Wellington D. Previero [email protected] …paginapessoal.utfpr.edu.br/.../zeros_de_funcao.pdfUm numero real´ a e um zero da func¸´ ao˜ f ou raiz da equac¸ao˜ f(x) = 0se

Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton

Zeros de Funcoes

Wellington D. [email protected]

http://pessoal.utfpr.edu.br/previero

Universidade Tecnologica Federal do Parana - UTFPRCampus Londrina

Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 1 / 77

http://pessoal.utfpr.edu.br/previero


Sumario

1 Introducao

2 Metodo da Bisseccao

3 Metodo das Cordas

4 Metodo do Ponto Fixo

5 Metodo de Newton



1 Introducao


3 Metodo das Cordas


5 Metodo de Newton



Introducao

Objetivo

Estudo de metodos numericos para resolucao de equacoes daforma f (x) = 0.



Definicao

Um numero real a e um zero da funcao f ou raiz da equacaof (x) = 0 se f (a) = 0.



Definicao

Um numero real a e um zero da funcao f ou raiz da equacaof (x) = 0 se f (a) = 0.



Exemplo 1

a) f (x) = ax2 + bx + c = 0→ x =−b±√

b2−4ac2a (Formula de

Baskara).b) f (x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0→ Metodo de Cardano [1],

[2].c) No caso de polinomios de grau mais alto e no caso de

funcoes mais complicadas, pode ser impossıvel achar oszeros exatamente. Exemplo: f (x) = e−x − x . Por isso,temos de nos contentar em encontrar apenas aproximacoespara esses zeros .


http://www.italoaugusto.com/site_pt/pdf/eq3grau.pdf

http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_c%C3%BAbica


Exemplo 1

a) f (x) = ax2 + bx + c = 0→ x =−b±√









Exemplo 1

a) f (x) = ax2 + bx + c = 0→ x =−b±√









Exemplo 2Se um paraquedista estiver inicialmente em repouso, a suavelocidade v apos t segundos do salto e dada

v(t) =gmc

(1− e−c

t t)

em que c e a constante de arrasto, m e a massa doparaquedista e g a constante gravitacional.



Exemplo 2Um paraquedista de massa 69,5kg pula de um balao de arquente parado. Considere o valor do coeficiente de igual a12,5kg/s.

a) Use a equacao anterior para calcular para estimar avelocidade de abertura do paraquedas.

b) Determine o coeficiente de arrasto para que umparaquedista de de massa 80kg atinga a velocidade de50m/s apos 8 segundos.



Os metodos que iremos estudar consistem em encontrar oszeros de uma funcao com uma precisao prefixada.

A ideia principal desses metodos e partir de uma aproximacaoinicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximacaoatraves de um processo iterativo.



Para calcular uma raiz, duas etapas devem ser seguidas:

FASE I: localizar ou isolar as raızes, isto e, obter o intervaloque contem a raiz.

FASE II: melhorar o valor da raiz aproximada, ou seja, refina-laate o grau de exatidao requerido.



Fase I: Isolamento das Raızes

Teorema do Valor IntermediarioSeja f uma funcao contınua num intervalo [a,b]. Sef (a) · f (b) < 0 entao existe pelo menos um ponto entre a e bque e zero de f (x).



Fase I: Isolamento das Raızes

Teorema do Valor IntermediarioSeja f uma funcao contınua num intervalo [a,b]. Sef (a) · f (b) < 0 entao existe pelo menos um ponto entre a e bque e zero de f (x).



Observacoes:

a) Se f (a) · f (b) < 0, entao existe um numero ımpar de raızesno intervalo (a,b).

b) Sob as hipoteses do teorema anterior, se f ′(x) existir epreservar o sinal em (a,b), entao este intervalo contem umunico zero de f (x).

c) Se f (a) · f (b) > 0, entao existe um numero par de raızes ounenhuma raiz no intervalo (a,b).



Fase II: Refinamento

Estudaremos varios metodos numericos de refinamento deraiz. A forma como se efetua o refinamento e o que diferenciaos metodos.

Metodo da BisseccaoMetodo das CordasMetodo do Ponto FixoMetodo de Newton-Raphson



Um metodo iterativo consiste em uma sequencia deinstrucoes que sao executadas passo a passo e que saorepetidas em ciclos.

A execucao de um ciclo recebe o nome de iteracao.

Cada iteracao utiliza resultados das iteracoes anteriores eefetua determinados testes que permitem verificar se foiatingido um resultado proximo o suficiente do resultadoesperado.



Início

Dados Iniciais

k=1

Calcular umanova aproximação

Esta aproximação

está suficientementepróxima da raiz

exata?

k=k+1

Cálculosfinais

Fim

Método Numérico

Critério de Parada

não

sim



Início

Dados Iniciais

k=1

Calcular umanova aproximação

Esta aproximação

está suficientementepróxima da raiz

exata?

k=k+1

Cálculosfinais

Fim

Método Numérico

Critério de Parada

não

sim



Criterios de Parada

O laco de repeticao e finalizado assim que o valor da solucaoaproximada esteja “proximo” da solucao exata.Considere x a solucao exata do problema e xk seu valoraproximado.A atual solucao xk esta suficientemente proxima da raiz exata?Alguns criterios:

Erro real: |x − xk |Erro relativo: |xk+1 − xk |Erro relativo percentual: |xk+1−xk |

|xk |· 100%



1 Introducao


3 Metodo das Cordas


5 Metodo de Newton



Metodo da Bisseccao

Seja f uma funcao contınua num intervalo [a,b] tal quef (a) · f (b) < 0.



Metodo da Bisseccao

Seja f uma funcao contınua num intervalo [a,b] tal quef (a) · f (b) < 0.



Dividindo o intervalo [a,b] ao meio, obtemos o valor x0. Comesta divisao, temos agora, dois subintervalos, [a, x0] e [x0,b].



A raiz estara no subintervalo onde a funcao tem sinais opostosno pontos extremos.



O novo intervalo [a1,b1] que contem a raiz e dividido ao meio eobtem-se o ponto x1.

O processo se repete ate que se obtenha uma aproximacaopara a raiz exata, com tolerancia desejada.



Exemplo 2

Considere a funcao f (x) = x2 − 3 e o intervalo [a,b] = [1,2].Obtenha uma aproximacao para a raiz de f utilizando o criteriode parada |bk − ak | ≤ 0,01.



Iteracao: k = 0

Intervalo: [a0,b0] = [1,2]x0 = 1,5f (x0) = −0,75f (1) = −2f (2) = 1

f (x0) · f (2) < 0

Novo intervalo: [a1,b1] = [1,5;2]

Erro: 0,5



Iteracao: k = 0

Intervalo: [a0,b0] = [1,2]x0 = 1,5f (x0) = −0,75f (1) = −2f (2) = 1

f (x0) · f (2) < 0

Novo intervalo: [a1,b1] = [1,5;2]

Erro: 0,5



Iteracao: k = 1

Intervalo: [a1,b1] = [1,5;2]x1 = 1,75f (x1) = 0,0625f (1,5) = −0,75f (2) = 1

f (x1) · f (1,5) < 0

Novo intervalo: [a2,b2] = [1,5;1,75]

Erro: 0,25



Iteracao: k = 1

Intervalo: [a1,b1] = [1,5;2]x1 = 1,75f (x1) = 0,0625f (1,5) = −0,75f (2) = 1

f (x1) · f (1,5) < 0


Erro: 0,25



Iteracao: k = 2

Intervalo: [a2,b2] = [1,5;1,75]x2 = 1,625f (x2) = −0,359375f (1,5) = −0,75f (1,75) = 0,0625

f (x2) · f (1,75) < 0


Erro: 0,125



Iteracao: k = 2


f (x2) · f (1,75) < 0


Erro: 0,125



Iteracao: k = 3


f (x3) · f (1,75) < 0


Erro: 0,0625



Iteracao: k = 3


f (x3) · f (1,75) < 0


Erro: 0,0625



Iteracao: k = 4


f (x4) · f (1,75) < 0


Erro: 0,03125



Iteracao: k = 4


f (x4) · f (1,75) < 0


Erro: 0,03125



Iteracao: k = 5

Intervalo:[a5,b5] = [1,71875;1,75]x5 = 1,734375f (x5) = 0,008056641f (1,71875) = −0,045898438f (1,75) = 0,0625

f (x5) · f (1,71875) < 0


Erro: 0,015625



Iteracao: k = 5

Intervalo: [a5,b5] = [1,71875;1,75]x5 = 1,734375f (x5) = 0,008056641f (1,71875) = −0,045898438f (1,75) = 0,0625

f (x5) · f (1,71875) < 0


Erro: 0,015625



Iteracao: k = 6

Intervalo:[a6,b6] = [1,71875;1,734375]x6 = 1,7265625f (x6) = −0,018981934f (1,71875) = −0,045898438f (1,734375) = 0,008056641

f (x6) · f (1,734375) < 0


Erro: 0,0078125 OK!

Solucao: x7 = 1,73046875



Iteracao: k = 6


f (x6) · f (1,734375) < 0


Erro: 0,0078125 OK!

Solucao: x7 = 1,73046875



Iteracao: k = 6


f (x6) · f (1,734375) < 0


Erro: 0,0078125 OK!

Solucao: x7 = 1,73046875





Algoritmo 1: Metodo da BisseccaoEntrada: f (x), a, b, εk ← 0, a0 ← a, b0 ← b;enquanto Criterio de Parada ≥ ε faca

xk ← (ak + bk )/2;se f (ak ) · f (xk ) < 0 entao

ak+1 ← ak ;bk+1 ← xk ;

senaose f (ak ) · f (xk ) < 0 entao

ak+1 ← xk ;bk+1 ← bk ;

senaoPare o laco

fimfimk ← k + 1

fimxk ← (ak + bk )/2 ;Exiba xk ;



Observacoes:

a) A convergencia do metodo e garantida, desde que a funcaoseja contınua num intervalo [a,b] e que f (a) · f (b) < 0;

b) Se o intervalo inicial for grande e se ε for pequeno, onumero de iteracoes tende a ser grande;

c) As iteracoes nao envolvem calculos laboriosos.



1 Introducao


3 Metodo das Cordas


5 Metodo de Newton



Metodo das Cordas

Seja f (x) uma funcao contınua que tenha a segunda derivadacom sinal constante no intervalo [a,b], f (a) · f (b) < 0 e queexiste somente uma raiz para funcao neste intervalo (f ′(x) naomuda de sinal).



O metodo da cordas equivale a substituir a funcao y = f (x) poruma corda que passa pelos pontos A = (a, f (a)) eB = (b, f (b)).

Vamos desenvolver o processo para calcular as aproximacoespara o zero da funcao.



Supondo que f ′′ tenha sinal constante no intervalo [a,b], temosquatro situacoes:

Se f ′′(x) > 0 :

Figura: Caso 1: f (a) < 0e f (b) > 0

Figura: Caso 2: f (a) > 0e f (b) < 0



Se f ′′(x) < 0 :

Figura: Caso 3: f (a) < 0e f (b) > 0

Figura: Caso 4: f (a) > 0e f (b) < 0



Para os casos 1 e 3 a solucao em cada iteracao e dado por:

xk+1 = xk −f (xk )

f (xk )− f (b)(xk − b)


xk+1 = xk −f (xk )

f (xk )− f (a)(xk − a)




xk+1 = xk −f (xk )

f (xk )− f (b)(xk − b)


xk+1 = xk −f (xk )

f (xk )− f (a)(xk − a)




xk+1 = xk −f (xk )

f (xk )− f (b)(xk − b)


xk+1 = xk −f (xk )

f (xk )− f (a)(xk − a)



O que diferencia a forma geral nos casos 1, 2, 3 e 4 e o pontofixado no inıcio ou no termino da corda. O ponto fixado (a ou b)e aquele no qual o seu sinal em f coincide com o sinal dasegunda derivada de f . Vamos chamar esse ponto de c.

Assim, a solucao geral sera dada por:

xk+1 = xk −f (xk )

f (xk )− f (c)(xk − c)



Exemplo 3

Calcular o zero da funcao f (x) = ex − sen(x)− 2 com 5iteracoes.



Figura: Grafico de f (x) = ex − sen(x)− 2 no intervalo [0, π]



Inıcio

f ′′(x) > 0

f (0,5) = −0.830704268 < 0

f (1,5) = 1.484194083 > 0

c = 1,5 e x0 = 0,5



Inıcio

f ′′(x) > 0

f (0,5) = −0.830704268 < 0

f (1,5) = 1.484194083 > 0

c = 1,5 e x0 = 0,5



Iteracao: k = 0

x0 = 0,5

x1 = 0.5− (−0.830704)(−2.314898) · (−1)

x1 = 0.858851



Iteracao: k = 0

x0 = 0,5

x1 = 0.5− (−0.830704)(−2.314898) · (−1)

x1 = 0.858851



Iteracao: k = 1

x1 = 0.858851x2 = 0.858851− (−0.396645)

(−1.880839) ·(−0.641149)x2 = 0.994061



Iteracao: k = 2

x2 = 0.994061x3 = 0.994061− (−0.136061)

(−1.620255) ·(−0.505939)x3 = 1.036548



Iteracao: k = 3

x3 = 1.036548x4 = 1.036548− (−0.041185)

(−1.525379) ·(−0.463452)x4 = 1.049061



Iteracao: k = 4

x4 = 1.049061x5 = 1.049061− (−0.011987)

(−1.496181) ·(−0.450939)x5 = 1.052674





Algoritmo 2: Metodo das CordasEntrada: f (x), x0, c, εk ← 0 ;enquanto Criterio de Parada ≤ ε faca

xk+1 ← xk − f (xk )f (xk )−f (c)(xk − c);

k ← k + 1fimExiba xk ;



Observacoes:

a) Condicoes de convergencia: a funcao tem que ser contınuanum intervalo [a,b] tal que f (a) · f (b) < 0 e que f ′(x) naomude de sinal;

b) Requer o calculo de f (x) em um elevado numero deiteracoes;

c) Necessidade de conhecimento previo da regiao na qual seencontra a raiz de interesse;

d) Necessidade de conhecer o sinal da f ′′(x) no intervalo [a,b].



1 Introducao


3 Metodo das Cordas


5 Metodo de Newton



Metodo do Ponto Fixo

Seja f (x) uma funcao contınua em [a,b], intevalo que contemuma raiz da equacao f (x) = 0.

O Metodo do Ponto Fixo consiste em escrever f (x) = 0 emuma equacao equivalente a x = g(x) e a partir de umaaproximacao inicial x0 gerar a sequencia xk de aproximacoespara a raiz ξ atraves da relacao xk+1 = g(xk ).



Um funcao g(x) que satisfaz a condicao

f (x) = 0⇔ x = g(x)

e chamada de funcao iteracao.

Observe que se f (ξ) = 0 entao ξ = g(ξ).



Exercıcio 1Determine algumas funcoes de iteracao para a equacaox2 + x − 6 = 0.

Resposta

a) g(x) = 6x+1

b) g(x) =√

6− xc) g(x) = 6− x2



Exercıcio 1Determine algumas funcoes de iteracao para a equacaox2 + x − 6 = 0.

Resposta

a) g(x) = 6x+1

b) g(x) =√

6− xc) g(x) = 6− x2



Suponha que g(x) seja uma funcao iteracao da equacaof (x) = 0. Entao a raiz da equacao f (x) = 0 equivale a abscissado ponto de interseccao da reta y = x com a curva y = g(x).












Interpretacao Geometrica das Aproximacoes: Dadauma aproximacao inicial x0 e a funcao iteracao y = g(x),as aproximacoes da raiz ξ sao geradas pela relacaoxk+1 = g(xk ). Vamos verificar como sao geradas asaproximacoes da raiz ξ.






























Exemplo 4Considere as funcoes iterativas obtidas no Exercıcio 1.Verifique geometricamente a convergencia (ou nao) dasaproximacoes da raiz de f (x) = x2 + x − 6 atraves da relacaoxk+1 = g(xk ) e x0 = 1.



Exemplo 4

a) g(x) = 6x+1



Exemplo 4

b) g(x) =√

6− x



Exemplo 4

c) g(x) = 6− x2 e x0 = 1,5



Exercıcio 2Atraves das funcoes iteracoes do Exemplo 4, obtenhanumericamente a aproximacao da raiz de f (x) = x2 + x − 6atraves da relacao xk+1 = g(xk ) e x0 = 1. Faca 4 iteracoes.



Algoritmo 3: Metodo do Ponto FixoEntrada: g(x), x0, εk ← 0 ;enquanto Criterio de Parada ≤ ε faca

xk+1 ← g(xk );k ← k + 1

fimExiba xk ;



TeoremaSejam ξ uma raiz da equacao f (x) = 0 isolada num intervalo Ie g(x) uma funcao iteracao. Sea) g(x) e g′(x) sao contınuas em I;b) |g′(x)| < 1 , para todo x em I ec) x0 ∈ I entao a sequencia xn gerada pelo processo iterativo

xk+1 = g(xk ) converge para ξ.



Exercıcio 3Verifique se a funcao iteracao gera uma sequencia convergenteou divergente para o zero da funcao f (x) = x2 + x − 6.a) g(x) = 6− x2

b) g(x) = 6x+1



Observacoes:

a) Convergencia rapida;b) Necessidade de que a funcao de iteracao e a condicao

inicial x0 satisfacam a condicao de convergencia;



1 Introducao


3 Metodo das Cordas


5 Metodo de Newton



Ideia basica:seja f uma funcao contınua cuja raiz chamaremos de ξ.Iniciaremos tomando um valor que sabemos estar proximode ξ, que chamaremos de x0;A partir do ponto (x0, f (x0)) tracamos a reta y = L0(x)tangente a curva nesse ponto.



Ideia basica:seja f uma funcao contınua cuja raiz chamaremos de ξ.Iniciaremos tomando um valor que sabemos estar proximode ξ, que chamaremos de x0;A partir do ponto (x0, f (x0)) tracamos a reta y = L0(x)tangente a curva nesse ponto.



A aproximacao x1 e o ponto onde a reta tangentey = L0(x) intersepcta o eixo x;Determinamos a reta y = L1(x) tangente ao grafico def (x) no ponto (x1, f (x1)).









Da mesma maneira, a aproximacao x2 e o ponto onde areta y = L1(x) intersepta o eixo x.O processo se repete ate que um criterio de parada sejasatisfeito.





De forma geral, a aproximacao xk+1 e dada por

xk+1 = xk −f (xk )

f ′(xk )

.



Exercıcio 4

Seja f (x) = x2 + x − 6. Determine uma aproximacao para araiz de f considerando x0 = 1,5. Considere o criterio deparada |f (xk )| ≤ 10−4.

Resposta

n = 0, x1 = 2,062500, |f (x1)| = 0,316406n = 1, x2 = 2,000762, |f (x2)| = 0,003812n = 2, x3 = 2,000000, |f (x3)| = 0



Exercıcio 4

Seja f (x) = x2 + x − 6. Determine uma aproximacao para araiz de f considerando x0 = 1,5. Considere o criterio deparada |f (xk )| ≤ 10−4.

Resposta

n = 0, x1 = 2,062500, |f (x1)| = 0,316406n = 1, x2 = 2,000762, |f (x2)| = 0,003812n = 2, x3 = 2,000000, |f (x3)| = 0





Algoritmo 4: Metodo de NewtonEntrada: f (x), f ′(x), x0, εk ← 0 ;enquanto Criterio de Parada ≤ ε faca

xk+1 ← xk − f (xk )f ′(xk )

;k ← k + 1

fimExiba xk ;



Observe que se considerarmos

g(x) = x − f (x)f ′(x)

temos que

g(x) = x ⇔ x − f (x)f ′(x)

= x

⇔ f (x)f ′(x)

= 0

⇔ f (x) = 0

Logo a funcao g(x) = x − f (x)f ′(x) e uma funcao iteracao (Metodo

do Ponto Fixo) da equacao f (x) = 0.



Observe que se considerarmos

g(x) = x − f (x)f ′(x)

temos que

g(x) = x ⇔ x − f (x)f ′(x)

= x

⇔ f (x)f ′(x)

= 0

⇔ f (x) = 0

Logo a funcao g(x) = x − f (x)f ′(x) e uma funcao iteracao (Metodo

do Ponto Fixo) da equacao f (x) = 0.



A convergencia do Metodo de Newton-Raphson estaragarantida desde que satisfaca o criterio de convergencia doMetodo do Ponto Fixo.



Observacoes:

a) Convergencia rapida;b) Necessidade do calculo de f ′(x);c) Calculo do valor numerico de xk em f ′(x) e f (x) em cada

iteracao.


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