UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Equações

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SULUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SULINSTITUTO DE MATEMÁTICAINSTITUTO DE MATEMÁTICA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

Equações Diferenciais e Equações Diferenciais e Aplicações na Engenharia: Aplicações na Engenharia:

Vibrações de Vigas, Barras e Vibrações de Vigas, Barras e Cabos Cabos

Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGSRio Grande do Sul – FAPERGS

20072007

Um resultado obtido no projeto:

Equações Diferenciais e Engenharia Equações Diferenciais e Engenharia de Segurança no Trabalho – Algumas de Segurança no Trabalho – Algumas

Aplicações BásicasAplicações Básicas

Fapergs – Processo: 05510790Fapergs – Processo: 05510790

Dados de Identificação

• Aluno BolsistaAluno Bolsista: Fábio Henrique de Souza: Fábio Henrique de Souza

• CursoCurso: Engenharia Mecânica: Engenharia Mecânica

• Professor OrientadorProfessor Orientador: Elisabeta D’ Elia Gallicchio : Elisabeta D’ Elia Gallicchio

• Período de VigênciaPeríodo de Vigência: outubro de 2006 a julho de 2007 : outubro de 2006 a julho de 2007

• InstituiçãoInstituição:: Universidade Federal do Rio Grande do SulUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

• UnidadeUnidade: Instituto de Matemática: Instituto de Matemática

• ÓrgãoÓrgão: Departamento de Matemática Pura e Aplicada: Departamento de Matemática Pura e Aplicada

Objetivos

• Resolver problemas pertinentes à construção civil.Resolver problemas pertinentes à construção civil.

• Estudar as equações utilizadas na modelagem Estudar as equações utilizadas na modelagem dos problemas e os métodos adequados a sua dos problemas e os métodos adequados a sua resolução.resolução.

• Em cada caso, resolver o sistema e simular a Em cada caso, resolver o sistema e simular a resposta através de animação com o software resposta através de animação com o software Maple.Maple.

Problemas Resolvidos

• Deflexão de vigasDeflexão de vigas

• Vibração de vigasVibração de vigas

• Vibração de barrasVibração de barras

• Vibração de cabosVibração de cabos

• Vibração de uma membrana circularVibração de uma membrana circular

• Deformação elástica das vigasDeformação elástica das vigas

Deflexão vertical:Deflexão vertical:

• Modelagem: equação diferencial ordinária Modelagem: equação diferencial ordinária de quarta ordemde quarta ordem

Deflexão de Vigas

• A partir da relação entre o momento fletor e a carga por A partir da relação entre o momento fletor e a carga por unidade de comprimentounidade de comprimento

• Chega-se a EDO que modela a deflexão da vigaChega-se a EDO que modela a deflexão da viga

• Para um caso particular em que L=10m, E=8x10 N/m² e Para um caso particular em que L=10m, E=8x10 N/m² e IIzz=3x10 m =3x10 m

Deflexão de Vigas – Viga Engastada-apoiada

• Com a carga representada pela Delta de DiracCom a carga representada pela Delta de Dirac

• E as condições de contornoE as condições de contorno

• A resposta do sistema com o método da Transformada de A resposta do sistema com o método da Transformada de Laplace éLaplace é


• Simulação da deflexão:Simulação da deflexão:

• Flecha:Flecha:


Vibração transversal de vigasVibração transversal de vigas

• Modelagem: equação de Euler-BernoulliModelagem: equação de Euler-Bernoulli

Vibração de Vigas

• Equação de Euler-Bernoulli

• Condições de contorno Condições iniciais

Vibração de uma Viga Bi-apoiada


• Simulação


Vibração de Barras

Vibração longitudinal:Vibração longitudinal:

• Modelagem - através da equação da onda Modelagem - através da equação da onda unidimensional unidimensional

Vibração de Barras – Barra em Balanço

Modelagem:Modelagem:

• Equação diferencialEquação diferencial

Condições de contorno Condições iniciaisCondições de contorno Condições iniciais

Vibração de Barras – Barra em Balanço

• Resposta do sistemaResposta do sistema

• Barra com posição inicial u(x,0)=f(x)=0.01m, L=10m, Barra com posição inicial u(x,0)=f(x)=0.01m, L=10m, E=21*10 N/m² e ρ =7*10³ kg/m³E=21*10 N/m² e ρ =7*10³ kg/m³

Vibração de Barras em Balanço

Vibração de Barra em Balanço

• SimulaçãoSimulação

Vibração de Barra em Balanço


Vibração de Cabos

• Inúmeras aplicações na construção civilInúmeras aplicações na construção civil

• Em particular, são usados nos mecanismos de Em particular, são usados nos mecanismos de segurança.segurança.

• Exemplo: o mecanismo linha de vida, usado para Exemplo: o mecanismo linha de vida, usado para impedir a queda de trabalhadores em obras realizadas impedir a queda de trabalhadores em obras realizadas a grandes alturasa grandes alturas

Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à distância

• A equação da corda vibrante, sobre atuação de uma A equação da corda vibrante, sobre atuação de uma força proporcional à distânciaforça proporcional à distância

• Condições de contorno Condições iniciaisCondições de contorno Condições iniciais

• Do método de separação de variáveis e as condições de contorno, obtém-se a resposta

• Coeficientes Entrada do sistema


• Com L=1m, c=1/4m/s, A=60kgf,Com L=1m, c=1/4m/s, A=60kgf,

• Posição inicial do caboPosição inicial do cabo


• Posição do cabo para vários temposPosição do cabo para vários tempos




Vibração de Cabos

• Mecanismo da linha de vidaMecanismo da linha de vida

Vibração de uma Membrana Circular

• Equação diferencialEquação diferencial

• O deslocamento independe do ângulo θO deslocamento independe do ângulo θ

Condições de contorno Condições de contorno

Condições iniciaisCondições iniciais


• Com o método de separação de variáveisCom o método de separação de variáveis

• CoeficientesCoeficientes





Agradecimentos

• À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS, pelo apoio.Rio Grande do Sul – FAPERGS, pelo apoio.

• À MR Engenharia Empreendimentos e Consul-À MR Engenharia Empreendimentos e Consul-torias Ltda, em especial à Eng.ª de Segurança no torias Ltda, em especial à Eng.ª de Segurança no Trabalho Maria Regina Pereira Buss, pelo acesso Trabalho Maria Regina Pereira Buss, pelo acesso ao canteiro de obras.ao canteiro de obras.

• À Professora Elisabeta D’ Elia Gallicchio, pela ori-À Professora Elisabeta D’ Elia Gallicchio, pela ori-entação.entação.

• Aos professores Ignácio Iturrioz e Jun Sérgio Ono Aos professores Ignácio Iturrioz e Jun Sérgio Ono Fonseca do Curso de Engenharia Mecânica que Fonseca do Curso de Engenharia Mecânica que esclareceram dúvidas.esclareceram dúvidas.

Referências• ARTICOLO, G. Partial Differential Equations & Boundary ARTICOLO, G. Partial Differential Equations & Boundary

Value Problems with Maple V. ACADEMIC PRESS, New Value Problems with Maple V. ACADEMIC PRESS, New York, US, 1998.York, US, 1998.

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• AYRES, Frank Jr., Equações Diferenciais, Coleção Schaum, AYRES, Frank Jr., Equações Diferenciais, Coleção Schaum, 1ª ed, Rio de Janeiro, ed. Livro Técnico S.A., 1966.1ª ed, Rio de Janeiro, ed. Livro Técnico S.A., 1966.

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• HIBBELER, R.C., Estática: Mecânica para Engenharia, São HIBBELER, R.C., Estática: Mecânica para Engenharia, São Paulo, Editora Pearson, 2005.Paulo, Editora Pearson, 2005.

• INMAN, Daniel J., Engineering Vibration, Prentice-Hall Inc., INMAN, Daniel J., Engineering Vibration, Prentice-Hall Inc., New Jersey, US, 1996.New Jersey, US, 1996.

• LECKAR, H., SAMPAIO, R., CATALDO, E., Revista Tema – LECKAR, H., SAMPAIO, R., CATALDO, E., Revista Tema – Tendências em Mat. Aplicada Computacional, SBMAC, 2006.Tendências em Mat. Aplicada Computacional, SBMAC, 2006.

Referências

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• THOMSON, Willian T., Teoria da Vibração com Aplicações, THOMSON, Willian T., Teoria da Vibração com Aplicações, Editora Interciência, Rio de Janeiro, 1978.Editora Interciência, Rio de Janeiro, 1978.

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Equações Diferenciais e Equações Diferenciais e Aplicações na Engenharia: Aplicações na Engenharia: Vibrações de Vigas, Barras Vibrações de Vigas, Barras

e Cabos e Cabos

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