varga) significava “quadrado”;
. Um ponto sobre o número indicava que ele era
negativo;
bha (bhavita) significava “produto”;
k(a) representava karana (“irracional” ou “raiz”);
ru representava rupa (número “puro” ou “comum”).
Pedrozo, (2010, p. 6).
Destacaremos dois exemplos elaborados por Brahmagupta, e apresentado por
Pedroso (2010, p. 6 -7), demonstrando a maneira como ele escreviam e como seria em
linguagem atual.
Notação Hindu Notação Atual
9
101
ru
yavya
9102 xx
103
812)(7
yavya
ruakbhakaya
xxxy 1038127 2
46
Percebemos que incialmente o problema se apresentou um pouco complexo, mas ao
realizarmos a mudança de notação, verificasse que recaímos em uma representação
difundidas hoje em dia, acerca das equações de segundo grau.
Sobre a matemática dos hindus Boyer (2003), afirma que:
A matemática indiana era, como dissemos, uma mistura de bom e ruim.
Mas parte do bom era magnificamente bom, e aqui Brahmagupta merece
grande louvor. A álgebra hindu é especialmente notável em seu
desenvolvimento da análise indeterminada, à qual Brahmagupta fez várias
contribuições. Por exemplo em sua obra achamos uma regra para a
formação de tríadas pitagóricas expressas na forma m, 1
2(
𝑚2
𝑛−𝑛),
1
2(
𝑚2
𝑛+𝑛);
mas isso é apenas uma forma modificada da antiga regra babilônica, que
ele pode ter conhecido. A fórmula de Brahmagupta para a área do
quadrilátero, mencionada acima, foi usada por ele em conjunção com as
fórmulas √(ab+cd)(ac+bd)
ad+bc e√
(ac+bd)(ad+bc)
ab+cd para as diagonais, para achar
quadrados cujos lados, diagonais, e áreas sejam todos racionais, entre esses
estava o quadrilátero de lados a = 52, b = 25, c = 39, d = 60, e diagonais 63
e 56. Brahmagupta deu a área “bruta” como sendo 1933 ¾, apesar de sua
fórmula fornecer a área exata, 1764, nesse caso. (BOYER, 2003, p.125).
Além de Brahmagupta, é indispensável destacar o matemático Bhaskara, que na
concepção dele a Álgebra é arte dos raciocínios perfeitos. Dentre todos os matemáticos
hindus Bhaskara se notabilizou como um dos grandes matemáticos até os dias atuais,
formulando o seguinte modelo para representar a equação do segundo grau, sendo
apresentada como ax2 + bx = c.
Logo, a partir da equação acima, Bhaskara construiu outro modelo para obter as
raízes da equação realizando algumas manipulações algébricas.
Para a construção do modelo, primeiro multiplicamos os dois lados por (4a), o que
resulta na expressão, 4a2x2 + 4abx = 4ac. Posteriormente soma-se (b2) a ambos os lados da
expressão obtida, resultando em 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 + 4ac. Observando esta expressão,
ver-se que se trata de um produto notável, ou seja, (2ax + b)2 = b2 + 4ac. Elevando ambos os
lados ao quadrado e extraindo a raiz quadrada, chegando ao seguinte resultado: 2ax + b =
√b2 − 4ac. Por fim, realizando algumas manipulações algébricas, obteremos a formula x=
−𝑏±√b2−4ac
2𝑎 , que é o modelo matemático utilizando atualmente nas escolas brasileiras para
obter as raízes da equação do 2º grau.
47
Assim, a partir dos resultados alcançados por Bhaskara no século XII, muitos
problemas que recaiam em equações do 2º grau passaram a serem resolvidas por um modelo
matemático, mais sofisticado no que se refere aos passos utilizados para chegar até este
modelo, e ao mesmo tempo simples, pois tornou os resultados mais fáceis de serem obtidos.
Podemos ainda destacar uma situação prática do dia a dia, através de um problema
financeiro exposto e resolvido a seguir, presente em FRAGOSO (2000, p.21-22).
Um capital de 100 foi emprestado a uma certa taxa de juro ao ano. Após 1
ano, o capital foi retirado e o juro obtido fio aplicado durante mais 1 ano.
Se o juro total foi de 75, qual foi a taxa ao ano:
Sendo essa taxa x%, tem-se que o juro no 1º ano será de x e no 2º ano será
de x .x/100 = 75 ou x2 + 100x – 7500 = 0.
E a solução era enunciada também em palavras, o que seria, na linguagem
atual, algo como: Eleve a metade do capital (coeficiente de x) ao quadrado,
acrescente o resultado ao produto dos juros totais (termo independente)
pelo capital, extraía a raiz quadrada e diminua a metade do capital, o que
leva à solução procurada. (x =√502 + 75x100 − 50 = 50 ).
(FRAGOSO, 2000, p.21-22).
Os estudos de Bhaskara foram esplêndidos para a matemática, destacando dentre
seus trabalhos escritos, Lilavati, livro intitulado em nome a sua filha, contendo 278 versos e
a outra obra é o livro, Vija-Ganita, que apresentavam vários problemas sobre equações,
progressões aritméticas e geométricas, dentre outros assuntos.
Assim, Pedroso (2010), apresenta a resolução de um problema extraído do livro
Lilavati, construindo um paralelo entre a ótica da matemática Hindu e ao mesmo tempo da
matemática atual.
Exemplo: A raiz quadrada do número de abelhas de um enxame voou
rumo a um jasmineiro, enquanto 8/9 do enxame permaneceu atrás; e uma
abelha fêmea ficou voando em torno de um macho que se encontrava preso
numa flor de lótus para a qual foi atraído à noite por seu doce odor. Diga-
me adorável mulher, qual é o número de abelhas.
Na tabela que segue, na coluna da esquerda tem-se a solução de Bhaskara
e na da direita a tradução atual.
Seja ya v 2 o número de
abelhas do enxame
Seja 2x2 o número de abelhas do enxame
48
A raiz quadrada da
metade desse número é
ya 1
√2𝑥2
2 = x
Oito nonos de todo o
enxame é
y a v 16
9
Oito nonos de todo o enxame é
(16
9) 𝑥2
A soma da raiz quadrada
com a fração e o casal de
abelhas é igual à
quantidade de abelhas do
enxame, isto é, ya v 2
x + (16
9) 𝑥2 + 2 = 2x2
Reduzindo-se ao mesmo
denominador os dois
membros da equação e
eliminando o
denominador, a equação
transforma-se em
ya v 18 ya 0 ru 0
ya v 16 ya 9 ru 18
9𝑥+16𝑥2+18
9 =
18𝑥2
9
18x2 = 16x2 + 9x + 18
Após a subtração a
equação torna-se
ya v 2 ya 9 ru 0
ya v 0 ya ru 18
18x2 − 16x2 − 9x =
16x2 + 9x + 18 − 16x2 − 9x
2x2 − 9x = 18
Portanto ya é 6 Portanto x = 6
Donde ya v 2 é 72 Donde 2x2 = 2 · 62 = 72
(PEDROSO, 2010, p. 7 - 8)
Dessa forma, podemos observar que a civilização hindu apresentou estudos muito
significativos, para a matemática presente nas escolas, em especial a brasileira. Vale destacar
que no Brasil, a formula para resolver as equações de 2º grau recebe o nome de Fórmula de
Bhaskara, porém, existem algumas controversas históricas, que discutem acerca deste
modelo, afirmando que deste os temos mais antigos, já nas civilizações babilônicas era
possível observar problemas que resultassem neste tipo de equação.
Assim, mesmo com estas discursões, este modelo matemático, é muito importante
para se trabalhar com equações do segundo, mesmo que este resultado possa ser atribuído a
outro matemático, Bhaskara, propiciou este modelo algébrico, e a partir dele, se construiu
um novo jeito de se trabalhar estas equações.
49
4.5 Os árabes e a equação do 2º grau
Posterior aos gregos e babilônios, uma outra civilização que se apresentou como
dedicada no estudo e no aprimoramento da matemática foram os árabes. Que segundo dados
históricos, estes povos que não tinham tradição no estudo da matemática, a partir do século
VIII, começaram a se difundirem alguns estudos, cuja base de sustentação eram as obras
escritas pelos matemáticos gregos, como Euclides, Apolónio, Herão, Diofanto, dentre
outros.
Mas, vale ressaltar que neste mesmo período, o conhecimento deixado pelos gregos
e babilônios foram quase exterminados, pelas invasões que ocorreram. Destaca Pedroso
(2010), acerca dos acontecimentos da época, ressaltando que,
[...] os árabes foram responsáveis pelo desaparecimento do saber ocidental,
por outro contribuíram para sua preservação. Segundo consta, o extermínio
se deu quando, em 641 d.C., o califa Omar mandou que fosse destruída a
Biblioteca de Alexandria. E a preservação foi obra de três califas,
considerados os grandes patronos da cultura abássida: al-Mansur, Harum
al-Rachid e al-Mamum, que durante seus reinados foram responsáveis pela
tradução, do grego para o árabe, dos mais importantes escritos científicos
conhecidos, entre eles, O Almagesto de Ptolomeu e Os Elementos de
Euclides. Pedroso (2010, p.8).
Vemos assim, que a matemática árabe foi fundamentada nos estudos realizados pelos
gregos, onde mesmo com a destruição da Biblioteca de Alexandria algumas obras foram
salvas, e posteriormente objeto de estudo. Surgiu assim, nesta nova era da matemática, a
Biblioteca da Sabedoria, um marco para os matemáticos árabes, e uma maneira de
aproximar-se de um grande espaço de conhecimento, assim como era a Biblioteca de
Alexandria.
Muitos foram os estudiosos, mas talvez os que apresentaram maior contribuição,
foram Al-Khowarizmi, Abu Kamil, Al-Khayyam e Al-Qalasadi, e dentre este Al -
Khowarizmi, apresentou resultados importantíssimos no estudo e resolução da
equação do 2º grau.
Andrade (2000, p. 47 - 48) escreve que Al- Khowarizmi em seus estudos decompôs
os tipos de equações de 2º grua em seis tipos, dos quais ficam divididos em dois grupos. O
50
grupo composto por três equações simples e o outro grupo composto por três equações do
tipo combinada combinadas.
Segundo Andrade (2000, p. 47 - 48), são elas:
Equações simples
1º tipo: quadrados iguais a raízes, ax2 = bx
2º tipo: quadrados iguais a números, ax2 = c
3º tipo: raízes iguais a números, ax = b
Equações combinadas
4º tipo: raízes e quadrados iguais a números, x2 + px = q
5º tipo: quadrados e números iguais a raízes, x2 + q = px
6º tipo: raízes e números iguais a quadrados, px + q = x2.
Assim, de modo mais geral eram a partir desses modelos que os árabes resolviam as
suas equações, pois batava que a equação recaísse em algum dos tipos apresentados que já
existia um modelo ou “fórmula” para determinar a solução.
Dos exemplos apresentados acima podemos construir em linguagem atual cada
modelo, bastando apenas realizar algumas manipulações algébricas, logo teremos.
1º para a equação do tipo - ax2 = bx
Demonstração.
2
22
22
a
bx
a
bx
a
b
x
xx
a
bxbxax
Exemplo:
6484
32
324
2
2
xxx
xx
2º para a equação do tipo - ax2 = c
Demonstração.
a
cx
a
cxcax 22
Exemplo:
4165
80
805
22
2
xxx
x
51
3º para a equação do tipo - ax = b
Demonstração.
2
2
a
bx
a
bxbax
Exemplo:
8193
27
273
2
xxx
x
4º para a equação do tipo - x2 + px = q
Demonstração.
Para resolver equações deste tipo, eles utilizavam o seguinte algoritmo.
22
2p
qp
x
Para melhor entendimento consideremos o exemplo abaixo.
Exemplo: Dada a equação 39102 xx , encontra a sua solução pelo algoritmo acima.
Solução:
3
53925
2
1039
2
102
x
x
x
5º para a equação do tipo - x2 + q = px
Demonstração.
De modo análogo ao que foi apresentado anteriormente, para resolver equações deste
tipo, eles desenvolveram o seguinte algoritmo.
qpp
x
2
22
Exemplo: Dada a equação xx 10212 , determine sua solução pelo algoritmo anterior.
Solução:
3
21255
212
10
2
102
x
x
x
6º para a equação do tipo - px + q = x2.
52
Demonstração.
Logo, este último caso também se resolve a partir do seguinte algoritmo.
22
2p
qp
x
Exemplo: Dada a equação 2166 xx , determine sua solução pelo algoritmo anterior.
Solução:
648
3169
2
616
2
6
2
2
xx
x
x
Logo, a partir dos modelos apresentados podemos perceber que as técnicas
desenvolvidas pelos matemáticos Árabes foram muito positivas para o aprimoramento das
técnicas de resolução de equações de 1º grau e mais ainda de equações do 2º grau. Os tipos
de casos de equações, representam esta enorme contribuição, visto que até o momento, não
tínhamos algo tão desenvolvido.
Mesmo com as contribuições legadas dos gregos, estes desenvolveram um método
mais geométrico, já os Árabes desenvolveram um algoritmo mais algébrico, o que
possibilitou uma melhor aproximação entre os problemas descritos e suas soluções.
Além do mais, vejamos abaixo um exemplo do método de completar quadrado
desenvolvido por Al - Khowarizmi, um dos maiores contribuidores de sua época.
Exemplo: (NOÉ, 2012, np). Resolver a equação x2 – 10x = -9 utilizando o
método de completar quadrados.
1º Passo: A equação deverá ser multiplicada pelo quadruplo do coeficiente
do termo elevado ao quadrado. Vela que o coeficiente é igual a 1, portanto
o seu quádruplo é dado por 4.
4xx2 – 4x10x = -9 x4
4x2 – 40x = -36
2º Passo: Somar aos membros da equação o quadrado do número que
representa o coeficiente de x na equação original, nesse caso o número -
10. Temos que o quadrado do -10 é 100, então vamos somar o resultado à
equação:
4xx2 – 4x10x + 100= -36 + 100
4x2 – 40x + 100= 64
3º Passo: Vamos fatora a equação. Veja:
53
4x2 – 40x + 100 é o mesmo que (2x + 10)2. Então: (2x + 10)2 = 64.
Concluindo a resolução, temos que:
√(2x − 10) 2 = √64
O que implica que:
2x – 10 = 8 e 2x – 10 = -8
2x – 10 = 8
2x =18
x= 9
2x- 10 = -8
2x = -8+ 10
x= 1
Podemos ainda destacar uma descrição realizada por PITOMBEIRA, (2008 apud
SANTANA, 2013, p. 24), acerca da resolução da equação do 2º grau descrito no livro Al –
jabr we’I muqabala, do matemático Al- Khwarizmi, em o matemático apresentar técnicas de
como resolver equações de grau 1 e grau 2.
Al- Khwarizmi apresenta a equação 39102 xx e sua solução como
segue:
Exemplo: Um quadrado e dez raízes do mesmo equivale a 39 denares; ou
seja, qual deve ser o quadrado que, quando aumentado de dez de suas
próprias raízes, é equivalente a trinta e nove?
A solução é: tome a metade do número de raízes, o que neste exemplo é
igual a cinco. Isso você multiplica por ele próprio; o produto é vinte e
cinco. Adicione isso a trinta e nove; a soma é sessenta e quatro. Agora,
tome a raiz disso, que é oito e subtraia dela a metade do número de raízes,
que é cinco. O resultado é três. Isto é a raiz do quadrado que você
procurava; o quadrado é nove.
Isso é equivalente a usar a fórmula conhecida como fórmula de Bhaskara.
(PITOMBEIRA, 2008 apud SANTANA, 2013, p. 24).
Dessa forma, é nítido que as contribuições dos matemáticos Árabes foram
indiscutíveis, e importantíssimas para o que conhecemos atualmente, sobre a maneira como
elaboramos a solução de uma equação do 2º grau. Apesar de algumas obras terem se perdido
com a destruição da Biblioteca de Alexandria, as obras que foram traduzidas para árabe,
foram fundamentais para se dar um enorme passo nos métodos de resolução das equações
do 2º grau.
54
4.6 Os chineses e a equação do 2º grau
Além das outras civilizações mencionadas até o momento, realizaremos algumas
considerações sobre a civilização chinesa. Assim como a civilização indiana, estas
civilizações são muito mais antigas do que a civilização grega e também a romana, porém
em comparação aos egípcios e babilônicos, esta civilização surgiu um pouco depois.
Alguns estudos históricos desta civilização evidenciaram a semelhança entre a
geometria e estudos envolvendo aritmética como também a álgebra. Em termos de
conhecimentos algébricos, os chineses possuíam a prática com operações de frações comuns,
empregando o m.d.c. Além disso, ainda realizavam operações com números negativos,
utilizando barras para representa-las por, sendo duas barras, uma vermelha para designar os
coeficientes positivos e uma outra barra na cor preta para os coeficientes negativos,
entretanto no tratado com as equações ele só consideravam soluções positivas.
Ainda, podemos destacar que, se comparamos a matemática chinesa com a de outros
povos ou civilizações da mesma época, a maneira como os chineses desenvolvia seus estudos
e resultados eram muito diferentes, o que se podia perceber era que eles desenvolveram um
estudo da matemática de maneira diferente e independente.
Dos grandes matemáticos chineses, ressaltamos Lui Hui, que no sec. III, definiu um
valor para o número pi, utilizando para isso, em sua primeira demonstração um polígono
regular contendo 96 lados, o qual definiu pi como sendo igual a 3,14. Logo depois,
utilizando-se da mesma ideia, a partir de um polígono regular contendo 3072 lados ele
encontrou 3,14159, como valor para pi.
Outro grande matemático que apresentou resultado importantes, foi a talentosíssimo
matemático Yang Hui (1261 – 1275), que dentre seus trabalhos, destacam-se um estudo das
séries numéricas e também construiu uma variante chinesa para o triângulo de Pascal.
Logo, ainda apontamos o grande matemático Chu Shih-chieh, que aproximadamente
por volta de 1303, ao publicar a sua obra Ssu-yüan yú-chien, que traduzindo para o português
significa, “Precioso espelho dos quatro elementos”, apresentou uma técnica para a resolução
da equação do 2º grau. O método desenvolvido era baseado em aproximações sucessivas,
que era intitulado de método fan, ou fan-fan, que apresentava grande precisão na resolução
das equações, contudo, só evidenciava a sua raiz positiva.
Para um melhor entendimento de como se desenvolve o método de fan- fan,
analisemos os exemplos abaixo.
55
A solução da equação hoje escrita como x2 + 252x − 5292 = 0, consistia no
seguinte: partia-se de uma solução aproximada, no caso, x = 19 (a raiz
positiva dessa equação está entre 19 e 20), e usava-se a transformação y =
x − 19, para obter a equação y2 + 290y = 143 em y, cuja solução está entre
0 e 1.
Identificando y2 com y, obtinha-se uma solução aproximada para essa
equação:
y= 143
291
e assim o valor inicial de x era corrigido para:
x = 19 + 143
291 = 19, 49.
A ideia era repetir o processo a partir desse novo resultado até chegar a um
número que não mais se modificasse.
No caso, fazendo z = x − 19, 49, obtinha-se a equação em z, z2 + 290, 98z
= 0, 66 e, daí:
z = 0,66
291,98 = 0, 0022
O que já confirmava as 2 casas decimais do valor encontrado no passo
anterior (com efeito, os primeiros dígitos dessa raiz são 19, 49226.
(FRAGOSO, 2000, p.23).
Dessa forma, podemos perceber que na civilização chinesa tivemos uma pequena
contribuição no estudo das equações de 2º grau. A maneira como o matemático chinês Chu
Shih-chieh pensou esta técnica, evidencia uma nova ótica na forma de se construir e resolver
os problemas matemáticos, o que é muito importante quando algo novo, é produzido.
4.7 Os europeus e a equação do 2º grau
Durante muito tempo o método utilizado para resolver problemas que recaem em
equações do 2º, baseava-se apenas na técnica desenvolvida pelo matemático hindu Bhaskara.
Logo, a partir do século XV até o século XVII, muitos matemáticos se destacaram em
desenvolver outros formatos, bem diferente do utilizado até então, na maneira de determinar
a resolução da equação do 2° grau.
Muitos desses matemáticos europeus, começaram a produzir muitos resultados e com
isso inúmeras contribuições surgiram no campo da matemática. Em uma abordagem sobre
métodos desenvolvidos para resolver equações do 2º grau, destacaremos a abordagem dada
por Viète e Descartes.
56
Para conhecermos um pouco melhor a vida de François Viète, vejamos o que Amaral
(2016), descreve sobre Viète.
[...] foi um matemático francês que nasceu em Fontenay no ano de 1540 e
morreu em Paris no ano de 1603. Na sua juventude, estudou e exerceu
Direito e tornou-se membro do parlamento da Bretanha. Não era, portanto,
um matemático por profissão; porém o seu lazer era dedicado à
Matemática, dentro da qual desempenhou um papel central na transição da
época Renascentista para a Moderna. Fez contribuições à Aritmética,
Álgebra, Trigonometria e Geometria, mas sem dúvida, foi na Álgebra que
ocorreram suas mais importantes contribuições, pois aqui Viète chegou
mais próximo das ideias modernas. Em sua obra foi encontrada, pela
primeira vez, em Álgebra, uma distinção clara entre o conceito de
parâmetro e a ideia de uma quantidade desconhecida (incógnita). Viète
utilizou uma vogal para representar uma grandeza ou um número
supostamente conhecido ou dado. Na época de Viète a Álgebra árabe já
havia sido aperfeiçoada, tanto pela resolução das equações cúbicas e
quárticas como por um uso parcial de símbolos. Viète teve uma
participação muito efetiva na renovação do simbolismo e na resolução das
equações quadráticas, cúbicas e quárticas. Viète desenvolveu novos
métodos de solução, percebeu algumas relações entre coeficientes e raízes
de uma equação, embora seu trabalho tivesse ficado tolhido por sua recusa
em aceitar coeficientes ou raízes negativas." Amaral (2016, p. 18).
Vários estudiosos descrevem, que em seus trabalhos Viète, associava a incógnita a
uma letra qualquer maiúscula, de modo que esta letra representava a área, que ele utilizava
para desenvolver e obter a solução. Em uma equação do tipo x2 + b =cx, ele abordava está
como sendo somas de áreas.
Logo, para compreendermos o método utilizado por Viète, consideremos uma
equação do segundo para o caso geral, da forma ax2 + bx + c = 0, com a≠0. Segundo Pedroso
(2010) a técnica utilizada por Viète seria da seguinte forma:
1. Seja x = u + z
2. Então substituindo em ax2 + bx + c = 0, tem-se a(u + z)2 + b(u+z) + c
= 0, ou seja,
au2 + (2az +b)u +(az2 + bz + c) = 0.
3.Se 2az + b = 0, tem-se
z= −𝑏
2𝑎
4. Substituindo z= −𝑏
2𝑎 em au2 + (2az +b)u +(az2 + bz + c) = 0, tem-se
57
au2 + (𝑏2
4𝑎 -
𝑏2
2𝑎+ c)= 0, ou seja, au2 =
𝑏2
2𝑎 -
𝑏2
4𝑎- c)=
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎 , ou
ainda, u = ± √𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎.
5. Finalmente substituindo os valores z= −𝑏
2𝑎 e u = ± √
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎 em x = u +
z, tem-se
x = −𝑏
2𝑎 ± √
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎, ou seja, x =
−𝑏 ± √𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎.
Pedroso (2010, p. 13 - 14)
Com isso, podemos destacar um aprimoramento e ao mesmo uma nova maneira de
chegar a uma formula que permite obter as raízes da equação, sendo elas positivas, como
também negativas. O valioso neste processo, são as manipulações algébricas que se realizam,
de maneira progressiva e que não são complexas de entender os passos descritos por Viète.
Para visualizarmos melhor, o desenvolvimento do método apresentado acima,
consideremos a equação x2 - 6x + 9=0, e aplicaremos o raciocínio de maneira análoga para
obtermos as suas raízes.
Solução:
1º Passo: Consideremos, x = u + z. Logo substituindo na equação e realizando as operações
necessárias teremos. 09)(6)( 2 zuzu , é o mesmo que
09662 22 zuzuzu
2º Passo: Organizando as incógnitas fica: 096)62( 22 uuzuz , e pela relação u=
−𝑏
2𝑎
32
)6(
u , u=3. (Substituindo o valor de u na equação). 0,091892 zz .
3º Passo: Pela relação, x = 3 ± 0, temos que, x= 3. Dessa forma, a solução da equação é 3.
Outro importante matemático europeu foi René Descartes, que além de matemático
era também filosofo. Muitos fatos históricos estão associados a vida deste ilustre
matemático.
Para entendermos um pouco da vida de René Descartes, observamos o que Eves
(1995), escreve sobre Descartes.
[...] nasceu perto de Tours em 1596. Aos oito anos de idade foi enviado a
uma escola jesuíta em La Fléche. Foi então que desenvolveu (de início
devido sua saúde frágil) o hábito que o acompanhou por toda a vida de
58
ficar até tarde na cama de manhã. Posteriormente Descartes consideraria
essas horas matinais de descanso como seus períodos de tempos mais
produtivos. Em 1612 deixou a escola e foi para Paris onde, logo depois,
passou a dedicar parte do seu tempo ao estudo da matemática. Em 1617,
juntando-se ao exército do príncipe Mauricio de Orange, iniciou uma
carreira militar de vários anos. Depois de abandonar a vida militar passou
quatro ou cinco anos viajando pela Alemanha, Dinamarca, Holanda, Suíça
e Itália. Retornando a Paris, onde ficaria uns dois anos, continuou os seus
estudos matemáticos e suas contemplações filosóficas e, por algum tempo,
dedicou-se a construir instrumentos ópticos. Depois disso resolveu mudar
para a Holanda, então no auge de seu poder, onde viveu cerca de vinte
anos, consagrando-se filosofia, à matemática e à ciência. Em 1649,
relutantemente, foi para a Suécia a convite da rainha Cristina. Poucos
meses mais tarde ele contraiu uma infecção pulmonar, vindo a morrer em
Estocolmo no início de 1650. EVES (1995, p.383).
Logo, para compreendermos também como se dar o método utilizado por Descartes,
destacaremos um exemplo da aplicação deste método, a partir das considerações e
entendimento de Pedroso (2010).
Exemplo: Descartes resolveu equações do tipo: x2 = bx + c2, x2 = c2 − bx
e x2 = bx – c2, sempre com b e c positivos, consistia no seguinte método:
Por exemplo, para resolver equações do tipo x2 = bx + c2, usou o seguinte
método:
Traça-se um segmento LM, de comprimento c, e, em L, levanta-se um
segmento NL igual
a b
2 e perpendicular a LM. Com centro em N, constrói-se um círculo de raio
b
2 e traça-se a reta por M e N, que corta o círculo em O e P.
Figura: Representação geométrico dos europeus para solução a equação do
2º.
Fonte: (FRAGOSO, 2010, p.11)
Então a raiz procurada é o segmento OM. Com efeito, no triangulo MLN,
se OM = x, tem-se:
59
(𝑥 − 𝑏
2)
2
= (𝑏
2)
2
+ c2 e daí: x2 – bx = c2
Hoje, sabe-se que a segunda raiz é – OM, mas Descartes não considerava
a raiz negativa. (PEDROSO, 2010, p. 10 - 12)
Pelo exposto pelo autor podemos observar, que Descartes desenvolveu um método
mais geométrico para a resolução da equação x2 = bx + c2, de modo que este tipo de
procedimento outros conhecimentos, que estão alicerçados na geometria. A ótica como
Descartes tratava as soluções do tipo de equações de 2º grau, são destaques de seu livro, O
Discurso do Método, que consta no capítulo La Geomètrè da obra, ele apresentas resultados
de seus estudos, utilizando métodos geométricos para determinar as soluções sempre
considerando os valores de b e c positivos.
Pelo que foi destacado, é fato que a matemática a partir dos europeus apresentou
outro desdobramento para a maneira de se resolver uma equação de 2º grau. Além de
representações algébricas, temos também as representações geométricas que foram
enfatizadas aqui, a partir das formulações feitas por Viète e Descartes.
Além do mais, percebemos que os métodos expostos aqui, poderiam ser introduzidos
no âmbito da sala de aula, já que atualmente o método apresentado por Bhaskara está
difundido na educação básica, como técnica para resolve-las.
4.8 A equação do 2º grau na atualidade
No que se refere a maneira com o processo de ensino das equações do 2º grau
ocorrem nas escolas brasileira, que normalmente se introduzem conceitos iniciais a partir do
9º ano do ensino fundamental, onde aprendem que para resolver estas equações utilizam-se
da fórmula que foram desenvolvidas pelos hindus e também utilizando a maneira que os
europeus a desenvolveram.
Hoje em dia, podemos resolver de maneira algébrica, qualquer tipo de equação
polinomial do 2º grau do tipo ax2+bx + c = 0, como também as equações incompletas, em
que a, b e c são números reais, com a condição de que a≠0, por meio do seguinte modelo
matemático: 𝑥 = −𝑏 ±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎, onde o valor associado a expressão b2 - 4ac é definido como
discriminante, que é a partir deste discriminante que definimos, se a equação possui, uma,
duas ou nenhuma solução de raízes reais.
60
Esse discriminante, é representado pela letra grega (Δ), chamada de delta, de modo
que a fórmula 𝑥 = −𝑏 ±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎, passou a ser escrita como sendo, 𝑥 =
−𝑏 ±√Δ
2𝑎, em que
adotamos que delta será escrito como, Δ = b2 - 4ac.
Podemos perceber que a maneira como a equação do 2º grau são desenvolvidas nas
escolas brasileiras se fundamentam apenas na maneira como Bhaskara representou a sua
formulação, de modo, que aparentemente este modelo não apresentar indícios de que irá ser
reformulado para uma maneira mais fácil.
Sobre a ótica de uma nova exposição, Lima (s.d., p.6) apresenta uma representação
para a solução da equação.
Pode-se reformular esse problema, em termos geométricos, assim:
determinar os lados de um retângulo, do qual se conhecem o semiperímetro
5 e a área p.
Os números procurados, digamos α e β, são as raízes da equação do
segundo grau x2+ sx + p = 0.
Com efeito, se α + β = s e αβ=p, então o trinômio x2+ sx + p se anula para
x = α e x =β, como se vê a seguir.
0)(
0)(
2222
2222
ps
ps
Outra maneira de chegar à mesma conclusão consiste em observar que, por
um lado temos
xxpsxx )(22
e, por outro lado, vale xxxx )()( 2.
Portanto psxx2 xx )( . Segue-se que α e β são os
únicos valores de x que tornam x2+ sx + p igual a zero, isto é, são raízes
desse trinômio. Lima (s.d., p.6)
Logo, a partir do que Lima expos podemos compreender que o autor deu uma outra
roupagem para o entendimento e construção da solução da equação do segundo grau. O autor
ainda ressalta que a maneira como se ensina hoje está muito enrijecida, na maneira como
Bhaskara construiu, o que faz com que ao ensinar, o professor só utiliza sempre a mesma
maneira, mesmo tendo outras formas de expor o conteúdo para seus alunos.
Podemos constatar, que a matemática sempre serviu como combustível para que
muitos estudiosos, inquietados com suas fascinações, jamais parasse de buscar sempre
produzir, ou aprimorar para algo novo.
61
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Atualmente podemos perceber que o ensino da Matemática nas escolas está muito
direcionado para o trabalho com regras e fórmulas, isto é, a maneira de ensinar se apresenta
apenas de maneira mecânica, não possibilitando em suma maioria das aulas de matemática
uma abordagem diferente do que consta no livro didático
Por meio deste trabalho, enriquecemos nossos conhecimentos a respeito da equação
do 2º grau em que tivemos uma grande oportunidade de nos aprofundar e conhecer melhor
a sua história, sendo esta apresentada de diferentes maneiras, escritas e civilizações, tendo
em vista os métodos de resolução desenvolvido pelos mais diferentes matemáticos.
Dessa forma, podemos destacar que é possível se utilizar da História da Matemática,
como um apoio para se estudar a matemática e, de modo mais especifico, a equação do
segundo grau, enfocando os seus aspectos geométricos e algébricos, considerando o seu
desenvolvimento histórico e as contribuições legadas de cada povo e suas diferentes épocas.
Com isso, enfatizamos que o professor de matemática necessita transformar a sua
maneira de ensinar e principalmente de averiguar a aprendizagem dos alunos acerca da
matemática e também sobre a equação do 2º grau. A abordagem da temática “Uma
abordagem histórica da equação do 2º grau”, é de grande relevância, considerando o atual
estágio no qual se encontra o ensino da matemática, bem como a forma como está é
transmitida no âmbito da sala de aula, sendo assim necessário um novo olhar para o ensino,
desenvolvendo um trabalho mais dinâmico e interativo.
Neste contexto uma boa alternativa, é a utilização de problemas simples como forma
de estimulas os alunos, para que assim eles possam se acostumar com esta nova maneira de
apresentar a matemática. Ao longo deste processo, o professor deve propiciar e valorizar as
táticas empregadas pelos alunos e não somente os resultados achados, com o objetivo de
transformar a concepção que os alunos possuem sobre o erro, mostrando para eles que o
“errar” é um passo para entender que novos saberes estão e podem ser produzidos.
A cada problema apresentado aos alunos, que o professor proponha uma discussão e
aos mesmo tempo os orientem para que eles possam compreende-lo e construa a melhor
maneira de se encontrar uma solução. Esta proposta de ação por parte do professor, se
fundamenta, principalmente pelo fato da matemática, ter surgindo muito em virtude das
necessidades nas civilizações mais antigas.
62
Ao analisarmos a maneira como cada civilização se comportava diante dos problemas
vivenciados, podemos perceber que as civilizações egípcias e babilônicas, apresentavam
maior preocupação apenas em resolver os problemas que surgiam. Posterior, aos egípcios e
babilônios, surgiram estudos da civilização grega se norteava pelas contribuições dadas
pelos povos mais antigos, sendo que com estes, houve um novo marco para matemática,
vista que fundamentaram seus resultados em teoremas, axiomas, postulados, ou seja, a
matemática com ele começou a ter um formalismo que se construiu até os dias atuais.
Ainda, ressaltamos que dentre as civilizações, a hindu representou um marco para o
método de resolver as equações de 2º grau, visto que, mesmo que não tinham uma
matemática forte, um dos seus mais celebres estudioso Bhaskara, apresentou um modelo
bem prático para obter as raízes, chamada no Brasil de fórmula de Bhaskara, temos ainda o
método de completar quadrados, desenvolvidos por eles. Mesmo com as controvérsias que
estes conheciam já existiam, dados e alguns estudiosos associa aos hindus a formulação do
método como é utilizado hoje.
Outros estudiosos a serem destacados foram os árabes que apresentaram grandes
resultados para resolver equações, seja do 1º ou do 2º grau. Eles postularam os seis tipos de
equações existentes e para cada uma existia um modelo pronto para resolve-la.
Já, a matemática chinesa desenvolveu sua matemática de maneira mais isolada das
demais, desenvolveu o método fan-fan para resolver as equações de segundo grau, sendo
que em termos de exploração para a sala de aula, o método utilizado por eles teria uma
abordagem um pouco complicada.
Logo, os estudos mais recentes são atribuídos aos europeus, dentre eles com destaque
para Descartes e Viète, dentre outros. Eles não criaram algo novo, mas construíram uma
nova maneira de obter a solução da equação. Utilizaram para isso, demonstrações de cunho
geométrico, Descartes representou uma sua obra o método geométrico, já Viète, utilizava-se
do mesmo método, associado as equações como sendo somas de áreas. Dessa forma, a
maneira desenvolvida por Viète seria uma sugestão interessante para se apresentar o modelo
geral para obter a solução real das equações.
A matemática abordada atualmente, se fundamenta profundamente no domínio
mecânico da formula de Bhaskara, não tendo uma abordagem mais profundas de outras
maneiras de obter o resultado procurado. Um dos grandes matemáticos brasileiros, o
professor Elon Lima, descreve uma outra maneira bem interessante e diferente das abordadas
nos livros didáticos, ele escreve a solução de uma equação completa como um produto
63
notável, e com isso a maneira exposta por ele seria uma sugestão bastante interessante para
ser abordada.
Verificamos assim, que é necessário que os professores tenham uma conscientização
acerca da importância da história e dos métodos de estudo das Equações do 2º grau,
produzindo algo novo, não se apegando apenas o que consta nos livros que são seguidos
pelas escolas, sendo também um pesquisador de novas metodologias, mas também de
diversificar a maneira de expor os seus conteúdos.
Procura mostrar aos professores que “ao priorizar a construção do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno, o papel do professor é mais o
de facilitador, orientador, estimulador e incentivador da aprendizagem.
Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno, instigando-o a refletir, investigar e descobrir, criando na sala de aula uma atmosfera de
busca e camaradagem, onde o diálogo e a troca de ideias seja uma
constante, quer entre professor e aluno, quer entre os alunos”. (DANTE, 2005, p.17)
Portanto, esperamos que a maneira de desenvolver e ensinar matemática hoje, nasça
para novos horizontes, onde sejam desmistificados os dilemas de ser uma disciplina difícil,
e que os conteúdos algébricos referentes às equações do 2º grau, não sejam o ensino
comodista, orientando-se exclusivamente pelo livro, mas que o professor, utilize novas
ferramentas como a resolução de problemas para estimular o raciocínio, a curiosidade, como
também a história da matemática que nos apresenta os gloriosos processos de descobertas e
feitos desta ciência.
Assim, buscar construir o novo, é meditar sobre o ontem, não deixando-o de lado,
esquecido, mas sendo ele o passaporte para uma nova era. Não precisa radicalizar o ensino,
mas melhora a ótica com a qual as coisas são apresentadas, para assim trilharmos por novos
caminhos e alcançar novos horizontes.
64
REFERÊNCIAS
AMARAL, João Tomas do. Método de Viète para Resolução de Equações do 2° Grau
.Revista do Professor de Matemática. nº 13.. Disponível em:
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68
ANEXOS
69
Anexos: Modelo de aula sugerida baseada nos estudos da Civilização Árabe.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO
MÉDIO
SUGESTÃO DE AULA
Título: Aplicação do método Árabe na resolução de Equação do Segundo grau.
Autor e Coautor (es): Vicente de Freitas Filho
Estrutura Curricular
Modalidade / nível de ensino Componente curricular Tema
Ensino Fundamental Matemática Soluções de Equações do 2º grau
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula
Fatos históricos associados ao desenvolvimento da equação do 2º grau.
Resolver equações do 2º grau utilizando-se do método desenvolvido pelos Árabes.
Duração das atividades: 2 aulas de 50 minutos cada.
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno
• Resolução de equações do 1º grau.
• Produtos notáveis, raiz quadrada e operações com frações.
Estratégias e recursos da aula
Geralmente, o ensino da matemática se dar exclusivamente de maneira direta,
deixando outros aspectos importantes como a história associada ao assunto abordado.
Propomos, nesta aula ao professor, que ao iniciar a apresentar as equações do 2º grau, o
mesmo aborde os aspectos históricos associados as equações.
Assim, o professor dividirá a sala em alguns grupos, para realizar as atividades
propostas. Inicialmente o professor pode levar seus alunos para o laboratório da escola ou
trazer impresso, texto que tratem sobre a história. Posteriormente a este estudo sobre a
história e as civilizações, bem como suas contribuições, o professor norteará sua aula
apresentando as equações realizando uma abordagem associada aos cálculos.
70
Como uma maneira de apresentar algo novo em suas abordagem, sugerimos aqui, um
enfoque nos estudos de Al- Khowarizmi, onde este importante matemático Árabe decompôs
as técnicas de resolução das equações de 2º grua em seis modelos, dos quais ficam
subdivididos em dois grupos. O grupo composto por três equações simples e o outro grupo
composto por três equações do tipo combinadas.
Equações simples Modelo simplificado para a obtenção do resultado
1º modelo:
ax2 = bx
2
22
a
bx
a
bxbxax
2º modelo:
ax2 = c a
cxcax 2
3º modelo:
ax = b
2
2
a
bx
a
bxbax
Equações combinadas Modelo simplificado para a obtenção do resultado
4º modelo:
x2 + px = q 22
2p
qp
x
5º modelo:
x2 + q = px qpp
x
2
22
6º modelo:
px + q = x2 22
2p
qp
x
O professor explica para os seus alunos, que estes modelos estão associados aos tipos
de equações que podemos encontrar. As incompletas que podem ocorrer conforme os 3
primeiros modelos e também a completa, ressaltando que este tipo de equação pode ser
escrita de uma outra maneira, e está contemplada pelos 3 últimos modelos.
Após a apresentação dos modelos de equação, sugerimos que o professor, proponha
a seus alunos, alguns exemplos de equações de 2º grau, e utilizando o método apresentados
pelos antigos Árabes encontre as suas soluções.
Exemplos.
a. xx 324 2 b. 805 2 x
c. 273 x d. 39102 xx
e. xx 10212 f. 2166 xx
Comentário para os alunos:
O professor pode perguntar aos seus alunos sobre quais os tipos de equações que
podemos encontrar.
71
Pedir para alunos elaborarem outras equações, resolve-las e explicar qual dos
métodos foi utilizado e como foi realizado cada passo da solução.
Questionar os alunos sobre fatos históricos associados as equações do segundo grau
e também sobre as contribuições dadas pela civilização Árabe.
Recursos Complementares:
Professor você pode sugerir a seus alunos que visitem os seguinte sites abaixo, para entender
um pouco mais sobre as equações do 2º grau.
http://www.ipv.pt/millenium/16_ect1.htm
http://www.rpm.org.br/cdrpm/43/4.htm
Avaliação:
Dentre os modos de avaliação, o professor poderá observar os grupos durante a realização
das atividade, tanto nas discussões sobre a história da equação com também durante a
aplicação na resolução dos cálculos. Pode-se ainda utilizar outros instrumentos para
avaliação, como: lista de exercícios e provas.
![AltCirc UFG 10parte1 [Modo de Compatibilidade] · Estase Sanguínea Hiperemia Congestão ••vermelho vivo ••vermelho azulado (cianótico) ••aumento de volume Acúmulo de](https://img.document.onl/doc/110x75/5be5f4ab09d3f288458c7597/altcirc-ufg-10parte1-modo-de-compatibilidade-estase-sanguinea-hiperemia-congestao.jpg)