8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
Á l g e b r a L i n e a r
E s p a ç o s V e t o r i a i s : E s p a ç o s V e t o r i a i s F i n i t a m e n t e G e r a d o s
P r o f . E s p . : T h i a g o V e d o V a t t o
U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e G o i á s
C a m p u s J a t a í
C o o r d e n a ç ã o d e M a t e m á t i c a
1 6 d e o u t u b r o d e 2 0 1 1
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
O b j e t i v o s d a A u l a
P r o p r i e d a d e s d a D e p e n d ê n c i a L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
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3
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4
P r o p r i e d a d e P
5
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6
P r o p r i e d a d e P
7
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Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
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5
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6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
O b j e t i v o s d a A u l a
P r o p r i e d a d e s d a D e p e n d ê n c i a L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
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P r o p r i e d a d e P
5
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6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
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V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
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B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
O b j e t i v o s d a A u l a
P r o p r i e d a d e s d a D e p e n d ê n c i a L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
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P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e D i m e n s ã o
T e o r e m a d a I n v a r i â n c i a
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V e d o V a t t o
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L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
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7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
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1
( r e c a p i t u l a n d o )
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L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
1
( r e c a p i t u l a n d o )
P r o p o s i ç ã o
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R. S e u m c o n j u n t o
n i t o L ⊂
V c o n t é m o v e t o r n u l o , e n t ã o e s s e c o n j u n t o é L . D .
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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Á l g e b r a L i n e a r
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V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
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E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
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I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
2
( r e c a p i t u l a n d o )
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
2
( r e c a p i t u l a n d o )
P r o p o s i ç ã o
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R. S e
S = {
u } ⊂
V e u =
o , e n t ã o S é L . I .
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
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3
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4
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6
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7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
3
( r e c a p i t u l a n d o )
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
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4
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P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
3
( r e c a p i t u l a n d o )
P r o p o s i ç ã o
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e
R. S e
S = {
u
1
, . . . ,u
n
} ⊂V é L . D . , e n t ã o u m d o s s e u s v e t o r e s é
c o m b i n a ç ã o l i n e a r d o s o u t r o s .
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
4
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p o s i ç ã o
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
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7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p o s i ç ã o
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R
. S e S
1
e S
2
s ã o
s u b c o n j u n t o s n i t o s d e V , c o m S
1
⊂S
2
e S
1
é L . D .
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Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p o s i ç ã o
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R
. S e S
1
e S
2
s ã o
s u b c o n j u n t o s n i t o s d e V , c o m S
1
⊂S
2
e S
1
é L . D . , e n t ã o
S
2
t a m b é m é L . D .
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V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p o s i ç ã o
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R
. S e S
1
e S
2
s ã o
s u b c o n j u n t o s n i t o s d e V , c o m S
1
⊂S
2
e S
1
é L . D . , e n t ã o
S
2
t a m b é m é L . D .
D e m o n s t r a ç ã o .
S u p o n h a m o s S
1 = {u
1 , . . . , u
r } e S
2 = {u
1 , . . . , u
r , . . . , u
t }
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P r o f . E s p . :
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V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p o s i ç ã o
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R
. S e S
1
e S
2
s ã o
s u b c o n j u n t o s n i t o s d e V , c o m S
1
⊂S
2
e S
1
é L . D . , e n t ã o
S
2
t a m b é m é L . D .
D e m o n s t r a ç ã o .
S u p o n h a m o s S
1 = {u
1 , . . . , u
r } e S
2 = {u
1 , . . . , u
r , . . . , u
t }.
L o g o S
1
⊂ S
2
. P o r h i p ó t e s e , a p e n a s S
1
é L . D .
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
5
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 23/98
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p o s i ç ã o
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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Á l g e b r a L i n e a r
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p o s i ç ã o
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R. S e S
1
e S
2
s ã o
s u b c o n j u n t o s n i t o s d e V , c o m S
1
⊂S
2
e S
2
é L . I . , e n t ã o S
1
t a m b é m é L . I .
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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Á l g e b r a L i n e a r
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p o s i ç ã o
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R. S e S
1
e S
2
s ã o
s u b c o n j u n t o s n i t o s d e V , c o m S
1
⊂S
2
e S
2
é L . I . , e n t ã o S
1
t a m b é m é L . I .
D e m o n s t r a ç ã o .
P e l a P r o p r i e d a d e P
4
s e o c o n j u n t o S
1
f o s s e L . D . e n t ã o o
c o n j u n t o S
2
t a m b é m s e r i a L . D . , c o n t r a r i a n d o a s s i m a
h i p ó t e s e , l o g o S
1
s ó p o d e s e r L . I .
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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Á l g e b r a L i n e a r
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p o s i ç ã o
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R
Á l g e b r a L i n e a r
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p o s i ç ã o
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R
. S e
S = {u
1
, . . . ,u
n
}é L . I . , e p a r a u m c e r t o u
∈V t i v e r m o s
S ∪ {u } = {u
1
, . . . , u
n
, u } L . D . , e n t ã o o v e t o r u é
c o m b i n a ç ã o l i n e a r d o s v e t o r e s u
1
, . . . ,u
n
Á l g e b r a L i n e a r
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p o s i ç ã o
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R
. S e
S = {u
1
, . . . ,u
n
}é L . I . , e p a r a u m c e r t o u
∈V t i v e r m o s
S ∪ {u } = {u
1
, . . . , u
n
, u } L . D . , e n t ã o o v e t o r u é
c o m b i n a ç ã o l i n e a r d o s v e t o r e s u
1
, . . . ,u
n
, i s t o é , u ∈ [
S ]
.
Á l g e b r a L i n e a r
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p o s i ç ã o
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R
. S e
S = {u
1
, . . . ,u
n
}é L . I . , e p a r a u m c e r t o u
∈V t i v e r m o s
S ∪ {u } = {u
1
, . . . , u
n
, u } L . D . , e n t ã o o v e t o r u é
c o m b i n a ç ã o l i n e a r d o s v e t o r e s u
1
, . . . ,u
n
, i s t o é , u ∈ [
S ]
.
D e m o n s t r a ç ã o .
C o m o S ∪ {u } é L . D . e n t ã o
Á l g e b r a L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
6
P r o p o s i ç ã o
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R
. S e
S = {u
1
, . . . ,u
n
}é L . I . , e p a r a u m c e r t o u
∈V t i v e r m o s
S ∪ {u } = {u
1
, . . . , u
n
, u } L . D . , e n t ã o o v e t o r u é
c o m b i n a ç ã o l i n e a r d o s v e t o r e s u
1
, . . . ,u
n
, i s t o é , u ∈ [
S ]
.
D e m o n s t r a ç ã o .
C o m o S ∪ {u } é L . D . e n t ã o : α1
u
1
+ . . . + αn
u
n
+ αu = o ,
o n d e n e m t o d o s o s e s c a l a r e s s ã o n u l o s
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 36/98
Á l g e b r a L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
6
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 37/98
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p o s i ç ã o
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R
. S e
S = {u
1
, . . . ,u
n
}é L . I . , e p a r a u m c e r t o u
∈V t i v e r m o s
S ∪ {u } = {u
1
, . . . , u
n
, u } L . D . , e n t ã o o v e t o r u é
c o m b i n a ç ã o l i n e a r d o s v e t o r e s u
1
, . . . ,u
n
, i s t o é , u ∈ [
S ]
.
D e m o n s t r a ç ã o .
C o m o S ∪ {u } é L . D . e n t ã o : α1
u
1
+ . . . + αn
u
n
+ αu = o ,
o n d e n e m t o d o s o s e s c a l a r e s s ã o n u l o s . C o n s i d e r a n d o α
n ã o
n u l o . E n t ã o : α
1
u
1
+ . . . + αn
u
n
=o . C o m o S é L . I . , a
i g u a l d a d e s ó é p o s s í v e l s e
α1
= . . . = αn
=0 . L o g o s e
α =0 ,
e n t ã o α = α
1
= . . . = αn
=0 o q u e é i m p o s s í v e l
Á l g e b r a L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
6
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 38/98
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p o s i ç ã o
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R
. S e
S = {u
1
, . . . ,u
n
}é L . I . , e p a r a u m c e r t o u
∈V t i v e r m o s
S ∪ {u } = {u
1
, . . . , u
n
, u } L . D . , e n t ã o o v e t o r u é
c o m b i n a ç ã o l i n e a r d o s v e t o r e s u
1
, . . . ,u
n
, i s t o é , u ∈ [
S ]
.
D e m o n s t r a ç ã o .
C o m o S ∪ {u } é L . D . e n t ã o : α1
u
1
+ . . . + αn
u
n
+ αu = o ,
o n d e n e m t o d o s o s e s c a l a r e s s ã o n u l o s . C o n s i d e r a n d o α
n ã o
n u l o . E n t ã o : α
1
u
1
+ . . . + αn
u
n
=o . C o m o S é L . I . , a
i g u a l d a d e s ó é p o s s í v e l s e
α1
= . . . = αn
=0 . L o g o s e
α =0 ,
e n t ã o α = α
1
= . . . = αn
=0 o q u e é i m p o s s í v e l . S e n d o
α = 0 p o d e m o s m u l t i p l i c a r a i g u a l d a d e e m d e s t a q u e p o r α−1
o b t e n d o : (α−1 α
1
)u
1
+ . . . + (α−1 αn
)u
n
+u
=o o u a i n d a
u = ( − α−1 α1
)u
1
+ . . . + ( − α−1 αn
) u
n
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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Á l g e b r a L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
7
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p o s i ç ã o
S e S = {u
1
, . . . , u
j
, . . . , u
n
} e u
j
∈ [S − {u
j
}] ( u
j
é
c o m b i n a ç ã o l i n e a r d o s d e m a i s v e t o r e s d e S ) , e n t ã o
[S ] = [S − {u
j
}].
D e m o n s t r a ç ã o .
S u p o n h a m o s , s e m p e r d a d e g e n e r a l i d a d e , q u e j = 1
Á l g e b r a L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
7
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p o s i ç ã o
S e S = {u
1
, . . . , u
j
, . . . , u
n
} e u
j
∈ [S − {u
j
}] ( u
j
é
c o m b i n a ç ã o l i n e a r d o s d e m a i s v e t o r e s d e S ) , e n t ã o
[S ] = [S − {u
j
}].
D e m o n s t r a ç ã o .
S u p o n h a m o s , s e m p e r d a d e g e n e r a l i d a d e , q u e j = 1 .
C o m o S − {u
1
} ⊂ S , e n t ã o [S − {u
1
}] ⊂ [S ]
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Á l g e b r a L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
7
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p o s i ç ã o
S e S = {u
1
, . . . , u
j
, . . . , u
n
} e u
j
∈ [S − {u
j
}] ( u
j
é
c o m b i n a ç ã o l i n e a r d o s d e m a i s v e t o r e s d e S ) , e n t ã o
[S ] = [S − {u
j
}].
D e m o n s t r a ç ã o .
S u p o n h a m o s , s e m p e r d a d e g e n e r a l i d a d e , q u e j = 1 .
C o m o S − {u
1
} ⊂ S , e n t ã o [S − {u
1
}] ⊂ [S ].
S e u ∈ [S ] e n t ã o u = α
1
u
1
+ . . . + αn
u
n
, α
i
∈ R. C o m o
o v e t o r u
1
∈ [S − {u
1
}] e n t ã o u
1
= β2
u
2
+ . . . + βn
u
n
,
s u b s t i t u i n d o a s e g u n d a e q u a ç ã o n a p r i m e i r a :
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P r o f . E s p . :
P r o p r i e d a d e P
7
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T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
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E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
P r o p o s i ç ã o
S e S = {u
1
, . . . , u
j
, . . . , u
n
} e u
j
∈ [S − {u
j
}] ( u
j
é
c o m b i n a ç ã o l i n e a r d o s d e m a i s v e t o r e s d e S ) , e n t ã o
[S ] = [S − {u
j
}].
D e m o n s t r a ç ã o .
S u p o n h a m o s , s e m p e r d a d e g e n e r a l i d a d e , q u e j = 1 .
C o m o S − {u
1
} ⊂ S , e n t ã o [S − {u
1
}] ⊂ [S ].
S e u ∈ [S ] e n t ã o u = α
1
u
1
+ . . . + αn
u
n
, α
i
∈ R. C o m o
o v e t o r u
1
∈ [S − {u
1
}] e n t ã o u
1
= β2
u
2
+ . . . + βn
u
n
,
s u b s t i t u i n d o a s e g u n d a e q u a ç ã o n a p r i m e i r a :
u = α1
(β2
u
2
+ . . . + βn
u
n
) + . . . + αn
u
n
. R e a g r u p a n d o :
u = (α
1
β2
+ α2
)u
2
+ . . . + (α1
βn
+ αn
)u
n
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P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
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B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
E x a m p l e ( A p l i c a ç ã o d a P r o p r i e d a d e P
7
)
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
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B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
E x a m p l e ( A p l i c a ç ã o d a P r o p r i e d a d e P
7
)
O b s e r v e n o R4
o s e g u i n t e s u b e s p a ç o
S = [( 1 , 1 , 0 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 2 ), ( 0 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 2 , −1 , 4 )]
Á l g e b r a L i n e a r
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V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
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B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
E x a m p l e ( A p l i c a ç ã o d a P r o p r i e d a d e P
7
)
O b s e r v e n o R4
o s e g u i n t e s u b e s p a ç o
S = [( 1 , 1 , 0 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 2 ), ( 0 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 2 , −1 , 4 )]. É f á c i l
p e r c e b e r a s e g u i n t e r e l a ç ã o
2 ( 0 , 1 , 0 , 2 ) − (0 , 0 , 1 , 0 ) = ( 0 , 2 , − 1 , 4 )
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V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
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P r o p r i e d a d e P
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B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
D e n i ç ã o ( B a s e d e u m E s p a ç o V e t o r i a l F i n i t . G e r a d o )
S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
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T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
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B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
D e n i ç ã o ( B a s e d e u m E s p a ç o V e t o r i a l F i n i t . G e r a d o )
S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o
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8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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E x a m p l e
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V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
{(1
,0
), (0
,1
)}é u m a b a s e d o
R2
;
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
E x a m p l e
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V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
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B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
{(1
,0
), (0
,1
)}é u m a b a s e d o
R2
;
{(1 , 0 , . . . , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , . . . , 0 ), . . . , ( 0 , . . . , 0 , 1 )} é u m a
b a s e d o Rn
;
Á l g e b r a L i n e a r
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T h i a g o
E x a m p l e
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V e d o V a t t o
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L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
{(1
,0
), (0
,1
)}é u m a b a s e d o
R2
;
{(1 , 0 , . . . , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , . . . , 0 ), . . . , ( 0 , . . . , 0 , 1 )} é u m a
b a s e d o Rn
;
{(1 , 0 , . . . , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , . . . , 0 ), . . . , ( 0 , . . . , 0 , 1 )} é u m a
b a s e d o Cn
, s e c o n s i d e r a r m o s c o m o e s p a ç o v e t o r i a l
s o b r e o s C
;
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{( ) ( )}
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V e d o V a t t o
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L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
{(1
,0
), (0
,1
)}é u m a b a s e d o
R2
;
{(1 , 0 , . . . , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , . . . , 0 ), . . . , ( 0 , . . . , 0 , 1 )} é u m a
b a s e d o Rn
;
{(1 , 0 , . . . , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , . . . , 0 ), . . . , ( 0 , . . . , 0 , 1 )} é u m a
b a s e d o Cn
, s e c o n s i d e r a r m o s c o m o e s p a ç o v e t o r i a l
s o b r e o s C
;
O c o n j u n t o d a s m · n m a t r i z e s r e a i s
1 0 . . . 0
0 0 . . .
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0
. . .0
,
0 1 . . . 0
0 0 . . .
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0
. . .0
, . . . ,
0 0 . . . 0
0 0 . . .
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0
. . .1
é u m a b a s e d o e s p a ç o M
m ×n
(R);
O s n + 1 p o l i n ô m i o s 1 , t , . . . , t
n
f o r m a m u m a b a s e d e
P
n
(R).
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http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 67/98
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 68/98
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 69/98
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p o s i ç ã o
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 70/98
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T o d o e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o a d m i t e u m a b a s e .
D e m o n s t r a ç ã o .
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V .
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p o s i ç ã o
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 71/98
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T o d o e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o a d m i t e u m a b a s e .
D e m o n s t r a ç ã o .
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V .
S e V = {o }, e n t ã o ∅ é u m a b a s e d e V ;
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 72/98
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p o s i ç ã o
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 73/98
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T o d o e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o a d m i t e u m a b a s e .
D e m o n s t r a ç ã o .
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V .
S e V = {o }, e n t ã o ∅ é u m a b a s e d e V ;
S e V
= {o
}, e n t ã o , e x i s t e u m s u b c o n j u n t o S
⊂V , d e
m a n e i r a q u e V
= [S
]
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p o s i ç ã o
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 74/98
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T o d o e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o a d m i t e u m a b a s e .
D e m o n s t r a ç ã o .
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V .
S e V = {o }, e n t ã o ∅ é u m a b a s e d e V ;
S e V
= {o
}, e n t ã o , e x i s t e u m s u b c o n j u n t o S
⊂V , d e
m a n e i r a q u e V
= [S
]. C o m o S
= {o
}, e n t ã o e x i s t e m
s u b c o n j u n t o s n ã o v a z i o s d e S q u e s ã o L . I .
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 75/98
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p o s i ç ã o
T o d o e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o a d m i t e u m a b a s e .
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
D e m o n s t r a ç ã o .
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V .
S e V = {o }, e n t ã o ∅ é u m a b a s e d e V ;
S e V
= {o
}, e n t ã o , e x i s t e u m s u b c o n j u n t o S
⊂V , d e
m a n e i r a q u e V
= [S
]. C o m o S
= {o
}, e n t ã o e x i s t e m
s u b c o n j u n t o s n ã o v a z i o s d e S q u e s ã o L . I . . T o m e m o s
u m c o n j u n t o B ⊂
S c o m m a i o r n ú m e r o p o s s í v e l d e
e l e m e n t o s . A r m a m o s q u e B é u m a b a s e d e V
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 78/98
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 79/98
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 80/98
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p o s i ç ã o
T o d o e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o a d m i t e u m a b a s e .
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 81/98
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
D e m o n s t r a ç ã o .
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V .
S e V = {o }, e n t ã o ∅ é u m a b a s e d e V ;
S e V
= {o
}, e n t ã o , e x i s t e u m s u b c o n j u n t o S
⊂V , d e
m a n e i r a q u e V
= [S
]. C o m o S
= {o
}, e n t ã o e x i s t e m
s u b c o n j u n t o s n ã o v a z i o s d e S q u e s ã o L . I . . T o m e m o s
u m c o n j u n t o B ⊂
S c o m m a i o r n ú m e r o p o s s í v e l d e
e l e m e n t o s . A r m a m o s q u e B é u m a b a s e d e V .
V e r i q u e m o s s e B s a t i s f a z a d e n i ç ã o d e B a s e .
S e
u
∈S
−B
, e n t ã o B
∪ {u
}é L . D . D e s t e m o d o
u é
c o m b i n a ç ã o l i n e a r d e B
, d e m o d o q u e : [ B ] = [ S ] = V
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p o s i ç ã o
T o d o e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o a d m i t e u m a b a s e .
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
D e m o n s t r a ç ã o .
C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V .
S e V = {o }, e n t ã o ∅ é u m a b a s e d e V ;
S e V
= {o
}, e n t ã o , e x i s t e u m s u b c o n j u n t o S
⊂V , d e
m a n e i r a q u e V
= [S
]. C o m o S
= {o
}, e n t ã o e x i s t e m
s u b c o n j u n t o s n ã o v a z i o s d e S q u e s ã o L . I . . T o m e m o s
u m c o n j u n t o B ⊂
S c o m m a i o r n ú m e r o p o s s í v e l d e
e l e m e n t o s . A r m a m o s q u e B é u m a b a s e d e V .
V e r i q u e m o s s e B s a t i s f a z a d e n i ç ã o d e B a s e .
S e
u
∈S
−B
, e n t ã o B
∪ {u
}é L . D . D e s t e m o d o
u é
c o m b i n a ç ã o l i n e a r d e B
, d e m o d o q u e : [ B ] = [ S ] = V
;
M a s
B é L . I . , p o r c o n s t r u ç ã o
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
D e n i ç ã o ( D e n i ç ã o d e D i m e n s ã o )
S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 86/98
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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T h i a g o
V e d o V a t t o
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
http://slidepdf.com/reader/full/aula-de-algebra-linear-11-de-outubro 88/98
P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
D e n i ç ã o ( D e n i ç ã o d e D i m e n s ã o )
S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o . D e n o m i n a - s e
d i m e n s ã o d e V ( n o t a ç ã o : d i m V ) o n ú m e r o d e v e t o r e s d e u m a
q u a i s q u e r d e s u a s b a s e s . D i z - s e t a m b é m , n e s t e c a s o , q u e V é
u m e s p a ç o d e d i m e n s ã o n i t a .
Á l g e b r a L i n e a r
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T h i a g o
V e d o V a t t o
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
E x a m p l e
D e a c o r d o c o m o s e x e m p l o s v i s t o s n o s s l i d e s a n t e r i o r e s
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V e d o V a t t o
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
E x a m p l e
D e a c o r d o c o m o s e x e m p l o s v i s t o s n o s s l i d e s a n t e r i o r e s
d i m
R2 =2 ;
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T h i a g o
V e d o V a t t o
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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P r o p r i e d a d e s d a
D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
E x a m p l e
D e a c o r d o c o m o s e x e m p l o s v i s t o s n o s s l i d e s a n t e r i o r e s
d i m
R2 =2 ;
d i m Rn = n ;
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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Á l g e b r a L i n e a r
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V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a
8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro
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D e p e n d ê n c i a
L i n e a r
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
P r o p r i e d a d e P
6
P r o p r i e d a d e P
7
B a s e d e u m
E s p a ç o V e t o r i a l
E x e m p l o s
P r o p o s i ç ã o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a ( T e o r e m a d a I n v a r i â n c i a )
S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o