8/18/2019 VIBRAÇÕES FORÇADAS NÃO AMORTECDAS

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DINÂMICA DAS ESTRUTURAS 1 RELATÓRIO 01 Vibrações forçadas não amortecidas

ALUNOS:

BRUNO SAMPAIO ALVES

FILIPE ROCHA GUEDES

PROF. PAULO MARCELO RIBEIRO

DATA: 04/10/2015

Resumo

Será descrito neste relatório um estudo a respeito de vibrações forçadas não-

amortecidas em estruturas reticuladas. Neste caso em particular, foi estudada uma viga

biapoiada submetida a uma carga concentrada no meio do vão variável com o tempo. Será

apresentada a solução numérica computacional com utilização do software SAP2000 e um

modelo analítico usando método de Rayleigh para validar o problema. Também será

realizada a comparação entre carga dinâmica e estática.

Dados do problema:

E = 20GPa ;

 = 2500 kg/m³ ;

L = 5m ;

P = 1000sen(80t), aplicada no meio do vão da viga ;

I = 2,083e-3 m^4.

1. Solução analítica

A solução geral do problema consiste na soma das soluções homogênea e

particular. A solução homogênea corresponde à análise modal, e tem como parâmetro de

resposta a frequência natural da estrutura, não dependendo do carregamento aplicado. Tal

frequência natural pode ser obtida utilizando o método de Rayleigh, com função de forma

a ser escolhida. Para o caso, a função de forma adotada corresponde à linha elástica

normalizada da viga com carregamento concentrado no meio do vão.

A solução particular do problema fica em função do carregamento aplicado. A

função do carregamento é senoidal, e a solução pode ser obtida pelo método dos

coeficientes a determinar, que, para o caso de função senoidal do “lado direito” da equaçãodiferencial tem-se uma solução do tipo combinação entre seno e cosseno. É extremamente

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importante ressaltar que as condições de contorno devem ser aplicadas à solução geral e

não à solução homogênea.

Assim, para o caso em questão, chegamos aos seguintes resultados:

Frequência natural (aproximada, utilizando método de Rayleigh):

w = 162,75 rad/s

Solução geral (vibração forçada não amortecida em viga biapoiada com carregamento

concentrado tipo señ t ):

t (

)sent (

)señ t  

sendo Po a intensidade do carregamento (no caso, 1000 N), k a rigidez da estrutura, w a

frequência natural da estrutura, ̃   a frequência do carregamento e b a razão entre afrequência natural e frequência do carregamento.

Assim:

t sent sent 

é a resposta dinâmica da estrutura, para o caso em questão.

2. Solução computacional usando SAP2000

Inicialmente foi processada a análise modal no SAP2000 utilizando os dados

do problema em questão. Assim, obteve-se a frequência natural da estrutura:

w = 161,15 rad/s (frequência natural obtida no SAP)

Nota-se que há uma diferença relativa de 1% entre a frequência natural

obtida utilizando o método de Rayleigh, assim, não se espera que os resultadossejam muito diferentes ao se utilizar a frequência aproximada para resposta

dinâmica.

Em seguida, ainda no SAP, realiza-se o estudo de vibração forçada,

aplicando a carga em um determinado intervalo de tempo e computando a

resposta em vários passos de tempo de forma a se obter a resposta dentro do

intervalo de tempo desejado.

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  A resposta de deslocamentos é computada para o nó central da estrutura e

seus valores são exportados para uma planilha com objetivo de plotar os gráficos

para comparar esta resposta com a solução analítica obtida anteriormente.

3. Comparação de resultados

Para nossa surpresa, observou-se que não houve uma convergência entre assoluções, conforme gráfico apresentado abaixo:

Observa-se que há uma certa convergência no começo, porém as respostascomeçam a divergir logo em seguida.

Verificou-se que a pequena diferença entre a frequência natural obtida pelométodo de Rayleigh e a frequência obtida no SAP foi a causa dessa divergência. Écomo se tal diferença fosse se acumulando ao longo do tempo e as respostastendem a divergir bastante, como apresentada acima.

Assim, será agora comparada a solução analítica utilizando a frequêncianatural obtida no SAP e realizando a análise de convergência entre as respostas.Assim a resposta dinâmica fica:

t sent sent Lembrando que tínhamos: t sent sent 

Sendo as diferenças entre amplitudes ainda menores que a diferença entrefrequência natural obtida. Porém quando se coloca gráfico sobre gráfico podemosobservar a clara convergência:

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Agora temos praticamente um gráfico sobre o outro, mostrando totalconvergência e validando nosso problema.

Também pode-se determinar o fator de amplificação dinâmica (fad), quecorresponde à relação entre o máximo valor da resposta dinâmica em termos dedeslocamentos e a resposta de deslocamento devido à aplicação de uma carga

estática de mesmo valor (no caso, 1000 N), no centro do vão.

Na resposta dinâmica observamos que temos o valor de deslocamentomáximo para o nó central de 1.11e-4 m, enquanto que a resposta para cargaestática no meio do vão para viga biapoiada é já conhecida como PL^4/48EI, cujovalor para o caso em questão é de 6.25e-5 m. Assim temos um fad em termos dedeslocamentos de valor 1.776 , ou seja, para obter os mesmos resultados emtermos de deslocamentos para solução estática da estrutura deve-se majorar osresultados em 77,6%. Ainda assim outros aspectos como fadiga, por exemplo, não

serão verificados caso a análise seja estática, e por isso ressalva-se a importânciada realização de uma análise dinâmica da estrutura.