Validade de aproximação de Segunda Ordem

• Como os pólos adicionais devem estar o mais à esquerda do eixo imaginário, consideraremos que um sistema com três (ou mais) pólos pode ser aproximado por um Sistema de Segunda Ordem se os pólos adicionais estiverem a esquerda dos pólos dominantes, pelo menos cinco vezes mais distantes.

EXEMPLO•

• -2.0000 + 4.5323i• -2.0000 - 4.5323i

3542,244

626,73

10542,244

42,245

542,244

542,24

23

22

21

sssssC

sssssC

ssssC

Respostas ao degrau dos

sistemas T1(s), T2(s) e T3(s)

Tempo (s)

Res

post

a no

rmal

izad

a

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

Resposta de sistema com Zeros

• Influenciam no valor das constantes na expansão em frações parciais;

• Se comporta como um fator de ganho;• Quanto mais a esquerda do eixo imaginário

menor sua influência na forma da resposta;

saCssCassC

Efeito de adicionar um

zero a um sistema com

dois pólos

Tempo (s)

c (t

) no

rmal

izad

a

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

zero em

zero emzero em

sem zeros

2,0 4,0 6,0

828,21: jemPólos

Resposta ao degrau de um

sistema de fase não-mínima

(Zero do lado direito do plano “s”)

Tempo (s)

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

0,5

1,0

1,5

–0,5

Cancelamento de Pólos e Zeros

01,4

033,0

6

4,4

5

3,587,0

5,3

1

6

5,3

5

5,31

01,465

425,26

5,365

425,26

2

1

2

1

sssssC

sssssC

ssss

ssC

ssss

ssC

Exercícios

• Capítulo 4:– Exercícios de avaliação números: 4.1, 4.3, 4.4, 4.5,

4.6– Exemplos: 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 e 4.8– Problemas: 2, 4, 8, 18, 19, 20, 23, 24, 28, 29 e 30

ERROS DE ESTADO ESTACIONÁRIO

• Projeto de Sistemas de Controle:– Estabilidade;– Características da Resposta Transitória;– Características da Resposta de Estado

Estacionário.

ERROS DE ESTADO ESTACIONÁRIO

• É a diferença entre a entrada e a saída de um sistema para uma entrada de teste a ele aplicada quando “t” tende a infinito.

• A análise de Erros de Estado Estacionário só tem sentido para sistemas estáveis.

• Consideraremos erros devido a natureza do sistema e o tipo de sinal de teste aplicado na entrada do sistema.

Formas de onda dos

sinais de teste para o cálculo dos erros de

estado estacionário em sistemas

de controle de posição

Forma de onda NomeInterpretação

físicaFunção

do tempoTransformada

de Laplace

Degrau Posição constante

Rampa

Parábola

Velocidade constante

Aceleração constante

As entradas de teste para análise e projeto

de erro de estado estacionário variam com o tipo de alvo

Sistema de rastreamento

Fogueteacelerador

Satélite orbitando comvelocidade constante

Satélite em órbita geoestacionária

Erro de estado estacionário:a. entrada em

degrau;b. entrada em

rampa

Entrada

Saída 1

Saída 2

Tempo

Tempo

Saída 2

Saída 1

Entrada

Saída 3

Erro de sistema de controle a malha fechada:a. representação geral;

b. representação para sistemas com retroação unitária

sTssRes

1lim0

sGssR

es

1

lim0

Exemplo:

• Encontre o erro de estado estacionário para um sistema com Função de Transferência dada pela T(s) mostrada abaixo quando o mesmo é submetido a uma entrada degrau unitário

107

52

ss

sT

Exemplo:

5,010

51

107

51

1lim

1lim

20

0

e

sssse

sTssRe

s

s

Sistemas com:a. erro de estado estacionário finito para uma

entrada em degrau;b. erro de estado estacionário nulo para uma

entrada em degrau

sGssR

es

1

lim0

0

1

1lim

1

1

lim1

lim

1

1

1

1

lim1

lim

000

00

sK

sKss

sG

ssRe

KKss

sG

ssRe

sss

ss

Primeiro Caso

Segundo Caso

Sistema de controle com retroação para definição do tipo de sistema

sGssR

es

1

lim0

Erros para os vários tipos de entrada padrão

• Degrau:

• Rampa:

• Parábola:

sGes 0lim1

1

ssGe

s 0lim

1

sGses

2

0lim

1

Exemplo

• Calcule os erros de estado estacionário para um sistema com realimentação negativa unitária cuja Função de Transferência de malha aberta é dada pela G(s) abaixo para entradas

• onde é o degrau de amplitude unitária

tutttututr 25,5,5 tu

43

62100

sss

sssG

Constantes de Erro para sistemas com realimentação negativa unitária

sGsKaceleraçãodeerrodeteCons

ssGKvelocidadedeerrodeteCons

sGKposiçãodeerrodeteCons

sa

sv

sp

2

0

0

0

limtan

limtan

limtan

Relações entre entrada, tipo de sistema,constante de erro estático e erro de estado

estacionário

Exemplo: Para cada um dos

sistemas ao lado encontre as

constantes de erro de posição,

velocidade e aceleração.

Informações a partir do erro

• Que informações podem ser extraídas da especificação ?– Como a constante de erro de posição é finita o

sistema é do tipo zero;– O sinal de teste é um degrau;

– O erro vale:

1000pk

000999,010001

1

Exemplo: encontre k de modo que o erro de

estado estacionário seja de 10%