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VETORESProfessor: Sabará

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Reta Orientada – EixoQuando se fixa na reta um sentido de percurso,considerando positivo e indicado por uma seta.O sentido oposto é o negativo.

Uma reta orientada é denominada EIXO.

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DEFINIÇÃO:É um segmento de reta orientado quando se fixa nela um sentido de percurso.Segmento Orientado – Ele tem sempre umaOrigem como 1° ponto e uma extremidade como 2°ponto.

AExemplos: B

Lemos: Vetor A e Vetor B

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Módulo: É representado graficamente através do tamanho do vetor ou através de um valor numérico acompanhado de unidade.Direção: É a reta que dá suporte ao vetor e pode ser informada através de palavras como: horizontal, vertical, etc.Sentido: É a orientação do vetor dada pela seta e também pode ser informada através de palavras como: para esquerda, para direita, do ponto A para o ponto B, para baixo, etc.

Características de um Vetor

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Exemplo 1:

A

Módulo: 3 cm

3 cm Direção: Vertical

Sentido: Para cima

Vetor A

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Exemplo 2:

Módulo: 5,5 cm

Direção: Horizontal

Sentido: Para esquerda

Vetor BB

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Vetores Iguais: É necessário que estes possuam as mesmas características para que sejam ditos IGUAIS.

Exemplo:

A C

Nesse caso: Vetor A igual ao Vetor C

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Vetores :Vetores Opostos: São ditos opostos quando a única diferença entre eles é a oposição de sentido.Exemplo:

A - A

Nesse caso: Vetor A oposto ao Vetor - A

Observação: Repare a utilização do sinal “ – “

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Vetores Diferentes: São aqueles que possuem uma ou mais diferenças em suas características.

A

B

Nesse caso, o vetor A e o Vetor B possuem módulos diferentes.

BANesse caso, o vetor A e o Vetor B possuem direções e sentidos diferentes.

A B

Nesse caso, o vetor A e o Vetor B possuem apenas sentidos diferentes.

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Operações com Vetores

É possível realizarmos alguma operações com vetores, aquelas que iremos estudar no ensino médio são:

• Multiplicação e divisão de vetores por números reais;

• Soma e subtração de vetores.

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Multiplicação de vetores por números reais

A

Tomemos como exemplo um vetor A:

Se desejamos obter o vetor 3A, teremos:

3 A

A A AComprove:

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Veja outro Exemplo

Tomemos como exemplo o mesmo vetor A:

Se desejamos obter o vetor -2 A, teremos:

-2 A

-A -AComprove:

A

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Divisão de vetores por números reais

B

Tomemos como exemplo um vetor B:

Se desejamos obter o vetor B / 2, teremos:

B / 2

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Soma e subtração de vetores – Casos Especiais

Vetores de Direções e Sentidos iguais:

BA

A + B

O módulo do resultante é dado pela soma dos módulos dos dois vetores.

O sentido do vetor soma é o mesmo de A e de B.

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Soma e subtração de vetores – Casos Especiais

Vetores de mesma Direção e Sentido opostos:

BA

A + B

Nesse caso o vetor soma terá o sentido do maior deles - o sentido do vetor B

O módulo da soma será dado por B – A (módulos), ou seja, o maior menos o menor.

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ATENÇÃO

Verifique as sentenças abaixo:

A – B = A + ( - B )

Se necessitarmos efetuar uma subtração basta inverter o vetor que está após o sinal negativo e depois efetuarmos a soma que acabamos de exemplificar

B – A = B + ( - A )

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Soma e subtração de vetores – Casos Gerais

Para efetuarmos somas e subtrações vetoriais podemos utilizar duas regras, a do POLÍGONO e a do PARALELOGRAMO.

A regra do polígono é muito útil quando precisamos somar três ou mais vetores enquanto a regra do paralelogramo deve ser aplicada com grupo(s) de dois vetores.

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FÍSICARegra do Polígono

A

Vamos iniciar com o vetor C, poderíamos iniciar com qualquer um deles, veja como se utiliza a regra do polígono:

C

D

Sejam os vetores abaixo:

BC DA

BSoma

Após terminarmos ocorre a formação de um polígono.

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Regra do ParalelogramoSejam os vetores abaixo:

Vamos fazer “coincidir” o início dos dois vetores:

BA

A

B

Vamos fazer traços paralelos aos lados opostos.

Soma = A + B

Soma

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FÍSICATeorema de Pitágoras

Não importa a regra utilizada, o vetor resultante será o mesmo. Se tivermos dois vetores perpendiculares entre si, o seu módulo pode ser determinado utilizando o TEOREMA DE PITÁGORAS.

Regra do Polígono:

AA

B

B

Regra do Paralelogramo:

S

S

S2 = A2 + B2

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Decomposição de um VetorUm vetor pode ser escrito por intermédio de suas componentes ortogonais, ou seja, componente no eixo x e componente no eixo y.

θ

v

y

x

vy

Da Componente Horizontal vx :

Da Componente Vertical vy :

vx

vx = v . Cos θ

vy = v . sen θ

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VersoresMuitas vezes é conveniente a utilização de vetores unitários (chamados versores).

y

xi

j

No eixo ox: i

No eixo oy: j

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Exemplo de Versores

i

j

i i-j-j-j-j

a

-j-j-j-j

c

i i i i

bi i j

jjjjjj

a = 2 . i – 4 . j

b = 4 . i

c =– 4 . j

d = 2 . i + 7 . jd

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Exercícios

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1. A soma de dois vetores ortogonais, isto é, perpendiculares entre si, um de módulo 12 e outro de módulo 16, terá módulo igual a:

Triângulo de Pitágoras

Verifique:

202 = 122 + 162

400 = 144 + 256

Alternativas:a) 4

b) Entre 12 e 16

c) 20

d) 28

e) Maior que 28

12

16

20

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2. A figura a seguir representa os deslocamentos de um móvel em várias etapas. Cada vetor tem módulo igual a 20 m. A distância percorrida pelo móvel e o módulo do vetor deslocamento são, respectivamente:

A

B

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Distância percorrida:

20 m

20 mA

20 m

20 m

20 m

B

Total = 5 x 20 = 100 m

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A

B

ΔS

40 m

20 mΔS2 = 402 + 202

ΔS2 = 1600 + 400ΔS2 = 2000

ΔS = 2000

ΔS = 20 5 m

Módulo do vetor deslocamento:

Pelo Teorema de Pitágoras:

Resposta: C) 100 m e 20 5 m

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b

ac

3. Dado o gráfico, os vetores a, b e c podem

ser escritos em função dos vetores i e j, como:

j

i

Resposta: c

a = 3 j

b = - j

c = 2 i

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4. Sendo a = 2 i e b = 2 i + 2 j, o módulo de

S = a + b vale:

Fazendo pelo método gráfico utilizando a regra do polígono, temos::

a

b SLogo, o módulo do vetor S corresponde a 2u.

Resposta: b

u

u

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FÍSICA6. Determine o módulo de dois vetores a e b perpendiculares entre si e atuantes num mesmo ponto, sabendo que seus módulos estão na razão ¾ e que o vetor soma a e b tem módulo 10 cm.

De acordo com os dados do enunciado, montaremos um sistema:

Se a e b são perpendiculares:

c2 = a2 + b2

Onde c = 10 cm

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a2 + b2 = c2

a2 + b2 = 100

Equação 1

De acordo com o enunciado:

34

a = b

Equação 2

Fazendo a eq. 1 com 2, temos:

a2 + ( a)2 = 10034

a2 + a2 = 100916

16 a2 + 9a2 = 10016

25a2 = 16 . 100

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25a2 = 1600

a = 160025

a = 405

a = 8 cm

Já que:

34

a = b

34

. 8 = b

b = 6 cm

Resposta: a

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7. Dados os vetores A, B e C, representados na figura em que cada quadrícula apresenta lado correspondente a uma unidade de medida, é correto afirmar que a resultante dos vetores tem módulo:

A

BC

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Já que possuímos mais de 2 vetores, vamos optar pela regra do POLÍGONO, iniciando pelo vetor B:

A

BC

Podemos observar que o vetor resultante possui apenas 1 (uma) unidade.

Resposta: a

Soma

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9. Um projétil do solo segundo uma direção que forma 530 com a horizontal com uma velocidade de 200 m/s (veja a figura a seguir). Determine o módulo dos componentes horizontais, VX

e vertical Vy, dessa velocidade.

Dados: sen 530 = 0,80; cos 530 = 0,60.

530

V

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x

y

530

V

Vx

Vy

Vx = V . Cos 530

Em Módulo, temos:

Vx = 200 . 0,6

Vx = 120 m/s

Vy = V . sen 530

Vy = 200 . 0,8

Vy = 160 m/s

Resposta: a

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