Nivelamento 2010
TrigonometriaProf. Marllus Gustavo
Twitter: Marllus_Neves
Nivelamento 2010
Tpicos abordados
Introduo
Trigonometria do tringulo retngulo
Elementos gerais
Trigonometria no crculo
Relaes entre as funes trigonomtricas de um
mesmo arco
Reduo ao primeiro quadrante
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Introduo
Trigonometria tri (trs), gonos (ngulos) e metron
(medir)
Medida dos Tringulos ou das medidas dos elementos
do tringulo (lados e ngulos)
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Trigonometria do tringulo
retngulo
Propriedades de um tringulo retngulo
1 ngulo reto (A) e 2 agudos
complementares (B e C)
Lados:
1 hipotenusa (a) e 2 catetos (b e c)
3 alturas 2 delas os catetos e outra
obtida tomando como base a
hipotenusa (AD)
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Trigonometria do tringulo
retngulo
a hipotenusa
b cateto oposto a B e
adjacente a C
c cateto oposto a C e
adjacente a B
Cathets perpendicular
Hypoteinusa Hyp (por baixo) + teino (eu estendo)
Lados de um tringulo retngulo
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funes trigonomtricas bsicas
Trigonometria do tringulo
retngulo
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funes trigonomtricas bsicas
Trigonometria do tringulo
retngulo
sen A =?
sen B =?
sen C =?
cos A =?
cos B =?
cos C =?
tg A =?
tg B =?
tg C =?
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Exerccio 1: calcule x indicado na figura
tg30o = x / (100 + a) e tg60o = x / a x = a.tg60o
tg30o = a.tg60o / (100 + a) (100 + a)tg30o = a.tg60o
100.tg30o + a.tg30o = a.tg60o 100.tg30o = a.(tg60o-tg30o)
a = 100.tg30o / (tg60o- tg30o) = 100. - a = 100.
/3 a = 50m x = a.tg60o
EXERCCIO
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Circunferncia e crculo orientados
Elementos gerais
Escolhemos um sentido de
percurso de um mvel
Sentido positivo anti-horrio
Crculo orientado crculo cuja
circunferncia orientada
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Generalizao do conceito de arco e de ngulo
Elementos gerais
1) os arcos passam a ser orientados
2) passamos a considerar arcos maiores que 360
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Elementos gerais
Existe uma infinidade de arcos de origem A e
extremidade B
Existem vrias determinaes de um mesmo
arco orientado AB
As vrias determinaes de um mesmo arco orientado AB so
arcos cngruos arcos de mesma origem e mesma
extremidade
Generalizao do conceito de arco
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Exerccio 2: Verifique se os arcos de medidas 7 /3 e 19 /3 so
arcos cngruos.
Como a diferena entre as medidas de dois arcos dados :
d = 19 /3 - 7 /3 = 4 , que um mltiplo de 2 , ento os arcos
so cngruos.
EXERCCIO
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Medida de um arco
Elementos gerais
Feita por comparao com um outro arco da mesma
circunferncia tomado como a unidade de arco. Se u for um
arco de comprimento unitrio (igual a 1), a medida do arco AB,
o nmero de vezes que o arco u cabe no arco AB.
a mesma em qualquer um dos
sentidos. A medida algbrica de
um arco AB a medida deste
arco, associado a um sinal
positivo ou negativo
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Unidades de medida de arcos
Grau 1/360 do arco completo da circunferncia
Grado (no muito comum) 1/400 do arco completo
Elementos gerais
Radiano (SI) medida de um arco que tem o mesmo
comprimento que o raio da circunferncia que o contm
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Exerccio 3: calcule a primeira determinao positiva do
conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco A de
medida algbrica A = - 2000
EXERCCIO
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Exerccio 4: determinar a medida em radianos de um arco de
comprimento igual a 12 cm, em uma circunferncia de raio
medindo 8 cm
rad 1,58
12
raio do comprim.
arco do comprim.m
Seja m a medida do arco
EXERCCIO
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Elementos gerais
Para toda circunferncia, a razo entre o permetro e o
dimetro constante. Esta constante denotada pela letra
grega . Uma aproximao para o nmero dada por:
= 3,1415926535897932384626433832795...
Unidades de medida de arcos
D
PDP r2P
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Exerccio 5: se o permetro de uma circunferncia, que equivale
a uma volta completa, vale 2 r, quantos radianos temos nessa
volta completa?
Pela definio de radianos m(1volta) = 2 r/r = 2
EXERCCIO
Exerccio 6: estabelea uma expresso para o clculo do
ngulo em radianos de um arco, em funo do comprimento do
mesmo arcongulo central
em radianos
Comprimento
do arco AB
2 ----------------2 r
-------------------s
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Exerccio 7: determine os valores de e l indicados na figura
= radl = 15 cm
= s/R = 5/10 = 1/2 rad
= s/R s = l = .R
l = 1/2.30 = 15 cm
EXERCCIO
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Exerccio 8: estabelea uma expresso para mudana de
unidades: graus radianos
2 rad -------------- 360
R rad -------------- Go
ngulo central
em radianos
ngulo central
em graus
o180
GR
EXERCCIO
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Expresso geral da medida algbrica de um arco
Elementos gerais
Se a radianos a medida algbrica do arco percorrido por um
mvel de A at M quando o mvel atinge M pela primeira vez
a a menor determinao do arco AM
O mvel continua a percorrer a mesma
circunferncia no mesmo sentido toda vez que
atinge M, a medida algbrica dada por
2 + a, 2 x 2 + a, ..., 2n + an inteiro no negativo
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Exerccio 9: mostre que, se o mvel se desloca no sentido
negativo A M, aps n voltas ele percorreu o arco -2(n+1) + a.
Observe na figura que a menor determinao ocorre quando ele
percorre b. Preste ateno no sinal.
b = 2 a
de A para B - b = -(2 a) = -2 + a
mais 1 volta - b - 2 -2 + a - 2 -4 + a = -2.2 + a
mais 1 volta (2 voltas) -2.2 + a - 2 -6 + a - 3.2 + a
...
n voltas - (n+1).2 + a
EXERCCIO
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Exerccio 10: podemos resumir o que achamos anteriormente
em uma expresso geral?
As expresses anteriores podem ser resumidas
em uma expresso
2k + a, onde k um nmero inteiro relativo
a menor determinao positiva
2 arcos cngruos diferem de um nmero inteiro, positivo ou
negativo, de circunferncia
EXERCCIO
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Exerccio 11: marcar no crculo trigonomtrico as extremidades
dos arcos de medidas x=2k /3, onde k um nmero inteiro.
EXERCCIO
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Trigonometria no crculo
Crculo trigonomtrico
Crculo orientado de raio igual unidade de comprimento
x
ys
t
A
B
C
D
Origem dos
complementos
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Trigonometria no crculo
Funes circulares: seno
eixo dos senosx ngulo
AM arco correspondente a x
senx
Variao da funo f(x) = senx
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Funes circulares: seno
Trigonometria no crculo
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Observando o grfico, conclumos que:
o domnio de senx o conjunto dos nmeros reais;
a imagem o intervalo [-1;+1];a partir de 2 a funo seno repete seus valores.
Trigonometria no crculo
Funes circulares: seno
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Funes circulares: cosseno
Trigonometria no crculo
x ngulo
AM arco correspondente a x
cosx
eixo dos cossenos
Variao da funo f(x) = cosx
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Trigonometria no crculo
Funes circulares: cosseno
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Trigonometria no crculo
Funes circulares: cosseno
Observando o grfico, conclumos que:
o domnio de cosx o conjunto dos nmeros reais;
a imagem o intervalo [-1;+1];a partir de 2 a funo co-seno repete seus valores.
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Trigonometria no crculo
Funes circulares: tangente
eixo das tangentes
x ngulo
AM arco correspondente a x
AT tgx
Variao da funo f(x) = tgx
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Trigonometria no crculo
Funes circulares: tangente
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Trigonometria no crculo
Funes circulares: tangente
Observando o grfico, conclumos que:
o domnio de tgx ;
a imagem o intervalo ] - -
Zk com k2
xRxD
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Funes circulares diretas: cotangente
Trigonometria no crculo
eixo das cotangentes
x ngulo
AM arco correspondente a x
BC cotgx