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8/3/2019 Aula de lgebra Linear - 18 de Outubro
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l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
D i m e n s o d a
S o m a d e D o i s
S u b e s p a o s
E x e m p l o 1
C o o r d e n a d a s
E x e m p l o 2
M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
l g e b r a L i n e a r
B a s e e D i m e n s o
P r o f . E s p . : T h i a g o V e d o V a t t o
U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e G o i s
C a m p u s J a t a
C o o r d e n a o d e M a t e m t i c a
3 1 d e o u t u b r o d e 2 0 1 1
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T h i a g o
V e d o V a t t o
D i m e n s o d a
S o m a d e D o i s
S u b e s p a o s
E x e m p l o 1
C o o r d e n a d a s
E x e m p l o 2
M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
O b j e t i v o s d a A u l a
D i m e n s o d a S o m a d e D o i s S u b e s p a o s
E x e m p l o 1
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V e d o V a t t o
D i m e n s o d a
S o m a d e D o i s
S u b e s p a o s
E x e m p l o 1
C o o r d e n a d a s
E x e m p l o 2
M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
O b j e t i v o s d a A u l a
D i m e n s o d a S o m a d e D o i s S u b e s p a o s
E x e m p l o 1
C o o r d e n a d a s
E x e m p l o 2
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V e d o V a t t o
D i m e n s o d a
S o m a d e D o i s
S u b e s p a o s
E x e m p l o 1
C o o r d e n a d a s
E x e m p l o 2
M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
S e j a W u m e s p a o v e t o r i a l s o b r e R
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E x e m p l o 3
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P r o b l e m a 2
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S e j a W u m e s p a o v e t o r i a l s o b r e R. J v i m o s q u e s e U e V
s o s u b e s p a o s d e W , e n t o U V e U + V t a m b m s o s u b e s p a o s d e W
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S e j a W u m e s p a o v e t o r i a l s o b r e R. J v i m o s q u e s e U e V
s o s u b e s p a o s d e W , e n t o U V e U + V t a m b m s o s u b e s p a o s d e W . N o c a s o e m q u e a d i m e n s o d e W n i t a
a s d i m e n s e s d e U V e d e U + V e s t o r e l a c i o n a d a s c o n f o r m e v e r e m o s a s e g u i r .
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S e j a W u m e s p a o v e t o r i a l s o b r e R d e d i m e n s o n i t a . S e U
e V s o s u b e s p a o s d e W , e n t o :
d i m
(U
V
) +d i m
(U
+V
) =d i m U
+d i m V
D e m o n s t r a o .
E s t u d a r n a p g i n a 8 2 e 8 3 d e n o s s o l i v r o t e x t o .
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E x a m p l e
C o n s i d e r e m o s o s s e g u i n t e s u b e s p a o s d e R4
:
U = [( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )] e V = {( x , y , z , t )|x + y = 0 }
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C o n s i d e r e m o s o s s e g u i n t e s u b e s p a o s d e R4
:
U = [( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )] e V = {( x , y , z , t )|x + y = 0 }.D e t e r m i n e m o s d i m
(U
V
)e d i m
(U
+V
).
B = {( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )} b a s e d e U
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C o n s i d e r e m o s o s s e g u i n t e s u b e s p a o s d e R4
:
U = [( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )] e V = {( x , y , z , t )|x + y = 0 }.D e t e r m i n e m o s d i m
(U
V
)e d i m
(U
+V
).
B = {( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )} b a s e d e U
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C o n s i d e r e m o s o s s e g u i n t e s u b e s p a o s d e R4
:
U = [( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )] e V = {( x , y , z , t )|x + y = 0 }.D e t e r m i n e m o s d i m
(U
V
)e d i m
(U
+V
).
B = {( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )} b a s e d e U . L o g o d i m U
=2 .
O b s e r v e q u e :
u
V
u
= (x
,x
,z
,t
),o n d e x
,z
,t
R
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E x a m p l e
C o n s i d e r e m o s o s s e g u i n t e s u b e s p a o s d e R4
:
U = [( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )] e V = {( x , y , z , t )|x + y = 0 }.D e t e r m i n e m o s d i m
(U
V
)e d i m
(U
+V
).
B = {( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )} b a s e d e U . L o g o d i m U
=2 .
O b s e r v e q u e :
u
V
u
= (x
,x
,z
,t
),o n d e x
,z
,t
R
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C o n s i d e r e m o s o s s e g u i n t e s u b e s p a o s d e R4
:
U = [( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )] e V = {( x , y , z , t )|x + y = 0 }.D e t e r m i n e m o s d i m
(U
V
)e d i m
(U
+V
).
B = {( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )} b a s e d e U . L o g o d i m U
=2 .
O b s e r v e q u e :
u
V
u
= (x
,x
,z
,t
),o n d e x
,z
,t
R
x ( 1 ,1 , 0 , 0 ) + z ( 0 , 0 , 1 , 0 ) + t (0 , 0 , 0 , 1 )
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C o n s i d e r e m o s o s s e g u i n t e s u b e s p a o s d e R4
:
U = [( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )] e V = {( x , y , z , t )|x + y = 0 }.D e t e r m i n e m o s d i m
(U
V
)e d i m
(U
+V
).
B = {( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )} b a s e d e U . L o g o d i m U
=2 .
O b s e r v e q u e :
u
V
u
= (x
,x
,z
,t
),o n d e x
,z
,t
R
x ( 1 ,1 , 0 , 0 ) + z ( 0 , 0 , 1 , 0 ) + t (0 , 0 , 0 , 1 ).L o g o V
= [(1
,1 , 0 , 0 ), (0 , 0 , 1 , 0 ), (0 , 0 , 0 , 1 )]
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C o n s i d e r e m o s o s s e g u i n t e s u b e s p a o s d e R4
:
U = [( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )] e V = {( x , y , z , t )|x + y = 0 }.D e t e r m i n e m o s d i m
(U
V
)e d i m
(U
+V
).
B = {( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )} b a s e d e U . L o g o d i m U
=2 .
O b s e r v e q u e :
u
V
u
= (x
,x
,z
,t
),o n d e x
,z
,t
R
x ( 1 ,1 , 0 , 0 ) + z ( 0 , 0 , 1 , 0 ) + t (0 , 0 , 0 , 1 ).L o g o V
= [(1
,1 , 0 , 0 ), (0 , 0 , 1 , 0 ), (0 , 0 , 0 , 1 )]. A m a t r i z s i m b l i c a d e s s e c o n j u n t o g e r a d o r j e s t e s c a l o n a d a :
1 1 0 00 0 1 0
0 0 0 1
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C o n s i d e r e m o s o s s e g u i n t e s u b e s p a o s d e R4
:
U = [( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )] e V = {( x , y , z , t )|x + y = 0 }.D e t e r m i n e m o s d i m
(U
V
)e d i m
(U
+V
).
B = {( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )} b a s e d e U . L o g o d i m U
=2 .
O b s e r v e q u e :
u
V
u
= (x
,x
,z
,t
),o n d e x
,z
,t
R
x ( 1 ,1 , 0 , 0 ) + z ( 0 , 0 , 1 , 0 ) + t (0 , 0 , 0 , 1 ).L o g o V
= [(1
,1 , 0 , 0 ), (0 , 0 , 1 , 0 ), (0 , 0 , 0 , 1 )]. A m a t r i z s i m b l i c a d e s s e c o n j u n t o g e r a d o r j e s t e s c a l o n a d a :
1 1 0 00 0 1 0
0 0 0 1
L o g o p o d e m o s a r m a r c o m s e g u r a n a q u e
C= {( 1 ,1 , 0 , 0 ), ( 0 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 0 , 0 , 1 )} b a s e d e V
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C o n s i d e r e m o s o s s e g u i n t e s u b e s p a o s d e R4
:
U = [( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )] e V = {( x , y , z , t )|x + y = 0 }.D e t e r m i n e m o s d i m
(U
V)
e d i m (
U+
V)
.
B = {( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )} b a s e d e U . L o g o d i m U
=2 .
O b s e r v e q u e :
u
V
u
= (x
,x
,z
,t
),o n d e x
,z
,t
R
x ( 1 ,1 , 0 , 0 ) + z ( 0 , 0 , 1 , 0 ) + t (0 , 0 , 0 , 1 ).L o g o V
= [(1
,1 , 0 , 0 ), (0 , 0 , 1 , 0 ), (0 , 0 , 0 , 1 )]. A m a t r i z s i m b l i c a d e s s e c o n j u n t o g e r a d o r j e s t e s c a l o n a d a :
1 1 0 00 0 1 0
0 0 0 1
L o g o p o d e m o s a r m a r c o m s e g u r a n a q u e
C= {( 1 ,1 , 0 , 0 ), ( 0 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 0 , 0 , 1 )} b a s e d e V e
q u e d i m V = 3 .
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E x e m p l o 3
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P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
P o r o u t r o l a d o , d e c o r r e d a p r p r i a d e n i o d e s o m a d e
s u b e s p a o s q u e U + V = [B C ]
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P o r o u t r o l a d o , d e c o r r e d a p r p r i a d e n i o d e s o m a d e
s u b e s p a o s q u e U + V = [B C ]. A p a r t i r d i s t o p o d e m o s a c h a r u m a b a s e d e U
+V d o s e g u i n t e m o d o :
1 0 1 0
0 1 0 0
1 1 0 00 0 1 0
0 0 0 1
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P o r o u t r o l a d o , d e c o r r e d a p r p r i a d e n i o d e s o m a d e
s u b e s p a o s q u e U + V = [B C ]. A p a r t i r d i s t o p o d e m o s a c h a r u m a b a s e d e U
+V d o s e g u i n t e m o d o :
1 0 1 0
0 1 0 0
1 1 0 00 0 1 0
0 0 0 1
1 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
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s u b e s p a o s q u e U
+V
= [B
C
]. A p a r t i r d i s t o p o d e m o s
a c h a r u m a b a s e d e U+
V d o s e g u i n t e m o d o :
1 0 1 0
0 1 0 0
1 1 0 00 0 1 0
0 0 0 1
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0 0 0 1
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s u b e s p a o s q u e U
+V
= [B
C
]. A p a r t i r d i s t o p o d e m o s
a c h a r u m a b a s e d e U+
V d o s e g u i n t e m o d o :
1 0 1 0
0 1 0 0
1 1 0 00 0 1 0
0 0 0 1
1 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
L o g o d i m ( U + V ) = 4 e c o n s e q u e n t e m e n t e U + V = R4 .D i s t o s e g u e q u e d i m ( U V ) = 1
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D e n i o
U m a b a s e o r d e n a d a u m a b a s e n a q u a l x a m o s a o r d e m e m
q u e o s v e t o r e s d e v e m a p a r e c e r , o u s e j a , d e t e r m i n a m o s q u e m
o p r i m e i r o v e t o r , o s e g u n d o v e t o r , o t e r c e i r o v e t o r . . .
D e s t e m o d o a s b a s e s B = {( 1 , 1 ), ( 2 , 3 )} eC
= {(2 , 3 ), ( 1 , 1 )} d o R2 r e p r e s e n t a m b a s e s o r d e n a d a s d i f e r e n t e s .
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{ }
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b a s e o r d e n a d a B = {u1
, . . . , un
} d e V
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{ }
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b a s e o r d e n a d a B = {u1
, . . . , un
} d e V , e n t o t o d o v e t o r vd e s s e e s p a o c o m b i n a o l i n e a r d e B . O u s e j a , e x i s t e m
1
, . . . , n
R d e m o d o q u e
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S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l d e d i m e n s o n i t a . D a d a u m a
{ }
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b a s e o r d e n a d a B = {u1
, . . . , un
} d e V , e n t o t o d o v e t o r vd e s s e e s p a o c o m b i n a o l i n e a r d e B . O u s e j a , e x i s t e m
1
, . . . , n
R d e m o d o q u e :
v = 1
u
1
+ . . . + n
u
n
l g e b r a L i n e a r
S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l d e d i m e n s o n i t a . D a d a u m a
{ }
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b a s e o r d e n a d a B = {u1
, . . . , un
} d e V , e n t o t o d o v e t o r vd e s s e e s p a o c o m b i n a o l i n e a r d e B . O u s e j a , e x i s t e m
1
, . . . , n
R d e m o d o q u e :
v = 1
u
1
+ . . . + n
u
n
f c i l p r o v a r q u e o s e s c a l a r e s q u e g u r a m n e s s a i g u a l d a d e
s o u n i v o c a m e n t e d e t e r m i n a d o s
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S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l d e d i m e n s o n i t a . D a d a u m a
= { }
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b a s e o r d e n a d a B = {u1
, . . . , un
} d e V , e n t o t o d o v e t o r vd e s s e e s p a o c o m b i n a o l i n e a r d e B . O u s e j a , e x i s t e m
1
, . . . , n
R d e m o d o q u e :
v = 1
u
1
+ . . . + n
u
n
f c i l p r o v a r q u e o s e s c a l a r e s q u e g u r a m n e s s a i g u a l d a d e
s o u n i v o c a m e n t e d e t e r m i n a d o s . D e f a t o , s u p o n h a m o s
v = 1 u 1 + . . . + n u n = 1 u 1 + . . . + n u n
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S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l d e d i m e n s o n i t a . D a d a u m a
= { }
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b a s e o r d e n a d a B = {u1
, . . . , un
} d e V , e n t o t o d o v e t o r vd e s s e e s p a o c o m b i n a o l i n e a r d e B . O u s e j a , e x i s t e m
1
, . . . , n
R d e m o d o q u e :
v = 1
u
1
+ . . . + n
u
n
f c i l p r o v a r q u e o s e s c a l a r e s q u e g u r a m n e s s a i g u a l d a d e
s o u n i v o c a m e n t e d e t e r m i n a d o s . D e f a t o , s u p o n h a m o s
v = 1 u 1 + . . . + n u n = 1 u 1 + . . . + n u n
D e s t e m o d o
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S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l d e d i m e n s o n i t a . D a d a u m a
= { }
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P r o b l e m a 2
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b a s e o r d e n a d a B = {u1
, . . . , un
} d e V , e n t o t o d o v e t o r vd e s s e e s p a o c o m b i n a o l i n e a r d e B . O u s e j a , e x i s t e m
1
, . . . , n
R d e m o d o q u e :
v = 1
u
1
+ . . . + n
u
n
f c i l p r o v a r q u e o s e s c a l a r e s q u e g u r a m n e s s a i g u a l d a d e
s o u n i v o c a m e n t e d e t e r m i n a d o s . D e f a t o , s u p o n h a m o s
v
= 1u
1 + . . . + nu
n = 1u
1 + . . . + nu
n
D e s t e m o d o :
1
u
1
+ . . . + n
u
n
(1
u
1
+ . . . + n
u
n
) = o
l g e b r a L i n e a r
S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l d e d i m e n s o n i t a . D a d a u m a
= { }
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M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
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P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
b a s e o r d e n a d a B = {u1
, . . . , un
} d e V , e n t o t o d o v e t o r vd e s s e e s p a o c o m b i n a o l i n e a r d e B . O u s e j a , e x i s t e m
1
, . . . , n
R d e m o d o q u e :
v = 1
u
1
+ . . . + n
u
n
f c i l p r o v a r q u e o s e s c a l a r e s q u e g u r a m n e s s a i g u a l d a d e
s o u n i v o c a m e n t e d e t e r m i n a d o s . D e f a t o , s u p o n h a m o s
v
= 1u
1 + . . . + nu
n = 1u
1 + . . . + nu
n
D e s t e m o d o :
1
u
1
+ . . . + n
u
n
(1
u
1
+ . . . + n
u
n
) = o
(1
1
)u
1
+ . . . + (n
n
)u
n
=o
C o m o o c o n j u n t o B L . I . , e n t o
l g e b r a L i n e a r
S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l d e d i m e n s o n i t a . D a d a u m a
= { , . . . , }
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b a s e o r d e n a d a B {u1
, . . . , un
} d e V , e n t o t o d o v e t o r vd e s s e e s p a o c o m b i n a o l i n e a r d e B . O u s e j a , e x i s t e m
1
, . . . , n
R d e m o d o q u e :
v = 1
u
1
+ . . . + n
u
n
f c i l p r o v a r q u e o s e s c a l a r e s q u e g u r a m n e s s a i g u a l d a d e
s o u n i v o c a m e n t e d e t e r m i n a d o s . D e f a t o , s u p o n h a m o s
v
= 1u
1 + . . . + nu
n = 1u
1 + . . . + nu
n
D e s t e m o d o :
1
u
1
+ . . . + n
u
n
(1
u
1
+ . . . + n
u
n
) = o
(1
1
)u
1
+ . . . + (n
n
)u
n
=o
C o m o o c o n j u n t o B L . I . , e n t o :
1
1
= . . . = n
n
= 0
l g e b r a L i n e a r
S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l d e d i m e n s o n i t a . D a d a u m a
= { , . . . , }
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M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
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P r o b l e m a 3
b a s e o r d e n a d a B {u1
, . . . , un
} d e V , e n t o t o d o v e t o r vd e s s e e s p a o c o m b i n a o l i n e a r d e B . O u s e j a , e x i s t e m
1
, . . . , n
R d e m o d o q u e :
v = 1
u
1
+ . . . + n
u
n
f c i l p r o v a r q u e o s e s c a l a r e s q u e g u r a m n e s s a i g u a l d a d e
s o u n i v o c a m e n t e d e t e r m i n a d o s . D e f a t o , s u p o n h a m o s
v
= 1u
1 + . . . + nu
n = 1u
1 + . . . + nu
n
D e s t e m o d o :
1
u
1
+ . . . + n
u
n
(1
u
1
+ . . . + n
u
n
) = o
(1
1
)u
1
+ . . . + (n
n
)u
n
=o
C o m o o c o n j u n t o B L . I . , e n t o :
1
1
= . . . = n
n
= 0
L o g o : 1 = 1 , . . . , n = n .
l g e b r a L i n e a r
D e n i o ( C o o r d e n a d a s d e u m v e t o r )
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E x e m p l o 1
C o o r d e n a d a s
E x e m p l o 2
M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
O s e s c a l a r e s
1
, . . . , n
q u e g u r a m n a i g u a l d a d e
v = 1
u
1
+ . . . + n
u
n
, c o n f o r m e v i s t o s , s o c h a m a d o s
c o o r d e n a d a s d o v e t o r v e m r e l a o s b a s e o r d e n a d a B .
l g e b r a L i n e a r
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1
, . . . , n
q u e g u r a m n a i g u a l d a d e
v = 1
u
1
+ . . . + n
u
n
, c o n f o r m e v i s t o s , s o c h a m a d o s
c o o r d e n a d a s d o v e t o r v e m r e l a o s b a s e o r d e n a d a B .
A s c o o r d e n a d a s d e u m v e t o r d e p e n d e m d o c o n c e i t o d e
b a s e o r d e n a d a , p o i s e m u m a b a s e n o - o r d e n a d a n o
s e r i a p o s s v e l d e t e r m i n a r a s c o o r d e n a d a s d o s v e t o r e s
l g e b r a L i n e a r
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, . . . , n
q u e g u r a m n a i g u a l d a d e
v = 1
u
1
+ . . . + n
u
n
, c o n f o r m e v i s t o s , s o c h a m a d o s
c o o r d e n a d a s d o v e t o r v e m r e l a o s b a s e o r d e n a d a B .
A s c o o r d e n a d a s d e u m v e t o r d e p e n d e m d o c o n c e i t o d e
b a s e o r d e n a d a , p o i s e m u m a b a s e n o - o r d e n a d a n o
s e r i a p o s s v e l d e t e r m i n a r a s c o o r d e n a d a s d o s v e t o r e s
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, . . . , n
q u e g u r a m n a i g u a l d a d e
v = 1
u
1
+ . . . + n
u
n
, c o n f o r m e v i s t o s , s o c h a m a d o s
c o o r d e n a d a s d o v e t o r v e m r e l a o s b a s e o r d e n a d a B .
A s c o o r d e n a d a s d e u m v e t o r d e p e n d e m d o c o n c e i t o d e
b a s e o r d e n a d a , p o i s e m u m a b a s e n o - o r d e n a d a n o
s e r i a p o s s v e l d e t e r m i n a r a s c o o r d e n a d a s d o s v e t o r e s ;
c o n v e n i e n t e a s s o c i a r u m a m a t r i z s c o o r d e n a d a s d o
v e t o r v
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, . . . , n
q u e g u r a m n a i g u a l d a d e
v = 1
u
1
+ . . . + n
u
n
, c o n f o r m e v i s t o s , s o c h a m a d o s
c o o r d e n a d a s d o v e t o r v e m r e l a o s b a s e o r d e n a d a B .
A s c o o r d e n a d a s d e u m v e t o r d e p e n d e m d o c o n c e i t o d e
b a s e o r d e n a d a , p o i s e m u m a b a s e n o - o r d e n a d a n o
s e r i a p o s s v e l d e t e r m i n a r a s c o o r d e n a d a s d o s v e t o r e s ;
c o n v e n i e n t e a s s o c i a r u m a m a t r i z s c o o r d e n a d a s d o
v e t o r v
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1
, . . . , n
q u e g u r a m n a i g u a l d a d e
v = 1
u
1
+ . . . + n
u
n
, c o n f o r m e v i s t o s , s o c h a m a d o s
c o o r d e n a d a s d o v e t o r v e m r e l a o s b a s e o r d e n a d a B .
A s c o o r d e n a d a s d e u m v e t o r d e p e n d e m d o c o n c e i t o d e
b a s e o r d e n a d a , p o i s e m u m a b a s e n o - o r d e n a d a n o
s e r i a p o s s v e l d e t e r m i n a r a s c o o r d e n a d a s d o s v e t o r e s ;
c o n v e n i e n t e a s s o c i a r u m a m a t r i z s c o o r d e n a d a s d o
v e t o r v . A s s i m , s e v=
1
u
1
+ . . . + n
u
n
, e m r e l a o
b a s e o r d e n a d a B = {u1
, . . . , un
}, c o n s i d e r a - s e a m a t r i z n
1 a s e g u i r c o m o a m a t r i z d a s c o o r d e n a d a s d e v e m
r e l a o b a s e o r d e n a d a B
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1
, . . . , n
q u e g u r a m n a i g u a l d a d e
v = 1
u
1
+ . . . + n
u
n
, c o n f o r m e v i s t o s , s o c h a m a d o s
c o o r d e n a d a s d o v e t o r v e m r e l a o s b a s e o r d e n a d a B .
A s c o o r d e n a d a s d e u m v e t o r d e p e n d e m d o c o n c e i t o d e
b a s e o r d e n a d a , p o i s e m u m a b a s e n o - o r d e n a d a n o
s e r i a p o s s v e l d e t e r m i n a r a s c o o r d e n a d a s d o s v e t o r e s ;
c o n v e n i e n t e a s s o c i a r u m a m a t r i z s c o o r d e n a d a s d o
v e t o r v . A s s i m , s e v=
1
u
1
+ . . . + n
u
n
, e m r e l a o
b a s e o r d e n a d a B = {u1
, . . . , un
}, c o n s i d e r a - s e a m a t r i z n
1 a s e g u i r c o m o a m a t r i z d a s c o o r d e n a d a s d e v e m
r e l a o b a s e o r d e n a d a B .
1
.
.
.
n
B
o u
1
.
.
.
n
l g e b r a L i n e a r
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{ + + }
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f c i l v e r i c a r q u e B = {1 , 1 + t , 1 + t 2 } u m a b a s e o r d e n a d a d e P
2
(R)
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= { + + 2 }
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f c i l v e r i c a r q u e B = {1 , 1 + t , 1 + t } u m a b a s e o r d e n a d a d e P
2
(R) . A c h e m o s a s c o o r d e n a d a s d e f ( t ) = 2 + 4 t + t 2 e m r e l a o b a s e o r d e n a d a d e P
2
{R}
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= { + + 2 }
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f c i l v e r i c a r q u e B = {1 , 1 + t , 1 + t } u m a b a s e o r d e n a d a d e P
2
(R) . A c h e m o s a s c o o r d e n a d a s d e f ( t ) = 2 + 4 t + t 2 e m r e l a o b a s e o r d e n a d a d e P
2
{R}:
2+
4 t+
t
2 =x 1
+y
(1
+t
) +z
(1
+t
2 )
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
E x a m p l e
= { + + 2 }
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f c i l v e r i c a r q u e B = {1 , 1 + t , 1 + t } u m a b a s e o r d e n a d a d e P
2
(R) . A c h e m o s a s c o o r d e n a d a s d e f ( t ) = 2 + 4 t + t 2 e m r e l a o b a s e o r d e n a d a d e P
2
{R}:
2+
4 t+
t
2 =x 1
+y
(1
+t
) +z
(1
+t
2 )
2 + 4 t + t 2 = (x + y + z ) + y t + z t 2
l g e b r a L i n e a r
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E x a m p l e
= { + + 2 }
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f c i l v e r i c a r q u e B = {1 , 1 + t , 1 + t } u m a b a s e o r d e n a d a d e P
2
(R) . A c h e m o s a s c o o r d e n a d a s d e f ( t ) = 2 + 4 t + t 2 e m r e l a o b a s e o r d e n a d a d e P
2
{R}:
2+
4 t+
t
2 =x 1
+y
(1
+t
) +z
(1
+t
2 )
2 + 4 t + t 2 = (x + y + z ) + y t + z t 2
L o g o t e m o s o s i s t e m a
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= { , + , + 2 }
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f c i l v e r i c a r q u e B {1 , 1 + t , 1 + t } u m a b a s e o r d e n a d a d e P
2
(R) . A c h e m o s a s c o o r d e n a d a s d e f ( t ) = 2 + 4 t + t 2 e m r e l a o b a s e o r d e n a d a d e P
2
{R}:
2+
4 t+
t
2 =x 1
+y
(1
+t
) +z
(1
+t
2 )
2 + 4 t + t 2 = (x + y + z ) + y t + z t 2
L o g o t e m o s o s i s t e m a :
z=
1
y = 4x
+y
+z
=2
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P r o f . E s p . :
E x a m p l e
= { , + , + 2 }
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f c i l v e r i c a r q u e B {1 , 1 + t , 1 + t } u m a b a s e o r d e n a d a d e P
2
(R) . A c h e m o s a s c o o r d e n a d a s d e f ( t ) = 2 + 4 t + t 2 e m r e l a o b a s e o r d e n a d a d e P
2
{R}:
2+
4 t+
t
2 =x 1
+y
(1
+t
) +z
(1
+t
2 )
2 + 4 t + t 2 = (x + y + z ) + y t + z t 2
L o g o t e m o s o s i s t e m a :
z=
1
y = 4x
+y
+z
=2
C u j a s o l u o (3 , 4 , 1 )
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
E x a m p l e
f c i l v e r i c a r q u e B = {1 , 1 + t , 1 + t 2 } u m a b a s e
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C o o r d e n a d a s
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E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
{ , + , + }o r d e n a d a d e P
2
(R) . A c h e m o s a s c o o r d e n a d a s d e f ( t ) = 2 + 4 t + t 2 e m r e l a o b a s e o r d e n a d a d e P
2
{R}:
2+
4 t+
t
2 =x 1
+y
(1
+t
) +z
(1
+t
2 )
2 + 4 t + t 2 = (x + y + z ) + y t + z t 2
L o g o t e m o s o s i s t e m a :
z=
1
y = 4x
+y
+z
=2
C u j a s o l u o (3 , 4 , 1 ) . L o g o a m a t r i z d a s c o o r d e n a d a s d e f
(t
)s e r
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
E x a m p l e
f c i l v e r i c a r q u e B = {1 , 1 + t , 1 + t 2 } u m a b a s e
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C o o r d e n a d a s
E x e m p l o 2
M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
{ , , }o r d e n a d a d e P
2
(R) . A c h e m o s a s c o o r d e n a d a s d e f ( t ) = 2 + 4 t + t 2 e m r e l a o b a s e o r d e n a d a d e P
2
{R}:
2+
4 t+
t
2 =x 1
+y
(1
+t
) +z
(1
+t
2 )
2 + 4 t + t 2 = (x + y + z ) + y t + z t 2
L o g o t e m o s o s i s t e m a :
z=
1
y = 4x
+y
+z
=2
C u j a s o l u o (3 , 4 , 1 ) . L o g o a m a t r i z d a s c o o r d e n a d a s d e f
(t
)s e r :
3
4
1
l g e b r a L i n e a r
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C o o r d e n a d a s
E x e m p l o 2
M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
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P r o b l e m a 3
S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l d e d i m e n s o n
l g e b r a L i n e a r
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S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l d e d i m e n s o n e c o n s i d e r e m o s
d u a s b a s e s d e V : B = {u1
, . . . , un
} e C = {v1
, . . . , vn
}
l g e b r a L i n e a r
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S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l d e d i m e n s o n e c o n s i d e r e m o s
d u a s b a s e s d e V : B = {u1
, . . . , un
} e C = {v1
, . . . , vn
}.
E n t o h u m a n i c a f a m l i a d e e s c a l a r e s
i j
d e m a n e i r a q u e
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P r o b l e m a 1
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S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l d e d i m e n s o n e c o n s i d e r e m o s
d u a s b a s e s d e V : B = {u1
, . . . , un
} e C = {v1
, . . . , vn
}.
E n t o h u m a n i c a f a m l i a d e e s c a l a r e s
i j
d e m a n e i r a q u e :
v
1
= 1 1
u
1
+ . . . + n 1
u
n
.
.
.
.
.
.
v
n
= 1 n
u
1
+ . . . + n n
u
n
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S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l d e d i m e n s o n e c o n s i d e r e m o s
d u a s b a s e s d e V : B = {u1
, . . . , un
} e C = {v1
, . . . , vn
}.
E n t o h u m a n i c a f a m l i a d e e s c a l a r e s
i j
d e m a n e i r a q u e :
v
1
= 1 1
u
1
+ . . . + n 1
u
n
.
.
.
.
.
.
v
n
= 1 n
u
1
+ . . . + n n
u
n
o u e m n o t a o d e s o m a t r i o :
v
j
=n
i
=1
i j
u
i
(j = 1 , 2 , . . . , n )
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D e n i o ( M a t r i z d e M u d a n a d e B a s e )
A m a t r i z q u a d r a d a d e o r d e m n :
P
=
1 1
. . . 1 n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n 1
. . . n n
c h a m a - s e m a t r i z d e m u d a n a d e b a s e B p a r a a b a s e C .
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= {( ) ( )}
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Q u a l a m a t r i z d a m u d a n a d a b a s e B= {( 2 , 0 ), ( 2 , 1 )} p a r a
a b a s e C = {( 3 , 0 ), ( 3 , 2 )} d o R2 ?
l g e b r a L i n e a r
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E x a m p l e
= {( ) ( )}
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P r o b l e m a 2
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Q u a l a m a t r i z d a m u d a n a d a b a s e B= {( 2 , 0 ), ( 2 , 1 )} p a r a
a b a s e C = {( 3 , 0 ), ( 3 , 2 )} d o R2 ?(
3,
0) =
x
1
(2
,0
) +y
1
(2
,1
)( 3 , 2 ) = x
2
( 2 , 0 ) + y2
( 2 , 1 )
l g e b r a L i n e a r
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E x a m p l e
= {( ) ( )}
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Q u a l a m a t r i z d a m u d a n a d a b a s e B= {( 2 , 0 ), ( 2 , 1 )} p a r a
a b a s e C = {( 3 , 0 ), ( 3 , 2 )} d o R2 ?(
3,
0) =
x
1
(2
,0
) +y
1
(2
,1
)( 3 , 2 ) = x
2
( 2 , 0 ) + y2
( 2 , 1 )
E s t e s i s t e m a l i n e a r c o m p o s t o p e l o s s i s t e m a s
l g e b r a L i n e a r
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= {( , ), ( , )}
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Q u a l a m a t r i z d a m u d a n a d a b a s e B {( 2 , 0 ), ( 2 , 1 )} p a r a a b a s e C = {( 3 , 0 ), ( 3 , 2 )} d o R2 ?
(3
,0
) =x
1
(2
,0
) +y
1
(2
,1
)( 3 , 2 ) = x
2
( 2 , 0 ) + y2
( 2 , 1 )
E s t e s i s t e m a l i n e a r c o m p o s t o p e l o s s i s t e m a s :
2 x
1
+ 2 y1
= 3y
1
= 0e
2 x
2
+ 2 y2
= 3y
2
= 2
l g e b r a L i n e a r
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E x a m p l e
= {( , ), ( , )}
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Q u a l a m a t r i z d a m u d a n a d a b a s e B {( 2 , 0 ), ( 2 , 1 )} p a r a a b a s e C = {( 3 , 0 ), ( 3 , 2 )} d o R2 ?
(3
,0
) =x
1
(2
,0
) +y
1
(2
,1
)( 3 , 2 ) = x
2
( 2 , 0 ) + y2
( 2 , 1 )
E s t e s i s t e m a l i n e a r c o m p o s t o p e l o s s i s t e m a s :
2 x
1
+ 2 y1
= 3y
1
= 0e
2 x
2
+ 2 y2
= 3y
2
= 2
C u j a s s o l u e s s e r o x
1
= 32
, y
1
=0 , x
2
= 12
e y
2
=2
l g e b r a L i n e a r
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V e d o V a t t o
E x a m p l e
Q u a l a m a t r i z d a m u d a n a d a b a s e B= {( 2 , 0 ), ( 2 , 1 )} p a r a
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P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
{( , ), ( , )}a b a s e C = {( 3 , 0 ), ( 3 , 2 )} d o R2 ?
(3
,0
) =x
1
(2
,0
) +y
1
(2
,1
)( 3 , 2 ) = x
2
( 2 , 0 ) + y2
( 2 , 1 )
E s t e s i s t e m a l i n e a r c o m p o s t o p e l o s s i s t e m a s :
2 x
1
+ 2 y1
= 3y
1
= 0e
2 x
2
+ 2 y2
= 3y
2
= 2
C u j a s s o l u e s s e r o x
1
= 32
, y
1
=0 , x
2
= 12
e y
2
=2 . L o g o
a m a t r i z d e m u d a n a d a b a s e B p a r a a b a s e C s e r
l g e b r a L i n e a r
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Q u a l a m a t r i z d a m u d a n a d a b a s e B= {( 2 , 0 ), ( 2 , 1 )} p a r a
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P r o b l e m a 3
{( , ), ( , )}a b a s e C = {( 3 , 0 ), ( 3 , 2 )} d o R2 ?
(3
,0
) =x
1
(2
,0
) +y
1
(2
,1
)( 3 , 2 ) = x
2
( 2 , 0 ) + y2
( 2 , 1 )
E s t e s i s t e m a l i n e a r c o m p o s t o p e l o s s i s t e m a s :
2 x
1
+ 2 y1
= 3y
1
= 0e
2 x
2
+ 2 y2
= 3y
2
= 2
C u j a s s o l u e s s e r o x
1
= 32
, y
1
=0 , x
2
= 12
e y
2
=2 . L o g o
a m a t r i z d e m u d a n a d a b a s e B p a r a a b a s e C s e r :
P =
3 /2 01 /2 2
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P = (i j
) e a m a t r i z d a m u d a n a d a b a s e C p a r a a b a s e D Q = (
i j
) , q u a l a m a t r i z d e m u d a n a d e B p a r a D ?
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P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
P = (i j
) e a m a t r i z d a m u d a n a d a b a s e C p a r a a b a s e D Q = (
i j
) , q u a l a m a t r i z d e m u d a n a d e B p a r a D ?
S u p o n h a m o s B = {u1
, . . . , un
}, C = {v1
, . . . , vn
} eD
= {w1
, . . . ,w
n
}
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P r o b l e m a 3
P = (i j
) e a m a t r i z d a m u d a n a d a b a s e C p a r a a b a s e D Q = (
i j
) , q u a l a m a t r i z d e m u d a n a d e B p a r a D ?
S u p o n h a m o s B = {u1
, . . . , un
}, C = {v1
, . . . , vn
} eD
= {w1
, . . . ,w
n
}. A d e n i o d e m a t r i z d e m u d a n a d e b a s e n o s g a r a n t e q u e :
v
j
=n
i =1
i j
u
i
e w
k
=n
j =1
j k
v
j
(j,
k=
1,
2, . . . ,
n)
l g e b r a L i n e a r
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P r o b l e m a 3
P = (i j
) e a m a t r i z d a m u d a n a d a b a s e C p a r a a b a s e D Q = (
i j
) , q u a l a m a t r i z d e m u d a n a d e B p a r a D ?
S u p o n h a m o s B = {u1
, . . . , un
}, C = {v1
, . . . , vn
} eD
= {w1
, . . . ,w
n
}. A d e n i o d e m a t r i z d e m u d a n a d e b a s e n o s g a r a n t e q u e :
v
j
=n
i =1
i j
u
i
e w
k
=n
j =1
j k
v
j
(j,
k=
1,
2, . . . ,
n)
D a p a r a k = 1 , 2 , . . . , n
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S o m a d e D o i s
S u b e s p a o s
E x e m p l o 1
C o o r d e n a d a s
E x e m p l o 2
M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
P = (i j
) e a m a t r i z d a m u d a n a d a b a s e C p a r a a b a s e D Q = (
i j
) , q u a l a m a t r i z d e m u d a n a d e B p a r a D ?
S u p o n h a m o s B = {u1
, . . . , un
}, C = {v1
, . . . , vn
} eD
= {w1
, . . . ,w
n
}. A d e n i o d e m a t r i z d e m u d a n a d e b a s e n o s g a r a n t e q u e :
v
j
=n
i =1
i j
u
i
e w
k
=n
j =1
j k
v
j
(j,
k=
1,
2, . . . ,
n)
D a p a r a k = 1 , 2 , . . . , n :
w
k
=n
j
=1
j k
n
i
=1
i j
u
i
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p o s i o ( P r o b l e m a 1 )
S e a m a t r i z d e m u d a n a d e b a s e B p a r a a b a s e C
( )
http://find/http://goback/8/3/2019 Aula de lgebra Linear - 18 de Outubro
77/95
D i m e n s o d a
S o m a d e D o i s
S u b e s p a o s
E x e m p l o 1
C o o r d e n a d a s
E x e m p l o 2
M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
P = (i j
) e a m a t r i z d a m u d a n a d a b a s e C p a r a a b a s e D Q = (
i j
) , q u a l a m a t r i z d e m u d a n a d e B p a r a D ?
S u p o n h a m o s B = {u1
, . . . , un
}, C = {v1
, . . . , vn
} eD
= {w1
, . . . ,w
n
}. A d e n i o d e m a t r i z d e m u d a n a d e b a s e n o s g a r a n t e q u e :
v
j
=n
i =1
i j
u
i
e w
k
=n
j =1
j k
v
j
(j,
k=
1,
2, . . . ,
n)
D a p a r a k = 1 , 2 , . . . , n :
w
k
=n
j
=1
j k
n
i
=1
i j
u
i
=
n j
=1
n
i
=1
i j
j k
u
i
.
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
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V e d o V a t t o
P r o p o s i o ( P r o b l e m a 1 )
S e a m a t r i z d e m u d a n a d e b a s e B p a r a a b a s e C
( )
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78/95
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M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
P = (i j
) e a m a t r i z d a m u d a n a d a b a s e C p a r a a b a s e D Q = (
i j
) , q u a l a m a t r i z d e m u d a n a d e B p a r a D ?
S u p o n h a m o s B = {u1
, . . . , un
}, C = {v1
, . . . , vn
} eD
= {w1
, . . . ,w
n
}. A d e n i o d e m a t r i z d e m u d a n a d e b a s e n o s g a r a n t e q u e :
v
j
=n
i =1
i j
u
i
e w
k
=n
j =1
j k
v
j
(j,
k=
1,
2, . . . ,
n)
D a p a r a k = 1 , 2 , . . . , n :
w
k
=n
j
=1
j k
n
i
=1
i j
u
i
=
n j
=1
n
i
=1
i j
j k
u
i
.
L o g o a m a t r i z d e m u d a n a d e b a s e B p a r a D a m a t r i z P Q .
l g e b r a L i n e a r
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S e a m a t r i z d a s c o o r d e n a d a s d e u V e m r e l a o b a s e B :
X=
x
1
.
.
.
x
n
e a m a t r i z d e m u d a n a d e b a s e d e B p a r a C P = (i j
) ,q u a l a m a t r i z d a s c o o r d e n a d a s d e u e m r e l a o b a s e C ?
l g e b r a L i n e a r
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S e a m a t r i z d a s c o o r d e n a d a s d e u V e m r e l a o b a s e B :
X=
x
1
.
.
.
x
n
e a m a t r i z d e m u d a n a d e b a s e d e B p a r a C P = (i j
) ,q u a l a m a t r i z d a s c o o r d e n a d a s d e u e m r e l a o b a s e C ?
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
S e j a Y =
y
1
.
.
.
y
n
a m a t r i z d e s e j a d a
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P r o b l e m a 3
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
S e j a Y =
y
1
.
.
.
y
n
a m a t r i z d e s e j a d a . T e m o s e n t o q u e p a r a , = , . . . ,
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P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
i,
j 1, . . . ,
n :
u =
ni
=1
x
i
u
i =
n j
=1
y
j
v
j
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
S e j a Y =
y
1
.
.
.
y
n
a m a t r i z d e s e j a d a . T e m o s e n t o q u e p a r a i,
j=
1, . . . ,
n :
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E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
, , ,
u =
ni
=1
x
i
u
i =
n j
=1
y
j
v
j
C o m o c a d a v
j
=
n
i =1
i j
u
i
, e n t o :
u =
ni =1
x
i
u
i
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
S e j a Y =
y
1
.
.
.
y
n
a m a t r i z d e s e j a d a . T e m o s e n t o q u e p a r a i,
j=
1, . . . ,
n :
http://find/http://goback/8/3/2019 Aula de lgebra Linear - 18 de Outubro
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D i m e n s o d a
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M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
, , ,
u =
ni
=1
x
i
u
i =
n j
=1
y
j
v
j
C o m o c a d a v
j
=
n
i =1
i j
u
i
, e n t o :
u =
ni =1
x
i
u
i =
n j =1
y
j
ni =1
i j u i
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
S e j a Y =
y
1
.
.
.
y
n
a m a t r i z d e s e j a d a . T e m o s e n t o q u e p a r a i,
j=
1, . . . ,
n :
http://find/http://goback/8/3/2019 Aula de lgebra Linear - 18 de Outubro
85/95
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E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
, , ,
u =
ni
=1
x
i
u
i =
n j
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y
j
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j
C o m o c a d a v
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, e n t o :
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ni =1
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i
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i =
n j =1
y
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ni =1
i j u i =
ni =1
n j =1
i j y j
u
i
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
S e j a Y =
y
1
.
.
.
y
n
a m a t r i z d e s e j a d a . T e m o s e n t o q u e p a r a i,
j=
1, . . . ,
n :
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C o o r d e n a d a s
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M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
u =
ni
=1
x
i
u
i =
n j
=1
y
j
v
j
C o m o c a d a v
j
=
n
i =1
i j
u
i
, e n t o :
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ni =1
x
i
u
i =
n j =1
y
j
ni =1
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ni =1
n j =1
i j y j
u
i
L o g o c o m o a s c o o r d e n a d a s s o n i c a s : x
i
=
n
j =1
i j
y
j
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
S e j a Y =
y
1
.
.
.
y
n
a m a t r i z d e s e j a d a . T e m o s e n t o q u e p a r a i,
j=
1, . . . ,
n :
http://find/http://goback/8/3/2019 Aula de lgebra Linear - 18 de Outubro
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E x e m p l o 1
C o o r d e n a d a s
E x e m p l o 2
M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
u =
ni
=1
x
i
u
i =
n j
=1
y
j
v
j
C o m o c a d a v
j
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n
i =1
i j
u
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, e n t o :
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x
i
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i =
n j =1
y
j
ni =1
i j u i =
ni =1
n j =1
i j y j
u
i
L o g o c o m o a s c o o r d e n a d a s s o n i c a s : x
i
=
n
j =1
i j
y
j
o u
x
1
= 1 1
y
1
+ . . . + n 1
y
n
.
.
.
.
.
.
x
n
= 1 n
y
1
+ . . . + n n
y
n
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
S e j a Y =
y
1
.
.
.
y
n
a m a t r i z d e s e j a d a . T e m o s e n t o q u e p a r a i,
j=
1, . . . ,
n :
http://find/http://goback/8/3/2019 Aula de lgebra Linear - 18 de Outubro
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C o o r d e n a d a s
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M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
u =
ni
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x
i
u
i =
n j
=1
y
j
v
j
C o m o c a d a v
j
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n
i =1
i j
u
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ni =1
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i =
n j =1
y
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ni =1
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ni =1
n j =1
i j y j
u
i
L o g o c o m o a s c o o r d e n a d a s s o n i c a s : x
i
=
n
j =1
i j
y
j
o u
x
1
= 1 1
y
1
+ . . . + n 1
y
n
.
.
.
.
.
.
x
n
= 1 n
y
1
+ . . . + n n
y
n
E m n o t a o M a t r i c i a l X=
P Y o u e q u i v a l e n t e m e n t e
Y P
1
X .
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p o s i o ( P r o b l e m a 3 )
S e {u1
, . . . , un
} u m a b a s e d e V e P = (i j
) u m a m a t r i z i n v e r s v e l , e n t o o s n v e t o r e s v = n
= u p a r a t o d o
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E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
j
i =1 i j i
j=
1, . . . ,
n t a m b m f o r m a m u m a b a s e d e V ?
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p o s i o ( P r o b l e m a 3 )
S e {u1
, . . . , un
} u m a b a s e d e V e P = (i j
) u m a m a t r i z i n v e r s v e l , e n t o o s n v e t o r e s v
j
= n=
i j
u
i
p a r a t o d o
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D i m e n s o d a
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C o o r d e n a d a s
E x e m p l o 2
M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
i =1
j=
1, . . . ,
n t a m b m f o r m a m u m a b a s e d e V ?
S u p o n h a m o s
n j =1
x
j
v
j
= 0
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p o s i o ( P r o b l e m a 3 )
S e {u1
, . . . , un
} u m a b a s e d e V e P = (i j
) u m a m a t r i z i n v e r s v e l , e n t o o s n v e t o r e s v
j
= n=
i j
u
i
p a r a t o d o
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91/95
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M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
i 1
j=
1, . . . ,
n t a m b m f o r m a m u m a b a s e d e V ?
S u p o n h a m o s
n j =1
x
j
v
j
= 0
E n t o :
n j =1
x
j
n
i =1
i j
u
i
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p o s i o ( P r o b l e m a 3 )
S e {u1
, . . . , un
} u m a b a s e d e V e P = (i j
) u m a m a t r i z i n v e r s v e l , e n t o o s n v e t o r e s v
j
= ni =1
i j
u
i
p a r a t o d o
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S u b e s p a o s
E x e m p l o 1
C o o r d e n a d a s
E x e m p l o 2
M u d a n a d e B a s e
E x e m p l o 3
P r o b l e m a 1
P r o b l e m a 2
P r o b l e m a 3
j = 1 , . . . , n t a m b m f o r m a m u m a b a s e d e V ? S u p o n h a m o s
n j =1
x
j
v
j
= 0
E n t o :
n j =1
x
j
n
i =1
i j
u
i
=
n j =1
n
i =1
i j
x
j
u
i
= 0
D a
n
i =1
i j
x
j
=0
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p o s i o ( P r o b l e m a 3 )
S e {u1
, . . . , un
} u m a b a s e d e V e P = (i j
) u m a m a t r i z i n v e r s v e l , e n t o o s n v e t o r e s v
j
= ni =1
i j
u
i
p a r a t o d o
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D i m e n s o d a
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