XXVI SEMANA DA LICENCIATURA EM … – MINICURSOS E CADERNO DE RESUMOS ISBN: 978-85-99703-79-3 Volume 1 UNESP – BAURU Novembro de 2014 XXVI SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

U N I V E R S I D A D E E S T A D U A L P A U L I S T A

Comissão Organizadora da XXV Semana da Licenciatura em Matemática – SELMAT

Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências

Fone/fax: 14 3103-6086

site: http://www2.fc.unesp.br/matematica/semana/

XXVI SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA E 1º ENCONTRO DE FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE

MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS DIGITAIS

ANAIS – MINICURSOS E CADERNO DE

RESUMOS

ISBN: 978-85-99703-79-3

Volume 1

UNESP – BAURU

Novembro de 2014

XXVI SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA E 1º ENCONTRO DE FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS DIGITAIS




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ANAIS – MINICURSOS E CADERNO DE RESUMOS da XXVI SEMANA DA LICENCIATURA EM

MATEMÁTICA E 1º ENCONTRO DE FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS

DIGITAIS

Organizadores:

Profª. Drª. Adriana Cristina Cherri Nicola

Prof. Dr. Agnaldo José Ferrari

Profª. Drª. Ivete Maria Baraldi

Profª. Drª. Maria Ednéia Martins Salandim

Prof. Dr. Mauri Cunha do Nascimento

Profª. Drª. Sueli Liberatti Javaroni

Patrocínio:

Conselho de Curso da Licenciatura em Matemática

UNESP – Câmpus Bauru

Apoio:





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FICHA CATALOGRÁFICA

C759

Semana da Licenciatura em Matemática e 1º Encontro de Formação do

Professor de Matemática e Tecnologias Digitais (1. : 2014 :

Bauru, SP)

Anais [recurso eletrônico] da Semana da Licenciatura em Matemática

e 1º Encontro de Formação do Professor de Matemática e

Tecnologias Digitais realizado em Bauru, no ano de 2014 ;

organizado por Ivete Maria Baraldi, Adriana Cristina Cherri Nicola,

Sueli Liberatti Javaroni, Maria Ednéia Martins Salandim, Agnaldo

José Ferrari, Mauri Cunha do Nascimento -- Bauru :

UNESP/FC/Departamento de Matemática, 2014

140 p.

Disponível em:

http://www2.fc.unesp.br/matematica/semana/cadernos/cadernoderesumo

s2014.pdf

ISBN 978-85-99703-79-3

1. Formação de professor. 2. Recursos digitais. I. Baraldi, Ivete Maria. II.

Nicola, Adriana Cristina Cherri. III. Javaroni, Sueli Liberatti. IV.

Salandim,Maria Ednéia Martins. V. Ferrari, Agnaldo José. VI.

Nascimento, Mauri Cunha. VII. Título.

http://www2.fc.unesp.br/matematica/semana/cadernos/cadernoderesumos2014.pdf

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COMISSÃO ORGANIZADORA

Docentes Profª Drª Adriana Cristina Cherri Nicola Prof. Dr. Agnaldo José Ferrari Profª Drª Ivete Maria Baraldi Profª Drª Maria Ednéia Martins Salandim Prof. Dr. Mauri Cunha do Nascimento Profª Drª Sueli Liberatti Javaroni

Técnicos Administrativos Christian Ferreira Oivane Daniel Buso de Lima Danilo Pires Maciel Edinéia Ferigato Mattiazzo Ivone Reina Barbieri

Discentes Alex Aparecido Garcia Ana Paula Frizon Anne Caroline Paim Baldoni Augusto Rodrigues Nogueira Bianca Frediani Zamuner Caio Vitor Sobrinho Franciele Pinheiro Sesnique Guilherme Fortunato da Silva Ísis Cristiane Barbosa Rossi Leticia Nogueira Gomes Lucas Farias de Menezes Mayara Fernanda Moreno Petti Patricia Fasseira Andrade Priscila Oreste Dias Rayne Herrera Sanches

COMISSÃO CIENTÍFICA

Profª Drª Adriana Cristina Cherri Nicola Prof. Dr. Agnaldo José Ferrari Profª Drª Ivete Maria Baraldi Profª Drª Maria Ednéia Martins Salandim Prof. Dr. Mauri Cunha do Nascimento Profª Drª Sueli Liberatti Javaroni

EQUIPE DE EDITORAÇÃO

Anne Caroline Paim Baldoni Patricia Fasseira Andrade





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Sumário MINICURSOS............................................................................................................................................... 7

AS POSSIBILIDADES DO USO DE APLICATIVOS MATEMÁTICOS NAS AULAS DE

MATEMÁTICA. ......................................................................................................................................... 8

DISCUTINDO ALGUNS RESULTADOS DO MINICURSO “GEOGEBRA E BLUELAB NAS

AULAS DE MATEMÁTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA” .................................................................... 10

LOUSA DIGITAL: FUNCIONALIDADES E REFLEXÕES ............................................................... 16

O USO DE TECNOLOGIAS ASSISTIVAS PARA O ENSINO E A APRENDIZAGEM DE

MATEMÁTICA PARA ALUNOS COM DEFICIÊNCIA ...................................................................... 17

OBJETOS EDUCACIONAIS E TECNOLOGIA ASSISTIVA: PROPOSTAS DIVERSIFICADAS

PARA O ENSINO INCLUSIVO DE MATEMÁTICA .......................................................................... 23

OFICINA DE PROGRAMAÇÃO PARA PROFESSOR DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

UTILIZANDO PROCESSING 2 ........................................................................................................... 27

PRODUÇÃO E USO DE VÍDEOS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ............................................. 29

RESUMOS .................................................................................................................................................. 31

A ESCOLA PÚBLICA E O USO DO COMPUTADOR: RESULTADOS PRELIMINARES DAS

VISITAS AOS LABORATÓRIOS DE INFORMÁTICA DAS ESCOLAS DA DIRETORIA DE

ENSINO DE BAURU ............................................................................................................................. 32

A VIDA DO CAVALEIRO ISAAC NEWTON ...................................................................................... 38

AVALIAÇÃO DA PROFICIENCIA DIGITAL: UMA EXPERIÊNCIA DO USO DO PROFIX ........ 44

DA VACUIDADE À TRIVIALIDADE LÓGICA NAS DEMONSTRAÇÕES MATEMÁTICAS ....... 50

ESTUDO DE UM MANUAL DIDÁTICO DE MATEMÁTICA NA ESCOLA PRIMÁRIA ................ 55





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GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS: UM ESTUDO DO LIVRO “O ESCÂNDALO DA

GEOMETRIA” ......................................................................................................................................... 61

IMPRESSÃO 3D NA RECONSTRUÇÃO DA BALESTILHA E SEU USO NO ENSINO DE

MATEMÁTICA E ASTRONOMIA ........................................................................................................ 67

JOGOS E MODELOS GEOMÉTRICOS: ALTERNATIVAS PARA O ENSINO DE

MATEMÁTICA ........................................................................................................................................ 75

LICENCIATURAS EM MATEMÁTICA NO BRASIL NOS ANOS 1960: UM MAPEAMENTO

ATRAVÉS DA REVISTA DOCUMENTA. ........................................................................................... 81

METODOLOGIA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA BASEADA NA MOTIVAÇÃO .............. 88

RELATOS NO APRENDIZADO DE MATEMÁTICA ATRAVÉS DOS JOGOS “FECHA A

CAIXA” E “AVANÇANDO COM RESTO” ........................................................................................... 95

SOBRE A APLICAÇÃO DE MÉTODOS DE PONTOS INTERIORES E EXTERIORES EM

PROBLEMAS DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO REATIVO ........................................................ 99

SOFTWARES EDUCACIONAIS NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: POSSIBILIDADES PARA O

PROFESSOR ....................................................................................................................................... 106

TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO (TICs) E O ENSINO DA

MATEMÁTICA DE FORMA DESCONTRAÍDA AOS ALUNOS DA EDUCAÇÃO DE JOVENS E

ADULTOS (EJA) .................................................................................................................................. 114

ULTRAFILTROS, QUANTIFICADORES MODULADOS E TABLEAUX ..................................... 121

UMA INTRODUÇÃO À GEOMETRIA DO TÁXI ............................................................................. 127

XXVI SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA E 1º ENCONTRO DE FORMAÇÃO

DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS DIGITAIS

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MINICURSOS

PROPOSTA DE MINICURSOS PARA A XXVI SEMANA DA

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA – 2014 –

TECNOLOGIAS DIGITAIS E O PROFESSOR DE MATEMÁTICA


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AS POSSIBILIDADES DO USO DE APLICATIVOS MATEMÁTICOS NAS

AULAS DE MATEMÁTICA

Autor: Tiago Giorgetti Chinellato FAAL – Faculdade de Administração e Artes de Limeira/ UNESP – RC, [email protected]

Resumo:

Nesse minicurso discutirei sobre o uso de tecnologias em sala de aula e apresentarei

possibilidades do uso de aplicativos de Matemática, através do tablete, para a Educação, em

especial nas aulas de Matemática. O objetivo central do minicurso é promover o debate e

proporcionar a interação entre os participantes e os aplicativos disponíveis para a exploração.

Serão apresentados aplicativos que podem ser usados tanto no Ensino Fundamental II quanto no

Ensino Superior. Será solicitado aos participantes a confecção de um plano de aula, utilizando

alguns dos aplicativos mencionados no minicurso, onde tal plano será apresentado para os

demais alunos presentes. Com a utilização desses aplicativos, espera-se que os participantes

possam buscar uma reflexão sobre o uso das tecnologias nas aulas de Matemática, de modo que

analisem as possibilidades e limitações da utilização desse recurso em sala de aula.

Metodologia:

O minicurso terá início com uma discussão sobre a propagação do uso dos tablets e

celulares em sala de aula, mencionando o programa do Estado de São Paulo, onde os professores

do Ensino Médio já tem disponível o tablete para o uso em suas aulas. Será levantado algumas

questões sobre de que modo a tecnologia pode influenciar em sala de aula de Matemática,

buscando reflexões sobre o tema.

Serão expostos os seguintes aplicativos para os participantes.


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Quadro I: Aplicativos.

Apps Função

FluidMath Permite o reconhecimento de caracteres matemáticos e expressões

algébricas que podem ser usadas para manipulação de parâmetros ou

desenho de gráficos de funções.

Tangram HD Aplicativo sobre tangram onde o aluno pode realizar diversas figuras

que são propostas, através das peças geométricas disponíveis pelo

tangram.

Math Helper Math Helper é um aplicativo de ajuda universal cujo objetivo é

solucionar problemas matemáticos de Álgebra I, Álgebra II, Cálculo

e Matemática para estudantes secundários e universitários, e permite

que você não só veja a resposta ou o resultado de um problema, mas

também obtenha uma solução detalhada.

XGraphing Realiza gráficos de várias funções, onde você pode editar os gráficos

mudam as cores, tipo de traço, etc.

Learn Algebra Funciona como um livro texto de álgebra interativo, com gráficos,

notas rápidas para revisão de assuntos e exercícios de reforço com

estatísticas de desempenho.

Professor Assistente

Demo 2

Equipamentos e Materiais necessários: Tablets, Projetor HDMI, Computador e Acesso à

Internet

Número máximo de participantes: 30

Carga horária do minicurso: 4 horas


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DISCUTINDO ALGUNS RESULTADOS DO MINICURSO “GEOGEBRA E

BLUELAB NAS AULAS DE MATEMÁTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA”

Autoras: Maria Teresa Zampieri Unesp – câmpus de Rio Claro, doutoranda em Educação Matemática, [email protected]

Anne Caroline Paim Baldoni Unesp – câmpus de Bauru, Licenciatura em Matemática, [email protected]

Patricia Fasseira Andrade Unesp – câmpus de Bauru, Licenciatura em Matemática, [email protected]

Mabi Batista, MSTECH - Bauru, Mestre em Ensino de Ciências e Matemática, [email protected]

Palavras chaves – Moldagem Recíproca; Adaptações

Keywords – Intershaping Relationship; Adaptations

Resumo:

Nesse trabalho temos o propósito de apresentar e discutir alguns resultados provenientes do

minicurso “GeoGebra e BlueLab nas aulas de Matemática da Educação Básica”, ministrado no

evento XXVI SELMAT. Nesse minicurso, tivemos o intuito de oferecer aos participantes, uma

diversidade de propostas de atividades matemáticas com o software GeoGebra, de forma

integrada ao software Bluelab, sendo que este último, dentro dos laboratórios de informática,

permite a colaboração entre professor e aluno por meio de funcionalidades simples. Aqui

trazemos recortes de ideias que emergiram após o desenvolvimento de uma atividade sobre

Teorema de Pitágoras, e também sobre sugestões de aprimoramento de algumas funcionalidades

do BlueLab. Verificamos que ao mesmo tempo em que os cursistas manusearam esses dois

softwares para atingir os objetivos das atividades propostas, os feedbacks proporcionados por

tais softwares fizeram com que muitas sugestões de adaptações surgissem. Com isso, buscamos

fomentar entre os participantes uma reflexão acerca da integração das tecnologias digitais

dentro das práticas docentes, articulando esse uso com as propostas pedagógicas de conteúdos

matemáticos, conforme constam no currículo do Estado de São Paulo.


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Introdução

No minicurso “GeoGebra e BlueLab nas aulas de Matemática da Educação Básica”

abordamos o manuseio do software de geometria dinâmica GeoGebra, explorando atividades

matemáticas integradas a este software. O GeoGebra possibilita “trabalhar a Matemática nos

vários níveis de ensino, pois reúne recursos que permitem, além das representações geométrica e

algébrica, representações de tabela, gráficos, probabilidade, estatística e cálculo em um único

ambiente” (SOUTO, 2013, p. 101). Os participantes foram instigados a refletir sobre as

potencialidades e limitações das atividades desenvolvidas, sugerindo maneiras de contornar tais

limitações. Posteriormente, pedimos a eles que socializassem suas considerações, ampliando

assim o debate envolvendo toda a turma.

Paralelamente a isso, em duplas ou trios, os participantes foram convidados a

explorar os recursos do software BlueLab, o qual possibilita a colaboração entre professor e

alunos nas salas de informática das escolas cadastradas no programa Acessa Escola. O BlueLab1 é

um software desenvolvido pela empresa MSTECH, e possibilita a colaboração entre professor e

alunos por meio de funcionalidades como: compartilhamento de pastas/arquivos, distribuição de

arquivos, exibir telas para os demais participantes, exibir telas de outros participantes aos demais,

receber arquivos.

Assim, nesse trabalho temos o intuito de apresentar e discutir alguns resultados

provenientes desse minicurso, a partir de recortes de ideias que emergiram após o

desenvolvimento de uma atividade sobre Teorema de Pitágoras, e também sobre sugestões de

aprimoramento de algumas funcionalidades do BlueLab. Evidenciamos que houve um processo

de Moldagem Recíproca, conforme definem Borba e Villarreal (2005). Desse modo, na seção

seguinte apresentamos as ideias fundamentais que norteiam a noção de Moldagem Recíproca. Em

seguida, apresentamos alguns recortes do minicurso e por fim, tecemos uma reflexão com base

nessa teoria.

1 http://www.blueonline.com.br/ . Último acesso em 14.01.2015.

http://www.blueonline.com.br/


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Uma síntese sobre Moldagem Recíproca

Borba e Villarreal (2005) argumentam que ao mesmo tempo em que o ser humano

molda um recurso tecnológico para atender determinado objetivo, ele também é moldado por esse

recurso a partir dos feedbacks que recebe do mesmo. Esse processo é denominado pelos autores

de Moldagem Recíproca. Segundo Souto (2013), a Moldagem Recíproca tem uma forte relação

com a Teoria da Atividade, que por sua vez, discorre sobre como o ser-humano vem

desenvolvendo formas de adaptação para garantir sua sobrevivência ao longo dos tempos.

Tecendo considerações sobre essa relação, a autora argumenta que o “processo de criação e

interação com o ambiente é dialético, pois, faz com que, ao mesmo tempo em que o ser humano

transforma, seja também transformado por ele” (SOUTO, 2013, p. 78).

Diante do estudo das ideias aqui colocadas, e a partir da análise dos dados

provenientes do minicurso, o qual foi ministrado para quatro diferentes turmas, com carga horária

de 4 horas em cada uma, evidenciamos o processo de Moldagem Recíproca ao longo do

desenvolvimento de algumas atividades. Faremos uma discussão acerca dessa temática mais

adiante.

Discussões acerca de atividades e reflexões

Uma das atividades desenvolvidas com o GeoGebra foi sobre o Teorema de

Pitágoras, que tinha o objetivo de propiciar a visualização de que o quadrado da hipotenusa é

igual à soma dos quadrados dos catetos. Nessa atividade foram utilizadas as seguintes ferramentas

do GeoGebra: controle deslizante, reta perpendicular, polígono regular, área e círculo dados

centro e raio. Destacamos aqui o papel do controle deslizante nessa atividade, pois foi a partir das

configurações que propusemos para essa ferramenta, que a construção dos lados do triângulo só

fez uso de números naturais. Propusemos isso no roteiro de construção para atender melhor ao

objetivo dessa atividade, uma vez que quando a elaboramos, pensamos em alunos do 8º ou 9º ano,

e julgamos que estes poderiam visualizar mais facilmente a relação entre as áreas se as mesmas

fossem representadas por números naturais apenas.


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Em uma das turmas em que desenvolvemos a atividade, tivemos a presença de uma

doutoranda e três alunos da Licenciatura em Matemática, sendo que um deles já atua como

professor na rede pública. Apesar de ter sido a turma com o número mais baixo de participantes,

foi a que provocou mais discussões em torno dessa atividade, por isso escolhemos abordar tais

discussões nesse artigo.

Uma das potencialidades do GeoGebra, destacada pelos participantes, foi a

elasticidade do software. Ou seja, esse software proporciona que se manuseie a figura para

diferentes lados, variando as medidas dos mesmos, propiciando com que se visualize as relações

entre as áreas instantaneamente, algo que levaria muito mais tempo se utilizássemos lápis e papel.

Uma das limitações destacada pelos participantes foi o fato de o GeoGebra fazer uma

aproximação da medida √2, ao invés de representá-la com o símbolo √. Ou seja, um dos

participantes do minicurso, que já atua como professor, alegou que mesmo que o controle

deslizante estivesse configurado para permitir a construção com números decimais, as medidas

sempre apareceriam aproximadas.

Nesse sentido, esse participante argumentou que tal problemática poderia ser

questionada por alunos do Ensino Médio. Para contornar essa situação e para cumprir o objetivo

da atividade sem desvios no foco, ele opina que ela poderia ser aplicada para introduzir o

conteúdo apenas, e que o professor poderia induzir os alunos a se concentrarem nas medidas das

áreas dos quadrados e não nas medidas dos segmentos.

Já em relação ao uso do BlueLab, em cada turma em que desenvolvemos o

minicurso, os participantes eram chamados em duplas ou trios com o objetivo de explorar

algumas das funcionalidades do software, tais como: compartilhamento de arquivos, recebimento

de arquivos, exibir sua tela para os demais, exibir a tela de um determinado participante para os

demais, etc. Os participantes, de um modo geral, se esforçaram na exploração desse software,

buscando entender cada uma dessas funcionalidades mencionadas. Além disso, o feedback

propiciado pelo mesmo também possibilitou algumas reflexões por parte dos participantes, os

quais buscaram apontar algumas limitações, com o intuito de que pudéssemos reportar isso à

empresa que desenvolve o software. Dentre as sugestões mencionadas, eles questionaram o envio

de tela por parte do professor. Essa ferramenta foi avaliada de forma positiva pelos professores


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com a justificativa de que nem sempre a escola conta com professor multimídia disponível no

momento da aula, e essa ferramenta permite que os alunos possam acompanhar tudo o que é

exibido na tela do professor durante a sua explicação. Foi sugerida uma melhoria para essa

ferramenta: permitir que o aluno possa arrastar a o quadro que exibe a tela do professor enviada

no tamanho pequeno ou médio para o local da área de trabalho que acharem mais conveniente,

possibilitando que o aluno utilize ferramentas do computador solicitadas pelo professor no mesmo

momento do envio de sua tela e explicações.

Desse modo, evidenciamos o processo de Moldagem Recíproca, conforme

defendem Borba e Villarreal (2005). Ou seja, na medida em que os participantes manusearam o

GeoGebra ou o BlueLab para atender os objetivos das atividades, conforme estas do recorte que

trouxemos, eles estavam com o foco na construção e depois em manipular a construção buscando

entender se os objetivos propostos estavam sendo de fato cumpridos. Contudo, o processo

recíproco também ocorreu. Ou seja, o feedback proporcionado por esses softwares fez com que os

participantes pensassem no contexto da sala de aula, ou seja, fez com que eles sugerissem

adaptações no roteiro e/ou no uso de algumas funcionalidades desses softwares para que as

atividades cumprissem de fato seus objetivos, minimizando assim eventuais contratempos que

poderiam acontecer em sala de aula.

Por fim, ao ministrarmos esse minicurso e ao divulgarmos algumas das ideias que o

permearam, buscamos fomentar uma reflexão acerca da articulação do uso das tecnologias digitais

com o currículo de Matemática para a Educação Básica. Almejamos com isso, que as discussões

frutíferas que ocorreram, perpassem a XXVI SELMAT e que faça a diferença posteriormente nas

práticas desses participantes.

Referências

BORBA, M. C.; VILLARREAL, M. Humans-with-Media and the Reorganization of

Mathematical Thinking: Information and Communication Technologies, Modeling,

Visualization and Experimentation. Nova York: Springer (2005).


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SOUTO, D. L. P. Transformações expansivas em um curso de Educação Matemática a

distância online. 2013. Tese (doutorado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e

Ciências Exatas, UNESP, Rio Claro (SP), 2013.


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LOUSA DIGITAL: FUNCIONALIDADES E REFLEXÕES

Autor: Luana Pedrita Fernandes de Oliveira GPIMEM, UNESP - Rio Claro, [email protected]

Resumo:

Este minicurso tem como objetivos apresentar uma síntese das ferramentas básicas existentes na

Lousa Digital e promover uma discussão sobre o uso da lousa e suas funcionalidades, com

enfoque em alguns pontos positivos e negativos. Além de propor um momento de reflexão e

interação dos participantes com a Lousa.

Metodologia:

Esse minicurso terá três momentos: primeiro será apresentado uma síntese das

ferramentas básicas existentes na Lousa Digital, mostrando suas funcionalidades a partir de

exemplos como construções geométricas; no segundo momento será proposta uma discussão

sobre os pontos positivos e negativos do uso da lousa; e no terceiro, os participantes serão

convidados a desenvolverem alguma atividade matemática a fim de que haja um momento de

interação deles com a Lousa.

Equipamentos e Materiais necessários: Lousa Digital.

Número máximo de participantes: 20 pessoas.

Carga horária do minicurso: 4 horas.


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O USO DE TECNOLOGIAS ASSISTIVAS PARA O ENSINO E A

APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA PARA ALUNOS COM

DEFICIÊNCIA

Autor: Fernanda Malinosky C. da Rosa

Doutoranda em Educação Matemática - UNESP/Campus Rio Claro, [email protected]

Palavras chave: Educação Matemática; Educação Inclusiva; Formação de Professores.

Resumo:

Este trabalho é um relato do minicurso oferecido à licenciandos e professores da rede de ensino

de Bauru, foram apresentados algumas das tecnologias assistivas existentes para pessoas/alunos

com deficiências físicas, auditivas, visuais e intelectuais, bem como foram mostrados e

manuseados alguns softwares existentes promovendo, assim, a discussão de como usá-los nas

classes regulares em escolas inclusivas. Cabe ressaltar que em vários momentos, os participantes

foram levados à reflexão sobre a inclusão.

Introdução

Vivemos num mundo mediado pelas tecnologias que, cada vez mais se

especializam para atender as demandas das pessoas. Entretanto, a partir da implantação das

políticas públicas de acessibilidade voltadas para a inclusão de pessoas necessidades educativas

especiais (com deficiência ou não), o conceito de tecnologias assistivas começou a se tornar

conhecido. No Brasil, o Comitê de Ajudas Técnicas - CAT, instituído pela PORTARIA N° 142,

DE 16 DE NOVEMBRO DE 2006 propõe o seguinte conceito para a tecnologia assistiva:

Tecnologia Assistiva é uma área do conhecimento, de característica interdisciplinar, que

engloba produtos, recursos, metodologias, estratégias, práticas e serviços que objetivam

promover a funcionalidade, relacionada à atividade e participação de pessoas com

deficiência, incapacidades ou mobilidade reduzida, visando sua autonomia,

independência, qualidade de vida e inclusão social" (BRASIL, 2006, documento online).

Santarosa (1997 apud INSTITUTO DE TECNOLOGIA SOCIAL, 2008) fala sobre

a importância que assumem essas tecnologias no âmbito da Educação Especial e estas já vem


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sendo destacadas como a parte da educação que mais está e estará sendo afetada pelos avanços e

aplicações que vêm ocorrendo nessa área para atender necessidades específicas, face às limitações

de pessoas no âmbito mental, físico-sensorial e motoras com repercussão nas dimensões sócio-

afetivas.

Diante desses avanços, da legislação que desde de 1994, com a Declaração de

Salamanca, recomenda a “Educação para Todos” com a matrícula compulsória de alunos com

deficiência, transtornos globais do desenvolvimento e altas habilidades ou superdotação em

classes regulares2 e os números do Educacenso que mostram a migração desses alunos das escolas

especializadas para as escolas regulares, conforme o gráfico a seguir:

Gráfico 1 – Matrícula de alunos da modalidade Educação Especial (ROSA, 2013)

Nessa perspectiva, o minicurso teve como foco apresentar alguns softwares,

utilitários e educativos, voltados para o ensino e a aprendizagem de matemática por alunos com

deficiência física, visual, auditiva e intelectual, no intuito de auxiliar o professor em suas aulas.

2 O uso das expressões classes ou escolas regulares tem por objetivo diferenciá-las das escolas e classes

especializadas, portanto não significa que esta última seja irregular.

0

100.000

200.000

300.000

400.000

500.000

600.000

700.000

2007 2008 2009 2010 2011 2012

Alunos em EscolasEspeciais

Alunos Incluídos emClasses Comuns


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O minicurso

No início do minicurso, os professores e licenciandos foram convidados a

participar de uma dinâmica e nela contar um pouco sobre suas vivências em relação à inclusão e o

que eles pensam sobre esse tema.

Na segunda parte do minicurso, apresentei brevemente algumas leis e recursos

assistivos para pessoas que podem ser usados por pessoas com ou sem deficiência, como o caso

dos óculos, lupas etc. Alguns recursos específicos como: próteses de membros, bengalas, o

telefone público para surdos (TDD), softwares etc. Manipulamos alguns softwares3 para ensinar

matemática para alunos de diversas idades e pensamos em meios de adaptar esses softwares para

algumas deficiências, diferentes das indicações do mesmo, e pensamos nas adaptações possíveis,

caso da escola não tenha sala de informática disponível.

A discussão sobre inclusão escolar e algumas considerações

Nessa seção, escolhi colocar parte da discussão que tivemos sobre o tema inclusão

durante o minicurso a fim de mostrar algumas concepções dos participantes sobre o tema.

Alguns licenciandos que já estão trabalhando na escola contaram que já tiveram ou

viram alunos com deficiência na escola e que observaram que este número aumentou de um ano

para o outro. Uma das licenciandas participantes apontou que uma das escolas que ela trabalhou

cobrava um planejamento, mas ela trabalhou em outra que não cobrava que ela fizesse atividades

adaptadas ou currículo adaptado em relação ao aluno com deficiência que ela tinha em sala, então

ela questionou que educação inclusiva é essa? Para uma outra licencianda, a inclusão que está

ocorrendo nos dias de hoje é na verdade uma exclusão, porque os alunos vão sendo colocados em

sala de aula e o professor tem que dar conta dele e de outros tantos.

3 Manipulamos softwares como: Aiello, Papado, DosVox, entre outros de matemática disponíveis no Banco

Internacional de Objetos Educacionais: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/ e no site:

www.proativa.vdl.ufc.br/oa.php?id=0

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/

http://www.proativa.vdl.ufc.br/oa.php?id=0


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Alguns licenciandos em matemática questionaram a formação que eles estão tendo

para ministrar aulas para alunos com deficiência, pois eles só têm o curso de LIBRAS no

currículo. Para eles, a formação não está suprindo as demandas da inclusão.

Uma professora relatou que alguns alunos não vêm com laudo e para o professor é

difícil identificar se tem um “probleminha” (como a mesma descreveu), a escola não dá apoio e

não tem material, a turma é grande e ela tem um cronograma para cumprir. Na opinião dela o

aluno deveria ficar retido para aprender melhor, mas a escola quando consegue um laudo, sugere

enviar esta criança para uma escola estadual.

Uma licencianda acha que deveria ter uma formação muito boa para os

profissionais e o aluno deveria ter uma aula de reforço para os alunos com deficiência para que

eles aprendam melhor, pois ela teve uma colega com deficiência na escola e alguns professores a

ajudavam, outros não, mas ela foi passando de ano escolar, mesmo sem saber ler direito. Para um

outro não adianta só o professor reclamar, ele deve procurar se orientar e buscar cursos ou pessoas

especializadas para tirar dúvidas.

Uma professora lembrou que alguns de nós também necessita de recursos, de

tecnologia assistiva em nossas vidas e deu o exemplo dos óculos que ela necessita usar. Em

relação à formação do professor, ela ressaltou que a lei foi imposta e o professor deve ir atrás de

formação, a escola não dá apoio. Uma outra professora relatou que recebeu um curso de LIBRAS

de 40h pela rede de ensino em que trabalha, mas não se sente capacitada, pois ela recebeu um

aluno surdo e se comunica com ele por mensagem, leitura labial e gestos. Ela ressaltou que não

tinha intérprete ou especialista para ajudá-la. Outra professora ressaltou que os professores devem

buscar cursos, mas deve haver uma integração entre a professora especializada da sala de recursos

e o professor da sala de aula, que ela percebe que em algumas escolas não ocorre.

Foi ressaltada a importância de se conviver com as pessoas com deficiência que

foram segregadas por tanto tempo e nos dias atuais estão tendo a oportunidade de ir para a escola.

Foi lembrado também que esses alunos brevemente chegarão na universidade [pensando na

Faculdade de Matemática da Unesp de Bauru] e os professores universitários também devem estar

capacitados.


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Neste minicurso foi possível perceber a participação de pessoas que estavam

preocupadas com a formação diante das leis do governo que orientam a matrícula compulsória de

alunos com deficiência, transtornos globais do desenvolvimento e superdotados. Alguns outros

além da preocupação, há casos de pessoas que procuraram que tem algum caso de deficiência na

família. Das dificuldades apontadas, vemos que ser professor, nos dias de hoje, implica em saber

lidar com indisciplina e desinteresse dos alunos, não ter um incentivo para exercer a profissão.

Como professores de matemática, temos, ainda, a tarefa de tentar romper o estigma de a

matemática ser uma disciplina difícil e com o mito de ser algo inacessível. Há, também, o

processo de educação inclusiva de alunos com necessidades educacionais especiais nas classes

regulares que sabemos que não é feito apenas com a publicação de leis e as recomendações

contidas nas mesmas, é necessário pô-las em prática.

A educação inclusiva deve garantir o acesso, a permanência, a aprendizagem e a

articulação entre educação especial e educação inclusiva, contudo isso não é apenas

responsabilidade do professor. Entendo que o professor em exercício deveria ter formação ou

algum tipo de conhecimento mínimo sobre deficiências, talvez com aprofundamento em uma

delas, pois ainda existem alguns alunos com deficiências múltiplas, não é o que ocorre, pois não

há muitos cursos de formação continuada e os que têm não abrangem todas as deficiências.

Ora, não existe uma formação capaz de conferir a um professor um certificado de que ele

saberá lidar com todas as situações que poderão surgir em sala de aula. Ainda que seja

oferecido um curso bastante amplo em se abordem 100 situações, por exemplo, poderá o

professor se deparar com a 101ª. Trata-se aqui, de convivência humana e não de uma

ciência exata. Não há como se ensinar a prática na teoria. (PONTES, 2008, p.46).

Este minicurso foi importante, não para compartilhar fórmulas milagrosas de

ensino, pois estas não existem, mas para compartilharmos vivências em sala de aula e alguns

meios adaptados para ensinar a matemática.

Referências

PONTES, Patrícia Albino Galvão. Criança e adolescente com deficiência: impossibilidade de

opção pela sua educação exclusivamente no atendimento educacional especializado. Inclusão -

Revista da Educação Especial. v. 4, n. 1, p. 41-48, jan./jun. 2008.


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ROSA, Fernanda Malinosky Coelho. Professores de Matemática e a Educação Inclusiva:

análises de memoriais de formação. 2013. 271f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática)

- Universidade Estadual Paulista (Unesp), São Paulo, 2013.


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OBJETOS EDUCACIONAIS E TECNOLOGIA ASSISTIVA: PROPOSTAS

DIVERSIFICADAS PARA O ENSINO INCLUSIVO DE MATEMÁTICA

Autoras: Elisa Tomoe Moriya Schlünzen

Danielle Aparecida do Nascimento dos Santos

Ana Mayra Samuel da Silva Campus de Presidente Prudente/SP, Faculdade de Ciências e Tecnologias – FCT/UNESP, Departamento de

Estatística, [email protected]

Palavras chaves: Tecnologia Assistiva; Objetos Educacionais, Ensino de Matemática.

Keywords: Assistive technology; Educational Objects, Mathematics Teaching.

Resumo:

Neste trabalho, temos por intuito, expor nossa experiência em ministrar o minicurso na XXVI

Semana da Licenciatura em Matemática (SELMAT), intitulado “Banco Internacional de Objetos

Educacionais (BIOE) e Tecnologia Assistiva (TA)”, que teve por objetivo apresentar aos

participantes propostas didáticas do ensino de matemática que visam a participação efetiva de

todos os estudantes e valorizem suas diferenças usando recursos educacionais digitais e recursos

de tecnologia assistiva. Para tanto, desenvolvemos atividades práticas e teóricas, em que os

participantes tiveram a oportunidade de conhecer o Banco Internacional de Objetos

Educacionais (BIOE) e o conceito e recursos de Tecnologia Assistiva (TA), além de refletir sobre

diferentes maneiras de usar recursos de baixa tecnologia para o ensino de matemática. A partir

dos recursos construídos e apresentados foram abordadas propostas para o uso dos recursos de

TA e de Objetos Educacionais (OE), visando a inclusão de um Estudante Público-Alvo da

Educação Especial (EPAEE) em uma aula de matemática.

Introdução

A fim de disseminar conhecimento e a cultura do uso de recursos educacionais

digitais em distintas áreas, níveis e modalidades de ensino, o Ministério da Educação (MEC)

desenvolveu o Banco Internacional de Objetos Educacionais (BIOE) e o Portal do Professor,

criado em parceria com instituições nacionais e internacionais, lançado nacionalmente em 2008.

mailto:[email protected]


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Conforme Melques et. al. (2010), o BIOE e o Portal do Professor, têm por intuito oferecer aos

professores, alternativas diversificadas às aulas tradicionais, que podem contribuir no processo de

ensino-aprendizagem e provocar mudanças no paradigma pedagógico. Atualmente esse

repositório educacional disponibiliza mais de dezenove mil Objetos Educacionais (OE) para

auxiliar e aprimorar o processo de ensino e aprendizagem.

Esses recursos podem ser utilizados como aliados às atividades práticas dos temas

sugeridos pelos próprios estudantes como compra e venda de produtos, interpretação de

problemas diários, sobre esporte, músicas e outros temas do cotidiano de interesse dos estudantes.

Tedesco (1998) acredita que a utilização de tecnologias como ferramentas pedagógicas são de

extrema importância no processo de aprendizagem. Porém, afirma que o uso das tecnologias deve

ser uma função do desenvolvimento cognitivo, auxiliando o professor no processo de

aprendizagem e não o substituindo.

A Tecnologia Assistiva (TA) é uma área do conhecimento e de atuação que

desenvolve serviços, recursos e estratégias que auxiliam na resolução de dificuldades funcionais

das Pessoas com Deficiência na realização de suas tarefas. Na área educacional, a TA vem se

tornando um caminho para que se tenha a abertura de novos horizontes nos processos de

aprendizagem e desenvolvimento de Estudantes Público-Alvo da Educação Especial (EPAEE).

Dentre os recursos de TA, estão incluídos brinquedos e roupas adaptadas, computadores,

softwares e hardwares especiais, que contemplam questões de acessibilidade, dispositivos para

adequação da postura sentada, recursos para mobilidade manual e elétrica, equipamentos de

comunicação alternativa, chaves e acionadores especiais, aparelhos de escuta assistida, auxílios

visuais, materiais protéticos e milhares de outros itens confeccionados ou disponíveis

comercialmente.

Desenvolvimento

A partir dessas premissas teóricas propomos um Minicurso intitulado “Banco

Internacional de Objetos Educacionais (BIOE) e Tecnologia Assistiva (TA)”, com o intuito de


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apresentar e discutir sobre propostas diversificadas para o ensino de matemática aos participantes

da XXVI SELMAT.

O minicurso foi desenvolvido mediante exposição dialogada e prática. Inicialmente

apresentamos o conceito de TA e os recursos e serviços que a compõem. Apresentamos também

os Objetos Educacionais disponíveis no BIOE, bem como recursos do repositório.

Fig. 1 – Participantes desenvolvendo atividades práticas durante o Minicurso.

Após a apresentação teórica, realizamos dinâmicas e atividades práticas, para a

construção de recursos de baixa TA com auxílio de materiais pedagógicos, conforme figura 1. Ao

final, os participantes tinham como dever elaborar um Planejamento de Ensino que contemplasse

os recursos abordados no minicurso. Infelizmente não houve tempo suficiente para isso, porém,

ao longo da apresentação tivemos a oportunidade de dialogar com os participantes, o que tornou o

minicurso atrativo e dinâmico.

Conclusão

O conhecimento das estratégias e práticas que podem ser construídas mediante o

uso de TA e de OE no contexto escolar devem ser usadas como parâmetros para o


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desenvolvimento de práticas docentes que possibilitem a qualidade de vida, autonomia e

consequentemente a inclusão escolar de estudantes com deficiências.

Dessa forma, mediante o minicurso os discentes do curso de Licenciatura em

Matemática, da Faculdade de Ciências, campus de Bauru-SP, e aos participantes da XXVI

SELMAT puderam construir conhecimentos sobre recursos de tecnologia para o ensino de

matemática de maneira a proporcionar um ensino de qualidade para todos.

Referências

MELQUES, Paula M. et al. Banco Internacional de Objetos Educacionais: uma ferramenta

para auxiliar no processo de ensino-aprendizagem por meio do uso das Tecnologias de

Informação e Comunicação (TIC). Presidente Prudente – SP, 2010. Disponível em:

<http://goo.gl/Ni85hL>. Acessado em 09 dez 2014.

TEDESCO, Juan C. O Novo Pacto Educativo: Educação, Competitividade e Cidadania na

Sociedade Moderna. São Paulo: Ática, 1998.


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OFICINA DE PROGRAMAÇÃO PARA PROFESSOR DE CIÊNCIAS E

MATEMÁTICA UTILIZANDO PROCESSING 2

Autor: Wilson Massashiro Yonezawa

E-mail: [email protected], Instituição: UNESP – FC – Departamento de Computação

Resumo:

A programação de computadores é associada a algo complicado realizado somente por pessoal

com formação especifica ou pelos chamados “nerds”. O domínio deste tipo de conhecimento

abre novas oportunidades para todos os tipos de profissionais, em especial para os professores

de ciências e matemática. Saber programar permite que o professor deixe de ser um simples

usuário da máquina. Permite que o professor explore e desenvolva novas formas de uso do

computador. O objetivo deste minicurso é introduzir o professor no mundo da programação de

forma simples e objetiva. O ambiente de programação escolhido para o minicurso é o Processing

2. Esta ferramenta reduz à complexidade inerente a atividade de programação e

consequentemente oportuniza a aprendizagem de que é e como é realizada a programação de

computadores.

Metodologia:

O minicurso será ministrado na forma de oficina com atividades práticas (“hands

on”) previamente definidas. O minicurso utiliza também conceito de BYOD (Bring Your Own

Device), isto é, toda atividade é realizada no computador do próprio aluno. Cada aluno deve trazer

o seu notebook.

Equipamentos e Materiais necessários:

Projetor multimídia

Tela de projeção / Lousa branca

Acesso a Internet

Tomadas em quantidade suficiente para atender os participantes



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Obs: Cada participante deve trazer o seu próprio notebook




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PRODUÇÃO E USO DE VÍDEOS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Autor: Nilton Silveira Domingues

Instituição: FAAL – Faculdade de Administração e Artes de Limeira/ UNESP – RC, e-mail:

[email protected]

Resumo:

Nesse minicurso discutirei sobre o uso de vídeos de maneira geral e em sala de aula matemática,

além de realizar em grupos uma breve produção de vídeos. O objetivo central do minicurso é

promover o debate sobre as potencialidades, limitações e desafios do uso de vídeo em Educação

Matemática e proporcionar a produção de um vídeo entre os participantes, por meio de máquinas

digitais, celulares e computador. Discutiremos o uso de vídeos tanto no Ensino Fundamental II,

Ensino Médio, quanto no Ensino Superior. Portanto, será proposta, aos participantes, a

confecção de um vídeo que envolva ideias matemáticas, utilizando seus próprios celulares ou

máquinas digitais, onde editaremos as imagens e/ou vídeos no computador. Após a conclusão

desses vídeos, cada grupo irá apresentar sua produção para os demais alunos presentes,

socializando e discutindo cada produção. Com o término do minicurso, espera-se que os

participantes possam buscar uma reflexão sobre o uso e produção de vídeos nas aulas de

Matemática, de modo que analisem as possibilidades e limitações da utilização desse recurso em

Educação Matemática.

Metodologia:

O minicurso terá início com discussões sobre as possibilidades do uso de vídeos,

em que serão elencados aspectos como os diferentes tipos de vídeos, dinâmicas de seu uso, sites

que apresentam materiais e dificuldades/limitações de seu uso e produção. Com relação à

produção de vídeos, serão utilizados aparelhos celulares e/ou câmeras digitais para coletar os

materiais desenvolvidos pelos alunos. Após a coleta dos materiais, os mesmos serão editados por

softwares de edição presentes nos computadores e/ou online. A proposta é se pensar em situações

problemas, conceitos matemáticos ou qualquer outra ideia matemática para se produzir um curto


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vídeo em pequenos grupos. O minicurso será finalizado com a socialização das produções e

discussões das mesmas com relação às possibilidades de uso em sala de aula matemática.

Equipamentos e Materiais necessários: câmeras digitais, Projetor VGA, Computadores e

Acesso a Internet (ver se o editor de vídeos do YouTube não está bloqueado e ver qual o

Windows das máquinas para verificar se tem o Movie Maker). Com relação à produção dos

vídeos, preciso de algumas folhas coloridas (A4 ou cartolina), tesoura, lápis de cor, giz de cera,

massa de modelar colorida, régua, ou seja, alguns materiais manipulativos para os alunos

realizarem as produções dos vídeos.




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RESUMOS


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A ESCOLA PÚBLICA E O USO DO COMPUTADOR: RESULTADOS

PRELIMINARES DAS VISITAS AOS LABORATÓRIOS DE

INFORMÁTICA DAS ESCOLAS DA DIRETORIA DE ENSINO DE BAURU

Anne Caroline Paim Baldoni, Patrícia Fasseira Andrade, Profª Drª Sueli Liberatti Javaroni

UNESP – Campus de Bauru, Licenciatura em Matemática, [email protected]

Palavras-chave: Matemática; Acessa Escola; Ensino Fundamental II

Resumo

O presente trabalho apresenta como está se dando o desenvolvimento de uma pesquisa de

Iniciação Científica (IC), em andamento, que teve seu início em maio de 2013 e que tem como

objetivo principal avaliar as condições físicas dos laboratórios de informática das escolas

estaduais públicas da Diretoria de Ensino de Bauru que fazem parte do Programa Acessa Escola,

programa governamental responsável por estruturar os laboratórios de informática as escolas

estaduais públicas, e então, especificamente, entrar em contato com os estagiários do Programa

e com os professores de Matemática que fazem uso da sala. A metodologia utilizada é de cunho

qualitativo e os procedimentos metodológicos são compostos por pesquisa documental, visita às

escolas e entrevistas em forma de questionário aos professores e estagiários. Os resultados

iniciais apontam alguns percalços que impossibilitam a utilização do laboratório de informática.

Espera-se com essa pesquisa de Iniciação Científica obter informações relevantes para compor o

projeto maior, para que o mesmo possa incentivar o uso dos computadores nas aulas de

matemática do Ensino Fundamental II.

Introdução

Esse trabalho apresenta como está sendo desenvolvida uma pesquisa de Iniciação

Científica, que se iniciou em maio de 2013 e que tem por objetivo inicial avaliar as condições

físicas dos laboratórios de informática das escolas estaduais públicas da Diretoria de Ensino de

Bauru. O que implicou em, identificar o programa governamental que é responsável pelos

laboratórios de informática, verificar se os equipamentos estão em bom estado e entrar em contato


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com os estagiários do programa. No atual momento, o objetivo do projeto foi expandido,

procurando avaliar, também, os laboratórios das cidades vizinhas que fazem parte da Diretoria de

Ensino de Bauru, e entrevistar os professores de matemática das escolas públicas dessas cidades,

que fazem ou não uso do laboratório de informática em suas aulas.

Como esta pesquisa faz parte de um projeto de maior envergadura intitulado

“Mapeamento do uso de tecnologias da informação nas aulas de Matemática no Estado de São

Paulo” vinculado ao Programa Observatório da Educação (OBEDUC 2012)4, financiado pela

CAPES e coordenado pela Professora Doutora Sueli Liberatti Javaroni, ela tem o papel de

constatar a realidade dos laboratórios de informática das escolas estaduais públicas da Diretoria de

Ensino de Bauru, e além disso, a partir dos resultados iniciais obtidos no primeiro ano de coleta da

pesquisa, desencadeou-se, no segundo semestre de 2014, um curso semanal de formação

continuada voltada a professores de matemática da Rede Estadual, com o intuito de aproximar os

professores das tecnologias.

Consequentemente, a pesquisa, também, nos aproximou do Programa Acessa

Escola, que é o programa governamental que atualmente é responsável por estruturar os

laboratórios de informática das escolas estaduais públicas do estado de São Paulo. Segundo o

Manual de Procedimentos do estagiário, o programa tem por objetivo promover a inclusão digital

e social, pretendendo, também, estimular o uso da internet para enriquecimento da formação

cultural, intelectual e social dos usuários das escolas da rede estadual de ensino.

Objetivos

No ano de 2013, o objetivo principal da pesquisa se voltou para a realidade do

município de Bauru, buscando indícios de como estavam as condições físicas dos laboratórios de

informática das escolas estaduais públicas, implicando em averiguar se existiam equipamentos

inoperantes e/ou danificados, e também, foi realizado entrevistas em forma de questionário aos

estagiários do Programa.

4O Programa Observatório da Educação foi instituído pelo Decreto Presidencial nº 5.803, de 08 de junho de 2006.

Disponível em: http://www.capes.gov.br/educacao-basica/observatorio-da-educacao. Acesso em: 04 março 2013.


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Em 2014, mantendo os objetivos iniciais, teve-se a ampliação da área pesquisada,

logo, o projeto lança um olhar para as escolas estaduais públicas de outros municípios além de

Bauru, os quais são contemplados pela Diretoria de Ensino dessa referida cidade, com o intuito de

abranger um número maior de cidades. Assim, iniciou-se, também, a investigação de como se é

utilizado o laboratório de informática para fins educacionais na disciplina de matemática. Para

isso, pretende-se entrar em contato também com os professores de matemática das escolas, com o

intuito de levantar se é feita a utilização da sala de informática ou não, se sim, busca-se saber de

que modo essa sala é utilizada e como o professor preparou essa aula, e caso contrário, entender

os motivos.

Materiais e Métodos

A metodologia utilizada nessa pesquisa de Iniciação Científica é de cunho

qualitativo, pois segundo Goldenberg (2003, p. 14) “a preocupação do pesquisador, nesta

abordagem, não é com a representatividade numérica do grupo pesquisado, mas com o

aprofundamento da compreensão de um grupo social [...]”, ou seja, a pesquisa procura perceber

aspectos subjetivos associados à estrutura física dos laboratórios.

Os procedimentos metodológicos são compostos por pesquisa documental e pela

realização de entrevistas em forma de questionário. Borba e Araújo (2012), neste caso, estão de

acordo com alguns autores que “destacam a importância da utilização de diferentes procedimentos

para a obtenção de dados, por eles denominados de triangulação, como uma forma de aumentar a

credibilidade de uma pesquisa que adota a abordagem qualitativa”, logo, entende-se a importância

das visitas aos laboratórios de informática e a oportunidade de observar o trabalho dos estagiários

e professores, com a possibilidade de entrevistá-los, pois traz maior confiabilidade às conclusões.

Inicialmente, no ano de 2013, foram aprovadas pela Diretoria de Ensino de Bauru

as visitas às escolas, e a partir disso foi fornecida a relação das escolas com o Programa Acessa

Escola ativo e, também, e em quais períodos há estagiário nessas unidades de ensino. Assim, foi

feito um primeiro contato por telefone com as escolas, com o intuito de apresentar a pesquisa e

marcar uma data acessível para todos e, principalmente, que não atrapalhasse o andamento das


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atividades educacionais. Concomitantemente a coleta de dados desta pesquisa, ocorreu a coleta de

uma pesquisa de mestrado que faz parte do projeto maior e tinha como objetivo investigar se os

professores de matemática faziam uso das tecnologias informáticas. Logo, as visitas foram

conjuntas e foi dada prioridade aos horários de ATPC das escolas, para a aluna de mestrado

encontrar professores de matemática para entrevistar.

Já em 2014, o período das visitas é, preferencialmente, no qual há estagiário

presente. Com a aluna de mestrado entrando no período de análise de dados da pesquisa, a

iniciação científica tomou frente do objetivo de entrar em contato com os professores, para

continuar o levantamento do contato que estes têm com o laboratório de informática, e assim,

procura-se chegar com antecedência nas escolas, com o intuito de encontrar professores de

matemática que não estejam em sala de aula e que possam conceder uma entrevista.

Posteriormente, visita-se os laboratórios para conhecer a estrutura e entrar em contato com os

estagiários.

Resultados e Discussões

Resultados parciais desse projeto de Iniciação Científica já foram discutidos em

Andrade, Zampieri e Javaroni (2014). Nesse artigo, as autoras tiveram o objetivo de discutir

alguns resultados do primeiro ano desta pesquisa de Iniciação Científica. Tais resultados

evidenciaram que das dezenove escolas visitas em 2013, dezessete delas tinham problemas em

utilizar os laboratórios. Oito delas alegaram empecilhos, tais como defeito dos computadores,

falta de mouses nos computadores e a demora da vinda de um técnico para resolver. Há, também,

laboratórios em que não há conexão com a internet, períodos de funcionamento da escola em que

não há estagiários para auxiliar no funcionamento do laboratório, um número insuficiente de

máquinas para atender as turmas.

Nesse ano de 2014, os resultados encontrados não diferem-se dos encontrados em

2013. Até a primeira quinzena de novembro de 2014, foram visitadas vinte e uma escolas

pertencentes à DE de Bauru, dentre elas nas cidades de Lençóis Paulista, Agudos, Duartina,

Cabrália Paulista e Piratininga. Dessas vinte e uma escolas, foram visitados dezenove laboratórios


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com seus respectivos estagiários presentes, e foi levantado que quatro laboratórios não estavam

em uso. Os problemas que ocasionavam o não uso eram: não havia conexão com a rede e

computadores com problemas técnicos. Outros cinco laboratórios estavam em uso, no entanto

havia um grande número de computadores com problemas técnicos, deixando os laboratórios com

menos computadores acessíveis. Foram entrevistados onze professores, cinco deles não utilizam o

laboratório de informática de suas respectivas escolas. Alguns dos problemas apontados por eles

para o não uso desses laboratórios são: por conta da quantidade insuficiente de computadores, a

falta de formação adequada aos professores, problemas nos computadores e a ausência de um

profissional para auxiliar durante as aulas. Dos seis professores que afirmam utilizar o laboratório,

três deles relataram que o número de computadores não é suficiente para atender as turmas.

Conclusões

Tomando como base os dados obtidos ao longo do desenvolvimento dessa

pesquisa, e com base nos resultados apontados por Andrade, Zampieri e Javaroni (2014), conclui-

se que os laboratórios não estão de acordo com o que se é esperado. Contudo, obteve-se indícios

de que mesmo quando se tem recurso disponível, não há professores preparados para mudar sua

prática pedagógica. Há ainda, aqueles que têm professores dispostos a utilizar o laboratório, mas

são impedidos por problemas técnicos ou pela falta de estagiários. Assim, esses percalços

impedem que os objetivos do Programa Acessa Escola sejam cumpridos.

Almeja-se com esta pesquisa proporcionar uma contribuição pertinente ao projeto

maior, para que este possa organizar ações, no sentido de incentivar o uso das tecnologias

informáticas nas aulas de matemática do Ensino Fundamental II. Além disso, que a partir destes

resultados, possa-se ter condições de avaliar as condições gerais dos laboratórios de informática

das escolas estaduais públicas ligadas à Diretoria de Ensino de Bauru.


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Referências

BORBA, M. C.; ARAÚJO, J. L. Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. p. 37, 2. ed. -

Belo Horizonte: Autêntica, 2006.

GOLDENBERG, M. A Arte de Pesquisar – como fazer pesquisa qualitativa em Ciências Sociais.

7a ed. Rio de Janeiro: Record, 2003.

SÃO PAULO. Secretaria da Educação do Estado de São Paulo. Manual de Procedimentos, 2009.

http://acessaescolamogidascruzes.blogspot.com.br/p/manuais.html acessso em: 12 de setembro

2014.


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A VIDA DO CAVALEIRO ISAAC NEWTON

Aluno-autor: Denysland Pinto Medeiros

Prof. Dr. Hércules de Araújo Feitosa UNESP Bauru, Licenciatura em Matemática, e-mail: [email protected]

Palavras- Chave: História da Matemática; Isaac Newton, Filosofia e Cálculo

Resumo:

Partir do Contexto Histórico e Filosófico da época newtoniana e as diversas sociedades surgidas

na época do Iluminismo europeu e investigar fatos e personagens de históricos que precederam e

colaboraram para o destaque deste gênio das Ciências que foi Isaac Newton: Origem,

Personalidade e Obras, em destaque A sistematização do Cálculo.

Introdução: Contexto Histórico e Filosófico da época newtoniana e Sociedades Secretas

A Inglaterra já rompera com a Igreja Católica Apostólica Romana, pois, devido ao

Rei Henrique VIII, que para anular seu casamento com a rainha Catarina de Aragão, tornou oficial

a Religião Anglicana em 1533 cujo líder supremo é o próprio Rei. Assim, separou-se e casou-se

com Ana Bolena a quem mandou matar após três anos por traição conjugal. Deixando eles uma

filha - Elizabeth, que mais tarde, mesmo sendo a terceira na sucessão real, assume e resiste às

incursões marítimas espanholas, de domínio católico (v. Rainha Elizabeth - filme).

Quando o Rei Henrique VIII instaurou a Reforma Religiosa Inglesa, mandou

derrubar os templos gótico-romanos e construir aqueles com a “Chave de Salomão”, com

características parecidas ao do Templo de Salomão, com embasamentos arquitetônicos e estudos

bíblicos. Concomitantes às Igrejas, existiam as Lodges ou Lojas e, com a influência das ordens

Rosa Cruzes Francesas por volta de 1717 na Inglaterra, na época do Rei James Stuart I da

Dinastia Tudor; as Lojas deixariam de ser independentes e acabariam se ‘unificando’ em 1717, na

Grã Loja Unida de Londres. Esta União seria a Uniformalização onde o Rito seria o de Antigos

Maçons Livres e Aceitos da Inglaterra, que influenciaria em 1786 o Rito Francês, tornando-os

modernos, sendo assim estabelecidos 7 graus e 2 classes.


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Cogita-se assim, que Newton pertenceria a uma Ordem Secreta. Em estudos ou

pesquisas históricas, diz-se que fora da Ordem dos Templários ou pertenceria à Ordem Rosa Cruz,

de tradição ateísta que determina a não interferência divina na história humana, de tradição do

Egito Antigo, difundida pela Holanda por volta de 1686; ou provavelmente fosse templário pela

tradição da Igreja Anglicana de Londres, de tradição da Ordem dos Templários, do século X, que

seriam cavaleiros liderados por Huygens de Bayens também conhecido como São Jorge -

padroeiro da Inglaterra. São Jorge tem sua representação em uma cruz vermelha, e Santo André,

padroeiro da Escócia, tem sua representação em uma cruz branca, as quais se encontram

estampadas e unidas na bandeira do Reino Unido ou Grã-Bretanha.

A Rosa Cruz perderia seu caráter de Ordem Maçônica e os Templários seriam

lendas de Cavalaria. Além disso, Newton teria sido membro da Ordem que buscaria o Santo

Graal, com o elixir da Vida Eterna e a transformação de Metais em Ouro. Porém, é impossível

precisar a qual Ordem pertenceria, se é que pertencia a alguma ordem, com aquele humor! Uma

vez que as Ordens “unificaram-se” em torno de 1717 e ganharam um caráter panteísta (Deus é o

Todo em Tudo) é possível suspeitar de que pertencesse à Grã Loja Unida de Londres, e que ainda

mais, teria ajudado nesta construção, pois no epílogo da edição de 1713 de sua obra prima

"Princípios Matemáticos da Filosofia Natural" (1686), Newton escreveu que o seu Deus (cristão,

claro) era o senhor do Cosmo e que deveria ser adorado por estar em toda a parte, por ser o

"Governante Universal". Essa visão de Deus pode ser considerada panteísta, se entendermos por

panteísmo a doutrina que identifica Deus com o Universo ou que identifica o Universo como

sendo uma manifestação de Deus. Somente lembrando que a Inglaterra passava pela metade do

século XVIII (1701-1800), onde neste período realizava grandes feitos como a Revolução

Industrial e que até então Portugal, desde as Grandes Navegações era a Monarquia Soberana do

Globo.

Origem de Isaac Newton: Nascido em 3/1/1643 próximo à vila de Colsternworth, no condado de

Lincolnshire, Inglaterra em uma pequena casa rural de pedra, que ainda hoje existe na minúscula

aldeia de Woolsthorp, é deixado aos cuidados de sua avó por sua mãe após a morte de seu pai.

Aos 12 anos, Newton ingressa no King’s School, em Grantham, situado a sete milhas de casa.

Fica fascinado com as forças geradas pelo ar e pela água em movimento ao visitar moinhos e


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passa a fazer modelos em escala reduzida daquilo que via. Construiu um Relógio de Sol e uma

Clepsidra (relógio de água).Aos18 anos ingressa na Trinity College, na Universidade de

Cambridge, onde conhece o matemático Isaac Barrow, que o encoraja a estudar matemática e

óptica. Forma-se aos 23 anos em 1665, mas volta para a casa naquele mesmo ano, devido à

Grande Peste Londrina (peste bubônica em Londres). Esta Peste ceifara 75 mil vidas naquela

cidade, isto é, 16 % da população local. Daí que se fechou dentre outras instituições, a

Universidade. A situação era tão delicada, que o rei Charles II e sua corte fugiram, e com eles, o

Parlamento, que veio a se instalar em Oxford. Somente em 1666, o número de mortos recuou a 2

mil pessoas e a Universidade seria reaberta em 1667. Nos 18 meses em que Isaac Newton

permaneceu em casa, pôde estudar e alicerçar seus trabalhos em ciências naturais que

revolucionariam a Ciência. Não era perfeito: se irritava facilmente, demonstrava sensibilidade

exacerbada às críticas a seu trabalho e empenhava-se em vingar de seus inimigos (tanto reais

como imaginários) e se impacientava com pessoas de talento questionável ou aquelas com pouca

motivação

Obras.:Principia1687; Optiks – Apendices, cubic curves and Methodus of Retification of curves

by use of Infinite Series (1704); Arithmetica Universallis1707; Analysis per series, Fluxyones, et

Methodus dfferentialis, 1711, Lections Opticae 1729; The method of Fluxions and Infinite series,

traduzida da original em latim de por J. Colion, em 1736. No Method of Fluxions, escrito em

1671, foi publicado em 1736. Para ele, nesse trabalho a curva era gerada pelo movimento

continuo de um ponto. (Denivadas).

A sistematização do Cálculo: Podemos destacar ainda, entre os precursores do cálculo

diferencial e integral, René Descartes [1596, 1650], Pierre Simon de Fermat [1601, 1655] e John

Wallis [1616, 1703] (ver (Boyer, 1974) e (Lintz, 1999)). Wallis, o mais eminente matemático

inglês anterior a Isaac Newton, em 1655, aritmetiza, num certo sentido, os indivisíveis de

Cavalieri (ver (Wallis, 1693) e (Baron, 1969)), substituindo as razões geométricas de Cavalieri

por so-mas de séries de potências inteiras de números naturais; Fermat, em (Fermat, 1679, volume

2),ver também (Fermat, 1891-1922)), introduz a representação gráfica de funções e estuda

problemas de máximos e mínimos e de tangência; e Descartes, em La géométrie (ver (Descartes,

1686)) - tratado que integra, praticamente como anexo, a obra (Descartes, 1637), cria a geometria


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analítica e estuda, algebricamente, propriedades de funções, com o auxílio do cálculo. Mas a

paternidade, propriamente, do cálculo, é dividida entre Isaac Newton [1642, 1727] e

Gottfried Wilhelm Leibniz [1646, 1716]. Alguns de seus trabalhos são frutos da compilação de

manuscritos antigos, que relutara em publicar assim que os produzira, como Optics (1704), escrito

originalmente em inglês, que inclui, como apêndices, os tratados Cubic curves, Quadrature and

rectification of curves by the use of infinite series e Method of fluxiones. Neste último, Method of

fluxiones, são introduzidas as entidades denominadas fluxões efluentes. Outro exemplo é Analysis

per quantitatum series, fluxiones, ac differentias (1711), uma compilação de vários tratados, dos

quais, para o cálculo diferencial e integral, o mais importante é De analysi per ae quationes

numero terminorum infinitas. Neste, Newton introduz a noção de momento de um fluente.

Newton introduz, através dessas entidades, dois tipos clássicos de problemas do cálculo.O

primeiro deles equivale a encontrar a fluxão associada a fluentes dados, a partir de relações

conhecidas entre os mesmos, o que corresponde ao processo de diferenciação do cálculo usual. O

segundo, um processo inverso do primeiro, equivale à determinação da relação entre as fluxões

de dois fluentes dadas a equação que traduz a relação existente entre tais fluentes, o que

corresponde ao processo de integração do cálculo usual.Newton esperava, com o uso das fluxões

e dos fluentes, dar mais consistência ao seu método infinitesimal, no que não foi totalmente bem

sucedido. De fato, não conseguiria justificar satisfatoriamente o desaparecimento, em operações

com momentos dos fluentes, de certas quantidades, ou incrementos, tacitamente considerados

desprezíveis. Vejamos um ex


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Conclusão

Boa parte do que se descobriram como grandes, descobertas no século XIX, sendo

que cinco delas no século XX deveu-se a boa parte do que fora descoberto por Newton, dos quais

ainda se faz sentir: a Teoria das Ondas Luminosas usa as leis do movimento de Newton, e o

mesmo podemos dizer da Teoria Cinética do Calor. Importante por desenvolver nossa

compreensão a eletricidade e do magnetismo e nas descobertas de Fareday e Maxwell na

eletrodinâmica e óptica. A física de Newton norteou a ciência por 200 anos até a 1ª Metade do

século XX, quando Einsten demonstrou que a Física precisava crescer além do estudo

newtoniano. Newton inovou por supor que existe uma força invisível que exerce controle sobre a

matéria sem o contato físico direto. Era respeitado no meio Científico, passando a ser membro da

Royal Society, London e a ter tido dois importantes serviços burocráticos na Casa da Moeda

Britânica e um no Parlamento. A respeito dele afirmou Alexander Pope, poeta inglês em seu

funeral: “disse Deus: faça-se Newton! E tudo se fez.”. Desenvolveu o Cálculo Diferencial e

Integral, iniciou seus trabalhos em Óptica (1665 e 1666) e ocupou-se em matemática e filosofia.

Nos seus últimos 20 anos de vida lançou-se aos estudos ocultistas, alquímicos e teológicos

lançando tratados apocalípticos de textos bíblicos dos livros de Daniel e Apocalipse de onde,

segundo seus cálculos o armagedom não deveria ocorrer antes do ano de 2060. Foi tido como

grande Cientista ao qual devemos considerar como decorrência de suas obras grande parte da

tecnologia que nos cerca como lasers, satélites, lentes telescópicas, a Mecânica e suas aplicações,

dentre outros. Para finalizar, como quem contemplava o futuro, certa vez o disse ele: “Não sei de

que modo o mundo me vê, mas a mim mesmo pareço ter sido apenas um menino brincando na

praia, entretendo-me com encontrar de quando em quando um seixo mais liso ou uma concha

mais bela do que o ordinário enquanto todo o vasto oceano da verdade jazia inexplorado diante

de mim”.


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Referências

1-As sete maiores descobertas científicas da História/ David Eliot Brody, Arnold R.

Brody;.Tradução Laura Teixeira Motta – São Paulo: Companhia das Letras,2007) Título original:

The Science clans you wish you had. The seven greates scientist discoveries in history and the

people who made them.

2-Eves, Howand (Introdução: A História da matemática/ Howand Eves, tradução Hygino H.

Domingos, 5ªed. –(Campinas, SP Editora Unicamp, 2011) p 436-441

3-Série Quero Saber Mais: Sociedades Secretas/trad.Constantino Kouzmin-Korovaeff –São Paulo,

Editora Escala, 2009-Compact Verlag München©

4-Maçonaria Sem Mistérios/Blanc, Cláudio, São Paulo, Ed. Nova Leitura, 2006

5-Revista Eletrônica Informação e Cognição, v.4, n.1, p.78-102, 2002-2005. ISSN:1807-8281

6-http://viagemreinounido.wordpress.com/category/historia-britanica/ (acesso em 14/10/2012)

7-http://www1.folha.uol.com.br/fsp/ciencia/fe1306201002.htm (acesso em 14/10/2012)

http://viagemreinounido.wordpress.com/category/historia-britanica/

http://www1.folha.uol.com.br/fsp/ciencia/fe1306201002.htm


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AVALIAÇÃO DA PROFICIENCIA DIGITAL: UMA EXPERIÊNCIA DO

USO DO PROFIX

Marques, E. M. R*., Oliveira Neto, J. D., Marques Júnior, E.

*Bauru, FC, Departamento de Matemática, [email protected]

Palavras chaves: Proficiência Digital; Literacia em TIC; Educação a Distância.

Resumo

O nível de Proficiência Digital é uma medida de quão efetivamente indivíduos e organizações se

envolvem com a tecnologia digital para o benefício próprio, e de seus clientes internos e externos.

Os programas de certificação que se propõem a identificar esses níveis através de testes práticos,

informando assim as competências digitais de um indivíduo associadas aos conhecimentos de

informática e uso da Internet, não são facilmente acessíveis, devido ao custo de aplicação ou a

distância do local dos testes. O método PROFIX é mais um instrumento para avaliar o nível de

Proficiência Digital, desenvolvido pelo doutorando Euro Marques Júnior, visando superar essas

dificuldades. Esse método está disponível ao público gratuitamente e se baseia em um

questionário online cujas questões estão relacionadas aos componentes principais da

Proficiência Digital. É bastante flexível e pode ser adaptado para ser usado por outros públicos

(clientes de bancos, funcionários, usuários de redes sociais etc). Nesse artigo apresenta-se um

estudo de caso comparativo da utilização do PROFIX por estudantes da Unesp (n=50), de

diferentes cursos. O uso desse método associado a disciplinas de graduação tem permitido ao

professor responsável, autor deste trabalho, o conhecimento prévio dos níveis de Proficiência

Digital de suas turmas, o que tem possibilitado a preparação prévia de atividades online

adequadas ao perfil da turma. Essas atividades têm servido como ações de apoio e treinamento

para que as tecnologias de informação e comunicação contribuam efetivamente na formação

desses estudantes em sua formação básica, utilizando recursos de Educação a Distância (EaD),

através da Internet.


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Introdução

A inclusão digital tem se tornado, nos dias atuais, uma preocupação da sociedade e

existem muitos recursos para promover a alfabetização (ou literacia) digital. Entretanto, já é

sabido que o acesso às novas tecnologias de comunicação e informação (TIC) ou à literacia digital

não é suficiente para o enfrentamento dos muitos desafios do mundo moderno, precisando-se

buscar, também, o desenvolvimento da Proficiência Digital. Segundo O’connor (2013), a

Proficiência Digital é uma medida de quão efetivamente indivíduos e organizações se envolvem

com a tecnologia digital para o benefício próprio, e de seus clientes internos e externos. Por isso,

Eshet-Alkali e Amichai-Hamburger (2004) afirmam que possuir Proficiência Digital preconiza

mais do que ter a habilidade de usar um software ou operar um dispositivo digital; ela engloba

uma variedade de habilidades complexas, como as cognitivas, motoras, sociológicas e emocionais

que os usuários necessitam ativar para a utilização de ambientes digitais de forma eficaz. A figura

1 apresenta os diversos níveis da inclusão digital, atualmente pertencentes ao processo de

democratização do acesso às novas TIC, de forma a possibilitar a inserção efetiva da população na

sociedade da informação.

Figura 1. Níveis da Inclusão Digital

Conforme Marques Júnior et al. (2013), o local onde frequentemente se trabalha

com computadores é o mesmo onde normalmente os indivíduos acessam a Internet, revelando

assim que o primeiro nível da inclusão digital está relacionado ao acesso à tecnologia da

informação (computadores e Internet). O segundo nível dessa inclusão reflete os conceitos da

Proficiência Digital (saber usar os recursos de tecnologia da informação) e o terceiro nível indica

que o usuário está efetivamente sendo beneficiado através do uso dos recursos das TIC,

aumentando seu desempenho pessoal e profissional, seus conhecimentos e habilidades e sua

qualidade de vida. Assim, na busca dos benefícios da sociedade digital, como comércio


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eletrônico, e-learning, Internet banking, serviços on-line, comunicação e entretenimento digital,

etc., precisa-se ampliar o acesso digital e também a Proficiência Digital.

Surgem então perguntas: Como quantificar o nível da Proficiência Digital de uma

turma em uma disciplina de graduação? Como utilizar essa informação para propor

adequadamente o uso das TIC num curso de formação inicial de professores?

Na busca das respostas, esse trabalho apresenta um estudo de caso envolvendo

duas turmas de graduação de um curso de Licenciatura em Matemática.

Fundamentação Teórica

A European Computer Driving Licence Foundation (Fundação ECDL) é uma

organização sem fins lucrativos dedicada a ajudar a elevar o nível geral de conhecimentos de

informática na sociedade e proporcionar o acesso de todos à sociedade da informação. Os

programas de treinamento e certificação da Fundação ECDL capacitam os indivíduos a

desenvolver as habilidades que eles precisam, dependendo de como e em que ambiente pretendem

aplicá-las. A estrutura de programas ECDL apoia o desenvolvimento da Proficiência Digital

adequada, que contém uma série de diferentes níveis (veja a Figura 2, abaixo) (ECDL Foundation,

2011).

Figura 2. Níveis da Proficiência Digital

Fonte: Traduzido de ECDL Foundation (2011).

Segundo o Kempster Group (2008), o Educational Testing Service (ETS) avalia as

habilidades que constroem as competências básicas fundamentais da literacia em tecnologias da

informação e comunicação (definir, acessar, gerenciar e utilizar informações). Quando essas


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habilidades podem ser vistas em um estudante isso significa, conforme a avalição do ETS, que

esse indivíduo possui o nível necessário para ter sucesso em uma graduação e, ou, no local de

trabalho.

Assim, para o ETS, o estudante digitalmente proficiente deve ser capaz de

selecionar e aplicar ferramentas de tecnologias da informação e comunicação apropriadas para

sintetizar, integrar e assimilar informação, para avaliar as evidências e inferir conclusões, para

criar e refletir sobre os processos e produtos de informação e para comunicar os resultados de uma

forma convincente, ética e legal.

Metodologia

Os dados desta pesquisa foram obtidos através da aplicação do Instrumento

PROFIX em questionários via Internet (Web-Survey), os quais foram divulgados na plataforma

Moodle e disponibilizados no site Survey Monkey (www.surveymonkey.com) para os indivíduos

de cada turma, antes do início do semestre. Os dados coletados ficam armazenados na forma

digital e foram analisados estatisticamente usando o software IBM SPSS. Os resultados obtidos

foram avaliados em comparação com a escala apresentada no Quadro 1.

Quadro 1. Escala de avaliação da proficiência

Grau de Proficiência Avaliação

até 3,5 Baixo

3,6 a 4,2 Moderado

4,3 a 4,6 Alto

4,7 a 5 Muito alto

A amostra, coletada em 2013, se constituiu de 50 alunos de Licenciatura em

Matemática de uma universidade pública do estado de São Paulo, no Brasil, cursando disciplinas

presenciais na área de Matemática, que voluntariamente responderam aos questionários. Eles

possuíam 23 anos em média, sendo 47% do sexo feminino e 53% do sexo masculino.


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Resultados e Discussões

Os resultados obtidos estão apresentados na tabela 1.

Média Desvio

padrão

Proficiência Digital Básica 4,6 0,52

Proficiência Digital Avançada 4,4 0,63

Tabela 1. Médias de Proficiência Digital Básica e Avançada.

As turmas apresentaram um nível alto de Proficiência Digital Básica e Avançada,

indicando a possibilidade de desenvolvimento das habilidades inerentes a elas, as quais são

necessárias para que possam obter benefícios educacionais nas disciplinas em questão, entretanto

mostram a possibilidade de crescimento (nível Muito Alto), através das atividades propostas pelas

disciplinas ou treinamentos específicos. Na amostra analisada percebeu-se também uma grande

inclusão digital (em casa ou no trabalho) e um alto nível de Proficiência Digital, apontando a

possibilidade de estes estudantes conseguirem obter benefícios pessoais e profissionais através das

tecnologias da informação e comunicação.

Conclusões

Neste trabalho apresentou-se um estudo de caso demonstrando o uso do método

PROFIX visando avaliar o nível da Proficiência Digital de duas turmas do curso de Licenciatura

em Matemática. A análise dos resultados da amostra permite classificar as turmas segundo seu

nível de Proficiência Digital Básica e Avançada, possibilitando aos professores a proposição de

atividades digitais, presenciais e online, adequadas ao perfil das turmas, visando o apoio ao ensino

e aprendizagem dos conteúdos matemáticos das disciplinas, bem como o aprendizado da

instrumentalização para o trabalho em sala de aula. Pôde-se ainda propor ações de apoio e

treinamento para que as tecnologias de informação e comunicação contribuam na formação inicial

desses estudantes e no seu trabalho posterior a essa formação.


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Referências

ECDL FOUNDATION. Identifying essential ICT skills and building digital proficiency through

appropriate certification. [S.l.: s.n.], 2011. Disponível em: <http://www.ecdl.org/media/

Digital_Proficiency_White_Paper1.pdf>. Acesso em: 12 jul. 2012.

ESHET-ALKALI, Y.; AMICHAI-HAMBURGER, Y. Experiments in digital literacy.

Cyberpsychology & Behavior, New Rochelle, v. 7, n. 4, p. 421-429, Aug 2004. Disponível em:

<http://dx.doi.org/10.1089/cpb.2004.7.421>. Acesso em: 20 nov. 2013.

KEMPSTER GROUP. California ICT digital literacy assessments and curriculum framework.

[S.l.: s.n.], 2008. Disponível em:

<http://www.ictliteracy.info/rf.pdf/California%20ICT%20Assessments

%20and%20Curriculum%20Framework.pdf>. Acesso em: 11 nov. 2013.

MARQUES JÚNIOR, E.; OLIVEIRA NETO, J. D.; MARQUES, E. M. R. Digital Proficiency

and Digital Inclusion: Comparison between students of computer science, public relations and

engineering., IEEE Global Engineering Education Conference (EDUCON), 2013, Berlim.

Technische Universität Berlin. p.934-939.

O’CONNOR, A. J. Digital Proficiency - A 2020 Leadership Competency. 2013. Disponível em:

<http://www. ajoconnor.com/blog/digital-proficiency-2020-leadership-competency>. Acesso em:

11/11/2013.


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DA VACUIDADE À TRIVIALIDADE LÓGICA NAS DEMONSTRAÇÕES

MATEMÁTICAS

Alessa Dua, Luiz Henrique da Cruz Silvestrini, Danieli Karina Schiavo

UNESP Campus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática, [email protected],

[email protected], [email protected]

Palavras chave: Raciocínio lógico; Demonstração; Vacuidade.

Keywords: Logical Reasoning, Mathematical Proof, Vacuous proof.

Resumo

Neste artigo abordamos uma possibilidade de investigação a partir do projeto de extensão

“Raciocínio lógico, analítico e quantitativo: uma ferramenta para a inclusão racional”.

Mostramos que o entendimento da definição matemática do operador condicional torna muito

mais natural as demonstrações matemáticas por vacuidade e por trivialidade, por vezes tomadas

sem sentido algum quando utilizadas para justificar algum fato matemático.

Introdução

A partir da abordagem sobre a relevância do ensino da lógica no nível médio de

ensino, defendida por Velasco (2009, 2010) no artigo intitulado “Sobre o Lugar da Lógica na Sala

de Aula”, em que é mostrado de forma concisa sobre a possibilidade de ministrar conteúdos

lógicos sob um viés essencialmente informal, pudemos estabelecer frentes de investigação

vinculados ao Projeto de Extensão “Raciocínio lógico, analítico e quantitativo: uma ferramenta

para a inclusão racional” realizado pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências

da UNESP, campus de Bauru sob a coordenação do último autor deste trabalho.

O Projeto de Extensão supracitado tem por objetivo realizar encontros regulares

para o desenvolvimento de atividades relacionadas ao raciocínio lógico e é destinado a alunos que

estão cursando o último ano do ensino médio e/ou o ensino técnico.

Este projeto ainda recebe a colaboração de duas alunas bolsistas, uma com Bolsa

de Extensão Universitária (BEU) e outra com bolsa de auxílio acadêmico BAAE I.




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As atividades do Projeto de Extensão contemplam pesquisas e desenvolvimento de

materiais para serem utilizados nos módulos que compõem o curso de Raciocínio Lógico previsto

no projeto. Ademais, as alunas bolsistas são responsáveis por:

- Ministrar tópicos, teóricos e práticos, previstos nos módulos do projeto;

- Participar da divulgação do projeto nas escolas.

A atividade que destacamos neste trabalho é aquela que investiga a definição lógica

do operador condicional “se..., então...”. A partir deste conectivo, destacamos algumas

demonstrações matemáticas que são justificadas apenas pela definição do operador condicional, a

saber: a demonstração por vacuidade e a demonstração por trivialidade.

Objetivos

O objetivo desta pesquisa é desenvolver uma proposta de atividade de raciocínio

lógico analítico e quantitativo, entendida como uma oportunidade de formação mais completa

dentro de um curso de licenciatura, uma vez que as alunas bolsistas são oriundas do curso de

Licenciatura em Matemática. Por outro lado, esta atividade busca proporcionar um ensino mais

repleto de significados, a partir de uma contextualização dos operadores lógicos matemáticos,

aplicados em técnicas de demonstração por vacuidade e trivialidade.

Metodologia

Trata-se de um trabalho teórico-prático e a presente pesquisa tem como meta

reconhecer o desenvolvimento do raciocínio lógico como uma ferramenta para a inclusão

racional. Dessa maneira, utilizaremos os princípios da lógica clássica, como por exemplo, a não

contradição, bem como suas operações (se ..., então ...) para aplicarmos em duas técnicas de

demonstração utilizadas em proposições condicionais. Além disso, por meio do raciocínio lógico,

possibilitamos o pensamento crítico (confira Carnielli e Epstein, 2011).


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Resultados

O conectivo lógico que mais gera polêmica na sua definição formal é a condicional

material, ou seja, as implicações lógicas, entendidas como sentenças com condições suficientes ou

necessárias. O habitual “se ..., então ...”, formalizado aqui pelo símbolo lógico “”.

A forma lógica de uma condicional é do tipo: , em que é condição

suficiente para acontecer , e, por sua vez, é condição necessária para ter ocorrido .

Mostramos a relevância da condicional, enquanto conectivo lógico, pois a partir da

definição deste conectivo enquanto operador lógico é que podemos entender os fundamentos das

técnicas de demonstração por trivialidade, vacuidade e pela recíproca da contrária (ou contra-

positiva) utilizadas pela matemática. Muitos resultados da matemática são teoremas demonstrados

por vacuidade lógica, i.e., por falta de contra-exemplo em uma determinada teoria.

Na demonstração por vacuidade, temos que demonstrar uma proposição dada em

uma forma condicional do tipo . Neste caso, a condicional é verdadeira, se conseguirmos

mostrar que o antecedente é falso. De fato, pela definição do condicional temos que se o

antecedente for falso, independente do que seja o consequente , verdadeiro ou falso, o resultado

lógico do operador condicional é único, qual seja, uma verdade lógica.

Para a demonstração por trivialidade, temos que demonstrar uma proposição dada

em uma forma condicional do tipo . Neste caso, a condicional é verdadeira, se

conseguirmos mostrar que o consequente é verdadeiro. Com efeito, pela definição do

condicional temos que se o consequente for verdadeiro, independente do que seja o antecedente ,

verdadeiro ou falso, o resultado lógico é único, i.e., uma verdade lógica.

O formalismo matemático muitas vezes não é bem compreendido pelos alunos, o

que pode causar confusões na leitura e entendimento das demonstrações matemáticas nas séries

do ensino médio, pois já se usa definições formais matemáticas sem, contudo, ter apresentado

e/ou definido os operadores lógicos básicos.

Na tentativa de modificar este formalismo desprovido de significados, buscamos

inicialmente a compreensão pelo aluno da definição do conectivo lógico “”. Este primeiro

contato não é realizado via conceitos matemáticos, mas sim pela linguagem natural, com


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exemplos do cotidiano do aluno. Afinal, na língua vernácula do aluno também ocorre tal

conectivo lógico. Após a definição deste operador lógico, é que começamos a explorar a definição

de conceitos matemáticos como, por exemplo, a relação de inclusão de conjuntos, em que é dado

por uma sentença condicional de primeira ordem como segue (confira Feitosa e Paulovich, 2005):

A B é definido pela sentença x (xA xB),

Além de propriedades, como:

A, para todo A.

Este fato matemático de que o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto,

pode ser demonstrado por vacuidade, a partir da definição da relação de inclusão de conjuntos.

Desse modo, buscamos um ambiente de ensino não apenas mais convidativo ao

aluno, mas, primordialmente, didático e, sobretudo, atribuindo-lhe mais significado.

Conclusões

Apresentamos uma atividade de pesquisa envolvendo raciocínio lógico. A partir da

linguagem natural, exploramos o uso do condicional no cotidiano de uma aula de matemática. Em

seguida, passamos para a definição formal deste operador, e suas consequências enquanto único

operador lógico para formalizar proposições condicionais, sejam elas envolvendo condições

necessárias ou suficientes, por fim, utilizamos a definição do operador condicional para promover

o entendimento de dois tipos de técnicas de demonstrações matemáticas: a demonstração por

vacuidade e por trivialidade.

Desse modo, promovemos um ambiente de ensino mais repleto de significados, e

tornamos possível aos alunos a apropriação de novos conhecimentos associados aos que eles já

possuem.

Referências

CARNIELLI, W. A.; EPSTEIN, R. L. Pensamento crítico: o poder da lógica e da argumentação.

3ª edição. São Paulo: Rideel, 2011, 371p.


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FEITOSA, H. A.; PAULOVICH, L. Um prelúdio à lógica. São Paulo: Editora UNESP, 2005.

VELASCO, P. D. N. Sobre o Lugar da Lógica na Sala de Aula. Revista Sul-Americana de

Filosofia da Educação – RESAFE. Número 13: novembro/2009 – abril/2010.


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ESTUDO DE UM MANUAL DIDÁTICO DE MATEMÁTICA NA ESCOLA

PRIMÁRIA

Priscila Oreste Dias, Maria Edneia Martins Salandim Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática, [email protected]

Palavras chaves: Guia Didático; Hermenêutica de Profundidade; Matemática

Resumo

Esta pesquisa, em fase inicial de desenvolvimento, surgiu a partir de uma inquietação por

entender como é, e o que possibilitou, a reimpressão do manual didático “Matemática na escola

Primária”. Este guia teve seu primeiro lançamento na década de 1930 sendo reimpresso em

1962 através do Programa de Emergência desenvolvido pelo Ministério de Educação e Cultura.

Este guia pertence à coleção “Biblioteca da Professôra Brasileira” que visava o auxílio às

professoras em exercício no Ensino Primário. Temos como objetivo estudar o conteúdo do

referido guia, orientações curriculares, pedagógicas e metodológicas nele presentes e o contexto

no qual foi reeditado. Pretendemos também estudar os ideais da Escola Nova, ainda presentes

em iniciativas de políticas públicas da década de 1960, para podermos perceber se e como tais

ideais se apresentam na obra, uma vez que na introdução do guia há uma alusão explícita aos

ideais da Escola Nova. Embora manuais como estes não sejam tão utilizados na atualidade na

formação de professores, nota-se que este teve importância em um período no qual havia menos

Cursos de Formação de Professores. Pesquisas no campo da Educação Matemática, em

particular em História da Educação Matemática, vêm sendo realizadas, tendo manuais didáticos

como objeto/tema de pesquisa. E é nesta área que pretendemos inserir nossa pesquisa.

Introdução

Os guias didáticos caracterizam-se como importantes fontes para se estabelecer

compreensões sobre aspectos do desenvolvimento histórico educacional brasileiro, uma vez

que tanto influenciam políticas públicas de formação de professores quanto a produção de

livros didáticos.



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O guia "Matemática na escola Primária", que vem sendo analisado nesta nossa

pesquisa, é uma reedição promovida pelo MEC, Ministério de Educação e Cultura, com recursos

do seu Programa de Emergência, no ano de 1962, para a distribuição gratuita às professoras

brasileiras. A obra pertence à coleção "Biblioteca da Professôra Brasileira" e visava ajudar as

professoras do país em seu exercício no magistério primário, em um período em que estavam

em atuação neste nível de ensino, no Brasil, muitas professoras leigas, que sequer haviam

completado a 4ª série primária e aquelas que conseguiam se formar nos Cursos Normais

também apresentavam deficiências em suas formações (MEC, 1962). Este guia já havia sido

editado na década de 1934, por iniciativa de Anísio Teixeira, em uma tentativa de reforma do

ensino com o aperfeiçoamento do magistério primário e preparação das professoras de alto

nível. Além do guia "Matemática na escola primária", há outros cinco guias: para o ensino de

Linguagem, Estudos Sociais, Ciências, Jogos e Músicas na escola primária.

A obra traz um texto inicial no qual sé apresentado como objetivo geral do

ensino de matemática no curso primário a capacitação da criança para resolver da melhor forma s

ituações de sua realidade que envolva questões matemáticas como a aritmética (quantidade e

número) e geometria (com forma, extensão e posição). Na parte relativa à prática do ensino são

apresentados métodos e processos de ensino, bem como orientações sobre o material sugerido

para ser usado na classe, abordagem e tratamento da resolução de problemas, aplicação de

métodos de projetos e de testes pedagógicos.

Esta pesquisa dialoga com projetos mais amplos do Grupo de pesquisa "História

Oral e Educação Matemática", GHOEM, do qual a estudante-autora e a orientadora são

integrantes.

Dentre os interesses desse coletivo de investigadores destacamos a intenção de

esboçar um mapeamento da história da formação e atuação de professores que ensinam

Matemática no Brasil. Para tanto, este grupo tem se valido majoritariamente de entrevistas

produzidas a partir da aplicação da metodologia de pesquisa “História Oral”, mas, um pouco

mais recentemente, tem estudado metodologias para análise de textos didáticos e realizado

pesquisas que se valem deste tipo de material para auxiliar no esboço destes “mapas”. Para

tanto, o GHOEM dispõe de um acervo de livros antigos, alocado em uma sala específica no


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campus da Universidade Estadual Paulista, campus de Bauru, com diversas e importantes obras

sobre o ensino de matemática produzidas entre meados do século XVII e a década de 1970.

Valendo-nos deste acervo e inserindo-nos nestas perspectivas de pesquisas é temos encaminhado

esta pesquisa específica: uma análise do guia "Matemática na escola Primária".

Objetivos

- Estudar o conteúdo do guia "Matemática na escola Primária", as orientações curriculares,

pedagógicas e metodológicas nele presentes e o contexto no qual foi reeditado.

- Perceber, destacar e iniciar estudos sobre ideais da Escola Nova, ainda presentes em iniciativas

de políticas públicas da década de 1960, para podermos observar se e como tais ideais se

apresentam na obra, uma vez que na introdução do guia há uma alusão explícita aos ideais da

Escola Nova.

- Compreender o que era o chamado "Programa de Emergência" do governo federal que

possibilitou a reedição do manual.

- Aproximar da metodologia de pesquisa “Hermenêutica de Profundidade” a ser utilizada nesta

pesquisa.

Metodologia

Concebendo a metodologia de pesquisa não como uma mera e simples aplicação

linearizada que nos permite passar por etapas em procedimentos mecanicamente implementados e

sim um constante exercício, um fazer em trajetória, ponderamos ser possível alterações no

processo de estudo de um guia didático.

No entanto, podemos destacar alguns procedimentos que esta pesquisa tem

mobilizado. O estudo do guia "Matemática na escola Primária" será um exercício metodológico

amparado na Hermenêutica de Profundidade (HP), proposta por Thompson (1995) e que já

vem sendo utilizada por outros pesquisadores da área da Educação Matemática para analisar


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documentações legais, livros e manuais didáticos de Matemática. Um estudo sobre estes

referenciais integra os objetivos e horizontes desta pesquisa.

De acordo com Cardoso (2009), a Hermenêutica de Profundidade foi

desenvolvida visando à análise de discursos propagados através de meios de comunicação de

massas, e que no caso desta pesquisa trata-se de um guia que foi impresso e distribuído

gratuitamente aos professores do ensino primário. As análises das formas simbólicas - produções

humanas intencionais -, de acordo com esta metodologia, ocorrem em três: sócio-histórica -

reconstrução do contexto sócio-histórico no qual a forma simbólica foi produzida, divulgada e

apropriada; discursiva formal - descrição da estrutura interna da obra; a interpretação / re-

interpretação - um momento de síntese.

Já Oliveira (2008) assumindo os textos didáticos como uma forma simbólica

propôs um modo de analisar estes materiais, amparando-se metodologia da Hermenêutica de

Profundidade. Assim, um estudo deste guia - concebido por nós também como um texto

didático e, portanto, com uma forma simbólica - envolvendo estas três etapas, nos auxiliarão na

compreensão de nosso objeto de estudo e para o alcance de nossos objetivos.

Resultados e conclusões

Ainda em fase inicial, temos focado mais o momento analítico da HP que se refere

ao estudo interno do manual didático. Os demais momentos analíticos serão mais aprofundados

na continuidade desta pesquisa. O manual “Matemática na escola Primária” está organizado em

partes gerais e específicas do 1º ao 5º ano. Na parte relativa à prática do ensino são apresentados

métodos e processos de ensino, como orientações sobre o material sugerido para ser usado na

classe, abordagem e tratamento da resolução de problemas, aplicação de métodos de projetos e

de testes pedagógicos.

O guia apresenta também uma metodologia de ensino de matemática, dividida em

aritmética e geometria, e orientações sobre a função formadora de uma professora em exercício.

Sabendo de sua importância esperamos entender o que permitiu que o referido guia fosse


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reeditado após 30 anos de sua publicação, considerando que neste período, o cenário educacional

brasileiro sofreu mudanças e influências.

Referências

CARDOSO, V. C. A cigarra e a formiga: uma reflexão sobre educação matemática brasileira

na primeira década do século XXI. Tese (Doutorado em Educação) Universidade Estadual de

Campinas, Faculdade de Educação. 2009.

MEC. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CULTURA. Matemática na Escola Primária.

Biblioteca da Professôra Brasileira. Rio de Janeiro: MEC, 1962.

OLIVEIRA, F. D. Análise de textos didáticos: três estudos. 2008. 227 f. Dissertação (Mestrado

em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual

Paulista, Rio Claro, 2008.

PARDIM, C. S. Orientações Pedagógicas nas Escolas Normais de Campo Grande: Um Olhar

Sobre o Manual Metodologia do Ensino Primário, de Theobaldo Miranda Santos. Dissertação


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(Mestrado em Educação Matemática) - Programa de Pós Graduação em Educação Matemática

da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, Campo Grande, 2013.

XXVI SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA E 1º ENCONTRO DE

FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS DIGITAIS

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Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Fone/fax: 14 3103-6086


GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS: UM ESTUDO DO LIVRO “O

ESCÂNDALO DA GEOMETRIA”

Andressa da Rua Ferreira, Maria Edneia Martins Salandim Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática, [email protected]

Palavras chaves: Geometria Não-Euclidiana; Hermenêutica de Profundidade; Livro Didático.

Resumo

Esta pesquisa, em desenvolvimento inicial, busca estudar elementos que compõe o livro “O

Escândalo da Geometria”, de Julio Cesar Mello e Souza, publicado em 1948. O estudo foca a

forma de apresentação e linguagem, natureza dos exercícios e exemplos, orientações gerais

como capa, folha de rosto e outros aspectos da obra. Essa pesquisa faz parte de um projeto

mais amplo do Grupo Historia Oral e Educação Matemática (GHOEM), que trata de estudo

de obras didáticas, contando inclusive com um do acervo de livros e obras de referência.

Valendo-se do referencial da Hermenêutica de Profundidade (HP), pretendemos desenvolver

uma análise de uma forma simbólica – produções humanas intencionais -, no caso, um livro

didático, que trata do tema Geometrias Não Euclidianas.

Introdução

A pesquisa propõe um estudo do livro “O Escândalo da Geometria”, de Júlio

Cesar Mello e Souza e que foi publicado em 1948 e está disponível no acervo de livros

didáticos de Matemática do Grupo História Oral e Educação Matemática – GHOEM – do qual

somos membros. O acervo localiza-se em sala específica na Faculdade de Ciências da Unesp,

o que facilita a pesquisa por nossa proximidade física.

Esta pesquisa participa de um projeto mais amplo do Grupo História Oral e

Educação Matemática – GHOEM, que trata do estudo de obras didáticas. Nossa pesquisa



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Comissão Organizadora da XXV Semana da Licenciatura em Matemática – SELMAT Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências

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segue esta proposta do grupo, tematizando especificamente do tratamento e inserção de

conteúdos de Geometrias Não Euclidianas em livros que participam/participaram do cenário

educacional brasileiro, de modo particular voltam-nos para o livro “O escândalo da

Geometria”, um dos primeiros a serem publicados no Brasil sobre este tema. Estamos nos

valendo do referencial da Hermenêutica de Profundidade (HP), desenvolvido por Thompson

(1995) para análise de formas simbólicas e que vem sendo utilizado na área da Educação

Matemática para analisar documentações legais, livros e manuais didáticos de Matemática,

trabalhos como Silva (2013), Andrade (2012), Cardoso (2009), Oliveira (2008).

A temática envolvendo Geometrias Não Euclidianas tem sido, recentemente, o

foco em pesquisas e publicações no campo da Educação Matemática. As diretrizes

curriculares do Paraná incluíram temas de Geometrias Não Euclidianos no rol dos conteúdos

de Matemática e, como decorrência, muitas ações formativas de professores têm sido

mobilizadas, seja na formação inicial ou continuada de professores.

Objetivos

- Estudar, em um primeiro momento a estrutura do livro “O escândalo da Geometria", de Júlio

César Melo e Souza, publicado na década 1940 – considerado um dos momentos analíticos do

referencial da Hermenêutica de Profundidade.

- Como a pesquisa esta em fase inicial, também faz parte do nosso objetivo estudar e nos

aproximarmos da metodologia a ser utilizada.

- Iniciar discussões sobre o contexto sócio-político-educacional do período no qual o livro foi

publicado, o que deverá ocorrer em momentos posteriores.



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Metodologia

Concebendo a metodologia de pesquisa não como uma mera e simples

aplicação linearizada que nos permite passar por etapas em procedimentos mecanicamente

implementados e sim um constante exercício, um fazer em trajetória, ponderamos ser possível

alterações no processo de pesquisa. No entanto, de modo geral, valendo-nos do referencial da

HP, vamos sistematizar e estudar elementos que compõe o livro “O Escândalo da Geometria”,

sejam os conteúdos, a forma de apresentação, existência ou não de exercícios e exemplos,

orientações gerais a professores e estudantes, capa, folha de rosto da obra, dentre outros

elementos.

Resultados e Discussões’

Mesmo estando em fase ainda inicial da pesquisa, já temos algumas descrições

da estrutura, linguagem e conteúdos contemplados no livro.

O livro, no formato 17x24cm, tem 128 páginas, constando na capa o autor e

título do livro, desenho de uma esfera e uma frase do matemático e físico Joseph Pèrés. Na

aba há destaque de algumas obras do autor e sobre Geometria Analítica. Nas páginas iniciais

observam-se citações, incluindo algumas do próprio autor, além dos créditos das ilustrações

ao desenhista Francelino de Araújo Gomes.

Inicialmente descreve-se brevemente a vida de Euclides, enfatizando o livro

“Os Elementos”: definições, postulados e axiomas. Destaca-se o quinto postulado euclidiano,

“quando duas retas cortadas por uma transversal, formarem ângulos internos do mesmo lado

não suplementares, as ditas retas prolongadas suficientemente se encontrarão do lado em que

a soma dos ângulos internos for menor”, no qual se encontra o escândalo da geometria - a



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descoberta de que este postulado pode ser substituído por outros equivalentes, fazendo surgir

outras geometrias.

No decorrer do livro, é descrito o rigor de Euclides, tentativas de alguns

matemáticos e seus equívocos e sucessos, a noção de infinito do quinto postulado, modelos de

geometria, a lógica do espaço, o espaço euclidiano e não euclidiano e contradições

encontradas. Vários matemáticos são citados como Lobatschewsky, Nazir-Edin, Wallis,

Saccheri, Lambert, Lagrange, Gauss, Taurinus, João Bolyai e Bernhard Riemann, além de

trechos, como apêndice, de outros livros como “As geometrias não arquimedianas” de

Amoroso Costa e “A lei de Tales e o postulado de Euclides” de F. Araújo Gomes. A

linguagem formal se intercala com informalidades como nomes incompletos, falta de

referencias, notas de rodapé que pouco auxiliam na compreensão do texto.

Figura 1: Foto do enunciado do V Postulado presente no livro “O Escândalo da Geometria”



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Conclusões

Destacamos destes dados iniciais, como o tema Geometria Não Euclidianas foi

perseguida por estudiosos buscando reescrever o quinto postulado de Euclides e a importância

destas tentativas para a sistematização de outras Geometrias.

Figura 2: Foto do Índice e Capa do livro “O Escândalo da Geometria”

Referências

THOMPSON, J. B. Ideologia e Cultura Moderna: Teoria social crítica na era dos meios de

comunicação de massa. Petrópolis: Vozes, 1995.

ANDRADE, M.M. Ensaios sobre o Ensino em geral e o de Matemática em Particular, de

Lacroix: Análise de uma Forma Simbólica à luz do Referencial Metodológico da



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Hermenêutica de Profundidade. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Instituto de

Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2012.

OLIVEIRA, F. D. Análise de textos didáticos: três estudos. 2008. 227 f. Dissertação

(Mestrado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas,

Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2008.

CARDOSO, V. C. A cigarra e a formiga: uma reflexão sobre educação matemática

brasileira na primeira década do século XXI. Tese (Doutorado em Educação) Universidade

Estadual de Campinas, Faculdade de Educação. 2009.



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IMPRESSÃO 3D NA RECONSTRUÇÃO DA BALESTILHA E SEU USO

NO ENSINO DE MATEMÁTICA E ASTRONOMIA

Leonardo De Conti D. Aguiar, Wilson M. Yonezawa Bauru, Faculdade de Ciências, Pós Graduação em Educação para a Ciência

Palavras chaves: ensino de matemática e astronomia; ciência e tecnologia; impressão 3D.

Resumo

Este trabalho apresenta um exemplo prático de uso da tecnologia de impressão 3D na área

de ensino de ciências por meio da reconstrução da balestilha, um antigo instrumento

utilizado pela navegação portuguesa em princípios do século XVI até meados do XVIII. A

reconstrução envolve diferentes etapas que compreendem desde o entendimento do

instrumento; a compreensão das medidas e relações existentes no instrumento; a modelagem

3D das partes que compõe o instrumento; a impressão 3D propriamente dita e os ajustes nas

peças impressas. Durante todas as etapas do processo de uso da tecnologia 3D, conceitos

científicos estão presentes, o quais podem e devem ser discutidos com os alunos. Ao final são

discutidos os aspectos didáticos e pedagógicos deste tipo de tecnologia.

Objetivo

Este trabalho descreve como a tecnologia de impressão 3D pode auxiliar no ensino de

matemática e astronomia por meio da reconstrução um antigo instrumento utilizado para

orientação pela navegação portuguesa, a balestilha.



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Introdução

A Balestilha foi um instrumento utilizado pela navegação portuguesa em princípios do

século XVI até meados do XVIII, a qual era orientada pelas posições dos astros celestes. A

técnica consistia em determinar a altura de determinados astros, ou seja, o ângulo da linha de

visada do astro com o horizonte. A balestilha era construída em madeira ou marfim e

composta por uma rígida vara, o virote, na qual deslizava outra menor, a soalha (Figura 1-a).

Nela não havia uma escala graduada, os ângulos eram obtidos por trigonometria. Para se

determinar o ângulo entre dois astros, desliza-se a soalha, afastando-a ou aproximando-a, ao

longo do virote, de modo que as estrelas fiquem cada qual em uma das extremidades da

soalha. O virote indicará o ângulo que as separa (Figura 1-b) (Fernandes; Longhini; e

Marques, 2011). Pelas medidas indicadas na Figura 1-b, o ângulo entre a estrela A e B pode

ser obtido por trigonometria (Fernandes; Longhini; e Marques, 2011):

α = 2 * arctg(a / x) (1)

Onde: α é o ângulo entre as estrelas A e B; a é a metade do comprimento da soalha e x é a

distância entre o início do virote e a posição da soalha nele. Dimitrov et al. (2006) afirma que

a técnica de fabricar objetos através da deposição de camadas teve suas origens no ano de

1989 com o objetivo de melhorar a prototipagem na engenharia; esse processo chamado de

impressão tridimensional, permite a construção de estruturas sólidas a partir de um arquivo de

imagem 3D de computador. A impressão consiste na deposição de camadas de materiais umas

sobre as outras até que forme o objeto desenhado.



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(a) (b)

Figura 1 – (a) Virote e Soalhas que compõe a balestilha. Adaptada de Biblioteca Mª Helena Maia1 (b)

Determinação do ângulo entre dois astros com a balestilha (Fernandes; Longhini; e Marques, 2011).

Estudos desenvolvidos pelo Departamento para a Educação do Governo do Reino

Unido com 21 escolas em 2013 mostrou a tecnologia de impressoras 3D pode enriquecer o

currículo do ensino de ciências, tecnologia engenharia e matemática. Várias escolas

reportaram altos níveis de motivação nos alunos quando eles se engajavam em projeto desta

natureza. Para o diretor de uma das escolas envolvidas no estudo, “a oportunidade para

compreender rapidamente um conceito ou ideia num objeto 3D é uma poderosa e incrível

ferramenta de ensino.” (DEPARTMENT FOR EDUCATION, 2013).

Procedimentos metodológicos

O início envolve o estudo do objeto, entendendo quais são as características de

funcionamento, em especial as medidas e as relações. No caso da balestilha, o objeto o

1 http://bibliodrruydandrade.no.sapo.pt/curiosidadedomes/conteudos/agosto2006.htm



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tamanho é importante. Como mostrado pela Equação 1, os ângulos são obtidos leva em

consideração a distância deslocada da soalha no virote. No texto de Fernandes; Longhini; e

Marques (2011) a recomendação é de que as soalhas tenham 1/2, 1/4 e 1/8 do comprimento

do virote. A partir da definição das medidas e das relações é necessário considerar os limites

da impressora 3D. Neste trabalho foi utilizada a impressora 3D Cube cujo volume de

impressão é de 14 cm x 14 cm x 14 cm. Considerando tais restrições, o virote projetado foi

dividido em duas peças, cada uma com 130 mm. Ranhuras semelhantes a uma régua foram

projetadas ao longo do virote a cada 5 mm para facilitar a obtenção da posição da soalha no

virote. Três soalhas foram projetadas, com as seguintes dimensões: 115 mm, 57,6 mm e 38,8

mm. Após a elaboração dos rascunhos (Figura 2a), ocorreu o processo de modelagem 3D

(Figura 2b). Para modelagem foi utilizado o software Sketchup Make 14. O modelo gerado

foi exportado a para o formato STL (Stereolitograph), um padrão de representação de objetos

3D entre as impressoras 3D. O arquivo STL gerado passa por um tratamento específico que

envolve fatiar a imagem para otimizar a impressão. Após a esse tratamento o arquivo foi

enviado para impressora. O tempo total de impressão das peças da balestilha foi de 443

minutos. O objeto físico gerado na impressão passou por um processo de acabamento que

envolver remover e lixar a superfície para remover o excesso de materiais (Figura 2c). O

resultado final pode ser visualizado na Figura 2d. Numa primeira etapa, a fim de checar os

resultados e verificar a necessidade de intervenções, apenas a soalha de 115 mm foi impressa.



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(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 2: (a) rascunhos; (b) modelagem; (c) impressão e acabamento; (b) instrumento concluído.



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Resultados e discussões

Quanto a questão de avaliação do instrumento gerado, foi verificado se era possível

utilizá-la como um instrumento de obtenção de ângulos entre dois pontos através do deslize

da soalha sobre o virote. Como pode ser verificado na Figura 2d, com o planejamento

adequado, as peças foram impressas. O tipo de impressora 3D influencia a qualidade dos

objetos gerados. Impressoras de baixo custo, como a utilizada neste trabalho, oferecem mais

restrições e consequentemente possibilidade de pequenas diferenças entre as medidas

estabelecidas no modelo 3D com o objeto final impresso. Por exemplo, a soalha, desenhada

com largura de 115 mm, foi impressa com 109,3 mm, uma diferença de 4,96%. A largura da

primeira parte do virote foi com 1,4 mm adicionais. Isso dificultou o deslize da soalha nele.

Tais diferenças são causadas pelo suporte de impressão, o qual é feito no começo do processo,

sob as peças geradas. Para corrigir a diferença de largura da primeira parte do virote, o vão de

passagem do virote na soalha foi lixado levemente, aumentando vão até que pudesse deslizar

sobre o virote. A partir do instrumento acabado e das medidas das dimensões dele aplicadas

na Equação 1, pode-se construir o Quadro 1 para utilizar como consulta ao ângulo obtido com

a Soalha 1.



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Quadro 1. Posição da Soalha 1 no Virote vs. Ângulo Obtido

Posição da

soalha 1 x

(mm):

Ângulo α

correspondente

(graus)

x

(mm)

α

(graus)

x

(mm)

α

(graus)

x

(mm)

α

(graus)

x

(mm)

α

(graus)

5 169,5º 55 89,6º 105 55,0º 155 38,8º 205 29,9º

10 159,3º 60 84,7º 110 52,8º 160 37,7º 210 29,2º

15 149,3º 65 80,1º 115 50,8º 165 36,7º 215 28,5º

20 139,8º 70 76,0º 120 49,0º 170 35,6º 220 27,9º

25 130,8º 75 72,2º 125 47,2º 175 34,7º 225 27,3º

30 122,5º 80 68,7º 130 45,6º 180 33,8º 230 26,7º

35 114,7º 85 65,5º 135 44,1º 185 32,9º 235 26,2º

40 107,6º 90 62,5º 140 42,6º 190 32,1º 240 25,7º

45 101,1º 95 59,8º 145 41,3º 195 31,3º 245 25,1º

50 95,1º 100 57,3º 150 40,0º 200 30,6º 250 24,7º

Considerações finais

A tecnologia de impressão 3D permite a reconstrução de instrumentos históricos como

a basletilha de maneira mais fácil do que aos modos tradicionais, por exemplo, que utilizam

madeira. Do ponto de vista pedagógico, estudantes envolvidos no processo de planejamento e

modelagem podem se beneficiar, uma vez que são expostos a problemas reais que utilizam

conceitos científicos para solucioná-los. Mesmo a resolução de problemas como as diferenças

nas dimensões planejadas e impressas podem ser úteis no processo de ensino uma vez que

permite que os alunos reconheçam que esses processos são suscetíveis a falhas e assim

estimar possam estimar possíveis erros.

Outro aspecto importante a ser considerado neste tipo de experimento é está na

possibilidade de utilização do instrumento em sala de aula. O instrumento se torna material



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didático. O processo de construção do instrumento uma estratégia pedagógica. Como

atividades para professores de matemática em sala de aula, recomendamos a sugestão de

Fernandes, Longhini e Marques (2011) para calcular a altura de objetos como prédios e

postes. No mesmo trabalho há instruções de como utilizar a balestilha no ensino de

astronomia, determinado, a partir do Cruzeiro do Sul, a latitude local, atividade para qual

sugerimos um complemento: os estudantes compararem essa latitude obtida através da

balestilha com a latitude que algum aparelho GPS indique, funcionalidade que esta disponível

na maioria dos smartphones atuais.

Bibliografia

DEPARTMENT FOR EDUCATION. 3D printers in schools: uses in the curriculum.

Enriching the teaching of STEM and design subjects. United Kingdon. 2013. Disponível em:

<https://www.gov.uk/government/publications/3d-printers-in-schools-uses-in-the-

curriculum> Acesso em: 11 ago 2014.

DIMITROV, D.; SCHREVE, K.; BEER, N. Advances in three dimensional printing – state of

the art and future perspectives. Rapid Prototyping Journal. v. 12, n.3, p. 136-147, nov/2006.

FERNANDES, T.C.D.; LONGHINI, M. D.; MARQUES, D. M. A construção de um antigo

instrumento para navegação marítima e seu emprego em aulas de Astronomia e Matemática.

História da Ciência e Ensino. v.4, p. 62-79, 2011.

SINGH, S. Beginning Google Sketchup for 3D Printing. Apress, 2010. 328 p.



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JOGOS E MODELOS GEOMÉTRICOS: ALTERNATIVAS PARA O

ENSINO DE MATEMÁTICA

Daniel Zarpelao Porcel, Gabriel Alexandre da Cruz, Gustavo Chaves Tanaka (alunos),

Cristiane Alexandra Lázaro, Tatiana Miguel Rodrigues (orientadoras).

Campus Bauru, Unidade Faculdade de Ciências, curso Matemática, e-mail: [email protected],

[email protected], [email protected]

Palavras chaves e Keywords: jogos; ensino; matemática.

Resumo

Jogos que envolvem Matemática são importantes não só para a aprendizagem, mas também

para quebrar alguns preconceitos existentes, talvez culturais sobre a Matemática, que muitas

vezes é causada pelos próprios professores, família e colegas. Com estes, podemos ensinar

matemática e desenvolver o raciocínio lógico, estimular o pensamento independente, a

criatividade e a capacidade de resolver problemas. Jogos do tipo: dominó das quatro cores,

palavras-cruzadas, jogo da velha, avançando com o resto, cinco em linha, mancala, fecha a

caixa (onde trabalhamos com adição ou multiplicação), entre outros, são recursos

pedagógicos aparentemente eficazes para construção do conhecimento.

Introdução

Com o sistema de ensino atual e as várias metodologias de ensinar Matemática,

podemos dizer que não basta o aluno aprender por aprender e depois esquecer, como vem

acontecendo. Para muitos, o ensino tradicional de matemática ainda é aceito, mas, nos dias de

hoje, não se pode afirmar que a mecanização da matemática é suficiente. O famoso livro

didático e os caderninhos de apoio enviados pela secretaria do estado da educação ainda

continuam sendo os principais recursos disponíveis na sala de aula. Os exercícios e listas,



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muitas vezes considerados intermináveis, buscam sem sucesso fixar um conhecimento que

muitas vezes foram sequer apropriados pelos alunos. Diante do exposto faz-se necessário

pensar em transformações no ensino de matemática que ultrapassem a simples reprodução de

exercícios e permitam, tanto para o professor quanto para o aluno, um ensino mais atraente e

desafiador, e principalmente repleto de significados. Daí a pergunta: com tanta tecnologia

e formas diversas de entretenimento, como fazer para que os alunos se interessem por

matemática? Há muitas respostas para essa pergunta, uma delas seria trabalhar com a

matemática de maneira divertida e prazerosa, mas como? Utilizar jogos matemáticos que

atendam a maioria dos níveis de ensino parece ser uma ótima forma, pois atinge tanto os

alunos quanto a comunidade e os professores.

Quando pensamos em jogos, as primeiras coisas que surgem à mente são disputa,

competição e diversão. Claro que estas sensações são consideráveis. Entretanto, quando o

objetivo está focado na aprendizagem, é preciso que sejam superadas estas sensações, é

preciso ir além, possibilitando aos alunos a apropriação de novos conhecimentos associados

aos que eles já possuem.

Segundo Selva & Camargo (2009), o jogo é um processo, no qual o aluno necessita

de conhecimentos prévios, interpretação de regras e raciocínio, o que representa constantes

desafios, pois a cada nova jogada são abertos espaços para a elaboração de novas estratégias,

desencadeando situações problemas que, ao serem resolvidas, permitem a evolução do

pensamento abstrato para o conhecimento efetivo, construído durante as atividades.

As dificuldades manifestadas na aprendizagem da disciplina de matemática estão

intimamente ligadas à necessidade de novas práticas pedagógicas que colaborem com o

professor, a fim de auxiliar seus alunos a aprender.

Conforme explica Grando (2004), podemos utilizar o jogo para facilitar a

aprendizagem de estruturas matemáticas, principalmente as mais difíceis do aluno assimilar.



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Ao jogar com os colegas, o aluno faz negociações, ouve a opinião dos outros,

argumenta, o que torna possível estruturar seu raciocínio.

Jogos que envolvem Matemática são importantes não só para a aprendizagem, mas

também para quebrar alguns preconceitos existentes, talvez culturais sobre a Matemática, que

muitas vezes é causada pelos próprios professores, família e colegas. Com estes, podemos

ensinar matemática e desenvolver o raciocínio lógico, estimular o pensamento independente,

a criatividade e a capacidade de resolver problemas.

Jogos do tipo: dominó das quatro cores, palavras-cruzadas, jogo da velha, avançando

com o resto, cinco em linha, mancala, fecha a caixa (onde trabalhamos com adição ou

multiplicação), entre outros, são recursos pedagógicos aparentemente eficazes para

construção do conhecimento. Segundo Vygotsky, o brinquedo estimula curiosidade e

autoconfiança, proporcionando desenvolvimento da aprendizagem, do pensamento, da

concentração e da atenção.

Utilizamos vários jogos nas escolas públicas de Bauru, estado de São Paulo, como

forma de experiência e resposta dos alunos perante os jogos.

Experiência Desenvolvida

A primeira parte foi a produção do material, onde foram feitas as peças em E.V.A,

cartolina e alguns dados. Dentre os jogos construídos estavam: Brincando com Divisores e

Múltiplos, Jogo da Tartaruga, Avançando com o Resto e Cinco em Linhas, que abordam as

operações básicas e seus algoritmos. Também foram feitos os jogos de raciocínio lógico e

estratégia, como: Mancala, Traverse, Jogo da Velha triangular, Dominó de Quatros Cores e

Fecha Caixa. Além dos jogos foi feito o material de geometria, o qual envolveu os

conceitos de áreas e diagonais.



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Em seguida, após a construção dos jogos, foram discutidos os conceitos matemáticos

envolvidos em cada jogo e foram feitos treinamentos para apresentação dos alunos nas

escolas. Os alunos bolsistas e voluntários foram em várias escolas públicas da cidade

de Bauru, onze ao todo, são elas: Ayrton Busch, Azarias Leite, Ernesto Monte, Carolina

Lopes de Almeida, Joaquim Rodrigues Madureira, José Aparecido Guedes de Azevedo, Luiz

Castanho de Almeida, Morais Pacheco, Parque Santa Edwirges e Vera Campagnani.

Em particular, na escola Parque Santa Edwirges, foi montada a oficina de jogos

matemáticos em uma sala de aula, inicialmente os alunos temeram não conseguir jogar, por

envolver conceitos matemáticos, mas isso durou por pouco tempo até todos participarem e

interagirem, dando “feedback” dos jogos. Já na escola José Aparecido Guedes de Azevedo

foi montada uma bancada no pátio, pois o projeto foi realizado juntamente com a feira

acadêmica que estava acontecendo. A princípio houve uma resistência com os jogos, mas

quando começaram a jogar ficaram interessados e acabaram gostando da ideia de aprender

matemática brincando. Houve um momento em que os alunos se interessaram mais

pelos jogos de raciocínio, inclusive disputaram quem resolveria primeiro o Dominó de

Quatros Cores. Além dos jogos, os alunos do ensino médio procuraram entender os materiais

de geometria que foram apresentados. Após isto, os participantes do projeto mostraram de

uma forma mais intuitiva e ilustrativa como se obtém a fórmula da área de um círculo,

através da aproximação de um retângulo, e também como chegar até a fórmula do número de

diagonais de um polígono convexo.

Conclusão

Tanto os universitários bolsistas/voluntários quanto os alunos do Ensino

Fundamental e Médio tiveram contato com problemas desafiantes, aprimorando o gosto e o

interesse pela investigação matemática. Conseguimos assim, usar o lúdico para



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complementar a teoria aprendida em sala de aula e ser um instrumento para a melhoria do

ensino, obtendo uma interação entre a universidade e a comunidade, como também

propiciando o contato de alunos do ensino médio com os universitários.

Trabalhar com jogos em geral é muito divertido e estimulante, tanto para os

professores quanto para os alunos, ou seja, para a escola em geral. No entanto, há de se tomar

muito cuidado para que os jogos não tragam consequências negativas ou confusão na sala de

aula, já que o objetivo não é o de vencer, mas sim compreender cada jogo e seu

conteúdo matemático. Tivemos uma resposta muito positiva com os alunos, alguns

chegaram a pedir que voltássemos com mais frequência, os professores até mesmo sugeriram

que os jogos fossem parte da metodologia da escola.

O trabalho do professor fica mais dinâmico. Foi possível perceber que as propostas de

atividades que envolvem jogos desafiam os alunos sendo, dessa forma, um importante

recurso didático, possibilitando diagnosticar o que o aluno não sabe, ampliar o leque de

conceitos que ele já possui, como também para ajudar a fixar conceitos. É preciso ressaltar

ainda que a cooperação entre os alunos durante a realização dos jogos foi importante, os

alunos davam palpites e incentivavam os colegas para que a partida fosse até o final.

Referências

BARBOSA, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de Matemática.

Sociedade Brasileira de Matemática, 2004.

BORIM, J. Jogos e resoluções de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática. 5ª

edição. São Paulo: CAEM/IME-USP, 2004, 100p.



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GIOVANNI, J. R.; CASTRUCCI, B.; GIOVANNI JR, J. R. A Conquista da Matemática.

FTD, 1996.

GRANDO, R. C. O jogo e a matemática no contexto da sala de aula. São Paulo:

Paulus, 2004.

IMENES, JAKUBO, LELLIS. Coleção: Para que serve Matemática? Semelhança. Atual,

1992.

LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. Aprendendo e Ensinando a Geometria. Atual, 1998.

RAMOS, L.F. Coleção: A Descoberta da Matemática. Ática, 1999.

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO - SÃO PAULO. Experiências Matemáticas

– 7ª Série e 8ª Série. São Paulo: SE/CENP, 1998.

SELVA, R. K.; CAMARGO, M. O jogo matemático como recurso para a construção do

conhecimento. X Encontro Gaúcho de educação matemática. Ijuí/RS, 2009.



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LICENCIATURAS EM MATEMÁTICA NO BRASIL NOS ANOS 1960:

UM MAPEAMENTO ATRAVÉS DA REVISTA DOCUMENTA

Letícia Nogueira Gomes, Maria Ednéia Martins Salandim

Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática, [email protected]

Palavras chaves: Formação de professores, História da Educação Matemática, Revista Documenta.

Resumo

Neste texto apresentamos um mapeamento de criação de cursos de Licenciatura em

Matemática e Ciências, que formavam professores de Matemática em nível superior no

Brasil, na década de 1960, em instituições privada ou públicas federais. Este levantamento

foi realizado a partir da Revista Documenta – publicação mensal do Conselho Federal de

Educação a partir de 1962 – e nos valemos de metodologia de pesquisa baseada na

Hermenêutica de Profundidade (HP). Destacamos que não foram muitos os pedidos de

criação destes cursos, considerando as dimensões geográficas do Brasil. Foram criados,

nestes tipos de instituição, menos de 20 cursos, a maioria em instituições privadas e na

modalidade Licenciatura em Matemática. As regiões Sul e Sudeste tiveram a maioria dos

pedidos e pareceres favoráveis à criação destes cursos e a região Norte não apresentou

solicitação. Este primeiro estudo a partir da Revista Documenta revela o potencial deste

material como fonte para pesquisas na Área de Educação Matemática.

Introdução

Esta pesquisa, desenvolvida em nível de Iniciação Científica, integra o projeto de

mapeamento de formação de professores que ensinam Matemática no Brasil, do GHOEM –



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Grupo História Oral e Educação Matemática e um projeto, de viés historiográfico, de

constituição de acervo2, sistematização e estudos da Coleção da Revista Documenta

3. Com o

estudo das publicações da Revista Documenta intenciona-se mapear localidades e instituições,

públicas federais ou privadas, que solicitaram criação e reconhecimento de cursos e não

apenas aquelas que efetivamente tiveram cursos criados. Levantamentos iniciais realizados

por Martins-Salandim (2012) revelam que nos anos 1960, no estado de São Paulo, a

quantidade de pedidos de criação e reconhecimento destes cursos foi bem maior comparada à

quantidade de cursos de Licenciatura em Matemática efetivamente instalados. Neste sentido,

no estudo destas revistas interessam-nos mais as justificativas e encaminhamentos contidos

nos pareceres emitidos pelos conselheiros do CFE – Conselho Federal de Educação. Estes

pareceres trazem justificativas e opiniões dos conselheiros sobre a negação ou autorização

para a criação dos referidos cursos, dentre elas, falta ou insuficiência de corpo docente, de

infraestrutura (salas, bibliotecas) ou de proximidade geográfica de outros cursos já existentes.

Nesta pesquisa, realizamos uma sistematização das solicitações de criação e

reconhecimento de cursos de Licenciatura em Matemática e/ou em Ciências, de instituições

privadas ou públicas federais durante a década de 1960, as quais foram publicadas na Revista

Documenta.

A escolha da década de 1960 seguiu dois critérios: a) foi nesta década que a

Revista começou a ser publicada e distribuída; b) período no qual entra em vigor a Primeira

Lei de Diretrizes e Bases para a Educação Nacional, Lei 4024/61, a qual estabeleceu, dentre

2 No ano de 2014 o Conselho Nacional de Educação doou uma coleção completa da Documenta para o

acervo de livros do GHOEM. Atualmente este acervo conta com cerca de 1800 obras, além de teses e

dissertações e obras nele alocadas temporariamente para recuperação e catalogação. A catalogação on line está

disponível em http://www2.fc.unesp.br/ghoem/index.php?pagina=livros.php. 3 Martins-Salandim (2012) iniciou um estudo mais sistemático destas revistas, tematizando criação de

cursos deMatemática pelo interior paulista na década 1960.

http://www2.fc.unesp.br/ghoem/index.php?pagina=livros.php



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outras determinações, os cursos de Licenciatura como cursos específicos para formação de

professores para o ensino médio.

A Revista Documenta é uma publicação do Conselho Nacional de Educação (CNE),

antigo Conselho Federal de Educação (CFE), iniciada em 1962 com edições mensais4. Suas

edições contêm resoluções e pareceres do referido Conselho sobre criação, estruturação,

reconhecimentos e extinção de instituições de ensino e cursos, além de alguns textos mais

gerais sobre temas educacionais. A Revista possui uma característica bem particular, por não

ser uma revista acadêmico científica e nem uma reprodução de publicações do Diário Oficial,

mas por apresentar características de ambos. Ela é dividida em seções e essas seções

apresentam diversos temas como: “Notas” que apresentam as principais atividades

desenvolvidas pelo CFE, “Currículos” onde são publicados os currículos dos conselheiros do

CFE e muitas outras. O foco de nossa investigação esteve mais voltado aos Pareceres

publicados sobre solicitações de criação e reconhecimento de cursos.

Objetivos

Estudar exemplares da revista Documenta publicados na década de 1960, com foco

nos pedidos de criação, autorização de funcionamento, extinção e/ou reconhecimento de

cursos de Licenciatura em Matemática e/ou em Ciências com habilitação em Matemática.

4 A partir de 2005 a Documenta parou de ser impressa.



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Metodologia

Nosso exercício metodológico tem se amparado na Hermenêutica de Profundidade

(HP) e que já vem sendo utilizada por outros pesquisadores da área da Educação

Matemática para analisar documentações legais, livros e manuais didáticos de Matemática5.

Concebemos a Revista Documenta como uma forma simbólica, uma vez que a

percebemos como produzida com certas intenções, como, por exemplo, comunicar decisões e

debates de conselheiros do CFE sobre criação e reconhecimento de cursos. De acordo com

Oliveira (2008), a teoria proposta por Thompson indica cinco aspectos inerentes à forma

simbólica: intencional – intenção de dizer do autor e de compreender do intérprete;

convencional – regras que possibilitam que intenção de dizer do autor seja recebida por

interlocutores; estrutural – organização dos elementos internos que não mera justaposição;

referencial – sobre o que o autor tem intenção de dizer e, contextual - contextos onde ela foi

produzida e recebida (OLIVEIRA, ANDRADE e SILVA, 2013).

Seguindo indicações metodológica de Oliveira (2008) para análise de livros

didáticos (também percebidos como formas simbólicas) através da Hermenêutica de

Profundidade, colocamos nossa atenção em três movimentos analíticos: sócio-histórico -

reconstrução do contexto sócio-histórico no qual a forma simbólica foi produzida, divulgada

e apropriada; discursivo formal - descrição da estrutura interna da obra e, interpretação/re-

interpretação - um momento de síntese6.

Como a coleção da Revista Documenta ainda não estava disponível para consulta

no acervo de livros do GHOEM, estabelecemos uma parceria entre a biblioteca do campus

da Unesp de Bauru com a de outros câmpus e fotografamos todos os exemplares publicados

5 OLIVEIRA (2008), CARD OSO (2009), ANDRADE (2012).

6 A continuidade de nossa pesquisa envolverá uma análise mais propriamente sócio-histórica.



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na década de 1960, num total de 107 revistas7. Posteriormente, lemos cada um dos

exemplares e identificamos Pareceres e textos que tratavam de cursos que visavam formação

professor para lecionar a disciplina Matemática, seja Licenciatura em Matemática ou em

Ciências. Sistematizamos estes dados em tabelas, registrando instituição solicitante, teor do

parecer e se favorável ou não à criação do curso e sugestões de modificações. Para cada

curso criamos uma linha na tabela, na qual formos registrando todos os pareceres

envolvidos, mesmo que publicados em diferentes exemplares da Documenta de modo que

pudemos acompanhar o processo de autorização de criação e reconhecimento do referido

curso. Geramos tabelas com dados destes cursos, por Estado do país, e em cada uma delas, é

possível visualizar solicitações separadas por municípios e instituições, uma vez que uma

mesma instituição poderia ter solicitado criação de diferentes cursos, iniciando um novo

processo.

Pedido de autorização Autorizado em Município Instituição Mantenedora Mês/Ano

Documenta/

Pág.

Observações Mês/Ano

Documenta/

Pág.

Observações

Alto

Parnaíba/

MA

Faculdade

de

Ciências e

Letras do

Alto

Parnaíba.

fev./1964/

23/57

Documenta 23 - O Presidente da "Sociedade Educacional do Alto

Parnaíba" solicitou autorização para funcionamento dos cursos de

Letras, História, Geografia e Matemática, numa Faculdade de

Ciências e Letras do Alto Parnaíba. Conclusão: Oportunamente

poderá a interessada apresentar elementos que permitam à Comissão

Verificadora ou ao Verificador isolado que for encarregado da

inspeção prévia apresentar um Relatório mais convincente. Nestas

condições é a Comissão de parecer que se arquive por ora o

requerimento da Sociedade Educacional do Alto Parnaíba.

Resultados e discussões

Após a sistematização do conteúdo dos 107 exemplares da Revista Documenta da

década de 1960, podemos fazer algumas observações acerca dos pedidos de criação e de

reconhecimento dos referidos cursos em instituições de ensino privada ou pública federal.

7 Até aquele momento ainda não havíamos conseguimos dois exemplares (86 e 96).



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Em relação à questão geográfica, destacamos as regiões Sudeste e Sul como aquelas

que tiveram maior quantidade de pedidos de criação e de reconhecimento de cursos de

Licenciatura em Matemática e Ciências. O estado de São Paulo apresentou mais de dez

pedidos, Minas Gerais, Rio de Janeiro e o Espírito Santo apresentaram menos de dez cada um.

Na região sul foram apresentados menos de dez pedidos, sendo que o estado de Santa

Catarina não apresentou pedido. Nas regiões Nordeste e Centro Oeste, apenas os estados

doMaranhão, Pernambuco, Goiás e o Distrito Federal, apresentaram pedidos. A região Norte

nãoapresentou pedido. A maioria dos pedidos, foram feitos por instituições privadas, do tipo

Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras, sendo que mais ou menos a metade deles recebeu

parecer favorável à criação ainda na década de 1960. Cerca de 15 novos cursos foram criados

no país neste período, sendo a maioria deles cursos de Licenciatura em Matemática.

Conclusões

Com base nas análises feitas podemos destacar as dificuldades que as instituições

tiveram para conseguir autorização para criar cursos de Licenciatura em Matemática e

Ciências, além da baixa procura em algumas regiões do país. Outro ponto importante é que a

maioria dos pedidos, em todas as regiões envolvidas, foi realizada por instituições particulares

de ensino superior. Este mapeamento inicial que nos propusemos realizar nos dão indícios

geográficos de existência de cursos de Licenciatura em Matemática e de Ciências pelo Brasil

na década de 1960, de dificuldades para se conseguir instalar estes cursos em regiões mais

distantes de capitais e de centros formadores do país, além de demandas pelos professores de

Matemática já formados e que poderiam atuar nestes cursos.



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Referências bibliográficas

DOCUMENTA. Rio de Janeiro: Conselho Federal de Educação, 1962-1970.

MARTINS-SALANDIM, M. E. A interiorização dos cursos de Matemática no Estado de

São Paulo: um exame da década de 1960. 387. Tese (Doutorado em Educação Matemática)

– Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2012.

OLIVEIRA, F.D. Análise de textos didáticos: três estudos. 2005. 227 f. Dissertação

(Mestrado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas,

Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2008.

OLIVEIRA, F. D; ANDRADE, M. M.; SILVA, T. T. P. da. A Hermenêutica de

Profundidade: possibilidades em Educação Matemática. Alexandria (Revista de

Educação em Ciência e Tecnologia), v.6, n.1, p. 119-142, abr. 2013 (ISSN 1982-5153).



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METODOLOGIA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA BASEADA NA

MOTIVAÇÃO

Aiara Cristina De Oliveira Ribeiro

Luiz Francisco Da Cruz

Valter Locci Bauru, Faculdade de Ciências, Matemáica, [email protected]

Palavras chaves: Ensino; Metodologia; Matemática.

Resumo

Encontramos em nossas escolas alunos cada vez mais desmotivados em aprender matemática

principalmente pelo fato de não entenderem os conceitos ensinados e como consequência

disso apresentam rendimentos insatisfatórios nessa disciplina. O que motiva aqueles que

gostam de matemática é a capacidade de resolver problemas, pois quando conseguem a

satisfação é imensa e a motivação aumenta. Nessa perspectiva o Projeto “Metodologia para

o Ensino da Matemática baseada na Motivação”, dá a oportunidade aos alunos participantes

de serem acompanhados em seus estudos, fazendo com que passem a gostar de matemática e

sejam motivados a aprendê-la através de uma metodologia que mostrará a eles que são

capazes. O objetivo principal é aplicar a metodologia para o ensino da Matemática baseada

na motivação para o estudo e aprendizagem, destinada aos alunos da 5ª série do ensino

fundamental e aos da 1ª série do ensino médio da Escola Estadual Padre Antônio Jorge

Lima, da cidade de Bauru, dando a oportunidade aos alunos de terem contato com uma

metodologia que os motive a gostar da matemática, adquirir o hábito do estudo regular e,

como consequência, aprender os conteúdos específicos de cada série, apresentando assim um

melhor desempenho no seu rendimento escolar.



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Introdução

Uma das razões do baixo desempenho em matemática por parte dos alunos é pelo fato

de não entenderem os conceitos ensinados e não desenvolverem o raciocínio lógico dedutivo

tão necessário para a compreensão desta na sua totalidade. Como consequência apresentam

um rendimento insatisfatório nas avaliações, não conseguem compreender os enunciados dos

problemas propostos e não adquirem uma maturidade para estudarem sozinhos e fazerem as

tarefas. Isso leva à desmotivação.

O Projeto "Metodologia para o Ensino da Matemática baseada na Motivação" dá a

oportunidade aos alunos participantes de serem acompanhados em seus estudos, fazendo com

que passem a gostar de matemática e sejam motivados a aprendê-la através de uma

metodologia que mostrará a eles que são capazes.

O que motiva aqueles que gostam de matemática é a capacidade de resolver problemas.

Quando conseguem a satisfação é imensa e a motivação aumenta. Se bem motivados, mesmo

que não consigam num primeiro momento, não desistem, apenas adiam a tentativa de

solucioná-lo. Buscam novos conhecimentos até que se sintam em condições de iniciar uma

nova tentativa de solução. Essa busca chama-se estudo e aprendizado. É nesta etapa que

acontece a compreensão dos conceitos e o desenvolvimento do raciocínio lógico. No entanto,

se não conseguem e não são motivados, desistem, criam barreiras difíceis de serem superadas

e sentem-se incapazes de aprender e, consequentemente, apresentando um baixo rendimento

escolar.

Se a motivação e o gosto pela matemática acontecerem por parte do aluno desde os

primeiros contatos, este não terá problemas e nem dificuldades futuras no seu desempenho

escolar.



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Objetivos

O objetivo principal é aplicar a metodologia para o ensino da Matemática baseada na

motivação para o estudo e aprendizagem, destinada aos alunos da 5ª série do ensino

fundamental e aos da 1ª série do ensino médio da Escola Estadual Padre Antônio Jorge Lima,

da cidade de Bauru, dando a oportunidade aos alunos de terem contato com uma metodologia

que os motive a gostar da matemática, adquirir o hábito do estudo regular e, como

consequência, aprender os conteúdos específicos de cada série. Assimilar os conceitos desses

conteúdos, aplicando-os de forma natural e adequada, sanar as suas dúvidas e deficiências,

para que possam apresentar um desempenho melhor no seu rendimento escolar.


Baseados na experiência de ensino de matemática dos professores orientadores e,

alicerçados pelos estudos dos grandes pensadores da educação como Vygotsky, Freinet,

Saviani, Paulo Freire, entre tantos outros, mas principalmente pelas ideias de Freinet,

acreditamos que, com o número reduzido de alunos por turma (15), a dedicação, o

atendimento individual e presencial é fundamental para atingir os objetivos propostos, pois os

alunos são heterogêneos e uns necessitam de um acompanhamento maior que outros.

Através de situações concretas do cotidiano dos alunos, propostas em forma de

problemas para serem resolvidos, cuja metodologia já é usada e recomendada por vários

autores, os conteúdos específicos de cada série são ensinados e/ou revistos. O fundamental e o

diferencial é que os alunos consigam resolvê-los, sentindo-se capazes e sejam motivados a

continuarem, aumentando o interesse pelo estudo, descobrindo e acreditando nas suas

potencialidades.



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O aluno tem que estudar o que foi ensinado, pensar e pesquisar os problemas

propostos e encontrar a sua solução, mesmo que não seja a ideal. Sem essa prática não há

aprendizado. Isso faz com que o aluno tenha um domínio sobre tudo aquilo que está sendo

aprendido. Quando ele consegue achar a solução a sua satisfação é imensa. Aumenta a

motivação para continuar os estudos e a confiança na capacidade de aprender.

Caso ele não consiga, o objetivo é ajuda-lo a construir a solução mostrando como os

conceitos devem ser aplicados e os caminhos para chegar à solução. Neste momento, fazer

com que o aluno entenda todas as passagens e etapas do desenvolvimento matemático até a

solução final, é fundamental.

Continuamos com este processo e de forma gradativa introduzimos novos conceitos e

problemas cada vez mais elaborados e com grau de dificuldade maior, até que o aluno tenha

condições de resolvê-los com desenvoltura e satisfatoriamente. Novos conceitos não são

introduzidos se os anteriores não foram aprendidos, o que demanda um tempo maior de

aprendizagem e o planejamento deve ser revisto constantemente para que todo conteúdo

desejado seja introduzido. Ainda assim, melhor uma quantidade menor de conteúdo bem

aprendido do que uma quantidade maior com muitas dúvidas e dificuldades.

Metodologia

O projeto oferece encontros presenciais realizados nas dependências da Escola

Estadual Padre Antônio Jorge Lima na cidade de Bauru. Esses encontros são oferecidos

semanalmente, todas às quartas-feiras, das 8 às 10 horas, para os alunos da 5ª série do ensino

fundamental e das 15 às 17 horas, para os alunos da 1ª série do ensino médio, sendo que cada

turma tem o número máximo de 15 alunos. As aulas são ministradas por um aluno bolsista do

Curso de Licenciatura em Matemática e supervisionadas por dois professores, sendo um o



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coordenador do projeto (professor do Departamento de Matemática – Unesp/Bauru) e um

professor de matemática da Escola.

A participação do aluno de graduação, a princípio, se faz necessária para o

desenvolvimento do projeto na sua totalidade, procurando envolvê-los em situações

cotidianas da docência. Esperamos também, como um segundo objetivo, que o projeto

funcione como um verdadeiro laboratório de ensino de aprendizagem da docência. Todo o

conhecimento teórico adquirido em sala de aula pelo bolsista estará sendo aplicado na prática.

Suas principais atividades serão: construção do material didático, preparar e ministrar as

aulas, elaborar estratégias de ensino e aprendizagem, preparar e aplicar as avaliações e

analisar os resultados obtidos.

Os conteúdos abordados neste projeto são:

5ª série do Ensino Fundamental: Conjunto dos Números Naturais, dos Números Inteiros e dos

Números Racionais: Operações e suas propriedades: adição, subtração, multiplicação e

divisão. Potenciação e radiciação e suas propriedades.

1ª série do Ensino Médio: Função: definição e gráficos, crescimento e decrescimento,

domínio e imagem, função composta, funções sobrejetora, injetora e bijetora, função inversa.

Função polinomial do 1º grau: definição e gráficos, zero da função e equação do 1º grau.

Através de um levantamento do professor orientador atuante na escola o projeto dá

prioridade aos alunos com maior dificuldade e menor desempenho escolar em matemática das

séries já mencionadas. O que não impede a participação de outros interessados, desde que não

ultrapasse a quantidade de 15 alunos por turma, pois com este número por turma, é possível

atender de forma individual aqueles que necessitavam ou solicitem a intervenção da bolsista.

Através de situações problemas os alunos vão construindo os conceitos e aplicando-os

de forma natural. Não são ministradas aulas expositivas tradicionais, pois existe a participação

coletiva dos alunos e gradativamente os conceitos são construídos.



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Resultados

O projeto "Metodologia para o Ensino da Matemática baseada na Motivação" está em

andamento e sendo aplicado semanalmente na Escola. É importante ressaltar que este é o

primeiro ano que o projeto é aplicado em uma escola, por isso os resultados estão sendo

avaliados de acordo com o desenvolvimento de cada aluno.

Durante esses meses de aplicação do projeto, notou-se um bom progresso dos alunos.

Através de avaliações feitas e analisando o próprio comportamento dos alunos nas aulas,

observamos uma grande melhoria no entendimento da disciplina, inclusive o Professor de

Matemática e também os pais dos alunos têm nos relatado a melhora do desempenho escolar

dos mesmos. Contudo, a melhor constatação foi observar que, ao aprenderem tais conteúdos,

sentiram-se motivados e capazes de aprender e gostar da matemática, deixando esta de ser um

"bicho de sete cabeças", mas algo prazeroso e desmistificado.

Considerações Finais

Apesar de ser um projeto que visa fundamentalmente auxiliar os alunos na

aprendizagem da Matemática, inicialmente tivemos algumas dificuldades em motivá-los a

participarem das aulas, sendo que por falta de participação dos alunos do 1º ano do ensino

médio tivemos que mudar a série, e hoje o projeto é aplicado aos alunos do sexto e nono ano

do ensino fundamental, que estão frequentando as aulas e mostrando muito interesse em

aprender Matemática.

Referências

D'AMBROSIO, U. Educação matemática: da teoria à prática. Papirus Editora, 1996.



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FREINET, C. As técnicas Freinet da escola moderna. Lisboa: Estampa, 1975.

FREIRE, P. Educação e atualidade brasileira. São Paulo: Cortez Editora, 2001.



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RELATOS NO APRENDIZADO DE MATEMÁTICA ATRAVÉS DOS

JOGOS “FECHA A CAIXA” E “AVANÇANDO COM RESTO”

Ana Beatriz Alves Ribeiro da Silva, Lais Fernanda Macedo Rosa (alunas), Cristiane

Alexandra Lázaro, Tatiana Miguel Rodrigues (orientadoras). Campus Bauru, Unidade Faculdade de Ciências, curso Matemática, e-mail: [email protected],

[email protected].

Palavras chaves: jogos; ensino; matemática.

Resumo

A aplicação dos jogos em sala de aula pretende ser mais um recurso metodológico para

promover a aprendizagem matemática. Utilizamos vários jogos nas escolas públicas de

Bauru, estado de São Paulo, como forma de experiência e resposta dos alunos perante os

jogos. Vamos tratar neste trabalho dos jogos “Fecha a Caixa” e “Avançando com o resto”.

Introdução

Quando pensamos em jogos, logo nos remetemos a ideia de disputa, estratégia,

competição e diversão. Entretanto, quando o objetivo é a aprendizagem é preciso que

estas sensações sejam superadas para assim possibilitar aos alunos a apropriação de novos

conhecimentos associados aos que eles já possuem. As dificuldades manifestadas na

aprendizagem da disciplina de matemática estão intimamente ligadas à necessidade de novas

práticas pedagógicas que colaborem com o professor na aprendizagem dos seus alunos.

Ao jogar com os colegas o aluno faz negociações, estratégias, ouve a opinião dos outros,

argumenta, o que torna possível estruturar seu raciocínio.

As dificuldades manifestadas na aprendizagem da disciplina de matemática estão

intimamente ligadas a necessidade de novas práticas pedagógicas que auxiliem o professor a






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ajudar seus alunos a aprender. A aplicação dos jogos em sala de aula pretende ser mais

um recurso metodológico para promover a aprendizagem matemática. O jogo Avançando

com o resto foi elaborado pelos alunos da Universidade Estadual Paulista (UNESP/Bauru)

em colaboração com seus professores. Sete escolas foram escolhidas para a aplicação, sendo

seis escolas públicas e uma particular. As aplicações dos jogos nas escolas foram feitas

pelos alunos responsáveis pelo seu desenvolvimento, bem como pelos professores de

matemática responsáveis pela sala selecionada para aplicação.

Experiência Desenvolvida

Os jogos foram confeccionados durante as reuniões do Projeto de Extensão de Jogos.

Estes, em particular, foram feitos em EVA.

Podemos descrever o jogo “Avançando com o resto” da seguinte forma: É um jogo

direcionado teoricamente a alunos dos anos iniciais do ensino fundamental, mas devido ao

cenário atual de sala de aula foi aplicado até nos anos finais do ensino. Para que o jogo flua é

necessário que os alunos já tenham se apropriado dos conhecimentos da multiplicação e da

divisão. O material usado para o jogo consiste de um tabuleiro, que pode ser

confeccionado em EVA, dois dados de seis faces, e um marcador para selecionar as casas

que andamos. Pode ser jogado em equipe ou individual. Após o professor explicar as

regras do jogo, um aluno joga o dado, verifica se o número sorteado é divisível pelo número

que está no tabuleiro. Caso seja divisível e não sobre resto, o aluno não move seu marcador.

Caso sobre resto, ele anda a quantidade de casas igual a este número.

Já o jogo “Fecha a Caixa” pode ser jogado de diversas maneiras. Uma delas é a da

soma, a qual escolhemos trabalhar, assim, como o tabuleiro também tem várias versões, ele

pode ser feito com E.V.A. e os números de 1 até 10 a caneta, usando 20 marcadores



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no mínimo, papelão e tampinhas de caixa de leite ou um tabuleiro pronto, feito de madeira

com um campo para jogar os dados.

Resultados e discussão

Durante a aplicação foi possível observar as reações dos alunos, a interação com os

colegas e com os professores, as intervenções feitas pelos aplicadores sempre que os alunos

tinham dúvida, as orientações feitas pelo professor da classe.

Os jogos foram aplicados em diversas escolas com alunos de todos os anos do

ensino fundamental e 1° e 2° ano do ensino médio. Em consequência da diversidade de

escolas e turmas trabalhadas tivemos o respaldo claro que nos mostrou a importância dos

jogos no ensino de matemática que vai muito além do papel motivador que a disputa em

um jogo já trás consigo.

Conclusão

Em todas as escolas em que foram aplicados os jogos foi muito gratificante perceber

que o jogo proporcionou novos conhecimentos, colaboração entre os alunos, motivação para

participação, competitividade e muita diversão e o que foi mais importante diagnosticou

entraves na aprendizagem que precisam ser retomados para que os alunos avancem.

Enfim, ficou nítido para os participantes dessa experiência que os jogos

matemáticos, além de favorecem a aprendizagem podem também tornas as aulas mais

dinâmicas, participativas, envolvente e principalmente, prazerosa.



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Referências

BARBOSA, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de Matemática.

Sociedade Brasileira de Matemática, 2004.

BORIM, J. Jogos e resoluções de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática. 5ª

edição. São Paulo: CAEM/IME-USP, 2004, 100p.

GIOVANNI, J. R.; CASTRUCCI, B. ; GIOVANNI JR, J. R. A Conquista da Matemática.

FTD, 1996.

GRANDO, R. C. O jogo e a matemática no contexto da sala de aula. São Paulo:

Paulus, 2004.

IMENES; JAKUBO; LELLIS. Coleção: Para que serve Matemática? Semelhança. Atual,

1992.

LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. Aprendendo e Ensinando a Geometria. Atual,1998.

RAMOS, L. F. Coleção: A Descoberta da Matemática. Ática, 1999.

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO - SÃO PAULO. Experiências Matemáticas –

7ª Série e 8ª Série. São Paulo: SE/CENP, 1998.

SELVA, R. K.; CAMARGO, M. O jogo matemático como recurso para a construção do

conhecimento. X Encontro Gaúcho de educação matemática. Ijuí/RS, 2009.



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SOBRE A APLICAÇÃO DE MÉTODOS DE PONTOS INTERIORES E

EXTERIORES EM PROBLEMAS DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO

REATIVO

Aluno: Rafael Ramos de Souza, Orientador: Prof. Dr. Antonio Roberto Balbo,

Co-orientador: Prof. Dr.Leonardo Nepumoceno, Colaborador: Ricardo Bento Nogueira

Pinheiro Universidade Estadual Paulista - UNESP, Bauru, Programa de pós-graduação em Engenharia Elétrica,

[email protected]

Palavras-chaves: Método Primal-Dual de Pontos Interiores e Exteriores; Função Barreira Logarítmica

Modificada; Fluxo de Potência Ótimo Reativo.

Resumo

Este trabalho visa à investigação e implementação do método Primal-Dual de Pontos

Interiores e Exteriores, explorando o procedimento relativo à função Barreira Logarítmica

Modificada e as estratégias de Convergência Global e Extrapolação Cúbica (MPDPIE-CG-

EC). O método MPDPIE-CG-EC, será aplicado à resolução do Problema de Fluxo de

Potência Ótimo Reativo (FPOR), que é um problema de otimização não-linear, com função

objetivo e domínio não-convexo, da área de sistemas elétricos de potência. Esse tem o

objetivo de calcular determinadas variáveis de controle de reativos do sistema de potência

que minimizem um critério de otimização relacionado à minimização das perdas de potência

na transmissão. A estratégia de Convergência Global é considerada para auxiliar o método

na determinação de direções factíveis de descida, desde que o problema de FPOR é não-

convexo e dificulta a obtenção dessas e a estratégia de Extrapolação Cúbica auxilia o método

na operacionalização desse com pontos exteriores à região viável e à região viável relaxada

pelo procedimento de Barreira Logarítmica Modificada. Através da implementação desse

método, realizada em Matlab, pretende-se determinar soluções ótimas, pelo menos locais,

para o sistema de potência elétrico visando contribuir para um melhor desempenho do




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sistema de transmissão e geração, atender as restrições físicas e operativas desse através de

suas variáveis de controle, visando contribuir na redução de preços ao consumidor e auxiliar

na eficiência da distribuição de energia do país.

Introdução

Na Engenharia Elétrica, dentre os problemas de otimização restritos não-lineares

destaca-se o Problema de Fluxo de Potência Ótimo (FPO), proposto no início da década de

sessenta por Carpentier, a partir do problema de despacho econômico.

O FPO é um problema de otimização não-linear e não-convexo da área de sistemas de

potência, que tem o objetivo de calcular determinadas variáveis de controle que

minimizem um critério de otimização do sistema de potência, como: custo de geração de

energia, perdas na transmissão, otimização do perfil de tensão.

O problema de FPO leva em consideração as restrições físicas e operacionais dos

sistemas de transmissão e geração.

Quanto ao FPO pretende-se otimizar algum critério relacionado aos reativos-tensões,

que, nesse caso relaciona-se à minimização das perdas na transmissão, esse problema é

denominado de Fluxo de Potência Ótimo Reativo (FPOR).

Devido à relevância do problema de FPO para a área de sistemas elétricos de

potência, é proposta a investigação e implementação do Método Primal-Dual de Pontos

Interiores e Exteriores, que envolve a função Barreira Modificada, bem como estratégias de

Convergência Global e Extrapolação Cúbica, desenvolvidas para esses, os quais serão

implementados em linguagem de programação MatLab e aplicados à resolução dos

problemas em destaque, visando a melhoria de procedimentos de resolução desses em

comparação com outros resultados já divulgados na literatura.



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Objetivos

Neste trabalho será investigado e implementado o Método Primal-Dual de Pontos

Interiores, com procedimentos híbridos envolvendo a função Barreira Modificada (para

inicializar o método com pontos exteriores à região viável), com estratégias de Convergência

Global e Extrapolação Cúbica. Objetiva-se aplicar esse método à resolução do problema de

Fluxo de Potência Ótimo Reativo (FPOR), que pretende otimizar algum critério relacionado

aos reativos-tensões, o qual, nesse projeto relaciona-se à minimização das perdas na

transmissão.

A estratégia de Convergência Global é considerada para auxiliar o método na

determinação de direções factíveis de descida, desde que o problema de FPOR é não-convexo

e dificulta a obtenção dessas.

A estratégia de Extrapolação Cúbica auxilia o método na operacionalização desse com

pontos exteriores à região viável e à região viável relaxada pelo procedimento de Barreira

Logarítmica Modificada.

Pretende-se investigar a teoria dos métodos, seus esquemas iterativos e sua

implementação computacional em linguagem de programação MatLab.

A estratégia de Extrapolação Cúbica terá sua viabilidade verificada para o auxilio na

resolução do problema com pontos iniciais infactíveis à região viável relaxada.

O método implementado será explorado em problemas de FPOR encontrados na

literatura com Tap´s definidos por variáveis contínuas e os resultados obtidos serão

comparados com os disponíveis nesta.



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Metodologia

Inicialmente será realizado levantamento bibliográfico sobre o método Primal-Dual de

Pontos Interiores e Exteriores, associado ao procedimento relativo à função Barreira

Logarítmica Modificada e as estratégias de Convergência Global e Extrapolação Cúbica

(MPDPIE-CG-EC), de acordo com a ampla bibliografia apresentada, bem como do modelo

matemático do problema de Fluxo de Potência Ótimo Reativo, apresentado em Carpentier

(1962), com os tap’s dos transformadores variando continuamente. Será feita a investigação

teórica e implementação computacional do método Previsor-Corretor Primal-Dual de Pontos

Interiores, baseando-se em Karmarkar (1984), Balbo et al (2012), Mehrotra (1992), Wu e

Debs (1994), bem como dos métodos de pontos exteriores, que exploram a função Barreira

Logarítmica Modificada, para a definição de um método de pontos interiores/exteriores,

baseado em Polyak (1992, 2002), Griva (2004) e Souza et al (2009); Investigação teórica e

incorporação da estratégia de Convergência Global e de Extrapolação Cúbica, no método

proposto baseado em Pinheiro (2012) e Pinheiro et al (2012); Implementação do algoritmo do

método de pontos interiores/exteriores em linguagem de programação MatLab; Aplicação da

implementação feita desse método em problemas de FPOR da literatura com Tap´s definidos

por variáveis contínuas, explorando o procedimento de extrapolação cúbica associada aos

métodos de pontos exteriores e comparação entre os resultados obtidos com aqueles

encontrados em outras publicações.

Resultados

Os resultados da resolução do FPOR serão apresentados após a investigação,

proposição e implementação computacional em MatLab do método MPDPIE-CG-EC

proposto. Esse será aplicado em casos base de problemas de FPOR e comparado com outros



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resultados amplamente apresentados na literatura. Pretende-se também compará-los com

pacotes computacionais como o GAMS e o Knitro.

Conclusões

A pesquisa sobre produção de energia elétrica e transmissão da potência gerada

visando o atendimento de demanda de energia, de tal forma a minimizar as perdas de

potência ativa na transmissão da mesma, é um tema de interesse do país e pode ser tratado

através da modelagem matemática e do recurso de métodos numéricos de otimização não-

linear e não- convexa para a determinação de resultados consistentes, que atendam as

restrições operacionais do complexo sistema de geração e distribuição de energia.

Nesse sentido, o método MPDPIE-CG-EC será investigado à resolução do modelo

matemático relativo ao Problema de FPOR, que é um problema de otimização não-linear,

com função objetivo e domínio não-convexo, da área de sistemas elétricos de potência. Esse

tem o objetivo de calcular determinadas variáveis de controle de reativos do sistema de

potência que minimizem um critério de otimização relacionado à minimização das perdas de

potência na transmissão. Através da implementação desse método, realizada em MatLab,

pretende-se determinar soluções ótimas, pelo menos locais, para o sistema de potência

elétrico buscando um melhor desempenho do sistema de transmissão e geração e o

atendimento das restrições físicas e operativas desse através de suas variáveis de controle,

visando contribuir na redução de preços ao consumidor e auxiliar na eficiência da

distribuição de energia do país.



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Referências

Balbo, A. R.; Souza, M. A. S.; Baptista, E. C.; Nepomuceno, L. A predictor-corrector

primal-dual interior point method for solving the multi-objective environmental

economic dispatch, 2012.

Griva, I. A Numerical experiments with an interior-exterior point method for nonlinear

programming. Journal of Computational Optimization and Applications, vol. 29, p. 173

– 195, 2004.

Griva, I.; Polyak, R. A. Q-superlinear convergence of an exterior-point method for

constrained optimization. Journal of Global Optimization, v. 40, 679-695, 2008.

Griva, I.; Polyak, R. A. Primal–Dual Methods for Nonlinear Constrained Optimization,

John Wiley & Sons, Inc., 2010.

Karmakar, N. A new polynomial time algorithm for linear programming. Combinatória

4,373-395, 1984.

Mehrotra, S. On implementation of a primal-dual interior point method. SIAM Journal

on Optimization, 2., pp. 575-601, 1992.

Pinheiro, R. B. N.; Balbo, A. R.; Baptista, E. C.; Nepomuceno, L. Um método primal-

dual de pontos interiores e exteriores barreira logarítmica modificada com estratégias

de extrapolação cúbica e convergência global. In: 10th World Congress on Computational

Mechanics -WCCM 2. Computation Mechanics Proceedings, p.1 – 19, São Paulo – SP, 2012.



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Pinheiro, R. B. N. Um método previsor-corretor primal-dual de pontos interiores

barreira logarítmica modificada, com estratégias de global e de ajuste cúbico, para

problemas de programação não-linear e não-convexa. Dissertação de Mestrado, Programa

de Pós- Graduação em Engenharia Elétrica, FEB-Unesp de Bauru, 2012.

Polyak, R. A. Modified barrier functions. Mathematical Programming, v. 54, n. 2, p.

177 – 222, 1992.

Polyak, R. A. Nonlinear rescaling vs. smoothing technique in convex. Optimization,

Math. Program., v. 92, 197–235, 2002.

Sousa V.A.; Baptista, E. C.; Costa, G. R. M. Loss minimization by the predictor-corrector

modified barrier approach. Electric Power Systems Research, 2009: 803-808.

Wu, Y. C.; Debs, A. S.; Marsten, R. E. A direct nonlinear Predictor-Corrector Primal-

Dual Interior Point Algorithm for Optimal Power Flows. IEEE Transactions on Power

Systems, 9, No.2, 876-883, 1994.



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SOFTWARES EDUCACIONAIS NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA:

POSSIBILIDADES PARA O PROFESSOR

Aluno: Guilherme Augusto Astolfi Silvestre, Orientador: Ivete Maria Baraldi

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Bauru, Mate mática, [email protected]

Palavras-chave: Formação de professores; aulas de matemática; tecnologias digitais

Resumo

A tecnologia está cada vez mais presente na vida cotidiana das pessoas. Não é de agora que

a ideia de utilizá-la como prática de ensino tem se concretizado, porém, a abordagem desses

auxiliares na educação toma como dúvida sua própria definição. Afinal, como os softwares

educacionais são apresentados em sala de aula? Existe um padrão na escolha deles, ou isto é

feito de forma pessoal? Como são categorizados cada um dos softwares usados em sala de

aula? Tentaremos explicar essas dúvidas através do estudo feito na literatura de mídias

alternativas na educação matemática e no levantamento dos softwares disponíveis para os

professores de Matemática, via Diretoria de Ensino de Bauru. Também ilustraremos um

pouco o programa do governo do estado de São Paulo desenvolvido pela Secretaria de

Estado da Educação chamado Acessa Escola que nos ajudou com a progressão deste projeto

na escolha de softwares educacionais para a aprendizagem de matemática nas escolas.

Introdução

Em meu tempo de ensino fundamental, lembro que poucos softwares educacionais

foram utilizados em sala de aula, principalmente nas aulas de Matemática. A grande maioria

ou eram softwares recreativos, ou softwares do pacote Office básico da Microsoft, tais como

Microsoft Word, ou o próprio Excel. No entanto, quando tratamos de fontes governamentais



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como, por exemplo, o “Banco Internacional de Objetos Educacionais” (BIO E), temos a

apresentação de inúmeros softwares voltados para a educação de níveis de ensino

fundamental. Isso nos leva a indagar sobre a real participação de tais programas em sala de

aula. Ao longo do desenvolvimento desse trabalho, esperamos abordar os aspectos que

definem um software como educacional em sua concepção, tanto com sua finalidade, como na

utilização real do mesmo, se possível, particularizaremos, restringindo estes mesmos aspectos,

partindo de um software em específico, para abordá-lo quanto ao seu uso, objetivos finais, seu

público alvo e verdadeira efetividade nas aulas de Matemática do ensino fundamental. Para

isso, teremos como referências pesquisas na área de Educação Matemática, especificamente

as que abordam o uso das TDIC (Tecnologias Digitais Informáticas e de Comunicação) no

ensino fundamental de Matemática. Ainda, faremos um levantamento dos softwares

disponíveis para os professores de Matemática, via Diretoria de Ensino de Bauru, com o

objetivo de descrever alguns deles e estudar suas potencialidades para o uso em sala de aula

de Matemática.

Neste trabalho apresentado, pretendemos esboçar os resultados iniciais obtidos com o

desenvolvimento da pesquisa descrita acima.

Metodologia

A pesquisa apresentada é de cunho qualitativo e envolve pesquisa bibliográfica,

documental e análise de softwares. Dessa maneira, apresentará um estudo teórico sobre a

temática proposta. Para tanto, já está sendo efetuada uma revisão de literatura pertinente para

que possamos ter uma compreensão das características que um software deve possuir para

poder ser definido como educacional. Ainda, foi realizado um levantamento dos softwares

disponíveis na rede pública de ensino estadual e, se possível, será verificado quais são mais

utilizados pelos professores de Matemática. Esse levantamento é realizado por meio de



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pesquisa documental e visitação na Diretoria de Ensino de Bauru, como também através do

site da Secretaria de Educação Estadual. Desses softwares disponíveis, serão escolhidos

alguns deles para que sejam, segundo nossa compreensão elaborada, analisados quanto sua

classificação como educacional. Por fim, serão verificadas as possibilidades dos softwares

analisados quanto seus usos em sala de aula de Matemática. Acredita mos que, futuramente a

partir desse projeto, será efetuado um outro estudo, com atividades práticas, utilizando os

softwares abordados nessa pesquisa.

Primeiros resultados e algumas considerações

Inicialmente, separamos um material de leitura para entender como a Educação

Matemática trata o uso das TDIC (Tecnologias Digitais Informáticas e de Comunicação) em

um contexto geral, e como ela é descrita para que efetivamente pudéssemos ter uma base

teórica ao iniciarmos nossa definição de software educacional.

Definimos então, que software de computador para o nosso trabalho, é o resultado

final da compilação de linhas de códigos para formar o que chamamos de “programa de

computador”, ou seja, uma aplicação que realiza tarefas de acordo com a interação do usuário.

Com esta definição podemos entender que o software é algo que torna o computador

funcional, diferente do hardware que é a parte física tais como mouse, teclado, monitor entre

outros, o software é tudo o que faz a máquina funcionar de acordo com o que desejamos que

ela o faça. Assim podemos expandir esta noção não só para o computador em si só, mas para

basicamente qualquer aparelho eletrônico que permita uma interação através de um apoio

visual, tais como celulares, tablets e outros.

Partindo deste ponto com uma definição do que é software, pretendíamos classificar

softwares quanto ao seu valor educativo, em outras palavras, softwares feitos com o propósito

de educar, e softwares feitos sem esse propósito, e assim poderíamos criar uma métrica entre



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esses dois tipos distintos. No entanto, descobrimos que a tendência é classificar softwares

quanto sua eficácia sendo educacionais e não quanto a sua rotulação. Software educacional ou

software educativo, seria todo programa voltado a serviço da disseminação de conteúdos com

o objetivo de que haja uma aprendizagem por parte do usuário através de uma metodologia

sobre algum conteúdo pré-estabelecido, seja ele explícito ou não. No entanto, desde que exista

uma possibilidade de concepção educacional, ou um processo educacional mesmo que não

intencional, podemos considerar o software como educativo, mesmo que esta não fosse sua

finalidade principal desde o início. Em outras palavras, a ideia de um software educacional

não é limitar o software para ser especificamente desta área, muito pelo contrário, qualquer

software que no fim das contas consiga contribuir para o enriquecimento da aprendizagem de

alguém, também pode ser considerado um software educacional mesmo sem ter sido criado

para isso. Logo percebemos que um software não educacional pode tornar-se um software

educacional a partir do momento que alguém consiga através de uma proposta pedagógica

encaixá-lo em uma dinâmica onde de fato esteja claro um objetivo de aprendizagem por um

processo metodológico. Ou seja, não existe um padrão de métrica que defina fixamente um

parâmetro para dizer se tal software é rigorosamente educacional ou não educacional.

Podemos entender com isso que o software é, assim como diversas outras, uma

possível ferramenta mediadora do conhecimento, por exemplo, uma caneta é uma ferramenta

educacional desde que você a utilize com uma finalidade educativa, ou seja, tal instrumento é

o ponto do eixo que define sua essência a partir do momento que é utilizado, e não no

momento de sua criação. Ao usar uma caneta, o usuário pode estar fazendo anotações

rotineiras como as das compras no supermercado, como pode estar fazendo uma dissertação

sobre algum tema de área epistemológica. Ambas as formas de utilização da caneta, podem

ser vistas como aspecto de aprendizagem, porém, na segunda opção, a caneta foi utilizada

propositalmente com este interesse tornando-a assim definitivamente um instrumento



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educacional. Softwares também são maleáveis e moldados de acordo com sua utilização,

portanto quando são de origem ambígua quanto a educação só se tornam instrumento

mediador do conhecimento, quando as intenções das pessoas que os utilizam, estejam

vinculadas a um processo educacional.

Quando o aluno usa o computador para construir o seu conhecimento, o computador

passa a ser uma máquina para ser ensinada, propic iando condições para o aluno

descrever a resolução de problemas, usando linguagens de programação, refletir

sobre os resultados obtidos e depurar suas ideias por intermédio da busca de novos

conteúdos e novas estratégias […]. A construção do conhecimento advém do

fato de o aluno ter que buscar novos conteúdos e estratégias para incrementar o

nível de conhecimento que já dispõe sobre o assunto que está sendo tratado via

computador (VALENTE, 1999, p.2).

Isso nos revelou um fator muito importante que passou pela vida de muitos

professores na migração do não digital para o digital, a chamada zona de risco. A zona de

risco é a ideia de que o professor ainda não domina totalmente a mídia que irá usar de forma

alternativa em sua aula tal como, computadores, DVDs, projetor entre outros, e dessa forma

ele muitas vezes prefere abrir mão dessa mídia para dar uma aula mais tradicional, na qual ele

domine de forma eficiente seus métodos e práticas de ensino, ou seja, para usufruir de uma

mídia alternativa, o professor se insere na chamada zona de risco (que muitas vezes é evitada)

para possibilitar novas visões aos alunos,“ ao adentrarmos num ambiente informático, temos

que nos disponibilizar a lidar com situações imprevisíveis…” (BORBA e PEN TEADO,

2001, p.63).

Além disso, ficou claro através das explicações de Borba e Penteado que o

pensamento cognitivo, que nos leva a interpretar e chegar a conclusões sobre algum problema

pode ser desenvolvido e trilhado por diferentes caminhos dependendo das diferentes mídias



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que nos proporcionam visões diferentes do mesmo problema. Metaforicamente, os autores

descreveram esses caminhos como as interações de ser- humano-computador, ser-humano-

lápis dentre outras.

Isso nos revela que vale a pena, então, o professor passar pela “zona de risco” citada

acima para abrir os diferentes caminhos para que seu aluno possa construir tal conhecimento.

Agora, com uma definição mais clara sobre softwares educacionais, e tendo em vista

alguns dos problemas na migração para o universo informativo tecnológico da educação,

partimos para a Diretoria de Ensino de Bauru para sermos informados a respeito de alguns

softwares educacionais na área da matemática que são utilizados por escolas da cidade e

fazermos um levantamento das características desses softwares. Essa visita nos levou até

Meiriele Cristina Calvo (Professora Coordenadora do Núcleo Pedagógico - Matemática), que

nos fez entender melhor o funcionamento de um programa governamental que colabora com o

aprofundamento de todos os pontos que destacamos até aqui, o Acessa Escola.

O Acessa Escola é um programa do Governo do Estado de São Paulo, desenvolvido

pela Secretaria de Estado da Educação com o objetivo de promover a inclusão digital e social

dos alunos e professores. O programa deriva na instalação de salas de informática nas escolas

da rede pública do estado, chamadas salas do Acessa Escola. Tais salas são dotadas de

computadores onde os alunos podem acessar desde que exista um responsável da área na sala

através do seu código criado previamente, e um computador servidor que é responsável pelo

monitoramento completo dos outros computadores da sala do Acessa Escola. Até aí parece

uma sala de informática normal, onde um computador, no caso, o servidor, é o responsável

pelos demais, e onde os alunos possuem senhas específicas para acessarem os computadores,

no entanto, a ideia por trás do projeto é muito maior. Como dissemos anteriormente nesse

trabalho, existem barreiras das quais muitos professores se distanciam pelo receio de não

dominarem a tecnologia, e, portanto, teriam que atuar em uma zona de risco. No projeto do



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Acessa Escola, todos os computadores são dotados de um software chamado BlueLab que

serve para a conexão interna fazer o gerenciamento do computador servidor com os outros,

podendo fazer inúmeras tarefas, tais como: travar a tela do aluno para a tela do computador

servidor e mostrar como se deve fazer o trabalho, chamar atenção, enviar arquivos para os

demais computadores, entre outros. Além do BlueLab, os computadores vem com pacote

Office instalado e duas pastas. Uma pasta chamada ferramentas especiais, que é dotada de

softwares para alunos com deficiência visual, e outra pasta chamada ferramentas educativas.

Na pasta ferramentas educativas temos trinta softwares diferentes para as diversas disciplinas

do ensino fundamental e médio. Em outras palavras, a sala do Acessa Escola, é uma espécie

de sala de informática padronizada onde os alunos só acessam os computadores com seus

respectivos números de registro que é individual e se houver um responsável na sala para

tomar controle do computador servidor.

Entendemos que, softwares educacionais que estão disponíveis na rede pública são

acessíveis no extremo norte, ou no extremo sul do estado, pois o programa Acessa Escola

padroniza as salas de informática das escolas da Secretaria de Educação de São Paulo.

Em outras palavras um professor que sempre trabalha com o mesmo software e tem o

receio de não entender como funciona os softwares de outra escola, e por isso evita a inclusão

digital dele próprio e dos alunos, temendo entrar na chamada zona de risco descrita

anteriormente, não tem mais este problema, afinal todos os computadores estão com os

mesmos padrões, os mesmos softwares, o mesmo BlueLab, os mesmos parâmetros de serem

usados não importando onde você esteja.

Destacamos três softwares educacionais na área da matemática para elaborarmos

detalhadamente como eles são abordados e que estão entre os softwares selecionados pelo

Acessa Escola. São eles Geogebra, Graph e Poly. O estudo deles é a fase seguinte da nossa

pesquisa.



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Até o momento, foram estas atividades desenvolvidas e as considerações possíveis de

serem traçadas.

Referências

BRASIL. BIOE. Banco Internacional de Objetos Educacionais. Ministério da Educação,

MEC. VALENTE, J. A. (org.). O Computador na Sociedade do Conhecimento. Campinas:

UNICAMP/NIED, 1999.

BORBA, M. C.; P ENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. Belo

Horizonte: Autêntica, 2001.

BICUDO, M. A. V. (org.) Pesquisa e m Educação Matemática: Concepções e

Perspectivas. São Paulo: Edunesp, 1999.



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TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO (TICs) E O

ENSINO DA MATEMÁTICA DE FORMA DESCONTRAÍDA AOS

ALUNOS DA EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS (EJA)

Jorge Vicente Oliva Gonçalves

Faculdade de Ciências da Universidade “Julio de Mesquita Filho”, Campus Bauru, Curso: Matemática.

E-mail : [email protected]

Palavras - chave:TICs; Vídeo Aula; Matemática na EJA.

Resumo

O trabalho apresenta considerações acerca dos recursos tecnológicos como ferramenta na

disciplina de Matemática, especificamente na Educação de Jovens e Adultos (EJA). Ao

conhecer a realidade da EJA, surgiu uma preocupação: o problema de aprendizagem da

disciplina de Matemática sofrido durante o ensino regular, não apenas com o conteúdo, mas

sim com a formalização do conhecimento. Por isso, foram elaborados vídeos aulas para

sanar tal defasagem. Canal criado no Youtube, intitulado por: Matemática Descomplicada.

Vídeos esses que podem ser um referencial para o aluno continuar seus estudos, entendendo

melhor aquilo que ficou com lacuna. Observações com linguagem simples, conteúdo

contextualizado, abordagem descontraída, diversos exemplos e demonstrações de situações,

servindo de ferramenta para auxilio daqueles que, por algum motivo, não lembram ou não

aprenderam, pois muitos procuram salas de aula da EJA com diploma de primeiro grau, na

maioria das vezes, com dez anos ou mais fora da escola, dificultando a compreensão,

continuidade ou conclusão dos estudos. Nesse sentido, os recursos tecnológicos na

elaboração das vídeo aulas, são ferramentas preciosas que contribuem e auxiliam à

aprendizagem dos alunos da EJA.




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Introdução

Ensinar Matemática ainda constitui um desafio muito grande, pois a maioria dos

alunos tem uma visão distorcida da disciplina e os tornam apáticos, desinteressados, como

também alguns professores utilizam um ensino tradicional deixando uma lacuna na

aprendizagem. A matemática é vista, pela maioria, como a disciplina que provoca medo nos

alunos.

Por outro lado, a escola não pode ignorar o que se passa no mundo e as Tecnologias

de Informação e Comunicação (TICs) podem ser uma das ferramentas utilizadas pelo

professor para elaborar atividades que atendam as necessidades dos alunos na aprendizagem

da Matemática.

Considerando que a constante atualização é premente neste mundo moderno se faz

necessário a utilização das TIC’s no ensino educacional, atendendo assim, ao contexto da

escola promovendo a melhoria do sistema de ensino de qualidade, propiciando um

contato mais próximo com utilização do computador nas atividades de ensino, bem como

proporcionando ao aluno uma ferramenta a mais para sanar suas defasagens.

Nessa direção, o trabalho desenvolveu-se utilizando os recursos tecnológicos na

elaboração de vídeo aulas com alguns conteúdos que os alunos apresentam maiores

dificuldades com intuito de proporcionar a todos, estando ou não nos bancos escolares a

possibilidade de aprender o que ficou em defasagem em algum momento.

O trabalho tem como objetivo compartilhar a experiência realizada pelo autor,

professor de Matemática, disponibilizando a ideia do canal contendo as vídeo aulas com a

temática “Matemática Descomplicada”.

O professor de matemática constrói-se como educador nos contextos das práticas

inclusivas e inovadoras. Seu papel é o de buscar estratégias que auxiliem os alunos



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descomplicando para eles o que, na maioria das vezes, é complicado, como também tornando

a aprendizagem prazerosa e significativa.


A LDB em seu Art. 32 destaca que o Ensino Fundamental terá por objetivo a

formação básica do cidadão, mediante I – o desenvolvimento da capacidade de aprender,

tendo como meios básicos o pleno domínio da leitura, da escrita e do cálculo; II – a

compreensão do ambiente natural e social, do sistema político, da tecnologia, das artes e dos

valores em que se fundamenta a sociedade.

Desta maneira, ao se enfatizar na LDB o aspecto da tecnologia na formação básica do

cidadão, destacamos significativo o uso das Tecnologias da Comunicação e da Informação

(TICs) no mundo contemporâneo.

Nos PCNs se encontram diversas indicações da importância das TICs direcionadas às

primeiras séries do Ensino Fundamental. “Apontar a necessidade do desenvolvimento de

trabalhos que contemplem o uso das tecnologias da comunicação e da informação, para que

todos, alunos e professores, possam delas se apropriar e participar, bem como de criticá-las

e/ou delas usufruir”.

A própria LDB e os PCNs destacam sobre a importância das TICs e,

atualmente, muitos são os estudos referentes à disciplina de Matemática e nesse sentido tem

como se pensar em Matemática vinculada aos recursos tecnológicos. Estes podem ser

ferramentas preciosas no trabalho pedagógico salvando os professores de utilizarem apenas

conteúdos de forma tradicional de ensino. Nessa direção a autora Beatriz explica sobre a

típica aula de matemática: “... ainda é uma aula expositiva, em que o professor passa no

quadro negro aquilo que ele julga importante. O aluno copia da lousa para o seu

caderno e em seguida procura fazer exercícios de aplicação.” (D’AMBRÓSIO ,1989).



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A denominação mais expressiva para o ensino tradicional expressa-se na “educação

bancária”, citada por Paulo Freire, como “educação dissertadora”, onde em lugar de

comunicar-se, o educador faz “comunicados” e depósitos que os educandos, meras

incidências, recebem pacientemente, memorizam, repetem. (FREIRE, 1983).

MACHADO (1990) destaca que a matemática é assunto de currículo em todo mundo,

ao lado da “Linguagem Natural”, havendo consenso de que o seu ensino é indispensável.

Porém, afirma que a falta de clareza com relação ao papel que a Matemática deve

desempenhar no corpo de conhecimentos sistematizados pode ser o principal

responsável pelas dificuldades crônicas de que padece seu ensino.

Não existe um caminho que possa ser identificado como único e melhor para o ensino

de disciplinas, em particular, da Matemática. No entanto, conhecer diversas possibilidades de

trabalho em sala de aula é fundamental para que o professor construa sua prática e facilite a

compreensão dessa disciplina.

Segundo Ausubel (apud Moreira 1982) a ancoragem ou assimilação de conteúdo, tem

efeito facilitador para retenção do mesmo. Porém, a importância desse processo não está

apenas na aquisição e/ou retenção de significados, mas inclusive o motivo de implicar em

esquecimento subjacente dessas ideias. Conforme o autor, considera tal processo de

"subsunção", por meio do que ele chama de "princípio de assimilação", o qual é

representado simbolicamente da seguinte maneira:



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Assimilação essa que como um processo, ocorre quando um conceito ou proposição a,

potencialmente significativo, já existente na estrutura cognitiva, definido, por exemplo, como

uma extensão, uma elaboração ou qualificação do mesmo.

Na prática durante o processo de aprendizagem do aluno, várias vezes a dificuldade maior

está não na forma de discriminar, mas sim na contradição encontrada entre conceitos e ideias

que o mesmo já tem em sua estrutura cognitiva.

Metodologia

Materiais: caderno, caneta, canetão e lousa branca.

Equipamentos utilizados: filmadora, tripé, microfone, computador, programa para edição

de vídeo Sony Vegas®.

Estrutura: sala de aula, mesa com cadeira,

Tempo necessário: 6 a 8 horas, que engloba escrever o roteiro da aula, filmar, editar e

postar no canal para que o projeto tenha continuidade.

Resultados alcançados até o momento: criado em 28/06/2014 e com mais de 700

visualizações no canal, com média de 87 visualizações por vídeo. Alunos nas escolas

onde trabalho, indicam conteúdos que deveriam ser abordados no canal, em todas as aulas

que tenho, menciono o canal quando tem algum novo vídeo. Relatos de alunos que dizem

ter entendido e conseguido evoluir as notas em sala de aula.

Resultados

O produto do trabalho desenvolvido em questão, pode ser assistido através do

endereço na internet: https://www.youtube.com/user/mamatetemamatica

https://www.youtube.com/user/mamatetemamatica



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Considerações finais

Atualmente, não se pode mais negar que as TIC's são as marcas da sociedade

contemporânea e estão implicadas nas mudanças das formas de ser, pensar, relacionar-se,

comunicar-se e aprender dos indivíduos.

Esse trabalho busca compartilhar a experiência realizada com vídeo aulas na

disciplina de Matemática como um ensino descomplicado, contextualizado e

significativo ao aluno, como um incentivo à utilização da tecnologia na educação, bem

como sua interação para propor alternativas ao modelo escolar tradicional.

Trabalhar com os saberes matemáticos de forma diferenciada é importante para que a

matemática não seja exclusivamente um conjunto de regras e algoritmos, e por outro lado, há

necessidade de ter o olhar cuidadoso porque a matemática pode ser decisiva nos processos de

inclusão e exclusão escolar.

Em se tratando dessa disciplina, é essencial que o professor amplie o seu

“olhar” sobre: a educação, o papel da disciplina e as contribuições dos recursos

tecnológicos e dos referenciais teóricos, a própria ousadia na busca de estratégias

inovadoras para modificar a forma equivocada de ensinar matemática substituindo o que é

complicado, que deixa lacunas, para uma forma descomplicada em que ocorra a

aprendizagem e o interesse dos alunos. É necessário assumir o lugar de um professor de

matemática engajado numa busca constante para desmistificar nos alunos o medo da

disciplina, para tanto, utilizar a tecnologia é um caminho, pois se utiliza o visual, o auditivo,

e em se tratando das vídeo aulas, a linguagem descontraída, diferenciada do usual e cotidiana

em salas de aula, poderá atingir o objetivo maior, a aprendizagem dos alunos. O uso de

computadores no ensino da matemática em lugar de reduzir, pode expandir a aprendizagem

dos alunos da EJA.



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A prática educacional deve ser uma constante busca para amenizar a defasagem de

aprendizagem dos alunos e toda mudança que visa favorecer a aprendizagem é viável. Nessa

direção Freire salienta: “Daí que, entre saberes vários fundamentais à prática de educadores e

educadoras, não importa se progressistas ou conservadores, se salienta o seguinte: mudar é

sempre difícil, mas é possível.” (FREIRE, 1996)

Referências

BRASIL. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional. Lei nº 9.394, 1996. Disponível

em:<www.ufrpe.br/download.php?endArquivo=noticias/4248_LDB.pdf>. Acesso em: 12 set.

2012.

BRASIL MEC. Parâmetros Curriculares Nacionais: Linguagens, Códigos e suas

tecnologias. Brasília: MEC/SEMT,1999

D´AMBRÓSIO, Beatriz S. Como ensinar matemática hoje? Temas e Debates, SBEM, ano

II, n. 2. 1989

FREIRE, Paulo. Pedagogia do Oprimido. 12ª Edição, Rio de Janeiro, Paz e Terra, 1983.

Pedagogia da indignação: cartas pedagógicas e outros escritos. São Paulo: Editora UNESP,

2000.

MACHADO, Nilson José. Matemática e Língua Materna (Análise de uma impregnação

mútua). São Paulo, Cortez Autores Associados, 1990.

MOREIRA, Marco Antônio. Aprendizagem significativa: a teoria de David Ausubel. São

Paulo, Moraes, 1982.



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ULTRAFILTROS, QUANTIFICADORES MODULADOS

E TABLEAUX

Helen Gomes da Silva, Luiz Henrique da Cruz Silvestrini (orientador)

UNESP Campus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática, [email protected]

Palavras chave: Lógica matemática não-clássica; Quantificadores Generalizados; Tableaux Analíticos.

Keywords: Modulated Logics; Generalized Quantifiers; Tableaux.

Resumo

Neste artigo abordamos o método de tableaux como um método alternativo ao axiomático e,

para este fim, utilizamos o método das árvores ordenadas diádicas para definir uma

sequência de tableau. Estabelecemos um sistema de tableaux analíticos para a lógica dos

ultrafiltros introduzida por Carnielli e Veloso em 1997. Dessa maneira, o sistema de tableaux

obtido será analisado mediante verificação de sua equivalência com o sistema axiomático

inicial. Para tanto, serão necessários alguns teoremas para verificar que todas as deduções

obtidas em nosso sistema de tableaux também serão obtidas na lógica dos ultrafiltros, via

sistema axiomático e vice-versa.

Introdução

A partir do trabalho de Mostowski (cf. [6]), evidenciou-se o fato de que existem

muitos quantificadores, denominados quantificadores generalizados, que não são definíveis

em termos daqueles usuais da lógica de primeira ordem clássica, e ainda, relevantes pesquisas

têm sido publicadas sobre este tema, dentre elas destacamos o trabalho de Barwise e Cooper

(cf. [1]), o qual investiga a relação entre quantificadores lógicos e a linguagem natural.

A fim de investigar os quantificadores naturais e caracterizar uma forma particular de

raciocínio sob incerteza, em 1999, Grácio introduziu a família das lógicas moduladas (cf. [3]),



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com particulares quantificadores generalizados, denominados quantificadores modulados, e

respectivos modelos matemáticos.

As lógicas moduladas ℒ() são caracterizadas pela inclusão de um quantificador

generalizado , ou seja, um quantificador que se encontra entre o universal e o existencial

, na sintaxe da lógica clássica de predicados de primeira ordem, cuja interpretação semântica

é dada por um subconjunto do conjunto das partes do universo.

Os axiomas de ℒ() são os da lógica clássica ℒ, incluindo os axiomas da

identidade, acrescentando-se os axiomas seguintes para o quantificador :

Ax1: x((x) (x)) (x(x) x(x));

Ax2: x(x) y(y), se y é livre para x em (x);

Ax3: x(x) x(x);

Ax4: x(x) x(x);

As regras de inferência são Modus Ponens e Generalização, como usual na lógica

clássica.

Atualmente, a Teoria da Prova constitui-se como um domínio de investigação

avançado da Lógica, e ainda, compreendida como demonstração automática de teoremas

consolida-se como uma profícua subárea da Teoria da Computação. O estudo das

propriedades estruturais de provas formais constitui o cerne da pesquisa relacionada à Teoria

da Prova, que por sua vez está relacionada com o conceito de decidibilidade desde os tempos

de David Hilbert (1862-1943).

Em 1935, Gerhard Gentzen (cf. [5]) introduziu os sistemas de provas que eram

caracterizados por admitir o princípio das subfórmulas. Além disso, a teoria da prova

desenvolvida por Gentzen consistia em demonstrar a validade de um argumento de uma



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maneira usualmente mais rápida, apenas trabalhando com regras em métodos finitários. Esses

sistemas de provas são hoje conhecidos como Dedução Natural e Cálculo de Sequentes.

Estes trabalhos, de algum modo, inspiraram a criação de um novo método de dedução,

a saber, o método de tableaux, o qual também estabelece estruturas que permitem a

representação e a dedução formal de conhecimento. Um tableau é mais adequado para

implementações em computadores, pois este pode ser definido como uma árvore ordenada

diádica.

O termo tableaux analíticos foi introduzido por Raymond M. Smullyan em 1968 (cf.

[7]). Este método é uma variante dos tableaux semânticos de Evert Willem Beth (1959) que

utiliza o princípio de subfórmula, o qual diz que se uma fórmula tem uma demonstração,

então ela tem uma demonstração na qual ocorrem apenas subfórmulas da fórmula inicial.

Além disso, esta proposta pode ser considerada uma variante dos métodos de Kaarlo Jaakko

Juhani Hintikka, como destaca o próprio Smullyan (1968, p. 15).

Investigaremos a Lógica dos Ultrafiltros, desenvolvida por Carnielli e Veloso (cf. [4]).

Enquanto sistema lógico formal monotônico, a lógica dos ultrafiltros mostrou-se como uma

visão alternativa às lógicas não-monotônicas. Segundo os autores, é inadequada a

identificação de “na ausência de qualquer informação contrária” com “é consistente assumir

que”. A lógica dos ultrafiltros apresenta-se como uma extensão da lógica clássica de primeira

ordem dada pelo acréscimo de um quantificador generalizado .

Objetivos

Apresentamos a lógica modulada dos ultrafiltros por meio de um método dedutivo

alternativo ao axiomático (hilbertiano), neste trabalho, o método de tableaux. Aqui

explicitaremos algumas regras de expansão de tableaux, que possam originar um sistema

dedutivo equivalente ao sistema axiomático da lógica dos ultrafiltros.



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Metodologia

Trata-se de um trabalho teórico, para o qual é desenvolvido um rigoroso estudo dos

textos propostos na bibliografia. A presente pesquisa visa reconhecer o método de tableaux

como um método alternativo ao axiomático e, para este fim, utilizaremos o método das

árvores ordenadas diádicas para definir uma sequência de tableau.

Resultados

Desenvolvemos um sistema de tableaux analíticos de primeira-ordem para a Lógica

dos ultrafiltros. A seguir, apresentamos as regras de expansão para o tableau TL:

A lógica dos ultrafiltros apresenta-se como uma extensão da lógica clássica de

primeira ordem dada pelo acréscimo de um quantificador generalizado , o qual pretende

formalizar a intuição de “quase todos” ou “quase sempre”, e semanticamente interpretado por

uma estrutura denominada ultrafiltro próprio.

Regra [∇] λ(x)

∇xλ(x) ∇xλ(x)

Regra [△] ∇xθ(x)

∇xλ(x) , em que λ θ

∇x(θ(x) λ(x))



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Conclusões

Desenvolvemos um sistema de tableaux analíticos para a lógica de primeira ordem dos

ultrafiltros ℒ() seguindo a axiomatização estabelecida em [4]. Aqui, mostramos algumas

regras de expansão para obter, em um trabalho futuro, a equivalência entre a lógica dos

ultrafiltros na versão axiomática e a formalizada aqui em sistema de tableaux. Desse modo,

todas as deduções obtidas na lógica dos ultrafiltros, via sistema hilbertiano, também poderão

ser obtidas através da lógica dos ultrafiltros no sistema de tableaux e vice-versa. Essa

equivalência também permitirá concluir que a correção e a completude, propriedades já

demonstradas (cf. [4]) para a lógica ℒ(), também são válidas para o sistema de tableaux

proposto.

Referências

[1] BARWISE, J., COOPER, R. Generalized quantifiers and natural language. Linguistics

and Philosophy, 4(2), 1981.

[2] BETH, E. W. The foundations of mathematics. Amsterdam: North Holland, 1959.

[3] CARNIELLI, W. A., GRÁCIO, M. C. C.: Modulated logic and flexible reasoning. Logic

and Logical Philosophy, 17(3):211-249, 2008.

[4] CARNIELLI, W. A., VELOSO, P. A. S. Ultrafilter logic and generic reasoning. In G.

Gottlob, A. Leitsch & D. Mundici (eds.) Computational Logic and Proof Theory (LNCS

1289): 34-53, Berlin, Springer-Verlag, 1997.



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[5] FITTING, M. C. Introduction. In: D´AGOSTINO, M; GABBAY, D.V.; HAHNLE, R.;

POSEGGA, J. (Eds.). Handbook of Tableaux Methods. Dordrecht: Kluwer Academic

Publishers, p. 1- 43, 1999. 5

[6] MOSTOWSKI, A.: On a generalization of quantifiers. Fundamenta Mathematicae, 44:12-

36, 1957.

[7] SMULLYAN, R. M. First-order logic. New York: Springer-Verlag/Dover Publication,

1968.



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UMA INTRODUÇÃO À GEOMETRIA DO TÁXI

Lucas Farias de Menezes e Tatiana Miguel Rodrigues

Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática, [email protected]

Palavras chaves e Keywords: Geometria não-Euclidiana; Geometria do Táxi.

Resumo

Neste trabalho veremos uma Geometria 'um pouco diferente' daquela que estamos

habituados, a Geometria do Táxi. Nela veremos que a menor distância entre dois pontos nem

sempre é como pensamos e através desta conseguimos ter uma noção de que a Geometria

está sim presente no cotidiano.

Introdução e Fundamentação Teórica

A Geometria do Táxi surge, primeiramente, na topologia com base teórica nas

definições de espaços métricos. O responsável pelo surgimento da métrica do táxi foi

Hermann Minkowski, um dos professores de Einstein, que escreveu e publicou um trabalho

sobre um conjunto de métricas diferentes, incluindo o que agora é conhecido como a métrica

da Geometria do Táxi. Esta Geometria apresenta muitas propriedades semelhantes à

Euclidiana e utiliza-se das mesmas definições para ponto e reta. A taxi-distância (distância na

Geometria do Táxi) é sempre positiva e só vale zero se os pontos forem coincidentes, é

simétrica e satisfaz a desigualdade triangular.

A Geometria Euclidiana é baseada na obra Os Elementos de Euclides. Esta obra

consiste de treze livros onde está reunida grande parte do conhecimento matemático sobre

geometria plana, construções geométricas, teoremas de congruência, áreas de polígonos,



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Teorema de Pitágoras, estudo do círculo, problemas relativos à construção de alguns

polígonos regulares, proporções, semelhança de figuras, teoria dos números,

incomensurabilidade, geometria espacial e poliedros regulares. Euclides inicia sua obra

usando definições e cinco postulados. O primeiro postulado considerado por Euclides foi:

“É possível traçar uma linha reta de um ponto qualquer a um ponto qualquer”

O quinto e mais famoso postulado é conhecido como o Postulado das Paralelas:

“Se uma reta, intersectando duas outras retas, forma ângulos interiores do mesmo

lado menores do que ângulos retos, então as duas retas, caso prolongadas indefinidamente,

se encontram do mesmo lado em que ângulos são menores do que dois ângulos retos.”

Este que passou a ser substituído por um enunciado equivalente e mais claro, proposto

em 1796 por John Playfair:

“Dada uma reta e um ponto não pertencente a esta reta, existe uma única reta

passando pelo ponto e paralela a reta dada.”

As inúmeras tentativas de demonstração deste último postulado proporcionaram o

desenvolvimento das geometrias não-Euclidianas, surgimento marcado pelo artigo Sobre os

Princípios da Geometria de Lobachevsky (1829).

Na Geometria do Táxi não será possível usar um dos casos de Congruência de

Triângulos, logo podemos afirmar que esta geometria trata-se também de uma Geometria

Não-Euclidiana.



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Objetivos:

O objetivo deste estudo é apresentar a Geometria do Táxi através do uso de

coordenadas cartesianas no plano introduzindo uma nova noção de distância onde a função

módulo aparece de maneira natural e logo após fazer comparações entre a distância

Euclidiana e a do táxi usando as coordenadas.

Pretendemos com os exemplos relacionar observações do mundo real e identificar os

conhecimentos matemáticos como meios para compreender esses efeitos cotidianos, como por

exemplo uma corrida de táxi.

Discussões

Na abordagem algébrica da Geometria Euclidiana Plana, os pontos são pares

ordenados (𝑥, 𝑦)onde 𝑥 e 𝑦são números reais e as retas são definidas como sendo os

conjuntos soluções das equações da forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0com 𝑎, 𝑏e𝑐números reais

e(𝑎, 𝑏) ≠ (0,0). A função distância euclidiana que denotamos por 𝑑𝐸é definida por:

Para os pontos 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴)e 𝐵 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵),

𝑑𝐸(𝐴, 𝐵) = √(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)2 + (𝑦𝐴 − 𝑦𝐵)2

A função𝑑𝐸 satisfaz as seguintes propriedades:

𝑖. 𝑑𝐸(𝐴, 𝐴) = 0

𝑖𝑖. 𝑆𝑒𝐴 ≠ 𝐵, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜, 𝑑𝐸(𝐴, 𝐵) > 0

𝑖𝑖𝑖. 𝑑𝐸(𝐴, 𝐵) = 𝑑𝐸(𝐵, 𝐴)

𝑖𝑣. 𝑑𝐸(𝐴, 𝐵) ≤ 𝑑𝐸(𝐴, 𝐶) + 𝑑𝐸(𝐶, 𝐵), para quaisquer pontos A, B e C



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Na Geometria do Táxi, os pontos e as retas são os mesmos da Geometria Euclidiana.

Também, os ângulos são medidos do mesmo modo. Apenas a função distância é definida de

modo diferente.

A função distância do taxi, denotada por 𝑑𝑇, é definida por:

Para os pontos 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴)e, 𝐵 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵),

𝑑𝑇(𝐴, 𝐵) = |𝑥𝐴 − 𝑥𝐵| + |𝑦𝐴 − 𝑦𝐵|

A função 𝑑𝑇satisfaz as seguintes propriedades:

𝑖. 𝑑𝑇(𝐴, 𝐴) = 0

𝑖𝑖. 𝑆𝑒𝐴 ≠ 𝐵, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜, 𝑑𝑇(𝐴, 𝐵) > 0

𝑖𝑖𝑖. 𝑑𝑇(𝐴, 𝐵) = 𝑑𝑇(𝐵, 𝐴)

𝑖𝑣. 𝑑𝑇(𝐴, 𝐵) ≤ 𝑑𝑇(𝐴, 𝐶) + 𝑑𝑇(𝐶, 𝐵), para quaisquer pontos A, B e C.

Na Geometria do Táxi valem todos os axiomas da Geometria Euclidiana com exceção

do Postulado LAL (Se dois triângulos tem dois lados e o ângulo entre eles em comum então

eles são congruentes (idênticos)). Para ver isto, considere os pontos A=(2,1), B=(4,1),

C=(2,3), D=(5,2), E=(7,2) e F=(6,3).

Os triângulos retângulos são isósceles, mas não satisfazem o Postulado LAL, pois o

triângulo BAC tem dois lados com medidas do táxi iguais a 2 e a hipotenusa igual a 4, e o

triângulo DEF tem os três lados de medidas do táxi iguais a 2. Note que os dois triângulos

possuem dois lados com medida do táxi igual a 2 e o ângulo entre esses lados medindo 90

graus, mas não são congruentes pois os terceiros lados tem medidas (do táxi) diferentes.

Exemplo 1: Imagine uma cidade com ruas representadas por retas horizontais e verticais de

uma malha quadriculada em um plano cartesiano ortogonal. Para um motorista de Táxi

trafegar do ponto A=(1,2) ao ponto B=(2,3) utilizando um caminho mais curto existem duas



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possibilidades, as quais estão representadas em azul e verde. Os dois trajetos mais curtos são

formados por dois quarteirões (distância entre uma esquina

e outra mais próxima).

Desta forma,

𝑑𝑇(𝐴, 𝐵) = |𝑥𝐴 − 𝑥𝐵| + |𝑦𝐴 − 𝑦𝐵| = |1 − 2| +

|2 − 3| = 1 + 1 = 2

A distância do táxi é sempre maior ou igual à distância euclidiana. Para verificar esta

afirmação, considere:

𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴), 𝐵 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵)e a desigualdade

somando(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)2 + (𝑦𝐴 − 𝑦𝐵)

2aos dois membros desta desigualdade obtemos

(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)2 + (𝑦𝐴 − 𝑦𝐵)

2 + 2|𝑥𝐴 − 𝑥𝐵|. |𝑦𝐴 − 𝑦𝐵| ≥ (𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)2 + (𝑦𝐴 − 𝑦𝐵)

2

Logo,

(|𝑥𝐴 − 𝑥𝐵| + |𝑦𝐴 − 𝑦𝐵|)2 ≥ (𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)

2 + (𝑦𝐴 − 𝑦𝐵)2

Como os dois membros desta desigualdade são maiores do que ou iguais a zero,

extraindo a raiz quadrada dos dois membros a desigualdade continua válida, ou seja,

√(|𝑥𝐴 − 𝑥𝐵| + |𝑦𝐴 − 𝑦𝐵|)2 ≥ √((𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)2 + (𝑦𝐴 − 𝑦𝐵)2)

Portanto,

|𝑥𝐴 − 𝑥𝐵| + |𝑦𝐴 − 𝑦𝐵| ≥ √(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)2 + (𝑦𝐴 − 𝑦𝐵)2,

ou seja,

𝑑𝑇(𝐴, 𝐵) ≥ 𝑑𝐸(𝐴, 𝐵)



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Conclusão

Nesta apresentação vimos que o estudo da Geometria do Táxi é uma forma

interessante de mostrar que a Geometria está presente no cotidiano e não só em sala de aula, e

ainda incentivar o gosto e a curiosidade pela geometria em um geral. Além disso a Geometria

do Táxi propicia colocar em prática os conceitos e representações da geometria euclidiana de

uma maneira mais prática e significativa ajudando em suas construções teóricas.

Referências

1. Kaleff, A. M.; Nascimento, R. S. - Atividades introdutórias às Geometrias não-Euclidianas:

o exemplo da Geometria do Táxi. Boletim Gepem, Rio de Janeiro, nº 44, dezembro 2004, 11-

42.

2. FUZZO, Regis Alessandro; REZENDE, Veridiana; SANTOS, Talita Secorun dos –

GEOMETRIA DO TAXI: A menor distância entre dois pontos nem sempre é como

pensamos.

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XXVI SEMANA DA LICENCIATURA EM … – MINICURSOS E CADERNO DE RESUMOS ISBN: 978-85-99703-79-3 Volume 1 UNESP – BAURU Novembro de 2014 XXVI SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA