Valor Es Prop Rios

ALGA - 2008/09 - Valores e Vectores Prprios 57

Valores e vectores prpriosNeste captulo, sempre que no haja especicao em contrrio, todas as matrizes envolvidas

so quadradas. Se nada for dito em contrrio, quando se fala de uma matriz A estamos a

falar de uma matriz n n:Denio

Seja um nmero real. Diz-se que um valor prprio da matriz A se existe uma matrizcoluna no nula Xn1 tal que AX = X. matriz coluna X chama-se vector prprioda matriz A associado ao valor prprio .

Exemplo:

"1 2

2 1

#| {z }

A

"2

2

#| {z }X

=

"6

6

#= 3

"2

2

#| {z }X

; pelo que

"2

2

# vector prprio de

"1 2

2 1

#

associado ao valor prprio 3:

Determinao dos valores prprios de uma matriz

Pretende-se determinar 2 R para o qual exista X 6= 0n1 tal que AX = X: Tem-se que :

AX = X ,, AX X = 0n1 ,, AX InX = 0n1 ,, (A In)X = 0n1 (1)

A expresso (1) um sistema homogneo cuja matriz A In: Como se procura umasoluo X 6= 0n1; o sistema tem de ter solues no nulas, isto , tem de ser indeterminado. sabido que um sistema homogneo indeterminado se e s se a caracterstica da matriz

do sistema menor que n ou, ainda, se o determinante da matriz nulo. Assim, os valores

prprios da matriz so os valores tais que car (A In) < n; ou tais que det (A In) = 0: esta ltima equao, chamada equao caracterstica de A; que se utiliza para o clculodos valores prprios. O determinante de AIn um polinmio na incgnita denominadopolinmio caracterstico da matriz A:

Resumindo: Os valores prprios da matriz A so as raizes do polinmio caracterstico deA; det (A In) :

matriz A In chama-se matriz caracterstica de A:Quando um valor prprio tem multiplicidade k como raiz do polinmio caracterstico, diz-se

que tem multiplicidade algbrica k:


Observaes:

1. O polinmio caracterstico de A tem grau n; pelo que tem no mximo n raizes. Umamatriz de ordem n tem, portanto, no mximo, n valores prprios.

2. Uma matriz real pode no ter valores prprios reais. Por exemplo, as raizes do

polinmio caracterstico da matriz

"0 11 0

#que 2 + 1 so i e i:

Exemplos:

1. Seja A =

"1 2

2 1

#: A matriz caracterstica de A

A I2 ="1 22 1

#pelo que o polinmio caracterstico de A

det

"1 22 1

#= 2 2 3;

cujas raizes so 1 e 3: Os valores prprios de A so 1 = 1 e 2 = 3; ambos commultiplicidade algbrica 1.

2. Seja A =

264 2 2 11 1 03 1 1

375 : O polinmio caracterstico de A

det

264 2 2 11 1 03 1 1

375 = 2 3;Como 2 3 = (2 2) v-se facilmente que as suas raizes so 0;p2 e p2: Osvalores prprios de A so 1 = 0; 2 =

p2 e 3 =

p2; todos com multiplicidade

algbrica 1.

3. A matriz

264 1 1 12 2 23 3 3

375 tem polinmio caracterstico 3+62 = 2(+6), pelo queos seus valores prprios so 1 = 0; com multiplicidade algbrica 2, e 2 = 6; com

multiplicidade algbrica 1.

4. Valores prprios da matriz identidade: A matriz identidade In tem como matrizcaracterstica a matriz In In; que uma matriz escalar em que os elementos dadiagonal principal so todos iguais a 1: O polinmio caracterstico de In (1 )ne o nico valor prprio de In = 1, com multiplicidade algbrica n:


5. Valores prprios de uma matriz diagonal: Se A = [aij]nn uma matriz diagonal,a sua matriz caracterstica tambm diagonal pelo que o polinmio caracterstico

(a11 ) (a22 ) (ann ) e os valores prprios so a11; a22; ; ann, todos commultiplicidade algbrica 1.

6. Valores prprios de uma matriz triangular: Se A = [aij]nn uma matriztriangular (superior ou inferior), a sua matriz caracterstica tambm triangular pelo

que o polinmio caracterstico (a11 ) (a22 ) (ann ) e os valores prpriosso a11; a22; ; ann, todos com multiplicidade algbrica 1.

7. Valores prprios da transposta de uma matriz A:

detAT In

= det

AT ITn

= det

h(A In)T

i= det (A In) :

Conclui-se que as matrizes A e AT tm o mesmo polinmio caracterstico e, portanto,

os mesmos valores prprios.

Determinao dos vectores prprios de uma matriz

Depois de determinados os valores prprios de A; para determinar os vectores prprios asso-

ciados a um determinado valor prprio basta resolver o sistema homogneo indeterminado

(A In)X = 0: As solues no nulas deste sistema so os vectores prprios da matriz Aassociados a :

Nota: Para um valor prprio ; o sistema (A In)X = 0 tem garantidamente soluesno nulas, pois foi determinado de modo a que o sistema fosse indeterminado.

Exemplos:

1. A matriz A =

"1 2

2 1

#(exemplo 1 da pgina 58 ) tem valores prprios 1 e 3: Vamos

calcular a expresso geral dos vectores prprios associados a cada um dos valores

prprios.

= 1 :

Os vectores prprios de A associados a 1 so as solues no nulas do sistema(A (1) I2)X = 031; ou seja, as solues no nulas de do sistema homogneo cujamatriz simples

A (1) I2 ="1 + 1 2

2 1 + 1

#=

"2 2

2 2

#

e que tem por soluo geral X = y

"11

#; y 2 R.

Os vectores prprios associados a 1 so da forma y"11

#; y 2 Rn f0g.


= 3 :

Os vectores prprios de A associados a 3 so as solues no nulas do sistema

(A 3I2)X = 031; ou seja, as solues no nulas de do sistema homogneo cujamatriz

A 3I2 ="2 22 2

#

que tem por soluo geral X = y

"1

1

#; y 2 R.

Os vectores prprios associados a 3 so da forma y

"1

1

#; y 2 Rn f0g.

2. Para a matriz A =

264 2 2 11 1 03 1 1

375 (do exemplo 2 da pgina 58), os valores prpriosassociados a 2 =

p2 so as solues no nulas do sistema

Ap2I3

X = 031

em que

Ap2I3 =

264 2p2 2 1

1 1p2 03 1 1p2

375 :

A forma condensada desta matriz

264 1 0 p22

0 1p22 1

0 0 0

375 ; pelo que os vectores prpriosprocurados tm a expresso geral z

264p22

p22+ 1

1

375 ; z 2 Rn f0g :

3. Para a matriz

264 1 1 12 2 23 3 3

375, (exemplo 3 da pgina 58) os vectores prprios associadosao valor prprio 0 tm a expresso geral

y

264 101

375+ z264 11

0

375 ;com y; z 2 R, no simultaneamente nulos.


Multiplicidade geomtrica

Chama-se multiplicidade geomtrica de um valor prprio ao grau de indeterminaodo sistema (A In)X = 0, ou seja dimenso do ncleo da matriz (A In) : Como sabido, o grau de indeterminao dum sistema o nmero de variveis livres na soluo

geral do sistema e, portanto, a multiplicidade geomtrica de um valor prprio o nmero

de parmetros livres na expresso geral dos vectores prprios associados a :

Exemplos:

1. Todos os valores prprios calculados nos exemplos anteriores tm multiplicidade geo-

mtrica 1, excepto no exemplo 3 da da pgina 58, em que o valor prprio 0 tem

multiplicidade geomtrica 2; como se pode vericar atravs do exemplo 3 da pgina

60.

2. A matriz A =

264 5 1 00 5 10 0 5

375 , triangular superior, tem um nico valor prprio, = 5;com multiplicidade algbrica 3:

Os vectores prprios associados a 5 so as solues no nulas do sistema cuja matriz

simples

A 5I3 =

264 0 1 00 0 10 0 0

375 :Como esta matriz tem caracterstica 2; o grau de indeterminao do sistema 1 e,

portanto, = 5 tem multiplicidade geomtrica 1:

Neste ltimo exemplo constata-se que as multiplicidades algbrica e geomtrica de um valor

prprio podem ser diferentes. Pode-se, no entanto, provar a seguinte relao entre as multi-

plicidades:

Teorema A multiplicidade geomtrica de um valor prprio de uma matriz menor ouigual sua multiplicidade algbrica. [ou: se valor prprio de uma matriz A;m:g: () m:a: ()]

Considerando que a multiplicidade geomtrica de uma valor prprio no mnimo 1, conclui-se

facilmente, a partir deste teorema, o seguinte corolrio:

Corolrio: Se um valor prprio tem multiplicidade algbrica 1; a sua multiplicidade geo-mtrica tambm 1:


Subespaos prprios

Se um valor prprio da matriz A, chamase subespao prprio associado a aoconjunto U formado pela matriz coluna nula e por todos os vectores prprios associados ao

valor prprio ; isto :

U = fXn1 : AX = Xg :

O subespao prprio de um valor prprio constitudo pela soluo geral do sistema

(A In)X = 0n1 e a multiplicidade geomtrica de o nmero de parmetros livresnessa soluo.

Verica-se facilmente que U um subespao vectorial de Rn:

1. Se X1; X2 2 U ento X1 +X2 2 U.X1; X2 2 U =) AX1 = X1 ^ AX2 = X2 =) AX1 + AX2 = X1 + X2 =)A (X1 +X2) = (X1 +X2) =) X1 +X2 2 U

2. Se X 2 U e 2 R, ento X 2 U:X 2 U =) AX = X =) AX = X =) A (X) = (X) =) X 2 U

Exemplos:

1. Para A =

"1 2

2 1

#tem-se U1 =

(y

"11

#; y 2 R

)e U3 =

(y

"1

1

#; y 2 R

):

2. Para A =

264 2 2 11 1 03 1 1

375 tem-se Up2 =8>:z

264p22

p22+ 1

1

375 ; z 2 R9>=>; :

3. Para A =

264 1 1 12 2 23 3 3

375 tem-se U0 =8>:y

264 101

375+ z264 11

0

375 ; y; z 2 R9>=>;.

Valores prprios e invertibilidade

Se uma matriz A admite o valor prprio 0, ento 0 raiz do polinmio caracterstico de A;

isto , det (A 0In) = 0 e a matriz tem determinante nulo, pelo que no invertvel.Por outro lado se A no invertvel, car (A) < n e o sistema AX = 0n1 tem solues

no nulas, ou seja, existe X 6= 0 tal que AX = 0n1 e, portanto, 0 valor prprio de A:Acabmos de mostrar que:


Teorema: Uma matriz A no invertvel se e s tem 0 como valor prprio.

ou

Teorema: Uma matriz A invertvel se e s se no tem 0 como valor prprio.

Pode-se ento enunciar o seguinte resultado:

Teorema: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. So equivalentes as armaes:

(a) car (A) < n:

(b) A matriz A no invertvel.

(c) det (A) = 0.

(d) O sistema AX = 0 indeterminado.

(e) A matriz A admite o valor prprio 0:

Diagonalizao de matrizes

Uma matriz A diz-se semelhante a uma matriz B se existir uma matriz P; invertvel, talque

B = P1AP:

Note-se que se A semelhante a B, ento tambm B semelhante a A.

B = P1AP =) PBP1 = A

Proposio: Se uma matriz A semelhante a uma matriz B, ento A e B tm o mesmopolinmio caracterstico e, portanto, os mesmos valores prprios.

Demonstrao: Se A semelhante a B, existe P; invertvel, tal que B = P1AP: Ento:

det (B xIn) = detP1AP xIn

=

= detP1AP xP1P =

= detP1 (A xIn)P

=

= detP1

det (A xIn) detP =

= (detP )1 det (A xIn) detP == det (A xIn) :

Uma matriz A diz-se diagonalizvel se semelhante a uma matriz diagonal, isto , seexistirem matrizes D; diagonal, e P; invertvel, tais que D = P1AP: matriz P chama-se

matriz diagonalizante.


Exemplos:

1. Qualquer matriz diagonal diagonalizvel, pois qualquer matriz semelhante a si

prpria. De facto A = I1n AIn:

2. AmatrizA =

"1 2

2 1

# diagonalizvel, pois

"1 00 3

#=

"12

12

12

12

#"1 2

2 1

#"1 11 1

#

Observaes:

1. Se uma matriz A diagonalizvel os seus valores prprios so as entradas diagonais da

matriz D a que A semelhante; pois, pela proposio acima, os seus valores prprios

so os mesmos da matriz D, ou seja, as suas entradas diagonais:

2. Quando uma matriz diagonalizvel, torna-se fcil o clculo de potncias de qualquer

ordem da matriz:

Para uma matriz D diagonal, D = diag fd1; : : : ; dng tem-se, Dk = diagdk1; : : : ; d

kn

;

8k 2 N: Sendo A diagonalizvel, existem D; diagonal, e P , invertvel, tais queD = P1AP e, portanto, A = PDP1: Para k 2 N;

Ak =PDP1

k=PDP1

PDP1

: : :PDP1

| {z } =k vezes

= PDP1P

| {z }=In

DP1P

| {z }=In

: : :P1P

| {z }=In

DP1 = PDkP1

Teorema Seja A uma matriz quadrada de ordem n: A matriz A diagonalizvel se e s seexiste uma matriz invertvel P cujas colunas so vectores prprios de A:

Demonstrao: Mostrar uma armao envolvendo "se e s se" provar uma equivalnciaentre duas condies, ou seja, provar duas implicaes, uma em cada "sentido".

=)Suponhamos que A diagonalizvel. Ento existem matrizes

D =

266641 0 00 2 0...

. . ....

0 0 n

37775 e P =26664p11 p12 p1np21 p22 p2n...

.... . .

...pn1 pn2 pnn

37775 ; invertveltais que P1AP = D. Daqui sai que AP = PD:Temos ento:

AP = PD =

26664p11 p12 p1np21 p22 p2n...

.... . .

...pn1 pn2 pnn

37775266641 0 00 2 0...

. . ....

0 0 n

37775 =266641p11 2p12 np1n1p21 2p22 np2n...

.... . .

...1pn1 2pn2 npnn

37775(2)


Por outro lado, designando as colunas de P por P1; : : : ; Pn; verica-se que

AP = [AP1AP2 : : : APn] (3)

Igualando (2) e (3) obtm-se:

AP1 = 1P1; AP2 = 2P2; : : : ; APn = nPn

Como P invertvel, todas as suas colunas so no nulas e, portanto, cada Pi; para

i = 1; : : : ; n; um vector prprio de A associado ao valor prprio i:(=Suponhamos agora que existe uma matriz invertvel P cujas colunas P1; : : : ; Pn so vectores

prprios de A associados, respectivamente, a valores prprios 1; : : : ; n: Tem-se:

AP1 = 1P1; AP2 = 2P2; : : : ; APn = nPn

Utilizando (3) obtm-se

AP = [AP1 AP2 : : : APn] = [1P1 2P2 : : : nPn] =

=

266641p11 2p12 np1n1p21 2p22 np2n...

.... . .

...1pn1 2pn2 npnn

37775 =

=

26664p11 p12 p1np21 p22 p2n...

.... . .

...pn1 pn2 pnn

37775266641 0 00 2 0...

. . ....

0 0 n

37775 = PD;em que D uma matriz diagonal em que as entradas diagonais so os valores prprios de A:

Como AP = PD implica que P1AP = D; A diagonalizvel.

Colocase agora a questo de saber quando existe uma matriz invertvel P cujas colunas so

vectores prprios de A: A resposta dada no seguinte teorema:

Teorema: Sendo A uma matriz quadrada de ordem n; existe uma matriz invertvel P cujascolunas so vectores prprios de A se e s se a soma das multiplicidades algbricas

dos valores prprios de A n e as multiplicidades algbrica e geomtrica de cada valor

prprio de A coincidem:

Dos dois ltimos teoremas conclui-se:

Corolrio 1: Uma matriz quadrada A; de ordem n; diagonalizvel se e s se a soma dasmultiplicidades algbricas dos valores prprios de A n e as multiplicidades algbrica

e geomtrica de cada valor prprio de A coincidem:

Corolrio 2: Se uma matriz quadrada A; de ordem n; tem n valores prprios distintos,ento diagonalizvel.

Nota: Este ltimo corolrio no "se e s se". H matrizes diagonalizveis que no tm nvalores prprios distintos.


Exemplos:

1. A matriz

24 3 0 00 0 10 1 0

35 tem um nico valor prprio real, 3: As multiplicidadesalgbrica e geomtrica de 3 coincidem (so ambas 1), mas a soma das multiplicidadesalgbricas dos valores prprios no 3 e A no diagonalizvel.

2. A matriz

24 3 0 00 2 10 0 2

35, tem dois valores prprios:3 com multiplicidade algbrica 1 e 2 com multiplicidade algbrica 2. A soma dasmultiplicidades algbricas 3; mas, como o subespao prprio de 2

U2 =

8


4. A matriz

24 2 3 40 4 20 0 1

35 tem trs valores prprios distintos, por isso diagona-lizvel.

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