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Engenharia da Computação
4º / 5° Semestre
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – APOSTILA 02
Prof Daniel Hasse
Tensões e Deformações Esforços Solicitantes
Tensões e Deformações na Flexão Deformações nas Vigas
SÃO JOSÉ DOS CAMPOS, SP
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
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4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES
4.1 Introdução
Os conceitos de tensão e deformação podem ser ilustrados, de modo elementar, considerando-se o alongamento de uma barra prismática (barra de eixo reto e de seção constante em todo o comprimento).
Considere-se uma barra prismática carregada nas extremidades por forças axiais P (forças que atuam no eixo da barra), que produzem alongamento uniforme ou tração na barra. Sob ação dessas forças originam-se esforços internos no interior da barra. Para o estudo desses esforços internos, considere-se um corte imaginário na seção mm, normal a seu eixo. Removendo-se por exemplo a parte direita do corpo, os esforços internos na seção considerada (m-m) transformam-se em esforços externos. Supõe-se que estes esforços estejam distribuídos uniformemente sobre toda a seção transversal.
m
m
σ
L
P
δ
P
P
Figura 4.1.
Para que não se altere o equilíbrio, estes esforços devem ser equivalentes à resultante, também axial, de intensidade P.
Quando estas forças são distribuídas perpendiculares e uniformemente sobre toda a seção transversal, recebem o nome de tensão normal, sendo comumente designada pela letra grega σ (sigma).
Pode-se ver facilmente que a tensão normal, em qualquer parte da seção transversal é obtida dividindo-se o valor da força P pela área da seção transversal, ou seja,
AP
=σ (1)
A tensão tem a mesma unidade de pressão, que, no Sistema Internacional de Unidades é o Pascal (Pa) corresponde à carga de 1N atuando sobre uma superfície de 1m2, ou seja, Pa = N/m2. Como a unidade Pascal é muito pequena, costuma-se utilizar com freqüência seus múltiplos: MPa = N/mm2 = (Pa×106), GPa = kN/mm2 = (Pa×109), etc. Em outros Sistemas de Unidades, a tensão ainda pode-se ser expressa em quilograma força por centímetro quadrado (kgf/cm2), libra por polegada quadrada (lb/in2 ou psi), etc.
Quando a barra é alongada pela força P, como indica a Figura 4.1, a tensão resultante é uma tensão de tração; se as forças tiverem o sentido oposto, comprimindo a barra, tem-se tensão de compressão.
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A condição necessária para validar a Equação (1) é que a tensão σ seja uniforme em toda a seção transversal da barra.
O alongamento total de uma barra submetida a uma força axial é designado pela letra grega δ (delta). O alongamento por unidade de comprimento, denominado deformação específica, representado pela letra grega ε (epsilon), é dado pela seguinte equação:
Lδε = (2)
onde: ε = deformação específica δ = alongamento ou encurtamento L = comprimento total da barra.
Note-se que a deformação ε é uma quantidade adimensional. É de uso corrente no meio técnico representar a deformação por uma fração percentual (%) multiplicando-se o valor da deformação específica por 102 ou mesmo até (‰) multiplicando-se por 103.
4.2 Diagrama tensão-deformação
As relações entre tensões e deformações para um determinado material são encontradas por meio de ensaios de tração. Nestes ensaios são medidos os alongamentos δ, correspondentes aos acréscimos de carga axial P, que se aplicarem à barra, até a ruptura do corpo-de-prova.
Obtêm-se as tensões dividindo as forças pela área da seção transversal da barra e as deformações específicas dividindo o alongamento pelo comprimento ao longo do qual a deformação é medida. Deste modo obtém-se um diagrama tensão-deformação do material em estudo. Na Figura 4.2 ilustra-se um diagrama tensão-deformação típico do aço.
regiãoelástica região plástica
C
ε0
L
p
P
r
σσ Ap
e
σσ
escoamentoB
ε
δ
P
εr
ED
Tensão AP
=σ
Deformação Lδε =
σr = tensão de ruptura σe = tensão de escoamento σp = tensão limite de proporcionalidade
Figura 4.2. Diagrama tensão-deformação do aço
Região elástica: de 0 até A as tensões são diretamente proporcionais às deformações; o material obedece a Lei de Hooke e o diagrama é linear. 0 ponto A é chamado limite de proporcionalidade, pois, a partir desse ponto deixa de existir a
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proporcionalidade. Daí em diante inicia-se uma curva que se afasta da reta 0A, até que em B começa o chamado escoamento.
O escoamento caracteriza-se por um aumento considerável da deformação com pequeno aumento da força de tração. No ponto B inicia-se a região plástica.
O ponto C é o final do escoamento o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento de carga, atingindo o valor máximo ou tensão máxima no ponto D, denominado limite máximo de resistência. Além deste ponto, maiores deformações são acompanhadas por reduções da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do corpo-de-prova no ponto E do diagrama.
A presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande deformação plástica é uma característica do aço, que é o mais comum dos metais estruturais em uso atualmente. Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer grandes deformações antes da ruptura. Materiais que apresentam grandes deformações, antes da ruptura, são classificados de materiais dúcteis. Outros materiais como o cobre, bronze, latão, níquel, etc, também possuem comportamento dúctil. Por outro lado, os materiais frágeis ou quebradiços são aqueles que se deformam relativamente pouco antes de romper-se, como por exemplo, o ferro fundido, concreto, vidro, porcelana, cerâmica, gesso, entre outros.
4.3 Tensão admissível
Para certificar-se de que a estrutura projetada não corra risco de ruína, levando em conta algumas sobrecargas extras, bem como certas imprecisões na construção e possíveis desconhecimentos de algumas variáveis na análise da estrutura, normalmente emprega-se um coeficiente de segurança (γf), majorando-se a carga calculada. Outra forma de aplicação do coeficiente de segurança é utilizar uma tensão admissível (σ ou admσ ), reduzindo a tensão calculada (σcalc), dividindo-a por um coeficiente de segurança. A tensão admissível é normalmente mantida abaixo do limite de proporcionalidade, ou seja, na região de deformação elástica do material. Assim,
f
calcadm γ
σσσ == (3)
4.4 Lei de Hooke
Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento de vários materiais, quando carregados por tração. Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto é, quando a carga é gradualmente diminuída até zero, a deformação sofrida durante o carregamento desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a retornar à forma original é denominada elasticidade. Quando a barra volta completamente à forma original, diz-se que o material é perfeitamente elástico; mas se o retorno não for total, o material é parcialmente elástico. Neste último caso, a deformação que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação permanente.
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A relação linear da função tensão-deformação foi apresentada por Robert HOOKE em 1678 e é conhecida por LEI DE HOOKE, definida como:
εσ E= (4)
onde σ = tensão normal E = módulo de elasticidade do material ε = deformação específica
O Módulo de Elasticidade representa o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensão-deformação e é diferente para cada material.
A lei de HOOKE é valida para a fase elástica dos materiais. Por este motivo, quaisquer que sejam os carregamentos ou solicitações sobre o material, vale a superposição de efeitos, ou seja, pode-se avaliar o efeito de cada solicitação sobre o material e depois somá-los.
Alguns valores de E são mostrados na Tabela abaixo. Para a maioria dos materiais, o valor do Módulo de Elasticidade sob compressão ou sob tração são iguais.
Tabela 4.1 Propriedades mecânicas típicas de alguns materiais
Material Peso específico (kN/m3)
Módulo de Elasticidade (GPa)
Aço 78,5 200 a 210 Alumínio 26,9 70 a 80 Bronze 83,2 98 Cobre 88,8 120
Ferro fundido 77,7 100 Madeira 0,6 a 1,2 8 a 12
Quando a barra é carregada por tração simples, a tensão axial é AP /=σ e a deformação específica é L/δε = . Combinando estes resultados com a Lei de HOOKE, tem-se a seguinte expressão para o alongamento da barra:
EAPL
=δ (5)
Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao módulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto EA é conhecido como rigidez axial da barra.
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4.4.1 Coeficiente de Poisson
Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor enquanto cresce seu comprimento. Quando a barra é comprimida, a largura da barra aumenta. A Figura 3 ilustra essas deformações.
P
P
P
P
Figura 4.3. Deformações longitudinal e lateral nas barras
A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro da região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson (v); definido como:
allongitudindeformaçãolateraldeformação
=υ (6)
Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês S. D. Poisson (1781-1840). Para os materiais que possuem as mesmas propriedades elásticas em todas as direções, denominados isotrópicos, Poisson achou ν ≈ 0,25. Experiências com metais mostram que o valor de v usualmente encontra-se entre 0,25 e 0,35.
Se o material em estudo possuir as mesmas propriedades qualquer que seja a direção escolhida, no ponto considerado, então é denominado, material isótropico. Se o material não possuir qualquer espécie de simetria elástica, então é denominado material anisotrópico. Um exemplo de material anisotrópico é a madeira pois, na direção de suas fibras a madeira é mais resistente.
4.4.2 Forma geral da Lei de Hooke
Considerou-se anteriormente o caso particular da Lei de HOOKE, aplicável a exemplos simples de solicitação axial.
Se forem consideradas as deformações longitudinal (εL) e transversal (εt), tem-se, respectivamente:
ELσε = e
ELtυσνεε == (7)
No caso mais geral, no qual um elemento do material é solicitado por três tensões normais σx, σy e σz, perpendiculares entre si, às quais correspondem respectivamente às deformações εx, εy e εz, a Lei de HOOKE se escreve:
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( )[ ]zyxx Eσσυσε +−=
1 .
( )[ ]xzyy Eσσυσε +−=
1 (8)
( )[ ]yxzz Eσσυσε +−=
1 .
A lei de HOOKE é válida para materiais homogêneos, ou seja, aqueles que possuem as mesmas propriedades (mesmos E e ν) em todos os pontos.
Exemplos 1. Determinar a tensão de tração e a deformação específica de uma barra prismática de comprimento L=5,0m, seção transversal circular com diâmetro φ=5cm e Módulo de Elasticidade E=20.000 kN/cm2 , submetida a uma força axial de tração P=30 kN.
L= 5 m
P P=30 kN
4
2πφ=A 6,19
452
=×
=πA cm2
AP
=σ 53,16,19
30==σ kN/cm2 ou 15,3 MPa
EAPL
=δ 0382,06,19000.20
50030=
××
=δ cm
Lδε = 0000764,0
5000382,0
==ε ou × 1000 = 0,0764 (‰)
2. A barra da figura é constituída de 3 trechos: trecho AB=300 cm e seção transversal com área A=10cm2; trecho BC=200cm e seção transversal com área A=15cm2 e trecho CD=200cm e seção transversal com área A=18cm2 é solicitada pelo sistema de forças indicado na Figura. Determinar as tensões e as deformações em cada trecho, bem como o alongamento total. Dado E=21.000 kN/cm2.
300 cm
30kNA
150kN
200 cm200 cm
B C50kN
D170kN
σyxσ
σz
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Trecho A-B
300 cm
150kNA
170kN
50kN
30kN
BR=150kN
AP
=σ 1510150
==σ kN/cm2
EAPL
=δ 214,010000.21
300150=
××
=δ cm
Lδε = 713,01000
300214,0
=×=ε (‰)
Trecho B-C
30kNR=120kN
150kN200 cm
B C50kN
170kN
R=120kN
AP
=σ 815
120==σ kN/cm2
EAPL
=δ 076,015000.21
200120=
××
=δ cm
Lδε = 38,01000
200076,0
=×=ε (‰)
Trecho C-D
30kNR=170kN
150kN200 cm
50kN
C D170kN
AP
=σ 44,918
170==σ kN/cm2
EAPL
=δ 0899,018000.21
200170=
××
=δ cm
Lδε = 45,01000
2000899,0
=×=ε (‰)
Alongamento total
38,00899,0076,0214,0 =++=δ cm
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4.5 Estruturas estaticamente indeterminadas
Nos exemplos anteriores, as forças que atuavam nas barras da estrutura podiam ser calculadas pelas equações da Estática. Tais estruturas são denominadas estaticamente determinadas. Há casos, porém, em que as equações de equilíbrio fornecidas pela Estática não são suficientes para a determinação de todas as ações e reações de uma estrutura. Para essas estruturas, denominadas, estruturas estaticamente indeterminadas, as forças e a reações só poderão ser calculadas se as deformações forem levadas em conta.
Um exemplo simples de estrutura estaticamente indeterminada é ilustrado na Figura 4.4.
Ra
A A
Ra
(c)
A
B
Rb
B
C
P
(a) (b)
B
L
b
a
C
P
Figura 4.4 Barra estaticamente indeterminada
A barra está carregada por uma força P no ponto C e as extremidades AB da barra estão presas em suportes rígidos. As reações Ra e Rb aparecem nas extremidades da barra, porém suas intensidades não podem ser calculadas apenas pelas equações da Estática. A única equação fornecida pelo equilíbrio estático é
PRR ba =+ (9)
a qual contém ambas as reações desconhecidas (2 incógnitas), sendo, portanto, insuficiente para seu cálculo com uma única equação. Há necessidade, portanto, de uma segunda equação, que considere as deformações da barra.
Para a consideração da deformação na barra, deve-se analisar o efeito de cada força sobre a barra se uma de suas extremidades estivesse livre. Considere-se, então, o efeito da carga P deslocando o ponto A, na estrutura livre, ilustrado na Figura 4.4b. O deslocamento (para baixo) do ponto A, devido ao encurtamento do trecho CD, submetido à carga P, é dado por:
EAPb
P =δ
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Em seguida, analisa-se o efeito da reação Ra deslocando do ponto A, ilustrado na Figura 4.4c. Note-se que se está analisando o efeito da reação Ra com a extremidade A da barra livre. O deslocamento (para cima) é dado por:
EALRa
R =δ
Ora, como a extremidade A da barra é fixa, o deslocamento final (δ), neste ponto, resultante da ação simultânea das forças P e Ra, é nulo. Logo,
0=− PR δδ → RP δδ = ,
ou seja, EA
LREAPb a= .
Logo, L
PbRa = . Substituindo o Ra na equação (9), tem-se: PRL
Pab =+
LPaPRb −=
LPbPLRb
−=
LbLPRb
)( −=
LPaRb =
Exemplos
1. Uma barra constituída de dois trechos é rigidamente presa nas extremidades. Determinar as reações R1 e R2 quando se aplica uma força P. Dados: E=21.000 kN/cm2; AAB=5cm2; ABC=7,5cm2; P= 60 kN
Solução
Equação de equilíbrio
PRR =+ 21 (1)
Equação de compatibilidade das deformações:
BCAB δδ = (2)
Nota: As cargas P/2 provocarão um alongamento no trecho AB, e um encurtamento no trecho BC, de valores exatamente iguais.
lembrando que EAPL
=δ , tem-se 5,75,1
52 21
××
=××
ER
ER
21 2,04,0 RR = 4,0
2,0 21
RR = 21 5,0 RR = substituindo em (1)
6021 =+ RR → 605,0 22 =+ RR → 605,1 2 =R → 402 =R kN
mas, 60401 =+R logo 201 =R kN.
2 cm
1,5 cm
P/2P/2
A
B
C
R2
R1
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2. É dado um cilindro de aço de 5cm de diâmetro no interior de um tudo de cobre de 8cm de diâmetro externo, com dimensões indicadas na Figura. Aplicando-se uma força de P=400 kN, qual a parcela de carga no cilindro de aço e qual a parcela de carga no cilindro de cobre? Dados: Eaço=21.000 kN/cm2; Ecobre=12.000 kN/cm2
63,194
52
=×
=π
açoA cm2 açototalcobrecobre AAA −= ,
63,304
54
8 22
=×
−×
=ππ
cobreA cm2
400=+ açocobre PP kN (1)
25,0+= cobreaço δδ (2)
lembrando que EAPL
=δ , tem-se
25,063,30000.12
30063,19000.21
25,300+
××
=×
× cobreaço PP
25,0000817,0000728,0 += cobreaço PP
300
cm
5 cm8 cm
cilindrode cobre
P=400 kN
cilindrode aço
0,25
cm
posição final
placa rígida
000728,025,0000817,0 +
= cobreaço
PP substituindo em (1), tem-se,
400000728,0
25,0000817,0=
++ cobre
cobrePP kN 400
000728,025,0
000728,0000817,0
=++ cobrecobre
PP kN
4004066,3431223,1 =++ cobrecobre PP 66,26=cobreP kN substituindo em (1), tem-se:
34,37366,26400 =−=açoP kN
Exercícios 1. Em uma máquina usa-se uma barra prismática de 10m de comprimento, comprimida por uma força de 500 kN. Sabendo-se que a tensão não deve exceder a 140 kN/cm2 e o encurtamento não deve exceder a 3mm, pede-se determinar o diâmetro da barra. E=21.000 kN/cm2. Resposta: φ=10cm
2. Uma barra prismática está submetida à tração axial. A área da seção transversal é 2cm2 e o seu comprimento é 5m. Sabendo-se que a barra sofre o alongamento δ=0,714285cm quando é submetida à força de tração 60kN, pede-se determinar o módulo de elasticidade do material. Resposta: E=21.000 kN/cm2.
3. Uma barra cilíndrica de 38mm de diâmetro e 20cm de comprimento sofre a ação de uma força de compressão de 200kN. Sabendo-se que o módulo de elasticidade da barra é E=9.000 kN/cm2 e o coeficiente de Poisson, υ=0,3, determinar o aumento de diâmetro da barra. Resposta: δt=0,00223cm.
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4. A barra rígida AB é articulada em A, suspensa em B por um fio e apóia-se em C em um suporte de ferro. São dados: comprimento do fio: 1,7m; área da seção transversal do fio: 5cm2; módulo de elasticidade do fio E=21.000 kN/cm2; comprimento do suporte: 2m; área do suporte: 15cm2; módulo de elasticidade do suporte E=10.000 kN/cm2. Determinar as forças no fio, no suporte e na articulação. Respostas: Força no fio: 50kN Força no suporte: 25kN Força na articulação: 25kN
B
1.70
m2.
0 m
2.0 m1.0 m2.0 m
P=100 kNCA B
Pf
PCPA
A C
P=100 kN
4.6 Tensões iniciais e Tensões Térmicas
Quando uma estrutura é estaticamente determinada, a variação uniforme da temperatura em todo seu comprimento não acarreta nenhuma tensão, pois a estrutura é capaz de se expandir ou se contrair livremente. Por outro lado, a variação de temperatura em estruturas fixas, estaticamente indeterminadas, produz tensões em seus elementos, denominadas tensões térmicas. Esta conclusão pode ser observada pela comparação entre uma barra livre em uma das extremidades, com outra barra engastada nas duas extremidades, como mostrado na Figura 4.5.
R
(c)
R
∆
B
A
(a)R
B
L
A
(b)
B
T
A
∆T
Figura 4.5. Barra fixa nas extremidades, submetida a aumento de temperatura
Na barra da Figura 4.5b, a variação uniforme de temperatura sobre toda a barra causará o alongamento:
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TL∆= αδ (10)
onde: α = coeficiente de dilatação térmica
L = comprimento
∆T = variação de temperatura (ºC)
Como este alongamento pode ocorrer livremente, não surgirá nenhuma tensão na barra.
Na Tabela 4.2 estão indicados coeficientes de dilatação térmica de alguns materiais.
Tabela 4.2 Valores Típicos do coeficiente de dilatação térmica
Material Coeficiente de dilatação térmica α (10-6 ºC-1) Aço 11,7
Alumínio 21,4 a 23,9 Magnésio 26,1
Cobre 16,7 Concreto 7,2 a 12,6
No caso de barras estaticamente indeterminadas, como a que aparece na Figura 4.5, quando há aumento de temperatura, a barra não pode alongar-se, surgindo, como conseqüência, uma força de compressão que pode ser calculada pelo método descrito no item precedente. Para a barra engastada da Figura 4.5a, vê-se que, se a extremidade A for liberada, seu deslocamento para cima, devido ao acréscimo de temperatura, será o mesmo deslocamento para baixo, decorrente da ação da força R, ou seja, RL/EA. Igualando esses dois deslocamentos vêm:
TEAR ∆= α (11)
Depois de se obter R, pode-se calcular a tensão e a deformação específica da barra pelas expressões:
TEAR
∆== ασ e TE
∆== ασε
Deste exemplo, conclui-se que a variação de temperatura produz tensões em sistemas estaticamente indeterminados, ainda que não se tenha a ação de forças externas.
Exemplo Uma barra prismática, rigidamente presa nas extremidades é submetida a um aumento de temperatura de 20ºC, ao mesmo tempo em que recebe uma carga P=30 kN. Determinar as reações de apoio.
Dados: A= 1,5 cm2; E=20.000 kN/cm2; α=11,7×10-6 ºC-1; ∆T= +20ºC
Solução:
a) determinação das reações R´A e R´B, devido ao aumento de temperatura TEAR ∆= α
BA C
P=30 kN
250 cm100 cm
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BAR'A =7,02 R'B =7,02 kN
02,720107,115,1000.20 6 =××××= −R kN → BA RRR ′=′=
b) ao se aplicar a carga P= 30 kN no ponto C, o trecho AC sofrerá um alongamento exatamente igual ao encurtamento no trecho CB, portanto, BCAC δδ = . Assim,
EAR
EAR BA 250100 ×′′
=×′′ → BA RR ′′=′′ 5,2
fazendo o equilíbrio de forças, tem-se:
PRR AB =′′+′′ mas BA RR ′′=′′ 5,2 , logo,
305,2 =′′+′′ BB RR → 305,3 =′′BR
57,8=′′BR kN →Portanto, 43,21=′′AR kN
R''B =8,57 kNR''B =21,43
A P=30 kN B
Como se trata de uma estrutura trabalhando no regime elástico, vale a superposição de efeitos, ou seja, os efeitos da temperatura na barra e da carga P:
AAA RRR ′′+′−= 41,1443,2102,7 =+−=AR kN
BBB RRR ′′+′= 59,1557,802,7 =+=BR kN
Exercício 1. A um tubo de aço se aplica uma carga axial de 200 kN por meio de uma placa rígida. A área da seção transversal do cilindro de aço é 20cm2. Determinar o acréscimo de temperatura ∆T para o qual a carga externa seja equilibrada pelos esforços que aparecem nos cilindros de aço e cobre. Dados:
Eaço=21.000 kN/cm2; αaço=11,7×10-6 ºC-1
Resposta: ∆T = 40,7ºC.
50cm
tubo deaço
P=200 kN
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4.7 Tensão de cisalhamento
Denomina-se força cortante (V), a componente de uma força, contida no plano da seção transversal considerada, como ilustrado na Figura 4.6. A força cortante é uma força que atua no próprio plano da seção transversal. A outra componente é a força normal.
resultante
força normal
barra engastada
L
P
forçatangencial V R
Figura 4.6
A força cortante dá lugar, em cada um dos pontos da seção, ao aparecimento de uma tensão tangencial, denominada tensão de cisalhamento, designada pela letra grega τ. Admitindo-se distribuição uniforme da tensão de cisalhamento na seção transversal de área A, tem-se, em cada ponto da seção:
AV
=τ (12)
A tensão de cisalhamento, como a tensão normal, tem também a mesma unidade de pressão a qual, no Sistema Internacional é o pascal (Pa).
Exemplo Considere-se o parafuso de 12,5 mm de diâmetro, da junta da Figura abaixo. A força P é igual a 15 kN. Admitida a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento, qual o valor dessas tensões, em qualquer uma das seções transversais m—n ou p—q?
P nm
Aqp
B
PC m
p
nm
pq
V
BV
n
q
Solução
Supõe-se que a força P solicite igualmente as duas seções transversais. Nessas condições, a força que atua em cada plano é: 15/2=7,50 kN, sobre a seção de área π×1,252/4 = 1,23 cm2. Portanto,
AV
=τ 1,623,15,7==τ kN/cm2
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6 ESFORÇOS SOLICITANTES
6.1 Introdução
Os corpos sólidos não são rígidos e indeformáveis. A experiência mostra que, quando submetidos a forças externas, os corpos se deformam, ou seja, variam de dimensões. Os esforços internos que tendem a resistir às forças externas são chamados esforços solicitantes.
Se as forças externas produzirem tensões abaixo do limite de elasticidade do material do corpo sólido, ao cessarem, este readquire a forma e as dimensões originais. Esta propriedade chama-se elasticidade e a deformação chama-se, então, elástica.
Se as forças, porém, passarem de um determinado valor, de modo que, ao cessarem, o corpo não volta mais à forma primitiva, mantendo-se permanentemente deformado, diz-se que o corpo foi solicitado além do limite de elasticidade.
Se as forças aumentarem ainda mais, as deformações permanentes aumentam rapidamente até provocarem ruptura do corpo. A força que provoca ruptura do corpo serve para medir sua solidez, ou seja, sua resistência à ruptura.
Ao se dimensionar uma peça deve-se não só evitar a sua ruptura, como também evitar deformações permanentes, ou seja, ao cessar a força externa, as deformações devem também cessar.
Surge então a necessidade de um estudo mais profundo dos esforços a que estão submetidos os materiais, com vistas a se obter um dimensionamento seguro e econômico.
6.2 Classificação dos esforços solicitantes
Os esforços solicitantes são classificados em:
• Força Normal (N)
Força Normal é a componente da força que age perpendicular à seção transversal. Se for dirigida para fora do corpo, provocando alongamento no sentido da aplicação da força, produz esforços de tração. Se for dirigida para dentro do corpo, provocando encurtamento no sentido de aplicação da força, produz esforços de compressão.
As forças normais são equilibradas por esforços internos resistente e se manifestam sob a forma de tensões normais (força por unidade de área), representadas pela letra grega σ (Sigma), que serão de tração ou de compressão segundo a força normal N seja de tração ou compressão.
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58
• Força Cortante (V) Força Cortante é componente da força, contida no plano da seção transversal que tende a deslizar uma porção do corpo em relação à outra, provocando corte (deslizamento da seção em seu plano). As tensões desenvolvidas internamente que opõem resistência às forças cortantes são denominadas tensões de cisalhamento ou tensões tangenciais (força por unidade de área), representadas pela letra grega τ (Thau).
• Momento Fletor (M) Um corpo é submetido a esforços de flexão, quando solicitado por forças que tendem a dobrá-lo, fleti-lo ou mudar sua curvatura. O momento fletor age no plano contém o eixo longitudinal, ou seja, perpendicular à seção transversal.
• Momento de Torção (T) A componente do binário de forças que tende a girar a seção transversal em torno de eixo longitudinal é chamado Momento de Torção.
6.3 Convenção de sinais
Obtidos os valores de N, V, M e T, podem-se traçar, em escala conveniente, os diagramas de cada esforço solicitante, também denominados linhas de estado.
Força normal (N)
• tração (+)
• compressão (-)
Força cortante (V)
S
P
Força P tendendo girar a barra no sentido horário em relação à
seção S: positivo (+)
SP
Força P tendendo girar a barra no sentido anti-horário em
relação à seção S: negativo (-)
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59
Momentos fletores (M) Momento Fletor: o momento fletor é considerado positivo, quando as cargas atuantes na peça tracionam suas fibras inferiores e, negativo, quando as cargas atuantes na peça tracionam suas fibras superiores.
OBS: não confundir Momento Fletor com Momento aplicado aos corpos rígidos, cuja convenção de sinais é
• tende a girar no sentido horário ( – )
• tende a girar no sentido anti-horário ( + )
Momentos de Torção(T)
Momento de Torção é considerado positivo quando tende a girar a seção transversal em torno de seu eixo longitudinal no sentido anti-horário e, negativo, quando tende a gira no sentido horário.
Regras para o traçado dos diagramas de esforços solicitantes
1. Nos pontos da barra em que a força é paralela ao eixo longitudinal, o diagrama de
esforços normais apresenta um ressalto de mesma intensidade da força.
2. Nos pontos da viga onde há força concentrada perpendicular ao eixo longitudinal, o
diagrama de esforços cortantes apresenta um ressalto de mesma intensidade da força
concentrada.
3. Nos pontos da viga onde atua um momento externo, o diagrama de momento fletor
apresenta um ressalto de mesma intensidade do momento externo.
4. Nos pontos do diagrama onde o esforço cortante é nulo, o diagrama de momento fletor
apresenta um ponto de máximo.
5. Nos pontos da barra onde há força concentrada perpendicular ao eixo longitudinal, o
diagrama de momento fletor apresenta um ponto anguloso.
6. As funções carregamento, esforço cortante e momento fletor, como se verá mais adiante,
estão relacionadas por meio da seguinte equação diferencial de segunda ordem:
qdxdV
dxMd
−==2
2
. Em outras palavras, a área da figura do diagrama de força cortante é o
valor da do momento fletor.
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60
7 VIGAS
7.1 Introdução
Vigas são elementos de barras, submetidas a cargas transversais em relação a seu eixo e destinadas a vencer vão.
As cargas podem ser classificadas em relação à área em que são aplicadas em concentradas e distribuídas. As cargas concentradas são aquelas cuja superfície de contato com o corpo que lhe resiste é desprezível comparada com a área do corpo. As cargas distribuídas são aquelas aplicadas ao longo de um comprimento ou sobre uma superfície, podendo ser uniforme ou não uniforme.
VÃO (L)
P
Fig. 7.1 Viga simplesmente apoiada submetida a uma carga concentrada no meio do vão
7.2 Tipos de cargas
7.2.1 Cargas distribuídas
As cargas distribuídas sobre vigas são cargas por unidade de comprimento. Estas cargas, uniformes ou variáveis, podem ser representadas por uma carga concentrada equivalente (R), cujo valor corresponde à área formada pela figura que representa a carga distribuída e é aplicada em seu centro de gravidade (CG).
Carga uniformemente distribuída
carga por unidade de comprimento (tf/m, kgf/m, kN/m) R = carga equivalente, definida como R=q.a (área do retângulo) O ponto de aplicação da carga equivalente é o centro
de gravidade do retângulo, ou seja,2ax =
R
q
x
a
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61
Carga distribuída variável a. Triangular O valor da carga equivalente é a área da triângulo, ou
seja, 2.aqR = e é aplicada no centro de gravidade:
centro de gravidade: 3.2' ax = e
3'' ax =
Rq
x´ x"a
b. Trapezoidal O valor da carga equivalente é a área do trapézio, ou
seja, aqpR ⋅+
=2
e é aplicada no centro de gravidade qpqpax
++
⋅=2
3 x´
a
p
q
R
7.3 Apoios ou vínculos
Apoios ou vínculos são elementos que restringem movimentos das estruturas e
recebem a seguinte classificação:
Apoio móvel
ou
• Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao
plano do apoio;
• Permite movimento na direção paralela ao plano do apoio;
• Permite rotação.
Apoio fixo
• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;
• Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio;
• Permite rotação.
Engastamento
• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;
• Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio;
• Impede rotação.
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62
EXEMPLOS
1. Viga simplesmente apoiada, submetida a uma carga concentrada.
S2S1
_Pb / L
Pba / L
+
L
baRA
A
RA
A C
+ P
Pb / L
(V)Pa / L
(M)
HB
RB = Pa / L
B
Px
a) Cálculo das reações
LPaRBaPLRBM
PRBRAPRBRAFHBHBF
A
V
H
=⇒=−+=
=+⇒=−+==⇒==
∑
∑∑
0..0
00000
( )L
aLPRAL
PaPLRAL
PaPRAPL
PaRA −=⇒
−=⇒−=⇒=+
LPbRAbaLmas =⇒=−
b) Cálculo dos esforços solicitantes (internos)
Seção S1 entre A e C ax ≤≤0 (forças à esquerda)
Força cortante: RAV +=1
x M1 0 0 Momento fletor
xL
bPxRAM ...1 =+= a L
Pba
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63
Seção S2 entre C e B Lxa ≤≤ (forças à esquerda)
Força cortante:
Pl
PbPRAV −=−+=2
( )L
PaL
LbPL
PLPbV −=−
=−
=2
Momento fletor:
( )axPxRAM −−+= .2
( ) ( ) 0,.
:,/.2
=+−⇒+++−
−=⇒+−=
aLbpLabcomoRAPLL
LPb
setemLxppaPxxL
PbM
Obs.: O sinal de xRA.+ é positivo porque traciona a face inferior da viga e o sinal de ( )axP −− é negativo porque traciona a face superior da viga, em relação à seção S.
Quando 2Lba == tem-se
42PLMPRBRA máx ===
2. Viga simplesmente apoiada, submetida a carga distribuída
RB = qL/2RA = qL/2
0
qL/20
L / 2
++
+
2qL /8
-qL/2----
M (kN.m)
V (kN)
L/2S
A
x
L/2
L
HB = 0
q (kN/m)
carga equivalente R = q . L
B
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64
a) Cálculo das reações
2.
2.0
2...0
.0.0
00
LqRALqRBLLqLRBM
LqRBRALqRBRAF
HBF
A
V
H
=∧=⇒=−+=
=+⇒=−+=
==
∑∑∑
b) Cálculo dos esforços solicitantes
Seção S (forças à esquerda)
x V
0 2
qL
L 2
qL−
Força cortante
xqLqV
xqRAV
.2.
.
−+=
−+=
equação do primeiro grau 2L 0
Obs.: Quando a força cortante for mínima, o momento fletor é máximo. Portanto, deve-se igualar a zero a equação da força cortante para determinar o local do diagrama onde o momento fletor é máximo. Assim,
22..0.
2. LxLqxqxqLqV =⇒=⇒=−=
Momento fletor
x M 0 0
4L
323 2qL
2L
322qL
carga equivalenteq . x
A
x
x / 2S
q
RA 2..
2.
2...
2xqxLqM
xxqxRAM
−=
−=
L 0
Obs.: A área da figura do diagrama de força cortante é o valor momento fletor pois, como
se verá mais adiante, Vdx
dM= . Então, do lado esquerdo do diagrama, tem-se:
+q.L/2
L/2
8.
21.
2.
2. 2LqLLqM ==
Analogamente, do lado direito:
8.
21.
2.
2. 2LqLLqM ==
O mesmo raciocínio pode ser feito no primeiro exemplo.
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65
3. Viga em balanço submetida a carga concentrada na extremidade livre
PMA
RA
HA
A
L
S Bx
a. Cálculo das reações
∑∑
==−===
PRAPRAFHAF
V
H
0000
b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S
Força cortante:
A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+) PV +=
Notar que a força cortante V é constante, portanto, não depende de x.
x M 0 0
Momento fletor Seção S xPM ⋅−= L – PL
Diagrama de esforços solicitantes
O momento fletor é negativo porque traciona a face superior da viga.
Notar que a equação que define o momento fletor é linear e depende de x. A medida distância x inicia-se na extremidade livre da viga.
A B
0+
0
-PL _
RA=P
P
L
S
V
M
x
P
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66
4. Viga em balanço submetida a carga uniformemente distribuída
a. Cálculo das reações
∑∑
==−=
==
qLRAqLRAF
HAF
V
H
00
00MA
carga equivalenteR = q x L
RA
HA
A
L
S
q
Bx
b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S
Força cortante:
A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+)
x V 0 0 qxV += L qL
Notar que a força cortante V é uma função linear que depende de x.
x M
0 0
Momento fletor Seção S
22
2qxxxqM −=⋅⋅−= L
2
2qL− S
xB
carga equivalenteR = q . x
x/2 x/2
O momento fletor é negativo porque traciona a face superior da viga.
Notar que a equação que define o momento fletor é do segundo grau e que a distância x inicia na extremidade livre da viga.
Diagrama de esforços solicitantes
A B
0+
0
-q.L /22_
RA=q.L
q.L
L
S
V
M
x
q
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67
5. Viga simplesmente apoiada, submetida a momento externo no vão.
a
RA=Mc / L
x
A
S
L - a
L RB=-Mc / L
MC
cB
a) Cálculo das reações
∑ −==+= RBRARBRAFV 00
b) Cálculo dos esforços solicitantes Seção S
Força cortante L
MV c+=
Momento fletor xL
MxRAM c ⋅+=⋅+=
No trecho AC o momento externo traciona a face inferior da viga; logo, o momento fletor é positivo.
x M 0 0 x
LMM c ⋅= a
LaM c
No trecho CB, o momento externo
traciona a face superior da viga logo, o
momento fletor neste trecho é negativo.
Portanto, em x=a, tem-se:
cc M
LaMM −
+=
( )L
aLML
LMaMM ccc −−=
−+=
+
(L-a)L
0cM
0
c-M
a
RA=Mc / L
_
aL
Mc
M
-Mc
+
L
V
RB=-Mc / L
AcM
C B
Diagrama de esforços solicitantes
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68
6. Viga simplesmente apoiada, submetida a momento externo na extremidade.
AaM
B
L
M / La -M / La
a) Cálculo das reações
∑ −==+= RBRARBRAFV 00
b) Cálculo dos esforços solicitantes
Força cortante: L
MV a+= (constante)
Momento fletor aMM −= (constante)
É negativo porque traciona a face superior da
viga
-M
0
a _
0
M / La
M / La
+
L
M
V
-M / La
AaM
B
Diagrama de esforços solicitantes
EXERCÍCIOS
1. Montar os diagramas de esforços solicitantes da viga em balanço abaixo:
P=6 kNMA
L=3 m
RA
HA
A S Bx
a. Cálculo das reações
kNRARAFHAF
V
H
∑∑
==−===
606000
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69
b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S
Força cortante:
A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+) kNPV 6=+=
Notar que a força cortante V é constante, portanto, não depende de x.
Momento fletor Seção S
xPM ⋅−= 183
00−
Mx
Diagrama de esforços solicitantes
O momento fletor é negativo porque traciona a face superior da viga.
Notar que a equação que define o
momento fletor é linear e depende de x.
A B
L=3 m
0+
0
-18_
RA=6 kN
6
S
V (kN)
M (kN.m
x
P=6 kN
2. Montar os diagramas de esforços solicitantes da viga em balanço abaixo:
q=4 kN/m
MAcarga equivalenteR=4 x 2=8 kN
L=2 m
RA
HA
A S Bx
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70
a. Cálculo das reações
kNRAFHAF
V
H
∑∑
=×−===
824000
b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S
Força cortante:
A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+)
qxV += 8200
Vx
Notar que a força cortante V é uma função linear que depende de x.
Momento fletor Seção S
222
2 xxxM −=⋅⋅−= 82
00−
Mx
O momento fletor é negativo porque traciona a face superior da viga.
Notar que a equação que define o momento fletor é do segundo grau.
Diagrama de esforços solicitantes
A B
L=2 m
0+
0
-8_
RA=6 kN
8
S
V (kN)
M (kN.m
x
q=4 kN/m
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
71
3. Dado a viga abaixo, calcular as reações, os esforços solicitantes e trocar os diagramas de
força cortante e momento fletor.
NOTA: Quando a força cortante é
mínima, o momento fletor é máximo.
Como Vdx
dM= , ou seja, a integral da
força cortante é o momento fletor,
então, a área do diagrama de V
corresponde a M .
2438 =× e mkN ⋅=× 24212
P=20 kN
24
RA=8 kN
08
20
A
+_
S1 S2C
3m 2m
5m
-12
V (kN)
M (kN.m)
RB=12 kN
B
HB
a) cálculo das reações
∑∑∑
=×−×+==+=−+=
==
0320502000
00
RBMkNRBRAPRBRAF
HBF
A
V
H
kNRARARBRA
kNRBRB
8201220
12605
==+=+
==
Pelas fórmulas deduzidas:
kNL
PaRAkNL
PbRA 125
32085
220=
×===
×==
b) cálculo dos esforços solicitantes
Convenção de sinais para força cortante:
S P-
tende girar a viga no sentido horário em
relação à seção S
+
S
P
tende girar a viga no sentido anti-horário em
relação à seção S
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
72
xMxRAM
⋅=⋅+=
8)(
1
1
05243
2Mx
Força cortante Seção S1
A
RA=8 kN
S1
X
kNVRAV81
1
+=+=
• A reação RA tende a cortar a viga na seção S1 no sentido horário ⇒ (+)
Seção S2
A
RA=8 kN
S2
3m (x-3)
P=20 kN
X
kNVPRAV
122082
2
−=−=−+=
• Notar que V1 e V2 não dependem de x. Portanto, V1 e V2 serão constantes no diagrama
de força cortante.
Momento fletor Seção S1
24300
1Mx
• Momento fletor (+) por tracionar a face inferior.
Seção S2
( )( )
6012602083208
3
2
2
2
2
+−=+⋅−⋅=−⋅−⋅=−⋅−⋅+=
xMxxMxxM
xPxRAM
• Notar que as equações que definem o momento fletor dependem de x e são lineares.
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73
4. Calcular os esforços, trocar os diagramas de V e M e dimensionar a viga abaixo.
10 x 5 = 50 kNcarga equivalente
31,25
L / 2L / 2L / 2L / 2
++
RA = 25 kN
2525
2,5 m2,5 m2,5 m2,5 m
++
L = 5 m
2,5 m
L / 2A
----
M (kN . m)M (kN . m)
S
V (kN)V (kN)
25252525
RB = 25 kNRB = 25 kN
HB = 0
q = 10 kN / mB
a) Cálculo das reações
( )
( )
kNRAkNRBRB
RBMkNRBRA
RBRAF
BHF
A
V
H
25251255
05,25105050
05100
00
===
=⋅⋅−⋅+=
=+
=⋅−+=
==
∑
∑∑
Pelas fórmulas deduzidas: kNLqRBRA 252
5102
=×
=⋅
==
a) Cálculo dos esforços solicitantes
Aq
RA = 25 kN
x
carga equivalenteq . xx / 2
S
Força Cortante
xVxqRAV
1025−=⋅−+=
• A reação RA tende a cortar a viga na seção S no sentido horário (+) e a força (q . x),
carga equivalente, tende a cortar a viga na seção S no sentido anti-horário (-);
• No caso de carregamento distribuído, a equação da força cortante depende de x, portanto , trata-se de uma função linear;
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74
• Sabe-se que, quando a força cortante é mínima, o momento fletor é máximo, portanto, necessita-se saber a que distância do apoio A, V = 0. Então, 0 = 25 – 10x.
mxx 5,22510 =⇒= , ou seja, 2L
Diagrama de Força Cortante
x V 2 25
2,5 0 5 -25
2525
V (kN)V (kN)
função linear
++2525
2,5 m2,5 m
--
Obs.: A área da figura resultante do diagrama de força cortante é o momento fletor.
• Do lado esquerdo
mkN ⋅=× 25,312
255,2
• Do lado direito:
mkN ⋅=× 25,312
255,2
Momento fletor
Aq
RA
x
x / 2carga equivalente
q . xS
2
2
5252
1025
2
xxM
xxM
xxqxRAM
⋅−⋅+=
⋅−⋅+=
⋅⋅−⋅+=
• Notar que a reação RA gera um momento fletor na seção S que traciona a face inferior (+) e a força equivalente (q . x). Gera um momento que traciona a fibra superior (-);
• No caso de carregamento distribuído, a equação do momento fletor depende de (x2), portanto, trata-se de uma função quadrática que resulta numa parábola do 2º grau.
Diagrama de Momento Fletor 2525 xxM ⋅−⋅=
x M 0 0
2,5 31,25 5 0 ++
2,5 m2,5 m2,5 m2,5 m
M (kN . m)M (kN . m)
31,25
Pelas fórmulas deduzidas: mkNLqM máx ⋅=×⋅
= 25,318
5108
22
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
75
7.4 Equações diferenciais de equilíbrio
Os esforços solicitantes são obtidos a partir das equações de equilíbrio que regem o
comportamento das vigas.
Seja a viga em balanço submetida a um carregamento genérico (q), como ilustrado
na Figura abaixo.
L
q
x dx
Figura 7.2. Viga em balanço
O equilíbrio de um elemento infinitesimal de viga está ilustrado na Figura abaixo.
Admite-se que o carregamento neste elemento de comprimento infinitesimal seja
constante.
V
dx
MV+ d
x
V
q
M M+ dA
Figura 7.3. Esforços atuantes em um elemento infinitesimal
Conforme a figura acima, as equações diferenciais de equilíbrio são dadas por:
Equilíbrio de Forças na direção vertical
0=∑ yF
( ) qdxdVdVVqdxVFy −=⇒=+−−⇒=∑ 00
qdxdV
−= portanto )()( xqdx
xdV−=
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
76
Equilíbrio de Momentos em relação ao Equilíbrio de Forças em y ponto A
0=∑ AM
( ) 02
0 =+++−−⇒=∑ dMMdxqdxVdxMM A
2
2dxqVdxdM −= mas 02
2
=dxq → parcela de segundo grau pode ser desprezada
)()( xVdx
xdMVdx
dMVdxdM =⇒=⇒=
Equações diferenciais de equilíbrio
)()(
)()(
)()(
2
2
xqdx
xMd
xVdx
xdM
xqdx
xdV
−=⇒
=
−=
Notar que a expressão da força cortante V(x) possui um grau a mais que a expressão
do carregamento q(x) e a expressão do momento fletor M(x) possui um grau a mais que a
expressão da força cortante.
Dado um carregamento q(x) qualquer, os esforços V(x) e M(x) são obtidos pela
integração das equações diferenciais de equilíbrio, impondo condições de contorno.
No caso da viga em balanço tem-se:
qxxV −=)( 2
)(2qxxM −=
qdx
Md−=2
2
∫ +−=−== 1Cqxqdxdx
dMV
( ) 21
2
1 2CxCqxdxCqxM ++−=+−= ∫
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77
condições de contorno
para x = 0, a força cortante é nula:
00)0( 1 =⇒= CV
para x = 0, o momento fletor é nulo:
00)0( 2 =⇒= CM
logo,
qxxV −=)(
2)(
2qxxM −=
Figura 7.4. Diagrama de esforços solicitantes
Notar que:
q(x) grau zero → constante
V(x) primeiro grau → linear
M(x) segundo grau → parabólico
L
_
+
q
x dx
V
M
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78
Exercícios
1. Traçar os diagramas de esforços
solicitantes da viga da figura.
a. Cálculo das reações
q=8 (kN/m)
8x4=32 kNcarga equivalente
S1
RA
x4 m
HAA
2 m
S2
RB
2 m
P=16 kN
B C
kNRAkNRBRBM
kNRBRARBRAF
HAF
A
V
H
84002)48(6164
48016480
00
===××−×−×+=
=+=−⋅−+=
==
∑∑∑
b. Cálculo dos esforços solicitantes
Seção S1 0 ≤ x ≤ 4
Força cortante: xqRAV ⋅−+=
xV 88 −+= 244
80−
Vx
Determinação do local onde a força cortente é nula x880 −+= mx 1=
Momento fletor:
2xxqxRAM ⋅⋅−⋅+=
288
2xxM −+=
3244100
−
Mx
Seção S2 4 ≤ x ≤ 6 Força cortante:
kNV 1640328 =+−+= constante
S1x
RA=8 kN
q=8 (kN/m)
x/2
A
q.x
RB=40 kN
x-4
S1
RA=8 kN
4 mx
S2
A
2 m
q=8 (kN/m)B
8x4=32 kNx-2
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
79
Momento fletor: )4()2(32 −⋅+−⋅−⋅+= xRBxxRAM 1604064328 −++−= xxxM
9616 −= xM 06324 −
Mx
Diagrama de esforços solicitantes
HA=0
0+4
08
RA=8 kN
1 m+
4 m
_
-32
-24
_M(kN.m)0
RB=40kN16
+
2 m
V(kN)0
16
A
P=16 kN8 (kN/m) B C
2. Traçar os diagramas de esforços solicitantes da viga abaixo.
RA
AHA
RB
2,5 m
P=14 kN
2,5 m
5 m
Bq=2 kN/m
a. Cálculo das reações
kNRAkNRBRBM
kNRBRARBRAF
HAF
A
V
H
121205,2105,2145
24014520
00
===×−×−×+=
=+=−⋅−+=
==
∑∑∑
b. Cálculo dos esforços solicitantes
Seção S1 0 ≤ x ≤ 2,5
Força cortante: xqRAV ⋅−+=
xV ⋅−+= 212 75,2
120Vx
A
RA=12kN
S1
x
q.xx/2
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
80
Momento fletor:
2xxqxRAM ⋅⋅−⋅+=
2212
2xxM −+= 75,234
00Mx
Seção S2 2,5 ≤ x ≤ 5 Força cortante:
PxqRAV −⋅−+=
14212 −−+= xV 12575,2
−−Vx
Momento fletor:
( )5,22
−−⋅⋅−⋅+= xPxxqxRAM
( )5,2142
2122
−−−+= xxxM
3522 +−−= xxM 05
75,235,2Mx
Diagrama de esforços solicitantes
AHA=0
23,75
0 +
0
+
-7
12
RA=12kN
7
2,5 m
5 m
_ V(kN)
-12
M(kN.m)
RB=12kN
2,5 m
2x5=10 kN
P=14 kNx
Bq=2 kN/m
(x-2,5)
P=14 kN
A
x
RA=12kN
2,5 m
q.xx/2
S2
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
81
3. Traçar os diagramas de esforços solicitantes da viga abaixo.
4 m
3x4=12 kN
BA
2 m
RB
q=2kN/m
2x2=4 kN1 m 2 m
HC
C
RC
q=3kN/m
a. Cálculo das reações
kNRAkNRCRCM
kNRCRBRCRBF
HCF
B
V
H
1150142124
16043220
00
===×+×−×+=
=+=×−×−+=
==
∑∑∑
b. Cálculo dos esforços solicitantes
Seção S1 0 ≤ x ≤ 2
Força cortante:
xqV ⋅−= xV 2−= 42
00−
Vx
Momento fletor
2xxqM ⋅⋅−=
22
2xM −= 42
00−
Mx
Seção S2 2 ≤ x ≤ 4
Força cortante: xqV ⋅−+×−= 11)22(
xV 3114 −+−=
54033,270
−
Vx
Determinação do local onde a força cortente é nula:
03114 =−+− x 073 =+− x mx 33,2=
Ax
S1
x/2q.x
q=3kN/m
S2BA
RB=11kN
2 m x
q=2kN/m
1 m2x2=4 kN x/2 q.x
(x+1)
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
82
Momento fletor:
( )2
31114 xxxxM −++−= 2
311442xxxM −+−−=
475,1 2 −+−= xxM
0417,433,2
40 −Mx
Diagrama de esforços solicitantes
2,33
0
0
-4
-4
7
0 M(kN.m)
4,17
1,67
-5
0 V(kN)
q=3kN/mq=2kN/m
A
2 m
RA=11kN
B
2x2=4 kN
4 m
RC=5kN
C
HC=0
3x4=12 kN
4. Traçar os diagramas de esforços solicitantes da viga abaixo.
B
RB
HB
A
RA
3 m1,5 m 1,5 m
P=10 kN P=10 kN
a. Cálculo das reações
kNRBkNRARBM
kNRBRARBRAF
HBF
A
V
H
101005,4105,1106
20010100
00
===×−×−⋅+=
=+=−−+=
==
∑∑∑
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
83
b. Cálculo dos esforços solicitantes
Seção S1 0 ≤ x ≤ 1,5
Força cortante: RAV += kNV 10+=
constante, pois não depende de x.
Momento fletor
xRAM ⋅+= xM ⋅+= 10 155,100
Mx
Seção S2 1,5 ≤ x ≤ 4,5
Força cortante:
01010 =−+=V constante
Momento fletor:
( )5,11010 −−+= xxM
151010 +−+= xxM
15+=M kN.m constante
Seção S3 4,5 ≤ x ≤ 6
Força cortante: 101010 −−+=V kNV 10−=
constante, pois não depende de x.
Momento fletor
( ) ( )5,4105,431010 −−−+−+= xxxM
6010 +−= xM 06155,4Mx
A
P=10 kN P=10 kN
3 m1,5 mx
(x-4,5)S3
RA=10kN
S21,5 m
x(x-1,5)
P=10 kN
RA=10kN
A
AS1
x
RA=10kN
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
85
8 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO
Considere-se a viga a simplesmente apoiada, submetidas a duas forças concentradas
no mesmo plano xy que contém o eixo da barra, como ilustra a Figura abaixo.
0
Pa
y
P
a
M
V
-P
a
P P
x
Figura 8.1
Essas forças produzem deslocamentos nos diversos pontos do eixo da viga dando
origem a tensões internas.
A parte central da viga está sujeita somente ao momento fletor M=P.a, sem esforço
cortante. Neste trecho diz-se que a solicitação é de flexão pura.
Nas seções da viga onde atuam simultaneamente momento fletor e força cortante
diz-se que há flexão simples.
8.1 Hipóteses admitidas
Na dedução das expressões das tensões normais decorrentes da flexão, admitem-se as seguintes hipóteses:
• “as seções planas permanecem planas após a deformação” (hipótese simplificadora atribuída a Bernouille);
• supõem-se vigas prismáticas, ou seja, barra de eixo reto e de mesma seção transversal;
• admite-se que o material obedeça à lei de Hooke e que os módulos de elasticidade à tração e à compressão sejam iguais. Figura 8.2
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
86
Para o estudo da distribuição das tensões normais decorrentes da flexão pura
devem-se considerar as deformações que ocorrerão na viga no mesmo plano onde atua o
carregamento.
8.2 Tensões normais na flexão
A ação do Momento Fletor faz com que o eixo da viga se curve, permanecendo as
seções transversais mm e pq planas e normais ao eixo longitudinal.
A simetria do carregamento exige que todos os elementos da viga se deformem
identicamente, o que só será possível se as seções transversais permanecerem planas.
As fibras inferiores serão alongadas, ficando sujeitas a esforços de tração e as fibras
superiores serão encurtadas, ficando sujeitas a esforços de compressão. Essas deformações
originam internamente na viga tensões de tração e de compressão.
Há uma superfície na qual as fibras longitudinais não sofrem variação de
comprimento, chamada superfície neutra da viga. Nesta superfície não atuam tensões.
y
M
n
m
r
M
q
y
dx
p
x
Linha Neutra
θ°d
Figura 8.3
O ponto 0 é o centro da
curvatura do eixo longitudinal. O raio
de curvatura é indicado por r. Da
geometria vem:
dxd
rθ
=1
Acima do eixo neutro, também
chamado de Linha Neutra, as
deformações são de compressão e as
abaixo, de tração.
Por hipótese, as deformações são suficientemente pequenas de tal modo que em um
ponto qualquer pertencente ao eixo neutro, um ângulo inicialmente reto antes da
deformação (formado por uma fibra longitudinal e a seção transversal) continua sendo reto
depois da deformação.
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
87
LN
y
ys
o
r
ds
x
Figura 8.4
Semelhança de triângulos
rs
yds
= → ry
sds
=
Sabe-se, contudo, que a deformação específica é
definida como:
sds
x =ε , logo ry
x =ε
Esta equação mostra que as deformações
longitudinais (εx) são diretamente proporcionais à
curvatura e à distância y da Linha Neutra.
Deve-se notar que esta equação foi deduzida apenas por considerações geométricas,
independentes das propriedades do material, sendo válida para qualquer tipo material da
viga.
Quando a viga é de material elástico linear, com diagrama tensão – deformação
linear (material que obedece à Lei de Hooke), tem-se, εσ E= . Portanto, as tensões
normais na viga são:
ryEx =σ (1)
Observa-se que a tensão σx é proporcional à distância da Linha Neutra (hipótese de Navier). As tensões variam linearmente com a distância y do eixo neutro, como é mostrado na Figura abaixo.
A
A
L.N.
σc ycorte A-A
σ t
iy
yshx 0
bM
dA
z
y
Figura 8.5
Seja dA uma área elementar na seção transversal e distante y do eixo neutro. A
força elementar que atua sobre esta área é dAxσ . Como não há força normal atuando na
seção, a integral de dAxσ sobre a área total da seção transversal deve anular-se, o que dá:
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
88
∫∫ == 0dAryEdAxσ (2)
Como a curvatura e o módulo de elasticidade (E) são constantes,vem:
∫∫ == 0ydArEdAxσ logo 0=∫ ydA
para vigas sob flexão pura.
Do estudo das características geométricas de figuras planas sabe-se que a parcela
∫ ydA é definida como Momento Estático utilizado para o cálculo do Centro de Gravidade
de figuras. Se o Momento Estático 0== ∫ ydAM S , como se vê nas expressões acima,
significa que o eixo neutro passa pelo Centro de Gravidade da seção transversal. Os eixos y
e z também tem origem no CG da seção transversal.
O momento da força elementar dAxσ em relação ao eixo neutro é ydAxσ . A
integral de todos esses momentos elementares sobre a área da seção transversal deve ser
igual ao momento fletor M, ou seja:
∫∫ == dAyrEydAM x
2σ (3)
mas ∫= dAyI 2 é o momento de inércia da área da seção transversal, em relação ao eixo z,
que é o eixo neutro, ou Linha Neutra. Assim, equação acima pode tomar a seguinte forma:
EIr
M 1= →
EIM
r=
1 (4)
conclui-se, então, que a curvatura do eixo longitudinal da viga é diretamente proporcional
ao momento fletor M e inversamente proporcional à quantidade EI, conhecida como
rigidez ou módulo de rigidez à flexão da viga.
Combinando as expressões (1) e (4), obtém-se a equação das tensões normais da
viga.
yI
Mx =σ (5)
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
89
Nesta equação, M é positivo quando produz compressão na viga e y é positivo
quando o sentido é para baixo.
As tensões máximas de tração e de compressão ocorrerão nos pontos mais afastados
do eixo neutro. Designando os afastamentos das fibras extremas por yinf e ysup,
respectivamente, tem-se:
inf, yI
Mmáxx =σ sup, y
IM
mínx −=σ (6)
Dimensionamento
Do estudo das características geométricas de seções planas, define-se Módulo
Resistente (W) por
yIW = (7)
Combinando as equações (5) e (7), chega-se à :
WM
x =σ (8)
Se for utilizado o método das tensões admissíveis, ou seja, admx σσ ≤ é possível
dimensionar barras submetidas à flexão:
WM
adm =σ (9)
Quando a viga tiver seção retangular, com largura b e altura h, o Momento de
Inércia e o Módulo Resistente, são, respectivamente 12
3bhI = e 6
2bhW =
Para seção circular de diâmetro d, tem-se: 64
4dI π= e
32
3dW π=
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
90
Exemplos
1. O momento fletor da viga da figura é
M=24 kN.m. Sabendo-se que a tensão
admissível do material utilizado na viga é 25 cmkNadm =σ e que se trata de um
perfil retangular com cmb 5= (largura),
determinar a altura )(h do perfil.
b
y h / 2h / 2
h / 2h / 2h
Retângulo
W= Momento Resistente I= Momento de Inércia
yIW = onde 2
hy =
Para retângulos tem-se:
Momento de Inércia 12
3hbI ⋅=
Módulo Resistente [ ]323
3
6122
2
12 Lhbhhb
y
hb
W ⋅=
⋅⋅
=
⋅
=
Sendo a tensão definida WM
=σ
O Módulo Resistente pode também ser expresso por σMW =
Ou seja, σσ bMhMhb 6
62
2
=⇒=⋅
Logo, determina-se a altura h da viga
cmhcmcmkNcmcmkN
bMh 2424
)/(5)(5).(2400662 ==
××
==σ
P=20 kN
24
RA=8 kN
08
20
A
+_
S1 S2C
3m 2m
5m
-12
V (kN)
M (kN.m)
RB=12 kN
B
HB
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
91
b = 5 cm2'
h = 25,4 cm10'
2. O momento fletor da viga da
figura é M=31,25 kN.m.
Sabendo-se que a tensão
admissível do material utilizado
na viga é 285 cmkN,adm =σ e
que se trata de um perfil
retangular com cmb 5=
(largura), determinar a altura )(h
do perfil.
Momento resistente do retângulo: 6
2hbW ⋅=
σσ MW
WM
=⇒=
σσσ ⋅⋅
=⇒⋅⋅
=⇒=⋅
bMh
bMhMhb 66
62
2
cm,)cm/kN(,)cm(
)cm.kN(h 425855
312562 =
××
=
Notar: cmkNmkN ⋅=⋅ 312525,31
Em polegadas: (2”x10”)
1” = 2,54 cm
10 x 5 = 50 kNcarga equivalente
31,25
L / 2L / 2L / 2L / 2
++
RA = 25 kN
2525
2,5 m2,5 m2,5 m2,5 m
++
L = 5 m
2,5 m
L / 2A
----
M (kN . m)M (kN . m)
S
V (kN)V (kN)
25252525
RB = 25 kNRB = 25 kN
HB = 0
q = 10 kN / mB
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
92
8.3 Tensões de cisalhamento na flexão
Considere-se um elemento de viga como ilustrado na Figura abaixo, de
comprimento infinitesimal dx , submetido a um carregamento genérico p, sem esforço
normal.
x dx
M x
VM
V
dx
V+ d
V
p
M M+ d
p
Figura 8.6 Barra submetida a cargas transversais p
O equilíbrio desse elemento de viga é dado por:
Vdx
dM= p
dxdV
−= ou seja, pdx
Md−=2
2
Devido aos efeitos da flexão, esse elemento de viga é solicitado por tensões
normais, paralelas ao eixo x.
Essas tensões normais que atuam nas faces do elemento hachurado abcd, de
comprimento dx, variam linearmente a partir da linha neutra e, em qualquer ponto, a uma
distância y da linha neutra são definidas nas faces ab e cd, respectivamente, como
(TIMOSHENKO, 1989):
yI
M⋅=σ e y
IdMMd ⋅
+=+ σσ
onde I é o momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra.
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
93
τdayo
b
h
dx
z
M
yσ cb
τ
Mx
+ dM
yo bdx
σ σd+ F FF d+
Figura 8.7 Tensões normais em um elemento de viga de comprimento dx
As resultantes dessas tensões normais são dadas por:
ydAI
MFh
yo
∫=2/
(a)
e
ydAIdMMdFF
h
yo
∫+
=+2/
(b)
Se for feito um corte longitudinal nesse elemento de viga, o equilíbrio interno na
direção do eixo x indica que deve haver uma tensão tangencial τ.
Admitindo-se que a largura b seja suficientemente pequena para se considerar
constante a tensão de cisalhamento ao longo da largura, a força de cisalhamento horizontal
que atua na face inferior do elemento é dada por:
dxb ⋅⋅τ (c)
As forças representadas pelas expressões (a), (b) e (c), devem estar em equilíbrio.
Assim, o equilíbrio do elemento hachurado abcd da Figura acima fornece a equação:
dFFbdxF +=+τ
ou seja:
ydAI
MydAIdMMbdx
h
y
h
y oo
∫∫ −+
=2/2/
τ
donde:
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
94
∫⋅⋅
=2/1 h
yo
ydAdx
dMbI
τ
mas Vdx
dM= e
MsydAh
yo
=∫2/
é o momento estático da parte da hachurada seção transversal em
relação ao eixo z.
Logo, a tensão de cisalhamento fica definida por:
IbMsV⋅⋅
=τ
A tensão de cisalhamento varia em função de yo. No caso das seções retangulares, tem-se:
−= 2
2
42 oyhI
Vτ
A expressão acima indica que a tensão de cisalhamento varia parabolicamente com
yo.
Como regra geral, a máxima tensão de cisalhamento τ ocorre no centro de
gravidade da seção transversal.
CGh Lz
t
t
σ
F
b
y
cσ
cFτ
N
τo
Figura 8.8 Tensão máxima de cisalhamento τo (LANGENDONCK, 1956)
Sabendo-se que o braço de alavanca dos esforços internos (z) pode ser expresso por
( oMsIz /= ) tem-se, para yo = 0, a expressão da tensão máxima de cisalhamento:
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
95
zbV
o ⋅=τ
As tensões de cisalhamento são sempre tangentes ao contorno da seção transversal.
Na Figura abaixo estão ilustradas as direções e sentidos das tensões de
cisalhamento em algumas seções transversais.
b=bw
V
b
V
b
CG CG
V
CG
y y
b=bf
y
b
V
CG
b
T
y
Figura 8.9 Direção e sentido das tensões de cisalhamento (FUSCO, 1981)
Tensão de cisalhamento para peças de seção retangular
A tensão de cisalhamento máxima ocorre
no Centro de Gravidade da seção.
IbMsV⋅⋅
=τ
h/2
diagrama detensões tangenciais
h/2
b
h/4z maxτ
CG
Momento Estático:
842
2bhhhbyAMs CG =⋅
=⋅= Momento de Inércia
12
3bhI =
Substituindo o Momento Estático e o Momento de Inércia na expressão da tensão de
cisalhamento, tem-se:
bhV
bhb
bhV⋅=
⋅
⋅=τ
23
12
83
2
→ TotalAV,51=τ
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
96
Tensão de cisalhamento para peças de seção circular
A tensão de cisalhamento máxima
ocorre no Centro de Gravidade da
seção. Ib
MsV⋅⋅
=τ
Momento Estático:
r
diagrama detensões tangenciais
CG4rπ3
d
z maxτ
12234
4
32 dddyAMs CG =
π⋅
π=⋅=
Momento de Inércia 64
4dI π=
Substituindo o Momento Estático e o Momento de Inércia na expressão da tensão de
cisalhamento, tem-se:
164
12
64
1224
3
⋅π
=π⋅
⋅=τ
d
V
dd
dV →
TotalAV
34
=τ
Exemplo
1. O diagrama de esforços cortantes de uma determinada viga de seção retangular, com
altura de 60 cm registra Vmax=80kN. Sabendo-se que a tensão admissível de cisalhamento
do material é τadm=1,0 kN/cm2 , determinar a largura (b) da viga.
Totalmax A
V,51=τ
Sendo τadm=1,0 kN/cm2 , no limite τadm = τmax logo,
b,××
=60
80511 → cmb 2=
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
97
9 DEFORMAÇÕES NAS VIGAS
As cargas transversais que atuam nas vigas causam deformações, curvando seu eixo
longitudinal. Quando se projeta uma viga é freqüentemente necessário calcular as
deformações que ocorrerão em vários pontos ao longo do eixo. Por exemplo, nas vigas
estaticamente indeterminadas, o cálculo das deformações é essencial para sua resolução.
Denomina-se flecha, ou deslocamento vertical da viga (v), o deslocamento
perpendicular a seu eixo, provocado pela aplicação de uma carga. A curva na qual se
transforma o eixo da viga, inicialmente reto, recebe o nome de linha elástica.
As especificações para o cálculo ou dimensionamento das vigas, impõem,
freqüentemente, limites para as flechas, tal como ocorre com as tensões.
y
v
P
linhaelástica
x
Figura 9.1 Linha elástica de uma viga simplesmente apoiada
Para dedução da equação da linha elástica, considere-se um trecho da viga, como
ilustrado, com o eixo y no sentido indicado.
yθ
tangente
dx
θ
dx
=~θ θtg
x
dy=dv
Figura 9.2
Seja dx um elemento infinitesimal do comprimento da viga. Se no início deste
comprimento dx forem traçadas uma tangente à curva resultante da deformação da viga e
uma reta paralela ao eixo x, o ângulo θ então formado entre a tangente e a reta, é
denominado deformação angular da viga.
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
98
Considerando-se a hipótese de pequenos deslocamentos, pode-se afirmar que
θθ ≅tg . Portanto, dxdvtg == θθ .
Derivando-se o ângulo θ em relação a x, tem-se:
2
2
dxvd
dxd
=θ (1)
Da geometria, define-se curvatura como:
dxd
rθ
=1 (2)
Sabe-se também, da teoria de flexão, que a curvatura é diretamente proporcional ao
momento fletor e inversamente proporcional ao produto de rigidez EI, ou seja,
EIM
r−=
1 (3)
Relacionando as expressões (1) e (2), chega-se a:
2
21dx
vdr= (4)
Relacionando agora as expressões (3) e (4), tem-se:
EIM
dxvd
−=2
2
(4)
Rearranjando a expressão (4) chega-se finalmente à equação da linha elástica:
Mdx
vdEI −=2
2
(5)
onde
x e v são as coordenadas da linha elástica
E é o módulo de Elasticidade do material
I é o momento de inércia da seção transversal da viga
A equação acima permite obter a linha elástica das vigas retas para qualquer tipo de
carregamento.
A equação acima foi deduzida a partir das seguintes hipóteses:
1. barra prismática (barra de eixo reto e de seção transversal constante);
2. validade da Lei da Hooke σ=Eε - material elástico linear;
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
99
3. as seções permanecem planas após a deformação;
4. deslocamentos pequenos, ou seja: θθ ≅tg .
As convenções de sinais a serem consideradas na equação acima são: os eixos x e y
são positivos nos sentidos indicados, o deslocamento v é positivo quando estiver no sentido
do eixo y; o momento fletor M é positivo quando produz compressão na parte superior e
tração na parte inferior da viga.
Exemplo: determinar o deslocamento vertical máximo de uma viga simplesmente apoiada,
submetida a uma carga concentrada no meio do vão.
P / 2P / 2
A B
L / 2 L / 2
Px
S
Equação do momento fletor na seção S → xPM x ⋅=2
Ao se integrar a equação EIM
dxvd
dxd
−== 2
2θ determina-se a rotação da viga:
∫ −= dxEIMθ
Como o módulo de elasticidade do material (E) e o momento de inércia (I) são constantes,
podem ser retirados da integral. Logo,
∫ −= xdxPEI2
θ → 1
2
22CxPEI +⋅−=θ
A constante C1 é determinada pelas condições de contorno da viga. A tangente da
curva para x=L / 2 é nula. Logo,
1
2
240 CLP
+
⋅−=
16
2
1PLC =
Assim, tem-se a equação da rotação da viga:
164
22 PLPxEI +−=θ
Ao se integrar a equação da rotação, chega-se à equação do deslocamento vertical da viga.
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
100
∫ ⋅= dxEIv θ → dxPLPxEIv ⋅
+−= ∫ 164
22
2
23
1612CxPLPxEIv ++−=
A constante C2 é determinada também pelas condições de contorno. Para x =0, o
deslocamento vertical da viga é nulo. Portanto, impondo x=0 na equação acima, chega-se à
conclusão de que C2 =0.
Também, das condições de contorno, sabe-se que o deslocamento vertical máximo
da viga em estudo ocorrerá para x=L / 2. Assim,
3296
33 PLPLEIv +−= 48
3PLEIv =
Portanto, o deslocamento vertical máximo da viga é expresso por: EI
PLv48
3
max =
Exemplo:
Calcular o deslocamento vertical
máximo da viga da figura. Dado:
Eaço=21000 kN/cm2.
12
3bhI = 43
2250012
3010 cmI =×
=
EIPLv
48
3
max = cmv 19,0225002100048
60020 3
max =××
×=
Se a seção transversal da viga fosse b=30cm e h=10cm, o deslocamento vertical seria:
12
3bhI = 43
250012
1030 cmI =×
=
EIPLv
48
3
max = cmv 71,125002100048
60020 3
max =××
×=
Note-se que esta mudança de posição da seção transversal da viga aumentou o 9 vezes deslocamento vertical.
300cm 300cm
A B
P=20kN
b=10cm
h=30cm
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar
101
Apresenta-se a seguir equações de deslocamento máximos.
P
Lvmax
EI
PLv3
3
max =
vmaxL
q (kN/m)
EI
qLv8
4
max =
P
L/2 L/2
vmax
EI
PLv48
3
max =
q (kN/m)
L
vmax
EI
qLv3845 4
max =
P
vmax
a
x
b
a>b
EIbLPbv
39)( 2
322
max−
= 3
22 bLx −=
Mx
L EI
MLv39
2
max = 3
Lx =
L
M
vmax
EI
MLv2
2
max =
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