17/10/2013

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Raciocnio Lgico

SentenasSentenas AbertasAbertas.. QuantificadoresQuantificadores.. NegaoNegao dede

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QQ g g ProposiesProposies QuantificadasQuantificadas.. ArgumentosArgumentos.. DiagramasDiagramas dedeConjuntosConjuntos

1. Conceito de Sentena AbertaOraes que contm variveis e cujo valor lgico (verdadeiro oufalso) vai depender do valor atribudo s variveis sochamadas de sentenas abertas.

Veja os exemplos:a) x + 1 = 12 (sentena aberta com uma varivel: x).b) x - 3x = -2xy (sentena aberta com duas variveis: x e y).c) a -3a > 0 (sentena aberta com uma varivel: a).

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Observe, nos exemplos anteriores, que o valor lgico(verdadeiro ou falso) das expresses depende do valoratribudo s variveis. No exemplo a, se fizermosx = 1, teremos 11 + 1 = 12, o que logicamenteverdadeiro; porm, se substituirmos a incgnita x porqualquer outro nmero diferente de 1, a expresso x + 1 =12 ser logicamente falsa; por exemplo, para x = 2,teremos: 2+1=12, o que logicamente falso. Ento,sentena aberta no pode ser considerada uma proposio,pois seu valor lgico (verdadeiro ou falso) discutvel oupois seu valor lgico (verdadeiro ou falso) discutvel, ouseja, depende do valor atribudo s variveis.Mas podemos transformar uma sentena aberta emproposio utilizando os chamados quantificadores, queapresentamos a seguir.

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2. Os Quantificadores Universal e ExistencialSo expresses utilizadas para transformar sentenasp p abertas em proposies logicamente falsas ou logicamenteverdadeiras.

O Quantificador UniversalO quantificador universal, utilizado para transformarsentenas abertas em proposies, indicado pelo smbolo, que se l: qualquer que seja, para todo ou para, que se l: qualquer que seja , para todo ou paracada.

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Exemplos:

a) ( x) (x+1 = 7), que se l: Qualquer que seja o nmero x (ou) ( ) ( ), q Q q q j (para todo nmero x), temos que x+1 = 7. Veja que temos aquiuma proposio logicamente falsa, pois o nico nmero quesatisfaz a igualdade o 6, e no qualquer nmero.

b) ( x) (x+1 > 0), que se l: Qualquer que seja o nmero x(ou para todo nmero x), temos que x+1 > 0 . A proposio logicamente verdadeira, pois um nmero qualquer ao quadrado,somado ao nmero 1 sempre maior que zerosomado ao nmero 1, sempre maior que zero.Note, nos exemplos anteriores, que a presena do quantificadoruniversal transformou as sentenas abertas em proposies, jque foi possvel atribuirmos os valores lgicos verdadeiro oufalso.

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O Quantificador ExistencialO quantificador existencial, utilizado para transformarsentenas abertas em proposies, verdadeiras ou falsas, p p indicado pelo smbolo , que se l: existe, existe um ouexiste pelo menos um.Veja os exemplos:a) ( x) (x + 3 = 5), que se l: Existe um nmero x (ou existepelo menos um nmero x), tal que x + 3 = 5. A proposio logicamente verdadeira, pois existe o nmero 2 que satisfaz asentena.b) ( x) (x < 0), que se l: Existe um nmero x, tal que x