Cálculo vetorial - Seções 16.1-9
Cálculo II - ECT 1202
Escola de Ciências e TecnologiaUniversidade Federal do Rio Grande do Norte
Maio 2011
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 1 / 168
Campos Vetoriais
Até agora estudamos funções que associam um número a um vetor (funçõesvetoriais) e funções que associam um vetor a um número (funções de duas eou mais variáveis). A seguir estudaremos outro tipo função.
Campos vetoriais
Seja D um subconjunto do R2. Um campo vetorial em R2 é uma função~F queassocia a cada ponto (x,y) em D um vetor bidimensional~F(x,y).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 2 / 168
Campos Vetoriais
Campos vetoriais
Como~F(x,y) é um vetor bidimensional, podemos escrevê-lo em termos desuas funções componentes P e Q, da seguinte forma:
~F(x,y) = P(x,y)~i+Q(x,y)~j = 〈P(x,y),Q(x,y)〉.
As componentes P(x,y) e Q(x,y) são funções (de duas variáveis) queassociam cada ponto (x,y) ∈ D um número real. Funções desse tipo sãochamadas de campos escalares. Como no caso das funções vetoriais,podemos definir a continuidade dos campos vetoriais e mostrar que~F serácontínua se e somente se suas funções componentes forem contínuas.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 3 / 168
Campos Vetoriais
Exemplo 1
Um campo vetorial em R2 é definido por~F(x,y) =−y~i+ x~j. Faça um esboçode~F.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 4 / 168
Campos Vetoriais
Exemplo 1
Um campo vetorial em R2 é definido por~F(x,y) =−y~i+ x~j. Faça um esboçode~F.
Solução
Inicialmanete marcamos~F nos vetores unitários~i e~j. Em seguida, seja~r = 〈x,y〉 o vetor posição em relação a origem do plano cartesiano. Note que:
‖~F(x,y)‖=√
x2 + y2 = ‖~r‖.
Note ainda que:
~r · ~F(x,y) = 〈−y,x〉 · 〈x,y〉= 0.
Logo~F e~r são ortogonais.
Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 5 / 168
Campos Vetoriais
Podemos também definir um campo vetorial no espaço da seguinte maneira.
Campos vetoriais
Seja E um subconjunto do R3. Um campo vetorial em R3 é uma função~F queassocia a cada ponto (x,y,z) em E um vetor tridimensional~F, de componentesP(x,y,z), Q(x,y,z) e R(x,y,z):
~F(x,y,z) = P(x,y,z)~i+Q(x,y,z)~j+R(x,y,z)~k.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 6 / 168
Campos Vetoriais
Exemplo 2
Esboce o campo vetorial em R3 dado por~F(x,y,z) = z~k.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 7 / 168
Campos Vetoriais
Exemplo 2
Esboce o campo vetorial em R3 dado por~F(x,y,z) = z~k.
Solução
Note que ‖~F(x,y,z)‖=±z. Se z > 0 o vetor~F(x,y,z) aponta na direção de zcrescente, e se z < 0 na direção inversa. Para z = 0, isto é, no plano xy~F(x,y,z) é o vetor nulo.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 8 / 168
Campos Vetoriais
Campos Vetoriais
Se f (x,y,z) é um campo escalar, podemos obter um campo vetorial a partir dogradiente aplicado a f :
∇f (x,y,z) = fx(x,y,z)~i+ fy(x,y,z)~j+ fz(x,y,z)~k.
O campo vetorial assim obtido é chamado de campo vetorial gradiente. Nocaso de um campo escalar g(x,y), aplicando o operador gradiente a g,obtemos um campo vetorial gradiente bidimensional:
∇g(x,y) = gx(x,y)~i+gy(x,y)~j.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 9 / 168
Campos Vetoriais
Exemplo 3
Determine o campo vetorial gradiente de f (x,y) = x2 + y2, e esboce o campo.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 10 / 168
Campos Vetoriais
Exemplo 3
Determine o campo vetorial gradiente de f (x,y) = x2 + y2, e esboce o campo.
Solução
Note que ∇f (x,y) é dado por:
∇f (x,y) = 2x~i+2y~j = 2~r.
Repare ainda que ∇f (x,y) é paralelo ao vetor posição, e tem módulo duasvezes maior que~r.
Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 11 / 168
Campos Vetoriais
Campo vetorial conservativo
Dizemos que~F(x,y,z) é um campo vetorial conservativo se existir um campoescalar f (x,y,z) (chamada de função potencial) tal que:
~F(x,y,z) = ∇f (x,y,z).
A equação acima nos fornece um método para determinar a função potencialf . Note que:
fx(x,y,z) = P(x,y,z),
fy(x,y,z) = Q(x,y,z),
fz(x,y,z) = R(x,y,z).
Assim para determinar a função potencial, basta resolver o sistema deequações diferenciais acima.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 12 / 168
Campos VetoriaisExemplo 4
Determine a função potencial para cada um dos seguintes campos vetoriaisconservativos.
(a) ~F(x,y) = 2x~i+2y~j,
(b) ~F(x,y,z) = 〈 2xx2+y2+z2 ,
2yx2+y2+z2 ,
2zx2+y2+z2 〉.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 13 / 168
Campos Vetoriais
Exemplo 4
Determine a função potencial para cada um dos seguintes campos vetoriaisconservativos.
(a) ~F(x,y) = 2x~i+2y~j,
Solução
Note que fx(x,y) = 2x e fy(x,y) = 2y. Integrando a primeira equação emrelação a x temos:
f (x,y) =∫
2xdx+g(y) = x2 +g(y).
Derivando a relação acima em relação a y temos que:
g′(y) = 2y =⇒ g(y) = y2 + c.
Logo a função potencial é f (x,y) = x2 + y2 + c.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 14 / 168
Campos Vetoriais
Exemplo 4 continuação
(b) ~F(x,y,z) = 〈 2xx2+y2+z2 ,
2yx2+y2+z2 ,
2zx2+y2+z2 〉.
Note que fx = 2xx2+y2+z2 , fy =
2yx2+y2+z2 e fz = 2z
x2+y2+z2 . Integrando aprimeira equação em relação a x temos:
f (x,y,z) =∫ 2x
x2 + y2 + z2 dx+g(y,z) = ln(x2 + y2 + z2)+g(y,z).
Derivando a relação acima em relação a y temos que:2y
x2 + y2 + z2 +∂g(y,z)
∂y=
2yx2 + y2 + z2 =⇒ g(y,z) = h(z).
Assim ficamos com f (x,y,z) = ln(x2 + y2 + z2)+h(z). Derivando essaequação em relação a z temos:
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 15 / 168
Campos Vetoriais
Exemplo 4 continuação
Derivando essa equação em relação a z temos:
2zx2 + y2 + z2 +h′(z) =
2zx2 + y2 + z2 =⇒ h(z) = c.
Logo a função potencial para~F(x,y,z) = 〈 2xx2+y2+z2 ,
2yx2+y2+z2 ,
2zx2+y2+z2 〉 é:
f (x,y,z) = ln(x2 + y2 + z2)+ c.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 16 / 168
Integrais de linha
Já aprendemos como calcular a integral de uma função z = f (x,y) sob umaregião plana D. Veremos agora como calcular a integral de uma função deduas ou mais variáveis ao longo de uma curva.
Integral de linha no plano
Seja f (x,y) uma função definida em uma região plana D. Seja ainda~r(t) = 〈x(t),y(t)〉 uma curva C suave em D, i.e.~r′(t) 6=~0, definida no intervaloI = [a,b]. Para cada t∗i ∈ [ti, ti+1]⊂ I podemos associar a seguinte soma deRiemann:
n
∑i=1
f (x∗i ,y∗i )∆si,
onde x∗i = x(t∗i ), y∗i = y(t∗i ) e ∆si é o arco que liga o ponto Pi = (xi,yi) aoponto Pi+1 = (xi+1,yi+1).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 17 / 168
Integrais de linha
Integral de linha no plano
No limite quando o número de subdivisões n→ ∞ do intervalo I, temos:
limn→∞
n
∑i=1
f (x∗i ,y∗i )∆si =
∫C
f (x,y)ds.
Se o limite acima existir, chamamos o resultado de integral de linha de f (x,y)ao longo de C em relação ao comprimento de arco.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 18 / 168
Integrais de linha
Integral de linha no plano
Podemos reescrever a integral de linha notando que x = x(t), y = y(t) e que
ds =
√(dxdt
)2
+
(dydt
)2
dt.
De forma que:
∫C
f (x,y)ds =∫ b
af (x(t),y(t))
√(dxdt
)2
+
(dydt
)2
dt.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 19 / 168
Integrais de linha
Exemplo 5
Calcule∫
C(2+ x2y)ds, onde C é a metade superior do cícurlo unitáriox2 + y2 = 1.
Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 20 / 168
Integrais de linha
Exemplo 5
Calcule∫
C(2+ x2y)ds, onde C é a metade superior do cícurlo unitáriox2 + y2 = 1.
Solução
A parametrização do semicírculo é:x = cos(t), y = sin(t) com 0≤ t ≤ π.
O elemento de arco ds fica:
ds =√
cos2(t)+ sin2(t)dt = dt.Assim: ∫
C(2+ x2y)ds =
∫π
0[2+ cos2(t)sin(t)]dt
= 2π−[
cos3(t)3
]π
0= 2π+
23.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 21 / 168
Integrais de linha
Integral de linha no plano
Suponha que a curva C seja suave (ou lisa) por partes, i.e., C é a união de umnúmero finito de curvas suaves C1, C2, . . . ,Cn, como na figura abixo.
Neste caso a integral de linha ao logo de C é dada por:∫C
f (x,y)ds =∫
C1
f (x,y)ds+∫
C2
f (x,y)ds+ · · ·+∫
Cn
f (x,y)ds.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 22 / 168
Integrais de linha
Exemplo 6
Calcule∫
C 2xds, onde C é formada pelo arco C1 da parábola y = x2 de (0,0) a(1,1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1,1) a (1,2).
Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 23 / 168
Cálculo vetorial
Exemplo 6
Calcule∫
C 2xds, onde C é formada pelo arco C1 da parábola y = x2 de (0,0) a(1,1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1,1) a (1,2).
Solução
Para o caminho C1 tem-se que x = x, y = x2 com 0≤ x≤ 1 e ds =√
1+4x2dx:∫C1
2xds =∫ 1
02x√
1+4x2dx =14
[23(1+4x2)3/2
]1
0=
5√
5−16
.
Para o caminho C2 tem-se que x = 1, y = y com 1≤ y≤ 2 e ds = dy:∫C2
2xds =∫ 1
02(1)dy = 2[y]21 = 2.
Então, ∫C
2xds =∫
C1
2xds+∫
C2
2xds =5√
5−16
+2.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 24 / 168
Integrais de linha
Integral de linha no espaço
Seja C uma curva espacial lisa dada pelas seguintes equações paramétricas:
x = x(t), y = y(t), z = z(t) com a≤ t ≤ b.
A integral de linha de uma função f (x,y,z) ao longo de C é dada por:
∫C
f (x,y,z)ds =∫ b
af (x(t),y(t),z(t))
√(dxdt
)2
+
(dydt
)2
+
(dzdt
)2
dt,
ou em notação vetorial:
∫C
f (x,y,z)ds =∫ b
af (~r(t))‖~r′(t)‖dt.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 25 / 168
Integrais de linha
Exemplo 7
Calcule∫
C ysin(z)ds, onde C é a hélice circular dada pelas equaçõesx = cos(t), y = sin(t), z = t e 0≤ t ≤ 2π.
Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 26 / 168
Cálculo vetorial
Exemplo 7
Calcule∫
C ysin(z)ds, onde C é a hélice circular dada pelas equaçõesx = cos(t), y = sin(t), z = t e 0≤ t ≤ 2π.
Solução
O elemento de comprimento arco é dado por:
ds =√
sin2(t)+ cos2(t)+1dt =√
2dt.
Assim:
∫C
ysin(z)ds =∫ 2π
0sin2(t)
√2dt =
√2
2
[t− sin(2t)
2
]2π
0= π√
2.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 27 / 168
Integrais de linha
Já vimos como calcular a integral de linha de um campo escalar f (x,y,z) aolongo de uma curva C. Vejamos agora como calcular a integral de linha de umcampo vetorial sobre uma curva C.
Integrais de linha de um campo vetorial
Seja~F(x,y,z) um campo vetorial, um campo de forças por exemplo. Podemosperguntar pelo trabalho W ao mover uma partícula ao longo de uma curva Csob a ação do campo de forças~F(x,y,z).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 28 / 168
Integrais de linha
Integrais de linha de um campo vetorial
Particionando o caminho~r(t) = 〈x(t),y(t),z(t)〉, com a≤ t ≤ b, em n−1intervalos, obtemos n arcos ∆si que ligam os pontos Pi = (x∗i ,y
∗i ,z∗i ) e
Pi+1 = (x∗i+1,y∗i+1,z
∗i+1). O trabalho para levar uma partícula do ponto Pi para
Pi+1 é dado por~F(x∗i ,y∗i ,z∗i ) · [~T(x∗i ,y∗i ,z∗i )∆si], onde~T(x∗i ,y
∗i ,z∗i ) é o vetor
tangente ao arco ∆si no ponto Pi. Assim o trabalho para levar a partícula doponto P0 =~r(a) até Pn =~r(b) é dado pela soma de Riemann:
W ≈n
∑i
~F(x∗i ,y∗i ,z∗i ) ·~T(x∗i ,y∗i ,z∗i )∆si.
Tomando o limite quando o número de intervalos n→ ∞ obtemos,
W = limn→∞
n
∑i
~F(x∗i ,y∗i ,z∗i ) ·~T(x,y,z)∆si =
∫C~F(x,y,z) ·~T(x,y,z)ds,
a integral de linha do campo vetorial~F(x,y,z) sob a curva C.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 29 / 168
Integrais de linha
Integrais de linha de um campo vetorial
Podemos reescrever a integral de linha anterior notando que x = x(t), y = y(t),z = z(t) e
~T(x(t),y(t),z(t)) =~r′(t)‖~r′(t)‖
e ds = ‖~r′(t)‖dt.
Assim a integral de linha de~F(x,(t),y(t),z(t)) =~F(~r(t)) é dada por:∫C~F ·~Tds =
∫ b
a~F(~r(t)) ·~r′(t)dt =
∫ b
a~F ·d~r.
Ou em termos das funções componentes P(x,y,z), Q(x,y,z) e R(x,y,z) de~F:∫ b
a~F ·d~r =
∫ b
aPdx+Qdy+Rdz.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 30 / 168
Integrais de linha
Exemplo 8
Determine o trabalho feito pelo campo de força~F(x,y,z) = x2~i− xy~j ao semover uma partícula ao longo de um quarto de círculo~r(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j,0≤ t ≤ π/2.
Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 31 / 168
Integrais de linha
Exemplo 8
Determine o trabalho feito pelo campo de força~F(x,y,z) = x2~i− xy~j ao semover uma partícula ao longo de um quarto de círculo~r(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j,0≤ t ≤ π/2.
Solução
Note primeiramente que~F(~r(t)) = 〈cos2(t),−cos(t)sin(t)〉, e que~r′(t) = 〈−sin(t),cos(t)〉. Assim:
∫ b
a~F ·d~r =
∫π/2
0−2cos2(t)sin(t)dt =
23
[cos3(t)
]π/2
0=−2
3.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 32 / 168
Integrais de linha
Exemplo 9
Calcule∫
C ydx+ zdy+ xdz, onde C consiste no segmento de reta C1 que une(2,0,0) a (3,4,5) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (3,4,5) a(3,4,0).
Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 33 / 168
Integrais de linha
Exemplo 9
Calcule∫
C ydx+ zdy+ xdz, onde C consiste no segmento de reta C1 que une(2,0,0) a (3,4,5) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (3,4,5) a(3,4,0).
Solução
O campo vetorial a ser integrado é~F(~r(t)) = 〈y,z,x〉. O caminho C1 é dadopor~r(t) = 〈2+ t,4t,5t〉 com 0≤ t ≤ 1. De forma que~F(~r(t)) = 〈4t,5t,2+ t〉 e~r′(t) = 〈1,4,5〉. Logo:∫ b
a~F ·d~r =
∫ 1
0[1(4t)+4(5t)+5(2+ t)]dt =
∫ 1
0(10+29t)dt
=
[10t+
29t2
2
]1
0=
492.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 34 / 168
Integrais de linha
Exemplo 9 continuação
O caminho C2 é dado por~r(t) = 〈3,4,5−5t〉 com 0≤ t ≤ 1. De forma que~F(~r(t)) = 〈4,5−5t,3〉 e~r′(t) = 〈0,0,−5〉. Logo:
∫ b
a~F ·d~r =
∫ 1
0[0(4t)+0(5−5t)+3(−5)]dt =−15
∫ 1
0dt =−15.
Assim a integral∫
C ydx+ zdy+ xdz vale:∫C~F ·d~r =
∫C1
~F ·d~r+∫
C2
~F ·d~r = 24.5−15 = 9.5 .
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 35 / 168
Teorema Fundamental das integrais de linha
No cálculo 1 vimos que se F′(x) é uma função contínua no intervalo I = [a,b]então
∫ ba F′(x)dx = F(b)−F(a), é igual a variação de F′(x) sobre I. Para as
integrais de linha, sob certas condições, temos um resultado parecido.
Teorema 1
Seja C uma curva lisa dada pela função vetorial~r(t), a≤ t ≤ b. Seja f umafunção diferenciável de duas ou três variáveis cujo vetor gradiente ∇f écontínuo em C. Então ∫
C∇f ·d~r = f (~r(b))− f (~r(a)).
Se~r(b) e~r(a) tiverem coordenadas (x2,y2,z2) e (x1,y1,z1), então∫C
∇f ·d~r = f (x2,y2,z2)− f (x1,y1,z1).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 36 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Exemplo 10
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial~F(x,y,z) = 〈 2x
x2+y2+z2 ,2y
x2+y2+z2 ,2z
x2+y2+z2 〉, ao mover uma partícula de massa mdo ponto (1,0,0) para o ponto (1,1,1) ao longo de uma curva lisa por partesC.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 37 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Exemplo 10
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial~F(x,y,z) = 〈 2x
x2+y2+z2 ,2y
x2+y2+z2 ,2z
x2+y2+z2 〉, ao mover uma partícula de massa mdo ponto (1,0,0) para o ponto (1,1,1) ao longo de uma curva lisa por partesC.
Solução
Já vimos que o campo vetorial acima é conservativo, com função potencialdada por f (x,y,z) = ln(x2 + y2 + z2)+ c. Dessa forma:
W =∫
C~F ·d~r =
∫C
∇f ·d~r = f (1,1,1)− f (1,0,0) = ln(3).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 38 / 168
Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 11
Calcule∫
C y2dx+ xdy, onde
(a) C = C1 é o segmento de reta de (−5,−3) a (0,2),
(b) C = C2 é o arco x = 4− y2 de (−5,−3) a (0,2).
Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 39 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Exemplo 11Calcule
∫C y2dx+ xdy, onde
(a) C = C1 é o segmento de reta de (−5,−3) a (0,2),
(b) C = C2 é o arco x = 4− y2 de (−5,−3) a (0,2).
Solução
O caminho C1 tem a seguite parametrização x = 5t−5, y = 5t−3 com0≤ t ≤ 1. ∫
C1
y2dx+ xdy =∫ 1
0
[(5t−3)2 dx
dt+(5t−5)
dydt
]dt
=∫ 1
0[5(5t−3)2 +5(5t−5)]dt
= 5∫ 1
0(25t2−25t+4)dt =−5
6.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 40 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Exemplo 11 continuaçãoCalcule
∫C y2dx+ xdy, onde
(a) C = C1 é o segmento de reta de (−5,−3) a (0,2),
(b) C = C2 é o arco x = 4− y2 de (−5,−3) a (0,2).
Solução
O caminho C2 tem a seguite parametrização y = t, x = 4− t2 com −3≤ t ≤ 2.∫C2
y2dx+ xdy =∫ 2
−3
[t2 dx
dt+(4− t2)
dydt
]dt
=∫ 2
−3[−2t3 +(4− t2)]dt
=∫ 2
−3(−2t3− t2 +4)dt =−245
6.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 41 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Independência do caminho de integração
O resultado do exemplo anterior nos diz que em geral∫
C1~F ·d~r 6=
∫C2~F ·d~r,
onde C1 e C2 são dois caminhos distintos com mesmos pontos incial e final.Mas segue do teorema anterior que∫
C1
∇f ·d~r =∫
C2
∇f ·d~r.
A integral de um campo vetorial contínuo~F é dita independente do caminho, se∫C1
~F ·d~r =∫
C2
~F ·d~r,
para quaisquer caminhos C1 e C2 como mesmos pontos incial e final.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 42 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Uma curva é dita fechada se seu ponto inicial coincide com o final, i.e.,~r(a) =~r(b). O teorema a seguir nos fornece uma condição sob a qual aintegral de linha de um campo vetorial é independente do caminho deintegração.
Teorema 2∫C~F ·d~r é independente do caminho, em uma região, D se e somente se∮
C~F ·d~r = 0 para todo caminho C fechado em D.
Este teorema afirma que para um campo vetorial conservativo~F,∮
C~F ·d~r = 0.
Assim, se~F representa um campo de forças, o trabalho realizado para moveruma partícula ao longo de um caminho fechado é nulo.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 43 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Exemplo 12
Mostre que a integral de linha do campo vetorial~F = 〈2x,2y〉 independe docaminho de integração.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 44 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Exemplo 12
Mostre que a integral de linha do campo vetorial~F = 〈2x,2y〉 independe docaminho de integração.
Solução
Vamos calcular a integral de linha do campo acima sobre uma curva fechadaC qualquer. Para isso, note que~F = ∇f , com f (x,y) = x2 + y2 + c. Assim∮
C~F ·d~r =
∮C
∇f ·d~r =∮
C
ddt
f (~r(t))dt = 0.
Como∮
C~F ·d~r = 0, para um caminho qualquer C segue que
∫C~F ·d~r é
independente do caminho.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 45 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Uma região no plano D é dita aberta se para cada ponto P ∈ D existir umdisco com centro em P contida em D. E chamamos uma região plana D deconexa se dois pontos quaisquer em D podem ser ligados por um caminhointeiramente em D.
Teorema 3
Suponha que~F seja um campo vetorial contínuo sobre uma região abertaconexa D. Se
∫C~F ·d~r for independente do caminho em D, então~F é um
campo conservativo, ou seja, existe um campo escalar f tal que ∇f =~F.
Para um campo vetorial conservativo são equivalentes as proposições:
(a) ~F = ∇f ,
(b)∮
C~F ·d~r = 0,
(c)∫
C~F ·d~r independe do caminho de integração.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 46 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
O teorema a seguir nos permite determinar se um campo vetorial éconservativo.
Teorema 4
Se~F(x,y) = P(x,y)~i+Q(x,y)~j é um campo vetorial conservativo, onde P e Qtêm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio D, entãoem todos os pontos de D temos
∂P∂y
=∂Q∂x
.
A recíproca do teorema acima só é válida para um tipo especial de região D.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 47 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Exemplo 13
Determine se o campo vetorial~F(x,y) = (x− y)~i+(x−2)~j é ou nãoconservativo.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 48 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Exemplo 13
Determine se o campo vetorial~F(x,y) = (x− y)~i+(x−2)~j é ou nãoconservativo.
Solução
Note que P(x,y) = x− y e que Q(x,y) = x−2, de forma que:
∂P∂y
=−1∂Q∂x
= 1.
Logo o campo não é conservativo.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 49 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Uma cuva é dita simples se ela não se autointercepta. E uma região é ditasimplesmente conexa se a mesma é conexa e não contem buracos, ou seja,qualquer curva simples fechada em D contorna pontos que estão somente emD.
Teorema 5
Seja~F(x,y) = P(x,y)~i+Q(x,y)~j um campo vetorial sobre uma região Daberta e simplesmente conexa. Suponha que P e Q tenham derivadas parciaisde primeira ordem contínuas e que
∂P∂y
=∂Q∂x
,
em D. Então~F é conservativo.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 50 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Exemplo 14
Determine se o campo vetorial~F(x,y) = (3+2xy)~i+(x2−3y2)~j é ou nãoconservativo.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 51 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Exemplo 14
Determine se o campo vetorial~F(x,y) = (3+2xy)~i+(x2−3y2)~j é ou nãoconservativo.
Solução
Note que P(x,y) = 3+2xy e que Q(x,y) = x2−3y2, de forma que:
∂P∂y
= 2x =∂Q∂x
.
Como o domínio de~F é o plano R2 que é aberto e simplesmente conexo,então o campo é conservativo.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 52 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Exemplo 15
Determine se o campo vetorial~F(x,y) = −yx2+y2
~i+ xx2+y2
~j, (x,y) 6= (0,0) é ounão conservativo.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 53 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Exemplo 15
Determine se o campo vetorial~F(x,y) = −yx2+y2
~i+ xx2+y2
~j, (x,y) 6= (0,0) é ounão conservativo.
Solução
Note que
∂P∂y
=−x2 + y2
x2 + y2 =∂Q∂x
.
O resultado acima sugere que~F é conservativo.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 54 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Exemplo 15 continuação
Mas se este for o caso, a integral de linha de~F ao longo de qualquer curvafechada C deve ser zero. Assim seja C o círculo unitário percorrido no sentidoanti-horário, com parametrização dada por x = cos(t), y = sin(t) e 0≤ t ≤ 2π.Neste caso ∮
C~F ·d~r =
∫ 2π
0[sin2(t)+ cos2(t)]dt = 2π.
Como a integral acima é diferente de zero, o campo não é conservativo. Noteque apesar das derivadas parciais ∂P
∂y e ∂Q∂x serem iguais, o domínio de~F não é
uma região simplesmente conexa, de forma que o teorema anterior não seaplica.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 55 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Condição para um campo vetorial~F(x,y,z) ser conservativo
Para que um campo vetorial~F(x,y,z) = P(x,y,z)~i+Q(x,y,z)~j+R(x,y,z)~kdefinido em uma região aberta e simplesmente conexa D, P, Q e R comderivadas parciais de primeira ordem contínuas, seja conservativo, devem sersatisfeitas as seguintes igualdades
∂P∂y
=∂Q∂x
,
∂P∂z
=∂R∂x
,
∂Q∂z
=∂R∂y
.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 56 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Exemplo 16
Determine se o campo vetorial~F(x,y,z) = (yz)~i+(xz)~j+(xy+2z)~k, é ou nãoconservativo.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 57 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Exemplo 16
Determine se o campo vetorial~F(x,y,z) = (yz)~i+(xz)~j+(xy+2z)~k, é ou nãoconservativo.
Solução
Note que~F está definido em todo o R3, conjunto aberto e simplesmenteconexo. Note também que
∂P∂y
= z =∂Q∂x
,
∂P∂z
= y =∂R∂x
,
∂Q∂z
= x =∂R∂y
.
Logo o campo acima é conservativo.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 58 / 168
Teorema de Green
O teorema a seguir relaciona o cálculo de uma integral de linha de um campovetorial ao longo de uma curva fechada simples C, com uma integral dupla naregião D delimitada por C. Antes, precisamos definir orientação de uma curva.
Oritentação de uma curva fechada simples C
Seja C uma curva fechada simples dada por~r(t), com a≤ t ≤ b. Dizemos queC tem orientação positiva se ao percorrer C no sentido anti-horário, uma únicavez, a região D estiver sempre à esquerda quando o ponto~r(t) percorrer C.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 59 / 168
Teorema de Green
Uma vez definida orientação de uma curva C, podemos enunciar o teorema deGreen.
Teorema de Green
Seja C uma curva plana simples, fechada, contínua por trechos, orientadapositivamente, e seja D a região delimitada por C. Se P e Q têm derivadasparciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenhaD, então
∮C
Pdx+Qdy =∫∫
D
(∂Q∂x− ∂P
∂y
)dA.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 60 / 168
Teorema de Green
Exemplo 17
Calcule∮
c x4dx+ xydy, onde C é a curva triangular constituida pelossegmentos de reta (0,0) a (1,0), de (1,0) a (0,1) e de (0,1) a (0,0).
Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 61 / 168
Teorema de Green
Exemplo 17
Calcule∮
c x4dx+ xydy, onde C é a curva triangular constituida pelossegmentos de reta (0,0) a (1,0), de (1,0) a (0,1) e de (0,1) a (0,0).
Solução
Note que o caminho é fechado, simples e com orientação positiva. Como asfunções P(x,y) = x4 e Q(x,y) = xy têm derivadas contínuas na regiãotriangular acima, podemos utilizar o teorema de Green.
∮C
x4dx+ xydy =∫∫
D
(∂Q∂x− ∂P
∂y
)dA =
∫∫D
ydA
=∫ 1
0
∫ 1−x
0ydydx =
12
∫ 1
0(1− x)2dx =−1
6
[(1− x)3
]1
0=
16.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 62 / 168
Teorema de Green
Exemplo 18
Calcule∮
C(3y− esin(x))dx+(7x+√
y4 +1)dy, onde C é o círculo x2 + y2 = 9.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 63 / 168
Teorema de Green
Exemplo 18
Calcule∮
C(3y− esin(x))dx+(7x+√
y4 +1)dy, onde C é o círculo x2 + y2 = 9.
Solução
Utilizando o teorema de Green e convertendo a integral dupla paracoordenadas polares temos∮
C(3y− esin(x))dx+(7x+
√y4 +1)dy =∫∫
D
[∂
∂x(7x+
√y4 +1)− ∂
∂y(3y− esin(x))
]dA =∫ 2π
0
∫ 3
0(7−3)rdrdθ = 4
∫ 2π
0dθ
∫ 3
0rdr = 36π.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 64 / 168
Teorema de Green
Cálculo de área via integral de linha
Seja C uma curva fechada simples que dilimita uma região D. Se no teoremade Green o integrando da integral dupla for 1, obtemos a área da região D.
∂Q∂x− ∂P
∂y= 1.
As possíveis funções P(x,y) e Q(x,y) que fornecem o resultado desejado são
P(x,y) = 0, P(x,y) =−y, P(x,y) =−12
y,
Q(x,y) = x, Q(x,y) = 0, Q(x,y) =12
x.
Assim podemos calcular a área de D através das seguintes fórmulas
A =∮
Cxdy =−
∮C
ydx =12
∮C
xdy− ydx.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 65 / 168
Teorema de Green
Exemplo 19
Determine a área delimitada pela elipse x2
a2 +y2
b2 = 1.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 66 / 168
Teorema de Green
Exemplo 19
Determine a área delimitada pela elipse x2
a2 +y2
b2 = 1.
Solução
Podemos parametrizar a elipse através das seguintes equações x = acos(t),y = bsin(t) com 0≤ t ≤ 2π.
A =12
∮C
xdy− ydx =12
∫ 2π
0[acos(t)bcos(t)+bsin(t)asin(t)]dt
=ab2
∫ 2π
0dt = πab.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 67 / 168
Teorema de Green
Exemplo 20
Calcule∮
C y2dx+3xydy, onde C é a fronteira da região semianular D contidano semiplano superior entre os círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 68 / 168
Teorema de Green
Exemplo 20
Calcule∮
C y2dx+3xydy, onde C é a fronteira da região semianular D contidano semiplano superior entre os círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
Solução
Utilizando o teorema de Green e convertendo a integral dupla paracoordenadas polares teremos∮
Cy3dx+3xydy =
∫∫D
[∂
∂x(3xy)− ∂
∂y(y2)
]dA =
=∫∫
DydA =
∫π
0
∫ 2
1r2 sin(θ)drdθ
=∫
π
0sin(θ)dθ
∫ 2
1r2dr =
143.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 69 / 168
Teorema de Green
Teorema de Green para regiões que não são simplesmente conexa
Considere a seguinte região D limitada pelas curvas fechadas C1(externamente) e C2 (internamente), isto é, D é uma região com um buraco.
Podemos utilizar o teorema de Green e mostrar que a integral de linha aolongo do caminho C = C1
⋃C2 é dada por:∫∫
D
(∂Q∂x− ∂P
∂y
)dA =
∮C1
Pdx+Qdy+∮
C2
Pdx+Qdy =∮
CPdx+Qdy.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 70 / 168
Teorema de Green
Exemplo 21
Calcule∮
C y3dx− x3dy, onde C é composta de dois círculos de raios 1 e 2centrados na origem com orientação positiva.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 71 / 168
Teorema de Green
Exemplo 21
Calcule∮
C y3dx− x3dy, onde C é composta de dois círculos de raios 1 e 2centrados na origem com orientação positiva.
Solução
Note que a região D é a região contida entre as circunferências de raios 1 e 2assim
∮C
y3dx− x3dy =∫∫
D
(∂Q∂x− ∂P
∂y
)dA =−3
∫∫D(x2 + y2)dA
=−3∫ 2π
0
∫ 2
1r3drdθ =−3
[θ
]2π
0
[r4
4
]2
1=−45π
2.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 72 / 168
Rotacional e divergente
Já vimos que podemos contruir um campo vetorial a partir de um campoescalar aplicando o operador ∇ a um campo escalar f (∇f campo gradiente).Agora veremos como obeter um campo vetorial a partir de outro campovetorial.
Rotacional
Se~F = P~i+Q~j+R~k é um campo vetorial em R3, e as derivadas parciais de P,Q e R existem, então o rotacional de~F é o campo vetorial em R3 definido por
rot~F = ∇×~F =
(∂R∂y− ∂Q
∂z
)~i+
(∂P∂z− ∂R
∂x
)~j+
(∂Q∂x− ∂P
∂y
)~k.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 73 / 168
Rotacional e divergente
Rotacional
Se pensarmos em ∇ como um vetor de componentes ∂/∂x, ∂/∂y e ∂/∂z,podemos também considerar o produto vetorial formal de ∇ pelo campovetorial~F, como se segue:
∇×~F =
∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂
∂x∂
∂y∂
∂zP Q R
∣∣∣∣∣∣∣=
(∂R∂y− ∂Q
∂z
)~i+
(∂P∂z− ∂R
∂x
)~j+
(∂Q∂x− ∂P
∂y
)~k
= rot~F.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 74 / 168
Rotacional e divergente
Exemplo 22
Se~F(x,y,z) = xz~i+ xyz~j− y2~k, determine o rotacional de~F.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 75 / 168
Rotacional e divergente
Exemplo 22
Se~F(x,y,z) = xz~i+ xyz~j− y2~k, determine o rotacional de~F.
Solução
Utilizando a definição temos que
∇×~F =
∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂
∂x∂
∂y∂
∂zxz xyz −y2
∣∣∣∣∣∣∣=
(∂(−y2)
∂y− ∂(xyz)
∂z
)~i−
(∂(−y2)
∂x− ∂(xz)
∂z
)~j+
(∂(xyz)
∂x− ∂(xz)
∂y
)~k
=−y(2+ x)~i+ x~j+ yz~k.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 76 / 168
Rotacional e divergente
Teorema 1
Se f é um campo escalar que tem derivadas parciais contínuas de segundaordem então,
rot (∇f ) =~0.
Já vimos que se um campo vetorial é conservativo, então~F = ∇f . Assimpodemos enunciar o teorema acima da seguinte forma
Se~F é conservativo, então rot~F =~0.
A recíproca do teorema acima não é, em geral, verdadeira. Dizemos então quea condição (~F é conservativo) é nescessária (para que rot~F =~0) porém(rot~F =~0) não é sufuciente (para que~F seja conservativo).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 77 / 168
Rotacional e divergente
Exemplo 23
Mostre que o campo vetorial~F(x,y,z) = xz~i+ xyz~j− y2~k não é conservativo.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 78 / 168
Rotacional e divergente
Exemplo 23
Mostre que o campo vetorial~F(x,y,z) = xz~i+ xyz~j− y2~k não é conservativo.
Solução
Suponha que~F seja conservativo. Então devemos ter que rot~F =~0. Mascomo vimos no exemplo anterior
∇×~F =−y(2+ x)~i+ x~j+ yz~k.
Logo~F não pode ser conservativo.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 79 / 168
Rotacional e divergente
O teorema a seguir nos dá uma condição suficiente para que um campovetorial~F ∈ R3 seja conservativo.
Teorema 2
Se~F for um campo vetorial definido sobre todo o R3 (domínio aberto esimplesmente conexo) cujas componentes tenham derivadas parciais desegunda ordem contínuas e rot~F =~0, então~F será um campo vetorialconservativo.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 80 / 168
Rotacional e divergente
Exemplo 24
Mostre que o campo vetorial~F(x,y,z) = y2z3~i+2xyz3~j+3xy2z2~k éconservativo e determine sua função potencial.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 81 / 168
Rotacional e divergente
Exemplo 24
Mostre que o campo vetorial~F(x,y,z) = y2z3~i+2xyz3~j+3xy2z2~k éconservativo e determine sua função potencial.
Solução
Note que
∇×~F =
∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂
∂x∂
∂y∂
∂zy2z3 2xyz3 3xy2z2
∣∣∣∣∣∣∣= (6xyz2−6xyz2)~i− (3y2z2−3y2z2)~j+(2yz3−2yz3)~k =~0.
Assim o campo é conservativo (note que o domínio de~F é aberto esimplesmente conexo).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 82 / 168
Rotacional e divergente
Exemplo 24 continuação
Para determinar a função potencial basta integral (parcialmente) uma dasfunções componetes e utilizar as demais para determinar as constantes deintegração. Assim
fx = y2z3 =⇒ f (x,y,z) =∫
y2z3dx = xy2z3 +g(y,z).
Como fy = 2xyz3 obtemos que g(y,z) = h(z). Note ainda que fz = 3xy2z2,assim h(z) = c. Logo a função potencial é dada por
f (x,y,z) = xy2z3 + c.
Um campo vetorial~F com rotacional nulo é chamado de irrotacional.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 83 / 168
Rotacional e divergente
Já vimos como obter um campo vetorial a partir de um campo escalar e de umcampo vetorial. Agora veremos como obter um campo escalar através de umcampo vetorial.
Divergente
Se~F = P~i+Q~j+R~k é um campo vetorial em~R3 e existem ∂P/∂x, ∂Q/∂y e∂R/∂z, então o divergente de~F é o campo escalar dado por
div~F = ∇ ·~F =∂P∂x
+∂Q∂y
+∂R∂z
.
Novamente se pensarmos em ∇ como um vetor de componentes ∂/∂x, ∂/∂y e∂/∂z, podemos reescrever o divergente como se segue:
div~F = ∇ ·~F = 〈 ∂
∂x,
∂
∂y,
∂
∂z〉 · 〈P,Q,R〉.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 84 / 168
Rotacional e divergente
Exemplo 25
Se~F(x,y,z) = xz~i+ xyz~j− y2~k, encontre div~F.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 85 / 168
Rotacional e divergente
Exemplo 25
Se~F(x,y,z) = xz~i+ xyz~j− y2~k, encontre div~F.
Solução
Pela definição temos que
div~F = ∇ ·~F =∂(xz)
∂x+
∂(xyz)∂y
+∂(−y2)
∂z= z+ xz.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 86 / 168
Rotacional e divergente
Exemplo 26
Mostre que o divergente do rotacional de um campo vetorial é igual ao vetornulo.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 87 / 168
Rotacional e divergente
Exemplo 26
Mostre que o divergente do rotacional de um campo vetorial é igual ao vetornulo.
Solução
Seja~F = P~i+Q~j+R~k um campo vetorial, cujas funções componentesapresentam derivadas de segunda ordem contínuas. Assim
~G = rot~F =
(∂R∂y− ∂Q
∂z
)~i+
(∂P∂z− ∂R
∂x
)~j+
(∂Q∂x− ∂P
∂y
)~k.
Calculando o divergente do campo ~G temos que
div ~G = div rot~F
=∂
∂x
(∂R∂y− ∂Q
∂z
)+
∂
∂y
(∂P∂z− ∂R
∂x
)+
∂
∂z
(∂Q∂x− ∂P
∂y
).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 88 / 168
Rotacional e divergente
Exemplo 26 continuação
div ~G = div rot~F
=∂2R∂x∂y
− ∂2Q∂x∂z
+∂2P∂y∂z
− ∂2R∂y∂x
+∂2Q∂z∂x
− ∂2P∂z∂y
= 0.
uma vez que os termos se cancelam aos pares (teorema de Schwarz).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 89 / 168
Rotacional e divergente
Laplaciano
Ainda podemos definir outro campo escalar ao aplicarmos o operador ∇ a umcampo gradiente ∇f . O resultado é o seguinte campo escalar
div(∇f ) = ∇ · (∇f ) =∂2f∂x2 +
∂2f∂y2 +
∂2f∂z2 .
Essa expressão aperecer com tanta frequencia de forma que vamos abreviá-lacomo ∇2f . Ao operador ∇2 chamamos de laplaciano. E se~F = P~i+Q~j+R~k éum campo vetorial, podemos também aplicar ∇2 a~F como
∇2~F = ∇
2P~i+∇2Q~j+∇
2R~k.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 90 / 168
Rotacional e divergente
Exemplo 27
Aplique o operador laplaciano aos seguintes campos:
(a) f (x,y,z) = exyz,
(b) ~F(x,y,z) = 〈ex,exy,exyz〉.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 91 / 168
Rotacional e divergente
Exemplo 27
Aplique o operador laplaciano aos seguintes campos:
(a) f (x,y,z) = exyz,
(b) ~F(x,y,z) = 〈ex,exy,exyz〉.
Solução
Note que ∇f = 〈yzexyz,xzexyz,xyexyz〉, de forma que
∇2f =
∂(yzexyz)
∂x+
∂(xzexyz)
∂y+
∂(xyexyz)
∂z= exyz[(yz)2 +(xz)2 +(xy)2].
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 92 / 168
Rotacional e divergente
Exemplo 27 continuação
No exemplo (b) note que P = ex, Q = exy e R = exyz. Assim
∇2P = ∇
2ex = ex
∇2Q = ∇
2exy = (x2 + y2)exy
∇2R = ∇
2exyz = [(yz)2 +(xz)2 +(xy)2]exyz.
Logo temos que
∇2~F = 〈ex,(x2 + y2)exy, [(yz)2 +(xz)2 +(xy)2]exyz〉.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 93 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Superfícies parametrizadas
Uma superfície parametrizada é uma função vetorial~r(u,v) de doisparâmetros u e v, que pode ser expressa da seguinte forma
~r(u,v) = x(u,v)~i+ y(u,v)~j+ z(u,v)~k.
Note que na equação acima o domínio de~r é uma região do plano uv, e suaimagem é um subconjunto do R3, chamada de superfície parametrizada.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 94 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 28
Identifique e esboce a superfície com equação vetorial~r(u,v) = 2cos(u)~i+ v~j+2sin(u)~k.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 95 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 28
Identifique e esboce a superfície com equação vetorial~r(u,v) = 2cos(u)~i+ v~j+2sin(u)~k.
Solução
Da função acima temos que x(u,v) = 2cos(u), y(u,v) = v e z(u,v) = 2sin(u).Note ainda que x2 + z2 = 4 para qualquer valor de u, e que y pode assumirqualquer valor v. Assim a superfície resultante é um cilindro infinito com exiodo cilindro sobre o eixo y.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 96 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 29
Determine a função vetorial que representa um plano que passa pelo ponto P0com vetor posição~r0 e que contenha dois vetores não paralelos~a e~b.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 97 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 29
Determine a função vetorial que representa um plano que passa pelo ponto P0com vetor posição~r0 e que contenha dois vetores não paralelos~a e~b.
Solução
Seja P um ponto do plano em questão, então o vetor−−→P0P pode ser escrito
como uma combinação dos vetores~a e~b, isto é,−−→P0P = u~a+ v~b. Mas o vetor−→
OP =−−→OP0 +
−−→P0P, ou seja,~r =~r0 +u~a+ v~b. Assim~r(u,v) =~r0 +u~a+ v~b.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 98 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 30
Determine uma representação paramétrica para uma esfera de raio a centradana origem.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 99 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 30
Determine uma representação paramétrica para uma esfera de raio a centradana origem.
Solução
Devemos parametrizar x2 + y2 + z2 = a2. Para tanto basta tomarmosx = asin(φ)cos(θ), y = asin(φ)sin(θ) e z = acos(φ). Assim a equaçãovetorial resultante é
~r(θ,φ) = asin(φ)cos(θ)~i+asin(φ)sin(θ)~j+acos(φ)~k,
com θ ∈ [0,2π] e φ ∈ [0,π/2].
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 100 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 31
Determine uma função vetorial que represente o paraboloide elípticoz = x2 +2y2.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 101 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 31
Determine uma função vetorial que represente o paraboloide elípticoz = x2 +2y2.
Solução
Neste caso podemos utilizar o fato de que z = f (x,y) e considerar a seguinteparametrização x = x, y = y e z = x2 +2y2, de forma que
~r(x,y) = x~i+ y~j+(x2 +2y2)~k.
De forma geral, para uma função do tipo z = f (x,y), temos a seguinteparametrização~r(x,y) = x~i+ y~j+ f (x,y)~k, chamada de parametrizaçãonatural.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 102 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Dada uma superfície parametrizada S, podemos perguntar pelo plano tangenteem um ponto (x0,y0,z0) pertencente à S. Quando tal plano existe para todoponto P ∈ S dizemos que S é diferenciável ou lisa.
Planos tangentes
Seja~r(u,v) uma superfícies parametrizada. Seja ainda (u0,v0) um ponto dodomínio de~r. Note que as funções~r(u,v0) e~r(u0,v) representam curvassobre S, chamadas de curvas coordenadas.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 103 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Planos tangentes
Os vetores tangentes às curvas coordenadas~r(u,v0) e~r(u0,v) são dados por~ru e~rv, respectivamente, isto é, tomando-se as derivadas parciais de~r(u,v)em relação a u e v. Assim o plano tangente à S em P0 = (x0,y0,z0), quecontem os vetores~ru e~rv, tem vetor normal dado por
~N(P0) =~ru×~rv =~ru(x0,y0,z0)×~rv(x0,y0,z0).
Ou ainda
~N(x0,y0,z0) =
∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂x∂u
∂y∂u
∂z∂u
∂x∂v
∂y∂v
∂z∂v
∣∣∣∣∣∣∣ .Sejam então ~N = (a,b,c) e P0 = (x0,y0,z0), o plano tangente ficaa(x− x0)+b(y− y0)+ c(z− z0) = 0.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 104 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 32
Determine a equação do plano tangente à superfície com equaçõesparamétricas x = u2, y = v2 e z = u+2v no ponto (1,1,3).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 105 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 32
Determine a equação do plano tangente à superfície com equaçõesparamétricas x = u2, y = v2 e z = u+2v no ponto (1,1,3).
Solução
O vetor normal ao plano é dado por
~N(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) =
∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂x∂u
∂y∂u
∂z∂u
∂x∂v
∂y∂v
∂z∂v
∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2u 0 10 v 2
∣∣∣∣∣∣=−2v~i−4u~j+4uv~k.
O ponto (1,1,3) corresponde a u = v = 1. Assim N(1,1,3) =−2~i−4~j+4~k,de forma que o plano fica
−2(x−1)−4(y−1)+4(z−3) = 0.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 106 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Área de superfície
Seja (u0,v0) um ponto do domínio D de~r(u,v). Os pontos (u0,v0),(u0 +∆u,v0), (u0,v0 +∆v) e (u0 +∆u,v0 +∆v) definem um retângulo no planouv com área ∆u∆v. A parametrização~r(u,v) transforma esse retânguloaproximadamente em um paralelogramo de área
∆S≈ ‖~ru×~rv‖∆u∆v.
Definição
Dada uma superfície lisa S com parametrização~r(u,v), a área de S é dada por
A(S) =∫∫
SdS =
∫∫D‖~ru×~rv‖dudv,
onde dS = ‖~ru×~rv‖dudv é chamado elemento de superfície.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 107 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 33
Determine a área da esfera de raio a.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 108 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 33
Determine a área da esfera de raio a.
Solução
A parametrização da esfera é~r(u,v) = asin(φ)cos(θ)~i+asin(φ)sin(θ)~j+acos(φ)~k. de forma que
~rφ×~rθ =
∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂x∂φ
∂y∂φ
∂z∂φ
∂x∂θ
∂y∂θ
∂z∂θ
∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~kacos(φ)cos(θ) acos(φ)sin(θ) −asin(φ)−acos(φ)sin(θ) asin(φ)cos(θ) 0
∣∣∣∣∣∣= a2 sin2(φ)cos(θ)~i+a2 sin2(φ)sin(θ)~j+a2 sin(φ)cos(φ)~k.
Assim ‖~rφ×~rθ‖= a2 sin(φ).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 109 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 33 continuação
Logo a área é dada por
A(S) =∫∫
Da2 sin(φ)dφdθ =
∫ 2π
0
∫π
0a2 sin(φ)dφdθ
= a2[
θ
]2π
0
[− cos(φ)
]π
0= 4πa2.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 110 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 34
Determine a área lateral do cilindro x2 + y2 = a2 e altura h.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 111 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 34
Determine a área lateral do cilindro x2 + y2 = a2 e altura h.
Solução
O cilindro pode ser parametrizado da seguinte forma~r(θ,z) = acos(θ)~i+asin(θ)~j+ z~k, com θ ∈ [0,2π] e z ∈ [0,h] de forma que
~rθ×~rz =
∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂x∂θ
∂y∂θ
∂z∂θ
∂x∂z
∂y∂z
∂z∂z
∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k−asin(θ) acos(θ) 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣= acos(θ)~i+asin(θ)~j.
Assim temos que ‖~rθ×~rz‖= a.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 112 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 34 continuação
Logo a área é dada por
A(S) =∫∫
Dadzdθ = a
∫ 2π
0
∫ h
0dzdθ = 2πah.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 113 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 35
Determine a área de uma superfície dada por z = f (x,y).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 114 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 35
Determine a área de uma superfície dada por z = f (x,y).
Solução
A parametrização neste caso é~r(x,y) = x~i+ y~i+ f (x,y)~k, de forma que
~rx×~ry =
∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂x∂x
∂y∂x
∂z∂x
∂x∂y
∂y∂y
∂z∂y
∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 0 fx0 1 fy
∣∣∣∣∣∣=−fx~i− fy~j+~k.
Assim temos que ‖~rx×~ry‖=√
1+(fx)2 +(fy)2.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 115 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 35 continuação
Logo a área é dada por
A(S) =∫∫
D
√1+(fx)2 +(fy)2dxdy =
∫∫D
√1+(
∂f∂x
)2
+
(∂f∂y
)2
dxdy.
Note que a expressão acima é geral, isto é, dada uma superfície S do tipoz = f (x,y), podemos aplicar a equação acima para determinar sua área.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 116 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 36
Determine a área da parte do paraboloide z = x2 + y2 que está abaixo doplano z = 9.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 117 / 168
Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 36
Determine a área da parte do paraboloide z = x2 + y2 que está abaixo doplano z = 9.
Solução
Podemos utilizar o resultado do exemplo anterior, de forma que
A(S) =∫∫
D
√1+(
∂f∂x
)2
+
(∂f∂y
)2
dxdy =∫∫
D
√1+4(x2 + y2)dxdy
=∫ 2π
0
∫ 3
0
√1+4r2rdrdθ =
2π
8
∫ 37
1u1/2du =
π
6(37√
37−1).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 118 / 168
Integral de superfície
Definição
Seja f (x,y,z) um campo escalar definido em uma superfície parametrizada S,definimos a integral de superfície de f sobre S como a seguinte integral∫∫
Sf (x,y,z)dS =
∫∫D
f (~r(u,v))‖~ru×~rv‖dudv.
Note a semelhança da integral de superfície definida acima com a integral delinha de um campo escalar:∫
Cf (x,y,z)ds =
∫ b
af (~r(t))‖~r′(t)‖dt.
No caso particular onde o campo escalar é o campo constante f (x,y,z) = 1,pela definição temos então que∫∫
S1dS =
∫∫D‖~ru×~rv‖dudv = A(S).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 119 / 168
Integrais de superfícies
Exemplo 37
Calcule a integral de superfície∫∫
S x2dS, onde S é a esfera unitáriax2 + y2 + z2 = 1.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 120 / 168
Integrais de superfícies
Exemplo 37
Calcule a integral de superfície∫∫
S x2dS, onde S é a esfera unitáriax2 + y2 + z2 = 1.
Solução
Já vimos que o elemente dá área superficial para uma esfera de raio a édS = a2 sin(φ)dφdθ. Assim a integral é dada por∫∫
Sx2dS =
∫∫D
sin2(φ)cos2(θ)[sin(φ)]dφdθ
=∫ 2π
0
∫π
0sin3(φ)cos2(θ)dφdθ
=−∫
π
0[1− cos2(φ)]d[cos(φ)]
12
∫ 2π
0[1+ cos(2θ)]dθ =
4π
3.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 121 / 168
Integrais de superfícies
Exemplo 38
Calcule∫∫
S ydS, onde S é a superfície z = x+ y2, 0≤ x≤ 1 e 0≤ y≤ 2.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 122 / 168
Integrais de superfícies
Exemplo 38
Calcule∫∫
S ydS, onde S é a superfície z = x+ y2, 0≤ x≤ 1 e 0≤ y≤ 2.
Solução
Neste caso podemos utilizar a parametrização natural e reescrever a integralde superfície como∫∫
Sf (x,y,z)dS =
∫∫D
f (x,y,g(x,y))
√1+(
∂f∂x
)2
+
(∂f∂y
)2
dxdy,
onde z = g(x,y) é a equação da superfície.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 123 / 168
Integrais de superfícies
Exemplo 38 continuação
Assim temos que
∫∫S
ydS =∫∫
Dy√
2+2y2dxdy =∫ 1
0
∫ 2
0y√
2+2y2dydx
=∫ 1
0dx
∫ 2
0y√
2+4y2dy =14
∫ 18
2u
12 du =
16[u
32 ]18
2
=16[18√
18−2√
2] =13√
23
.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 124 / 168
Integrais de superfícies
União de superfícies lisas
Se S é uma superfície lisa por partes, ou seja, uma união finita de superfícieslisas S1, S2, . . . ,Sn, que se interceptam somente ao longo de suas fronteiras,então a integral de superfície de f (x,y,z) sobre S é definida por
∫∫S
f (x,y,z)dS =∫∫
S1
f (x,y,z)dS+∫∫
S2
f (x,y,z)dS+ · · ·+∫∫
Sn
f (x,y,z)dS.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 125 / 168
Integrais de superfícies
Exemplo 39
Calcule∫∫
S zdS, onde S é a superfície cujo lado S1 é dado pelo cilindrox2 + y2 = 1, cujo fundo S2 é o círculo x2 + y2 ≤ 1 no plano z = 0, e cujo topo S3é a parte do plano z = 1+ x que está acima de S2.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 126 / 168
Integrais de superfícies
Exemplo 39
Calcule∫∫
S zdS, onde S é a superfície cujo lado S1 é dado pelo cilindrox2 + y2 = 1, cujo fundo S2 é o círculo x2 + y2 ≤ 1 no plano z = 0, e cujo topo S3é a parte do plano z = 1+ x que está acima de S2.
Solução
A superfície desejada tem a seguinte forma
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 127 / 168
Integrais de superfícies
Exemplo 39 continuação
Sobre a superfície S2 onde x2 + y2 ≤ 1 temos que∫∫
S2zdS =
∫∫S2
0dS = 0.Sobre a S3 temos∫∫
S3
zdS =∫∫
D(1+ x)
√2dydx =
√2∫ 2π
0
∫ 1
0[1+ r cos(θ)]rdrdθ
=√
2∫ 2π
0
(12+
13
cos(θ))
dθ =√
2[
θ
2+
sin(θ)3
]2π
0=√
2π.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 128 / 168
Integrais de superfícies
Exemplo 39 continuação
Já vimos que o elemento de área lateral para um cilindro de raio a édS = adθdz, assim∫∫
S1
zdS =∫∫
Dzdθdz =
∫ 2π
0
∫ 1+cos(θ)
0zdzdθ
=12
∫ 2π
0[1+2cos(θ)+ cos2(θ)]dθ
=12
{θ+ sin(θ)+
12
[θ+
sin(2θ)
2
]}2π
0= 2π.
Assim a integral de superfície procurada é∫∫S
zdS =∫∫
S1
zdS+∫∫
S2
zdS+∫∫
S3
zdS =3π
2+√
2π.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 129 / 168
Integrais de superfícies
Superfícies orientadas
Dada uma parametrização~r(u,v) = x(u,v)~i+ y(u,v)~j+ z(u,v)~k de umsuperfície S, definimos o vetor normal unitário em S como
~n(u,v) =~ru×~rv
‖~ru×~rv‖.
Se~n estiver definido em todo ponto de S, dizemos que a superfície éorientada. Dizemos ainda que S tem orientação positiva se o vetor normalunitário aponta para fora de S, e negativa se aponta para dentro de S.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 130 / 168
Integrais de superfícies
Fluxo de um campo vetorial
Seja ~V o campo de velocidade de uma fluido com densidade ρ. A massa dmque atravessa o elemento de superfície dS, na direção do vetor unitário~n, porunidade de tempo, é dada por
dm = ρ~V ·~ndS.
Podemos definir a quantidade~F = ρ~V como um campo vetorial. Assim o fluxode massa através da superfície S é dado por
m =∫∫
Sρ~V ·~ndS =
∫∫S~F ·~ndS.
Podemos utilizar o exemplo acima para definir o fluxo de um campo vetorialatravés de uma superfície S.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 131 / 168
Integrais de superfícies
Definição
Se~F for um campo vetorial contínuo definido sobre uma superfície orientada Scom vetor unitário~n, então a integral de superfície (fluxo) de~F sobre S é
Fluxo de~F =∫∫
S~F ·~ndS =
∫∫S~F ·d~S.
Note que se~r(u,v) é uma parametrização de uma superfície S, entãopodemos reescrever a expessão acima notando que~n(u,v) = ~ru×~rv
‖~ru×~rv‖ e quedS = ‖~ru×~rv‖dudv. Assim∫∫
S~F ·~ndS =
∫∫D~F · (~ru×~rv)dudv.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 132 / 168
Integrais de superfícies
Exemplo 40
Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = z~i+ y~j+ x~k através da esferaunitária x2 + y2 + z2 = 1.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 133 / 168
Integrais de superfícies
Exemplo 40
Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = z~i+ y~j+ x~k através da esferaunitária x2 + y2 + z2 = 1.
Solução
Dada a parametrização~r(φ,θ) = sin(φ)cos(θ)~i+ sin(φ)sin(θ)~j+ cos(φ)~k,temos que~rφ×~rθ = sin2(φ)cos(θ)~i+ sin2(φ)sin(θ)~j+ sin(φ)cos(φ)~k. Noteainda que
~F(~r(φ,θ)) = cos(φ)~i+ sin(φ)sin(θ)~j+ sin(φ)cos(θ)~k.
De forma que~F · (~rφ×~rθ) = sin2(φ)cos(φ)cos(θ)+ sin3(φ)sin2(θ)+ sin2(φ)cos(φ)cos(θ)
= 2sin2(φ)cos(φ)cos(θ)+ sin3(φ)sin2(θ).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 134 / 168
Integrais de superfícies
Exemplo 40 continuação
Assim o fluxo é dado por
∫∫D~F · (~rφ×~rθ)dφdθ =
∫ 2π
0
∫π
0[2sin2(φ)cos(φ)cos(θ)+ sin3(φ)sin2(θ)]dφdθ
=∫ 2π
0
∫π
0sin3(φ)sin2(θ)dφdθ
=∫ 2π
0sin2(θ)dθ
∫π
0sin3(φ)dφ
=4π
3.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 135 / 168
Integrais de superfícies
Exemplo 41
Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = P~i+Q~j+R~k através de umasuperfície dada por z = g(x,y).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 136 / 168
Integrais de superfícies
Exemplo 41
Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = P~i+Q~j+R~k através de umasuperfície dada por z = g(x,y).
Solução
Note que~rx×~ry =−gx~i−gy~j+~k, de forma que
~F · (~rx×~ry) =−Pgx−Qgy +R.
Assim o fluxo do campo vetorial é dado por∫∫S~F ·d~S =
∫∫D
[−P
∂g∂x−Q
∂g∂y
+R]
dxdy.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 137 / 168
Integrais de superfícies
Exemplo 42
Calcule∫∫
S~F ·d~S, onde~F(x,y,z) = y~i+ x~j+ z~k e S é a fronteira da região
sólida E delimitada pelo paraboloide z = 1− x2− y2 e pelo plano z = 0.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 138 / 168
Integrais de superfícies
Exemplo 42
Calcule∫∫
S~F ·d~S, onde~F(x,y,z) = y~i+ x~j+ z~k e S é a fronteira da região
sólida E delimitada pelo paraboloide z = 1− x2− y2 e pelo plano z = 0.
Solução
A superfície (fechada) tem a seguinte forma:
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 139 / 168
Integrais de superfícies
Exemplo 42 continuação
Sobre a superfície S2 o vetor~n =−~k, de forma que~F · (−~k) =−z. Mas sobreo plano xy temos que z = 0, assim
∫∫S2~F ·d~S = 0. Sobre S1 temos que
∫∫S1
~F ·d~S =∫∫
D
[−P
∂g∂x−Q
∂g∂y
+R]
dxdy =∫∫
D[1− x2− y2 +4xy]dxdy
=∫ 2π
0
∫ 1
0[1− r2 +4r2 cos(θ)sin(θ)]rdrdθ
= π− π
2+
∫ 2π
0cos(θ)sin(θ)dθ =
π
2.
Assim∫∫
S~F ·d~S =
∫∫S1~F ·d~S+
∫∫S2~F ·d~S = π
2 .
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 140 / 168
O teorema do divergente
Já vimos que no cálculo de certas integrais de linha sobre um caminhofechado, podemos converter a integral de linha em uma integral dupla(Teorema de Green). Veremos agora sobre que condições poderemosconverter uma integral de superfície em uma integral tripla.
Teorema do divergente ou de Gauss
Seja E uma região sólida simples e seja S a superfície fronteira de E, orientadapositivamente (para fora). Seja~F um campo vetorial cujas funçõescomponentes tenham derivadas parciais contínuas em uma região aberta quecontenha E. Então ∫∫
S~F ·~ndS =
∫∫∫E
div~FdV.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 141 / 168
O teorema do divergente
Exemplo 43
Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = z~i+ y~j+ x~k através da esferaunitária x2 + y2 + z2 = 1.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 142 / 168
O teorema do divergente
Exemplo 43
Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = z~i+ y~j+ x~k através da esferaunitária x2 + y2 + z2 = 1.
Solução
Como a superfície em questão é fechada, uma esfera unitária, podemosaplicar o Teorema de Guass. Note que ∇ ·~F = 1. Assim∫∫
S~F ·~ndS =
∫∫∫E
div~FdV =∫∫∫
EdV = V(E) =
4π
3.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 143 / 168
O teorema do divergente
Exemplo 44
Calcule∫∫
S~F ·~ndS, onde~F(x,y,z) = xy~i+(y2 + exz2
)~j+ sin(xy)~k e S é asuperfície fechada limitada pelo cinlindro parabólico z = 1− x2 e pelos planosz = 0, y = 0 e y+ z = 2.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 144 / 168
O teorema do divergente
Exemplo 44
Calcule∫∫
S~F ·~ndS, onde~F(x,y,z) = xy~i+(y2 + exz2
)~j+ sin(xy)~k e S é asuperfície fechada limitada pelo cinlindro parabólico z = 1− x2 e pelos planosz = 0, y = 0 e y+ z = 2.
Solução
Note que ∇ ·~F = 3y, assim∫∫S~F ·d~S =
∫∫∫E
3ydV = 3∫ 1
−1
∫ 1−x2
0
∫ 2−z
0ydydzdx
=32
∫ 1
−1
∫ 1−x2
0(2− z)2dzdx =
32
∫ 1
−1
[− (2− z)3
3
]1−x2
0dx
=−12
∫ 1
−1[(x2 +1)3−8]dx =
−12
∫ 1
−1(x6 +3x4 +3x2−7)dx =
18435
.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 145 / 168
O teorema do divergente
Exemplo 45
Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = z~i+ x~j+ y~k através do cilindrox2 + y2 = 1, limitado pelos planos z = 0 e z = 1.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 146 / 168
O teorema do divergenteExemplo 45
Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = z~i+ x~j+ y~k através do cilindrox2 + y2 = 1, limitado pelos planos z = 0 e z = 1.
Solução
Note que ∇ ·~F = 0, de forma que o fluxo de~F através do cilindro é dado por∫∫S~F ·~ndS =
∫∫∫E
div~FdV =∫∫∫
E0dV = 0.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 147 / 168
O teorema de Stokes
Veremos agora uma generalização do teorema de Green.
Curva fronteira de uma superfície orientada
Seja S uma superfície orientada positivamente. Uma curva C que delimita asbordas de S é chamada de curva fronteira. A curva fronteira tem orientaçãopositiva se ao deslizarmos o dedo indicador a longo de C, o polegar apontarna mesma direção do vetor~n de S. Do contrário, C tem oritentação negativa.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 148 / 168
O teorema de Stokes
Teorema de Stokes
Seja S uma superfície orientada, lisa por partes, cuja fronteira é formada poruma curva C fechada, simples, lisa por partes, com orientação positiva. Seja~Fum campo vetorial cujas componentes têm derivadas parciais contínuas emuma região aberta do R3 que contém S. Então∮
C~F ·d~r =
∫∫S
rot~F ·d~S.
Note que se~F = P~i+Q~j, então rot~F =
(∂Q∂x −
∂P∂y
)~k, e que d~S =~kdxdy. Assim∮
CPdx+Qdy =
∫∫D
(∂Q∂x− ∂P
∂y
)dxdy,
que é o teorema de Green.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 149 / 168
O teorema de Stokes
Exemplo 46
Calcule∮
C~F ·d~r, onde~F(x,y,z) =−y2~i+ x~j+ z2~k e C é a curva da
intersecção do plano y+ z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1.
Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 150 / 168
O teorema de Stokes
Exemplo 46
Calcule∮
C~F ·d~r, onde~F(x,y,z) =−y2~i+ x~j+ z2~k e C é a curva da
intersecção do plano y+ z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1.
Solução
Note que
∇×~F =
∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂
∂x∂
∂y∂
∂z−y2 x z2
∣∣∣∣∣∣∣= (1+2y)~k.
Assim∮C~F ·d~r =
∫∫S
rot~F ·d~S =∫∫
D(1+2y)dxdy
=∫ 2π
0
∫ 1
0[1+2r sin(θ)]rdrdθ =
∫ 2π
0
[12+
23
sin(θ)]
dθ = π.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 151 / 168
O teorema de Stokes
Exemplo 47
Use o teorema de Stokes para calcular∫∫
S rot~F ·d~S, onde~F(x,y,z) = xz~i+ yz~j+ xy~k e~S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que estádentro do cilindro x2 + y2 = 1 e acima do plano xy.
Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 152 / 168
O teorema de Stokes
Exemplo 47
Use o teorema de Stokes para calcular∫∫
S rot~F ·d~S, onde~F(x,y,z) = xz~i+ yz~j+ xy~k e~S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que estádentro do cilindro x2 + y2 = 1 e acima do plano xy.
Solução
A curva fronteira C é obtida pela intersecção de x2 + y2 + z2 = 4 comx2 + y2 = 1, isto é, uma circunferência unitária no plano z =
√3. Assim temos
que~r(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j+√
3~k. Logo~r′(t) =−sin(t)~i+ cos(t)~j e~F(~r(t)) =
√3cos(t)~i+
√3sin(t)~j+ cos(t)sin(t)~k. De forma que∫∫
Srot~F ·d~S =
∮C~F ·d~r
=∫ 2π
0[−√
3cos(t)sin(t)+√
3cos(t)sin(t)]dt = 0.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 153 / 168
O teorema de Stokes
Exemplo 48
Use o teorema de Stokes para calcular∮
C~F ·d~r, onde
~F(x,y,z) = z2~i+ y2~j+ x~k e C é o triangulo com vérteces (1,0,0), (0,1,0) e(0,0,1) no sentido antihorário.
Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 154 / 168
O teorema de Stokes
Exemplo 48
Use o teorema de Stokes para calcular∮
C~F ·d~r, onde
~F(x,y,z) = z2~i+ y2~j+ x~k e C é o triangulo com vérteces (1,0,0), (0,1,0) e(0,0,1) no sentido antihorário.
Solução
Note que o plano que liga os vértices do triangulo é dada por z = 1− x− y.Assim
∇×~F =
∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂
∂x∂
∂y∂
∂zz2 y2 x
∣∣∣∣∣∣∣= (2z−1)~j.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 155 / 168
O teorema de Stokes
Exemplo 48 continuação
Note ainda que ~G = ∇×~F = (2z−1)~j, assim∮C~F ·d~r =
∫∫S
rot~F ·d~S
=∫∫
S~G ·d~S =
∫∫D
[−P
∂g∂x−Q
∂g∂y
+R]
dxdy
=∫∫
S(2z−1)dxdy =
∫ 1
0
∫ 1−x
0(1−2x−2y)dydx
=∫ 1
0(x2− x)dx =−1
6.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 156 / 168
Cálculo vetorial
Campo vetorial~F(x,y) =−y~i+ x~j
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Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 157 / 168
Cálculo vetorial
Campo vetorial ∇f (x,y) = 2x~i+2y~j
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Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 158 / 168
Integrais de linha
Semicírculo unitário x2 + y2 = 1
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Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 159 / 168
Integrais de linha
Caminho C como a união de C1 e C2
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Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 160 / 168
Integrais de linha
Hélice x = cos(t), y = sin(t) e z = t
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Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 161 / 168
Integrais de linha
Campo vetorial~F(x,y,z) = x2~i− xy~j
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Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 162 / 168
Integrais de linha
Caminhos de integração C1 e C2
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Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 163 / 168
Integrais de linha
Caminhos de integração C1 e C2
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Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 164 / 168
Teorema de Green
Caminho de integração triangular
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Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 165 / 168
Teorema de Green
Curva fronteira
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Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 166 / 168
Teorema de Green
Curva fronteira
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Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 167 / 168
Teorema de Green
Curva fronteira
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Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 168 / 168