VANCLER RIBEIRO ALVES
ANÁLISE DE PERFIS ENRIJECIDOS EM HASTES DE PAREDES DELGADAS DE
AÇOS FORMADOS A FRIO
Tese apresentada ao Programa de Pós - Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do Grau de Doutor em Engenharia Civil. Área de Concentração: Engenharia Civil.
Orientador: Prof. LUIZ CARLOS MENDES, D.Sc.
Niterói
2008
Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF
A474 Alves, Vancler Ribeiro.
Análise de perfis enrijecidos em hastes de paredes delgadas de aços formados a frio / Vancler Ribeiro Alves. – Niterói, RJ : [s.n.], 2008.
343 f.
Orientador: Luiz Carlos Mendes. Tese (Doutorado em Engenharia Civil) - Universidade Federal
Fluminense, 2008.
1. Aço. 2. Perfil formado a frio. 3. Estrutura metálica. 4. Flambagem distorcional. 5. Método das faixas finitas. 6. Método da resistência direta. I. Título.
CDD 624.1821
AGRADECIMENTOS
A Deus, causa essencial de tudo o que existe e tudo o que acontece.
Aos meus pais, Vancler e Liene, que sempre me orientaram no caminho sólido da vida.
Ao meu irmão Erick, companheiro inseparável de todas as horas.
Ao meu orientador, professor Luiz Carlos Mendes, pela sua valiosa orientação e eterna
amizade.
A todos os colegas, professores e funcionários do Programa de Pós-Graduação de Engenharia
Civil da Universidade Federal Fluminense.
RESUMO
Os aços de alta resistência tornaram mais esbeltas as seções transversais dos elementos estruturais, proporcionando maior complexidade nos projetos de construção civil. Para a perfeita observação da estabilidade estrutural, consideram-se os fenômenos de flambagem local e global, com a identificação dos modos da flambagem distorcional nos perfis delgados formados por aço a frio. O principal objetivo da pesquisa é o estudo do comportamento estrutural dos perfis de hastes de paredes delgadas com o auxílio do método da resistência direta, da análise dos enrijecedores e da programação do método das faixas finitas e computação algébrica simbólica. O trabalho faz a análise dos modos de flambagens global, local, lateral e distorcional com a verificação numérica e gráfica das tensões, dos momentos críticos, dos comprimentos de meia onda e fatores de amplificação de carregamentos para os elementos estruturais constituídos por perfis de aço formados a frio enrijecidos.
Palavras-chave: Aços formados a frio, Método da Resistência Direta, Método das Faixas
Finitas.
ABSTRACT
The development of high resistance steel has turned very slender the cross-sections of structures, causing difficulties in engineering projects. Cold-formed steel members have several applications in civil constructions, and are subjected to different kinds of loads. To observe the structural stability, must be considered local and overall buckling, identifying the distortional buckling mode, in thin walled opened cross-sections. This research is proposed to evaluate the buckling modes and interactions between them, in members under strains of compression and bending. The numerical and graphical analyses are concluded, taking use of the mathematical programming, finite strip method program and comparing results obtained by different codes.
Key-words: Cold formed steel, Finite Strip Methods, Thin Walled Members.
SUMÁRIO
AGRADECIMENTOS..............................................................................................................3 RESUMO...................................................................................................................................4 ABSTRACT...............................................................................................................................5 SUMÁRIO.................................................................................................................................6 LISTA DE TABELAS............................................................................................................10 LISTA DE FIGURAS.............................................................................................................11 LISTA DE SÍMBOLOS..........................................................................................................14 1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 17 1.1 GENERALIDADES..................................................................................................... 17 1.2 PERFIS DELGADOS FORMADOS POR AÇO A FRIO........................................... 19 1.3 ESTUDOS RELATIVOS AO TEMA ........................................................................ 22 1.4 ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO ....................................................................... 30 1.5 JUSTIFICATIVA......................................................................................................... 32 1.6 OBJETIVO .................................................................................................................. 34 1.7 METODOLOGIA E EQUIPAMENTOS NECESSÁRIOS......................................... 35 2 FLAMBAGEM GLOBAL EM PERFIS DE HASTES DE PAREDES
DELGADAS................................................................................................................ 36 2.1 INTRODUÇÃO............................................................................................................ 36 2.2 TORÇÃO PURA EM PERFIS DE HASTES DELGADAS COM SEÇÕES
TRANSVERSAIS ABERTAS......................................................................................37 2.3 TORÇÃO NÃO UNIFORME EM PERFIS DE HASTES DELGADAS COM
SEÇÕES TRANSVERSAIS ABERTAS..................................................................... 41 2.4 FLAMBAGEM TORCIONAL EM PERFIS DELGADOS......................................... 45 2.4.1 Condições de contorno das seções transversais....................................................... 48 2.5 FLAMBAGEM POR FLEXO-TORÇÃO DE PERFIS ESBELTOS........................... 51 2.5.1 Condições de contorno das seções transversais....................................................... 55 2.6 CONSIDERAÇÕES DA FLAMBAGEM TORCIONAL EM PERFIS
DELGADOS.................................................................................................................59 3 FLAMBAGEM LOCAL EM PERFIS DE HASTES DE PAREDES DELG ADAS
...................................................................................................................................... 61 3.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................... 61 3.2 MÉTODOS DE ANÁLISE DO MODO DE FLAMBAGEM LOCAL....................... 62
3.2.1 Equações de equilíbrio................................................................................................64 3.2.2 Método da energia.......................................................................................................69 3.2.3 Solução aproximada................................................................................................... 69 3.3 FLAMBAGEM LOCAL EM PERFIS DE PAREDES DELGADAS COM MESAS
ENRIJECIDAS..............................................................................................................72 3.4 MÁXIMA TENSÃO DE FLAMBAGEM....................................................................74 3.5 CONSIDERAÇÕES DA FLAMBAGEM LOCAL EM PERFIS DELGADOS..........76 3.6 INTERAÇÃO ENTRE OS MODOS DE FLAMBAGEM LOCAL E GLOBAL ...................................................................................................................................................76 3.6.1 Tensões máximas de flambagem local ......................................................................77 3.6.2 Tensões da flambagem global ...................................................................................78 3.6.3 Zona de interação dos modos global e local de flambagem.....................................78 4 FLAMBAGEM LATERAL EM PERFIS DE HASTES DE PAREDES
DELGADAS.................................................................................................................80 4.1 INTRODUÇÃO.............................................................................................................80 4.2 FLAMBAGEM ELÁSTICA EM PERFIS SIMÉTRICOS DE HASTES DE PAREDES
DELGADAS.................................................................................................................85 4.2.1 Análise em vigas formadas por perfis do tipo I simplesmente apoiadas................85 4.2.2 Análise em vigas formadas por perfis do tipo U simplesmente apoiadas..............89 4.3 CONSIDERAÇÕES DAS CONDIÇÕES DO CARREGAMENTO NA
FLAMBAGEM ELÁSTICA DE VIGAS......................................................................90 4.3.1 Momento crítico para carregamento transversal por carga concentrada aplicada
no centro de cisalhamento de vigas simplesmente apoiadas formadas por perfis do tipo U.......................................................................................................................91
4.3.2 Momento crítico para carregamento transversal por carga distribuída aplicada no centro de cisalhamento de vigas simplesmente apoiadas formadas por perfis do tipo U.......................................................................................................................93
4.3.3 Momento crítico para carregamento transversal por carga concentrada aplicada no bordo livre de vigas em balanço formadas por perfis do tipo U .......................................................................................................................................93
4.3.4 Momento crítico para carregamento transversal por carga uniformemente distribuída aplicada no centro de cisalhamento de vigas balanço formadas por perfis do tipo U............................................................................................................94
4.3.5 Momento crítico para carregamento transversal aplicado em regiões superiores ou inferiores ao centro de cisalhamento dos perfis transversais de vigas .......................................................................................................................................95
4.4 AVALIAÇÃO DE CARGAS EXCÊNTRICAS NO MOMENTO CRÍTICO DE PERFIS DELGADOS...................................................................................................97
4.5 FLAMBAGEM ELÁSTICA EM PERFIS ASSIMÉTRICOS DE HASTES DE PAREDES DELGADAS...............................................................................................98
4.6 FLAMBAGEM INELÁSTICA EM PERFIS DE HASTES DE PAREDES DELGADAS...............................................................................................................101
5 ANÁLISE DA TENSÃO CRÍTICA PARA FLAMBAGEM LOCAL E
MOMENTO CRÍTICO PARA FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS .....................................................................................................................................102
5.1 ANÁLISE DA TENSÃO CRÍTICA PARA A FLAMBAGEM LOCAL DAS PLACAS COMPONENTES DOS PERFIS TIPO U..................................................108
5.2 ANÁLISE DO MOMENTO CRÍTICO PARA A FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS.........................................................................................................................109
6 CONTRIBUIÇÃO DOS ENRIJECEDORES NOS PERFIS DE AÇO
FORMADOS A FRIO...............................................................................................112 6.1 ANÁLISE DA LARGURA EFETIVA.......................................................................112 6.2 PERFIS DE AÇO FORMADOS A FRIO ENRIJECIDOS SUJEITOS A ESFORÇOS
DE COMPRESSÃO....................................................................................................116 6.3 ENRIJECEDORES DE BORDA E INTERMEDIÁRIO............................................117 6.3.1 Utilização dos enrijecedores de borda nos perfis de aço formados a
frio...............................................................................................................................118 6.3.1.1 Momento de inércia para os enrijecedores de borda...................................................119 6.3.2 Utilização dos enrijecedores intermediários nos perfis de aço formados a
frio...............................................................................................................................120 6.3.2.1 Momento de inércia para os enrijecedores de intermediários.....................................120 6.3.3 Largura efetiva para perfis com enrijecedor de borda.........................................122 6.3.4 Largura efetiva para perfis com enrijecedor intermediário.................................124 6.4 ANÁLISE DOS ENRIJECEDORES DE BORDA PARA OS PERFIS DO TIPO
Z...................................................................................................................................125 7 O MÉTODO DA RESISTÊNCIA DIRETA...........................................................134 7.1 O MÉTODO DAS FAIXAS FINITAS.......................................................................136 7.2 CURVAS DE INSTABILIDADE PARA O MÉTODO DA RESISTÊNCIA
DIRETA......................................................................................................................139 7.2.1 Análise da instabilidade local...................................................................................139 7.2.2 Análise da instabilidade distorcional.......................................................................140 7.2.3 Análise da instabilidade global...................................................................................143 7.2.4 Análise da interação entre os modos de instabilidade...........................................145 7.3 O MÉTODO DA RESISTÊNCIA DIRETA NOS PRINCIPAIS NORMATIVOS...146 7.3.1 Norma australiana e neozelandesa (Australian & New Zealand Standard –
AS/NZS 4600/1996)...................................................................................................147 7.3.2 Associação brasileira de normas técnicas (ABNT) – NBR 14762
Dimensionamento de Estruturas de Aço Constituídas por Perfis Formados a Frio - Procedimento (2001)...............................................................................................147
7.3.3 Norma norte americana (American Iron and Steel Institute – AISI, 2004……..147 7.3.4 Norma européia ( Eurocode 3: Design of Steel Structures Part 1.3: General Rules
– Supplementary Rules for Cold Formed Thin Gauge Members and Sheeting, 2003 )………………………………………………………………………………...148
7.4 PROGRAMA COMPUTACIONAL DO MÉTODO DAS FAIXAS FINITAS – CUFSM.......................................................................................................................148
7.5 ANÁLISE DOS PERFIS U E Z ENRIJECIDOS........................................................150 7.5.1 Análise dos perfis U enrijecidos...............................................................................154 7.5.2 Análise dos perfis Z enrijecidos...............................................................................160 8 CONSIDERAÇÕES FINAIS..................................................................................167 9 OBRAS CITADAS ..................................................................................................169
10 OBRAS CONSULTADAS ......................................................................................178 11 ANEXO 1 ANÁLISE DAS TENSÕES E MOMENTOS CRÍTICOS DA
FLAMBAGEM LATERAL NOS PERFIS TIPO U..................................................................................................................................180
12 ANEXO 2 ANÁLISE DOS ENRIJECEDORES DE BORDA.............................241 13 ANEXO 3 ANÁLISE DA FLAMBAGEM LOCAL, DISTORCIONAL E
GLOBAL DOS PERFIS U ENRIJECIDOS...........................................................265 14 ANEXO 4 ANÁLISE DA FLAMBAGEM LOCAL, DISTORCIONAL E
GLOBAL DOS PERFIS Z ENRIJECIDOS...........................................................301
LISTA DE TABELAS
Tabela 5.1 Grupo 1 de perfis analisados ......................................................................... 103
Tabela 5.2 Grupo 2 de perfis analisados ......................................................................... 103
Tabela 5.3 Grupo 3 de perfis analisados ......................................................................... 104
Tabela 5.4 Grupo 4 de perfis analisados ......................................................................... 104
Tabela 5.5 Grupo 5 de perfis analisados ......................................................................... 104
Tabela 5.6 Grupo 6 de perfis analisados ......................................................................... 105
Tabela 5.7 Grupo 7 de perfis analisados ......................................................................... 105
Tabela 5.8 Grupo 8 de perfis analisados ......................................................................... 105
Tabela 5.9 Grupo 9 de perfis analisados ......................................................................... 106
Tabela 5.10 Grupo 10 de perfis analisados ....................................................................... 106
Tabela 5.11 Grupo 11 de perfis analisados ....................................................................... 106
Tabela 5.12 Grupo 12 de perfis analisados ....................................................................... 107
Tabela 5.13 Grupo 13 de perfis analisados ....................................................................... 107
Tabela 5.14 Grupo 14 de perfis analisados ....................................................................... 107
Tabela 6.1 Grupos dos perfis Ze sob análise de comportamento dos enrijecedores..........126
Tabela 7.1 Perfis dos tipos U e Z enrijecidos empregados na análise...............................151
Tabela 7.2 Comprimentos de semi-onda e fatores de carga crítica dos modos de
flambagem local, distorcional e global para os perfis Ue analisados......................................152
Tabela 7.3 Comprimentos de semi-onda e fatores de carga crítica dos modos de
flambagem local, distorcional e global para os perfis Ze analisados......................................153
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 Flambagem global por flexo-torção, local de placas e modo distorcional de
uma estrutura constituída por hastes de paredes delgadas ................................................. 19
Figura 1.2 Modos de flambagem global, local e distorcional para perfis do tipo U … 21
Figura 2.1 Modos de flambagem global para seções do tipo U enrijecida .................. 37
Figura 2.2 Empenamento dos bordos livres da estrutura ............................................. 38
Figura 2.3 Posição do centro de cisalhamento para seções do tipo U ......................... 39
Figura 2.4 Posições do centro de cisalhamento em relação ao centróide das seções ... 40
Figura 2.5 Estrutura sob esforços de torção na extremidade livre ............................... 42
Figura 2.6 Elemento infinitesimal de uma seção aberta .............................................. 43
Figura 2.7 Seção de hastes delgadas sob esforços de compressão .............................. 45
Figura 2.8 Torção e flexão da seção delgada aberta ................................................... 52
Figura 3.1 Deformações em curvas ondulatórias das placas componentes da seção ... 62
Figura 3.2 Modos de flambagem local para seções do tipo U enrijecidas ................... 63
Figura 3.3 Análise da seção transversal delgada ......................................................... 63
Figura 3.4 Coeficientes mínimos da flambagem local para seções do tipo U ............. 68
Figura 3.5 Valores de ( )mín1K para seções do tipo U, com variação de espessura .... 71
Figura 3.6 Valores de ( )mín1K para seções do tipo I, com variação de espessura ...... 71
Figura 3.7 Seções transversais do tipo U enrijecidas .................................................... 72
Figura 3.8 Solução aproximada para seções transversais enrijecidas do tipo U ........... 73
Figura 3.9 Modos de flambagem distorcional das seções do tipo U enrijecidas ........... 77
Figura 3.10 Zona de interação da flambagem global e local para perfis delgados ......... 79
Figura 4.1 Viga retangular estreita sob carregamentos no centro de cisalhamento ....... 81
Figura 4.2 Deformações provocadas pelos esforços em uma seção genérica da viga ... 81
12
Figura 4.3 Representação dos esforços solicitantes na seção em análise ...................... 82
Figura 4.4 Flambagem lateral em uma viga composta por perfis simétricos do tipo I ... 86
Figura 4.5 Flambagem lateral em perfis do tipo U simplesmente apoiados, com carga
aplicada no plano da alma da seção ........................................................................................90
Figura 4.6 Carga aplicada no centro de cisalhamento de uma seção transversal do tipo U
................................................................................................................................................91
Figura 4.7 Carga transversal aplicada no bordo livre da viga em balanço ..................... 94
Figura 4.8 Carregamento aplicado acima do centro de cisalhamento da seção tipo U ... 95
Figura 4.9 Relação observada entre a carga aplicada e a deflexão lateral da seção ....... 98
Figura 4.10 Representação do perfil do tipo I assimétrico constituinte da viga ............... 99
Figura 5.1 Perfil U simples .............................................................................................102
Figura 5.2 Flambagem lateral das placas componentes da seção U ............................... 103
Figura 5.3 Avaliação das tensões críticas para a flambagem local dos grupos de perfis U
................................................................................................................................................ 108
Figura 5.4 Carga aplicada no centro de cisalhamento da seção tipo U ........................... 109
Figura 5.5 Avaliação dos momentos críticos para a flambagem lateral dos grupos de perfis
U ............................................................................................................................................ 110
Figura 6.1 Distribuição das tensões para os elementos enrijecidos sob esforços de
compressão..............................................................................................................................113
Figura 6.2 Largura efetiva para o elemento enrijecido sob esforços de compressão.......114
Figura 6.3 Enrijecedores de borda e intermediário nos perfis tipo U...............................117
Figura 6.4 Elemento efetivo do enrijecedor......................................................................124
Figura 6.5 Comparação do momento de inércia adequado para os enrijecedores do 1°
grupo de perfis tipo Z sob tensões dos aços COS-CIVIL 300 e 350......................................127
Figura 6.6 Momento de inércia adequado para os enrijecedores de borda dos perfis do
grupo 2 do aço COS – CIVIL 350..........................................................................................128
Figura 6.7 Momento de inércia adequado para os enrijecedores de borda dos perfis do
grupo 2 do aço COS – CIVIL 300..........................................................................................129
Figura 6.8 Momento de inércia adequado para os enrijecedores de borda dos perfis do
grupo 3 do aço COS – CIVIL 350..........................................................................................130
Figura 6.9 Comparação do momento de inércia adequado para os enrijecedores do 4°
grupo de perfis tipo Z sob tensões dos aços COS-CIVIL 300 e 350.....................................131
Figura 6.10 Comparação do momento de inércia adequado para os enrijecedores dos grupos
de perfis tipo Z sob tensões dos aços COS-CIVIL 300.........................................................132
13
Figura 6.11 Comparação do momento de inércia adequado para os enrijecedores dos grupos
de perfis tipo Z sob tensões do aço COS-CIVIL 350.............................................................133
Figura 7.1 Curva para análise da instabilidade pelo método das faixas finitas................135
Figura 7.2 Perfil de aço formado a frio parcialmente discretizado para o MFF...............137
Figura 7.3 Deslocamentos dos elementos do perfil discretizado para o MFF..................137
Figura 7.4 Elemento de placa para o método das faixas finitas........................................138
Figura 7.5 Curvas para a instabilidade distorcional..........................................................143
Figura 7.6 Curvas do MRD sem consideração da interação entre os modos de
instabilidade............................................................................................................................144
Figura 7.7 Representação do fator de carga da tensão x comprimento de meia onda com
identificação dos modos de flambagem .................................................................................149
Figura 7.8 Comprimentos de meia onda para a flambagem local dos perfis Ue ..............155
Figura 7.9 Fatores de carga da flambagem local para os perfis Ue analisados.................155
Figura 7.10 Comprimento de meia onda para a flambagem distorcional dos perfis Ue ....157
Figura 7.11 Fatores de carga da flambagem distorcional para os perfis Ue analisados......157
Figura 7.12 Comprimento de meia onda para a flambagem global dos perfis Ue .............159
Figura 7.13 Fatores de carga da flambagem global para os perfis Ue analisados ..............159
Figura 7.14 Comprimento de meia onda para a flambagem local dos perfis Ze.................161
Figura 7.15 Fatores de carga da flambagem local para os perfis Ze analisados..................162
Figura 7.16 Comprimento de meia onda para a flambagem distorcional dos perfis Ze .....163
Figura 7.17 Fatores de carga da flambagem distorcional para os perfis Ze analisados......164
Figura 7.18 Comprimento de meia onda para a flambagem global dos perfis Ze ..............165
Figura 7.19 Fatores de carga da flambagem global para os perfis Ze analisados...............166
LISTA DE SÍMBOLOS
Letras romanas maiúsculas
A área da seção transversal
efA área efetiva do elemento enrijecido
ef'A área efetiva em caso de enrijecimento parcial
B largura da mesa de uma seção tipo I
Cw constante de empenamento
D espessura de uma seção tipo I
E módulo de elasticidade longitudinal do aço
F força admitida ou permissível; função de tensão para a fibra média da chapa
G módulo de elasticidade transversal do aço; módulo de rigidez
I momento de inércia
Ia momento de inércia adequado do enrijecedor
Imín momento de inércia mínima para cada enrijecedor
stI momento de inércia do enrijecedor
Ix, Iy momentos de inércia da seção transversal duplamente simétrica em relação aos eixos
principais x e y, com yx II ≥
I0 momento polar de inércia em relação ao eixo longitudinal ao centróide da seção
Iω momento setorial de inércia
J constante de torção
K coeficiente de flambagem
L comprimento em geral
M momento fletor interno
Mx, My momentos fletores em relação aos eixos x e y
Mcr momento crítico de flambagem
15
crLM momento crítico da instabilidade elástica local
crDM momento crítico da instabilidade elástica distorcional
creM momento crítico para a instabilidade elástica global
nLM momento nominal para a instabilidade local
nDM momento nominal para a instabilidade distorcional
Mne momento de interação entre o modo distorcional e global
sM momento estático
yM momento de escoamento do aço
N esforço normal à seção transversal do perfil
Nx, Ny forças de extremidades em relação aos eixos x e y
P carga concentrada aplicada no perfil
Pcr carga crítica de flambagem
Q carregamento transversal concentrado; força de cisalhamento
Qx, Qy forças cisalhantes em relação aos eixos x e y
T trabalho realizado por forças de extremidades; momento de rotação
U energia de tensões do sistema
V energia potencial total do sistema
Letras romanas minúsculas
a dimensão linear de comprimento
b menor dimensão da seção transversal entre a base e a altura; largura geral
b0 largura total da chapa enrijecida
bef largura efetiva para o elemento enrijecido sob esforços de compressão
bf largura da mesa
ef'b largura efetiva em caso de enrijecimento parcial
d altura do perfil
e excentricidade do carregamento
f força aplicada no sistema
fcr força crítica de flambagem
h altura útil do perfil; distância entre os centróides das mesas de um perfil
k coeficiente de flambagem do perfil
l comprimento efetivo
16
m número de ondas de deformações na direção do eixo x
n número de ondas de deformações na direção do eixo y
q intensidade do carregamento transversal distribuído
qx, qy carregamentos uniformemente distribuídos nas direções x e y
r raio de giração
rx, ry raio de giração em relação aos eixos x e y
t espessura do perfil em geral
tf espessura da mesa do perfil
tw espessura da alma do perfil
u vetor de deslocamentos
u, v, w componentes de deslocamentos ao longo dos eixos x, y, z
w deslocamento lateral do perfil, deflexão da placa normal à superfície
x, y, z sistema cartesiano de coordenadas
Letras gregas minúsculas
α ângulo de inclinação de um trecho da seção transversal
δ deslocamento linear ou deflexão da seção
γxy deformação devida a tensão de cisalhamento
ε deformação, amplitude das imperfeições iniciais
εx, εy componentes de deformação nas direções x e y
εy deformação para o escoamento do aço
θ deslocamento angular
λ índice de esbeltez do perfil
λL índice de esbeltez local
λD índice de esbeltez distorcional
ν coeficiente de Poisson
σx, σy componentes de tensão
σt tensão crítica para o módulo tangente
σy tensão de escoamento do aço
σcr tensão crítica de flambagem
τxy tensão cisalhante
φ deslocamento angular, modo de deformação
1 INTRODUÇÃO
As pesquisas antecedentes revelam uma tendência contínua no uso de estruturas de
execução rápida e de pouca espessura. Em grande parte, esta tendência é favorecida pelo
aumento dos materiais de alta resistência disponíveis, e pelas pressões de origem técnica e
econômica para a redução do peso das estruturas. As estruturas de aço propiciam uma redução
imediata dos custos, pelas economias diretas possíveis na fabricação, montagem e vida útil.
A construção de edificações e pontes, com estruturas de hastes de paredes delgadas,
conduz a redução de parte dos dispositivos mecânicos necessários e da quantidade de cimento
requisitada. Nos edifícios altos de dimensões externas fixas, por considerações arquitetônicas,
o ganho da superfície útil no emprego das estruturas de aço, pode reforçar a viabilidade
econômica do edifício. A redução do peso estrutural, quando permitida pelas cargas laterais,
promove alguma diminuição no tamanho dos elementos estruturais. Na construção de pontes,
o emprego dos componentes de aço possibilita uma maior redução no custo dos sistemas de
cabos e pilares.
1.1 GENERALIDADES
O constante aumento, na construção civil em geral, da utilização dos perfis de aço
formados a frio, constituídos por hastes de paredes delgadas e seção aberta, é justificado pelo
fato destas estruturas serem muito leves quando comparadas com os perfis de aço soldados ou
laminados a quente e com as estruturas de concreto armado. Os perfis de aço formados a frio
18
apresentam grande variedade de tipos de seção, com elevadas relações resistência/peso, sendo
favoráveis do ponto de vista econômico para as construções.
Existem fatores que não compensam o emprego de estruturas excessivamente
delgadas, e que necessitam de capacitação especial para o projeto, sendo complicados para a
fabricação, sensíveis aos danos físicos, ao fogo e à corrosão, em casos mais raros. No entanto,
as considerações econômicas e técnicas na tendência do uso de estruturas de pouco peso,
delgadas e de alta resistência, progridem contínua e significativamente.
O projeto de estruturas constituídas por perfis de hastes de paredes delgadas formados
por aço a frio, sob tensões de compressão, é determinado pelo critério da estabilidade, pois
estas estruturas apresentam taxa de perda da estabilidade de tensão em um nível bem menor
que a tensão de escoamento. Se a estrutura está carregada de maneira que a maioria da energia
de tensão está na forma de compressão da membrana do perfil, e se a energia armazenada na
membrana for capaz de se transformar em energia de momento, observa-se o fenômeno da
flambagem.
Grandes deformações são geralmente requisitadas para a conversão de uma
determinada quantidade de energia de membrana em energia de momento. Indica-se para a
estrutura, uma posição inicial de equilíbrio, representado pelo estado de pré-flambagem,
buscando uma posição posterior de equilíbrio, denominado estado de flambagem.
As equações clássicas de flambagem, disponíveis nas principais normalizações
adotadas, estão baseadas na concepção da transformação da energia de membrana em energia
de momento. As condições ideais não são observadas nas estruturas reais e os valores obtidos
pelas equações clássicas são muito conservadores, sugerindo os estudos de análise estrutural
fundamentados em problemas de flambagem, obtidos por testes experimentais.
O uso dos perfis de aço dobrados a frio resulta em dificuldades no projeto, distinta das
conhecidas para os perfis soldados ou laminados, sendo fundamental a utilização de critérios
de dimensionamento que considerem os diferentes modos de flambagem e a interação entre os
modos de flambagem. A flambagem local refere-se à flambagem de placas associadas, a
flambagem global refere-se aos modos de barra, como os modos de flambagem por flexão,
19
torção ou flexo-torção. A flambagem distorcional diz respeito à distorção da seção
transversal. Os três modos são mostrados na Figura 1.1.
Figura 1.1 Flambagem global por flexo-torção, local de placas e modo distorcional de
uma estrutura constituída por hastes de paredes delgadas.
As colunas de chapa de aço dobrada a frio são usualmente muito esbeltas, estando
sujeitas a diferentes modos de instabilidade (local, distorcional e global), e ao estado de
colapso. As especificações englobando os modos de flambagem não são sempre encontrados
nas normalizações convencionais de projetos estruturais.
1.2 PERFIS DELGADOS FORMADOS POR AÇO A FRIO
As peças estruturais compostas por aços de alta resistência, tiveram as seções cada vez
mais finas e reduzidas, conduzindo a problemas de projetos mais complexos. No campo da
estabilidade estrutural, deve-se considerar os fenômenos da flambagem local e global, com a
identificação dos modos de flambagem distorcional. Os perfis de aço formados por chapas
dobradas a frio, e seção aberta, possuem seções transversais com geometrias bem variadas,
geralmente com paredes muito finas e relação largura/espessura elevada, proporcionando a
observação dos fenômenos de instabilidade, ocasionados pela flambagem local, distorcional e
global, além da interação entre os modos de flambagem.
20
Na prática, as colunas de paredes delgadas formadas por aço a frio são produzidas com
o uso de enrijecedores, para o auxílio na resistência da flambagem local até determinada
proporção. A adoção dos perfis formados por chapas dobradas a frio com paredes esbeltas e
finas, propicia baixa rigidez à torção, agravando as deformações de torção das barras e
precipitando os modos de flambagem associados à torção.
As seções transversais formadas por chapas de aço dobradas a frio, com perfis do tipo
U enrijecido e do tipo Z, são muito utilizadas em telhados, coberturas e paredes de instalações
industriais e comerciais. Os perfis U enrijecido e Z, também, são usados como membros
estruturais de treliças planas e espaciais.
Os perfis do tipo rack, formados por perfis do tipo U com enrijecedores adicionais, são
utilizados em estruturas de estocagem industrial. As seções do tipo Z são usadas em estruturas
de telhados leves, possuindo, também, outras aplicações, como em estruturas de torres de
iluminação. Os perfis de seção do tipo U e Z são muito utilizados como elementos estruturais
do tipo viga em sistemas de cobertura, sendo altamente susceptíveis aos fenômenos de
instabilidade, devido às flambagens local, distorcional e global. Nestes perfis, os estados de
tensões abrangem valores adicionais devido à torção não uniforme, originada das cargas
aplicadas não alinhadas com o centro de cisalhamento. O fenômeno da torção não uniforme
requer análise detalhada da torção nos perfis formados por chapas dobradas a frio.
As forças transversais e longitudinais, não alinhadas com o centro de cisalhamento dos
perfis de aço formados a frio, originam esforços de torção em elementos estruturais do tipo
viga e do tipo viga-coluna. Esta verificação é muito observada em situações reais de
dimensionamento estrutural, onde além das excentricidades acidentais, os perfis de aço
formados a frio com paredes delgadas e seção aberta, dificultam a aplicação das forças
alinhadas com o centro de cisalhamento.
Os perfis de chapas de aço formadas a frio, de seções abertas, delgadas e
monossimétrica são conduzidos à perda de estabilidade pela interação de dois ou mais modos
de instabilidade, como a flambagem local de cada componente da placa e a flambagem global.
No caso do modo de flambagem distorcional, cada componente da placa sofre distorção com
deslocamento lateral. A ocorrência da flambagem distorcional depende da geometria da seção
e do comprimento da coluna.
21
Figura 1.2 Modos de flambagem global, local e distorcional para perfis do tipo U.
Pesquisadores têm investigado os modos de flambagem, observados nos mais comuns
tipos de seções formadas por aço a frio, utilizadas nos projetos estruturais. DAVIES & JIANG
(1998) usaram a formulação da Teoria Generalizada de Vigas, para a avaliação dos modos de
flambagem individualmente separados ou em combinações selecionadas. O trabalho realizado
por HANCOCK (1985) apresentou um estudo detalhado da taxa de variação dos modos de
flambagem local, de distorção e de flexo-torção em seções transversais do tipo U.
As análises feitas por LAU & HANCOCK (1987) promoveram expressões analíticas
que permitem que a tensão de flambagem distorcional seja calculada explicitamente para
colunas com seção transversal delgada de perfis do tipo U. O estudo desenvolvido por LAU &
HANCOCK (1990) propôs curvas para o projeto de seções, onde a tensão de flambagem
distorcional é aproximadamente igual à tensão de escoamento.
O trabalho realizado por KWON & HANCOCK (1992) estudou perfis de seção U
simples e com enrijecedores intermediários, em condições de apoios fixos. A escolha da seção
geométrica e da tensão de escoamento do aço ocorreu de forma a garantir uma reserva
substancial da tensão pós-crítica de flambagem, para o teste da seção na análise do modo de
flambagem distorcional.
22
As observações dos efeitos de flambagem, por compressão axial, das estruturas de
paredes delgadas constituídas por perfis formados por aço a frio, na região elástica,
evidenciam grande dispersão entre as cargas de flambagem experimentais aplicadas nos
modelos, relevantes variações entre os valores experimentais e clássicos, e aumento da
discrepância com a elevação da relação altura/espessura da alma do perfil. As explicações
destes fatos são devidas à presença de imperfeições geométricas iniciais, à não linearidade do
material, à excentricidade do carregamento e à influência dos tipos de apoio nas extremidades.
O objetivo dos estudos é a determinação de um procedimento que forneça as cargas de
flambagem com o auxílio do método dos elementos finitos e de formulações empíricas, para a
verificação das cargas de flambagem obtidas experimentalmente. As análises, utilizando-se
dos métodos dos elementos finitos, representam uma ferramenta muito usada, principalmente
para a verificação dos testes experimentais realizados nas seções transversais formadas por
chapas de aço dobradas a frio. As colunas de aço com seções de paredes delgadas e
perfurações ao longo do comprimento apresentam comportamento complicado, quando
submetidas a carregamentos axiais.
1.3 ESTUDOS RELATIVOS AO TEMA
As pesquisas, para o comportamento de colunas constituídas por perfis de aço
formados a frio, iniciaram-se na década de quarenta, com estudos baseados na Universidade
de Cornell (Estados Unidos), onde foram realizados os testes experimentais iniciais de
propriedades das seções dos perfis por WINTER (1940), WINTER (1943) e WINTER (1949).
O trabalho realizado por LUNDQUIST & STOWELL (1943) foi baseado nas propostas
iniciais de TIMOSHENKO & GERE (1936), e forneceu a solução da flambagem elástica em
placas, proporcionando métodos práticos para o cálculo da estabilidade de placas associadas.
A solução da análise pós-crítica para tensões últimas, baseada no método das larguras
efetivas, foi inicialmente apresentada por VON KÁRMÁN, SECHLER & DONNELL (1932),
e as correções experimentais do método foram realizadas por WINTER (1947).
23
Na década de cinqüenta, as obras de CHILVER (1951), CHILVER (1953) e HARVEY
(1953) definiram o comportamento teórico e experimental de colunas constituídas por hastes
de paredes delgadas, com o auxílio de estudos realizados no Reino Unido. Atualmente, as
modernas pesquisas do comportamento de colunas de aço formadas a frio, ainda têm como
referência os estudos iniciais de Chilver, que foram fundamentados nas soluções da
estabilidade elástica para a flambagem local de placas e no método das larguras efetivas para
tensões últimas.
Na década de sessenta, as pesquisas em colunas de perfis de aço formados a frio,
inicialmente não consideraram a flambagem distorcional, focando-se nas propriedades do
material KARREN (1965), KARREN & WINTER (1967) e URIBE & WINTER (1969), e no
comportamento de colunas longas CHAJES, FANG & WINTER (1966) e PEKÖZ (1969). Na
mesma época, pesquisadores no Canadá investigaram a otimização da geometria de colunas,
constituídas por perfis de aço formados a frio, e o emprego do uso de enrijecedores de bordas
DIVAKARAN (1964), na Universidade de McMaster, e VENKATARAMAIAH (1971), na
Universidade de Waterloo, respectivamente.
Estudos experimentais, englobando colunas de alumínio formadas por perfis do tipo
U, foram realizados por DWIGHT (1963), que posteriormente proporcionou a verificação do
tratamento teórico da flambagem distorcional, de acordo com simplificações da restrição
rotacional na junção alma-mesa, obtida no trabalho de SHARP (1966).
O método da placa dobrada foi desenvolvido pelas pesquisas verificadas por
GOLDBERG, BOGDANOFF & GLAUZ (1964), que diagnosticaram a flambagem lateral e
de torção em vigas de hastes de paredes delgadas, incluindo-se a distorção da seção. O
método demonstrou a flambagem distorcional de seções transversais abertas, sob ação de
carregamentos provenientes de compressão axial e momento.
Na mesma época, a obra realizada por WITTRICK (1968) desenvolveu um método de
rigidez exata, baseado no estudo da flambagem em painéis rígidos, sob tensões de
compressão. Os estudos não englobaram os perfis de seção aberta, no entanto, os modos de
flambagem distorcional foram inicialmente observados.
24
Na década de setenta, as pesquisas relacionadas ao estudo das colunas de perfis de aço
formados a frio concentraram-se na interação entre os modos de flambagem local e
flambagem global. Os modos de interação global envolvendo a flexão, a torção e a flexo-
torção, propiciaram os trabalhos desenvolvidos por DEWOLF (1974), KLÖPPEL &
BILSTIEN (1976), RHODES & HARVEY (1977), PEKÖZ (1977) e LOUGHLAN (1979).
Durante estes anos, realizaram-se numerosas pesquisas no âmbito das colunas de
seção transversal do tipo U simples e enrijecida, ensaiadas em laboratório com as
extremidades em condições de apoio livre e engastada, observando-se o fenômeno da
interação entre a flambagem local e global. Particularmente, para as colunas com as
extremidades livres, o trabalho desenvolvido por RHODES & HARVEY (1977) justificou
este fenômeno, devido a um desvio na linha de ação das forças externas e internas, originado
por uma redistribuição assimétrica das tensões longitudinais quando se produz a flambagem
local, mudanças na posição do centróide da seção efetiva, conduzindo a uma excentricidade
na aplicação das forças nas extremidades articuladas da coluna. A excentricidade da força de
compressão, em relação à nova posição do centróide, gera compressão excêntrica ou flexo-
compressão, produzindo a flambagem global.
Os trabalhos prosseguiram com estudos em elementos não enrijecidos realizados por
KALYANARAMAN, PEKÖZ & WINTER (1977) e em elementos com enrijecedores
intermediários e de bordas desenvolvidos por DESMOND (1977). Na Alemanha, foram
realizados estudos experimentais e analíticos, em elementos com enrijecedores de bordas,
com a substituição física da junção entre a mesa e a alma do perfil por um apoio simples,
fazendo-se o uso de condições de extremidades conhecidas KLOPPEL & UNGER (1970).
Os estudos propostos por DESMOND (1977) formularam a base da normalização
norte americana AISI (1996), nas especificações de elementos com enrijecedores de borda.
Nos trabalhos de Desmond, a flambagem distorcional é reportada por flambagem do
enrijecedor, reconhecendo que a tensão crítica de flambagem distorcional é maior que a
tensão crítica de flambagem local.
Com o auxílio de dados experimentais, Desmond propôs expressões empíricas para o
cálculo adequado do enrijecedor de borda. Nos casos, onde o enrijecedor de borda adequado
não conduz a soluções economicamente viáveis, foi proposta uma solução empírica única para
25
o coeficiente de flambagem, k, de um elemento com enrijecedores de borda, tanto para a
flambagem local, quanto para a flambagem distorcional. Como resultado, a flambagem
distorcional foi incorporada nas especificações da normalização norte americana AISI (1996),
sendo tratada como um outro modo de flambagem, e não como um modo distinto do modo de
flambagem local de placa.
Como parte das pesquisas na Suécia, o trabalho realizado por THOMASSON (1978)
proporcionou estudos experimentais em perfis de seção transversal do tipo U com alma
esbelta. Para aumentar a tensão de flambagem local das almas, foram utilizados como
enrijecedores pequenas dobras intermediárias nas mesmas. O problema da flambagem local
foi solucionado, porém foi criado um problema chamado de flambagem local torcional. A
otimização da seção para remover o modo local, originou um problema de distorção.
Thomasson considerou o modo local torcional desfavorável e fez uso de suportes espaçados
unindo os enrijecedores, assegurando que a flambagem distorcional não ocorresse, e fazendo
com que o modo local fosse novamente dominante.
Os estudos na Universidade de Cornell (Estados Unidos) prosseguiram baseados nas
imperfeições e tensões residuais desenvolvidos por DAT (1980) e WENG (1987), e na
interação de flambagem local conduzidos por MULLIGAN (1983). As análises promovidas
por LOH (1985), juntamente com a formulação unificada do método das larguras efetivas
verificadas por PEKÖZ (1987), proporcionaram resultados de pesquisas experimentais e
teóricas realizadas em vigas-colunas, de seções esbeltas, submetidas a esforços de
carregamento axial com simples e dupla excentricidade.
O estudo realizado por MULLIGAN (1983) encontrou flambagem distorcional em
testes experimentais, e seguiu a terminologia utilizada por THOMASSON (1978),
denominando-a de modo de flambagem local torcional. Mulligan observou que o critério do
momento de inércia adequado, proposto por DESMOND (1977), não era capaz de restringir o
modo local torcional em muitos casos.
Na Universidade de Strathclyde (Escócia, Reino Unido), os estudos de interação dos
modos local e global prosseguiram com RHODES & LOUGHLAN (1980) e ZARAS &
RHODES (1987), e análises do comportamento de elementos com enrijecedores de borda
isolados desenvolvidas por LIM (1985) e LIM & RHODES (1986). As pesquisas de Lim
26
tiveram como base os estudos experimentais verificados por KLÖPPEL & UNGER (1970),
onde o modo de flambagem distorcional para as mesas dos perfis pode ser previsto de forma
precisa, de acordo com determinadas condições de extremidades. Pesquisas como as
realizadas por BATISTA, RONDAL & MAQUOI (1987) continuaram demonstrando grande
evidência para a interação dos modos de flambagem local e flambagem global de colunas.
Na década de oitenta, o objetivo dos pesquisadores era o problema da flambagem
distorcional, estudo evidenciado principalmente na Universidade de Sydney (Austrália). A
necessidade de investigar o comportamento de colunas de estruturas de estocagem industrial,
constituídas por perfis de aço formados a frio, proporcionou trabalhos sobre a flambagem
distorcional HANCOCK (1985) e LAU (1988). A forma dos perfis transversais, tipo rack, das
colunas de estruturas de estocagem, asseguravam que a flambagem distorcional muitas vezes
era dominante.
A versão específica do método das faixas finitas (MFF), para a abordagem do assunto
da flambagem por flexão da placa e da flambagem da membrana, em perfis de hastes
delgadas, foi desenvolvida por PLANK & WITTRICK (1974). A obra realizada por LAU &
HANCOCK (1986) ampliou o emprego do método das faixas finitas, com as funções spline,
verificadas por CHEUNG & FAN (1983), permitindo a análise de diferentes tipos de
carregamentos e condições de apoio, e o estudo dos modos de flambagem no estado pós-
crítico, com a interação entre os modos de flambagem.
Um método manual foi desenvolvido por LAU & HANCOCK (1987) para prever
estimativas da tensão elástica para a flambagem distorcional. Esta metodologia adota técnicas
analíticas clássicas similares às usadas no trabalho promovido por SHARP (1966), porém
engloba a instabilidade da alma da seção do perfil considerado.
No Japão, vários autores HIKOSAKA, TAKAMI & MARUYAMA (1987) e
TAKAHASHI (1988), publicaram artigos provenientes de trabalhos com estimativa da
flambagem distorcional em perfis de paredes delgadas com seção transversal poligonal.
Nos Estados Unidos, o trabalho concluído por SRIDHARAN (1982) desenvolveu o
método das faixas finitas para estudar as tensões críticas no estado de pós-flambagem no
modo de flambagem distorcional, demonstrando o rápido incremento das tensões de
27
membrana no extremo do enrijecedor, após a flambagem distorcional. Este fato indica, que a
reserva pós-crítica no modo de flambagem distorcional, pode não ser tão grande quanto no
modo de flambagem local, devido ao fato de o escoamento iniciar-se mais cedo no estado
pós-crítico de flambagem.
O comitê europeu de normalização EUROCODE 3: Projeto de Estruturas de Aço,
Parte 1.3: Normas Gerais (1996), fornece um método para a estimativa da flambagem
distorcional, em colunas de seção transversal do tipo U enrijecida. O método descreve as
deformações devidas à distorção da alma e da mesa, mas utiliza uma curva de resistência da
coluna para o colapso do enrijecedor, não considerando a reserva de carga pós-crítica no
modo de flambagem distorcional.
Na Universidade do Missouri (Estados Unidos), o trabalho realizado por KASSAR,
PAN & YU (1992) proporcionou estudos do efeito da taxa de tensões em colunas. Na
Universidade de Cornell (Estados Unidos), pesquisas sobre os efeitos de carregamentos
excêntricos e perfurações da alma foram conduzidas por MILLER & PEKÖZ (1994). Estudos
no Canadá e nos Estados Unidos, examinaram colunas de seção do tipo Z, demonstrando
experimentalmente evidências de colapso, devido à distorção, e problemas na especificação
da normalização norte americana AISI (1986). Estas análises foram conduzidas por
POLYZOIS & SUDHARAMPAL (1990), PURNADI, TASSOULAS & POLYZOIS (1990) e
POLYZOIS & CHARVANICHBORIKARN (1993).
Os trabalhos na Universidade de Sydney (Austrália) prosseguiram com os estudos
promovidos por KWON (1992), que conduziu experimentos em perfis do tipo U com e sem
enrijecedores na alma. O modo de flambagem distorcional não foi restringido, e os testes
demonstraram que a interação do modo de flambagem distorcional com os outros modos é
fraca. O modo de flambagem distorcional provou ter menor capacidade de carga pós-crítica
no modo distorcional, que no modo de flambagem local. Os resultados foram resumidos e
novas curvas de tensões de colunas para o colapso, devido à distorção, foram apresentadas na
obra realizada por HANCOCK, KWON & BERNARD (1994).
A pesquisa experimental, relatada por YOUNG (1997), demonstrou que as colunas de
apoios fixos nas extremidades, não sofrem a mesma influência dos problemas de interação
entre os modos de flambagem local e global, observado nas colunas com os bordos
28
simplesmente apoiados. A interação do modo de flambagem distorcional com os outros
modos, também foi verificada, sendo considerada fraca.
Os estudos promovidos na Universidade de Strathclyde (Escócia, Reino Unido)
proporcionaram o trabalho realizado por SEAH (1989), que investigou o comportamento dos
modos de flambagem em perfis de hastes delgadas, de seção tipo U, com enrijecedores de
borda, desenvolvendo métodos manuais para prever valores estimativos da flambagem
distorcional, similares aos tratamentos propostos por LAU & HANCOCK (1987) e SHARP
(1966).
Na verificação da tensão última, as pesquisas realizadas por SEAH & RHODES
(1993) trataram o modo de flambagem distorcional de uma maneira similar ao modo de
flambagem local, propondo o método aproximado das larguras efetivas, em detrimento da
curva aproximada de coluna, proposta pelos pesquisadores de Sydney. O estudo indicado por
CHOU, SEAH & RHODES (1996) resume estimativas para as especificações de projetos de
colunas de aço formadas a frio, encontrando limitações e discrepâncias em todas as principais
especificações de projeto anteriores.
Na década de noventa, as investigações teóricas demonstradas por SCHARDT (1989)
e DAVIES, LEACH & HEINZ (1994), tornaram a Teoria Generalizada de Vigas (GBT) uma
ferramenta muito utilizada no estudo da flambagem distorcional de colunas. Com o auxílio da
Teoria Generalizada de Vigas, o trabalho desenvolvido por DAVIES & JIANG (1996) provou
que o modo de flambagem distorcional possui pouca interação com os outros modos de
flambagem. A Teoria Generalizada de Vigas é usualmente aplicada apenas em casos de
análises elásticas, mas Davies e Jiang aprovaram as curvas de tensões de colunas propostas
por HANCOCK, KWON & BERNARD (1994) para prognóstico das tensões últimas.
A análise realizada por SCHAFER (1997), utilizando o método das faixas finitas e
modelagem em elementos finitos, demonstrou que o modo distorcional possui maior
suscetibilidade de imperfeição do que os modos de flambagem local. Observando-se, também,
que o modo distorcional possui menor capacidade de carga pós-crítica de flambagem
comparado aos modos locais. Devido à complexidade e limitações dos modelos usados no
dimensionamento de barras, submetidas aos fenômenos da flambagem, a obra concluída por
SCHAFER (1997) propôs uma metodologia para a avaliação da flambagem distorcional, que
29
utiliza a tensão de flambagem elástica da seção transversal completa, baseada em formulações
híbridas, do método das faixas finitas e dos métodos clássicos apresentados por SHARP
(1966). O novo método foi denominado Método da Resistência Direta (MRD). O trabalho
apresentado por SCHAFER (1998) demonstrou que as equações das especificações contidas
na normalização norte americana AISI (1986) e AISI (1996), para elementos com
enrijecedores longitudinais e de bordas, que foram propostas por DESMOND (1977),
superestimam a tensão de flambagem distorcional, particularmente na proporção na qual a
altura da alma em relação à largura da mesa è aumentada.
A normalização norte americana AISI (1996) incorporou os anexos A e B, datados de
janeiro de 2004, tratando do Método da Resistência Direta. O método tem formulações
específicas para o cálculo da resistência última, na interação entre flambagem local e global, e
na flambagem distorcional, respectivamente, para vigas e colunas. Os anexos agregam um
novo método opcional para o cálculo da resistência dos perfis de paredes delgadas, não
substituindo os procedimentos tradicionais indicados pela norma. O Método da Resistência
Direta foi ajustado com o auxílio de dados experimentais executados em vigas e colunas no
decorrer dos últimos quarenta anos.
A norma de estandardização australiana para estruturas de estocagem industrial de aço
AS 4084 (1993), e a normalização australiana e neozelandesa para estruturas constituídas por
chapas de aço formadas a frio AS/NZS 4600 (1996), foram desenvolvidas contendo regras de
projeto explícitas para a flambagem distorcional na compressão.
O estudo realizado por DAVIES (1998) mostra a análise teórica e os aspectos para o
projeto de estruturas metálicas com problemas acoplados de instabilidade, desenvolvendo
nova formulação para a Teoria Generalizada de Vigas.
Os trabalhos apresentados por SILVESTRE & CAMOTIM (2002) e SILVESTRE &
CAMOTIM (2003) avaliam o comportamento do estado de pós-flambagem em placas
laminadas de seção aberta, com membros de hastes delgadas, utilizando formulações
específicas da Teoria Generalizada de Vigas. Os estudos abrangem diferentes tipos de
carregamentos e condições de apoio, considerando a presença de imperfeições geométricas
iniciais arbitradas.
30
Atualmente, as pesquisas propostas por TALIKOTI & BAJORIA (2005) descrevem
uma metodologia fundamentada na análise experimental, e verificada pelo método dos
elementos finitos, que permite o aperfeiçoamento da tensão distorcional de colunas
intermediárias, constituídas por seções abertas de hastes delgadas. As análises persistem em
observações laboratoriais de testes de compressão em colunas intermediárias, com a adoção
de tubos concêntricos simples, aparafusados ao longo da coluna, e utilizados como conectores
das mesas das seções transversais da coluna.
1.4 ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO
O Capítulo 1 da pesquisa apresenta as generalidades dos perfis de aço formados a frio,
constituídos por hastes de paredes delgadas, como as dificuldades dos projetos destas
estruturas que requerem a utilização de métodos de dimensionamento que considerem os
modos de flambagem e a interação entre os modos de flambagem. São apresentados os tipos
de seções dos perfis delgados formados por aço a frio, e as suas principais utilizações
estruturais, com os devidos efeitos de flambagem observados. Os principais estudos relativos
ao tema do comportamento de perfis constituídos por aço dobrado a frio são relatados, desde
as primeiras pesquisas até os mais recentes trabalhos publicados em todo o mundo.
O Capítulo 2 apresenta o modo de flambagem global em perfis de hastes de paredes
delgadas sujeitas aos esforços de torção. É realizada a análise da torção pura em perfis de
hastes de paredes delgadas com seções transversais abertas, e a produção das tensões de
cisalhamento constantes ao longo do eixo longitudinal da estrutura. No estudo da torção não
uniforme em perfis de hastes delgadas de seções transversais abertas, é considerada a variação
da taxa de empenamento ao longo da peça estrutural, ocasionando tensões de compressão nas
fibras longitudinais proporcionais aos deslocamentos axiais de empenamento. A verificação
dos efeitos da flambagem torcional é feita nas seções transversais dos perfis delgados que
apresentam os centros de cisalhamento e os centróides coincidentes, realizando-se a análise
das condições de contorno observadas. A flambagem por flexo-torção de perfis esbeltos é
indicada nas seções transversais que não possuem o centro de cisalhamento coincidente com o
centróide, onde os efeitos do fenômeno da flambagem são representados pela combinação da
torção com o momento fletor.
31
No Capítulo 3 é relatada a flambagem local em perfis de hastes de paredes delgadas,
que são formados por placas finas e planas, onde o modo de flambagem local é caracterizado
pelas mesmas deformações em curvas ondulatórias das placas que compõem a seção. Os
métodos para a análise do modo de flambagem local são apresentados, englobando as
equações de equilíbrio da seção completa, as funções para a deflexão com o uso do método da
energia, e a avaliação na suposição dos graus de apoio nas condições de extremidades das
bordas longitudinais das placas constituintes do elemento estrutural. A interação entre os
modos de flambagem local e global é apresentada, com a indicação da tendência de distorção
da seção transversal analisada.
O Capítulo 4 indica o estudo da flambagem lateral em perfis de hastes de paredes
delgadas, observada em vigas esbeltas que possuem seções transversais com baixa rigidez à
flexão e à torção. O comportamento estrutural, mediante os efeitos da flambagem lateral, é
relatado, sendo influenciado pelas condições de apoio nas extremidades da viga, e do tipo e
posição dos carregamentos aplicados na estrutura. O estudo da flambagem elástica em perfis
simétricos é realizado para as seções transversais do tipo I e U, observando-se as condições de
apoio nas extremidades das vigas. São obtidas as equações para o momento crítico, devido a
flambagem lateral, para os perfis do tipo I e U, de acordo com o tipo de carregamento
aplicado e a sua posição em relação à seção transversal analisada, e as condições de apoio nas
extremidades da viga. São realizadas a avaliação das cargas excêntricas no momento crítico
dos perfis delgados, a análise da flambagem elástica em perfis assimétricos de hastes
delgadas, e a verificação da flambagem inelástica nos perfis esbeltos, com a indicação das
respectivas expressões do momento crítico para cada caso estudado.
No Capítulo 5 são obtidas as características geométricas para a torção dos perfis de
hastes de paredes delgadas de séries comerciais do tipo U, constituídos por aço a frio sem
revestimento, com os perfis organizados em 14 grupos, conforme disposição da NBR 6355
(2003). Calculam-se os momentos de inércia em relação aos eixos principais, o momento de
inércia à torção e a constante de empenamento das seções, proporcionando a avaliação das
tensões críticas de flambagem local em peças estruturais submetidas a esforços de
compressão, e do momento crítico de flambagem lateral de vigas formadas pelas seções
transversais estudadas. Os resultados são fornecidos com o auxílio da computação algébrica
simbólica (Mathcad), propiciando a análise numérica e gráfica, e a discussão dos valores
obtidos.
32
No Capítulo 6 é investigada a contribuição dos enrijecedores para os perfis do tipo U
com a realização de análise da inércia adequada com base na computação algébrica simbólica
em função das variações de espessuras para determinados grupos de perfis de mesma altura de
alma (bw).
O Capítulo 7 utiliza o método da resistência direta com o auxílio do programa
computacional CUFSM para a avaliação do comportamento dos modos de flambagem para os
perfis Ue e Ze. O programa permite a determinação dos comprimentos de meia onda e dos
fatores de carga críticos para as flambagens local, distorcional e global, com a discussão dos
resultados e comparação dos diversos grupos de classes dos perfis.
No Capítulo 8 são realizadas as considerações finais da pesquisa em função dos
resultados obtidos, bem como propostas para futuros trabalhos.
1.5 JUSTIFICATIVA
Com o surgimento dos aços de alta resistência, se tornaram mais esbeltas as seções
transversais das estruturas, ocasionando projetos mais complexos. Na análise da estabilidade
estrutural, deve-se considerar os fenômenos de flambagem local e global, com a identificação
dos modos da flambagem distorcional.
A instabilidade é o fator preponderante na capacidade do carregamento de vigas e
colunas constituídas por elementos de hastes de paredes delgadas, considerando-se a
flambagem flexional e/ou torcional, onde a viga pode sofrer flexão lateral ou girar para fora
do plano de carregamento.
Para o fornecimento de informações práticas ao dimensionamento e a verificação da
segurança quanto ao fenômeno da flambagem, observada nos elementos estruturais
constituídos por hastes de paredes delgadas, avaliam-se as tensões em pontos de
empenamento máximo do perfil e pontos discretizados ao longo do eixo longitudinal do
elemento estrutural.
33
Os perfis de hastes de paredes delgadas são muito utilizados como elementos de
estruturas de vigas, sendo bastante sensíveis aos fenômenos de instabilidade, como a
flambagem local, distorcional e global. As cargas aplicadas não alinhadas com o centro de
cisalhamento incluem valores adicionais devidos à torção não uniforme no estado de tensões
destes perfis. De acordo com o carregamento, podem-se gerar tensões normais elevadas,
levando a estrutura à perda de estabilidade por flambagem local ou distorcional das paredes
do perfil.
Os elementos dotados de hastes de paredes delgadas, condicionados aos fenômenos de
instabilidade apresentam os modos locais ou os modos globais de flambagem. Nos modos
locais, o plano da seção transversal da barra sofre deformações de geometria, com o eixo
longitudinal indeformável. Os modos globais produzem deformações na geometria do eixo
longitudinal, permanecendo invariável a seção transversal da barra.
Os fenômenos decorrentes dos modos locais de flambagem são classificados em duas
categorias, conhecidas por modo local de placa e modo distorcional. No modo local de placa
há ausência de deslocamentos das bordas comuns entre elementos, ocorrendo apenas
deformações de flexão. A flambagem distorcional é caracterizada por deslocamento lateral
das mesas, ocasionado pelas rotações da alma e das mesas, implicando na distorção da seção
transversal dos perfis de hastes de paredes delgadas.
Os fenômenos decorrentes dos modos globais de flambagem são classificados de
acordo com o tipo de elemento estrutural analisado. Os elementos estruturais do tipo viga são
suscetíveis ao modo global de flexão lateral. Para as estruturas viga-coluna, considera-se o
modo global de flexão em torno dos eixos principais, o modo global de torção e o modo
global de flexo-torção.
A excentricidade da força aplicada nas estruturas do tipo viga-coluna e o comprimento
do eixo longitudinal são fundamentais na verificação dos modos globais atuantes nesses
elementos estruturais. De acordo com o comprimento da coluna, pode-se ter o primeiro modo
de instabilidade de flexo-torção para colunas mais curtas, ou de flexão para colunas mais
longas.
Os modos de flambagem global usualmente provocam o colapso da estrutura. Já no
modo local, se considera uma reserva pós-crítica devido ao aumento gradual de rigidez,
34
provocado pelas tensões de tração das membranas dos elementos do perfil. O modo
distorcional apresenta capacidade pós-crítica reduzida em relação ao modo local de placa.
A interação entre os modos de flambagem pode ocorrer das seguintes maneiras:
• modo local de placa com modo distorcional;
• modo local de placa com modo global;
• modo distorcional com modo global;
• modo local de placa com modo distorcional e global.
Desta interação sugere-se a investigação original com base nos modelos finitos da
resistência pós-crítica nos perfis de hastes de paredes delgadas, o grau da instabilidade
elástica e a contribuição da plasticidade no mecanismo de colapso, configurando-se uma
mudança brusca de forma a ser investigada.
1.6 OBJETIVO
O objetivo principal do trabalho é observar os vários fenômenos decorrentes do
comportamento estrutural nos perfis de hastes de paredes delgadas, com o auxílio do método
das faixas finitas, da análise elástica e da programação matemática.
O estudo consiste na análise da estabilidade sob os aspectos linear e de interação entre
os modos de flambagem, considerando-se a avaliação da seção transversal completa dos perfis
delgados.
Ultimamente vários autores têm realizado estudos da análise em problemas de flexo-
torção em hastes de paredes delgadas de seção aberta, no âmbito das rotações de flexão
moderadas. Pretende-se adotar um modelo de análise prevendo grandes rotações, onde o grau
de complexidade é maior, buscando-se solucionar o problema com a formulação matemática.
35
1.7 METODOLOGIA E EQUIPAMENTOS NECESSÁRIOS
A formulação básica teórica iniciou-se com ampla pesquisa bibliográfica relacionada
ao assunto, realizada nas bibliotecas da COPPE-UFRJ, PUC-Rio, Universidade de São Carlos
e Universidade Nacional de Brasília. A elaboração da Tese prossegue na análise da
estabilidade das hastes delgadas através da programação computacional, utilizando-se o
método das faixas finitas e programas elaborados pelo autor com o auxílio da computação
algébrica simbólica. Em seguida, os resultados obtidos são analisados observando-se a
utilidade e o emprego de cada perfil, constatando-se a validação dos programas
desenvolvidos.
Os esforços últimos solicitantes para hastes delgadas são investigados, utilizando-se os
métodos da equação de interação para barras submetidas a flexo-compressão, NBR14762
(2001), método de análise de estabilidade de SCHAFER e PEKÖZ (1998), modelos de
POLILLO (1998), ATTARD (1986) e o emprego dos funcionais de PIAN (1964). Nas
condições de resistência considera-se um critério de ruptura para a obtenção de um sistema
governante na forma de programação. A análise plástica é efetuada por problemas duais de
programação linear associados aos teoremas estático e cinemático para a obtenção da solução
ótima.
Ainda na metodologia, leva-se em consideração a influência da excentricidade do
carregamento, para os casos em que este se aproxima do centro de cisalhamento, o que ainda
não foi feito por nenhum autor e constitui uma justificativa do mérito de originalidade da
pesquisa.
Quanto aos equipamentos, são utilizados os computadores do Laboratório de
Informática do Curso de Pós – Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal
Fluminense, o programa computacional CUFSM e outros desenvolvidos ao longo do curso,
através da computação algébrica simbólica (Mathcad).
2 FLAMBAGEM GLOBAL EM PERFIS DE HASTES DE PAR EDES DELGADAS
As tensões de flambagem em seções de perfis de hastes delgadas, com seção aberta,
ocorrem provenientes dos esforços de momento, no plano de simetria da seção transversal.
Para a otimização do projeto são desejáveis a menor área possível da seção, e o maior raio de
giração possível, conduzindo à utilização de seções de hastes delgadas com mesas ou almas
de comprimento extenso (WALKER, 1975).
2.1 INTRODUÇÃO
Na flambagem torcional, a parte mediana do perfil sofre rotação em relação aos
bordos, devida à baixa rigidez à torção. Os perfis delgados de seção aberta são propícios às
tensões de flambagem torcional, onde a instabilidade pode ocorrer por uma combinação entre
esforços de flexão e torção.
Os modos de flambagem global, para perfis delgados com seções transversais do tipo
U enrijecida, são ilustrados na Figura 2.1.
37
Figura 2.1 Modos de flambagem global para seções do tipo U enrijecida.
Os projetos de estruturas em hastes de paredes finas, sujeitas aos esforços de torção,
requerem conhecimento das relações entre a tensão de flambagem, a rigidez estrutural e a
disposição dos enrijecedores de flexão e de torção.
2.2 TORÇÃO PURA EM PERFIS DE HASTES DELGADAS COM SEÇÕES
TRANSVERSAIS ABERTAS
A torção pura indica que o comprimento da estrutura sofre torção uniforme em pares
opostos aplicados nas extremidades, com ação no plano normal ao eixo longitudinal, e com
extremidade livre para a ação do empenamento.
A Figura 2.2 ilustra o empenamento da estrutura, formada por perfis do tipo I, com a
distorção das seções planas dos membros.
38
Figura 2.2 Empenamento dos bordos livres da estrutura.
A distorção é eliminada pela condição de apoio das extremidades, que impede o
empenamento, e as tensões longitudinais são induzidas, aumentando a rigidez à torção.
Na torção pura apenas são produzidas tensões de cisalhamento, constantes ao longo do
comprimento da estrutura. A distribuição das tensões cisalhantes na seção transversal depende
da forma da seção, e usualmente a tensão de cisalhamento em qualquer ponto é tangencial à
linha média da seção.
O ângulo de torção θ para uma estrutura de comprimento L é fornecido por:
JG
T
L=θ
, (2.1)
onde T é o momento de torção e G J é a rigidez torcional da seção; sendo G o módulo de
rigidez transversal e J a constante de torção para a seção.
Elaborando a Equação (2.1), obtém-se a variação da torção expressa por:
dz
dJGT
θ= . (2.2)
39
Para seções abertas, sem grandes variações de espessuras entre membros adjacentes, a
constante de torção J, é dada por:
∫=S
0
3
3
dstJ , (2.3)
onde s é a distância ao longo da linha média do perfil, t é a espessura, e a integração é
realizada pelo comprimento total do perfil.
A aplicação de carregamentos transversais, em uma viga de seção de hastes de paredes
delgadas abertas, ocasiona tensões de torção e momento, a não ser que a linha de ação do
carregamento coincida com o centro de cisalhamento. Quando o carregamento tem ação no
centro de cisalhamento, o momento do carregamento externo em relação ao centróide da
seção contrabalança o momento proveniente da distribuição interna dos esforços cisalhantes
na linha média da seção transversal (CHILVER,1953).
Para seções transversais que apresentam dois eixos de simetria, o centro de
cisalhamento coincide com o centróide, e seções com um eixo de simetria, o centro cisalhante
está disposto no eixo, com deslocamento em relação ao centróide.
A Figura 2.3. ilustra o centro de cisalhamento para seções do tipo U.
CentróideCentro de Cisalhamento
Tensões Cisalhantes
e
b
b
t
2
1
Figura 2.3 Posição do centro de cisalhamento para seções do tipo U.
40
A distância do centro de cisalhamento à alma de seções do tipo U, designada por e, é
obtida por:
21
2
bb6
b3e
+= , (2.4)
onde b1 é a altura da alma e b2 é a largura da mesa do perfil.
A Figura 2.4 demonstra as posições do centro de cisalhamento para as seções
transversais de estruturas de hastes de paredes delgadas formadas por aço a frio.
Centróide
e CentróideCentróide
Centróide
Cisalhamentode
Centro
Centrode
Cisalhamento
Figura 2.4 Posições do centro de cisalhamento em relação ao centróide das seções.
O eixo do centro de cisalhamento permanece inalterado na torção, e as seções
transversais sofrem rotação em relação ao centro de cisalhamento.
41
2.3 TORÇÃO NÃO UNIFORME EM PERFIS DE HASTES DELGADAS COM
SEÇÕES TRANSVERSAIS ABERTAS
As estruturas que não possuem liberdade para sofrer o empenamento ou possuem
momento de torção variável ao longo do comprimento longitudinal, apresentam a taxa zd
dθ e a
quantidade de empenamento com variações no eixo longitudinal da peça estrutural. O
surgimento de tensões compressivas nas fibras longitudinais, zσ , é proporcional aos
deslocamentos axiais devidos ao empenamento, w.
As tensões de compressão zσ contribuem para o aumento das tensões cisalhantes, de
maneira similar ao cisalhamento produzido quando uma viga sofre ação de momento. As
tensões xσ não produzem momento ou força resultante axial.
O deslocamento axial devido ao empenamento w, é dado por:
( )zd
dwww ss
θ−= , (2.5)
onde:
∫=S
0
s sdrw , (2.6)
sendo r a distância do centro de cisalhamento à tangente em qualquer ponto da seção, e sw o
valor médio para sw em torno da seção completa.
A deformação axial z
w
∂∂
é obtida por:
( )2
2
sszzd
dww
θ−=ε . (2.7)
42
A tensão axial zσ é fornecida por:
( )2
2
sszzd
dwwE
θ−=σ . (2.8)
No estudo do aumento das tensões cisalhantes oriundas das tensões de compressão
zσ , considera-se um pequeno elemento da parede da seção, de altura ds e largura dz.
A Figura 2.5 ilustra uma seção transversal de uma estrutura com apoio fixo, e
aplicação do momento de torção na outra extremidade.
mn
op
c'
o'
T
x
y
z
Figura 2.5 Estrutura sob esforços de torção na extremidade livre.
A Figura 2.6 mostra a análise das tensões provocadas pelos esforços devidos à torção
em um elemento infinitesimal da barra.
43
zdz
zz ∂
σ∂+σ
zσ
τ
sds∂τ∂+τ
sd
zd
m n
o p
Figura 2.6 Elemento infinitesimal de uma seção aberta.
O equilíbrio do elemento em análise é dado por:
( ) ( )0sdzd
z
tzdsd
s
t z =∂
σ∂+
∂τ∂
. (2.9)
Como t é constante na direção z, obtém-se:
( )0t
s
t
z
z =σ
σ∂+
∂τ∂
, (2.10)
e a substituição por zσ , na Equação (2.8), fornece:
( ) ( )3
3
sszd
dwwtE
s
t θ−−=
∂τ∂
. (2.11)
Por integração, tem-se:
( )∫ −θ
−=τS
0
ss3
3sdtww
zd
dEt . (2.12)
44
A força de cisalhamento em um elemento da seção, de comprimento ds, é dada por
sdtτ , e a integração dos momentos provocados por estas forças em relação ao centro de
cisalhamento, proporciona a expressão da contribuição da torção devido às tensões de
empenamento:
( )∫ ∫∫
−
θ−=τ=
S
0
S
0
ss3
3S
0
w sdrsdtwwzd
dEsdtrT , (2.13)
sendo representada por:
( )∫ −θ
−=S
0
2ss3
3
w sdtwwzd
dET . (2.14)
A integral, indicada por ( )∫ −S
0
2ss tww , é denominada constante de empenamento,
equivalendo à constante de torção J, da Equação (2.3). A constante de empenamento é
denotada por wC , onde a combinação das Equações (2.2) e (2.14) fornece a equação
diferencial para a torção não uniforme:
3
3
wzd
dCE
zd
dJGT
θ−
θ= . (2.15)
Para uma seção de espessura uniforme, do tipo I, com comprimento da alma b1, e
momento de inércia Iy, em relação ao eixo coincidente com a linha média da alma, tem-se:
4
IbC
y2
1w = . (2.16)
45
Para uma seção de espessura uniforme, do tipo U, com comprimento de mesa b2,
pode-se escrever:
+
+=
21
213
22
1w b6b
b3b2
12
btbC . (2.17)
2.4 FLAMBAGEM TORCIONAL EM PERFIS DELGADOS
Nos tipos de seções transversais I, Z e cruciformes, onde o centro de cisalhamento e o
centróide coincidem, pode ocorrer flambagem pela torção da seção, com o eixo longitudinal
ao longo do centróide permanecendo inalterado. Considera-se uma seção arbitrária sob
esforços de tensão σ, e um elemento infinitesimal, de comprimento dz e largura ds,
posicionado a uma distância r do centro cisalhante, como demonstrado na Figura 2.7.
dz
ds
z
o
θ
Figura 2.7 Seção de hastes delgadas sob esforços de compressão.
46
A deflexão do elemento, quando a seção transversal sofre torção de ângulo θ, é dada
por θr . As forças compressivas nas extremidades do elemento são obtidas por sdtσ , sendo
equivalentes a um carregamento lateral q, por unidade de comprimento:
( )2
2
zd
vdsdtq σ−= , (2.18)
onde v é a deflexão normal.
Como θ= rv , pode-se escrever:
( ) rzd
dsdtq
2
2θσ−= . (2.19)
O momento do carregamento lateral, em relação ao centro de cisalhamento, é indicado
por:
( ) 22
2r
zd
dsdtm
θσ−= . (2.20)
O somatório do momento em toda a seção transversal fornece:
∫
θσ−=
S
0
22
2
s sdrtzd
dm , (2.21)
conduzindo a:
02
2
s Izd
dm
θσ−= , (2.22)
sendo I0 o momento polar de inércia, e mS a taxa de variação da torção em relação ao
comprimento da seção.
47
Observando a Equação (2.22), tem-se:
zd
Tdms −= . (2.23)
A substituição da Equação (2.15) na Equação (2.23) fornece:
θ−
θ−=
4
4
w2
2
szd
dCE
zd
dJGm , (2.24)
que substituindo na Equação (2.22), indica a equação diferencial da flambagem torcional, para
seções onde o centro de cisalhamento e o centróide são coincidentes:
( ) 0zd
dIJG
zd
dCE
2
2
04
4
w =θ
σ−−θ
. (2.25)
A solução da Equação (2.25) é dada por:
( ) ( ) 4321 AzAzpcosAzpsenA +++=θ , (2.26)
onde:
( )w
02
CE
IJGp
σ−−= . (2.27)
48
2.4.1 Condições de contorno das seções transversais
Para as seções simplesmente apoiadas, os bordos são fixos para a rotação e livres para
o empenamento. Com o comprimento L do membro, têm-se as seguintes condições de
contorno:
Lz,0zquando0 ===θ , (2.28)
como os bordos são livres para sofrer o empenamento, não existem tensões longitudinais
devido ao empenamento, então:
( ) 0zd
dwwE
2
2
ssz =θ
−=σ ,
Lz,0zquando0zd
d2
2===
θ. (2.29)
Aplicando as condições acima, na Equação (2.26), obtêm-se as equações lineares
simultâneas expressas por:
0AA 42 =+ ,
( ) ( ) 0ALALpcosALpsenA 4321 =+++ ,
(2.30)
0pA 22 =− ,
( ) ( ) 0LpcospALpsenpA 22
21 =−− .
49
A formulação matricial da Equação (2.30) fornece:
( ) ( )
( ) ( )
=
−−−
0
A
A
A
A
00LpcospLpsenp
00p0
1LLpcosLpsen
1010
4
3
2
1
22
2 . (2.31)
A equação característica é dada por:
( ) 0LpsenpL 4 = . (2.32)
Como ( ) 0Lpsen = , então π= nLp , e substituindo na Equação (2.27), tem-se:
π+=σ w2
22
0cr CE
L
nJG
I
1. (2.33)
O menor valor para crσ está associado com n = 1, sendo obtido por:
π+=σ
2
w2
0cr
L
CEJG
I
1. (2.34)
Pela Equação (2.30), observa-se que 0AAA 432 === , então para L
pπ= , pode-se
escrever a Equação (2.26) por:
π=θ
L
zsenA 1 . (2.35)
50
Para as seções engastadas, os bordos são fixos para a rotação e não são livres para o
empenamento. Com o comprimento L do membro, têm-se as seguintes condições de
contorno:
Lz,0zquando0 ===θ , (2.36)
como os bordos não são livres para sofrer o empenamento, não existem deslocamentos devido
ao empenamento, então:
Lz,0zquando0zd
d===
θ. (2.37)
Aplicando as condições acima, na Equação (2.26), obtêm-se as equações lineares
simultâneas expressas por:
0AA 42 =+ ,
( ) ( ) 0ALALpcosALpsenA 4321 =+++ ,
(2.38)
0ApA 31 =+ ,
( ) ( ) 0ALpsenpALpcospA 321 =+− .
A formulação matricial da Equação (2.38) fornece:
( ) ( )
( ) ( )
=
−
0
A
A
A
A
01LpsenpLpcosp
010p
1LLpcosLpsen
1010
4
3
2
1
. (2.39)
51
A equação característica é dada por:
02
LpcosLp
2
Lpsen2
2
Lpsen2 =
−
. (2.40)
Como 02
Lpsen =
, então π= n
2
Lp, e substituindo na Equação (2.27), para n = 1,
tem-se:
π+=σ
2
w2
0cr
L
CE4JG
I
1. (2.41)
Pela Equação (2.38), observa-se que 0AA 31 == , e 24 AA −= , então para
L
2p
π= , pode-se escrever a Equação (2.26) por:
π=θ
L
zsenA2 2
4 . (2.42)
2.5 FLAMBAGEM POR FLEXO-TORÇÃO DE PERFIS ESBELTOS
As seções transversais, que não possuem o centro de cisalhamento coincidente com o
centróide, podem sofrer o fenômeno da flambagem devido à combinação de torção e
momento. Considerando-se a flambagem em uma coluna arbitrária, a seção transversal é
deslocada lateralmente e sofre rotação simultânea (YOUNG; RASMUSSEN, 1998), como
ilustra a Figura 2.8.
52
u o'
c"
c'r
o
c
Centróide
Centro de Cisalhamentodeslocado
Rotação da seçãoem relação aocentro de
cisalhamento
Centrode
Cisalhamento
x
y
y0
x0
Figura 2.8 Torção e flexão da seção delgada aberta.
A rotação ocorre em relação ao centro de cisalhamento, definindo-se a posição final do
centróide, considerando a deflexão do centro cisalhante e do centróide na direção do eixo x
(w), a deflexão do centro cisalhante e do centróide na direção do eixo y (v), e a rotação do
centróide em relação ao centro cisalhante de um pequeno ângulo (θ).
As coordenadas do centro de cisalhamento, com respeito ao eixo coordenado, e origem
no centróide são x0 e y0. As novas coordenadas do centróide após o deslocamento lateral e a
rotação, em relação à posição inicial, são ( )θ+ 0yu e ( )θ− 0xv . Os momentos MX e MY do
carregamento P, em relação aos eixos principais, são obtidos por:
( )θ+−= 0y yuPM ,
(2.43)
( )θ−−= 0x xvPM .
53
As equações diferenciais para o equilíbrio do momento nas duas direções são:
( )θ+−= 02
2
y yuPxd
udIE ,
(2.44)
( )θ−−= 02
2
x xvPxd
vdIE .
Considerando-se o carregamento lateral equivalente no elemento da Equação (2.19),
adicionam-se os termos
2
2
zd
vdP e
2
2
zd
udP , levando-se aos momentos adicionais
02
2x
zd
vdP
e 02
2y
zd
udP
− . A Equação (2.22) é, então, apresentada por:
−+
θσ−=
2
2
02
2
002
2
szd
udy
zd
vdxPI
zd
dm . (2.45)
A substituição de zd
Tdms −= , na Equação (2.45), fornece:
( ) 0zd
udyP
zd
vdxP
zd
dIJG
zd
dCE
2
2
02
2
02
2
04
4
w =+−θ
σ−−θ
. (2.46)
As Equações (2.44) e (2.46) representam simultaneamente três equações diferenciais
para a solução geral das deflexões u e v, e a rotação θ.
54
Para as seções transversais com o centro de cisalhamento coincidente ao centróide, a
flambagem por flexo-torção não é observada, x0 = y0 = 0, obtendo-se:
uPxd
udIE
2
2
y −= ,
vPxd
vdIE
2
2
x −= , (2.47)
( ) 0zd
dIJG
zd
dCE
2
2
04
4
w =θ
σ−−θ
.
Para as seções transversais com um eixo de simetria, y0 = 0, a flambagem normal a
este plano envolve combinação de torção e flexão, conduzindo a:
uPxd
udIE
2
2
y −= ,
( )θ−−= 02
2
x xvPxd
vdIE , (2.48)
( ) 0zd
vdxP
zd
dIJG
zd
dCE
2
2
02
2
04
4
w =−θ
σ−−θ
.
55
2.5.1 Condições de contorno das seções transversais
Para as seções transversais que apresentam um eixo de simetria, simplesmente
apoiadas, os bordos são livres para sofrer o empenamento e fixos para impedir a rotação.
As condições de contorno são dadas por:
Lz,0zquando0 ===θ ;
(2.49)
Lz,0zquando0zd
d2
2===
θ.
Como não ocorre deflexão ou momento fletor nos bordos:
.Lz,0zpara0zd
vd,0v
2
2==== (2.50)
Supondo-se que a deflexão e a rotação possuem função senoidal ao longo da barra,
pode-se escrever:
π=
L
zsenAu 1 ,
π=
L
zsenAv 2 , (2.51)
π=θ
L
zsenA 3 .
56
A substituição da Equação (2.51) na Equação (2.48) fornece:
0AL
IEP 12
2
y =
π− ,
0AxPAL
IEP 3022
2
x =−
π− , (2.52)
0AIA
PJG
LCEAxP 302
2
w20 =
−+π−− ,
onde A é a área da seção transversal.
A formulação matricial da Equação (2.52) indica:
0
A
A
A
LCEJGI
A
PxP0
xPL
IEP0
00L
IEP
3
2
1
2
2
w00
02
2
x
2
2
y
=
π−−−
−π−
π−
. (2.53)
A equação característica da Equação (2.53) é representada por:
0xPL
CEJGIA
P
LIEP
LIEP 2
02
2
2
w02
2
x2
2
y =
−
π−−
π−
π− . (2.54)
57
A parcela, indicada por 2
2
yL
IEπ
, representa o carregamento de flambagem no plano
de simetria, sendo designado por yP . A parcela, representada por 2
2
xL
IEπ
, é o
carregamento de flambagem normal ao plano de simetria, sendo designado por xP . A parcela,
indicada por
π+
2
2
w0 L
CEJGI
A, representa o carregamento de flambagem da torção
pura, sendo designada por θP .
A Equação (2.54) pode, então, ser escrita por:
( ) ( ) ( ) 0xPPPPPA
IPP 2
02
x0
y =
−−−− θ . (2.55)
Obtendo-se as raízes, tem-se:
( ) ( ) 0xPPPPPA
I 20
2x
0 =−−− θ . (2.56)
Organizando a Equação (2.56), obtém-se:
( ) 0PPPPPI
xA1P xx
0
202 =−++
− θθ , (2.57)
onde o momento polar de inércia em relação ao centro de cisalhamento, é dado por:
20c0 xAII += , (2.58)
sendo cI o momento polar de inércia em relação ao centróide da seção.
58
A substituição da Equação (2.58) na Equação (2.57) fornece:
( ) 0PPPPPPI
Ixx
2
0
c =++− θθ . (2.59)
Para as seções transversais que não apresentam eixo de simetria, simplesmente
apoiadas, os bordos são livres para sofrer o empenamento e fixos para impedir a rotação.
As condições de contorno são dadas por:
Lz,0zquando0uv =====θ ;
(2.60)
Lz,0zquando0zd
ud
zd
vd
zd
d2
2
2
2
2
2=====
θ.
Supondo-se que a deflexão e a rotação possuem função senoidal ao longo da barra,
pode-se escrever:
( ) 0AyPAPP 301y =+− ,
( ) 0AxPAPP 302x =−− , (2.61)
( ) 0APPA
IAxPAyP 3
02010 =−+− θ .
A formulação matricial da Equação (2.61) indica:
( )( )
( )
0
A
A
A
PPA
IxPyP
xPPP0
yP0PP
3
2
1
000
0x
0y
=
−−
−−−
θ
. (2.62)
59
A equação característica da Equação (2.62) é representada por:
( )( )( ) ( ) ( ) 0PPxPPPyPPPPPPPA
Iy
20
2x
20
2xy
0 =−−−−−−− θ . (2.63)
2.6 CONSIDERAÇÕES DA FLAMBAGEM TORCIONAL EM PERFIS DELGADOS
A tensão máxima, para a flambagem torcional de um perfil de hastes delgadas, sofre
influência das imperfeições geométricas, das excentricidades dos carregamentos e das tensões
residuais. As análises teóricas da tensão baseada em condições perfeitas não são, então,
observadas na prática (KLÖPPEL; SCHUBERT, 1971).
Para as considerações relevantes no projeto de estruturas delgadas de perfil com seção
aberta, propõem-se a utilização da curva de flambagem por flexão, para uma estimativa da
tensão máxima de flambagem torcional. Nos parâmetros de entrada na curva, utiliza-se o
índice de esbeltez do perfil λE. A tensão crítica de flambagem torcional é dada por:
( ) 2E
2
torçãocrE
λ
π=σ . (2.64)
Como muitas curvas utilizam termos não dimensionais, tem-se:
y
máxN
σ
σ= ,
(2.65)
( )flexãocr
y
σ
σ=λ .
60
A Equação (2.64) pode ser escrita por:
( )
21
torçãocr
yE
σσ
=λ . (2.66)
Na análise de projetos estruturais, a tensão crítica de flambagem torcional é obtida,
com a Equação (2.66) usada como parâmetro de entrada na curva para Eλ . O valor de
N correspondente é utilizado na determinação da tensão máxima de flambagem torcional.
As pesquisas das tensões de flambagem torcional para uma variedade de seções
transversais, considerando os efeitos das tensões residuais e as imperfeições geométricas
iniciais, demonstram que a tensão crítica de flambagem torcional não ultrapassa o valor da
tensão de flambagem devida à flexão.
3 FLAMBAGEM LOCAL EM PERFIS DE HASTES DE PAREDES DELGADAS
O modo de flambagem local é observado em perfis compostos por placas finas e
planas, causando a flambagem simultânea dos elementos de placa. A flambagem local
caracteriza-se pelo surgimento de deformações, representadas por ondas na extensão do
membro, com as junções longitudinais entre os elementos adjacentes permanecendo
indeformáveis.
3.1 INTRODUÇÃO
O fenômeno da flambagem local dos elementos de placa, de uma seção transversal
constituída por hastes delgadas, ocorre sem a presença de esforços devido ao momento global
da estrutura ou a rotação do membro da placa. O modo de flambagem local é caracterizado
pelos bordos comuns das placas componentes permanecendo indeformáveis, pela manutenção
do ângulo original entre placas adjacentes nos bordos comuns durante a flambagem, e pelas
mesmas curvas de ondas para as deformações que ocorrem em todas as placas
simultaneamente, como ilustrado na Figura 3.1.
62
Figura 3.1 Deformações em curvas ondulatórias das placas componentes da seção.
As seções transversais que apresentam grandes variações nas espessuras dos
componentes de placa podem apresentar diferentes curvas de ondas para as deformações
devidas ao efeito da flambagem.
3.2 MÉTODOS DE ANÁLISE DO MODO DE FLAMBAGEM LOCAL
Os estudos da flambagem local estão fundamentados nas equações de equilíbrio para o
efeito da flambagem na seção completa, ou nas funções de deflexão com a utilização do
método da energia, ou na suposição dos graus de apoio nas bordas longitudinais das placas
componentes do elemento estrutural (GRAVES SMITH, 1966).
Os modos de flambagem local, para seções do tipo U enrijecidas, são mostrados na
Figura 3.2.
63
Figura 3.2 Modos de flambagem local para seções do tipo U enrijecidas.
As diferenças observadas nos métodos de análise são demonstradas numa seção
transversal, do tipo U, formada por hastes delgadas, com espessura uniforme e mesas iguais.
A alma da seção é referida por Placa 1, e a mesa por Placa 2.
y = b2
/ 2y = b1
Placa 1
Placa 2
Eixo de Simetria
o
Figura 3.3 Análise da seção transversal delgada.
64
3.2.1 Equações de equilíbrio
O modo de flambagem local apresenta um plano de simetria em relação à linha central
da alma, proporcionando a análise, de apenas, da metade da seção transversal.
Para o bordo comum entre a alma e a mesa da seção, tem-se y = 0, apresentando as
seguintes condições:
[ ]10y = bordo comum, 12
by
= plano de simetria,
[ ] 20y = bordo comum, [ ] 2by = livre.
O bordo comum permanece indeformável, não apresentando deflexão transversal neste
ponto, então:
[w y = 0 = 0] 1 ,
(3.1)
[w y = 0 = 0] 2.
O ângulo original entre as placas permanece inalterado após a flambagem:
0y
w
y
w
20y10y
=
∂∂
−
∂∂
==. (3.2)
O equilíbrio dos momentos, em relação à y = 0, para as placas é dado por:
0x
wv
y
wD
x
wv
y
wD
20y2
2
2
2
10y2
2
2
2=
∂
∂+
∂
∂−+
∂
∂+
∂
∂−==
. (3.3)
65
No bordo livre da Placa 2, o momento de flexão e a força de cisalhamento são nulos,
então:
0x
wv
y
wD
2by2
2
2
2=
∂
∂+
∂
∂−
=
,
(3.4)
( ) 0yx
wv2
y
wD
2by2
3
3
3=
∂∂
∂−+
∂
∂−
=
.
No plano de simetria da Placa 1, a inclinação e a força de cisalhamento são nulos,
então:
0y
w
12by
=
∂∂
=,
(3.5)
0yx
w
y
wD
12by
2
3
3
3=
∂∂
∂+
∂
∂−
=
.
As expressões para a força de cisalhamento no plano de simetria e no bordo livre da
seção transversal são diferentes. As placas apresentam uma curva comum para as
deformações de flambagem, com função da deflexão transversal diferente para cada placa.
As superfícies de deflexão são representadas por:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
πβ+β+α+α=
a
xmsenysenAycosAysenhAycoshAw
143211 ,
(3.6)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
πβ+β+α+α=
a
xmsenysenAycosAysenhAycoshAw
243212 .
66
A substituição das Equações (3.6) nas Equações (3.1), (3.4) e (3.5), com a inserção dos
valores apropriados para y, fornece:
02
qcosqA
2
qsenqA
2
pcoshpA
2
psenhpA
14321 =
+
−
+
,
02
qcosqA
2
qsenqA
2
pcoshpA
2
psenhpAD
24321 =
−
+
+
,
0]AA[ 131 =+ ,
0]AsAr[D]AsAr[D 232
12
132
12 =−+− ,
(3.7)
0]AqAp[D]AqAp[D 242142 =+−+ ,
0]AA[ 231 =+ ,
( ) ( ) ( ) ( ) 0]qcosrqAqsenrqApcoshspApsenhspA[D 22
42
32
22
1 =−++ ,
( ) ( ) ( ) ( ) 0]qsensAqcossApsenhrApcoshrA[D 22
42
32
22
1 =−−+ .
Para uma solução não trivial da Equação (3.7), o valor do determinante das equações
lineares e homogêneas deve ser nulo. O determinante é identificado por funções
características de cada placa isolada, sendo expresso por:
0B
S
b
b
B
S
2F2
1
1ys=
+
. (3.8)
67
Representando-se:
[ ][ ] 1ys
1ys
1ys B
S
B
S =
,
(3.9)
[ ][ ] 2F
2F
2F B
S
B
S =
,
sendo [ ] 1ysS a função característica para a Placa 1 rotulada no ponto y = 0, no plano de
simetria em y = b1 / 2, e [ ] 1ysB a função característica para a Placa 1 engastada no ponto y =
0, no plano de simetria em y = b1 / 2; [ ] 2FS a função característica para a Placa 2 rotulada no
ponto y = 0, livre em y = b2, e [ ] 2FB a função característica para a Placa 2 engastada no
ponto y = 0, livre em y = b2.
A estabilidade local de duas placas, com bordos comuns, pode ser expressa em termos
da estabilidade individual de cada componente das placas, rotuladas e engastadas na junção
dos elementos. A solução da Equação (3.8), para variados valores de 1
2
b
b, é obtida pelas
combinações de 1K e 1φ , juntamente com
2
1
212 b
bKK
= e
φ=φ
1
212 b
b.
A equação para a tensão crítica da seção completa é dada por:
( )2
1
1
2
21
cr b
t
v112
EK
−
π=σ , (3.10)
onde 1
11 b
a=φ , sendo 1a a largura, e 1b a altura do elemento de placa.
68
O gráfico, representado na Figura 3.4, indica os valores de ( )min1K para as variações
dos valores de 1
2
b
b.
2
2
1mín1 b
b5.0K
=
4K mín1 =
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1
2
3
4
5
SoluçãoExataK
mín
1
1
2
b
b
Figura 3.4 Coeficientes mínimos da flambagem local para seções do tipo U.
Para as seções que sofrem o efeito da flambagem local em deformações de curvas
ondulatórias, a tensão crítica virtualmente independe do comprimento, sendo representada
por:
( )( )
2
1
1
2
2min1
cr b
t
v112
EK
−
π=σ . (3.11)
69
3.2.2 Método da energia
O método da energia propõe a utilização de funções para a deflexão transversal da
seção. Uma solução é fundamentada na consideração da deflexão transversal da alma como
um somatório de uma curva senoidal e um arco circular. Uma placa sem restrições nos bordos
adota a curva senoidal, e uma viga, com momentos iguais e opostos aplicados nos bordos,
assume o arco circular.
A combinação fornece:
π
π+
−=a
xmsen
b
ysenB
b
y1
b
yA4w
11 . (3.12)
Na deflexão das mesas, considera-se uma curva que consiste do somatório de uma
linha reta e a deflexão de um elemento viga. Uma mesa, sem restrições nos bordos, sofre
rotação sem esforços de momento, e uma viga com restrições na origem sofre deflexão. A
combinação indica:
π
−
+
−
−=a
xmsen
b
y778.9
b
y852.9
b
y963.4
b
y
889.3
D
b
yCw
2
2345
2 .
(3.13)
3.2.3 Solução aproximada
Os métodos anteriores abrangem a interação da deflexão da alma e das mesas na
presença do fenômeno da flambagem. O método da solução aproximada assume a alma
simplesmente apoiada nos bordos longitudinais e as mesas simplesmente apoiadas nas junções
com a alma, considerando a tensão crítica da seção completa menor que as tensões críticas
para cada elemento separado.
70
A tensão crítica para a alma da seção é obtida por:
( ) ( )2
12
2
1cr b
t
v112
E4
−
π=σ . (3.14)
A tensão crítica para as mesas da seção é dada por:
( ) ( )2
22
2
2cr b
t
v112
E5.0
−
π=σ . (3.15)
Em termos de largura da alma da seção, pode-se escrever:
( ) ( )2
2
12
12
2
2cr b
b
b
t
v112
E5.0
−
π=σ . (3.16)
Tem-se para a alma:
( ) 4Kmin1 = , (3.17)
e para as mesas:
( )2
2
1
min1 b
b5.0K
= . (3.18)
As análises envolvendo seções de espessura uniforme, dos tipos U e I, podem ser
aplicadas em seções de espessura não uniforme na alma e nas mesas. Na solução exata, pode-
se utilizar uma formulação geral da Equação (3.8), representada por:
0B
S
tb
tb
B
S
2F3
12
321
1ys=
+
. (3.19)
71
As Figuras 3.5 e 3.6 ilustram os valores dos coeficientes mínimos de flambagem no
modo local, para seções transversais delgadas, com espessuras não uniformes.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1
2
3
4
5
1
2
b
b
6
2
1
t
t
0.6
0.8
1.01.251.6
b2
t2
1t
1b
1 m
ínK
Figura 3.5 Valores de ( )mín1K para seções do tipo U, com variação de espessura.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1
2
3
4
5
1
2
b
b
6
2
1
t
t
0.6
0.8
1.01.21.6
b2
b1
t1
2t
1 m
ínK
Figura 3.6 Valores de ( )mín1K para seções do tipo I, com variação de espessura.
72
3.3 FLAMBAGEM LOCAL EM PERFIS DE PAREDES DELGADAS COM MESAS
ENRIJECIDAS
Os enrijecedores são utilizados nos bordos livres das mesas das seções para propiciar
apoio e aumentar a tensão crítica de flambagem local. Nas seções transversais constituídas por
aço a frio, o elemento enrijecedor é formado pelo giro dos bordos livres de um determinado
ângulo estabelecido, e proporciona resistência à flexão devido ao momento externo atuante
nas mesas da seção. Uma análise aproximada pode ser realizada, com o comportamento da
alma e das mesas sendo tratado separadamente, e sem a consideração da interação entre os
elementos da seção. Considerando a alma simplesmente apoiada, com modos de flambagem
em deformações de curvas ondulatórias, tem-se:
( ) ( )2
12
2
1cr b
t
v112
E4
−
π=σ . (3.20)
A tensão crítica de flambagem das mesas é obtida com o uso de uma formulação
empírica da solução exata, ilustrada na Figura 3.7.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1
2
3
4
5
1
2
b
b
6
1
L
b
b
0
0.4
0.3
0.2
0.15
0.1
1b
2b
bL
1 m
ínK
Figura 3.7 Seções transversais do tipo U enrijecidas.
73
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1
2
3
4
5
1
2
b
b
6
1
L
b
b
0
0.3
0.2
0.1
b1
b2
Lb
1 m
ínK
Figura 3.8 Solução aproximada para seções transversais enrijecidas do tipo U.
A variação no aumento dos valores de ( )min1K para um determinado valor de
1
2
b
b,
com o aumento da relação das larguras 1
L
b
b, não apresenta relação linear, aproximando-se a
uma curva parabólica. No exemplo, para 0.1b
b
1
2 = , tem-se os valores de ( )min1K acrescidos
de
2
1
L
b
b26
em relação aos valores iniciais para ( )
min1K . Adicionando estes valores de
( )min1K na Equação (3.18), obtém-se:
( )2
1
L2
2
1
min1 b
b26
b
b5.0K
+
= . (3.21)
74
A substituição da Equação (3.21) na Equação (3.11) fornece:
( ) ( )2
12
22
1
L2
2
1
2cr b
t
v112
E
b
b26
b
b5.0
−
π
+
=σ . (3.22)
As tensões ( )1crσ e ( )
2crσ são consideradas as tensões críticas de flambagem da
seção completa. Na teoria aproximada, os valores de 1
L
b
b produzem rigidez suficiente nas
mesas para garantir tensões críticas maiores que as tensões de flambagem da alma.
3.4 MÁXIMA TENSÃO DE FLAMBAGEM
Os valores da tensão crítica de flambagem crσ , obtidos abaixo do limite elástico do
material, possibilitam para a seção o aumento da tensão final de compressão devido às
grandes deflexões e às ações na membrana das placas componentes. A tensão máxima de
flambagem máxσ é alcançada na ruptura do material. Os testes de compressão em seções de
aço formado a frio, do tipo U, revelam:
31
y
cr
y
máx66.0
σ
σ=
σ
σ, para
<
σ
σ1
y
máx. (3.23)
A Equação (3.23) pode ser escrita da forma:
σσ=σ 31
cr32
ymáx 66.0 , para
<
σ
σ1
y
máx. (3.24)
75
Uma seção de haste delgada, designada para sofrer o modo de flambagem local em
tensão crítica correspondente a um quarto da tensão de escoamento do aço ( )4/ycr σ=σ ,
oferece o colapso no valor de crmáx 5.2 σ=σ , indicando reserva considerável da tensão pós-
crítica de flambagem.
Os testes nas seções de aço formado a frio revelam um método analítico, considerando
a redistribuição das tensões ao longo dos bordos das placas componentes da seção após a
flambagem elástica, e o efeito das imperfeições iniciais, sendo representado por:
2
mcr
máx
mcr
máx
cr
máx
cr
y 152.0183.2
δε+−
σσ
+
δε+−
σσ
+σ
σ=
σσ
, (3.25)
onde ε é a amplitude de imperfeição inicial das placas componentes da seção, δm é a
amplitude destas imperfeições quando a tensão máxima nos bordos alcança o escoamento do
aço.
A relação, para os valores de ε e δm , é dada por:
0t
25.4125.4ttt cr
máx2
m3
m =
ε−
−
σ
σ+
εδ−
δ. (3.26)
Os valores para t
ε,obtidos experimentalmente, são fornecidos por:
21
cr
y3.0
t
σ
σ=ε
. (3.27)
76
3.5 CONSIDERAÇÕES DA FLAMBAGEM LOCAL EM PERFIS DELGADOS
As considerações no projeto de estruturas de aço formado a frio, com seção transversal
em hastes de paredes finas, designam uma margem de segurança entre os valores da tensão de
flambagem global devido à flexão, e a tensão de flambagem local dos elementos de placa
componentes da seção. A relação largura/espessura dos elementos estruturais sujeitos a
compressão axial, deve satisfazer a seguinte expressão:
9.02
1
cr
K ≤
σ
σ, (3.28)
sendo Kσ a tensão permissível para a flambagem global da coluna, e crσ a tensão de
instabilidade local dos elementos.
3.6 INTERAÇÃO ENTRE OS MODOS DE FLAMBAGEM LOCAL E GLOBAL
A metodologia analítica proporciona a obtenção da tensão crítica no modo de
flambagem local de uma seção delgada ( )crσ , e da tensão última de compressão denominada
tensão máxima compressiva ( )máxσ . A tensão crítica de flambagem local representa a tensão
em que a flambagem local primeiramente ocorre numa pequena extensão do membro, sem
tendência para a flambagem no modo de flexão, devido ao baixo índice de esbeltez da seção.
A tensão máxima de compressão indica a tensão última obtida pela continuação da
compressão do membro após a primeira verificação da flambagem (VAN der NEUT, 1968).
Os modos de flambagem distorcional, para os perfis de seções transversais enrijecidas
do tipo U, estão ilustrados na Figura 3.9.
77
Figura 3.9 Modos de flambagem distorcional das seções do tipo U enrijecidas.
3.6.1 Tensões máximas de flambagem local
A tensão crítica de flambagem local nas seções perfeitamente elásticas é obtida pelo
conhecimento da configuração, das proporções e do módulo de elasticidade da seção em
análise. O valor da tensão excedendo a margem de segurança ou a tensão de escoamento
( )yσ do material proporciona flambagem com o colapso estrutural, em uma tensão inferior a
( )crσ . Os valores calculados para ( )crσ , inferiores a
σ y3
2, fornecem uma reserva de
carga após a primeira ocorrência da flambagem, devida às grandes deflexões elásticas das
placas componentes, com o colapso acontecendo para uma tensão superior à ( )crσ .
O colapso ocorre, quando a intensidade da tensão nos bordos das placas componentes,
alcançam valores próximos à tensão de escoamento do aço, devendo-se observar a relação
( )ymáx σσ dada pela Equação (3.23).
78
3.6.2 Tensões da flambagem global
A tensão média de ruptura, para seções com elevados valores do índice de esbeltez,
não sofre influência da flambagem das placas componentes, tendo valor semelhante à tensão
de flambagem global da coluna. As seções, com valores bem reduzidos do índice de esbeltez,
apresentam o valor da tensão média de ruptura igual à tensão máxima de instabilidade local
( )máxσ . Para as seções, de valores intermediários do índice de esbeltez, o colapso é causado
pela interação dos modos global e local de flambagem.
O comportamento da coluna de seção de hastes delgadas, sem tendência para o
surgimento do modo local de flambagem, indica a tensão de flambagem por:
2
t2
EE
λ
π=σ , (3.29)
onde tE é o módulo de elasticidade tangente, e λ é o índice de esbeltez efetivo da seção.
3.6.3 Zona de interação dos modos global e local de flambagem
A curva de λσ xE se afasta da curva elástica no limite da tensão proporcional,
designada 0σ . Quando a flambagem local ocorre, no entanto, a curva deve aproximar os
valores da tensão máxima de compressão para baixos valores de esbeltez λ. A ligação da
tensão máxima de compressão ( )máxσ para reduzidos valores de λ, com a tensão de
flambagem ( )Eσ para elevados índices de λ, adicionada aos efeitos práticos de imperfeições
geométricas e de tensões residuais, é realizada pela curva de ajuste na zona de interação entre
os modos de flambagem local e global, ilustrada na Figura 3.10.
79
r
L
máxσ
tEσ Eσ
0σ
Interaçãode
Zonaσ
Figura 3.10 Zona de interação da flambagem global e local para perfis delgados.
Uma curva para a transição dos modos de flambagem global e local, adota ( )máxσ
como a tensão limite máxima, fornecendo a tensão de ruptura ( )σ :
( ) ( ) EEmáx σση=σ−σσ−σ , (3.30)
ou
( ) ( )2
1
yy
Emáx2
y
E
y
máx
y
E
y
máx
y1
4
11
2
1
σσ
σσ−
σ
ση++
σ
σ−
σ
ση++
σ
σ=
σσ
,
(3.31)
sendo 2
4
r
L10x3.0
=η − , a medida da magnitude do desvio inicial do perfil.
4 FLAMBAGEM LATERAL EM PERFIS DE HASTES DE PARE DES DELGADAS
O fenômeno da flambagem lateral é caracterizado pela ação de carregamentos devido
ao momento no plano de máxima rigidez à flexão, observando-se a combinação da torção e do
momento lateral da seção transversal. As vigas esbeltas constituídas por seções transversais
abertas de hastes de paredes delgadas apresentam baixa rigidez à flexão e à torção, sendo
susceptíveis aos esforços de flambagem para valores das tensões de momento
consideravelmente menores que a tensão de escoamento ou as tensões de reserva do aço.
4.1 INTRODUÇÃO
A tensão de flambagem elástica sofre influência das condições de apoio nas
extremidades da viga, e do tipo e posição dos carregamentos aplicados na estrutura. Os
esforços de momento causados por carregamentos transversais tornam importante a posição
vertical de aplicação da carga em relação ao eixo do centróide. Nas seções transversais
delgadas abertas, o ponto de aplicação do carregamento em relação ao centro de cisalhamento
é extremamente importante, e para todos os tipos de seções as imperfeições iniciais podem
definir o comportamento estrutural (YOSHIDA, 1977).
A viga retangular estreita, ilustrada na Figura 4.1, possui todos os carregamentos
aplicados no centro de cisalhamento da seção. As extremidades da viga são livres aos esforços
de rotação em relação aos eixos x e y, e rigidamente restritas para a rotação em relação ao
eixo z.
81
x
m
n
z
Figura 4.1 Viga retangular estreita sob carregamentos no centro de cisalhamento.
A ocorrência da flambagem lateral provoca deformações em uma seção distante z da
seção original, definida pelo deslocamento vertical do centróide, v, pelo deslocamento lateral
u, e pela rotação θ em relação ao centróide, como demonstrado na Figura 4.2.
M 0
M 0
z
y
m
n
z
Figura 4.2 Deformações provocadas pelos esforços em uma seção genérica da viga.
82
Consideram-se M1 e M2 os momentos de flexão da seção nos planos de mínima e
máxima rigidez respectivamente, 1φ e 2φ apresentam a inclinação dos eixos representativos
da viga nos planos de rigidez para o estado posterior a deformação da viga, como ilustrado na
Figura 4.3.
M 1
2M
0M
y
θ θ
- u
- v x
Figura 4.3 Representação dos esforços solicitantes na seção em análise.
As equações diferenciais para os momentos fletores são, então, indicadas por:
11
1 MSd
dIE =
φ,
(4.1)
22
2 MSd
dIE =
φ,
sendo I1 e I2 os momentos secundários de área nos planos de mínima e máxima rigidez, e S o
comprimento do elemento mensurado ao longo do eixo curvo da viga.
A equação para a rotação da seção é dada por:
zd
udM
zd
dJG 2−=
θ, (4.2)
83
onde o termo, ( )zdudM 2 , representa o componente de M2 na direção normal ao eixo curvo
da viga.
As vigas estreitas retangulares apresentam apenas torção uniforme, sem a
consideração do termo devido ao empenamento da seção transversal.
Considerando-se pequenos deslocamentos, as relações observadas entre as curvaturas
podem ser obtidas por:
θφ
−φ
=Sd
d
Sd
d
zd
ud 21
2
2,
(4.3)
θφ
+φ
=Sd
d
Sd
d
zd
vd 12
2
2.
As eliminações de 1φ , 2φ e S nas Equações (4.1), (4.2) e (4.3) fornecem:
θ−= 22
112
2
1 MI
IM
zd
udIE ,
θ+= 11
222
2
2 MI
IM
zd
vdIE , (4.4)
zd
udM
zd
dJG 2−=
θ.
84
Utilizando os métodos de diferenciação e substituindo por 2
2
zd
ud, tem-se:
0MI
IM
IE
M
zd
dJG 2
2
11
1
2
2
2=
θ−+
θ. (4.5)
Para os momentos de flexão M0, aplicado no plano vertical, tem-se 01 MM θ= , e
02 MM = , podendo-se escrever:
0I
I1
IE
M
zd
dJG
2
1
1
02
2
2=
−
θ+
θ. (4.6)
A solução da Equação (4.6) para as condições de contorno consideradas na análise, e
para M0 constante ao longo da viga, é dada por:
π=θ
L
zsenA 1 . (4.7)
A substituição da Equação (4.7) na Equação (4.6) fornece:
0I
I1
IE
M
LJG
2
1
1
02
2
2=
−−π
. (4.8)
A solução da Equação (4.8) indica o valor crítico do momento de flexão pura
( )rc0M :
( ) 21
1
rc0JGIE
LM
γπ= , (4.9)
sendo ( )21 II1 −=γ o efeito da flexão no plano vertical de estabilidade da viga.
85
O termo, representado por γ, corresponde ao efeito provocado pelo momento no plano
de estabilidade da viga. Para valores de I1 muito reduzidos comparados aos valores de I2, tem-
se 1→γ . Para valores iguais de I1 e I2, tem-se γ = 0, conduzindo ( )rc0M a valores infinitos,
e estabelecendo que as vigas com rigidez a flexão iguais, nos planos principais dos esforços
de momento, não sofrem o fenômeno da flambagem lateral.
4.2 FLAMBAGEM ELÁSTICA EM PERFIS SIMÉTRICOS DE HASTES DE PAREDES
DELGADAS
No estudo da flambagem elástica em perfis simétricos são investigadas as seções
transversais do tipo I e U. Os perfis constituídos por seções do tipo I apresentam dupla
simetria, com o centro de cisalhamento coincidente ao centróide. As seções do tipo U
apresentam simetria em relação ao eixo horizontal, com o centro de cisalhamento deslocado
em relação ao centróide (CHEUNG; KOO, 1988).
4.2.1 Análise em vigas formadas por perfis do tipo I simplesmente apoiadas
As equações para o equilíbrio de vigas do tipo I, para pequenos deslocamentos,
considerando o efeito da torção, são representadas por:
θ−= 22
112
2
1 MI
IM
zd
udIE ,
θ+= 11
222
2
2 MI
IM
zd
vdIE , (4.10)
3
3
w2zd
dCE
zd
dJG
zd
udM
θ−
θ=− .
86
A Figura 4.4 ilustra o efeito da flambagem lateral em um elemento de viga constituída
por seção transversal formada por perfil do tipo I simétrico.
y
x
θ
- u
- v
Figura 4.4 Flambagem lateral em uma viga composta por perfis simétricos do tipo I.
A diferenciação e a substituição por 22 zdd µ na Equação (4.10) fornece:
0IE
M
zd
dJG
zd
dCE
1
02
2
2
4
4
w =θγ
−θ
−θ
, (4.11)
sendo M0 o momento de flexão no plano vertical, e ( )21 II1 −=γ .
A solução da Equação (4.11) para os apoios da viga simplesmente apoiados, livres
para a rotação em relação aos eixos x e y, e rigidamente restritos à rotação em relação ao eixo
z, com valores constantes de M0 ao longo da viga, é indicada por:
π=θ
L
znsenA 1 , (4.12)
onde o primeiro modo de flambagem corresponde a n = 1.
87
Substituindo a Equação (4.12) na Equação (4.11), tem-se:
( )2
1
2
2
w1
rc0L
CEJGIE
LM
π+γ
π= . (4.13)
Para os valores dos modos de flambagem superiores, ...,4,3,2n = , a flambagem é
representada por deformações em várias curvas ondulatórias, n, fornecendo elevados valores
para o momento crítico, ( )rc0M . A Equação (4.13) pode ser escrita por:
( )2
1
2
2w2
11
rc0LJG
CE1
JGIE
LM
π+
γπ= , (4.14)
onde o termo representado por 2
1
2
2w
LJG
CE1
π+ indica o aumento do momento crítico,
( )rc0M , para uma viga retangular estreita, em relação aos efeitos diferenciais do momento
nas mesas de uma viga formada por perfis do tipo I.
A força crítica ( )rcf é obtida na divisão do momento crítico ( )rc0M pelo módulo da
seção para o momento em relação ao eixo x, dado por d
I2 2, sendo d a distância entre os
centróides das mesas do perfil.
Para uma viga retangular estreita, tem-se Cw = 0, e considerando γ = 1, obtém-se:
Ld
bGEf
2
rc π= , (4.15)
88
como ( )[ ]ν+= 12EG , sendo ν = 0.3, tem-se:
Ld
bE95.1f
2
rc = . (4.16)
O módulo de elasticidade longitudinal, E, apresenta valor 750 vezes superior a tensão
de escoamento do aço, fy, onde a Equação (4.16) indica que a flambagem elástica ocorre
apenas para valores muito reduzidos da largura das mesas, b, ou para valores extensos do
comprimento da viga, L.
Para a análise de seções do tipo I, tem-se 4dIC 21w = , onde d é a distância entre
os centróides das mesas. Considerando γ = 1, pode-se escrever:
( ) ( )
2
12
22
12
2
1
2
2
rc d
L
I12
IJ
I2
I
dL2
Ef
πν++
π= . (4.17)
Nos perfis do tipo I, a alma da seção proporciona contribuição muito reduzida nos
valores de I1, I2 e J, propiciando as soluções aproximadas:
12
bt2I
3
1 = ,
2
2 2
dtb2I
= , (4.18)
3tb3
2J = .
89
O raio de giração para a flambagem vertical ( )xr , e o raio de giração para a
flambagem lateral ( )yr , são dados, respectivamente, por:
2
drx = ,
(4.19)
12
bry = .
A substituição das Equações (4.18) e (4.19) na Equação (4.17) fornece:
( )
2
12
y22
y
2
rc dr
tL
13
21
rL
Ef
πν++
π= . (4.20)
4.2.2 Análise em vigas formadas por perfis do tipo U simplesmente apoiadas
A aplicação das cargas ou dos momentos de flexão na linha de ação do centro de
cisalhamento da seção, para a determinação do momento crítico ( )rc0M , indica que o valor
da força crítica ( )rcf independe da direção do deslocamento de flambagem da viga.
As deformações provocadas pela flambagem lateral em vigas do tipo U simplesmente
apoiadas, para a aplicação do carregamento no plano da alma da seção, são mostradas na
Figura 4.5.
90
y
x
θ
P
e
Centro de
Cisalhamento
Centróide
- u
- v
Figura 4.5 Flambagem lateral em perfis do tipo U simplesmente apoiados, com carga
aplicada no plano da alma da seção.
A tensão máxima atuante na seção, devida aos esforços de deslocamento e rotação,
está relacionada com a direção do deslocamento devido a flambagem. A excentricidade lateral
na aplicação de determinada carga em relação ao centro de cisalhamento indica a equação da
torção por:
3
3
w2zd
dCE
zd
dJG
2
eP
zd
udM
θ−
θ=−− , (4.21)
sendo, e, a excentricidade do carregamento, e P a carga centralizada.
4.3 CONSIDERAÇÕES DAS CONDIÇÕES DO CARREGAMENTO NA
FLAMBAGEM ELÁSTICA DE VIGAS
As cargas transversais, aplicadas em regiões acima do centróide da viga,
proporcionam a diminuição do valor crítico do momento de flexão, devido à perda adicional
de carga na rotação da viga em relação ao centróide ou ao centro de cisalhamento. O valor do
momento crítico, ao contrário, sofre aumento quando a carga é aplicada abaixo do centróide
da viga (NETHERCOT & TRAHAIR,1976).
91
4.3.1 Momento crítico para carregamento transversal por carga concentrada aplicada
no centro de cisalhamento de vigas simplesmente apoiadas formadas por perfis
do tipo U
O estudo da viga ilustrada na Figura 4.6, com os eixos de referência no centróide da
seção, demonstra que para uma seção genérica distante z da origem, as equações do momento
e da torção são dadas por:
0z2
L
2
P
zd
udIE
2
2
1 =θ
−γ− ,
0z2
L
2
P
zd
vdIE
2
2
2 =
−− , (4.22)
( ) 0uu2
P
zd
udz
2
L
2
p
zd
dCE
zd
dJG 13
3
w =−−
−+θ
−θ
,
onde u1 é a deflexão lateral no centróide da seção.
y
x
θ
PP
- u
- v
Figura 4.6 Carga aplicada no centro de cisalhamento de uma seção transversal do tipo U.
92
Os métodos de diferenciação e a substituição por 2
2
zd
ud na expressão da torção
permitem que a equação de equilíbrio seja escrita por:
0z2
L
IE4
P
zd
dJG
zd
dCE
2
1
2
2
2
4
4
w =θ
−γ
−θ
−θ
. (4.23)
A solução da Equação (4.23) para as condições dos apoios simplesmente apoiados é
fornecida por:
21
2
2w21
1
2rcLJG
CE1
JGIE
L
94.16P
π+
γ= . (4.24)
O momento crítico é, então, dado por:
( ) 21
2
2w21
1
rc0LJG
CE1
JGIE
L35.1M
π+
γπ= . (4.25)
A utilização do método da energia, na determinação do valor da carga crítica,
estabelece a energia de flexão e torção por:
∫ ∫ ∫
θ+
θ+
=
2L
0
2L
0
2L
0
2
2
2
w
22
2
2
1 zdzd
dCEzd
zd
dJGzd
zd
udIEU .
(4.26)
O trabalho realizado, pela carga P na flambagem, é indicado por:
∫
−θ=2L
02
2zd
zd
udz
2
LPW . (4.27)
93
A solução das Equações (4.26) e (4.27) e a substituição por 22 zdud na Equação
(4.22) fornece:
∫∫∫
θ+
θ=
−θγ
2L
0
2
2
2
w
2L
0
222L
0
2
1
2zd
zd
dCEzd
zd
dJGzdz
2
L
IE4
P,
(4.28)
assumindo a expressão
π=θ
L
zcosA 1 , chega-se à solução da carga crítica apresentada na
Equação (4.24).
4.3.2 Momento crítico para carregamento transversal por carga distribuída aplicada
no centro de cisalhamento de vigas simplesmente apoiadas formadas por perfis
do tipo U
O momento crítico provocado por um carregamento distribuído de intensidade q, no
plano vertical de uma seção transversal genérica, distante z da origem, é representado por:
( ) 21
2
2w21
1
rc0LJG
CE1
JGIE
L13.1M
π+
γπ= . (4.29)
4.3.3 Momento crítico para carregamento transversal por carga concentrada aplicada
no bordo livre de vigas em balanço formadas por perfis do tipo U
A equação do momento crítico no plano vertical de uma seção transversal genérica da
viga, ilustrada na Figura 4.7, distante z da origem, é dada por:
( ) 21
2
2w21
1
rc0LJG
CE1
JGIE
L28.1M
π+
γπ= . (4.30)
94
y
m
n
z
L
P
Figura 4.7 Carga transversal aplicada no bordo livre da viga em balanço.
4.3.4 Momento crítico para carregamento transversal por carga uniformemente
distribuída aplicada no centro de cisalhamento de vigas balanço formadas por
perfis do tipo U
O momento crítico provocado por um carregamento distribuído de intensidade q, no
plano vertical de uma seção transversal genérica, distante z da origem, é representado por:
( ) 21
2
2w21
1
rc0LJG
CE1
JGIE
L05.2M
π+
γπ= . (4.31)
95
4.3.5 Momento crítico para carregamento transversal aplicado em regiões superiores
ou inferiores ao centro de cisalhamento dos perfis transversais de vigas
Para uma carga concentrada aplicada no centróide de uma seção transversal em uma
viga retangular, tem-se:
∫∫∫
θ+
θ=
−θγ
+θ
±2L
0
2
2
2
w
2L
0
22L
0
22
1
20
2zd
zd
dCEzd
zd
dJGzdz
2
L
IE4
P
2
aP,
(4.32)
sendo o termo a± , a distância vertical do ponto de aplicação da carga acima ou abaixo do
centro de cisalhamento, como ilustrada na Figura 4.8. Considerando a distribuição
aproximada da torção em forma parabólica, tem-se a seguinte solução para a Equação (4.32):
+
+=
L
IEa66.1
L
IEa66.1
LJG
CE121IEJG
L
5.17P
12
12
1
2
w12rc µ . (4.33)
Cisalhamento
Centrode
-a
P
a negativo
a positivo
Figura 4.8 Carregamento aplicado acima do centro de cisalhamento da seção tipo U.
96
O valor da carga crítica é adicionado de dois termos envolvendo o parâmetro a / L,
devido ao efeito da carga aplicada a uma distância (a), do centro de cisalhamento da seção.
Considerando a distribuição da torção, com a utilização da função de deflexão mais precisa
que a forma parabólica, obtém-se:
+
π+=
L
aIE72.1
L
IEa72.1
LJG
CE1IEJG
L
94.16P 1
21
21
2
w2
12rc µ .
(4.34)
O momento crítico é, então, dado por:
( )
+
π+π=L
aIE72.1
L
aIE72.1
JG
CE
L1JGIE
L35.1M 1
21
2
1w
2
2
1rc0 µ .
(4.35)
Organizando a Equação (4.35), conclui-se que:
( ) ( )
π+++
π=
2
2
w1
w2222
12
1rc0L
CE
JG1
I
CaCaC
L
IECM , (4.36)
onde 35.1C1 = e 55.0C 2 = .
Para carregamento uniformemente distribuído, tem-se:
13.1C1 = ,
(4.37)
45.0C2 = .
97
As constantes para a carga centralizada no bordo engastado de vigas balanço são
apresentadas por:
28.1C1 = ,
(4.38)
64.0C2 = ,
sendo a, considerado positivo, para pontos de aplicação da carga inferiores ao centro de
cisalhamento da seção transversal.
4.4 AVALIAÇÃO DE CARGAS EXCÊNTRICAS NO MOMENTO CRÍTICO DE
PERFIS DELGADOS
Os carregamentos devidos ao momento fletor, aplicados num plano vertical que não
engloba o centro de cisalhamento do perfil, provocam a rotação e a deflexão lateral da viga no
início do carregamento (SCHAFER, 1997). Considerando uma carga centralizada aplicada no
centróide da seção, e desprezando-se a rigidez ao empenamento, pode-se escrever a equação
de equilíbrio da torção por:
( ) 02
ePuu
2
P
zd
udz
2
L
2
p
zd
dJG 1 =+−−
−+θ
. (4.39)
Por diferenciação da Equação (4.39) e substituindo por 2
2
zd
ud, obtém-se:
0z2
L
IE4
P
zd
dJG
2
1
2
2
2=θ
−γ
+θ
. (4.40)
As condições de contorno abaixo fornecem uma solução para a Equação (4.40):
2
Lzpara0 ==θ , então 0zpara
JG2
eP
zd
d=−=
θ.
98
A carga crítica pode, então, ser obtida com o auxílio da Figura 4.9, sendo:
21
1
2rcJGIE
L
94.16P
γ= , (4.41)
onde u1 é a deflexão lateral no centróide da seção.
θ
P
e
Centro de
Cisalhamento
0 2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
crP
P
1u
e
u1
Figura 4.9 Relação observada entre a carga aplicada e a deflexão lateral da seção.
4.5 FLAMBAGEM ELÁSTICA EM PERFIS ASSIMÉTRICOS DE HASTES DE
PAREDES DELGADAS
Nas vigas formadas por perfis do tipo I, com mesas de larguras diferentes, o centro de
cisalhamento não coincide com o centróide da seção transversal. Na Figura 4.10, o valor do
momento de inércia, Ic, da mesa comprimida devido à flexão lateral é maior do que o valor do
momento de inércia da mesa tracionada, It.
99
Mesa Comprimida
Mesa Tracionada
yt
Ic
I t
yc
Figura 4.10 Representação do perfil do tipo I assimétrico constituinte da viga.
Para a atuação do momento fletor uniforme em seções assimétricas do tipo I, pode-se
substituir o termo, aC2 , na Equação (4.36), pela distância (e) entre o centróide e o centro de
cisalhamento da seção. Considerando o momento de flexão puro, 1C1 = , e 1=γ , tem-se:
( )
π+++
π=
2
2
w1
w22
12
rc0L
CE
JG1
I
Cee
L
IEM , (4.42)
sendo ( )
1
ttcc
I
yIyIe
−= .
Nos casos onde a mesa tracionada é mais larga que a mesa comprimida, a Equação
(4.42) superestima o valor do momento crítico ( )rc0M , propiciando a utilização da distância
100
entre o centróide e o centro de cisalhamento, que assume 2
dyy tc == , e fornecendo a
solução aproximada:
( )1
tc
I2
dIIe
−= . (4.43)
Na consideração do momento fletor puro, para uma análise geral mais precisa,
substitui-se a expressão de (e) por ( )
++ ∫
A
22
2Adyxy
I2
1e . Para o estudo de outros
tipos de carregamentos, este termo é representado pelo coeficiente 3C , que possui valor igual
a 1.0 para momento de flexão puro, e valor aproximadamente igual a 2.5 para carga
transversal concentrada aplicada no centróide da seção.
Denotando o termo ( )
++ ∫
A
22
2Adyxy
I2
1e por j, pode-se representar a
equação generalizada do momento crítico para cargas aplicadas em uma distância (a) do
centro de cisalhamento da seção do perfil por:
( ) ( )
π+++++
π=
2
2
w1
w232322
12
1rc0L
CE
JG1
I
CjCaCjCaC
L
IECM ,
(4.44)
onde a é considerado positivo para pontos de aplicação da carga localizados abaixo do centro
de cisalhamento, e j é considerado positivo para o centro de cisalhamento situado entre o
centróide e a mesa comprimida.
101
4.6 FLAMBAGEM INELÁSTICA EM PERFIS DE HASTES DE PAREDES
DELGADAS
O fenômeno da flambagem inelástica ocorre para tensões menores que as tensões de
cálculo, quando o valor da tensão de flambagem elástica excede o limite elástico do material.
As vigas sob esforços de flexão pura, com tensão constante ao longo do eixo longitudinal,
apresentam decréscimo da rigidez com aumento da plasticidade das seções transversais, onde
a seção reduzida corresponde ao momento crítico aplicado.
Considerando a rigidez à flexão e à torção reduzidas, de acordo com a teoria do
módulo tangente, determina-se o momento crítico por:
( ) 21
2
2
t
wt21
t1t
rc0LJG
CE1
JGIE
LM
π+
γπ= . (4.45)
Assumindo a relação GGEE tt = , tem-se:
( ) 21
2
2w21
1t
rc0LJG
CE1
JGIE
LE
EM
π+
γπ
= . (4.46)
O valor calculado para o momento crítico elástico é reduzido pelo fator
E
E tno
estado inelástico, fornecendo uma solução aproximada para o caso de vigas sob ação de
esforços provenientes da flexão pura.
5 ANÁLISE DA TENSÃO CRÍTICA PARA FLAMBAGEM LOCAL E DO
MOMENTO CRÍTICO PARA FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS
Na análise dos perfis de hastes de paredes delgadas de séries comerciais do tipo U,
constituídos por aço a frio sem revestimento, foram calculadas as características geométricas
para a torção. Os perfis estão organizados em 14 grupos, conforme disposto na NBR 6355
(2003), e apresentados nas Tabelas 5.1 a 5.14. A obtenção dos momentos de inércia em
relação aos eixos principais, do momento de inércia à torção e da constante de empenamento
das seções propicia a avaliação das tensões críticas de flambagem local e do momento crítico
de flambagem lateral de vigas formadas pelas seções transversais estudadas.
bf
bw x
y
CGCTaam
t
x0
xg
bm
b
Figura 5.1 Perfil U simples.
103
Placa 1
Placa 2
Eixo de Simetria
b1
b2
Figura 5.2 Flambagem lateral das placas componentes da seção U.
Tabela 5.1 Grupo 1 de perfis analisados.
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)50 x 25 x 1.20 50 25 1.20 1.2050 x 25 x 1.50 50 25 1.50 1.5050 x 25 x 2.00 50 25 2.00 2.0050 x 25 x 2.25 50 25 2.25 2.2550 x 25 x 2.65 50 25 2.65 2.6550 x 25 x 3.00 50 25 3.00 3.00
DimensõesPerfil U
Tabela 5.2 Grupo 2 de perfis analisados.
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)75 x 40 x 1.20 75 40 1.20 1.2075 x 40 x 1.50 75 40 1.50 1.5075 x 40 x 2.00 75 40 2.00 2.0075 x 40 x 2.25 75 40 2.25 2.2575 x 40 x 2.65 75 40 2.65 2.6575 x 40 x 3.00 75 40 3.00 3.0075 x 40 x 3.35 75 40 3.35 3.3575 x 40 x 3.75 75 40 3.75 3.7575 x 40 x 4.25 75 40 4.25 4.2575 x 40 x 4.75 75 40 4.75 4.75
DimensõesPerfil U
104
Tabela 5.3 Grupo 3 de perfis analisados.
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)100 x 40 x 1.20 100 40 1.20 1.20100 x 40 x 1.50 100 40 1.50 1.50100 x 40 x 2.00 100 40 2.00 2.00100 x 40 x 2.25 100 40 2.25 2.25100 x 40 x 2.65 100 40 2.65 2.65100 x 40 x 3.00 100 40 3.00 3.00100 x 40 x 3.35 100 40 3.35 3.35100 x 40 x 3.75 100 40 3.75 3.75100 x 40 x 4.25 100 40 4.25 4.25100 x 40 x 4.75 100 40 4.75 4.75100 x 40 x 6.30 100 40 6.30 6.30
DimensõesPerfil U
Tabela 5.4 Grupo 4 de perfis analisados.
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)100 x 50 x 1.20 100 50 1.20 1.20100 x 50 x 1.50 100 50 1.50 1.50100 x 50 x 2.00 100 50 2.00 2.00100 x 50 x 2.25 100 50 2.25 2.25100 x 50 x 2.65 100 50 2.65 2.65100 x 50 x 3.00 100 50 3.00 3.00100 x 50 x 3.35 100 50 3.35 3.35100 x 50 x 3.75 100 50 3.75 3.75100 x 50 x 4.25 100 50 4.25 4.25100 x 50 x 4.75 100 50 4.75 4.75100 x 50 x 6.30 100 50 6.30 6.30
DimensõesPerfil U
Tabela 5.5 Grupo 5 de perfis analisados.
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)100 x 75 x 2.65 100 75 2.65 2.65100 x 75 x 3.00 100 75 3.00 3.00100 x 75 x 3.35 100 75 3.35 3.35100 x 75 x 3.75 100 75 3.75 3.75100 x 75 x 4.25 100 75 4.25 4.25100 x 75 x 4.75 100 75 4.75 4.75100 x 75 x 6.30 100 75 6.30 6.30100 x 75 x 8.00 100 75 8.00 12.00
DimensõesPerfil U
105
Tabela 5.6 Grupo 6 de perfis analisados.
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)125 x 50 x 1.20 125 50 1.20 1.20125 x 50 x 1.50 125 50 1.50 1.50125 x 50 x 2.00 125 50 2.00 2.00125 x 50 x 2.25 125 50 2.25 2.25125 x 50 x 2.65 125 50 2.65 2.65125 x 50 x 3.00 125 50 3.00 3.00125 x 50 x 3.35 125 50 3.35 3.35125 x 50 x 3.75 125 50 3.75 3.75125 x 50 x 4.25 125 50 4.25 4.25125 x 50 x 4.75 125 50 4.75 4.75125 x 50 x 6.30 125 50 6.30 6.30
DimensõesPerfil U
Tabela 5.7 Grupo 7 de perfis analisados.
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)125 x 75 x 2.65 125 75 2.65 2.65125 x 75 x 3.00 125 75 3.00 3.00125 x 75 x 3.35 125 75 3.35 3.35125 x 75 x 3.75 125 75 3.75 3.75125 x 75 x 4.25 125 75 4.25 4.25125 x 75 x 4.75 125 75 4.75 4.75125 x 75 x 6.30 125 75 6.30 6.30125 x 75 x 8.00 125 75 8.00 12.00
DimensõesPerfil U
Tabela 5.8 Grupo 8 de perfis analisados.
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)150 x 50 x 2.00 150 50 2.00 2.00150 x 50 x 2.25 150 50 2.25 2.25150 x 50 x 2.65 150 50 2.65 2.65150 x 50 x 3.00 150 50 3.00 3.00150 x 50 x 3.35 150 50 3.35 3.35150 x 50 x 3.75 150 50 3.75 3.75150 x 50 x 4.25 150 50 4.25 4.25150 x 50 x 4.75 150 50 4.75 4.75150 x 50 x 6.30 150 50 6.30 6.30150 x 50 x 8.00 150 50 8.00 12.00
Perfil UDimensões
106
Tabela 5.9 Grupo 9 de perfis analisados.
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)150 x 75 x 2.65 150 75 2.65 2.65150 x 75 x 3.00 150 75 3.00 3.00150 x 75 x 3.35 150 75 3.35 3.35150 x 75 x 3.75 150 75 3.75 3.75150 x 75 x 4.25 150 75 4.25 4.25150 x 75 x 4.75 150 75 4.75 4.75150 x 75 x 6.30 150 75 6.30 6.30150 x 75 x 8.00 150 75 8.00 12.00
Perfil UDimensões
Tabela 5.10 Grupo 10 de perfis analisados.
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)200 x 50 x 2.00 200 50 2.00 2.00200 x 50 x 2.25 200 50 2.25 2.25200 x 50 x 2.65 200 50 2.65 2.65200 x 50 x 3.00 200 50 3.00 3.00200 x 50 x 3.35 200 50 3.35 3.35200 x 50 x 3.75 200 50 3.75 3.75200 x 50 x 4.25 200 50 4.25 4.25200 x 50 x 4.75 200 50 4.75 4.75200 x 50 x 6.30 200 50 6.30 6.30200 x 50 x 8.00 200 50 8.00 12.00
Perfil UDimensões
Tabela 5.11 Grupo 11 de perfis analisados.
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)200 x 75 x 2.65 200 75 2.65 2.65200 x 75 x 3.00 200 75 3.00 3.00200 x 75 x 3.35 200 75 3.35 3.35200 x 75 x 3.75 200 75 3.75 3.75200 x 75 x 4.25 200 75 4.25 4.25200 x 75 x 4.75 200 75 4.75 4.75200 x 75 x 6.30 200 75 6.30 6.30200 x 75 x 8.00 200 75 8.00 12.00
Perfil UDimensões
107
Tabela 5.12 Grupo 12 de perfis analisados.
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)200 x 100 x 2.65 200 100 2.65 2.65200 x 100 x 3.00 200 100 3.00 3.00200 x 100 x 3.35 200 100 3.35 3.35200 x 100 x 3.75 200 100 3.75 3.75200 x 100 x 4.25 200 100 4.25 4.25200 x 100 x 4.75 200 100 4.75 4.75200 x 100 x 6.30 200 100 6.30 6.30200 x 100 x 8.00 200 100 8.00 12.00
Perfil UDimensões
Tabela 5.13 Grupo 13 de perfis analisados.
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)250 x 100 x 2.65 250 100 2.65 2.65250 x 100 x 3.00 250 100 3.00 3.00250 x 100 x 3.35 250 100 3.35 3.35250 x 100 x 3.75 250 100 3.75 3.75250 x 100 x 4.25 250 100 4.25 4.25250 x 100 x 4.75 250 100 4.75 4.75250 x 100 x 6.30 250 100 6.30 6.30250 x 100 x 8.00 250 100 8.00 12.00
Perfil UDimensões
Tabela 5.14 Grupo 14 de perfis analisados.
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)300 x 100 x 2.65 300 100 2.65 2.65300 x 100 x 3.00 300 100 3.00 3.00300 x 100 x 3.35 300 100 3.35 3.35300 x 100 x 3.75 300 100 3.75 3.75300 x 100 x 4.25 300 100 4.25 4.25300 x 100 x 4.75 300 100 4.75 4.75300 x 100 x 6.30 300 100 6.30 6.30300 x 100 x 8.00 300 100 8.00 12.00
Perfil UDimensões
108
5.1 ANÁLISE DA TENSÃO CRÍTICA PARA A FLAMBAGEM LOCAL DAS
PLACAS COMPONENTES DOS PERFIS TIPO U
Com o auxílio da computação algébrica simbólica (Mathcad) são calculadas as tensões
críticas da flambagem local das placas componentes para os perfis de cada grupo isolado,
gerando-se a análise gráfica dos valores obtidos.
A Figura 5.3 indica o comportamento reunido dos grupos de perfis delgados do tipo U
na avaliação das tensões críticas de flambagem local.
0 0.0085 0.017 0.0255 0.034 0.0425 0.051 0.0595 0.068 0.07650.0850
20
40
60
80
100
120
140Tensão crítica de flambagem local
(kN
/cm
2)
133.402
5.336
σ1 cri
σ2 cri
σ3 cri
σ4 cri
σ5 cri
σ6 cri
σ7 cri
σ8 cri
σ9 cri
σ10cri
σ11cri
σ12cri
σ13cri
σ14cri
0.0850.009 t1 1i
b11i
t1 2i
b12i
,t1 3
i
b13i
,t1 4
i
b14i
,t1 5
i
b15i
,t1 6
i
b16i
,t1 7
i
b17i
,t1 8
i
b18i
,t1 9
i
b19i
,t1 10
i
b110i
,t1 11
i
b111i
,t1 12
i
b112i
,t1 13
i
b113i
,t1 14
i
b114i
,
Relação espessura/largura da alma (t/bw)
Figura 5.3 Avaliação das tensões críticas para a flambagem local dos grupos de perfis U.
109
Na análise gráfica verifica-se que as tensões críticas dos perfis em conjunto crescem
gradativamente com as relações espessura/largura da alma para todos os grupos estudados. A
placa correspondente à alma do perfil comanda a curva (t/bw) de tensões críticas de
flambagem, não sofrendo influência das espessuras e larguras das mesas superiores e
inferiores da seção. Embora a análise da flambagem local e das tensões críticas esteja voltada
para a pesquisa de peças estruturais sob esforços de compressão, não se observa a influência
do comprimento total da estrutura no mecanismo da flambagem local.
Algumas categorias de perfis apresentam comportamentos diferenciados em
comparação às outras. As maiores relações t/bw estão nas categorias iniciais de 1 a 7, onde os
perfis apresentam menor altura da alma. A taxa de variação das tensões críticas de flambagem
local dos perfis da categoria 10 é bem superior em relação às demais, indicando menor
variação da relação espessura/largura das almas das seções deste grupo. Ocorrem
superposições no comportamento entre categorias de perfis que apresentam altura das almas
bem diferentes entre si.
5.2 ANÁLISE DO MOMENTO CRÍTICO PARA A FLAMBAGEM LATERAL DE
VIGAS
Com o auxílio da computação algébrica simbólica (Mathcad) são calculados os
momentos críticos da flambagem lateral de vigas simplesmente apoiadas com carga aplicada
no centro de cisalhamento para os perfis de cada grupo isolado, gerando-se a análise gráfica
dos valores obtidos. A viga considerada possui comprimento longitudinal de 10m.
y
x
P
Figura 5.4 Carga aplicada no centro de cisalhamento da seção tipo U.
110
A Figura 5.5 indica o comportamento reunido dos grupos de perfis delgados do tipo U
na avaliação dos momentos críticos de flambagem lateral.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500Momento crítico de flambagem lateral
(kN
/cm
2)
3080.529
3.727
M1 0cri
M2 0cri
M3 0cri
M4 0cri
M5 0cri
M6 0cri
M7 0cri
M8 0cri
M9 0cri
M10 0cri
M11 0cri
M12 0cri
M13 0cri
M14 0cri
100 J1i J2i, J3i, J4i, J5i, J6i, J7i, J8i, J9i, J10i, J11i, J12i, J13i, J14i, Momento de inércia à torção
Figura 5.5 Avaliação dos momentos críticos para a flambagem lateral dos grupos de perfis
U.
Na análise gráfica verifica-se que os momentos críticos dos perfis em conjunto
crescem gradativamente com os valores do momento de inércia à torção para todos os grupos
estudados. Na flambagem lateral, a análise é feita para as peças submetidas ao efeito de
flexão, e as condições de apoio nas extremidades tomam um papel fundamental em cada caso
estudado, bem como o tipo de carregamento aplicado na estrutura. A posição de aplicação da
111
carga externa apresenta influência nos resultados, quando se analisa o comportamento do
momento crítico de flambagem lateral com as variações dos momentos de inércia à torção.
Os maiores valores do momento de inércia à torção são observados nas categorias
finais de 12 a 14, onde os perfis apresentam maior altura da alma. Ocorrem superposições no
comportamento entre categorias de perfis que apresentam altura das almas bem diferentes
entre si.
A continuidade da pesquisa será realizada, considerando-se diferentes formas de
perfis, como o U enrijecido, e verificando-se as variações das tensões e dos momentos críticos
para os diferentes modos de flambagem e interação entre os modos de flambagem, em função
das características geométricas para a torção calculadas.
Será pesquisado o método de Von Kármán, que se fundamenta no método das larguras
efetivas, o método da resistência direta, análises numéricas e gráficas do comportamento
estrutural mediante a flambagem distorcional, envolvendo inclusive perfis assimétricos e
enrijecidos.
Serão realizadas comparações entre as principais normas vigentes e adotadas em todo
o mundo, como o EUROCODE 3, AISC, NBR 14762 (2001) e trabalhos experimentais já
realizados no âmbito da pesquisa.
6 CONTRIBUIÇÃO DOS ENRIJECEDORES NOS PERFIS DE AÇO
FORMADOS A FRIO
O fenômeno da flambagem é passível de ocorrência em perfis de aços formados a frio
sob esforços de compressão axial, compressão por flexão ou cisalhamento. Para a verificação
da flambagem indica-se distinguir os diversos tipos de elementos planos componentes da
seção transversal do perfil com a identificação dos tipos de vinculações e solicitações
idealizadas para os elementos do perfil.
O elemento comprimido enrijecido é definido por um elemento plano sob esforços de
compressão onde as duas bordas paralelas à direção da tensão estão suportadas por
enrijecedores apropriados, como por exemplo, as almas dos perfis do tipo U e do tipo I. O
elemento comprimido não enrijecido é representado pela borda paralela à direção da tensão
livre como as mesas do perfil do tipo U.
6.1 ANÁLISE DA LARGURA EFETIVA
Para os perfis de aço formados a frio, a tensão de escoamento do aço é alcançada
quando o colapso não é ainda atingido, pois os acréscimos de tensão podem ser suportados
devido à redistribuição das tensões para os enrijecedores do perfil. A distribuição das tensões
no perfil permanece uniforme até a iminência do fenômeno da flambagem, após ocorre
redistribuição das tensões para as regiões mais rígidas próximas aos apoios, resultando na
ocorrência de tensões não uniformes.
113
O colapso estrutural ocorre quando a tensão máxima iguala-se à tensão de escoamento
do aço. A distribuição das tensões na seção transversal de um perfil genérico está ilustrada na
Figura 6.1.
2
f < f
1f
1 cr
f
yf < f < fcr 2
f3
3f = f
y
Figura 6.1 Distribuição das tensões para os elementos enrijecidos sob esforços de
compressão.
O comportamento para o estado de pós-flambagem é analisado com a consideração
dos grandes deslocamentos observados na estrutura, segundo a equação diferencial descrita a
seguir:
0y
w
x
F
yx
w
yx
F2
x
w
y
F
D
t
y
w
yx
w2
x
w2
2
2
222
2
2
2
2
4
4
22
4
4
4=
∂∂
∂∂+
∂∂∂
∂∂∂−
∂∂
∂∂=
∂∂+
∂∂∂+
∂∂
(6.1)
onde F é a função de tensão para a fibra média da chapa.
114
Têm-se:
2
2
xy
Ff
∂∂= ;
2
2
yx
Ff
∂∂= ; (6.2)
yx
F2xy
∂∂∂−=τ
Para solução da Equação (6.1) considera-se o conceito da largura efetiva (VON
KARMAN, 1932). Na aproximação a distribuição não uniforme de tensões é substituída por
uma distribuição uniforme de tensões, iguais às tensões das bordas, atuantes em uma suposta
largura efetiva bef, conforme ilustração da Figura 6.2.
fmáx
x dx
b
bef / 2 /efb 2
f
Figura 6.2 Largura efetiva para o elemento enrijecido sob esforços de compressão.
115
Obtém-se a largura efetiva (bef) de modo que as duas resultantes das distribuições de
tensões em análise sejam iguais:
∫ =b
0
máxef fbdxf (6.3)
Na verificação de uma largura particular do perfil, onde a flambagem ocorre quando a
tensão de compressão atinge o limite de escoamento do aço, o valor teórico de b, no caso de
um perfil longo, pode ser obtido igualando-se fcr a fy, tem-se então:
( ) 22
2
ycr
t
b13
Eff
ν−
π== (6.4)
ou
yy f
Et9,1
f
Etcb == (6.5)
sendo:
yf = tensão limite de escoamento do aço;
ν = 0,3;
( ) 9,113
c2
=ν−
π= (6.6)
116
A Equação (6.5) representa a equação clássica para a determinação da largura efetiva
dos perfis de aço compostos por elementos enrijecidos.
6.2 PERFIS DE AÇO FORMADOS A FRIO ENRIJECIDOS SUJEITOS À ESFORÇOS
DE COMPRESSÃO
Os estudos realizados nas seções de aço formadas a frio concluíram que a Equação
(6.5) pode ser aplicada igualmente para os elementos onde a tensão máxima atuante é inferior
à tensão limite de escoamento do aço. No entanto, os ensaios experimentais demonstraram
que o termo “c” indicado na Equação (6.5) depende principalmente do parâmetro
adimensional ( )btfE máx .
Com isso:
−=máxf
E
b
t475,019,1c (6.7)
A expressão para a determinação da largura efetiva de um elemento enrijecido é então,
representada por:
−=máxmáx
ef f
E
b
t475,01
f
Et9,1b (6.8)
A Equação (6.8) pode ser generalizada para o fornecimento da largura efetiva de
elementos enrijecidos sob esforços de compressão e variadas condições de contorno,
conforme abaixo:
−=máxmáx
ef f
Ek
w
t208,01
f
Ekt95,0b (6.9)
sendo k o coeficiente de flambagem do perfil.
117
Igualando-se bef à b na Equação (6.9), obtém-se:
( )λ
λ−=ρ 22,01 (6.10)
onde:
Ek
f
t
b
k
052,1 máx
=λ (6.11)
A Equação (6.11) determina o valor de λ para o qual o elemento enrijecido à
compressão é considerado plenamente efetivo.
6.3 ENRIJECEDORES DE BORDA E INTERMEDIÁRIO
A utilização dos enrijecedores de borda ou intermediários propicia aumento relativo na
resistência das seções de borda livre quando a relação (b/t) de um elemento comprimido da
seção é elevada.
Os enrijecedores fornecem apoio longitudinal aos elementos do perfil pela localização
paralela à direção da tensão de compressão.
Figura 6.3 Enrijecedores de borda e intermediário nos perfis tipo U.
118
Dois modos distintos de flambagem caracterizam o comportamento dos elementos
planos com utilização de enrijecedores. O primeiro modo é o de flambagem do enrijecedor,
onde a instabilidade é iniciada pela flambagem do enrijecedor na direção perpendicular ao
plano do elemento que constitui apoio contínuo. O segundo modo é indicado pela flambagem
local do elemento plano, onde o enrijecedor apresenta propriedades de rigidez suficientes para
idealização de apoio contínuo para o elemento comprimido.
6.3.1 Utilização dos enrijecedores de borda nos perfis de aço formados a frio
Para os casos em que a relação d/b, onde d é a altura do enrijecedor e b a largura da
mesa, é inferior a razão de 0,12 tem-se que a rigidez do elemento enrijecedor não é suficiente
para caracterizar um apoio à seção transversal do perfil. Conclui-se então, que a flambagem é
iniciada no enrijecedor de borda.
Nos casos em que 0,12 < d/b < 0,4 a flambagem inicia-se simultaneamente no
elemento plano e no enrijecedor da seção transversal.
Quando d/b > 0,4 tem-se o início da flambagem pelo elemento plano do perfil. A
flambagem prematura do elemento plano é justificada pela interação da instabilidade local do
enrijecedor de borda com o elemento enrijecido. As formas dos enrijecedores de borda
distintas das obtidas por simples viradas de 90° não são propensas a este tipo de interação, e
os enrijecedores com dimensões excessivas não afetam a tensão crítica de flambagem do
perfil em conjunto.
119
6.3.1.1 Momento de inércia para os enrijecedores de borda
O momento de inércia para o enrijecedor de borda é definido em relação ao eixo
central do enrijecedor com a consideração de três casos distintos (DESMOND, 1981).
Em caso de:
f
E
3
28,1
t
b ≤ (6.12)
onde:
b é a largura do elemento;
t é a espessura do elemento;
E é o módulo de elasticidade do aço;
F é a tensão de compressão do elemento.
Neste caso, a largura efetiva e a largura plana do elemento comprimido não enrijecido
são iguais, não sendo necessária a utilização do enrijecedor de borda.
No segundo caso tem-se a seguinte relação entre a largura e a espessura do elemento:
f
E28,1
t
b
f
E
3
28,1 ≤< (6.13)
A estrutura tem comportamento de um elemento comprimido enrijecido de modo que
o momento de inércia do enrijecedor é representado por:
4t
3
a 33,0
f
E28,1
t
b
399I
−
= (6.14)
120
Para o último caso no qual indica-se a relação:
f
E28,1
t
b > (6.15)
O momento de inércia do enrijecedor é dado por:
4t
3
a 5
f
E28,1
t
b
115I
+
= (6.16)
6.3.2 Utilização dos enrijecedores intermediários nos perfis de aço formados a frio
Na utilização de um único enrijecedor intermediário em uma estrutura esbelta sob
esforços de compressão conclui-se que o momento de inércia do enrijecedor deve sofrer
avaliação conforme três casos de estudos distintos.
6.3.2.1 Momento de inércia para os enrijecedores intermediários
No primeiro caso em que:
f
E28,1
t
b0 ≤ (6.17)
sendo b0 a largura total da chapa enrijecida.
121
Tem-se a largura efetiva do elemento comprimido enrijecido de valor igual à largura
do elemento, não sendo necessária a utilização do enrijecedor intermediário.
Para a relação apresentada a seguir:
f
E84,3
t
b
f
E28,1 0 << (6.18)
Pode-se escrever o momento de inércia do enrijecedor por:
4t
0
a 50
f
E28,1
t
b50
I
−
= (6.19)
No terceiro caso de estudo tem-se a seguinte relação:
f
E84,3
t
b0 ≥ (6.20)
Na qual a equação do momento de inércia do elemento enrijecido é representada por:
4t
0
a 285
f
E28,1
t
b128
I
−
= (6.21)
122
O uso de enrijecedores múltiplos em estruturas sob tensões compressivas indica o
momento de inércia mínimo para cada enrijecedor por ( YU, 1986):
442
mín t4,18tf
E136,0
t
b66,3I ≥
−
= (6.22)
onde ( b/t ) é a razão entre a largura plana e a espessura do maior subelemento enrijecido.
Apenas os enrijecedores adjacentes à alma da seção transversal da estrutura devem ser
analisados na utilização de dois ou mais enrijecedores intermediários. Para o cálculo da
espessura do elemento, deve-se considerar um elemento equivalente de largura igual a b0 com
a distância entre as almas ou ao enrijecedor de borda e espessura equivalente determinada por:
3
00 b
I12t = (6.23)
onde I é o momento de inércia total do elemento com enrijecedores múltiplos.
6.3.3 Largura efetiva para perfis com enrijecedor de borda
O coeficiente de flambagem do perfil é determinado pela interação entre o perfil
enrijecido e o enrijecedor, onde as expressões de b’ef e A’
ef permitem a avaliação de um perfil
parcialmente enrijecido (Ist < Ia).
Para o caso em que:
80,0b
d25,0 ≤
< (6.24)
tem-se:
−≤+
−=b
d525,543,0
I
I
b
d585,4k
n
a
st (6.25)
123
Para a relação:
25,0b
d ≤
(6.26)
pode-se escrever as seguintes equações:
0,443,0I
I57,3k
n
a
st ≤+
= (6.27)
efa
stefef
' bI
Ibb ≤
= (6.28)
efa
stefef
' AI
IAA ≤
= (6.29)
sendo:
d a dimensão definida na Figura 6.3;
b a largura plana do elemento sob esforços de compressão;
stI o momento de inércia do enrijecedor;
n igual a 1/2 para f
E28,1
t
b
f
E
3
28,1 ≤< ;
n igual a 1/3 para f
E28,1
t
b > ;
efb a largura efetiva do elemento enrijecido;
ef'b a largura efetiva em caso de enrijecimento parcial ( )ast II < ;
efA a área efetiva do elemento enrijecido;
ef'A a área efetiva em caso de enrijecimento parcial.
124
d'
d
b
d'eb
eb'
Figura 6.4 Elemento efetivo do enrijecedor.
O enrijecedor de borda possui as características geométricas efetivas para um elemento
não enrijecido sob tensões de compressão.
6.3.4 Largura efetiva para perfis com enrijecedor intermediário
Os elementos de um perfil com enrijecimento múltiplo usualmente apresentam a
largura efetiva de valor menor que a de um perfil enrijecido.
Um perfil que apresenta enrijecimento múltiplo, dado por apenas um enrijecedor
intermediário, possui a largura efetiva do elemento enrijecedor dado pelas Equações (6.9) e
(6.10), onde o coeficiente de flambagem da chapa é expresso por:
0,41I
I3k
a
st ≤+
= (6.30)
125
onde:
stI é o momento de inércia do enrijecedor;
aI é o momento de inércia adequado para o enrijecedor;
n é igual a 1/2 para f
E84,3
t
b
f
E
3
28,1 << ;
n é igual a 1/3 para f
E84,3
t
b ≥ .
Quando ( )ast II < , deve-se calcular a área efetiva do enrijecedor intermediário com o
auxílio da equação (6.28) para os casos em que a razão da largura plana pela espessura
apresentar valor inferior à 60.
6.4 ANÁLISE DOS ENRIJECEDORES DE BORDA PARA OS PERFIS DO TIPO Z
A análise procede para os grupos de perfis listados na Tabela 6.1, considerando-se o
estado limite último de escoamento da seção, onde σ = fy. As seções são avaliadas para os
aços especiais dos tipos COS-CIVIL 300 e COS-CIVIL 350 que apresentam tensão de
escoamento com valores de 300 MPa e 350 MPa, respectivamente.
126
Tabela 6.1 Grupos dos perfis Ze sob análise de comportamento dos enrijecedores.
bw (mm) bf (mm) D (mm) t (mm)50 25 10 1,250 25 10 1,550 25 10 250 25 10 2,2550 25 10 2,6550 25 10 3
bw (mm) bf (mm) D (mm) t (mm)75 40 15 1,275 40 15 1,575 40 15 275 40 15 2,2575 40 15 2,6575 40 15 3
bw (mm) bf (mm) D (mm) t (mm)100 50 17 1,2100 50 17 1,5100 50 17 2100 50 17 2,25100 50 17 2,65100 50 17 3
bw (mm) bf (mm) D (mm) t (mm)150 60 20 1,2150 60 20 1,5150 60 20 2150 60 20 2,25150 60 20 2,65150 60 20 3
2° Grupo Ze
3° Grupo Ze
4° Grupo Ze
1° Grupo Z e
Na averiguação do momento de inércia adequado para os enrijecedores de borda é
observado o aumento gradativo destes valores conforme aumento das espessuras, mantidas
constantes as larguras das mesas bf dos perfis. A necessidade do emprego de enrijecedores dá-
se apenas para os perfis de menores espessuras.
Em referência às tensões de escoamento do aço, quando esta for maior, necessita-se de
uma inércia adequada também de valor maior, uma vez que a carga atuante possui capacidade
de maior magnitude.
127
10 13.75 17.5 21.25 250
5.83333.104
0.00117
0.00175
0.00233
0.00292
0.0035Comp. inércia adequada enrijecedor
(cm
4)
0.003
0
I a12i
I a11i
2510 b f1i
t 1i
Figura 6.5 Comparação do momento de inércia adequado para os enrijecedores do 1°
grupo de perfis tipo Z sob tensões dos aços COS-CIVIL 300 e 350.
Os momentos de inércia adequados para os enrijecedores de borda apresentam valores
maiores à medida que a relação
t
bf torna-se também maior em alguns grupos de perfis
analisados, conforme Figura 6.5.
No segundo grupo, aplicando-se uma tensão superior é observada uma inércia
adequada de valor bem maior para o perfil de menor espessura. O fato deve-se a uma
mudança de expressão com o emprego da mesma relação 2
E
σ, conforme a Figura 6.6.
128
10 17.5 25 32.5 400
83.33
166.67
250
333.33
416.67
500Mom. inércia adequado enrijecedor
(cm
4)
442.491
0.003
I a22i
4010 b f2i
t 2i
Figura 6.6 Momento de inércia adequado para os enrijecedores de borda dos perfis do
grupo 2 do aço COS – CIVIL 350.
Na análise do 2° grupo com o aço de fy = 350 MPa (Figura 6.6) o perfil de menor
espessura apresenta um momento de inércia adequado de valor bem superior aos demais
calculados pela expressão definida pelos limites permissíveis pela primeira formulação. O
mesmo fenômeno é observado para o perfil que apresenta menor espessura com o aço de
fy = 300 MPa (Figura 6.7).
129
10 16.25 22.5 28.75 350
0.0042
0.0083
0.0125
0.0167
0.0208
0.025Mom. inércia adequado enrijecedor
(cm
4)
0.024
0.001
I a21i
3510 b f2i
t 2i
Figura 6.7 Momento de inércia adequado para os enrijecedores de borda dos perfis do
grupo 2 do aço COS – CIVIL 300.
Pode-se verificar na análise do 3° grupo com emprego do aço COS – CIVIL 300 a
ocorrência de um ponto de inflexão no 2° perfil, semelhante ao gráfico da Figura 6.8 que trata
do comportamento do aço COS – CIVIL 350.
130
15 22.5 30 37.5 450
200
400
600
800
1000
1200Mom. inércia adequado enrijecedor
(cm
4)
1080.301
0.029
I a32i
4515 b f3i
t 3i
Figura 6.8 Momento de inércia adequado para os enrijecedores de borda dos perfis do
grupo 3 do aço COS – CIVIL 350.
Para as relações decrescentes de
t
bf são observados valores de inércias adequadas
maiores para os perfis com menores espessuras. Isto se deve a uma colocação dos limites da
expressão em função da tensão maior de escoamento do aço (Figura 6.8).
O mesmo fenômeno do aparecimento do ponto de inflexão foi verificado para os perfis
do 4° grupo, tanto para os aços que suportam fy = 300 MPa e fy = 350 MPa, sendo que as
magnitudes das inércias adequadas para os enrijecedores dos perfis com menores espessuras
são bem superiores que as demais (Figura 6.9).
131
Os valores apresentados para Ia na verificação dos perfis do 4° grupo são bem
próximos entre as duas classes de tensão de escoamento dos aços (Figura 6.9).
15 25 35 45 550
333.33
666.67
1000
1333.33
1666.67
2000Comp. inércia adequada enrijecedor
(cm
4)
1830.745
0.062
I a42i
I a41i
5515 b f4i
t 4i
Figura 6.9 Comparação dos momentos de inércia adequados para os enrijecedores do 4°
grupo de perfis tipo Z sob tensões dos aços COS-CIVIL 300 e 350.
132
Para o aço de fy = 300 MPa o perfil que apresenta maior inércia adequada para o
enrijecedor é o de menor espessura do 4° grupo, conforme Figura 6.10.
10 22.5 35 47.5 600
250
500
750
1000
1250
1500Mom. inércia adequado enrijecedor
(cm
4)
1464.211
0
I a11i
I a21i
I a31i
I a41i
6010 bf1i
t 1i
b f2i
t 2i
,b f3
i
t 3i
,b f4
i
t 4i
,
Figura 6.10 Comparação dos momentos de inércia adequados para os enrijecedores dos
grupos de perfis tipo Z sob tensões dos aços COS-CIVIL 300.
133
Para o aço de fy = 350 MPa, da mesma forma os perfis de maiores inércias adequadas
para os enrijecedores de borda são os mais esbeltos do 3° e 4° grupo, conforme Figura 6.11.
10 22.5 35 47.5 600
333.33
666.67
1000
1333.33
1666.67
2000Mom. inércia adequado enrijecedor
(cm
4)
1830.745
0
I a12i
I a22i
I a32i
I a42i
6010 bf1i
t 1i
b f2i
t 2i
,b f3
i
t 3i
,b f4
i
t 4i
,
Figura 6.11 Comparação dos momentos de inércia adequados para os enrijecedores dos
grupos de perfis tipo Z sob tensões do aço COS-CIVIL 350.
7 O MÉTODO DA RESISTÊNCIA DIRETA
O método da resistência direta (MRD) propõe uma alternativa ao método da largura
efetiva para a determinação da resistência dos perfis de aço formados a frio, submetidos a
esforços de compressão ou flexão. Este método consiste na utilização de curvas de resistência
ajustadas por ensaios experimentais para o cálculo das cargas de colapso a partir da carga de
flambagem elástica, analisando-se as propriedades da seção transversal do perfil, e não do
elemento isolado. O cálculo da resistência do perfil indica o comportamento mais próximo da
realidade, contemplando a interação entre as partes componentes do perfil para o
fornecimento das tensões dos modos de instabilidade local e distorcional.
O MRD representa o método mais atual na análise da instabilidade dos perfis de aço
formados a frio. A análise dos perfis de aço formados a frio com utilização do método das
faixas finitas representa uma simplificação do método dos elementos finitos permitindo a
solução numérica para os auto valores e auto vetores na avaliação do comportamento do perfil
pelo MRD. O método das faixas finitas na análise da instabilidade de perfis delgados
apresenta vantagem de ser prático, rápido e fornecer resultados satisfatórios.
A análise numérica indica as características geométricas da seção transversal e as
propriedades do material constituinte do perfil. A partir da definição do comprimento e dos
pontos intermediários ao longo do eixo longitudinal do perfil, executa-se a investigação do
perfil com análise das tensões e dos modos de instabilidade observados.
135
A curva de instabilidade representa os auto vetores para os modos de instabilidade
passíveis de ocorrência nos perfis: local, distorcional e global. A Figura 7.1 ilustra a curva de
instabilidade para os perfis delgados.
100
Local
600
Te
nsã
o m
áxim
a de
fla
mba
gem
450
1000
Distorcional
Global
150
1000 10000
Comprimento de meia onda
Figura 7.1 Curva para análise da instabilidade pelo método das faixas finitas.
Para a determinação das curvas de instabilidade é necessária a consideração do
comprimento de meia onda senoidal e dos tipos de instabilidades. O perfil sofre carregamento
de tensão distribuída ao longo do eixo longitudinal para fornecimento de um determinado
valor de momento crítico.
O ponto de mínimo para a instabilidade local é observado para comprimentos de meia
onda menor ou igual às dimensões características do elemento sob esforços de tensão de
compressão. Para os modos de instabilidade distorcional e global os comprimentos de meia
onda senoidal são na maioria das vezes maiores em comparação ao modo de instabilidade
local.
Os comprimentos de meia onda senoidal são inversamente proporcionais à capacidade
de resistência pós-crítica, pois quanto menores os comprimentos, maior é a resistência pós-
crítica do perfil. No modo distorcional, o ponto de mínimo é observado para comprimentos de
meia onda intermediários entre a instabilidade local e a global.
136
O método da resistência direta possui as principais limitações na geometria e no
material constituinte do perfil em análise. De acordo com a característica do perfil, determina-
se o coeficiente de segurança para o emprego do método de dimensionamento utilizado na
estrutura: o método do estado limite de tensões ou o método das tensões admissíveis.
As vantagens na utilização do método da resistência direta para a determinação da
resistência dos perfis delgados de aço formados a frio são descritas abaixo (SCHAFER,
1994):
� Para o cálculo da resistência não há necessidade da determinação das propriedades
geométricas efetivas (Aef e bef);
� A análise não é realizada individualmente para os elementos;
� Não há necessidade de métodos interativos;
� Para o cálculo da resistência utilizam-se as propriedades geométricas da seção
bruta;
� Consideração da interação entre os elementos constituintes da seção (alma e mesa)
na ocorrência da flambagem local, garantindo as condições de compatibilidade e
equilíbrio;
� Tratamento da flambagem distorcional como modo de colapso único;
� Proporciona um procedimento de projeto mais flexível e abrangente;
� Possibilita a análise de um maior grupo de geometrias das seções transversais;
� Estimula a otimização das seções transversais;
� Permite a integração dos métodos numéricos estabelecidos em um único projeto.
7.1 O MÉTODO DAS FAIXAS FINITAS
Os primeiros estudos sobre o método da faixas finitas (MFF) foram realizados por
Cheung em 1976, no emprego da análise de perfis laminados. O método foi estendido por
Hancock para avaliação dos perfis formados a frio com a elaboração de alterações na matriz
de rigidez derivada de Cheung.
A metodologia utilizada no MFF consiste em uma simplificação do método dos
elementos finitos (MEF). O método das faixas finitas emprega elementos de faixas para
modelação do perfil ao longo do eixo longitudinal. Cada faixa é assumida como livre para
137
deslocamentos de membrana no seu plano e deslocamentos devido aos esforços de flexão em
semi-ondas senoidais simples. As extremidades da seção são livres para a deformação
longitudinal, restritas no plano x e y, conforme ilustrado nas Figuras (7.2) e (7.3).
Borda Apoiada
z
zσ
L
Faixas
Borda Livre x
y
zσ
Figura 7.2 Perfil de aço formado a frio parcialmente discretizado para o MFF.
z
y
Deslocamento da membranaDeslocamento linear
Polinômio cúbico na transversal
Curva senoidal
Deslocamento de flexãox
Figura 7.3 Deslocamentos dos elementos do perfil discretizado para o MFF.
138
A principal dificuldade verificada no MFF consiste na representação das condições de
contorno, pois o modelo assume apoios simples nas extremidades dos elementos. Ao longo do
comprimento não podem ocorrer diferentes vinculações, e a seção transversal não pode sofrer
variações ao longo do comprimento. Na observância destes casos, recomenda-se o auxílio do
método dos elementos finitos.
O modelo usado para o MFF é representado pela placa simples com o número de nós e
graus de liberdade conforme a Figura 7.4.
b
z
y
x
a
1θ 2θ
1u 2u
1v 2v
1w 2w
Figura 7.4 Elemento de placa para o método das faixas finitas.
Para a solução do MFF emprega-se um polinômio cúbico na direção transversal e uma
função harmônica senoidal no eixo longitudinal do perfil, indicado na Figura 7.3. A direção
longitudinal apresenta a forma de meia onda senoidal conforme as condições de contorno nos
apoios das extremidades. A determinação das tensões de instabilidade (auto valores) e dos
modos de instabilidade (auto vetores) dependem das matrizes globais de rigidez inicial [K] e
rigidez geométrica [Kg].
A matriz global é função do comprimento representado por a no elemento, sendo a
tensão de instabilidade elástica e o modo de instabilidade correspondente também funções do
comprimento do elemento. A análise da instabilidade nos perfis delgados pode ser realizada
139
considerando-se vários comprimentos para o perfil, avaliando-se a cada ponto a tensão e o
modo de instabilidade verificado.
7.2 CURVAS DE INSTABILIDADE PARA O MÉTODO DA RESISTÊNCIA DIRETA
Para a análise da instabilidade distorcional foi desenvolvida a curva para o método da
resistência direta. O propósito da curva é o fornecimento da resistência última do perfil sob
esforços de flexão e compressão em função da tensão crítica de instabilidade elástica do
material (HANCOCK, 1994).
O desenvolvimento da curva para o cálculo da instabilidade local nos perfis propôs
modificações na curva para análise da instabilidade distorcional (PEKÖZ & SCHAFER,
1998).
Para os valores acima do limite de proporcionalidade da tensão de escoamento (fy/2), a
tensão crítica do perfil deve ser avaliada com o auxílio do regime não elástico, utilizando-se a
equação da parábola.
7.2.1 Análise da instabilidade local
Para a estrutura que apresenta índice de esbeltez local 776,0L ≤λ , tem-se o momento
limite igual ao momento de escoamento do perfil. Para valores acima deste índice de esbeltez
local, o momento limite é caracterizado pelo momento efetivo de cálculo.
A curva para a instabilidade local é indicada por:
ynL MM = quando 776,0L ≤λ (7.1)
y
4,0
y
crL4,0
y
crLnL M
M
M
M
M15,01M
−= quando 776,0L >λ (7.2)
140
sendo:
crL
yL M
M=λ ;
nLM = momento nominal para a instabilidade local;
yM = momento de escoamento do aço;
crLM = momento crítico da instabilidade elástica local.
A reserva local pós-crítica da seção completa apresenta maior capacidade quando
comparada com os elementos isolados da seção.
7.2.2 Análise da instabilidade distorcional
A curva para a determinação da resistência direta dos perfis submetidos à flexão está
representada por (HANCOCK, 1994):
ynD MM = quando 561,0d ≤λ (7.3)
y
6,0
y
crD6,0
y
crDnD M
M
M
M
M25,01M
−= quando 561,0d >λ (7.4)
141
sendo:
crD
yd M
M=λ ;
nDM = momento nominal para a instabilidade distorcional;
yM = momento de escoamento do aço;
crDM = momento crítico da instabilidade elástica distorcional.
A resistência direta devido à instabilidade local reflete baixa reserva pós-crítica no
modo distorcional.
As propostas de Peköz e Schaffer fornecem a curva de cálculo para o modo
distorcional intermediária entre o modo local e o modo distorcional introduzido por Hancock,
onde:
ynD MM = quando 673,0d ≤λ (7.5)
y
5,0
y
crD5,0
y
crDnD M
M
M
M
M22,01M
−= quando 673,0d >λ (7.6)
sendo:
crD
yd M
M=λ
142
As pesquisas de Hancock indicam as considerações a favor da instabilidade
distorcional com a manutenção do limite inicial de dλ . A alteração da curva é representada
por:
ynD MM = quando 561,0d ≤λ (7.7)
y
5,0
y
crD5,0
y
crDnD M
M
M
M
M22,01M
−= quando 561,0d >λ (7.8)
As Equações (7.5) e (7.6) indicam um valor para dλ maior em relação às Equações
(7.7) e (7.8) devido a uma maior reserva pós-crítica da seção transversal dos perfis em
comparação ao modelo de elementos isolados.
As curvas do método da resistência direta (Figura 7.5) fornecem resultados de
resistência superiores em relação ao modelo de cálculo analítico dos elementos isolados
propostos por Hancock. No caso de índice de esbeltez moderado, com valores compreendidos
entre 0,7 e 1,2 não é observada diferença relevante para os valores de resistência obtidos a
partir das curvas de Hancock.
143
0,5
MRD Distorção - Schafer
Método Analítico - Hancock
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,0 1,5 2,0
MRD Distorção - Hancock Modificado
y
nM
M
cr
y
M
M=λ
Figura 7.5 Curvas para a instabilidade distorcional.
7.2.3 Análise da instabilidade global
No estudo da instabilidade global utiliza-se a curva clássica da estabilidade elástica
global. Para a análise da interação da instabilidade global com os outros modos de
instabilidade é considerada fundamental a determinação do momento de instabilidade
inelástico (Mne).
Tem-se, então:
ycre M56.0M ≤ crene MM = (7.9)
ycrey M56.0MM78.2 ≥≥
−=
cre
yyne M36
M101M
9
10M (7.10)
ycre M78.2M ≥ yne MM = (7.11)
144
sendo:
creM = momento crítico para a instabilidade elástica global;
sM = momento estático;
ysy FMM = .
As curvas do método da resistência direta, sem interação dos modos de instabilidade,
estão ilustradas na Figura 7.6.
0,50
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,0 1,5 2,0
y
nM
M
cr
y
M
M=λ
Instabilidade Local
Instabilidade Distorcional
Instabilidade Global
Figura 7.6 Curvas do MRD sem consideração da interação entre os modos de
instabilidade.
As curvas da resistência de vigas para a instabilidade pelo MRD são apresentadas em
função do índice de esbeltez do perfil. Para as vigas não esbeltas a seção transversal é estável
e a capacidade de resistência é igual ao momento de escoamento da estrutura. A capacidade
da resistência inelástica não é levada em consideração no método da resistência direta.
145
As vigas com esbeltez moderada apresentam comportamento inelástico com Mn<Mcr.
Vigas esbeltas delgadas comportam-se elasticamente com capacidade de resistência pós-
crítica Mn>Mcr.
As estruturas que apresentam índice de esbeltez local e distorcional de valores iguais
indicam que o modo distorcional possui menor capacidade pós-crítica em relação ao modo
local. A resistência nominal do perfil é o menor valor entre os momentos MnL, MnD e Mne.
7.2.4 Análise da interação entre os modos de instabilidade
O método da resistência direta permite a interação entre os modos de instabilidade
local e global com considerações de aproximação na análise. A avaliação consiste na
substituição de My nas equações da instabilidade local pelo Mne. O momento limite (MnL) é o
resultado da interação da instabilidade local e a global da viga com a limitação de Mne.
A interação entre a instabilidade local e global indica que:
nenL MM = quando 776,0L ≤λ (7.12)
ne
4,0
ne
crL4,0
ne
crLnL M
M
M
M
M15,01M
−= quando 776,0L >λ (7.13)
sendo:
crL
yL f
f=λ
146
A interação entre a instabilidade distorcional e a global pode também ser analisada
pelo método da resistência direta com a substituição do momento de escoamento My por Mne
nas equações da instabilidade distorcional.
Com isso, tem-se:
nenD MM = quando 561,0L ≤λ (7.14)
ne
5,0
ne
crD5,0
ne
crDnD M
M
M
M
M22,01M
−= quando 561,0L >λ (7.15)
sendo:
crD
yL M
M=λ
A resistência nominal da estrutura em estudo é o menor valor considerado entre os
momentos MnLe MnD.
7.3 O MÉTODO DA RESISTÊNCIA DIRETA NOS PRINCIPAIS NORMATIVOS
A utilização do MRD indica a determinação das cargas críticas de flambagem elástica
do perfil completo como um todo. Com a aplicação das curvas de resistência, determina-se a
resistência última do perfil.
A principais normas em vigência utilizam o MRD para o cálculo da resistência última
dos perfis delgados de aço formados a frio.
147
7.3.1 Norma australiana e neozelandesa (Australian & New Zealand Standard –
AS/NZS 4600/1996)
Utiliza o método da resistência direta para a determinação da resistência a flambagem
distorcional de barras submetidas à flexão e barras sob esforços de compressão. A AS/NZS
4600/1996 é o normativo que apresenta maior abordagem do MRD, justificado pelo fato da
incorporação do problema à eficiência dos enrijecedores de borda.
Os modelos de Lau e Hancock são utilizados para o fornecimento das tensões de
instabilidade elástica usando-se curvas de resistência aferidas em ensaios experimentais. A
norma permite o emprego do aço com elevada resistência mecânica e a determinação da
tensão elástica distorcional pelo método das faixas finitas.
7.3.2 Associação brasileira de normas técnicas (ABNT) – NBR 14762
Dimensionamento de Estruturas de Aço Constituídas por Perfis Formados a Frio
- Procedimento (2001)
A NBR 14762 utiliza as curvas de resistência propostas no MRD na análise da
flambagem por distorção da seção transversal. Os itens 7.7.3 e 7.8.1.3 fornecem
respectivamente a força normal de compressão e o momento fletor resistente de cálculo para
as barras com seção transversal aberta e sujeitas ao fenômeno da flambagem por distorção.
7.3.3 Norma norte americana (American Iron and Steel Institute – AISI, 2004)
O AISI, a partir de 2004, passou a adotar um manual feito por Schafer para o projeto
de perfis de aço formados a frio que utiliza o método da resistência direta como alternativa ao
método das larguras efetivas.
A norma utiliza o MRD para o cálculo do momento fletor resistente de barras
submetidas à flexão, com carregamento no plano paralelo à alma do perfil, com a mesa
tracionada conectada a um painel (terças com telhas de aço parafusadas e sujeitas à ação de
vento de sucção) e a mesa comprimida sem travamento lateral.
148
7.3.4 Norma européia ( Eurocode 3: Design of Steel Structures Part 1.3: General Rules
– Supplementary Rules for Cold Formed Thin Gauge Members and Sheeting,
2003 )
O Eurocode 3 utiliza as curvas do MRD para o cálculo da resistência última em perfis
sob esforços de flexão e conectados a painel com base no modelo de cálculo desenvolvido por
Peköz e Soroushian.
A principal dificuldade do método está na determinação da matriz de rigidez
rotacional oferecida ao painel e a variação desta rigidez. A rigidez é variada em função da
locação dos parafusos na mesa, do diâmetro dos parafusos e outros fatores pertinentes.
7.4 PROGRAMA COMPUTACIONAL DO MÉTODO DAS FAIXAS FINITAS –
CUFSM
O programa computacional desenvolvido por Schafer utiliza o método das faixas
finitas para realizar a análise da estabilidade elástica dos perfis esbeltos submetidos a variadas
distribuições de tensões normais nas extremidades da estrutura. Considera-se a restrição ao
empenamento da seção com a restrição dos graus de liberdade dos nós extremos. Ao longo do
comprimento não pode haver aplicação de carregamentos, variação da seção transversal e das
condições de contorno.
A verificação fornece os resultados gráficos tensão x comprimento de semi-onda, com
a determinação dos modos de flambagem. Os gráficos são apresentados após a análise de
vários comprimentos do perfil, definidos na entrada de dados pelo usuário. Cada
comprimento, por intermédio da análise por autovalores, indica a carga crítica de flambagem
elástica com os respectivos modos de flambagem.
A tensão crítica de flambagem elástica local (fcrL) é representada pelo ponto de
mínimo no gráfico da tensão x comprimento de semi-onda, conforme a Figura 7.7. A tensão
de flambagem pode ser modificada por uma carga na compressão (NcrL) ou por um momento
de flexão (McrL) para simplificação dos cálculos necessários. A interação observada entre os
elementos é representada por um coeficiente de flambagem local elástica da placa, para um
elemento simplesmente apoiado sob esforços de compressão uniforme.
149
Figura 7.7 Representação do fator de carga da tensão x comprimento de meia onda com
identificação dos modos de flambagem.
Na maioria dos casos a flambagem local ocorre para comprimentos de meia onda que
apresentam ordem de grandeza no valor da maior dimensão da seção transversal do perfil em
análise. A flambagem por distorção é verificada para comprimentos de meia onda com ordem
de grandeza em torno de 2 a 8 vezes superior à maior dimensão da seção transversal do perfil.
O modo de flambagem global é observado para comprimentos de meia onda bem superiores à
maior seção transversal do perfil.
Os resultados fornecidos pelo programa computacional possibilitam várias
verificações gráficas simultâneas na curva da flambagem, propiciando a variação da força
normal e/ou do momento fletor aplicados na seção transversal em estudo.
O CUFSM representa uma ferramenta para a análise elástica da seção para viabilizar o
emprego do método da resistência direta. O programa indica os valores de NcrL , NcrD, Ncre,
150
McrL, McrD, Mcre, correspondentes à flambagem crítica elástica para os modos local,
distorcional e global, sob esforços de compressão e flexão.
O valor da carga crítica (Ncr ou Mcr) pode ser obtido por:
Ncr = fator de carga x Ny; (7.16)
Ny = A fy; (7.17)
Mcr = fator de carga x My; (7.18)
My = Mxx.. (7.19)
7.5 ANÁLISE PELO CUFSM DAS CARGAS CRÍTICAS DOS PERFIS U E Z
ENRIJECIDOS
Vários grupos de perfis do tipo U e Z enrijecidos são analisados, com variação das
espessuras comuns às classes, progressivas às variações das alturas de alma bw das seções
transversais.
O estudo está fundamentado nos comprimentos de meia onda verificados para a
flambagem local, distorcional e global, bem como nos seus correspondentes fatores de carga
crítica, conforme resultados apresentados nas Tabelas 7.2 e 7.3. Os perfis analisados estão
listados na Tabela 7.1 onde são expressos em mm o bw, bf, d e t, quais sejam a altura de
alma, o comprimento da mesa, o comprimento do enrijecedor e a espessura do perfil,
respectivamente.
151
Tabela 7.1 Perfis dos tipos U e Z enrijecidos empregados na análise.
bw (mm) bf (mm) d (mm) t (mm) bw (mm) bf (mm) d (mm) t (mm)50 25 10 2 50 25 10 250 25 10 2,25 50 25 10 2,2550 25 10 2,65 50 25 10 2,6550 25 10 3 50 25 10 3
75 40 15 2 75 40 15 275 40 15 2,25 75 40 15 2,2575 40 15 2,65 75 40 15 2,6575 40 15 3 75 40 15 3
100 40 17 2 100 50 17 2100 40 17 2,25 100 50 17 2,25100 40 17 2,65 100 50 17 2,65100 40 17 3 100 50 17 3
127 50 17 2 125 50 17 2127 50 17 2,25 125 50 17 2,25127 50 17 2,65 125 50 17 2,65127 50 17 3 125 50 17 3
150 60 20 2 150 60 20 2150 60 20 2,25 150 60 20 2,25150 60 20 2,65 150 60 20 2,65150 60 20 3 150 60 20 3
200 75 20 2 200 75 25 2200 75 20 2,25 200 75 25 2,25200 75 20 2,65 200 75 25 2,65200 75 20 3 200 75 25 3
250 85 25 2 250 85 25 2250 85 25 2,25 250 85 25 2,25250 85 25 2,65 250 85 25 2,65250 85 25 3 250 85 25 3
300 85 25 2 300 85 25 2300 85 25 2,25 300 85 25 2,25300 85 25 2,65 300 85 25 2,65300 85 25 3 300 85 25 3
PERFIS DO TIPO U ENRIJECIDOS PERFIS DO TIPO Z ENRIJECIDOS
152
Tabela 7.2 Comprimentos de semi-onda e fatores de carga crítica dos modos de
flambagem local, distorcional e global para os perfis Ue analisados.
bw (mm) bf (mm) d (mm) t (mm) FLocal (mm)FDistorcional
(mm)FGlobal (mm)
50 25 10 2 50 25 10 2 47,70 1379,00 214,60 1114,1450 25 10 2.25 50 25 10 225 47,70 1682,00 214,60 1247,1550 25 10 2.65 50 25 10 265 47,70 2255,00 214,60 1489,6350 25 10 3 50 25 10 3 214,60 1689,52
75 40 15 2 75 40 15 2 59,30 636,10 388,50 687,7775 40 15 2.25 75 40 15 225 59,30 795,03 388,50 778,9375 40 15 2.65 75 40 15 265 71,60 1079,81 388,50 932,7075 40 15 3 75 40 15 3 71,60 1353,10 388,50 1073,10
100 40 17 2 100 40 17 2 79,10 377,37 429,20 551,44100 40 17 2.25 100 40 17 225 79,10 68,70 429,20 90,74 68664,90 0,02100 40 17 2.65 100 40 17 265 79,10 645,11 429,20 747,30100 40 17 3 100 40 17 3 79,10 815,04 429,20 859,70
127 50 17 2 127 50 17 2 100,40 238,15 545,10 392,67 105237,00 0,07127 50 17 2.25 127 50 17 225 100,40 298,90 545,10 451,21127 50 17 2.65 127 50 17 265 100,40 409,11 451,70 544,18127 50 17 3 127 50 17 3 100,40 518,22 451,70 625,52
150 60 20 2 150 60 20 2 118,60 172,21 643,80 323,86 124296,00 0,11150 60 20 2.25 150 60 20 225 118,60 216,43 643,80 368,87 124296,00 0,09150 60 20 2.65 150 60 20 265 118,60 296,86 643,80 446,28 124296,00 0,09150 60 20 3 150 60 20 3 118,60 376,72 533,50 516,79
200 75 20 2 200 75 20 2 158,10 98,68 711,30 205,79 137329,00 0,10200 75 20 2.25 200 75 20 225 158,10 124,20 711,30 234,70 137329,00 0,09200 75 20 2.65 200 75 20 265 158,10 170,74 711,30 284,30 165728,00 0,08200 75 20 3 200 75 20 3 158,10 217,10 711,30 331,07
250 85 25 2 250 85 25 2 197,70 64,31 1073,00 160,51 207160,00 0,08250 85 25 2.25 250 85 25 225 197,70 81,03 889,10 183,18250 85 25 2.65 250 85 25 265 197,70 111,57 889,10 221,42 207160,00 0,02250 85 25 3 250 85 25 3 197,70 142,05 889,10 257,31
300 85 25 2 300 85 25 2 237,20 45,65 205994,00 0,06300 85 25 2.25 300 85 25 225 237,20 57,53 205994,00 0,01300 85 25 2.65 300 85 25 265 237,20 0,04300 85 25 3 300 85 25 3 237,20 100,91 141446,00 0,11
FATOR CARGA
Comprimento de semi onda
FATOR CARGAFATOR CARGAPERFIS
Nomenclatura
Comprimento de semi onda
Comprimento de semi onda
153
Tabela 7.3 Comprimentos de semi-onda e fatores de carga crítica dos modos de
flambagem local, distorcional e global para os perfis Ze analisados.
bw (mm) bf (mm) d (mm) t (mm) FLocal (mm)FDistorcional
(mm)FGlobal
Flexional (mm)50 25 10 2 50 25 10 2 47,70 1362,56 214,60 1113,56 41432,10 0,1050 25 10 2,25 50 25 10 225 47,70 1682,44 214,60 1265,28 41432,10 0,1050 25 10 2,65 50 25 10 265 214,60 1515,86 41432,10 0,1150 25 10 3 50 25 10 3 214,60 1739,79
75 40 15 2 75 40 15 2 59,30 635,89 388,50 695,0575 40 15 2,25 75 40 15 225 59,30 794,70 388,50 791,98 62148,20 0,0975 40 15 2,65 75 40 15 265 71,60 1078,47 321,90 955,2475 40 15 3 75 40 15 3 71,60 1351,03 321,90 1085,26 62148,20 0,11
100 50 17 2 100 50 17 2 79,10 369,35 517,90 501,12100 50 17 2,25 100 50 17 225 79,10 462,90 517,90 574,66100 50 17 2,65 100 50 17 265 79,10 632,17 429,20 686,90 68664,90 0,09100 50 17 3 100 50 17 3 79,10 799,24 429,20 785,94 68664,90 0,12
125 50 17 2 125 50 17 2 98,80 245,17 536,50 393,94 103580,00 0,06125 50 17 2,25 125 50 17 225 98,80 307,67 536,50 453,39 103580,00 0,06125 50 17 2,65 125 50 17 265 98,80 421,03 444,60 545,62 85831,10 0,07125 50 17 3 125 50 17 3 98,80 533,20 444,60 628,17
150 60 20 2 150 60 20 2 118,60 172,17 643,80 317,62 124296,00 0,02150 60 20 2,25 150 60 20 225 118,60 216,37 643,80 363,02 102997,00 0,07150 60 20 2,65 150 60 20 265 118,60 296,75 643,80 441,31 124296,00 0,04150 60 20 3 150 60 20 3 118,60 376,55 533,50 507,35 102997,00 0,08
200 75 25 2 200 75 25 2 158,10 98,80 858,40 226,11 137329,00 0,04200 75 25 2,25 200 75 25 225 158,10 124,37 858,40 257,47 165728,00 0,04200 75 25 2,65 200 75 25 265 158,10 171,03 858,40 311,65 165728,00 0,04200 75 25 3 200 75 25 3 158,10 217,51 711,30 360,64
250 85 25 2 250 85 25 2 197,70 64,31 889,10 156,31 171662,00 0,05250 85 25 2,25 250 85 25 225 197,70 81,01 889,10 178,45 117871,00 0,14250 85 25 2,65 250 85 25 265 197,70 111,54 889,10 216,19 207160,00 0,02250 85 25 3 250 85 25 3 197,70 142,01 889,10 251,70 207160,00 0,04
300 85 25 2 300 85 25 2 237,20 45,65 248592,00 0,01300 85 25 2,25 300 85 25 225 237,20 57,52 248592,00 0,08300 85 25 2,65 300 85 25 265 237,20 79,22 205994,00 0,04300 85 25 3 300 85 25 3 237,20 100,88 205994,00 0,02
Comprimento de semi onda
Comprimento de semi onda
FATOR CARGAFATOR CARGA
Comprimento de semi onda
FATOR CARGAPERFIS
Nomenclatura
154
7.5.1 Análise para os grupos de perfis do tipo U enrijecidos
Para as variadas categorias de seções transversais que apresentam a mesma largura de
alma (bw) foram observadas valores iguais dos comprimentos de meia onda na análise da
flambagem local dos perfis de um mesmo grupo, ilustrados na Figura 7.8.
O grupo que possui bw = 75 mm indica variações no comprimento de meia onda
quando a espessura do perfil sofre variações de valores. O perfil Ue (50 x 25 x 10 x 3)mm não
apresenta ocorrência do modo de flambagem local. Em virtude da espessura desta seção ser a
maior do grupo, as mesas apresentam reserva de resistência interna suficiente e adequada para
não permitir o modo local, apenas o distorcional.
Os maiores valores para os fatores de carga da flambagem local são observados para
os perfis que possuem valores inferiores para as larguras da alma bw entre grupos diferentes e
maiores espessuras para os perfis de mesmo grupo, indicando maiores relações entre as
tensões críticas e as tensões de escoamento das seções transversais em estudo, como mostra a
Figura 7.9.
Os perfis pertencentes aos grupos bw = 50 mm e bw = 75 mm apresentam maior
variância crescente nos valores dos fatores de carga local. Os grupos subseqüentes indicam
menor amplitude conforme variação das espessuras das seções transversais.
Nos fatores de carga dos perfis do tipo U enrijecidos para a consideração da
flambagem local, Figura 7.9, observa-se um aumento dos valores em cada um dos perfis
quando se aumentam as espessuras de cada classe. Entretanto, verifica-se a diminuição dos
fatores de carga quando as alturas das almas sofrem acréscimos em cada categoria. Isto
significa que dentro do mecanismo de flambagem local crítica, o fator de carga representa
quantas vezes uma solicitação de carga normal ou momento fletor desperta o mecanismo de
flambagem local em relação aos carregamentos iniciais. As solicitações de flambagem local
são amplificadas em relação aos carregamentos iniciais através do fator de carga.
155
COMPRIMENTO DE MEIA ONDA DE FLAMBAGEM LOCAL
0
50
100
150
200
250
50 2
5 10
2
50 25
10
265
75 40
15
225
75 4
0 15
3
100
40 1
7 2
100 4
0 17
265
127 5
0 17
225
127
50 1
7 3
150
60 2
0 2
150 6
0 20
265
200 7
5 20
225
200
75 2
0 3
250
85 2
5 2
250 8
5 25
265
300 8
5 25
225
300
85 2
5 3
PERFIS C ENRIJECIDOS
CO
MP
RIM
EN
TO
DE
ME
IA O
ND
A
Figura 7.8 Comprimentos de meia onda para a flambagem local dos perfis Ue analisados.
FATORES DE CARGA DE FLAMBAGEM LOCAL
0
500
1000
1500
2000
2500
50 25
10
2
50 2
5 10
265
75 4
0 15
225
75 40
15
3
100
40 1
7 2
100 4
0 17
265
127 5
0 17
225
127
50 1
7 3
150
60 2
0 2
150 6
0 20
265
200 7
5 20
225
200
75 2
0 3
250
85 2
5 2
250 8
5 25
265
300 8
5 25
225
300
85 2
5 3
PERFIS C ENRIJECIDOS
FA
TO
RE
S D
E C
AR
GA
Figura 7.9 Fatores de carga da flambagem local para os perfis Ue analisados.
156
No mecanismo de flambagem distorcional são observados menores comprimentos de
meia onda para os perfis de maiores espessuras classificados em uma mesma classe. Alguns
grupos mantêm os valores dos comprimentos de meia onda para todas as espessuras
analisadas, conforme a Figura 7.10. Observa-se também, um aumento progressivo do
comprimento de meia onda em função do aumento da altura da alma dos perfis.
Os maiores valores para os fatores de carga da flambagem distorcional são observados
para os perfis que possuem valores inferiores para as larguras da alma bw entre grupos
diferentes e maiores espessuras para os perfis de mesmo grupo, como ilustra a Figura 7.11. Os
comprimentos de meia onda da flambagem distorcional, Figura 7.10, são maiores em
comparação aos da flambagem local, Figura 7.8, para uma determinada classe de perfil. Isto
significa que no modo distorcional a resistência pós-crítica dos perfis é bem superior, uma vez
que o comprimento de meia onda sofre variação no modo inverso da resistência pós-crítica de
flambagem. Para os perfis da classe bw = 300 mm verifica-se que os fatores de carga para a
flambagem distorcional apresentam valores nulos, indicando que não existe relação entre a
tensão crítica distorcional e a tensão de escoamento do aço, ou seja, NcrD = 0. Os perfis deste
grupo apresentam apenas influência dos fenômenos das flambagens local e global.
Quanto maior se torna a largura das almas das classes dos perfis, menor é a variação
crescente da amplitude nos valores dos fatores de carga distorcional para as seções
transversais contidas em cada grupo. Os fatores de carga do modo distorcional, apresentam
valores bem próximos aos do modo local, com pequenas diferenças de valores inferiores no
modo distorcional para as classes de perfis bw = 50 mm e bw = 75 mm. Nas demais classes
observa-se que no modo distorcional os fatores de carga são maiores em relação ao modo
local. Esta inversão de variação no comportamento dos fatores de carga se explica que para
um padrão constante de variações das espessuras, os perfis de pequena altura de alma
apresentam um fator de carga no modo local um pouco maior, indicando uma maior reserva
da capacidade resistente. Entretanto, as seções transversais de maior altura da alma indicam
uma relação (bw/t) superior, refletindo assim uma menor capacidade resistente pós-crítica,
apontando para fatores de carga de flambagem distorcional ligeiramente maiores. Ainda, na
avaliação de um mesmo grupo observa-se que o perfil de maior espessura é aquele que
apresenta o maior fator de carga, uma vez que a contribuição do aumento da espessura reflete
na maior capacidade resistente pós-crítica das flambagens distorcional e local.
157
COMPRIMENTO DE MEIA ONDA DE FLAMBAGEM DISTORCIONAL
0
200
400
600
800
1000
1200
50 2
5 10
2
50 25
10
265
75 40
15
225
75 4
0 15
3
100
40 1
7 2
100 4
0 17
265
127 5
0 17
225
127
50 1
7 3
150
60 2
0 2
150 6
0 20
265
200 7
5 20
225
200
75 2
0 3
250
85 2
5 2
250 8
5 25
265
300 8
5 25
225
300
85 2
5 3
PERFIS C ENRIJECIDOS
CO
MP
RIM
EN
TO
DE
ME
IA O
ND
A
Figura 7.10 Comprimento de meia onda para a flambagem distorcional dos perfis Ue
analisados.
FATORES DE CARGA DE FLAMBAGEM DISTORCIONAL
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
50 2
5 10
2
50 25
10
265
75 40
15
225
75 4
0 15
3
100
40 1
7 2
100 4
0 17
265
127 5
0 17
225
127
50 1
7 3
150
60 2
0 2
150 6
0 20
265
200 7
5 20
225
200
75 2
0 3
250
85 2
5 2
250 8
5 25
265
300 8
5 25
225
300
85 2
5 3
PERFIS C ENRIJECIDOS
FA
TO
RE
S D
E C
AR
GA
Figura 7.11 Fatores de carga da flambagem distorcional para os perfis Ue
analisados.
158
Os grupos dos perfis que apresentam menores alturas, por exemplo, os das classes
bw = 50 mm e bw = 75 mm, não indicam a presença do modo de flambagem global, conforme
ilustração da Figura 7.12. O fenômeno é observado com maior intensidade em algumas
espessuras dos grupos de perfis com largura da alma (bw) de valores intermediários
compreendidos entre 100 e 300 mm para as seções transversais investigadas.
A análise dos perfis da classe bw = 50 mm e bw = 75 mm indica que os fatores de carga
para a flambagem global apresentam valores nulos, não existindo relação entre a tensão crítica
global e a tensão de escoamento do aço, ou seja, Ncre = 0.
Os fatores de carga da flambagem global não apresentam relação com as larguras das
almas dos perfis analisados. O fator preponderante está relacionado diretamente com as
espessuras das seções transversais a partir dos grupos de classe bw = 100 mm, onde para os
perfis de um mesmo grupo existe maior relação entre a carga crítica global e a tensão de
escoamento do aço, conforme a Figura 7.13.
Os fatores de carga são expressamente menores que nos dois modos analisados
anteriormente, indicando valores finais de cargas de flambagem inferiores aos carregamentos
iniciais aplicados.
159
COMPRIMENTO DE MEIA ONDA DE FLAMBAGEM GLOBAL
0
50000
100000
150000
200000
250000
50 2
5 10
2
50 25
10
265
75 40
15
225
75 4
0 15
3
100
40 1
7 2
100 4
0 17
265
127 5
0 17
225
127
50 1
7 3
150
60 2
0 2
150 6
0 20
265
200 7
5 20
225
200
75 2
0 3
250
85 2
5 2
250 8
5 25
265
300 8
5 25
225
300
85 2
5 3
PERFIS C ENRIJECIDOS
CO
MP
RIM
EN
TO
DE
ME
IA O
ND
A
Figura 7.12 Comprimento de meia onda para a flambagem global dos perfis Ue analisados.
FATORES DE CARGA DE FLAMBAGEM GLOBAL
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
50 2
5 10
2
50 25
10
265
75 40
15
225
75 4
0 15
3
100
40 1
7 2
100 4
0 17
265
127 5
0 17
225
127
50 1
7 3
150
60 2
0 2
150 6
0 20
265
200 7
5 20
225
200
75 2
0 3
250
85 2
5 2
250 8
5 25
265
300 8
5 25
225
300
85 2
5 3
PERFIS C ENRIJECIDOS
FA
TO
RE
S D
E C
AR
GA
Figura 7.13 Fatores de carga da flambagem global para os perfis Ue analisados.
160
7.5.2 Análise para os grupos de perfis do tipo Z enrijecidos
As seções transversais que apresentam a mesma largura de alma (bw) indicam valores
iguais dos comprimentos de meia onda na análise da flambagem local para quase todos os
perfis integrantes de um mesmo grupo.
O grupo de classe bw = 50 mm indica brusca variação no comprimento de meia onda
quando a espessura do perfil sofre variações de valores, Figura 7.14. O fato deve-se que para
os perfis mais espessos das classes bw = 50 mm e bw = 75 mm, observa-se uma capacidade
mais crítica da resistência interna na absorção das tensões provenientes do modo local.
Os maiores valores dos fatores de carga da flambagem local são fornecidos para os
perfis que possuem valores inferiores para as larguras da alma (bw) entre grupos diferentes e
maiores espessuras para os perfis de mesmo grupo, indicando maiores relações entre as
tensões críticas e as tensões de escoamento das seções transversais em estudo, conforme
ilustrado na Figura 7.15.
Os perfis que possuem maior largura de alma apresentam maior variância crescente
nos valores dos fatores de carga local. Os grupos subseqüentes indicam menor amplitude
conforme variação das espessuras das seções transversais.
Os comprimentos de meia onda dos modos de flambagem local e distorcional
apresentam valores iguais para algumas classes, ou bem semelhantes para outras, quando
comparados com os perfis U enrijecidos. A classe bw = 150 mm apresenta valores exatos de
comprimentos de meia onda no modo local tanto para os perfis Z quanto para os perfis C, para
o mesmo carregamento inicial atribuído, conforme observados nas Figuras 7.8 e 7.14. Apenas
o perfil Ze (50 x 25 x 10 x 3) mm não apresenta o modo local e o perfil Ze (50 x 25 x 10 x
2,65) mm apresenta um comprimento de meia onda no modo local bem superior aos demais
do grupo, indicando que suas características geométricas e setoriais apresentam uma reserva
de capacidade de carga pós-crítica de flambagem local bem inferior às demais do grupo.
161
O mesmo fenômeno de similaridades dos valores entre perfis Ze e Ue é também
verificado nos fatores de carga do modo local. As classes bw =75 mm, bw=150 mm, bw=200
mm, bw=250 mm e bw=300 mm apresentam exatidão dos resultados para os comprimentos
de meia onda e para os fatores de carga, justificando-se o fato pela semelhança das
propriedades geométricas entre as seções Ue e Ze, e também ao mesmo carregamento
inicial de entrada no programa CUFSM. As semelhanças e identidades dos valores são
observadas comparando-se os gráficos 7.8 com 7.14 e 7.9 com 7.15.
Além das proximidades dos valores existentes do comprimento de meia onda e
fatores de carga no modo distorcional, também verifica-se o mesmo comportamento de
variação de valores no mesmo padrão de variações de espessuras de cada classe dos perfis.
Nos perfis do tipo Ze apenas a última classe (hw = 300 mm) deixa de apresentar o
modo de flambagem distorcional, conforme observado na Figura 6.16, mas apresentando em
caráter excepcional dois modos de flambagem global, com comprimentos de meia onda
diferentes e fatores de carga também diferentes.
COMPRIMENTO DE MEIA ONDA DE FLAMBAGEM LOCAL
0
50
100
150
200
250
50 2
5 10
2
50 2
5 10
265
75 4
0 15
225
75 4
0 15
3
100
50 1
7 2
100 5
0 17 2
65
125 5
0 17 2
25
125
50 1
7 3
150
60 2
0 2
150 6
0 20 2
65
200 7
5 25 2
25
200
75 2
5 3
250
85 2
5 2
250 8
5 25 2
65
300 8
5 25 2
25
300
85 2
5 3
PERFIS Z ENRIJECIDOS
CO
MP
RIM
EN
TO
DE
ME
IA O
ND
A
Figura 7.14 Comprimento de meia onda para a flambagem local dos perfis Ze analisados.
162
FATORES DE CARGA DE FLAMBAGEM LOCAL
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
50 2
5 10
2
50 25
10
265
75 40
15
225
75 4
0 15
3
100
50 1
7 2
100 5
0 17
265
125 5
0 17
225
125
50 1
7 3
150
60 2
0 2
150 6
0 20
265
200 7
5 25
225
200
75 2
5 3
250
85 2
5 2
250 8
5 25
265
300 8
5 25
225
300
85 2
5 3
PERFIS Z ENRIJECIDOS
FA
TO
RE
S D
E C
AR
GA
Figura 7.15 Fatores de carga da flambagem local para os perfis Ze analisados.
Na análise da flambagem distorcional são observados menores comprimentos de meia
onda para os perfis de maiores espessuras classificados em uma mesma família. Apenas o
grupo de classe bw = 250 mm mantém os valores dos comprimentos de meia onda para todas
as espessuras analisadas, representado pela Figura 7.16. Verifica-se também, um aumento
progressivo do comprimento de meia onda em função do aumento da altura da alma dos
perfis.
Conclui-se que os maiores valores para os fatores de carga da flambagem distorcional
são observados para os perfis que possuem valores inferiores para as larguras da alma (bw)
entre grupos diferentes e maiores espessuras para os perfis de mesmo grupo, como ilustra a
Figura 7.17.
Assim como para os perfis Ue analisados, os perfis Ze da classe bw = 300 mm indicam
que os fatores de carga para a flambagem distorcional apresentam valores nulos, não existindo
relação entre a tensão crítica distorcional e a tensão de escoamento do aço, ou seja NcrD = 0.
163
Os perfis deste grupo sofrem influência dos fenômenos das flambagens local e global, sem a
presença do modo distorcional, devido ao valor superior da largura da alma das seções
transversais.
Quanto maior se torna a largura das almas das classes dos perfis, menor é a variação
crescente da amplitude nos valores dos fatores de carga distorcional para as seções
transversais contidas em cada grupo, levando-se em consideração as variações das espessuras.
COMPRIMENTOS DE MEIA ONDA DE FLAMBAGEM DISTORCIONAL
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
50 2
5 10
2
50 25
10
265
75 40
15
225
75 4
0 15
3
100
50 1
7 2
100 5
0 17
265
125 5
0 17
225
125
50 1
7 3
150
60 2
0 2
150 6
0 20
265
200 7
5 25
225
200
75 2
5 3
250
85 2
5 2
250 8
5 25
265
300 8
5 25
225
300
85 2
5 3
PERFIS Z ENRIJECIDOS
CO
MP
RIM
EN
TO
S D
E M
EIA
ON
DA
Figura 7.16 Comprimento de meia onda para a flambagem distorcional dos perfis Ze
analisados.
164
FATORES DE CARGA DE FLAMBAGEM DISTORCIONAL
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
50 2
5 10
2
50 25
10
265
75 40
15
225
75 4
0 15
3
100
50 1
7 2
100 5
0 17
265
125 5
0 17
225
125
50 1
7 3
150
60 2
0 2
150 6
0 20
265
200 7
5 25
225
200
75 2
5 3
250
85 2
5 2
250 8
5 25
265
300 8
5 25
225
300
85 2
5 3
PERFIS Z ENRIJECIDOS
FA
TO
RE
S D
E C
AR
GA
Figura 7.17 Fatores de carga da flambagem distorcional para os perfis Ze analisados.
Ao contrário do verificado na avaliação dos grupos de perfis Ue, todos os grupos dos
perfis Ze analisados apresentam a presença do modo de flambagem global, conforme
mostrado pela Figura 7.18. O fenômeno é observado com maior intensidade em algumas
espessuras dos grupos de perfis com largura da alma (bw) de valor superior nas seções
transversais em estudo.
A análise de alguns perfis das classes com baixos valores para (bw) indica que os
fatores de carga para a flambagem global apresentam valores nulos, não existindo relação
entre a tensão crítica global e a tensão de escoamento do aço, ou seja, Ncre = 0.
Para a avaliação dos fatores de carga da flambagem global não existe relação apenas
das larguras das almas dos perfis analisados. O fator preponderante está relacionado
diretamente com as espessuras das seções transversais de um mesmo grupo e com as larguras
dos enrijecedores (d) juntamente com as larguras das almas para os perfis pertencentes a
diferentes grupos, conforme a Figura 7.19.
165
No mecanismo da flambagem global todos os fatores de carga foram inferiores ao
valor igual a um, e os comprimentos de meia onda se apresentam mais elevados em relação
aos outros dois modos. Isto indica que após as interações dos modos de flambagem juntos
com a seção transversal, a capacidade resistente torna-se muito baixa. Poucos perfis não
apresentam este modo de flambagem, especialmente aqueles de menor altura de alma,
Figura 7.19.
Não ocorre uma correlação clara entre aumento ou diminuição dos fatores de carga
com o acréscimo das alturas dos perfis Ze. Percebe-se que este modo de flambagem é
aleatório para os perfis Ze. Entretanto, os comprimentos de meia onda, apesar de maiores,
aumentam gradativamente com as alturas de almas, conforme observado na Figura 7.18.
COMPRIMENTOS DE MEIA ONDA DE FLAMBAGEM GLOBAL
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
50 2
5 10
2
50 25
10
265
75 40
15
225
75 4
0 15
3
100
50 1
7 2
100 5
0 17
265
125 5
0 17
225
125
50 1
7 3
150
60 2
0 2
150 6
0 20
265
200 7
5 25
225
200
75 2
5 3
250
85 2
5 2
250 8
5 25
265
300 8
5 25
225
300
85 2
5 3
PERFIS Z ENRIJECIDOS
CO
MP
RIM
EN
TO
S D
E M
EIA
ON
DA
Figura 7.18 Comprimento de meia onda para a flambagem global dos perfis Ze analisados.
166
FATORES DE CARGA DE FLAMBAGEM GLOBAL
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
50 2
5 10
2
50 25
10
265
75 40
15
225
75 4
0 15
3
100
50 1
7 2
100 5
0 17
265
125 5
0 17
225
125
50 1
7 3
150
60 2
0 2
150 6
0 20
265
200 7
5 25
225
200
75 2
5 3
250
85 2
5 2
250 8
5 25
265
300 8
5 25
225
300
85 2
5 3
PERFIS Z ENRIJECIDOS
FA
TO
RE
S D
E C
AR
GA
Figura 7.19 Fatores de carga da flambagem global para os perfis Ze analisados.
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A instabilidade estrutural é uma das causas mais relevantes das falhas estruturais em
perfis de hastes de paredes delgadas. Ao longo deste trabalho procura-se apresentar as
formulações mais atualizadas do problema que permitem uma análise mais aprofundada dos
mecanismos de colapso. Na flambagem global é apresentado o enfoque na flambagem
torcional de perfis delgados. Na flambagem local o procedimento analítico para mesas
enrijecidas junto com a máxima tensão de flambagem constitui um importante objetivo que é
atingido. A programação desenvolvida em sua forma original apresenta os resultados
satisfatórios na análise da tensão crítica das placas componentes dos perfis do tipo U sem
enrijecimento e na análise do momento crítico para a flambagem lateral de vigas. Neste
contexto, verifica-se que a Computação Algébrica Simbólica é um instrumento valioso e
eficiente na obtenção de resultados analíticos gráficos e numéricos.
Na contribuição dos enrijecedores dos perfis de aços formados a frio a análise feita
pela programação algébrica também se torna bastante eficiente, e permite uma averiguação
mais clara do papel destes enrijecedores não explorada ainda por outros autores.
Procura-se sistematizar os resultados de comprimento de meia onda e fatores de carga
dos diversos modos de falha característicos dos perfis U e Z enrijecidos através do programa
do método das faixas finitas. Este permite um amplo espectro na análise dos casos de
ocorrência dos mecanismos de flambagem local, distorcional e global dentro de uma variação
padrão de espessuras para todas as famílias de perfis disponíveis no mercado. São
identificados e analisados quais os perfis que deixam de apresentar um determinado modo de
flambagem e quais as possíveis causas de interferências em tais mecanismos. Isto permite
observar o comportamento de cada classe de perfis para variações de espessuras sob
168
determinados carregamentos iniciais. Diante desta análise, pode-se dizer que a metodologia
empregada para a obtenção dos resultados é bastante satisfatória, e a sistematização dos
resultados é posta de forma original de tal forma que permite uma interpretação mais
confiável e abrangente de todos os resultados envolvidos.
Desta forma, conclui-se que o trabalho empresta valor acadêmico original,
contribuindo para o amplo espectro de análise dos perfis de aços formados a frio com
enrijecedores ou não, possibilitando outros ramos de pesquisas com incorporação de
prescrições das normas internacionais mais avançadas.
Sugerem-se para trabalhos futuros uma análise de seções do tipo I formadas por
justaposição de perfis de duplo U, sob diversas condições de carregamento externo, como
também uma análise das influências dos travamentos laterais sobre os modos de flambagem
dos perfis.
9 OBRAS CITADAS
AMERICAN IRON OF STEEL INSTITUTE Cold formed steel manual, AISI, Washington, 1996 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Dimensionamento de estruturas
de aço constituídas por perfis formados a frio. NBR 14762, Rio de Janeiro, 2001.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Perfis estruturais de aço
formados a frio. NBR 6355, Rio de Janeiro, 2002.
BATISTA, E; RONDAL, J; MAQUOI, R. Column stability of cold-formed U and C sections.
Proc. of the International Conference on Steel and Aluminum Structures, Cardiff, United
Kingdom, 1987.
CHAGES, A; FANG, J; WINTER, G. Torsional flexural buckling, elastic and inelastic of
cold formed thin walled columns. Cornell Engineering Research Bulletin, 1966.
CHEUNG, Y. K. Finite strip method in structural analysis. Pergamon Press, New York, 1976.
CHEUNG, Y. K; FAN, S. C. Static analysis of right box girder bridges by the spline finite
strip method. Proc. Inst. Civ. Engineers, part 2, 75, 1983.
CHEUNG, Y. K.; KOO, K. K. Analytical method for thin-walled members in general bending
and torsion. Thin-Walled Structures, Elsevier Science Ltd., Exeter, England, v. 6, n. 5, p. 355-
369, 1988.
170
CHILVER, A. H. The behavior of thin walled structural members in compression.
Engineering, 1951.
CHILVER, A.H. Civil Engineer Publications Works Review, 48, 1143, 1953.
CHOU, S. W.; SEAH, L. K.; RHODES, J. Accuracy of some codes of practice in predicting
the load capacity of cold-formed columns. Journal of Constructional steel research, Elsevier,
1996.
COMITE EUROPEEN DE NORMALISATION, Eurocode 3: Design of steel structures, part
1.3: general rules, 1996.
DAT, D. T. The strength of cold-formed steel columns. Ph.D. Thesis, Cornell University,
New York, 1980.
DAVIES, J. M.; JIANG, C. Design of thin-walled columns for distorcional buckling.
International Conference on coupled instabilities in metal structures, Imperial College Press,
Liege, Belgium, 1996.
DAVIES, J. M; LEACH, P; HEINZ, D. Second Order Generalised beam theory. Journal of
Constructional Steel Research, Elsevier, 1994.
DESMOND, T. P. The behavior and strength of thin-walled compression elements with
longitudinal stiffeners, Ph. D. Thesis, Cornell University, New York, 1977.
DESMOND, T, P; PEKOZ, T; WINTER, G. Edge stiffener for thin walled members, Journal
of Structural Division, ASCE, vol 107, 1981.
DEWOLF, J. T.; PEKÖZ, T.; WINTER, G. Local and overall buckling of cold-formed
members. Journal of the Structural Div., ASCE, 1974.
DIVAKARAN, S. The influence of shape on the strength of open thin-walled columns. M.S.
Thesis, McMaster University, Ontario, Canada, 1964.
171
DWIGHT, J. B. Aluminum sections with lipped flanges and their resistance to local buckling.
Proceedings, Symposium on Aluminum in structural Engineering, London, England, 1963.
GOLDBERG, J. E.; BOGDANOFF, J. L.; GLAUZ, W. D. Lateral and torsional buckling of
thin-walled beams, Proceedings, IABSE, vol 24, 1964.
GRAVES SMITH, T. R. The ultimate strength of locally buckled columns of arbitrary length.
Ph.D. Dissertation, University of Cambridge, U.K., 1966.
HANCOCK, G. J. Distortional buckling of steel storage rack columns. Journal of Structural
Eng., ASCE, 1985.
HANCOCK, G. J. “Design for distortional and buckling of flexural members”. Thin-Walled
Structures, vol. 27, no 1, pp. 3-12, 1997.
HANCOCK, G. J.; KWON, Y. B.; BERNARD, E. S. Strength design curves for thin-walled
sections undergoing distortional buckling. Journal of Constructional Steel Research, Elsevier,
31, 1994.
HARVEY, J. M. Structural strength of thin-walled channel sections. Engineering, 1953.
HIKOSAKA, H.; TAKAMI, K.; MARUYAMA, Y. Analysis of elastic distortional instability
of thin-walled members with open polygonal cross section. Proceedings of Japan Society of
Civil Engineers; Structural Eng./Earthquake Eng., vol 4, 1987.
KALYANARAMAN, V.; PEKOZ, T.; WINTER, G. Unstiffened compression elements.
Journal of Structural Division, ASCE, 1977.
KARREN, K. W. Effects of cold-forming on light-gage steel members, Ph.D. Thesis, Cornell
University, New York, 1965.
KARREN, K. W.; WINTER, G. Effects of cold-forming on light-gage steel members. Journal
of the Structure Div., ASCE, pp 433-469, 1967.
172
KASSAR, M.; PAN, C. L.; YU, W. W. Effect of strain rate on cold-formed steel stub
columns. Journal of Structural Engineering, ASCE, pp 3151-3168, 1992.
KLÖPPEL, K.; SCHUBERT, J. Publication of the Institute for Statics and Steel Construction,
Darmstadt, 1971.
KLÖPPEL, K.; BILSTEIN, W. Untersuchungen zur linearn und nichtlinearen beultheorie mit
beulwerttafeln fur dunnwandige U, C und hut-profile und tafeln fur mitwirkende breiten und
tragspannungen von dreiseitig und vierseitig gelenkig gelagerten reckteck platen nach der
nichtlinearen beultheorie. Stahlbau, 45, pp 33-38, 1976.
KLÖPPEL, K.; UNGER, B. Das ausbeulen einer am freien rand verstuiften, dreiseitig
momentenfrei gelagerten platte unter verwendung der nichtlinearen beultheorie, teill II:
experimentelle untersuchungen, bergleich der experimentellen mit den theoretischen
ergebnissen. Der Stahlabu, 39, pp 115-123, 1970.
KWON, Y. B. “Post-buckling behavior of thin-walled channel sections”. Ph.D. Thesis,
University of Sydney, Sydney, Australia, 1992.
KWON, Y. B.; HANCOCK, G. J. Strength tests of cold-formed channel sections undergoing
local and distortional buckling. Journal of Structural Engineering, ASCE, 117, pp 1786-1803,
1988.
LAU, S. C. W. Distortional buckling of thin-walled columns. Ph.D. Thesis, University of
Sydney, Australia, 1988.
LAU, S. C. W.; HANCOCK, G. J. Distortional buckling formulas for channel columns.
Journal of Structure Engineering, ASCE, 113, pp 1063-1078, 1987.
LAU, S. C. W.; HANCOCK, G. J. “Inelastic buckling of channel columns in the distorcional
mode”. Thin-Walled Structures, v. 10, pp. 59-84, 1990.
LIM, B. S. Buckling behavior of asymmetric edge stiffened plates. Ph.D. Thesis, University
of Strathclyde, Glasgow, Scotland, 1985.
173
LIM, B. S.; RHODES, J. Buckling behavior of asymmetric edge stiffened plates. Applied
solid mechanics, Elsevier, pp 351-375, 1986.
LOH, T. S. Combined axial load and bending in cold-formed steel members. Ph.D. Thesis,
Cornell University, New York, USA, 1985.
LOUGHLAN, J. Mode Interaction in lipped channel columns under concentric or eccentric
loading. Ph.D. Thesis University of Strathclyde, Glasgow, Scotland, 1979.
LUNDQUIST, E. E.; STOWEL, E. Z. Principles of moment distribution applied to the
stability of structures composed of bars or plates. NACA, L-326, 1943.
MILLER, T. H.; PEKÖZ, T. Load-eccentricity effects on cold-formed steel lipped-channel
columns. Journal of Structure Engineering, ASCE, 120, 1994.
MOLDOVAN, A. Compression tests on cold-formed steel columns with monosymmetrical
section. Elsevier, 20, 1994.
MULLIGAN, G. P. The influence of local buckling on the structural behavior of singly-
symmetric cold-formed steel columns. Ph.D. Thesis, Cornell University, New York, USA,
1983.
NETHERCOT, D. A.; TRAHAIR, N. S. Lateral buckling approximations for elastic beams.
The Structural Engineer, 54 (6), 197, 1976.
PEKÖZ, T. Torsional flexural buckling of thin-walled section under eccentric load. Cornell
Engineering Research Bulletin, 69, 1969.
PEKÖZ, T. Post buckling interaction of plate elements: progress report to Swedish building
research council, 1977.
PEKÖZ, T. Development of a unified approach to the design of cold-formed steel members.
American Iron and Steel Institute Research Report, 1987.
174
PLANK, R.J.; WITTRICK, W. H. Buckling under combined loading of thin, flat-walled
structures by a complex finite strip method, International Journal Num Met in Engg, vol 8,
1974.
POLYZOIS, D.; CHARNVARNICHBORIKARN, P. Web-flange interaction in cold-formed
steel Z-section columns. Journal of Structural Engineering, ASCE, 119, 1993.
POLYZOIS, D.; SUDHARMAPAL, A. R. Cold-formed steel Z-sections with sloping edge
stiffness under axial loading. Journal of Structural Engineering, ASCE, 116, 1990.
PURNADI, R. W.; TASSOULAS, J. L.; POLYZOIS, D. Study of cold-formed Z-section steel
member under axial loading. International Conference on Cold-Formed Steel Structures,
University of Missouri-Rolla, St. Louis, USA, 1990.
RASMUSSEN, K. J. R.; HANCOCK, G. J. The flexural behavior of thin-walled singly
symmetric columns. International Conference on Steel and Aluminum Structures, Singapore,
1991.
RHODES, J.; HARVEY, J. M. Interaction behavior of plain channel columns under
concentric or eccentric loading. International Colloquium on the stability of steel structures,
Liege, Belgium, 1977.
RHODES, J.; LOUGHLAN, J. Simple design analysis of lipped channel columns. Intl. Spec.
Conf. on Cold-Formed Steel Structures, University of Missouri-Rolla, St. Louis, USA, 1980.
SALMI, P.; TALJA, A. Design of cold-formed HSS channels for bending and eccentric
compression, VTT Research Notes, 1505, Technical Research Centre of Finland, 1993.
SCHAFER, B. W. Cold-formed steel behavior and design: analytical and numerical modeling
of elements and members with longitudinal stiffeners. Ph.D. Dissertation, Cornell University,
New York, 1997.
175
SCHAFER, B. W. A correction to AISI specification B2.3 and B2.4 in order to partially
alleviate the unconservative prediction of members with edge stiffened elements.
Commentary on Ballot S98-90A, AISI, 1998.
SCHAFER, B. W.; PEKÖZ, T. “Direct strength prediction of cold-formed steel members
using numerical elastic buckling solutions”. Thin– Walled Structures, Research and
Development. Proceedings of the 2nd International Conference on Thin– Walled Structures,
Elsevier, pp. 137-144, Singapore, 1998.
SCHARDT, R. Verallgemeinerte technische biegetheorie, Springer-Verlag, Germany, 1989.
SCHARDT, R. Generalized beam theory – an adequate method for coupled stability
problems. Thin-walled structures, Elsevier, 19, pp 161-180, 1994.
SEAH, L. K. Buckling behavior of edge stiffeners in thin-walled sections. Ph.D. Thesis.
University of Strathclyde, Glasgow, Scotland, 1989.
SEAH, L. K.; RHODES, J. Simplified buckling analysis of plate with compound edge
stiffeners. Journal of Engineering Mechanical, 1993.
SEAH, L. K.; RHODES, J.; LIM, B. S. Influence of lips on thin-walled sections. Thin-walled
structures, Elsevier, 16, 1993.
SHARP, M. L. Longitudinal stiffeners for compression members. J. of the Structural Div.,
ASCE, 92, 1966.
SRIDHARAN, S. A semi-analytical method for the post-local-torsional buckling analysis of
prismatic plate structures. Intl. Journal Num. Meth.in Engg., vol 18, pp 1685-1697, 1982.
STANDARDS AUSTRALIA. Steel storage racking, AS 4084, 1993.
STANDARDS AUSTRALIA / STANDARDS NEW ZEALAND. Cold-formed steel
structures, AS/NZS 4600, 1996.
176
TAKAHASHI, K. A new buckling mode of thin-walled columns with cross-sectional
distortions. Solid Mechanics, 25, Elsevier, 1988.
THOMASSON, P. Thin-walled C-shaped panels in axial compression. Swedish Council for
Building Research. Stockholm, Sweden, 1978.
TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. M. Theory of elastic stability, McGraw-Hill, 1936.
URIBE, J.; WINTER, G. Cold-forming effects in thin-walled steel members. Dept. of Struct.
Eng., Cornell University, 1969.
VAN der NEUT, A. The interaction of local buckling and column failure of thin-walled
compression members. Proceedings of the XII Int. Congress Appl. Mech., Stanford (Springer
Verlag), 1968.
VENKATARAMAIAH, K. R. Optimum edge stiffeners for thin-walled structural elements
with edge stiffeners. Solid Mechanics Report, 7, University of Waterloo, Ontario, Canada,
1971.
VON KARMAN, T.; SECHLER, E. E.; DONNEL, L. H. The strength of thin plates in
compression. ASME, 1932.
WALKER, A. G. Design and analysis of cold formed sections. Intertext Books, p. 50, 1975.
WENG, C. Flexural buckling of cold-formed steel columns. Ph. D. Thesis. Cornell
University, USA, 1987.
WINTER, G. Tests on light studs of cold-formed steel. Third Progress Report, Cornell
University, 1940.
WINTER, G. Tests on light studs of cold-formed steel. Second Summary Report, Cornell
University, 1943.
WINTER, G. Strength of thin steel compression flanges. Transactions of ASCE, 112,1,1947.
177
WINTER, G. Performance of compression plates as parts of structural members. Research,
Engineering Structures Supplement, London, 1949.
WITTRICK, W. H. General Sinusoidal Stiffness Matrices for Buckling and Vibration
Analyses of Thin Flat-Walled Structures, Intl. J. Mech. Sci, vol 10, pp 949-966, 1968.
YOSHIDA, H. Conference on stability of steel structures, University of Liége, Preliminary
Report, Belgium, 1977.
YOSHIDA, H. Conference on stability of steel structures, University of Liége, Preliminary
Report, Belgium, 1977.
YOUNG, B.; RASMUSSEN, K. J. R. Tests of fixed-ended plain channel columns. Journal of
Structural Engineering, ASCE, v. 124, n. 2, p. 131-139, 1998.
YOUNG, B. The behavior and design of cold-formed channel columns. Ph.D. Thesis,
University of Sydney, Austarlia, 1997.
ZARAS, J.; RHODES, J. Carefully controlled compression tests on thin-walled cold-formed
sections. Applied Solid Mechanics, Elsevier, 2, pp 519-551, 1988.
10 OBRAS CONSULTADAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Perfis estruturais de aço
formados a frio. NBR 6355, Rio de Janeiro, 2002.
ATTARD, M. M. “Nonlinear theory of non-uniform torsion of thin-walled open beams”.
Thin-Walled Structures, vol. 4, pp. 101-134, 1986.
ATTARD, M. M. “The elastic flexural-torsional response of thin-walled open beams”. Ph.D.
Thesis, University of New South Wales, Sidney, Ausralia, 1984.
ATTARD, M. Lateral buckling analysis of beams by the FEM. Computers & Structures.
Pergamon Press Ltd., Oxford, England, 1996.
ATTARD, M. M. e SOMERVAILLE, I. J. “Non-linear analysis of thin-walled open beams”.
Computers and Structures, 253, pp.437-443, 1987.
BATISTA, E. M.; CAMOTIM, D.; PROLA, L. C. e VAZQUEZ, E. G. “On the stability and
strength of steel columns affected by distorcional buckling”. Journal of Constructional Steel
Research, v. 46, No 1-3, pp 129, San Sebastian, 1998.
BATISTA, E. M.; CAMOTIM, D.; PROLA, L. C. e VAZQUEZ, E. G. “On the local buckling
behavior of rack section thin-walled columns”. Proceedings of the SSRC Annual Technical
Session, pp. 107-120, Atlanta, USA, 1998.
CHAJES, A. Principles of structural stability. Englewood Cliffs, NJ, USA: Prentice-Hall,
Inc. 1974.
179
DAVIES, J. M. e JIANG, C. “Design of thin-walled columns for distorcional buckling”.
Proceedings of the Second International Conference on Coupled Instability in Metal
Structures, pp. 165-172, Liege, Belgium, 1996.
GJELSVIK, A. “The theory of thin-walled bars”. John Wiley & Sons, USA, 1981.
GOBARAH, A. A. e TSO, W. K. “A non-linear thin-walled beam theory”. International
Journal of Mechanical Science, 13, pp. 1025-1038, 1971.
HANCOCK, G.; MURRAY, T.; ELLIFRIT, D. Cold-formed steel structures to the AISI
specification. Marcel Decker, Inc., New York, 2001.
PROKIC, A. “Thin walled beams with open and closed cross section”. Ph.D. Thesis, Univ. of
Belgrade, Yugoslavia, 1990.
RHODES, J. Design of cold formed steel members, Elsevier Science Publishers Ltd., London,
1991.
SZYMCZAK, C.; CHRÓSCIELEWSKI, J. e LUBOWIECKA, I. “On the paradox of torsional
buckling of thin-walled I columns”. Archive of Civil Engineering, XLIX, pp. 3-13, 2003.
TRAHAIR, N. S. “Flexural-torsional buckling of structures”. E & FN SPON, London, 1993.
TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. M. Theory of elastic stability, McGraw-Hill, 1961.
VLASOV, V. Z. “Thin-walled elastic beams”. Israel Program for Scientific Translations Ltd.,
Jerusalem, 1961.
YU, W. Cold-formed steel design, John Wiley & Sons, Inc., New York, 2000.
ANEXO 1 Cálculo das características geométricas dos perfis delgados de séries comerciais do tipo U formados por aço a frio sem revestimento Sistema de Unidades: ORIGIN 1:= kN 1:= cm 1:= m 100 cm⋅:= dm 0.1 m⋅:=
kgfkN100
:= NkN
1000:= MN 1000 kN⋅:= mm 0.1 cm⋅:=
MPaMN
m2:= kPa
kN
m2:= GPa 1000 MPa⋅:= tf 1000 kgf⋅:=
Dados: n: número de seções analisadas Perfil U:
181
1o Grupo:
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)50 x 25 x 1.20 50 25 1.20 1.2050 x 25 x 1.50 50 25 1.50 1.5050 x 25 x 2.00 50 25 2.00 2.0050 x 25 x 2.25 50 25 2.25 2.2550 x 25 x 2.65 50 25 2.65 2.6550 x 25 x 3.00 50 25 3.00 3.00
DimensõesPerfil U
n 6:= i 1 n..:= Dimensões:
bw 50 50 50 50 50 50( ) mm⋅[ ]T:=
bf 25 25 25 25 25 25( ) mm⋅[ ]T:=
t 1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00( ) mm⋅[ ]T:=
ri 1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00( ) mm⋅[ ]T:=
rmirii
ti2
+:=
182
u1i
2 π⋅ rmi⋅
4:=
ai bwi2 rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅−:=
ami
bwiti−:=
bi bfirmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠−:=
bmibfi
ti2
−:=
Ai ti ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
xgi
2 ti⋅
Aibi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
⋅ u1i0.363 rmi
⋅⎛⎝
⎞⎠
⋅+⎡⎣
⎤⎦
⋅ 0.5 ti⋅+:=
x0ibmi
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅
ami⎛⎝
⎞⎠
3 6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅ xgi+ 0.5 ti⋅−:=
Ixi2 ti⋅ 0.042 ai( )3⋅ bi 0.5 ai⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅+ u1i
0.5 ai⋅ 0.637 rmi⋅+⎛
⎝⎞⎠
2⋅+ 0.149 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅:=
Iyi2 ti⋅ bi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅ 0.083 bi( )3⋅+ 0.356 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
Ai xgi0.5 ti⋅−⎛
⎝⎞⎠
2⋅−:=
Iti0.333 ti( )3⋅ ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
Cwi
ami⎛⎝
⎞⎠
2 bmi⎛⎝
⎞⎠
2⋅ ti⋅
12
2 ami⎛⎝
⎞⎠
3⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⎛⎝
⎞⎠
2⋅+
6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
ami⎛⎝
⎞⎠
3+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅:=
183
A
1.153
1.426
1.868
2.084
2.419
2.704
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm2= xg
0.68
0.694
0.718
0.73
0.749
0.766
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm= x0
1.535
1.529
1.518
1.513
1.504
1.497
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm=
Ix
4.543
5.537
7.074
7.787
8.854
9.714
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iy
0.718
0.878
1.129
1.247
1.425
1.57
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= It
0.006
0.011
0.025
0.035
0.057
0.081
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Cw
3.027
3.669
4.645
5.091
5.749
6.271
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm6=
Análise da tensão crítica para a flambagem local das placas componentes das seções tipo U:
b11i
bwi:=
b2i
bfi:=
t11i
ti:=
184
K11míni0.5
b11i
b2i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
Dados: E 205 GPa⋅:= ν 0.3:=
σ1cri
K11míniπ
2⋅ E⋅
12 1 ν2
−( )⋅
t11i
b11i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ1cr
213.444
333.506
592.899
750.388
1040.909
1334.023
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
MPa=
0.02 0.03 0.04 0.05 0.0620
40
60
80
100
120
140Tensão crítica de flambagem local
(kN
/cm
2) σ1cri
t11i
b11i
185
Análise do momento crítico para carga concentrada no centro de cisalhamento de viga simplesmente apoiada constituída por perfil tipo U:
Dados: Comprimento da viga: L 10 m⋅:= I1i
Iyi:= I2i
Ixi:= J1i Iti
:=
γi 1I1i
I2i
−:= GE
2 1 ν+( )⋅:=
M10cri1.35
π
L⋅
E I1i⋅ G⋅ J1i⋅
γi
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅ 1E Cwi⋅
G J1i⋅
π2
L2⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅:=
M10cri
3.727
5.719
9.882
12.334
16.732
21.026
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
kN cm⋅=
186
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090
5
10
15
20
25Momento crítico de flambagem lateral
cm4
kN*c
m M10cri
J1i
187
2o Grupo:
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)75 x 40 x 1.20 75 40 1.20 1.2075 x 40 x 1.50 75 40 1.50 1.5075 x 40 x 2.00 75 40 2.00 2.0075 x 40 x 2.25 75 40 2.25 2.2575 x 40 x 2.65 75 40 2.65 2.6575 x 40 x 3.00 75 40 3.00 3.0075 x 40 x 3.35 75 40 3.35 3.3575 x 40 x 3.75 75 40 3.75 3.7575 x 40 x 4.25 75 40 4.25 4.2575 x 40 x 4.75 75 40 4.75 4.75
DimensõesPerfil U
n 10:= i 1 n..:= Dimensões:
bw 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75( ) mm⋅[ ]T:=
bf 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40( ) mm⋅[ ]T:=
t 1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75( ) mm⋅[ ]T:=
ri 1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75( ) mm⋅[ ]T:=
rmirii
ti2
+:= u1i
2 π⋅ rmi⋅
4:=
ai bwi2 rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅−:= ami
bwiti−:= bi bfi
rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠−:=
bmibfi
ti2
−:=
Ai ti ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
xgi
2 ti⋅
Aibi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
⋅ u1i0.363 rmi
⋅⎛⎝
⎞⎠
⋅+⎡⎣
⎤⎦
⋅ 0.5 ti⋅+:=
188
x0ibmi
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅
ami⎛⎝
⎞⎠
3 6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅ xgi+ 0.5 ti⋅−:=
Ixi2 ti⋅ 0.042 ai( )3⋅ bi 0.5 ai⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅+ u1i
0.5 ai⋅ 0.637 rmi⋅+⎛
⎝⎞⎠
2⋅+ 0.149 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅:=
Iyi2 ti⋅ bi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅ 0.083 bi( )3⋅+ 0.356 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
Ai xgi0.5 ti⋅−⎛
⎝⎞⎠
2⋅−:=
Iti0.333 ti( )3⋅ ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
Cwi
ami⎛⎝
⎞⎠
2 bmi⎛⎝
⎞⎠
2⋅ ti⋅
12
2 ami⎛⎝
⎞⎠
3⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⎛⎝
⎞⎠
2⋅+
6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
ami⎛⎝
⎞⎠
3+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅:=
A
1.813
2.251
2.968
3.321
3.877
4.354
4.824
5.35
5.994
6.621
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm2= xg
1.088
1.102
1.126
1.137
1.156
1.173
1.19
1.209
1.234
1.258
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm= x0
2.529
2.523
2.512
2.507
2.498
2.491
2.484
2.475
2.465
2.456
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm=
Ix
16.666
20.5
26.602
29.521
34.009
37.757
41.339
45.233
49.808
54.064
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iy
2.973
3.667
4.781
5.317
6.148
6.848
7.522
8.261
9.139
9.967
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= It
0.009
0.017
0.04
0.056
0.091
0.13
0.18
0.251
0.361
0.497
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Cw
28.544
34.985
45.134
49.942
57.276
63.341
69.087
75.275
82.462
89.065
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm6=
189
b12i
bwi:= b2i
bfi:= t12i
ti:=
K21míni0.5
b12i
b2i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ2cri
K21míniπ
2⋅ E⋅
12 1 ν2
−( )⋅
t12i
b12i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ2cr
83.376
130.276
231.601
293.12
406.605
521.103
649.786
814.223
1045.825
1306.376
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
MPa=
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070
20
40
60
80
100
120
140Tensão crítica de flambagem local
(kN
/cm
2) σ2cri
t12i
b12i
190
L 10 m⋅:= I1i
Iyi:=
I2iIxi
:=
J2i Iti:=
γi 1I1i
I2i
−:= GE
2 1 ν+( )⋅:=
M20cri1.35
π
L⋅
E I1i⋅ G⋅ J2i⋅
γi
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅ 1E Cwi⋅
G J2i⋅
π2
L2⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅:=
M20cri
9.958
15.188
26.261
32.861
44.835
56.685
69.759
86.133
108.632
133.245
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
kN cm⋅=
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
20
40
60
80
100
120
140Momento crítico de flambagem lateral
cm4
kN*c
m M20cri
J2i
191
3o Grupo:
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)100 x 40 x 1.20 100 40 1.20 1.20100 x 40 x 1.50 100 40 1.50 1.50100 x 40 x 2.00 100 40 2.00 2.00100 x 40 x 2.25 100 40 2.25 2.25100 x 40 x 2.65 100 40 2.65 2.65100 x 40 x 3.00 100 40 3.00 3.00100 x 40 x 3.35 100 40 3.35 3.35100 x 40 x 3.75 100 40 3.75 3.75100 x 40 x 4.25 100 40 4.25 4.25100 x 40 x 4.75 100 40 4.75 4.75100 x 40 x 6.30 100 40 6.30 6.30
DimensõesPerfil U
n 11:= i 1 n..:= Dimensões:
bw 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100( ) mm⋅[ ]T:=
bf 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40( ) mm⋅[ ]T:=
t 1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30( ) mm⋅[ ]T:=
ri 1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30( ) mm⋅[ ]T:=
rmirii
ti2
+:= u1i
2 π⋅ rmi⋅
4:=
ai bwi2 rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅−:= ami
bwiti−:= bi bfi
rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠−:= bmi
bfi
ti2
−:=
Ai ti ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
xgi
2 ti⋅
Aibi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
⋅ u1i0.363 rmi
⋅⎛⎝
⎞⎠
⋅+⎡⎣
⎤⎦
⋅ 0.5 ti⋅+:=
x0ibmi
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅
ami⎛⎝
⎞⎠
3 6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅ xgi+ 0.5 ti⋅−:=
192
Ixi2 ti⋅ 0.042 ai( )3⋅ bi 0.5 ai⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅+ u1i
0.5 ai⋅ 0.637 rmi⋅+⎛
⎝⎞⎠
2⋅+ 0.149 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅:=
Iyi2 ti⋅ bi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅ 0.083 bi( )3⋅+ 0.356 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
Ai xgi0.5 ti⋅−⎛
⎝⎞⎠
2⋅−:=
Iti0.333 ti( )3⋅ ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
Cwi
ami⎛⎝
⎞⎠
2 bmi⎛⎝
⎞⎠
2⋅ ti⋅
12
2 ami⎛⎝
⎞⎠
3⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⎛⎝
⎞⎠
2⋅+
6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
ami⎛⎝
⎞⎠
3+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅:=
A
2.113
2.626
3.468
3.884
4.539
5.104
5.661
6.288
7.056
7.808
10.035
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm2= xg
0.942
0.955
0.978
0.989
1.007
1.023
1.039
1.057
1.08
1.103
1.175
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm= x0
2.271
2.264
2.252
2.246
2.237
2.229
2.22
2.211
2.2
2.189
2.154
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm=
Ix
32.332
39.877
51.985
57.822
66.866
74.483
81.827
89.891
99.483
108.543
133.344
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iy
3.245
4.006
5.231
5.823
6.742
7.518
8.268
9.094
10.081
11.016
13.604
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= It
0.01
0.02
0.046
0.065
0.106
0.153
0.212
0.294
0.424
0.587
1.326
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Cw
56.248
69.107
89.516
99.254
114.204
126.664
138.559
151.481
166.655
180.778
218.303
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm6=
193
b13i
bwi:= b2i
bfi:= t13i
ti:=
K31míni0.5
b13i
b2i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:= σ3cri
K31míniπ
2⋅ E⋅
12 1 ν2
−( )⋅
t13i
b13i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ3cr
83.376
130.276
231.601
293.12
406.605
521.103
649.786
814.223
1045.825
1306.376
2298.064
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
MPa=
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250Tensão crítica de flambagem local
(kN
/cm
2) σ3cri
t13i
b13i
194
L 10 m⋅:= I1i
Iyi:= I2i
Ixi:= J3i Iti
:=
γi 1I1i
I2i
−:= GE
2 1 ν+( )⋅:=
M30cri1.35
π
L⋅
E I1i⋅ G⋅ J3i⋅
γi
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅ 1E Cwi⋅
G J3i⋅
π2
L2⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅:=
M30cri
11.018
16.666
28.637
35.782
48.762
61.627
75.843
93.679
118.241
145.181
242.207
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
kN cm⋅=
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
50
100
150
200
250Momento crítico de flambagem lateral
cm4
kN*c
m M30cri
J3i
195
4o Grupo:
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)100 x 50 x 1.20 100 50 1.20 1.20100 x 50 x 1.50 100 50 1.50 1.50100 x 50 x 2.00 100 50 2.00 2.00100 x 50 x 2.25 100 50 2.25 2.25100 x 50 x 2.65 100 50 2.65 2.65100 x 50 x 3.00 100 50 3.00 3.00100 x 50 x 3.35 100 50 3.35 3.35100 x 50 x 3.75 100 50 3.75 3.75100 x 50 x 4.25 100 50 4.25 4.25100 x 50 x 4.75 100 50 4.75 4.75100 x 50 x 6.30 100 50 6.30 6.30
DimensõesPerfil U
n 11:= i 1 n..:= Dimensões:
bw 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100( ) mm⋅[ ]T:=
bf 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50( ) mm⋅[ ]T:=
t 1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30( ) mm⋅[ ]T:=
ri 1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30( ) mm⋅[ ]T:=
rmirii
ti2
+:= u1i
2 π⋅ rmi⋅
4:=
ai bwi2 rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅−:= ami
bwiti−:= bi bfi
rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠−:= bmi
bfi
ti2
−:=
Ai ti ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
xgi
2 ti⋅
Aibi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
⋅ u1i0.363 rmi
⋅⎛⎝
⎞⎠
⋅+⎡⎣
⎤⎦
⋅ 0.5 ti⋅+:=
x0ibmi
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅
ami⎛⎝
⎞⎠
3 6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅ xgi+ 0.5 ti⋅−:=
196
Ixi2 ti⋅ 0.042 ai( )3⋅ bi 0.5 ai⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅+ u1i
0.5 ai⋅ 0.637 rmi⋅+⎛
⎝⎞⎠
2⋅+ 0.149 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅:=
Iyi2 ti⋅ bi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅ 0.083 bi( )3⋅+ 0.356 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
Ai xgi0.5 ti⋅−⎛
⎝⎞⎠
2⋅−:=
Iti0.333 ti( )3⋅ ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
Cwi
ami⎛⎝
⎞⎠
2 bmi⎛⎝
⎞⎠
2⋅ ti⋅
12
2 ami⎛⎝
⎞⎠
3⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⎛⎝
⎞⎠
2⋅+
6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
ami⎛⎝
⎞⎠
3+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅:=
A
2.353
2.926
3.868
4.334
5.069
5.704
6.331
7.038
7.906
8.758
11.295
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm2= xg
1.305
1.319
1.342
1.354
1.372
1.389
1.405
1.424
1.448
1.471
1.546
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm= x0
3.097
3.091
3.079
3.074
3.065
3.057
3.05
3.041
3.03
3.02
2.988
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm=
Ix
38.188
47.153
61.589
68.572
79.423
88.596
97.474
107.261
118.965
130.09
161
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iy
5.989
7.409
9.707
10.824
12.568
14.05
15.491
17.089
19.013
20.857
26.069
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= It
0.011
0.022
0.052
0.073
0.119
0.171
0.237
0.33
0.476
0.658
1.493
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Cw
102.968
126.768
164.777
183.022
211.185
234.81
257.508
282.34
311.759
339.434
414.739
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm6=
197
b14ibwi
:= b2ibfi
:= t14iti:=
K41míni0.5
b14i
b2i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ4cri
K41míniπ
2⋅ E⋅
12 1 ν2
−( )⋅
t14i
b14i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ4cr
53.361
83.376
148.225
187.597
260.227
333.506
415.863
521.103
669.328
836.081
1470.761
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
MPa=
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070
15
30
45
60
75
90
105
120
135
150Tensão crítica de flambagem local
(kN
/cm
2) σ4cri
t14i
b14i
198
L 10 m⋅:= I1i
Iyi:= I2i
Ixi:= J4i Iti
:=
γi 1I1i
I2i
−:= GE
2 1 ν+( )⋅:=
M40cri1.35
π
L⋅
E I1i⋅ G⋅ J4i⋅
γi
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅ 1E Cwi⋅
G J4i⋅
π2
L2⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅:=
M40cri
16.957
25.365
43.219
53.902
73.355
92.691
114.120
141.087
178.366
219.432
368.739
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
kN cm⋅=
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60
100
200
300
400Momento crítico de flambagem lateral
cm4
kN*c
m M40cri
J4i
199
5o Grupo:
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)100 x 75 x 2.65 100 75 2.65 2.65100 x 75 x 3.00 100 75 3.00 3.00100 x 75 x 3.35 100 75 3.35 3.35100 x 75 x 3.75 100 75 3.75 3.75100 x 75 x 4.25 100 75 4.25 4.25100 x 75 x 4.75 100 75 4.75 4.75100 x 75 x 6.30 100 75 6.30 6.30100 x 75 x 8.00 100 75 8.00 12.00
DimensõesPerfil U
n 8:= i 1 n..:= Dimensões:
bw 100 100 100 100 100 100 100 100( ) mm⋅[ ]T:=
bf 75 75 75 75 75 75 75 75( ) mm⋅[ ]T:=
t 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 8.00( ) mm⋅[ ]T:=
ri 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 12.00( ) mm⋅[ ]T:=
rmirii
ti2
+:= u1i
2 π⋅ rmi⋅
4:=
ai bwi2 rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅−:= ami
bwiti−:= bi bfi
rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠−:= bmi
bfi
ti2
−:=
Ai ti ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
xgi
2 ti⋅
Aibi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
⋅ u1i0.363 rmi
⋅⎛⎝
⎞⎠
⋅+⎡⎣
⎤⎦
⋅ 0.5 ti⋅+:=
x0ibmi
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅
ami⎛⎝
⎞⎠
3 6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅ xgi+ 0.5 ti⋅−:=
200
Ixi2 ti⋅ 0.042 ai( )3⋅ bi 0.5 ai⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅+ u1i
0.5 ai⋅ 0.637 rmi⋅+⎛
⎝⎞⎠
2⋅+ 0.149 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅:=
Iyi2 ti⋅ bi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅ 0.083 bi( )3⋅+ 0.356 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
Ai xgi0.5 ti⋅−⎛
⎝⎞⎠
2⋅−:=
Iti0.333 ti( )3⋅ ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
Cwi
ami⎛⎝
⎞⎠
2 bmi⎛⎝
⎞⎠
2⋅ ti⋅
12
2 ami⎛⎝
⎞⎠
3⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⎛⎝
⎞⎠
2⋅+
6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
ami⎛⎝
⎞⎠
3+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅:=
Ai
6.394
7.204
8.006
8.913
10.031
11.133
14.445
17.621
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm2= xgi
2.383
2.401
2.419
2.439
2.465
2.491
2.572
2.705
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm= x0i
5.269
5.263
5.257
5.25
5.242
5.233
5.208
5.224
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm=
Ixi
110.815
123.88
136.59
150.686
167.67
183.958
230.141
266.659
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iyi
38.206
42.851
47.402
52.491
58.683
64.688
82.126
97.33
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iti
0.15
0.216
0.299
0.417
0.603
0.836
1.909
3.755
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Cwi
645.048
719.594
791.794
871.487
966.963
1057.951
1312.732
1547.819
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm6=
201
b15i
bwi:= b2i
bfi:= t15i
ti:=
K51míni0.5
b15i
b2i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ5cri
K51míniπ
2⋅ E⋅
12 1 ν2
−( )⋅
t15i
b15i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ5cr
115.657
148.225
184.828
231.601
297.479
371.591
653.671
1054.043
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
MPa=
0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120Tensão crítica de flambagem local
(kN
/cm
2) σ5cri
t15i
b15i
202
L 10 m⋅:= I1i
Iyi:= I2i
Ixi:= J5i Iti
:=
γi 1I1i
I2i
−:= GE
2 1 ν+( )⋅:=
M50cri1.35
π
L⋅
E I1i⋅ G⋅ J5i⋅
γi
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅ 1E Cwi⋅
G J5i⋅
π2
L2⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅:=
M50cri
167.795
211.282
259.688
320.906
406.056
500.518
849.294
1300.476
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
kN cm⋅=
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
200
400
600
800
1000
1200
1400Momento crítico de flambagem lateral
cm4
kN*c
m M50cri
J5i
203
6o Grupo:
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)125 x 50 x 1.20 125 50 1.20 1.20125 x 50 x 1.50 125 50 1.50 1.50125 x 50 x 2.00 125 50 2.00 2.00125 x 50 x 2.25 125 50 2.25 2.25125 x 50 x 2.65 125 50 2.65 2.65125 x 50 x 3.00 125 50 3.00 3.00125 x 50 x 3.35 125 50 3.35 3.35125 x 50 x 3.75 125 50 3.75 3.75125 x 50 x 4.25 125 50 4.25 4.25125 x 50 x 4.75 125 50 4.75 4.75125 x 50 x 6.30 125 50 6.30 6.30
DimensõesPerfil U
n 11:= i 1 n..:= Dimensões:
bw 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125( ) mm⋅[ ]T:=
bf 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50( ) mm⋅[ ]T:=
t 1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30( ) mm⋅[ ]T:=
ri 1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30( ) mm⋅[ ]T:=
rmirii
ti2
+:= u1i
2 π⋅ rmi⋅
4:=
ai bwi2 rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅−:= ami
bwiti−:= bi bfi
rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠−:= bmi
bfi
ti2
−:=
Ai ti ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
xgi
2 ti⋅
Aibi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
⋅ u1i0.363 rmi
⋅⎛⎝
⎞⎠
⋅+⎡⎣
⎤⎦
⋅ 0.5 ti⋅+:=
x0ibmi
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅
ami⎛⎝
⎞⎠
3 6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅ xgi+ 0.5 ti⋅−:=
204
Ixi2 ti⋅ 0.042 ai( )3⋅ bi 0.5 ai⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅+ u1i
0.5 ai⋅ 0.637 rmi⋅+⎛
⎝⎞⎠
2⋅+ 0.149 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅:=
Iyi2 ti⋅ bi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅ 0.083 bi( )3⋅+ 0.356 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
Ai xgi0.5 ti⋅−⎛
⎝⎞⎠
2⋅−:=
Iti0.333 ti( )3⋅ ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
Cwi
ami⎛⎝
⎞⎠
2 bmi⎛⎝
⎞⎠
2⋅ ti⋅
12
2 ami⎛⎝
⎞⎠
3⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⎛⎝
⎞⎠
2⋅+
6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
ami⎛⎝
⎞⎠
3+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅:=
A
2.653
3.301
4.368
4.896
5.732
6.454
7.169
7.975
8.969
9.946
12.87
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm2= xg
1.164
1.178
1.2
1.211
1.229
1.245
1.26
1.279
1.301
1.324
1.396
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm= x0
2.846
2.839
2.827
2.821
2.812
2.803
2.795
2.786
2.774
2.763
2.728
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm=
Ix
63.823
78.934
103.381
115.262
133.8
149.551
164.866
181.843
202.281
221.861
277.238
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iy
6.402
7.923
10.39
11.591
13.468
15.067
16.624
18.354
20.442
22.449
28.164
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= It
0.013
0.025
0.058
0.083
0.134
0.193
0.268
0.373
0.539
0.747
1.701
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Cw
174.037
214.571
279.578
310.911
359.453
400.352
439.812
483.184
534.872
583.828
719.086
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm6=
205
b16i
bwi:= b2i
bfi:= t16i
ti:=
K61míni0.5
b16i
b2i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ6cri
K61míniπ
2⋅ E⋅
12 1 ν2
−( )⋅
t16i
b16i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ6cr
53.361
83.376
148.225
187.597
260.227
333.506
415.863
521.103
669.328
836.081
1470.761
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
MPa=
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.0450
50
100
150Tensão crítica de flambagem local
(kN
/cm
2) σ6cri
t16i
b16i
206
L 10 m⋅:= I1i
Iyi:= I2i
Ixi:= J6i Iti
:=
γi 1I1i
I2i
−:= GE
2 1 ν+( )⋅:=
M60cri1.35
π
L⋅
E I1i⋅ G⋅ J6i⋅
γi
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅ 1E Cwi⋅
G J6i⋅
π2
L2⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅:=
M60cri
18.855
27.826
46.851
58.235
78.978
99.613
122.502
151.334
191.241
235.267
395.876
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
kN cm⋅=
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80
100
200
300
400Momento crítico de flambagem lateral
cm4
kN*c
m M60cri
J6i
207
7o Grupo:
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)125 x 75 x 2.65 125 75 2.65 2.65125 x 75 x 3.00 125 75 3.00 3.00125 x 75 x 3.35 125 75 3.35 3.35125 x 75 x 3.75 125 75 3.75 3.75125 x 75 x 4.25 125 75 4.25 4.25125 x 75 x 4.75 125 75 4.75 4.75125 x 75 x 6.30 125 75 6.30 6.30125 x 75 x 8.00 125 75 8.00 12.00
DimensõesPerfil U
n 8:= i 1 n..:= Dimensões:
bw 125 125 125 125 125 125 125 125( ) mm⋅[ ]T:=
bf 75 75 75 75 75 75 75 75( ) mm⋅[ ]T:=
t 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 8.00( ) mm⋅[ ]T:=
ri 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 12.00( ) mm⋅[ ]T:=
rmirii
ti2
+:= u1i
2 π⋅ rmi⋅
4:=
ai bwi2 rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅−:= ami
bwiti−:= bi bfi
rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠−:= bmi
bfi
ti2
−:=
Ai ti ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
xgi
2 ti⋅
Aibi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
⋅ u1i0.363 rmi
⋅⎛⎝
⎞⎠
⋅+⎡⎣
⎤⎦
⋅ 0.5 ti⋅+:=
x0ibmi
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅
ami⎛⎝
⎞⎠
3 6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅ xgi+ 0.5 ti⋅−:=
208
Ixi2 ti⋅ 0.042 ai( )3⋅ bi 0.5 ai⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅+ u1i
0.5 ai⋅ 0.637 rmi⋅+⎛
⎝⎞⎠
2⋅+ 0.149 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅:=
Iyi2 ti⋅ bi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅ 0.083 bi( )3⋅+ 0.356 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
Ai xgi0.5 ti⋅−⎛
⎝⎞⎠
2⋅−:=
Iti0.333 ti( )3⋅ ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
Cwi
ami⎛⎝
⎞⎠
2 bmi⎛⎝
⎞⎠
2⋅ ti⋅
12
2 ami⎛⎝
⎞⎠
3⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⎛⎝
⎞⎠
2⋅+
6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
ami⎛⎝
⎞⎠
3+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅:=
Ai
7.057
7.954
8.844
9.85
11.094
12.321
16.02
19.621
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm2= xgi
2.172
2.189
2.206
2.225
2.249
2.274
2.35
2.47
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm= x0i
4.924
4.917
4.91
4.902
4.892
4.882
4.852
4.855
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm=
Ixi
183.387
205.366
226.836
250.756
279.74
307.717
388.194
455.051
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iyi
41.247
46.292
51.245
56.792
63.558
70.137
89.36
106.872
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iti
0.165
0.238
0.33
0.461
0.667
0.926
2.117
4.182
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Cwi
1090.876
1218.987
1343.556
1481.657
1648.008
1807.537
2260.407
2688.829
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm6=
209
b17i
bwi:= b2i
bfi:= t17i
ti:=
K71míni0.5
b17i
b2i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ7cri
K71míniπ
2⋅ E⋅
12 1 ν2
−( )⋅
t17i
b17i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ7cr
115.657
148.225
184.828
231.601
297.479
371.591
653.671
1054.043
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
MPa=
0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065 0.070
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120Tensão crítica de flambagem local
(kN
/cm
2) σ7cri
t17i
b17i
210
L 10 m⋅:=
I1i
Iyi:= I2i
Ixi:= J7i Iti
:=
γi 1I1i
I2i
−:= GE
2 1 ν+( )⋅:=
M70cri1.35
π
L⋅
E I1i⋅ G⋅ J7i⋅
γi
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅ 1E Cwi⋅
G J7i⋅
π2
L2⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅:=
M70cri
172.808
216.462
265.038
326.464
411.902
506.693
856.836
1313.837
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
kN cm⋅=
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
200
400
600
800
1000
1200
1400Momento crítico de flambagem lateral
cm4
kN*c
m M70cri
J7i
211
8o Grupo:
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)150 x 50 x 2.00 150 50 2.00 2.00150 x 50 x 2.25 150 50 2.25 2.25150 x 50 x 2.65 150 50 2.65 2.65150 x 50 x 3.00 150 50 3.00 3.00150 x 50 x 3.35 150 50 3.35 3.35150 x 50 x 3.75 150 50 3.75 3.75150 x 50 x 4.25 150 50 4.25 4.25150 x 50 x 4.75 150 50 4.75 4.75150 x 50 x 6.30 150 50 6.30 6.30150 x 50 x 8.00 150 50 8.00 12.00
Perfil UDimensões
n 10:= i 1 n..:= Dimensões:
bw 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150( ) mm⋅[ ]T:=
bf 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50( ) mm⋅[ ]T:=
t 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 8.00( ) mm⋅[ ]T:=
ri 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 12.00( ) mm⋅[ ]T:=
rmirii
ti2
+:= u1i
2 π⋅ rmi⋅
4:=
ai bwi2 rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅−:= ami
bwiti−:= bi bfi
rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠−:= bmi
bfi
ti2
−:=
Ai ti ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
xgi
2 ti⋅
Aibi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
⋅ u1i0.363 rmi
⋅⎛⎝
⎞⎠
⋅+⎡⎣
⎤⎦
⋅ 0.5 ti⋅+:=
x0ibmi
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅
ami⎛⎝
⎞⎠
3 6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅ xgi+ 0.5 ti⋅−:=
212
Ixi2 ti⋅ 0.042 ai( )3⋅ bi 0.5 ai⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅+ u1i
0.5 ai⋅ 0.637 rmi⋅+⎛
⎝⎞⎠
2⋅+ 0.149 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅:=
Iyi2 ti⋅ bi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅ 0.083 bi( )3⋅+ 0.356 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
Ai xgi0.5 ti⋅−⎛
⎝⎞⎠
2⋅−:=
Iti0.333 ti( )3⋅ ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
Cwi
ami⎛⎝
⎞⎠
2 bmi⎛⎝
⎞⎠
2⋅ ti⋅
12
2 ami⎛⎝
⎞⎠
3⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⎛⎝
⎞⎠
2⋅+
6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
ami⎛⎝
⎞⎠
3+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅:=
Ai
4.868
5.459
6.394
7.204
8.006
8.913
10.031
11.133
14.445
17.621
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm2= xgi
1.087
1.098
1.115
1.131
1.146
1.164
1.186
1.208
1.278
1.377
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm= x0i
2.616
2.61
2.6
2.592
2.583
2.574
2.561
2.549
2.513
2.496
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm=
Ixi
158.884
177.318
206.165
230.76
254.755
281.45
313.738
344.838
433.852
503.29
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iyi
10.932
12.2
14.182
15.872
17.52
19.353
21.568
23.702
29.803
35.228
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iti
0.065
0.092
0.15
0.216
0.299
0.417
0.603
0.836
1.909
3.755
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Cwi
430.469
479.097
554.613
618.422
680.152
748.207
829.616
907.06
1123.079
1320.977
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm6=
213
b18i
bwi:= b2i
bfi:= t18i
ti:=
K81míni0.5
b18i
b2i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ8cri
K81míniπ
2⋅ E⋅
12 1 ν2
−( )⋅
t18i
b18i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ8cr
148.225
187.597
260.227
333.506
415.863
521.103
669.328
836.081
1470.761
2371.597
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
MPa=
0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250Tensão crítica de flambagem local
(kN
/cm
2) σ8cri
t18i
b18i
214
L 10 m⋅:=
I1i
Iyi:= I2i
Ixi:= J8i Iti
:=
γi 1I1i
I2i
−:= GE
2 1 ν+( )⋅:=
M80cri1.35
π
L⋅
E I1i⋅ G⋅ J8i⋅
γi
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅ 1E Cwi⋅
G J8i⋅
π2
L2⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅:=
M8 0cr i
50.897
63.034
85.153
107.170
131.606
162.411
205.089
252.227
424.629
645.997
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
kN cm⋅=
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
100
200
300
400
500
600
700Momento crítico de flambagem lateral
cm4
kN*c
m M80cri
J8i
215
9o Grupo:
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)150 x 75 x 2.65 150 75 2.65 2.65150 x 75 x 3.00 150 75 3.00 3.00150 x 75 x 3.35 150 75 3.35 3.35150 x 75 x 3.75 150 75 3.75 3.75150 x 75 x 4.25 150 75 4.25 4.25150 x 75 x 4.75 150 75 4.75 4.75150 x 75 x 6.30 150 75 6.30 6.30150 x 75 x 8.00 150 75 8.00 12.00
Perfil UDimensões
n 8:= i 1 n..:= Dimensões:
bw 150 150 150 150 150 150 150 150( ) mm⋅[ ]T:=
bf 75 75 75 75 75 75 75 75( ) mm⋅[ ]T:=
t 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 8.00( ) mm⋅[ ]T:=
ri 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 12.00( ) mm⋅[ ]T:=
rmirii
ti2
+:= u1i
2 π⋅ rmi⋅
4:=
ai bwi2 rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅−:= ami
bwiti−:= bi bfi
rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠−:= bmi
bfi
ti2
−:=
Ai ti ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
xgi
2 ti⋅
Aibi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
⋅ u1i0.363 rmi
⋅⎛⎝
⎞⎠
⋅+⎡⎣
⎤⎦
⋅ 0.5 ti⋅+:=
x0ibmi
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅
ami⎛⎝
⎞⎠
3 6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅ xgi+ 0.5 ti⋅−:=
216
Ixi2 ti⋅ 0.042 ai( )3⋅ bi 0.5 ai⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅+ u1i
0.5 ai⋅ 0.637 rmi⋅+⎛
⎝⎞⎠
2⋅+ 0.149 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅:=
Iyi2 ti⋅ bi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅ 0.083 bi( )3⋅+ 0.356 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
Ai xgi0.5 ti⋅−⎛
⎝⎞⎠
2⋅−:=
Iti0.333 ti( )3⋅ ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
Cwi
ami⎛⎝
⎞⎠
2 bmi⎛⎝
⎞⎠
2⋅ ti⋅
12
2 ami⎛⎝
⎞⎠
3⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⎛⎝
⎞⎠
2⋅+
6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
ami⎛⎝
⎞⎠
3+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅:=
Ai
7.719
8.704
9.681
10.788
12.156
13.508
17.595
21.621
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm2= xg i
1.997
2.013
2.029
2.048
2.071
2.095
2.168
2.279
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm= x0i
4.627
4.619
4.611
4.603
4.592
4.581
4.547
4.541
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm=
Ixi
278.086
311.793
344.812
381.711
426.592
470.105
596.468
704.93
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iyi
43.765
49.14
54.423
60.346
67.58
74.627
95.299
114.649
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iti
0.181
0.261
0.362
0.505
0.731
1.015
2.326
4.608
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Cwi
1677.774
1876.916
2071.057
2286.902
2547.819
2799.053
3518.53
4209.868
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm6=
217
b19i
bwi:= b2i
bfi:= t19i
ti:=
K91míni0.5
b19i
b2i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ9cri
K91míniπ
2⋅ E⋅
12 1 ν2
−( )⋅
t19i
b19i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ9cr
115.657
148.225
184.828
231.601
297.479
371.591
653.671
1054.043
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
MPa=
0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120Tensão crítica de flambagem local
(kN
/cm
2) σ9cri
t19i
b19i
218
L 10 m⋅:=
I1i
Iyi:= I2i
Ixi:= J9i Iti
:=
γi 1I1i
I2i
−:= GE
2 1 ν+( )⋅:=
M90cri1.35
π
L⋅
E I1i⋅ G⋅ J9i⋅
γi
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅ 1E Cwi⋅
G J9i⋅
π2
L2⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅:=
M9 0cri
183.739
228.934
279.210
342.786
431.239
529.419
892.540
1370.139
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
kN cm⋅=
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
200
400
600
800
1000
1200
1400Momento crítico de flambagem lateral
cm4
kN*c
m M90cri
J9i
219
10o Grupo:
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)200 x 50 x 2.00 200 50 2.00 2.00200 x 50 x 2.25 200 50 2.25 2.25200 x 50 x 2.65 200 50 2.65 2.65200 x 50 x 3.00 200 50 3.00 3.00200 x 50 x 3.35 200 50 3.35 3.35200 x 50 x 3.75 200 50 3.75 3.75200 x 50 x 4.25 200 50 4.25 4.25200 x 50 x 4.75 200 50 4.75 4.75200 x 50 x 6.30 200 50 6.30 6.30200 x 50 x 8.00 200 50 8.00 12.00
Perfil UDimensões
n 10:= i 1 n..:= Dimensões:
bw 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200( ) mm⋅[ ]T:=
bf 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50( ) mm⋅[ ]T:=
t 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 8.00( ) mm⋅[ ]T:=
ri 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 12.00( ) mm⋅[ ]T:=
rmirii
ti2
+:= u1i
2 π⋅ rmi⋅
4:=
ai bwi2 rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅−:= ami
bwiti−:= bi bfi
rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠−:= bmi
bfi
ti2
−:=
Ai ti ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
xgi
2 ti⋅
Aibi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
⋅ u1i0.363 rmi
⋅⎛⎝
⎞⎠
⋅+⎡⎣
⎤⎦
⋅ 0.5 ti⋅+:=
x0ibmi
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅
ami⎛⎝
⎞⎠
3 6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅ xgi+ 0.5 ti⋅−:=
220
Ixi2 ti⋅ 0.042 ai( )3⋅ bi 0.5 ai⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅+ u1i
0.5 ai⋅ 0.637 rmi⋅+⎛
⎝⎞⎠
2⋅+ 0.149 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅:=
Iyi2 ti⋅ bi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅ 0.083 bi( )3⋅+ 0.356 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
Ai xgi0.5 ti⋅−⎛
⎝⎞⎠
2⋅−:=
Iti0.333 ti( )3⋅ ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
Cwi
ami⎛⎝
⎞⎠
2 bmi⎛⎝
⎞⎠
2⋅ ti⋅
12
2 ami⎛⎝
⎞⎠
3⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⎛⎝
⎞⎠
2⋅+
6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
ami⎛⎝
⎞⎠
3+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅:=
Ai
5.868
6.584
7.719
8.704
9.681
10.788
12.156
13.508
17.595
21.621
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm2= xg i
0.919
0.929
0.947
0.962
0.977
0.994
1.016
1.038
1.105
1.196
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm= x0i
2.283
2.276
2.266
2.258
2.249
2.239
2.227
2.215
2.177
2.153
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm=
Ixi
317.319
354.613
413.204
463.388
512.569
567.553
634.466
699.374
888.054
1045.707
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iyi
11.74
13.105
15.242
17.066
18.847
20.829
23.23
25.546
32.2
38.339
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iti
0.078
0.111
0.181
0.261
0.362
0.505
0.731
1.015
2.326
4.608
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Cwi
848.403
945.176
1095.896
1223.684
1347.718
1484.954
1649.855
1807.536
2252.316
2668.144
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm6=
221
b110i
bwi:= b2i
bfi:= t110i
ti:=
K101míni0.5
b110i
b2i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ10cri
K101míniπ
2⋅ E⋅
12 1 ν2
−( )⋅
t110i
b110i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ10cr
148.225
187.597
260.227
333.506
415.863
521.103
669.328
836.081
1470.761
2371.597
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
MPa=
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250Tensão crítica de flambagem local
(kN
/cm
2) σ10cri
t110i
b110i
222
L 10 m⋅:=
I1i
Iyi:= I2i
Ixi:= J10i Iti
:=
γi 1I1i
I2i
−:= GE
2 1 ν+( )⋅:=
M100cri1.35
π
L⋅
E I1i⋅ G⋅ J10i⋅
γi
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅ 1E Cwi⋅
G J10i⋅
π2
L2⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅:=
M10 0cr i
59.518
73.148
97.979
122.702
150.160
184.806
232.868
286.032
481.157
735.594
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
kN cm⋅=
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
100
200
300
400
500
600
700
800Momento crítico de flambagem lateral
cm4
kN*c
m M100cri
J10i
223
11o Grupo:
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)200 x 75 x 2.65 200 75 2.65 2.65200 x 75 x 3.00 200 75 3.00 3.00200 x 75 x 3.35 200 75 3.35 3.35200 x 75 x 3.75 200 75 3.75 3.75200 x 75 x 4.25 200 75 4.25 4.25200 x 75 x 4.75 200 75 4.75 4.75200 x 75 x 6.30 200 75 6.30 6.30200 x 75 x 8.00 200 75 8.00 12.00
Perfil UDimensões
n 8:= i 1 n..:= Dimensões:
bw 200 200 200 200 200 200 200 200( ) mm⋅[ ]T:=
bf 75 75 75 75 75 75 75 75( ) mm⋅[ ]T:=
t 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 8.00( ) mm⋅[ ]T:=
ri 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 12.00( ) mm⋅[ ]T:=
rmirii
ti2
+:= u1i
2 π⋅ rmi⋅
4:=
ai bwi2 rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅−:= ami
bwiti−:= bi bfi
rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠−:= bmi
bfi
ti2
−:=
Ai ti ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
xgi
2 ti⋅
Aibi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
⋅ u1i0.363 rmi
⋅⎛⎝
⎞⎠
⋅+⎡⎣
⎤⎦
⋅ 0.5 ti⋅+:=
x0ibmi
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅
ami⎛⎝
⎞⎠
3 6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅ xgi+ 0.5 ti⋅−:=
224
Ixi2 ti⋅ 0.042 ai( )3⋅ bi 0.5 ai⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅+ u1i
0.5 ai⋅ 0.637 rmi⋅+⎛
⎝⎞⎠
2⋅+ 0.149 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅:=
Iyi2 ti⋅ bi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅ 0.083 bi( )3⋅+ 0.356 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
Ai xgi0.5 ti⋅−⎛
⎝⎞⎠
2⋅−:=
Iti0.333 ti( )3⋅ ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
Cwi
ami⎛⎝
⎞⎠
2 bmi⎛⎝
⎞⎠
2⋅ ti⋅
12
2 ami⎛⎝
⎞⎠
3⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⎛⎝
⎞⎠
2⋅+
6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
ami⎛⎝
⎞⎠
3+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅:=
Ai
9.044
10.204
11.356
12.663
14.281
15.883
20.745
25.621
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm2= xgi
1.724
1.739
1.755
1.772
1.795
1.817
1.887
1.985
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm= x0i
4.138
4.129
4.121
4.111
4.099
4.087
4.05
4.032
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm=
Ixi
542.216
608.922
674.505
748.088
838.03
925.727
1183.522
1414.347
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iyi
47.695
53.581
59.372
65.874
73.829
81.594
104.472
126.561
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iti
0.211
0.306
0.424
0.593
0.859
1.193
2.742
5.46
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Cwi
3312.177
3710.528
4100.118
4534.777
5062.465
5573.075
7050.812
8497.127
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm6=
225
b111i
bwi:= b2i
bfi:= t111i
ti:=
K111míni0.5
b111i
b2i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ11cri
K111míniπ
2⋅ E⋅
12 1 ν2
−( )⋅
t111i
b111i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ11cr
115.657
148.225
184.828
231.601
297.479
371.591
653.671
1054.043
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
MPa=
0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120Tensão crítica de flambagem local
(kN
/cm
2) σ11cri
t111i
b111i
226
L 10 m⋅:=
I1i
Iyi:= I2i
Ixi:= J11i Iti
:=
γi 1I1i
I2i
−:= GE
2 1 ν+( )⋅:=
M110cri1.35
π
L⋅
E I1i⋅ G⋅ J11i⋅
γ i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅ 1E Cwi⋅
G J11i⋅
π2
L2⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅:=
M11 0cri
212.318
261.726
316.608
385.967
482.465
589.630
986.769
1514.855
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
kN cm⋅=
0 1 2 3 4 5 6200
400
600
800
1000
1200
1400
1600Momento crítico de flambagem lateral
cm4
kN*c
m M110cri
J11i
227
12o Grupo:
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)200 x 100 x 2.65 200 100 2.65 2.65200 x 100 x 3.00 200 100 3.00 3.00200 x 100 x 3.35 200 100 3.35 3.35200 x 100 x 3.75 200 100 3.75 3.75200 x 100 x 4.25 200 100 4.25 4.25200 x 100 x 4.75 200 100 4.75 4.75200 x 100 x 6.30 200 100 6.30 6.30200 x 100 x 8.00 200 100 8.00 12.00
Perfil UDimensões
n 8:= i 1 n..:= Dimensões:
bw 200 200 200 200 200 200 200 200( ) mm⋅[ ]T:=
bf 100 100 100 100 100 100 100 100( ) mm⋅[ ]T:=
t 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 8.00( ) mm⋅[ ]T:=
ri 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 12.00( ) mm⋅[ ]T:=
rmirii
ti2
+:= u1i
2 π⋅ rmi⋅
4:=
ai bwi2 rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅−:= ami
bwiti−:= bi bfi
rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠−:= bmi
bfi
ti2
−:=
Ai ti ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
xgi
2 ti⋅
Aibi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
⋅ u1i0.363 rmi
⋅⎛⎝
⎞⎠
⋅+⎡⎣
⎤⎦
⋅ 0.5 ti⋅+:=
x0ibmi
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅
ami⎛⎝
⎞⎠
3 6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅ xgi+ 0.5 ti⋅−:=
228
Ixi2 ti⋅ 0.042 ai( )3⋅ bi 0.5 ai⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅+ u1i
0.5 ai⋅ 0.637 rmi⋅+⎛
⎝⎞⎠
2⋅+ 0.149 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅:=
Iyi2 ti⋅ bi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅ 0.083 bi( )3⋅+ 0.356 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
Ai xgi0.5 ti⋅−⎛
⎝⎞⎠
2⋅−:=
Iti0.333 ti( )3⋅ ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
Cwi
ami⎛⎝
⎞⎠
2 bmi⎛⎝
⎞⎠
2⋅ ti⋅
12
2 ami⎛⎝
⎞⎠
3⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⎛⎝
⎞⎠
2⋅+
6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
ami⎛⎝
⎞⎠
3+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅:=
Ai
10.369
11.704
13.031
14.538
16.406
18.258
23.895
29.621
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm2= xgi
2.621
2.638
2.654
2.672
2.696
2.719
2.791
2.899
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm= x0i
6.189
6.181
6.173
6.165
6.153
6.142
6.108
6.099
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm=
Ixi
671.228
754.456
836.44
928.623
1041.595
1152.079
1478.989
1782.987
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iyi
105.352
118.542
131.565
146.244
164.288
181.994
234.76
286.79
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iti
0.242
0.351
0.487
0.681
0.987
1.372
3.158
6.313
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Cwi
7230.5
8113.144
8979.484
9949.847
11133.574
12285.296
15657.61
19025.363
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm6=
229
b112i
bwi:= b2i
bfi:= t112i
ti:=
K121míni0.5
b112i
b2i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ12cri
K121míniπ
2⋅ E⋅
12 1 ν2
−( )⋅
t112i
b112i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ12cr
65.057
83.376
103.966
130.276
167.332
209.02
367.69
592.899
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
MPa=
0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040
8.57
17.14
25.71
34.29
42.86
51.43
60Tensão crítica de flambagem local
(kN
/cm
2) σ12cri
t112i
b112i
230
L 10 m⋅:=
I1i
Iyi:=
I2i
Ixi:= J12i Iti
:=
γi 1I1i
I2i
−:= GE
2 1 ν+( )⋅:=
M120cri1.35
π
L⋅
E I1i⋅ G⋅ J12i⋅
γi
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅ 1E Cwi⋅
G J12i⋅
π2
L2⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅:=
M12 0cr i
394.348
478.075
570.642
687.323
849.485
1029.628
1699.484
2599.570
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
kN cm⋅=
0 1 2 3 4 5 6 70
500
1000
1500
2000
2500
3000Momento crítico de flambagem lateral
cm4
kN*c
m M120cri
J12i
231
13o Grupo:
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)250 x 100 x 2.65 250 100 2.65 2.65250 x 100 x 3.00 250 100 3.00 3.00250 x 100 x 3.35 250 100 3.35 3.35250 x 100 x 3.75 250 100 3.75 3.75250 x 100 x 4.25 250 100 4.25 4.25250 x 100 x 4.75 250 100 4.75 4.75250 x 100 x 6.30 250 100 6.30 6.30250 x 100 x 8.00 250 100 8.00 12.00
Perfil UDimensões
n 8:= i 1 n..:= Dimensões:
bw 250 250 250 250 250 250 250 250( ) mm⋅[ ]T:=
bf 100 100 100 100 100 100 100 100( ) mm⋅[ ]T:=
t 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 8.00( ) mm⋅[ ]T:=
ri 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 12.00( ) mm⋅[ ]T:=
rmirii
ti2
+:= u1i
2 π⋅ rmi⋅
4:=
ai bwi2 rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅−:= ami
bwiti−:= bi bfi
rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠−:= bmi
bfi
ti2
−:=
Ai ti ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
xgi
2 ti⋅
Aibi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
⋅ u1i0.363 rmi
⋅⎛⎝
⎞⎠
⋅+⎡⎣
⎤⎦
⋅ 0.5 ti⋅+:=
x0ibmi
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅
ami⎛⎝
⎞⎠
3 6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅ xgi+ 0.5 ti⋅−:=
232
Ixi2 ti⋅ 0.042 ai( )3⋅ bi 0.5 ai⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅+ u1i
0.5 ai⋅ 0.637 rmi⋅+⎛
⎝⎞⎠
2⋅+ 0.149 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅:=
Iyi2 ti⋅ bi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅ 0.083 bi( )3⋅+ 0.356 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
Ai xgi0.5 ti⋅−⎛
⎝⎞⎠
2⋅−:=
Iti0.333 ti( )3⋅ ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
Cwi
ami⎛⎝
⎞⎠
2 bmi⎛⎝
⎞⎠
2⋅ ti⋅
12
2 ami⎛⎝
⎞⎠
3⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⎛⎝
⎞⎠
2⋅+
6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
ami⎛⎝
⎞⎠
3+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅:=
Ai
11.694
13.204
14.706
16.413
18.531
20.633
27.045
33.621
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm2= xg i
2.339
2.355
2.371
2.388
2.411
2.433
2.503
2.601
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm= x0i
5.687
5.678
5.67
5.66
5.648
5.636
5.6
5.581
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm=
Ixi
1122.565
1262.95
1401.525
1557.688
1749.599
1937.875
2498.685
3030.95
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iyi
112.63
126.77
140.74
156.498
175.887
194.934
251.826
308.793
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iti
0.273
0.396
0.55
0.769
1.115
1.55
3.574
7.165
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Cwi
12228.308
13732.535
15211.693
16871.775
18901.831
20882.487
26716.051
32599.968
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm6=
233
b113i
bwi:= b2i
bfi:= t113i
ti:=
K131míni0.5
b113i
b2i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ13cri
K131míniπ
2⋅ E⋅
12 1 ν2
−( )⋅
t113i
b113i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ13cr
65.057
83.376
103.966
130.276
167.332
209.02
367.69
592.899
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
MPa=
0.01 0.0125 0.015 0.0175 0.02 0.0225 0.025 0.0275 0.03 0.0325 0.0350
8.57
17.14
25.71
34.29
42.86
51.43
60Tensão crítica de flambagem local
(kN
/cm
2) σ13cri
t113i
b113i
234
L 10 m⋅:=
I1i
Iyi:= I2i
Ixi:= J13i Iti
:=
γi 1I1i
I2i
−:= GE
2 1 ν+( )⋅:=
M130cri1.35
π
L⋅
E I1i⋅ G⋅ J13i⋅
γi
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅ 1E Cwi⋅
G J13i⋅
π2
L2⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅:=
M130cri
462.329
553.622
653.861
779.584
953.647
1146.527
1862.417
2828.226
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
kN cm⋅=
0 1 2 3 4 5 6 7 80
500
1000
1500
2000
2500
3000Momento crítico de flambagem lateral
cm4
kN*c
m M130cri
J13i
235
14o Grupo:
bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)300 x 100 x 2.65 300 100 2.65 2.65300 x 100 x 3.00 300 100 3.00 3.00300 x 100 x 3.35 300 100 3.35 3.35300 x 100 x 3.75 300 100 3.75 3.75300 x 100 x 4.25 300 100 4.25 4.25300 x 100 x 4.75 300 100 4.75 4.75300 x 100 x 6.30 300 100 6.30 6.30300 x 100 x 8.00 300 100 8.00 12.00
Perfil UDimensões
n 8:= i 1 n..:= Dimensões:
bw 300 300 300 300 300 300 300 300( ) mm⋅[ ]T:=
bf 100 100 100 100 100 100 100 100( ) mm⋅[ ]T:=
t 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 8.00( ) mm⋅[ ]T:=
ri 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 12.00( ) mm⋅[ ]T:=
rmirii
ti2
+:= u1i
2 π⋅ rmi⋅
4:=
ai bwi2 rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅−:= ami
bwiti−:= bi bfi
rmi
ti2
+⎛⎜⎝
⎞
⎠−:= bmi
bfi
ti2
−:=
Ai ti ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
xgi
2 ti⋅
Aibi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
⋅ u1i0.363 rmi
⋅⎛⎝
⎞⎠
⋅+⎡⎣
⎤⎦
⋅ 0.5 ti⋅+:=
x0ibmi
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅
ami⎛⎝
⎞⎠
3 6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅ xgi+ 0.5 ti⋅−:=
236
Ixi2 ti⋅ 0.042 ai( )3⋅ bi 0.5 ai⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅+ u1i
0.5 ai⋅ 0.637 rmi⋅+⎛
⎝⎞⎠
2⋅+ 0.149 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅:=
Iyi2 ti⋅ bi 0.5 bi⋅ rmi
+⎛⎝
⎞⎠
2⋅ 0.083 bi( )3⋅+ 0.356 rmi
⎛⎝
⎞⎠
3⋅+⎡⎢
⎣⎤⎥⎦
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
Ai xgi0.5 ti⋅−⎛
⎝⎞⎠
2⋅−:=
Iti0.333 ti( )3⋅ ai 2 bi⋅+ 2 u1i
⋅+⎛⎝
⎞⎠
⋅:=
Cwi
ami⎛⎝
⎞⎠
2 bmi⎛⎝
⎞⎠
2⋅ ti⋅
12
2 ami⎛⎝
⎞⎠
3⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
3 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⎛⎝
⎞⎠
2⋅+
6 ami⎛⎝
⎞⎠
2⋅ bmi
⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
ami⎛⎝
⎞⎠
3+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⋅:=
Ai
13.019
14.704
16.381
18.288
20.656
23.008
30.195
37.621
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm2= xgi
2.115
2.13
2.145
2.163
2.185
2.207
2.275
2.367
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm= x0i
5.267
5.258
5.249
5.239
5.227
5.214
5.176
5.153
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm=
Ixi
1720.712
1937.21
2151.227
2392.793
2690.234
2982.683
3857.86
4700.858
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iyi
118.427
133.319
148.038
164.65
185.1
205.202
265.332
326.117
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Iti
0.304
0.441
0.612
0.856
1.242
1.729
3.991
8.018
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4= Cwi
18787.476
21110.309
23397.198
25967.186
29114.975
32191.745
41288.307
50522.508
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
cm6=
237
b114i
bwi:= b2i
bfi:= t114i
ti:=
K141míni0.5
b114i
b2i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ14cri
K141míniπ
2⋅ E⋅
12 1 ν2
−( )⋅
t114i
b114i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2
⋅:=
σ14cr
65.057
83.376
103.966
130.276
167.332
209.02
367.69
592.899
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
MPa=
0.005 0.0075 0.01 0.0125 0.015 0.0175 0.02 0.0225 0.025 0.0275 0.030
8.57
17.14
25.71
34.29
42.86
51.43
60Tensão crítica de flambagem local
(kN
/cm
2) σ14cri
t114i
b114i
238
L 10 m⋅:=
I1iIyi
:= I2iIxi
:= J14i Iti:=
γi 1I1i
I2i
−:= GE
2 1 ν+( )⋅:=
M140cri1.35
π
L⋅
E I1i⋅ G⋅ J14i⋅
γi
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅ 1E Cwi⋅
G J14i⋅
π2
L2⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
0.5
⋅:=
M14 0cri
539.293
639.474
748.641
884.754
1072.286
1279.364
2045.401
3080.529
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
kN cm⋅=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9500
1000
1500
2000
2500
3000
3500Momento crítico de flambagem lateral
cm4
kN*c
m M140cri
J14i
239
Avaliação das tensões críticas para a flambagem local das placas componentes dos grupos de seções tipo U:
0 0.009 0.018 0.027 0.036 0.045 0.054 0.063 0.072 0.081 0.00
20
40
60
80
100
120
140Tensão crítica de flambagem local
(kN
/cm
2)
σ1cri
σ2cri
σ3cri
σ4cri
σ5cri
σ6cri
σ7cri
σ8cri
σ9cri
σ10cri
σ11cri
σ12cri
σ13cri
σ14cri
t11i
b11i
t12i
b12i
,
t13i
b13i
,
t14i
b14i
,
t15i
b15i
,
t16i
b16i
,
t17i
b17i
,
t18i
b18i
,
t19i
b19i
,
t110i
b110i
,
t111i
b111i
,
t112i
b112i
,
t113i
b113i
,
t114i
b114i
,
240
Avaliação dos momentos críticos para a flambagem lateral dos grupos de seções tipo U componentes de viga simplesmente apoiada com 10 metros de comprimento, e carga aplicada no centro de cisalhamento:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500Momento crítico de flambagem lateral
(kN
/cm
2)
M10cri
M20cri
M30cri
M40cri
M50cri
M60cri
M70cri
M80cri
M90cri
M100cri
M110cri
M120cri
M130cri
M140cri
J1i J2i, J3i, J4i, J5i, J6i, J7i, J8i, J9i, J10i, J11i, J12i, J13i, J14i,
ANEXO 2 Análise dos enrijecedores de borda Sistema de Unidades: ORIGIN 1:= kN 1:= cm 1:= m 100 cm⋅:= dm 0.1 m⋅:=
kgfkN100
:= NkN
1000:= MN 1000 kN⋅:= mm 0.1 cm⋅:=
MPaMN
m2:= kPa
kN
m2:= GPa 1000 MPa⋅:= tf 1000 kgf⋅:=
Dados: n: número de seções analisadas Perfil Z enrijecido a 900: Consideração do estado limite último de escoamento da seção: σ = fy Aços em análise:
COS-CIVIL 300: Tensão de Escoamento = σ1 30kN
cm2⋅:=
COS-CIVIL 350: Tensão de Escoamento = σ2 35kN
cm2⋅:=
Módulo de elasticidade longitudinal do aço: E 20500kN
cm2⋅:=
Quantidade de perfis analisados por grupo: n 6:= i 1 n..:=
242
Momento de Inércia Adequado para os Enrijecedores de Borda: 1° Grupo: Dimensões:
bf1 25 25 25 25 25 25( ) mm⋅[ ]T:=
t1 1.20 1.50 2 2.25 2.65 3( ) mm⋅[ ]T:=
Aço COS-CIVIL 300
Ia11i399
bf1i
t1i
1.28Eσ1
⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟
⎠
0.33−
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
3
t1i⎛⎝
⎞⎠
4⋅
1.283
Eσ1
⋅
bf1i
t1i
< 1.28Eσ1
⋅≤if
115bf1i
t1i
⋅
1.28Eσ1
⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟
⎠
5+
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
3
t1i⎛⎝
⎞⎠
4⋅
bf1i
t1i
1.28Eσ1
⋅>if
0 otherwise
:=
Ia11
0.002
0.001
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4=
bf1i
t1i
20.833
16.667
12.5
11.111
9.434
8.333
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
=
243
10 13.75 17.5 21.25 250
4.16667 .10 4
8.33333 .10 4
0.00125
0.00167
0.00208
0.0025Mom. inércia adequado enrijecedor
(cm
4) Ia11i
bf1i
t1i
Aço COS-CIVIL 350
Ia12i399
bf1i
t1i
1.28Eσ2
⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟
⎠
0.33−
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
3
t1i⎛⎝
⎞⎠
4⋅
1.283
Eσ2
⋅
bf1i
t1i
< 1.28Eσ2
⋅≤if
115bf1i
t1i
⋅
1.28Eσ2
⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟
⎠
5+
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
3
t1i⎛⎝
⎞⎠
4⋅
bf1i
t1i
1.28Eσ2
⋅>if
0 otherwise
:=
244
Ia12
0.003
0.002
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4=
bf1i
t1i
20.833
16.667
12.5
11.111
9.434
8.333
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
=
10 13.75 17.5 21.25 250
5.83333 .10 4
0.00117
0.00175
0.00233
0.00292
0.0035Mom. inércia adequado enrijecedor
(cm
4) Ia12i
bf1i
t1i
245
10 13.75 17.5 21.25 250
5.83333 .10 4
0.00117
0.00175
0.00233
0.00292
0.0035Comp. inércia adequada enrijecedor
(cm
4)
Ia12i
Ia11i
bf1i
t1i
2° Grupo: Dimensões:
bf2 40 40 40 40 40 40( ) mm⋅[ ]T:=
t2 1.20 1.50 2 2.25 2.65 3( ) mm⋅[ ]T:=
246
Aço COS-CIVIL 300
Ia21i399
bf2i
t2i
1.28Eσ1
⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟
⎠
0.33−
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
3
t2i⎛⎝
⎞⎠
4⋅
1.283
Eσ1
⋅
bf2i
t2i
< 1.28Eσ1
⋅≤if
115bf2i
t2i
⋅
1.28Eσ1
⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟
⎠
5+
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
3
t2i⎛⎝
⎞⎠
4⋅
bf2i
t2i
1.28Eσ1
⋅>if
0 otherwise
:=
Ia21
0.024
0.021
0.012
0.008
0.003
0.001
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4=
bf2i
t2i
33.333
26.667
20
17.778
15.094
13.333
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
=
10 16.25 22.5 28.75 350
0.0042
0.0083
0.0125
0.0167
0.0208
0.025Mom. inércia adequado enrijecedor
(cm
4) Ia21i
bf2i
t2i
247
Aço COS-CIVIL 350
Ia22i399
bf2i
t2i
1.28Eσ2
⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟
⎠
0.33−
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
3
t2i⎛⎝
⎞⎠
4⋅
1.283
Eσ2
⋅
bf2i
t2i
< 1.28Eσ2
⋅≤if
115bf2i
t2i
⋅
1.28Eσ2
⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟
⎠
5+
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
3
t2i⎛⎝
⎞⎠
4⋅
bf2i
t2i
1.28Eσ2
⋅>if
0 otherwise
:=
Ia22
442.491
0.03
0.02
0.015
0.008
0.003
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4=
bf2i
t2i
33.333
26.667
20
17.778
15.094
13.333
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
=
10 17.5 25 32.5 400
83.33
166.67
250
333.33
416.67
500Mom. inércia adequado enrijecedor
(cm
4) Ia22i
bf2i
t2i
248
10 17.5 25 32.5 400
83.33
166.67
250
333.33
416.67
500Comp. inércia adequada enrijecedor
(cm
4)
Ia22i
Ia21i
bf2i
t2i
3° Grupo: Dimensões:
bf3 50 50 50 50 50 50( ) mm⋅[ ]T:=
t3 1.20 1.50 2 2.25 2.65 3( ) mm⋅[ ]T:=
249
Aço COS-CIVIL 300
Ia31i399
bf3i
t3i
1.28Eσ1
⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟
⎠
0.33−
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
3
t3i⎛⎝
⎞⎠
4⋅
1.283
Eσ1
⋅
bf3i
t3i
< 1.28Eσ1
⋅≤if
115bf3i
t3i
⋅
1.28Eσ1
⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟
⎠
5+
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
3
t3i⎛⎝
⎞⎠
4⋅
bf3i
t3i
1.28Eσ1
⋅>if
0 otherwise
:=
Ia31
675.025
0.06
0.046
0.038
0.025
0.015
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4=
bf3i
t3i
41.667
33.333
25
22.222
18.868
16.667
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
=
15 23.75 32.5 41.25 500
116.67
233.33
350
466.67
583.33
700Mom. inércia adequado enrijecedor
(cm
4) Ia31i
bf3i
t3i
250
Aço COS-CIVIL 350
Ia32i399
bf3i
t3i
1.28Eσ2
⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟
⎠
0.33−
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
3
t3i⎛⎝
⎞⎠
4⋅
1.283
Eσ2
⋅
bf3i
t3i
< 1.28Eσ2
⋅≤if
115bf3i
t3i
⋅
1.28Eσ2
⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟
⎠
5+
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
3
t3i⎛⎝
⎞⎠
4⋅
bf3i
t3i
1.28Eσ2
⋅>if
0 otherwise
:=
Ia32
844.258
1080.301
0.069
0.059
0.043
0.029
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4=
bf3i
t3i
41.667
33.333
25
22.222
18.868
16.667
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
=
15 22.5 30 37.5 450
200
400
600
800
1000
1200Mom. inércia adequado enrijecedor
(cm
4) Ia32i
bf3i
t3i
251
15 22.5 30 37.5 450
200
400
600
800
1000
1200Comp. inércia adequada enrijecedor
(cm
4)
Ia32i
Ia31i
bf3i
t3i
4° Grupo: Dimensões:
bf4 60 60 60 60 60 60( ) mm⋅[ ]T:=
t4 1.20 1.50 2 2.25 2.65 3( ) mm⋅[ ]T:=
252
Aço COS-CIVIL 300
Ia41i399
bf4i
t4i
1.28Eσ1
⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟
⎠
0.33−
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
3
t4i⎛⎝
⎞⎠
4⋅
1.283
Eσ1
⋅
bf4i
t4i
< 1.28Eσ1
⋅≤if
115bf4i
t4i
⋅
1.28Eσ1
⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟
⎠
5+
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
3
t4i⎛⎝
⎞⎠
4⋅
bf4i
t4i
1.28Eσ1
⋅>if
0 otherwise
:=
Ia41
1146.877
1464.211
0.116
0.104
0.082
0.062
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4=
bf4i
t4i
50
40
30
26.667
22.642
20
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
=
15 25 35 45 550
250
500
750
1000
1250
1500Mom. inércia adequado enrijecedor
(cm
4) Ia41i
bf4i
t4i
253
Aço COS-CIVIL 350
Ia42i399
bf4i
t4i
1.28Eσ2
⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟
⎠
0.33−
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
3
t4i⎛⎝
⎞⎠
4⋅
1.283
Eσ2
⋅
bf4i
t4i
< 1.28Eσ2
⋅≤if
115bf4i
t4i
⋅
1.28Eσ2
⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟
⎠
5+
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
3
t4i⎛⎝
⎞⎠
4⋅
bf4i
t4i
1.28Eσ2
⋅>if
0 otherwise
:=
Ia42
1436.156
1830.745
0.166
0.153
0.127
0.102
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4=
bf4i
t4i
50
40
30
26.667
22.642
20
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
=
15 25 35 45 550
333.33
666.67
1000
1333.33
1666.67
2000Mom. inércia adequado enrijecedor
(cm
4) Ia42i
bf4i
t4i
254
15 25 35 45 550
333.33
666.67
1000
1333.33
1666.67
2000Comp. inércia adequada enrijecedor
(cm
4)
Ia42i
Ia41i
bf4i
t4i
255
Momentos de inércia adequados para os enrijecedores de borda dos perfis analisados nos 4 grupos: Aço COS-CIVIL 300
10 22.5 35 47.5 600
250
500
750
1000
1250
1500Comp. inércia adequada enrijecedor
(cm
4)
Ia11i
Ia21i
Ia31i
Ia41i
bf1i
t1i
bf2i
t2i
,
bf3i
t3i
,
bf4i
t4i
,
256
Aço COS-CIVIL 350
10 22.5 35 47.5 600
333.33
666.67
1000
1333.33
1666.67
2000Comp. inércia adequada enrijecedor
(cm
4)
Ia12i
Ia22i
Ia32i
Ia42i
bf1i
t1i
bf2i
t2i
,
bf3i
t3i
,
bf4i
t4i
,
257
Cálculo do Momento de Inércia da Seção Bruta do Enrijecedor: 1° Grupo: Dimensões: d1 10 10 10 10 10 10( ) mm⋅[ ]T:=
t1 1.20 1.50 2 2.25 2.65 3( ) mm⋅[ ]T:=
θπ
2:=
Ist1i
d1i⎛⎝
⎞⎠
3 t1i⋅ sin θ( )2⋅
12:=
Ist1
0.01
0.013
0.017
0.019
0.022
0.025
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4=
0.1 0.16 0.22 0.29 0.350
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03Mom. inércia seção bruta enrijecedor
(cm)
(cm
4) Ist1i
t1i
258
2° Grupo: Dimensões:
d2 15 15 15 15 15 15( ) mm⋅[ ]T:=
t2 1.2 1.5 2 2.25 2.65 3( ) mm⋅[ ]T:=
θπ
2:=
Ist2i
d2i⎛⎝
⎞⎠
3 t2i⋅ sin θ( )2⋅
12:= Ist2
0.034
0.042
0.056
0.063
0.075
0.084
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4=
0.1 0.16 0.22 0.29 0.350
0.017
0.033
0.05
0.067
0.083
0.1Mom. inércia seção bruta enrijecedor
(cm)
(cm
4) Ist2i
t2i
259
3° Grupo: Dimensões:
d3 17 17 17 17 17 17( ) mm⋅[ ]T:=
t3 1.2 1.5 2 2.25 2.65 3( ) mm⋅[ ]T:=
θπ
2:=
Ist3i
d3i⎛⎝
⎞⎠
3 t3i⋅ sin θ( )2⋅
12:= Ist3
0.049
0.061
0.082
0.092
0.108
0.123
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4=
0.1 0.16 0.22 0.29 0.350
0.025
0.05
0.075
0.1
0.12
0.15Mom. inércia seção bruta enrijecedor
(cm)
(cm
4) Ist3i
t3i
260
4° Grupo: Dimensões:
d4 20 20 20 20 20 20( ) mm⋅[ ]T:=
t4 1.2 1.5 2 2.25 2.65 3( ) mm⋅[ ]T:=
θπ
2:=
Ist4i
d4i⎛⎝
⎞⎠
3 t4i⋅ sin θ( )2⋅
12:= Ist4
0.08
0.1
0.133
0.15
0.177
0.2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm4=
0.1 0.16 0.22 0.29 0.350
0.042
0.083
0.13
0.17
0.21
0.25Mom. inércia seção bruta enrijecedor
(cm)
(cm
4) Ist4i
t4i
261
Momentos de inércia das seções brutas para os enrijecedores de borda dos perfis analisados nos 4 grupos:
0.1 0.16 0.22 0.29 0.350
0.033
0.067
0.1
0.13
0.17
0.2Comp. inércia seção bruta enrijecedor
(cm)
(cm
4)
Ist1i
Ist2i
Ist3i
Ist4i
t1it2i, t3i
, t4i,
Cálculo do coeficiente de flambagem do perfil: Para o 1° grupo o momento de inércia adequado para o enrijecedor em alguns perfis foi nulo. 2° Grupo:
m2i
12
1.283
Eσ1
⋅
bf2i
t2i
< 1.28Eσ1
⋅≤if
13
bf2i
t2i
1.28Eσ1
⋅>if
:=
262
k2i4.82 5
d2i
bf2i
⋅−⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
Ist2i
Ia21i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
m2i
⋅ 0.43+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
5.25 5d2i
bf2i
⋅−≤
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
0.25d2i
bf2i
< 0.80≤if
3.57Ist2i
Ia21i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
m2i
⋅ 0.43+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
4.0≤
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
d2i
bf2i
0.25≤if
:=
k2
0
0
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
=
3° Grupo:
m3i
12
1.283
Eσ1
⋅
bf3i
t3i
< 1.28Eσ1
⋅≤if
13
bf3i
t3i
1.28Eσ1
⋅>if
:=
k3i4.82 5
d3i
bf3i
⋅−⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
Ist3i
Ia31i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
m3i
⋅ 0.43+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
5.25 5d3i
bf3i
⋅−≤
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
0.25d3i
bf3i
< 0.80≤if
3.57Ist3i
Ia31i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
m3i
⋅ 0.43+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
4.0≤
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
d3i
bf3i
0.25≤if
:=
263
k3
1
0
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
=
4° Grupo:
m4i
12
1.283
Eσ1
⋅
bf4i
t4i
< 1.28Eσ1
⋅≤if
13
bf4i
t4i
1.28Eσ1
⋅>if
:=
k4i4.82 5
d4i
bf4i
⋅−⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
Ist4i
Ia41i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
m4i
⋅ 0.43+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
5.25 5d4i
bf4i
⋅−≤
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
0.25d4i
bf4i
< 0.80≤if
3.57Ist4i
Ia41i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
m4i
⋅ 0.43+
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
4.0≤
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
d4i
bf4i
0.25≤if
:=
k4
1
1
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
=
264
Cálculo da largura efetiva dos elementos enrijecidos à compressão: 3° Grupo:
bef3i0.95 t3i
⋅
k3i
σ1⋅ 1 0.208
t3i
bf3i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠⋅
k3iE⋅
σ1⋅−
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
⋅:=
bef3
0.018
0
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm=
4° Grupo:
bef4i0.95 t4i
⋅
k4i
σ1⋅ 1 0.208
t4i
bf4i
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠⋅
k4iE⋅
σ1⋅−
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
⋅:=
bef4
0.019
0.022
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟
⎠
cm=
ANEXO 4 PERFIS Z ENRIJECIDOS – FLAMBAGEM LOCAL, DISTORCIONAL E GLOBAL
Z 50 25 10 200 LOCAL
DISTORCIONAL
Livros Grátis( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download: Baixar livros de AdministraçãoBaixar livros de AgronomiaBaixar livros de ArquiteturaBaixar livros de ArtesBaixar livros de AstronomiaBaixar livros de Biologia GeralBaixar livros de Ciência da ComputaçãoBaixar livros de Ciência da InformaçãoBaixar livros de Ciência PolíticaBaixar livros de Ciências da SaúdeBaixar livros de ComunicaçãoBaixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNEBaixar livros de Defesa civilBaixar livros de DireitoBaixar livros de Direitos humanosBaixar livros de EconomiaBaixar livros de Economia DomésticaBaixar livros de EducaçãoBaixar livros de Educação - TrânsitoBaixar livros de Educação FísicaBaixar livros de Engenharia AeroespacialBaixar livros de FarmáciaBaixar livros de FilosofiaBaixar livros de FísicaBaixar livros de GeociênciasBaixar livros de GeografiaBaixar livros de HistóriaBaixar livros de Línguas
Baixar livros de LiteraturaBaixar livros de Literatura de CordelBaixar livros de Literatura InfantilBaixar livros de MatemáticaBaixar livros de MedicinaBaixar livros de Medicina VeterináriaBaixar livros de Meio AmbienteBaixar livros de MeteorologiaBaixar Monografias e TCCBaixar livros MultidisciplinarBaixar livros de MúsicaBaixar livros de PsicologiaBaixar livros de QuímicaBaixar livros de Saúde ColetivaBaixar livros de Serviço SocialBaixar livros de SociologiaBaixar livros de TeologiaBaixar livros de TrabalhoBaixar livros de Turismo