Você já ouviu falar em logaritmo?

A invenção dos logaritmos

Na passagem da Idade Média para a Idade Moderna (séculos XIV a XVI), os países da Europa Ocidental sofreram profundas transformações. Acompanhando essas mudanças econômicas, políticas e sociais, ocorreu também um extraordinário desenvolvimento da arte, da cultura e das ciências.

Essa revolução cultural ficou conhecida como o Renascimento. Foi a época em que as grandes navegações ampliaram os limites do mundo.

O desenvolvimento da navegação e da Astronomia trouxe consigo cálculos aritméticos longos e trabalhosos. Cada vez mais havia necessidade de descobrir um processo que permitisse simplificar esses cálculos. Muitos matemáticos passaram a se ocupar com esse problema.

A solução foi encontrada, ao mesmo tempo, por Jost Bürgi (1552-1632), relojoeiro, matemático e inventor suíço, e John Neper (1550-1617), teólogo escocês.

Bürgi, em 1620, e Neper, em 1614, publicaram as primeiras tabelas de logaritmos, que permitiam a simplificação de cálculos aritméticos complicados.

Logo após a publicação de sua primeira tabela, Neper, juntamente com o matemático inglês Henry Briggs (1561-1631), elaborou uma nova tábua, mais fácil de ser utilizada, contendo os chamados logaritmos decimais.

Atualmente, embora as tábuas de logaritmos já não sejam tão usadas como instrumento d cálculo, os logaritmos continuam sendo de grande importância em áreas do conhecimento humano.

Mas, o que é logaritmo?

Reproduzimos, a seguir, um trecho da tabela que Henry Briggs publicou em 1617. Na versão original, os números indicados na coluna 10m variavam de 1 a 1000 e os indicados na coluna m apresentavam até catorze casas decimais:

Analisando um trecho da tabela de Briggs, podemos escrever:102,004321 = 101102,008600 = 102102,012837 = 103102,017033 = 104102,021189 = 105

10m m...... ......101 2,004321102 2,008600103 2,012837104 2,017033105 2,021189...... ......

Os expoentes de 10 são denominados logaritmos. Assim:- O expoente 2,004321 é o logaritmo de 101 na base 10.- O expoente 2,008600 é o logaritmo de 102 na base 10.

E assim por diante. O que significa dizer que o número 2,004321 é o

logaritmo de 101 na base 10? Significa que 102,004321 é igual a 101 (na verdade,

aproximadamente igual).

Na escrita, usa-se o símbolo log para simplificar a notação de logaritmo. Escrevemos: log10 101 = 2,004321.

Desse modo, a tabela de Briggs pode ser reescrita com a seguinte indicação:

10m log10 x

...... ......101 2,004321102 2,008600103 2,012837104 2,017033105 2,021189...... ......

A palavra logaritmo foi empregada pela primeira vez por Neper e se originou da composição das palavras gregas logos (razão) e arithmos (números)

Definição de logaritmos

Considere N e a números reais positivos, com a 1.Definimos:

onde:a: base do logaritmoN: logaritmandox: logaritmo de N na base a

NaxNlog xa

Exemplos:

1) log10 105 = 2,021189 equivale a 102,021189 = 105.2) log3 9 = 2 equivale a 32 =9.3) log5 5 = 1 equivale a 51 = 5.4) log7 1 = 0 equivale a 70 = 1.5) log10 0,1 = -1 equivale a 10-1 = 0,1.6) log2 215 = 215 equivale a 215 = 215.

As restrições impostas à base a (a > 0 e a 1) do logaritmo garantem a existência da unicidade de qualquer número positivo.

Exemplo:Se log2 7 = x, então 2x = 7.Observando o gráfico da função y = 2x, verificamos que esse valor existe e é único.

Observação: Quando a base do logaritmo é 10, é comum não indicá-la e o logaritmo é chamado decimal. Assim, log10 N = log N.

O uso dos logaritmos

Como calcular (1,05)100, sem usar calculadora?

O valor dessa potência pode ser obtido facilmente através de uma tabela de logaritmos.

Considere N = (1,05)100 e observe a tabela abaixo:x log10 x

1,05 0,021189131,49 2.118900

Temos:log10 1,05 = 0,021189, isto é, 100,021189 = 1,05

Assim:N = (1,05)100 = (100,021189)100 = 102,118900

O número cujo logaritmo é 2,11890 é obtido na tabela: 131,49. Logo, N = (1,05)100 = 131,49.

x log10 x

1,05 0,021189131,49 2.118900

Os logaritmos também podem ser aplicados em outras áreas do conhecimento humano. Por exemplo, na medição de terremotos. Para medir a energia liberada pelo tremor em forma de ondas, uma das escalas mais utilizadas é a escala Richter.

Considere R1 e R2 indicações das intensidades de dois terremotos na escala Richter; e M1 e M2, energias liberadas por esse tremores.

A relação entre R1 e R2 é dada por:

2

11021 M

MlogRR

O logaritmo e o cálculo mental

Determinados cálculos que envolvem logaritmos são tão simples que podem ser feitos mentalmente.

Exemplo:Descobrir o valor de x, em cada item:a) log2 x = 5b) log3 9 = xc) logx 8 = 3d) log 10x = 7

Solução:

a) log2 x = 5 25 = x. Portanto, x = 32.b) log3 9 = x 3x = 9. Portanto, x = 2.c) logx 8 = 3 x3 = 8. Portanto, x = 2.d) log 10x = 7. Lembrando que log N = log10 N, temos: log 10x = 7 log10 10x = 7. Logo, 10x = 107. Portanto, x = 7.

O uso da tabela no cálculo de logaritmos

Exemplo:Consultando a tabela ao lado, calcular:a) 2,375 . 4,850b) 11,519 : 5,773c) (1,995)10

d) 686,998

x log x1,995 0,29992,375 0,37574,850 0,68575,773 0,761511,519 1,0614

31,602 1,4997998,686 2,9994

Solução:a) log 2,375 = 0,3757 significa que100,3757 =

2,375.log 4,850 = 0,6857 significa que100,6857 = 4,850.

Assim:2,357 . 4,850 = 100,3757 . 100,6857 = 100,3757 + 0,6857 =101,0614. Pela tabela, 101,0614 = 11,519,isto é, log 11,519 = 1,0614.

Logo, 2,375 . 4,850 11,519.

x log x2,375 0,37574,850 0,685711,519 1,0614

Solução:b) log 11,519 = 1,0614 significa que101,0614 =

11,519log 5,773 = 0,7615 significa que100,7615 = 5,773.

Assim:11,519 : 5,773 = 101,0614 : 100,7615 = 101,0614 – 0,7615 =100,2999. Pela tabela, 100,2999 = 1,995,isto é, log 1,995 = 0,2999.

Logo, 11,519 : 5,773 1,995.x log x

1,995 0,29995,773 0,761511,519 1,0614

Solução:c) log 1,995 = 0,2999 significa que 100,2999 =

1,995.Assim:(1,995)10 = (100,2999)10 = 100,2999 . 10 = 102,999.Pela tabela, 102,999 = 998,686, isto é, log 998,686 = 2,999.

Logo, (1,995)10 998,686.x log x

1,995 0,2999998,686 2,9994

Solução:d) log 998,686 = 2,9994 significa que

102,9994 = 998,686.Assim:

Pela tabela, 101,4997 = 31,602,isto é, log 31,602 = 1,4997.

Logo, 31,602.x log x

31,602 1,4997998,686 2,9994

4997,129994,2

21

9994,2 1010)10(686,998

686,998