EN 2706- Anlise de Sistemas Dinmicos Lineares
Prof. Marat Rafikov Centro de Engenharia, Modelagem e
Cincias Sociais Aplicadas (CECS) E-mail: [email protected]
EN2706 - Anlise de Sistemas Dinmicos Lineares
Recomendao: Instrumentao e Controle
Ementa:
1. Apresentao de sistemas dinmicos lineares multivariveis.
2. Descrio por equaes de estado.
3. Extrao dos autovalores e autovetores.
4. Estudo de estabilidade local e global.
5. Critrios de estabilidade de Lyapunov.
6. Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares.
7. Matriz de transio de estados.
8. Observabilidade.
9. Controlabilidade.
Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares
Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares
Exemplo. O pndulo.
Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares
A equao:
Introduzindo variveis de estado
temos
onde
Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares
Os pontos de equilbrio podem ser encontrados do
sistema:
Ento, os pontos crticos so:
Intuitivamente achamos que o ponto x = 0 y = 0
estvel e os outros so instveis.
Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares
Para investigar a estabilidade local temos que usar o sistema
linearizado.
Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares
Sistema linearizado
Consideraremos um sistema autnomo no-linear:
(1)
O nosso interesse examinar o comportamento das trajetrias do
sistema (1) na vizinhana do ponto crtico x* = 0.
Podemos apresentar o sistema (1) na seguinte forma:
(2)
supondo que x* = 0 ponto crtico isolado do sistema (2).
Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares
Admitiremos que e que x* = 0 ponto crtico
isolado do sistema linear
(3)
Suponhamos que
(4)
Um sistema (2) com condio (4) chama-se sistema
quase-linear.
O sistema (3) chama-se sistema linearizado.
Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares
Teorema 1. Sejam os autovalores do sistema linearizado (3).
Ento o sistema quase-linear (2) assintoticamente estvel se
todas as partes reais de autovalores so negativas, e o sistema
quase-linear (2) instvel se pelo menos um autovalor tem a
parte real negativa.
Consideraremos a interpretao escalar para caso n = 2:
e .
Ento, a condio (4) ser satisfeita se e somente se
, quando .
Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares
Teorema 1. Sejam os autovalores do sistema linearizado (3).
Ento o sistema quase-linear (2) assintoticamente estvel se
todas as partes reais de autovalores so negativas, e o sistema
quase-linear (2) instvel se pelo menos um autovalor tem a
parte real negativa.
Consideraremos a interpretao escalar para caso n = 2:
e .
Ento, a condio (4) ser satisfeita se e somente se
, quando .
Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares
Vamos escrever agora o sistema (1) em forma escalar:
(5)
O sistema (5) quase-linear na vizinhana de um ponto
crtico sempre que as funes F e G tenham
derivadas parciais contnuas at a ordem dois.
Usando a frmula de Taylor, teremos:
Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares
Ento (5) se reduz a
Ou em forma vetorial
onde
Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares
Exempo. Encontraremos os sistemas linearizados para
pndulo.
Neste caso
As derivadas parciais so
Ento o sistema linearizado na origem tem a seguinte
forma:
Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares
O sistema linearizado no ponto
onde
Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares
Pontos espirais assintoticamente estveis do pndulo
Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares
Pontos de sela instveis do pndulo amortecido
Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares
Diagrama de fase do pndulo amortecido
Mtodo Indireto de Lyapunov
Considere o seguinte sistema no-linear:
)(xfx (6) onde x e f so vetores de dimenso n. O seguinte sistema chama-se linearizado:
xAx (7) onde A matriz jacobiana:
Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares
n
nnn
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
A
...
............
...
...
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
. (8)
Ento, denotando com i os autovalores de A (i = 1, ..., n),
podemos concluir: - A origem assintoticamente estvel se 0Re , para todo i .
- A origem instvel se 0Re , para um ou mais autovalores de A.
Estabilidade de sistemas no-lineares
Determinar os pontos crticos de cada sistema e investigar a estabilidade local destes pontos:
Estabilidade de sistemas no-lineares
Mtodo direto de Lyapunov
Mtodo direto de Lyapunov
Definio 1. A funo V definida positiva em D se
V(0,0) = 0 e V(x,y) > 0 para todos os outros pontos de
D.
Definio 2. A funo V definida negativa em D se
V(0,0) = 0 e V(x,y) < 0 para todos os outros pontos de
D.
Mtodo direto de Lyapunov
Definio 3. A funo V semidefinida positiva em D
se V(0,0) = 0 e V(x,y) 0 para todos os outros pontos
de D.
Definio 4. A funo V semidefinida negativa em D
se V(0,0) = 0 e V(x,y) 0 para todos os outros pontos
de D.
Mtodo direto de Lyapunov
Consideraremos um sistema autnomo na forma
vetorial:
(1)
Teorema 1. Suponhamos que o sistema (1) tenha um
ponto crtico isolado na origem. Se existir uma funo
V que seja contnua e tenha as primeiras derivadas
parciais contnuas, e que seja definida positiva, e sua
derivada calculada nas trajetrias do sistema (1) seja
definida negativa num certo domnio D (que contenha
a origem), ento a origem um ponto crtico
assintoticamente estvel. Se for semidefinida
negativa, ento a origem um ponto crtico estvel.
Mtodo direto de Lyapunov
Teorema 2. Suponhamos que o sistema (1) tenha um
ponto crtico isolado na origem. Seja V uma funo
contnua que e tenha as primeiras derivadas parciais
contnuas. Suponhamos que V(0,0) = 0 e que em
qualquer vizinhana da origem exista pelo menos um
ponto no qual V seja positiva (negativa). Ento se
existir um domnio D que contenha a origem e no qual
a derivada calculada nas trajetrias do sistema (1)
seja definida positiva (negativa) em D, ento a origem
um ponto crtico instvel.
Mtodo direto de Lyapunov
Exemplo. Mostrar que o ponto crtico do sistema autnomo
assintoticamente estvel.
Escolhendo
teremos
Mtodo direto de Lyapunov
Atribuindo b = 0, temos V positiva definida e negativa
definida.
Exerccios 1. Usando funes de Lyapunov, investigar a
estabilidade dos seguintes sistemas:
Mtodo direto de Lyapunov
Mtodo direto de Lyapunov
Exerccios 2. Usando funes de Lyapunov, investigar a
estabilidade dos seguintes sistemas:
Estabilidade segundo Lyapunov
Bibliografia
Boyce, W.E. & Di Prima, R.C. Equaes diferenciais elementares e
problemas de valores de contorno. Editora: John Wiley & Sons, Inc.
La Salle, J. & Lefschetz, S. Stability by Liapunovs Direct Method
with Applications. Academic Press, 1961.
Monteiro, L.H.A. Sistemas Dinmicos. 2-a Edio. So Paulo:
Editora Livraria da Fsica, 2006.
Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno. 5-a Edio. So
Paulo: Pearson & Prentice Hall, 2010.
Zill, D.G. Equaes diferenciais com aplicaes em
modelagem. So Paulo: Thomson, 2003.
Bibliografia