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7 Técnicas de Integração
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7.2 Integrais Trigonométricas
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Integrais Trigonométricas
Nesta seção usaremos as identidades trigonométricas para
integrar certas combinações de funções trigonométricas.
Começaremos com as potências de seno e cosseno.
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Exemplo 2
Encontre o ∫ sen5x cos2x dx.
SOLUÇÃO: Poderíamos converter cos2x em 1 – sen2x,
mas obteríamos uma expressão em termos de sen x sem
nenhum fator extra cos x. Em vez disso, separamos um
único fator de seno e reescrevemos o fator sen4x restante
em termos de cos x:
sen5 x cos2x = (sen2x)2 cos2x sen x = (1 – cos2x)2 cos2x sen x
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Exemplo 2 – Solução
Substituindo u = cos x, temos du = –sen x dx e, assim,
∫ sen5x cos2x dx = ∫ (sen2x)2 cos2x sen x dx
= ∫ (1 – cos2x)2 cos2x sen x dx
= ∫ (1 – u2)2 u2 (–du) = –∫ (u2 – 2u4 + u6)du
=
= – cos3x + cos5x – cos7x + C
continuação
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Exemplo 3
Calcule .
SOLUÇÃO: Se escrevermos sen2x = 1 – cos2x, a integral
não é mais simples de calcular. Usando a fórmula do
ângulo-metade para sen2x, contudo, temos
Observe que mentalmente fizemos a substituição u = 2x
quando integramos cos 2x.
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Integrais Trigonométricas
Para resumirmos, listamos as regras que devem ser
seguidas ao calcular integrais da forma ∫ senmx cosnx dx,
em que m 0 e n 0 são inteiros.
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Integrais Trigonométricas
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Integrais Trigonométricas
Podemos empregar uma estratégia semelhante para
calcular integrais da forma ∫ tgmx secnx dx. Como
(ddx) tg x = sec2x, podemos separar um fator sec2x e
converter a potência (par) da secante restante em uma
expressão envolvendo a tangente, utilizando a identidade
sec2x = 1 + tg2x. Ou, como (ddx) sec x = sec x tg x,
podemos separar um fator sec x tg x e converter a
potência (par) da tangente restante para a secante.
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Exemplo 5
Calcule ∫ tg6x sec4x dx.
SOLUÇÃO: Se separamos um fator sec2x, poderemos
expressar o fator sec2x em termos de tangente, usando a
identidade sec2x = 1 + tg2x. Podemos então calcular a
integral, substituindo u = tg x, de modo que du = sec2x dx:
∫ tg6x sec4x dx = ∫ tg6x sec2x sec2x dx
= ∫ tg6x (1 + tg2x) sec2x dx
= ∫ u6(1 + u2)du = ∫ (u6 + u8)du
=
= tg7x + tg9x + C
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Integrais Trigonométricas
Os exemplos anteriores mostram as estratégias para
calcular integrais da forma ∫ tgmx secnx dx para dois casos,
resumidos aqui.
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Integrais Trigonométricas
Para outros casos as regras não são tão simples. Talvez
seja necessário usar identidades, integração por partes e,
ocasionalmente, um pouco de engenhosidade. Algumas
vezes precisaremos integrar tg x usando a fórmula
estabelecida em 5.5.5:
Também precisaremos da integral indefinida de secante:
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Integrais Trigonométricas
Poderíamos verificar a Fórmula 1 derivando o lado direito,
ou como a seguir. Primeiro multiplicamos o numerador e o
denominador por x + tg x:
Se substituirmos u = sec x + tgx, então du = (sec x tg x +
sec2x)dx, assim a integral torna-se ∫ (1u) du = ln | u | + C.
Então temos
∫ sec x dx = ln |sec x + tg x | + C.
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Exemplo 7
Encontre ∫ tg3x dx.
SOLUÇÃO: Aqui apenas tg x ocorre, então usamos
tg2x = sec2x – 1 para reescrever um fator tg 2x em termos
de sec2x:
∫ tg3x dx = ∫ tg x tg2x dx = ∫ tg x (sec2x – 1) dx
= ∫ tg x sec2x dx – ∫ tg x dx
– ln | sec x | + C.
Na primeira integral substituímos mentalmente u = tg x
de modo que du = sec2x dx.
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Integrais Trigonométricas
Finalmente, podemos usar outras identidades
trigonométricas:
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Exemplo 9
Calcule∫ sen 4x cos 5x dx.
Solução:
Essa integral poderia ser calculada utilizando a integração
por partes, mas é mais fácil usar a identidade na Equação
2(a) como a seguir: