CÁLCULO III

Aula 2 – Aplicações ao Movimento e Comprimento De Arco

Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2

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Conteúdo Programático

1. Introdução

2. Aplicações ao Movimento

3. Exemplos

4. Comprimento de Arco

5. Exemplos

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INTRODUÇÃOInterpretação física da derivada

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Vamos considerar uma partícula em movimento no espaço (R2 ou em R3).

Observe que quando t varia, a extremidade livre do vetor σ(t) descreve a trajetória C da partícula.

A função σ(t) é dita função posição do movimento.

Suponhamos que a partícula esteja em P no tempo t e em Q no tempo t+Δt. Veja que Δσ = σ(t+Δt) - σ(t) representa o deslocamento da partícula de P para Q, no intervalo Δt.

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A partir da função posição podemos falar dos conceitos físicos → vetor velocidade, velocidade escalar e vetor aceleração.

DEFINIÇÃO 1Considere a função posição σ(t). A sua derivada σ’(t) é chamada vetor velocidade.

Notação: V(t) → vetor velocidade da partícula

APLICAÇÕES AO MOVIMENTO

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Observação:

O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória no ponto em que a partícula se encontra.

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DEFINIÇÃO 2

O comprimento do vetor velocidade,||σ’(t)||, é chamado de velocidade escala.

Notação: v(t) → velocidade escalar

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DEFINIÇÃO 3O vetor aceleração da partícula é dado pela derivada do vetor velocidade → V’(t) ou σ’’(t)

Notação: a(t) → vetor aceleração da partícula

Observação:

O vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade.

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CONCLUSÃO

Quando

'V t t

é derivável, o vetor velocidade dapartícula é dado por

t

Quando V t é derivável, a aceleração da

partícula édada por

'a t V t

A velocidade escalar v(t) é dada por ||σ’(t)|| v(t) = ||σ’(t)||

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EXEMPLO 1

Determinar o vetor velocidade, vetor aceleração e a velocidade escalar de uma partícula que se move segundo a função abaixo:

cos2 2t t i sen t j k

Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade.

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Cálculo do vetor velocidade da partícula

'

2 2 2cos2

V t t

V t sen t i t j

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Cálculo do vetor aceleração da partícula

'

4cos2 4 2

a t V t

a t t i sen t j

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Cálculo do vetor velocidade escalar da partícula

2 2

2 2

2 2 2cos24 2 4cos 2 2

v t V t

V t sen t t

sen t t

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Veja que dois vetores são perpendiculares se o seu produto escalar é nulo.

Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade.

cos2 2 2 2 2cos2 0

2 2 .cos2 2cos2 . 2 0 0

t V t

t i sen t j k sen t i t j k

sent t t t sen t

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2 2 2cos2 0 4cos2 4 2

8 2 .cos2 8cos2 . 2 0 0

V t a t

sen t i t j k t i sen t j

sent t t t sen t

Portanto, o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade.

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EXEMPLO 2

Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções

e

(a)Determine o ponto P onde as estradas se cruzam. (b) Os carros colidem no ponto P?

(c) Qual a velocidade que os carros chegam ao ponto de encontro?

21 ,t t

2 ,7 10t t

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Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções

(a)Determine o ponto P onde as estradas se cruzam.

21 ,t t

2 ,7 10t t

Primeiro devemos observar que σ1 = (t,t2) tem x(t) = t e y(t) = t2, portanto a equação cartesiana será y = x2.

Com o raciocínio análogo σ2 = (t,7t - 10), x(t) = t e y(t) = 7x – 10, portanto a equação cartesiana será y = 7x – 10.

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Encontramos o ponto onde as estradas se cruzam resolvendo o sistema formado por y= x2 e y= 7x -10.

Igualando as duas equações x2 = 7x -10, e resolvendo a equação do segundo grau encontramos como raízes os números reais 5 e 2.

Concluímos, então que temos dois pontos de encontro entre y(t) = t2 e y = 7x – 10 que são as coordenadas (5,25) e (5,4).

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Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções

e

(b) Os carros colidem no ponto P?

Para saber se os carros colidem, basta verificar em que tempo cada um deles passa no ponto de interseção (item a).

Para σ1 = (t,t2) temos x(t) = t = 5 e para σ2 = (t,7t - 10), temos x(t) = t=5. Logo os carros colidem.

21 ,t t

2 ,7 10t t

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Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções

e

(c) Qual a velocidade que os carros chegam ao ponto de encontro?

21 ,t t

2 ,7 10t t

Precisamos calcular a velocidade escalar v(t) = || σ`(t)|| e v(t) = ’(t).

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Para o carro A temos:

222 41212,1)`()( tttttv

Com t = 5 →

101541)( 2 tv

Para o carro B temos:

50401717,1)`()( 22 ttv

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COMPRIMENTO DE ARCO

Considere a curva definida por e , como a trajetória descrita por uma partícula que se move com velocidade escalar .

t bat ,

v(t) = =|| σ`(t)||

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Queremos encontrar o comprimento dessa curva quanto t varia de a até b.

DEFINIÇÃOSeja C uma curva definida pela função vetorial σ(t), t variando no intervalos [a,b] de classe C1.

O comprimento da curva C é definido por

dttCLb

a `

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OBSERVAÇÃO

Se C é uma curva em R2 então podemos escrever L(C) da seguinte forma:

dttytxCLb

a 22 ``

Se C é uma curva em R3 então podemos escrever L(C) da seguinte forma:

dttztytxCLb

a 222 ```

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EXEMPLO 1

),,(coscos)( ttsentktjtsenitt

2,0t

, .

)1,cos,()`( ttsent

Cálculo da derivada da função dada.

Vamos calcular o comprimento da curva (hélice circular).

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cut

dtdt

dtttsen

dttsentCL

.222.22

211

1cos

1cos

2

0

2

0

2

0

2

0

22

2

0

222

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EXEMPLO 2

Vamos calcular o comprimento da curva

1,0)2,,()(

tteet tt

Cálculo da derivada da função dada.

)2,,()`( tt eet

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cue

e

eeeeee

dteedtee

dtee

dteeCL

tt

tttt

tt

tt

.1

2

2

001110

1

0

1

0

2

1

0

22

1

0

222

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EXEMPLO 3

Vamos calcular o comprimento da curva

31),,()( 23

tttt

Cálculo da derivada da função dada.

)2,3()`( 2 ttt

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dttt

dttt

dttt

dtttCL

2/123

1

3

1

22

3

1

24

3

1

222

49

49

49

23

Vamos chamar de u e derivar

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cu

t

uduu

dutdttdtdutu

.13138585271

49271

32

181

181

181849

3

1

32

2/32/13

1

2

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RESUMINDO

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