trigonometria
1
Funções Trigonométricas
1.1. Função Seno e Função Cosseno
Função seno é a função f : , dada por
f(x) = senx , tal que senx é a ordenada do pon-
to P do arco orientado AP , no ciclo trigonomé-trico, de origem A e extremidade P com medida x.
Função cosseno é a função f : , dada por
f(x) = cosx , tal que cosx é a abscissa do ponto
P do arco orientado AP , no ciclo trigonométri-co, de origem A e extremidade P com medida x.
x
senx
cosx
(cos , sen )x x
A
P
Sendo a função seno e cosseno tratadas, respec-
tivamente, como a ordenada e a abscissa do ponto P este assumirá convenientemente os sinais segundo o sistema cartesiano ortogonal.
(cos , sen )x x
(+, +)(-, +)
(-, -) (+, -)
Características da Função Seno
A função seno nunca assumirá valores maiores que 1 e menores que -1, aja visto que o raio do ciclo trigonométrico é 1 (unitário). Desta forma a ima-gem da função seno está compreendida no intervalo fechado [-1, 1] .
Para analisarmos o comportamento da função seno, imagine um ponto P deslocando-se no sentido ante-horário a partir da origem até completar uma volta.
2
0
P
2
P
De 0 a π
2 o seno cresce De
π
2 a π o seno de-
de 0 a 1. cresce de 1 a 0.
P
3 2
P
3 2
2
De π a 3π
2 o seno de-
cresce de 0 a –1.
De 3π
2 a 2π o seno cres-
ce de -1 a 0. Observe que P pode continuar a deslocar-se no
ciclo indefinidamente, dando um número qualquer de voltas. Notemos que o seno assumirá, em qual-quer uma destas voltas, os mesmos valores da pri-meira volta, dadas as mesmas condições, ou seja, isto significa dizer que a função ( ) = senf x x repete-
se periodicamente de 2π em 2π .
Notemos isto no seu gráfico, denominado se-nóide.
1
-1
x
y
0
- 2
2
3 2
5 22
Período da função seno
Uma função = ( )y f x é periódica se temos nú-
meros reais p tais que ( ) = ( p)f x f x , para to do x
pertencente ao domínio da função. Desta forma, o período p da função dada por
( ) = sen( )f x b a mx n é dado por:
2πp =
| m |
Outra característica importante da função ( ) = senf x x é que essa função é impar pois
sen(- ) = -sen( )x x , para todo x real.
Características da Função Cosseno
A função cosseno nunca assumirá valores mai-ores que 1 e menores que -1, devido ao fato de que o raio do ciclo trigonométrico é 1 (unitário). Desta forma a imagem da função cosseno está compreen-dida no intervalo fechado [-1, 1] .
Para analisarmos o comportamento da função cosseno, imagine um ponto P, como feito com a fun-ção seno, deslocando-se no sentido ante-horário a partir da origem até completar uma volta.
2P
0
2P
De 0 a π
2 o cosseno de- De
π
2 a π o cosseno de-
trigonometria
2
cresce de 1 a 0. cresce de 0 a -1.
P3 2
P3 2
2
De π a 3π
2 o cosseno
cresce de -1 a 0.
De 3π
2 a 2π o seno cres-
ce de 0 a 1. Observe que aqui P pode continuar a deslocar-
se no ciclo indefinidamente, dando, também, um número qualquer de voltas. Notemos que o cosseno assumirá, em qualquer uma destas voltas, os mes-mos valores dos da primeira volta, dadas as mesmas condições, ou seja, isto significa dizer que a função
( ) = cosf x x repete-se de 2π em 2π . Sendo, tam-
bém, uma função periódica. Observe isto no seu gráfico, denominado cosse-
nóide.
1
-1
x
y
0- 2 2 3 2 5 22
Período da função cosseno
O período p da função ( ) = cos( )f x b a mx n é
dado por:
2πp =
| m|
Observe, também, que a função cosseno é uma função par, ou seja, cos(-x) = cos(x) , para todo x re-
al. Comparação Entre as Funções Seno e Cosseno
Note que o gráfico da função cosseno nada mais
é do que o gráfico da função seno deslocado de π
2
unidades na horizontal para a esquerda. Tal carac-terística pode ser, de forma simples, traduzida ma-tematicamente assim:
πcos(x) = sen x , para todo x
2
.
Note esse fato na figura abaixo.
1
-1
x
y
- 2
2 3 2 5 22
Função Tangente
É a função definida para π
x kπ2
, k ,
dada por:
f(x) = tg x
A função tangente também é periódica, porém, seu período, diferentemente das funções seno e cos-seno cujo período é 2π , vale π , ou seja, no ciclo tri-
gonométrico, em condições idênticas, ela se repete em intervalos de π em π , veja a seqüência abaixo.
2
0
22
De 0 a π
2 o tangente
cresce de 0 até + .
De π
2 a π o tangente
cresce de - até 0.
3 2
3 2
2
Observe que, da primeira meia volta em diante a tangente tem o mesmo comportamento anterior, ou seja, ela se repete de meia em meia volta (de π em
π ).
Acompanhando o descrito acima podemos fa-cilmente construir o gráfico da função tangente, como exposto abaixo:
x
y
- 2 2 3 2 5 220
Observe que a imagem da função tangente é to-do conjunto dos reais ( ).
O período de uma função tangente qualquer f(x) = tg (mx n) é dado por:
πp =
| m|
trigonometria
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EXERCÍCIOS
1. Observe o movimento da máquina indicada na figura.
y
c
c
c
Q
Q
Q
O O
OP
P
P
d d d
c c
c0
40
-40 Um motor gira a manivela OP em torno do pon-
to O. A extremidade P desta manivela, ao girar, des-loca-se dentro do vão da peça c, empurrando-a para cima ou para baixo. Esse movimento de vaivém ver-tical é o único que a peça c pode efetuar, pois ela passa pelo interior da peça d, que funcionando co-mo guia, lhe impede os movimentos laterais.
Vamos estudar o movimento vertical do ponto Q (extremidade inferior da peça c) em função do tempo, supondo que a manivela OP tenha 40 cm de comprimento e gire no sentido anti-horário a uma velocidade constante de 5 rotações por minuto e que no instante t = 0 a ordenada do ponto Q seja y = 0, conforme indica a figura anterior. Tomando como unidade a medida de 40 cm, podemos considerar a circunferência descrita pelo ponto P como sendo uma circunferência trigonométrica.
Com base no texto, calcule o que se pede: a) Qual o deslocamento angular, em radianos
do ponto P no instante t = 1s? b) Em que instante o ponto P estará em uma
posição simétrica em relação à horizontal à posição do item anterior?
c) Qual a ordenada do ponto Q no instante t = 4?
d) Entre o primeiro e terceiro segundos a or-denada de Q aumenta ou diminui? E entre o sexto e o nono segundo?
e) Como seria o gráfico que representa o mo-vimento vertical do ponto Q em função do tempo?
2. Um especialista, ao estudar a influência da varia-
ção da altura das marés na vida de várias espécies em
certo manguezal, concluiu que a altura A das marés,
dada em metros, em um espaço de tempo não muito
grande, poderia ser modelada de acordo com a fun-
ção:
A(t) 1,6 1,4 sen t6
. Nessa função, a variá-
vel t representa o tempo decorrido, em horas, a partir
da meia-noite de certo dia. Nesse contexto, conclui-se
que a função A, no intervalo [0,12], está representada
pelo gráfico:
( )
( )
( )
( )
( )
3. representa o gráfico da função definida por f(x) = acosbx . Os valores de a e b são, respectiva-
mente:
1
-1
x
y
0- 3 42
a) 1 e 2
b) -1 e 2
1
c) 1 e 2
1
d) -1 e 1 e) -1 e 2
trigonometria
4
4. Se f(x) a bsen(x) tem como gráfico
y
x
2
-1
2
3
1
Então:
a) a=-2 e b=1 b) a=-1 e b=2 c) a=1 e b=-1 d) a=1 e b=-2 d) a=2 e b=-1
5. Uma equipe de mergulhadores, dentre eles um estudante de ciências exatas, observou o fenômeno das marés em determinado ponto da costa brasilei-ra e concluiu que o mesmo era periódico e podia se aproximado pela expressão:
21 5P(t) 2cos( t )
2 6 4
onde t é o tempo (em horas) decorrido após o início da observação (t=0) e P(t) é a profundidade da água (em metros) no instante t.
a) Resolva a equação 5
cos( t ) 16 4
para t>0.
b) Determine quantas horas após o início da
observação ocorreu a primeira maré alta.
6. Estudando-se o fluxo de água em um ponto do estuário de um rio, determinou-se que a água flui para o oceano na vazão v, em milhões de litros por hora, em função do tempo t, em horas, de acordo com a equação v(t) A Bsen(wt) em que A,B e w
são constantes reais positivas e t 0 . A vazão na
qual a água do rio flui para o oceano varia por cau-sadas marés. Na maré baixa, a água flui mais rapi-damente, com vazão máxima de 20 milhões de litros por hora, e, na maré alta, ela flui mais lentamente, com vazão mínima de 4 milhões de litros por hora. Nessa região, o tempo entre duas marés alta é igual a 12 horas e 24 minutos. Com base nessas informa-ções, escolha apenas uma das opções a seguir e faça o que se pede, desconsiderando, para efeito de mar-cação na folha de respostas, a parte fracionária do resultado final obtido, após efetuar os cálculos soli-citados.
a) Calcule o valor do coeficiente A . b) Calcule o período, em minutos, da função v. c) Determine o valor de t, em minutos, quando
10h t 22h , para o qual v(t) é máxima.
7. A temperatura, em graus célsius (ºC), de uma câmara frigorífica, durante um dia completo, das 0
hora às 24 horas, é dada aproximadamente pela função:
t
6cost
12cos)t(f , 0 t 24.
com t em horas. Determine: a) a temperatura da câmara frigorífica às 2
horas e às 9 horas (use as aproximações
2 = 1,4 e 3 = 1,7);
b) em quais horários do dia a temperatura atingiu 0 ºC.
8. A função cujo gráfico está representada na figu-ra abaixo é definida por:
0
y
x
2
-2
43
242 443
a) y sen2x b) y cos(x / 2)
c) y 2sen(x / 2) d) y 2.cos(x / 2)
e) y 2.sen(2x)
9. o gráfico, na figura, é o a função
f : 0.4 definida por:
0
y
4 x2
3
-3
3
a) f(x) 2.sen(3x) b) f(x) 2.sen(x / 3)
c) f(x) 3.sen(x / 2) d) f(x) 3.sen(2x)
e) f(x) 4.sen(3x)
10. O gráfico a seguir representa a função real f.
2
1
2
y
x2
23
a) f(x) 1 cos(x) b) f(x) 1 cos(x)
c) f(x) cos(x 1) d) f(x) cos(x 1)
e) f(x) cos(x )
trigonometria
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11. Na figura abaixo se tem representada parte do
gráfico de uma função trigonométrica f, de em
.
2
-2
x
y
0- 32-3 -2
Usando as informações dadas nesse gráfico,
analise as afirmativas seguintes. (1) Tal gráfico é o da função dada por
xf(x) = 2.sen
2.
(2) O período de f é 3π .
(3) f admite duas raízes no intervalo -2π, 2π .
(4) Se -2π < x < 0 , então f(x) < 0 .
(5) O conjunto imagem de f é o intervalo -2, 2 .
12. Os dados relativos aos ritmos biológicos podem, frequentemente, ser aproximados por curvas de funções trigonométricas. De modo a se ajustar aos dados, a função cosseno (gráfico A) sofre algumas transformações, como as mostradas nos gráficos B, C e D.
(A) y
t0
y t = cos
2p (B) y
t0
t0
(C) y
t0
t0
c
(D)
y
t0
t0
c c0 +
c0
A partir dessas informações, julgue os itens. (1) A função representada pelo gráfico B é:
0y t cos t ;
(2) O período da função representada pelo gráfico C é igual ao período da função y = cost acrescido de t0. (3) O conjunto imagem da função representada pelo gráfico D é [c0 c, c0 + c].
13. Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura (em ºC) do solo em uma determinada região, durante três dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita às 3 horas da manhã do primeiro dia (t=0) e terminou 72 horas depois (t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função.
3H(t) 15 5sen( t )
12 2
,
onde t indica o tempo (em horas) decorrido após o início da observação e H(t) a temperatura (em ºC) no instante t.
a) Resolva a equação 3
sen( t ) 112 2
, para
t 0,24
b) Determine a temperatura máxima atingida e o horário em que essa temperatura ocor-reu no primeiro dia da observação
14. A função U, definida por U(t) = rcos (ωt - θ) ,
descreve o deslocamento no tempo t, de um bloco de massa m, preso na extremidade de uma mola, em relação à posição de equilíbrio, conforme a figura adiante. A posição de equilíbrio, nesse caso, é aquela em que U(t) = 0 . A constante ω depende apenas da
mola e da massa m. As constantes r e θ dependem da maneira como o sistema é colocado em movi-mento. Com base na situação apresentada, julgue os itens que se seguem.
equilíbrio posição inicial movimento
m
m
m
U(0)
U( )t
trigonometria
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(1) A função U tem período igual a (2π - θ) .
(2) No instante 2π
tω
, o bloco está novamente na
posição inicial. (3) O maior deslocamento do bloco, em relação à
posição de equilíbrio, é igual a r. (4) Em qualquer intervalo de tempo que tenha du-
ração igual a 4π
3ω, o bloco passa pela posição
de equilíbrio.
15. As figuras abaixo, com seus respectivos esque-mas, ilustram três das posições assumidas pelo gin-gar feminino, mostrando que o balançar da pélvis feminina obedece a um ciclo oscilatório.
Tal movimento oscilatório pode ser observado a partir da reta imaginária (r) que passa pelas duas cristas ilíacas perpendicular à semi-reta imaginária (s) que, na ilustração, representa a coluna vertebral. Quando a mulher se desloca no seu andar, a reta (r) oscila em torno do cen-tro C para cima e para baixo, acompanhando o ritmo da pélvis, conforme mostram as figuras com os respectivos esquemas. Admitindo que o movimento se completa a cada
1,5 segundo e que a função
t
3
4cos
10)t(
representa a variação do ângulo em função
do tempo t, assinale o esboço do gráfico dessa função no intervalo ]5,1 ;0[ .
a)
b)
c)
d)
e)
GABARITO
1) A) 6
B) 11 segundos.
C) 20 3 cm
D) subiu E) senoide
2) A 3) B 4) D
5) a) 24k 15
t ,k2
b) 4h30min.
6) a)12 b)744 c) 930 7) a) para t = 2 0,35 ºC
para t = 9 0,7 ºC b) t = 8 0 = 0 hora, t = 8 1 = 8 horas, t = 8 2
= 16 horas e t = 8 3 = 24 horas. 8) E 9) C 10) B 11) E E C E C 12) E E C