O Cálculo com Geometria Analítica - Vol I - 3ª Edição
Louis Leithold
Capítulo III
A derivada e a derivação
Exercícios 3.9
Taxas relacionadas
Resolvido por Nelson Poerschke
Exemplos:
01. Uma escada com 25 unidade de cimprimento está apoiada numa parede vertical. Se o pé da escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 unidades de comprimento por segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizando quando o seu pé está a 15 unidades de comprimento da parede?
dxdt
=3
Queremos encontrar dydt quando x=15.
Pelo teorema de pitágoras, y2=252+x2
y2=252−152 y2=625−225 y=√400=20
Derivando x e y em função do tempo, temos:
y2=625−x2→2 y dydt
=−2x dxdt
dydt
=−xy
dxdt
Como dxdt
=3, temos:
dydt
=−1530
(3 )=−4530
=−94
=−2 14
Logo, concluímos que, quando o pé da escada está a uma distância de 15 unidades de
comprimento da parede, o topo da mesma está se movendo a uma velocidade de 214 unidade de
comprimento por segundo. O sinal negativo indica que y decresce enquanto x cresce.
Técnica para resolver problemas envolvendo taxas.
1. Faça uma figura, se for possível.
2. Defina as variáveis. Em geral defina primeiro t , pois as outras variáveis normalmente dependem de t .
3. Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas em relação a t .
4. Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t .
5. Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada na etapa 4.
6. Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa 5 e resolva em termos da quantidade desejada.
01. Se 2 x+3 y=8 e dydt
=2, ache dxdt .
2 x+3 y=8
2 dxdt
+3 dydt
=0→2 dxdt
=−3 dydt
→ dxdt
=−32
dydt
=−32
(2 )=162
=−3
02. Se xy=10 e
dxdt
=−5, ache dydt .
xy=10→x=10 y→ dx
dt=10 dy
dt→−5=10 dy
dt→10 dy
dt=−5→dy
dt=−5
10=−1
2
03. Se xy=20 e dydt
=10, ache dxdt quando x=2.
xy=20→xD x y+ y Dx x=Dx 20→x dydt
+ y dxdt
→ x dydt
=− y dxdt
→ dxdt
=−xy
dydt
xy=20→2 y=20 y=202
=10
dxdt ]x=2
− xydydt
=−210
(10 )=−2
04. Se 2 sen x+4 cos y=3 e dydt
=3, ache dxdt em ( 1
6π , 1
3π ) .
2cos x dxdt
−4 sen y dydt
=0→2(cos 16π) dxdt −4 (sen 1
3π )(3)=0
2(√32 ) dxdt −4(√3
2 ) (3 )=0→√3 dxdt
−12√32
=0→√3 dxdt
−6√3=0
√3 dxdt
=6√3→dxdt
=6√3√3
→dxdt
=6
05. Se sen2 x+cos2 y=54 e
dxdt
=−1, ache dydt em ( 2
3π , 3
4π ) .
2 sen x cos x dxdt
+2cos y (−sen y dydt )=0→sen2x dx
dt−sen2 y dy
dt=0
dydt
= sen2xsen2 y
dxdt
→ dydt ] y=3 π
4
=sen2( 2
3π )
sen2( 34π )
dxdt
=sen 4
3π
sen 32π
(−1 )=
−12 √3
−1(−1 )=−1
2 √3
06. Se x2+ y2=25 e dxdt
=5, ache dydt quando y=4.
2 x dxdt
+2 y dydt
=0→2 y dydt
=−2 x dxdt
→ dydt
=−xy
dxdt
Como não temos o valor de x resolvemos:
x2+ y2=25→x=±√25− y2→x=±√25−42=±3
dydt ] y=4
− xydxdt
=± 34
(5 )=± 154
07. Se √ x+√ y=5 e dydt
=3, ache dxdt quando x=1.
x12+ y
12 =5→ 1
2x
−12 dxdt
+ 12y
−12 dydt
=0→ dxdt
=−1
2y
−12
12x
−12
dydt
dxdt =
− 1
y12
1
x12
dydt →
dxdt =
x12
y12
dydt
√ x+√ y=5→√ y=5−1→ y=42→y=16
dxdt ]x=1
=1
12
1612
(3 )=−34
08. Se y (tg x+1)=4 e dydt
=−4, ache dxdt quando x=π .
y ( tg x+1 )=4→y= 4tg x+1
→y=4 (tg x+1)−1
dydt
=−4 (tg x+1)−2 sec2 x dxdt
Se dydt
=−4 e x=π
−4=−4 (tg π+1)−2 sec2π dxdt
→−4=−4 (1 )( 1cos π )
2 dxdt
→−4=−4 (1 )(1) dxdt
−4=−4 dxdt
→−4 dxdt
=−4 →dxdt
=−4−4
=1
09. Uma pipa está voando a uma altura de 40 m. Uma criança está empinando-a de tal forma que ela se mova horizontalmente, a uma velocidade de 3 m/s. Se a linha estiver esticada, com que velocidade a linha estará sendo “dada”, quando o comprimento da linha desenrolada for de 50 m?
SejaS o comprimento da linha, y a altura da pipa e x a distância horizontal do menino até a projeção vertical da pipa com o solo.
Então teremos:
S2=x2+ y2→S2=x2+402→2S dSdt
=2 x→ dSdt
=2 x2S
= xS
Quando S=50, teremos
502=x2+402→x=√502−402=30 e dxdt
=3
dSdt ]S=50
= xSdxdt
=3050
(3 )=9050
=95
Quando o comprimento da linha for de 50 m, a linha estará sendo “dada” a uma taxa de 95 m/s.
10. Um balão esférico está sendo inflado de tal forma que seu volume aumente a uma taxa de 5m3 /min. Qual a taxa de crescimento do diâmetro quando ele mede 12 m?
V= 43π r3→dV
dt=4
3πr 3=4 π r2 dr
dt
Porém, sabemos que dVdt
=5, conforme o enunciado.
Então:
dVdt
=4 π r2 drdt
→5=4π r2 drdt
→ drdt
= 54π r2
Logo, quando o diâmetro for de 12 m, r=6.
drdt ]r=6
= 54 π r2 =
54 π (6)2 =
54 π (36)
= 5144 π
Como o diâmetro é igual a 2 r, quando a taxa de crescimento do raio é 5
144π , a taxa de
crescimento do diâmetro é 5
72π.
11. Uma bola de neve está se formando de tal modo que seu volume cresça a uma taxa de 8cm3/min. Ache a taxa segundo a qual o raio está crescendo quando a bola de neve tiver 4 cm de diâmetro.
V= 43π r3→dV
dt=4
3πr 3=4 π r2 dr
dt
Porém, sabemos que dVdt
=8, conforme o enunciado. Então:
dVdt
=4 π r2 drdt
→8=4 π r2 drdt
→ drdt
= 84 π r2
Logo, quando o diâmetro for de 4 cm, r=2.
drdt ]r=2
= 84 π r2 =
84 π (2)2 =
84 π (4 )
= 816 π
= 12π
Quando o diâmetro for 4 cm, o raio estará crescendo à taxa de 1
2π .
12. Suponha que quando o diâmetro da bola de neve do exercício anterior for de 6 cm, ela pare de
crescer e começe a derreter a uma taxa de 14cm3/min. Ache a taxa segundo a qual o raio estará
variando, quando o raio for de 2cm.
V= 43π r3→dV
dt=4
3πr 3=4 π r2 dr
dt
Porém, sabemos que dVdt
=−14 , conforme o enunciado. Então:
dVdt
=4 π r2 drdt
→−14=4 π r2 dr
dt→ dr
dt=
−14
4 π r2 =−1
16π r2
Logo, quando o diâmetro for de 4 cm, r=2.
drdt ]r=2
= −116π r2 =
−116π (2 )2
= −116π ( 4 )
= −164 π
Quando o raio for de 2cm, estará decrescendo à taxa de −164 π .
13. Uma certa quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10m3/min, formando um monte cônico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taxa a altura estará crescendo quando o monte tiver 8m de altura?
V=13π r2h
Como r=12h eV =1
3π r2h
V=13π ( 1
2h)
2
h→V =13π ( 1
2h)
2
h→V=13π ( 1
4h2)h
V= 112
π h3→dVdt
= 312
π h2 dhdt
→ dVdt
=14π h2 dh
dt→ dh
dt= 4
π h2dVdt
Como dVdt
=10, quando o monte tiver 8 m de altura,
dhdt ]h=8
= 4π h2
dVdt
= 4π (8 )2
(10 )= 4064 π
= 58π
m /min
14. Uma lâmpada está pendurada a 4,5 m de um piso horizontal. Se um homem com 1,80 m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade de 1,5 m/s, qual a velocidade de crescimento da sobra?
Em t segundos, sejax metros a distância do homem a partir do ponto de luz e s metros o comprimento da sombra.
dxdt
=1,5m/ sou 32m /s
Da semelhança de triângulos temos:
basealtura
= s1,8
= x+s4,5
→ 4,5 s=1,8 x+1,8 s→4,5 s−1,8 s=1,8 x→2,7 s=1,8x
s=1,8 x2,7
=1,82,7
x=0,20,3
x→ s=23x dsdt
=23dxdt
=23 ( 3
2 )=66=1
A sombra cresce a 1 m/s.
15. Com os dados do exercício anterior, com que velocidade a ponta da sombra está se movendo?
Em t s, seja x m a distância do homem até a lâmpada e seja y m a distância horizontal da ponta da sombra do homem até a base do poste em que a lâmpada está pendurada.
y−x1,8
= y4,5
→4,5 y−4,5 x=1,8 y→4,5 y−1,8 y=4,5 x
2,7 y=4,5 x y= 4,52,7
x=0,50,3
x=53x y=5
3x→ dy
dt=5
3dxdt
Como dxdt
=32 , e
dydt
=53dxdt
→ dydt
=53
32=15
6m /s
A ponta da sombra se move a 156
m /s
16. Um homem com 1,80 m de altura caminha em direção a um edifício, com uma velocidade de 1,5 m/s. Se existe um ponto de luz no chão, a 15m do edifício, com que velocidade a sombra do homem no edifício estará diminuindo, quando ele estiver a 9 m do edifício?
Como o homem se aprxima do edifício a uma velocidade de 1,5m /s, dxdt
=32 .
dzdt é a taxa com a qual a sombra projetada no edifício diminui à medida que o homem se
aproxima.
Quando o homem se encontra a 9 m do edifício, x=15−9=6m.
Da igualdade de triângulos,
z15
=1,80x
→zx=15 (1,80 )→z=27x
→z=27 x−1
dzdt
=−27 x−2 dxdt Como dxdt
=32 e x=6
dzdt
=−27 x−2 32→ dz
dt=−27
x2 ( 32 )=dz
dt=−27
62 ( 32 )=−81
72=−9
8m /s
17. Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do tumor for 0,5 cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001 cm por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor naquela instante?
V= 43π r3→dV
dt=4
3πr 3=4 π r2 dr
dt
Conforme o enunciado, drdt
=0,001 cm ou 11000
4 π r2 drdt ]r=0,5
=4 π (0,5 )2 (0,001 )=0,001π
Portanto, quando o raio do tumor tiver 0,5 cm, o volume do tumor estará crescendo a uma taxa de 0,001π , ou seja, aproximadamente 0,003 c m3 por dia.
18. Uma célula bacteriana tem a forma eférica. Se o raio da célula estiver crescendo à taxa de 0,01 micrômetros por dia quando ela tiver 1,5 μm de raio, qual será a taxa de crescimento do volume da célula naquele instante?
drdt
=0,01μm /dia
V= 43π r3→dV
dt=4
3πr 3=4 π r2 dr
dt
4 π r2 drdt ]r=1,5
=4 π (1,5 )2 (0,01 )=0,9π
O volume da célula está crescendo a uma taxa de ≅ 0,28 μm3 /dia.
19. Para o tumor do exercício 17, qual será a taxa de crescimento da sua área quando o raio for 0,5 cm?
drdt
=0,001cm /dia
S=4 π r2→ dSdt
=8 πr drdt
dSdt ]r=0,5
=8 πr drdt
=8 π (0,5 ) (0,001 )=0,004 π ≅ 0,013 c m2/dia
A taxa de crescimento da área do tumor é 0,013 c m2/dia .
20. Para a célula do exercício 18, qual será a taxa de aumento da área quando seu raio for 1,5 μm.
drdt
=0,01μm /dia
S=4 π r2→ dSdt
=8 πr drdt
dSdt ]r=1,5
=8 πr drdt
=8 π (1,5 ) (0,01 )=0,12π ≅ 0,38μm2/dia
A taxa de crescimento da área da célula é 0,38 μm2/dia.
21. Um tanque com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado a uma taxa de 6m3/min. A altura do cone é de 24 m e o raio da base é de 12 m. Ache a velocidade com que o nível de água está abaixando, quando a água tiver uma profundidade de 10 m.
Seja r m o raio da superfície da água e hm a altura da superfície da água
Da semelhança de triângulos:
hr=24
12→r=1
2h
O volume de água do tanque pode ser expresso em termos do volume do cone.
V=13π r2h→V=1
3π (1
2h)
2
h= 112
π h3→dVdt
=14π h2 dh
dt→ dh
dt= 4
π h2dVdt
Como o tanque esvazia, seu volume diminui à taxa de 6,0m3/min. Logo dVdt
=−6
dhdt ]h=10
= 4π h2
dVdt
= 4π (10 )2
(−6 )= −24100π
= −625 π
Então, quando a água tiver 10 m de profundidade, o nível estará baixando a uma taxa de 6
25πm /min ou ≅ 7,64 cm /min.
22. Um cocho tem 360 cm de comprimento e seus extremos têm a forma de triângulos isóceles invertidos, com 90 cm de altura e 90 cm de base. Água está fluindo no cocho a uma taxa de 60c m3 /min. Com que velocidade estará se elevando o nível da água quando a profundidade for de 30 cm?
O volume de um prisma triangular regular é dado por:
Área da base:
S=12bhV=1
2bh .H (onde h= altura do triângulo e H = altura do prisma).
O que se modifica com o decorrer do tempo é a altura do triângulo. Então
Como a base deste triângulo é igual à sua altura, podemos substituir bh por h2.
V=12H h2→dV
dt=Hh dh
dt→ dh
dt= 1
HhdVdt
dVdt
=0,6m3/min
dhdt ]h=0,30
= 1Hh
dVdt
= 1(3,6 ) (0,30 )
(0,60 )=0,55m /min
23. A lei de Boyle para a expansão de um gás é PV=C , onde P é o número de quilos por unidade quadrada de pressão, V é o número de unidades cúbicas de volume do gás e C é uma constante. Num certo instante, a pressão é de 150kg /m2, o volume é 1,5m3 e está crescendo a uma taxa de 1m3 /min. Ache a taxa de variação da pressão nesse instante.
dVdt
=1m3 /min
PV=C→P dVdt
+V dPdt
=0→dPdt
=−PV
dVdt
dPdt ]
V=5= P
VdVdt
=−150 kg/m2
1,5m3 (1m3/min )=−100 kg/m2
A pressão está decrescendo a uma taxa de 100 kg /m2.
24. A lei adiabática (sem ganho ou perda de calor) para a expansão do ar é PV 1,4=C , onde P é o número de quilos por unidade quadrática de pressão, V é o número de unidades cúbicas de volume do gás e C é uma constante. Num dado instante, a pressão é de 18.000g /c m2 e está crescendo a uma taxa
de 3.600 g/c m2 a cada segundo. Se C= 516 , qual será a taxa de variação do volume nesse instante?
PV 1,4=C→PV75= 5
16→V
75= 5
16P−1→V =( 5
16 )57 P
−57 →dV
dt=−5
7 ( 516 )
57 P
−127 dP
dt
dPdt
=3,600 g/c m2
dVdt
=−57 ( 5
16 )57 18000
−127 (3,600 )=
−57 ( 5
16 )57
18000127
(3,600 )=−5,68×10−5g /cm2
25. Uma pedra cai livremente num lago de água parada. Ondas circulares se espalham e o raio da região afetada aumenta a uma taxa de 16 cm/s. Qual a taxa segundo a qual a região está aumentando quando o raio for de 4 cm?
drdt
=16cm /s
S=π r2→dSdt
=2πr drdt
dSdt ]r=4cm
=2πr drdt
=2π (4 ) (16 )=128π cm2 /s
26. Uma certa quantidade de óleo está sendo despejado num tanque com a forma cônica invertida, a uma taxa de 3 π m3/min. Se o tanque tiver um raio de 2,5m no topo e 10m de profundidade, com que velocidade a profundidade do óleo estará variando quando ela tiver com 8m de profundidade?
dVdt
=3πm3/min
V=13π r2h
Da similaridade de triângulos:
rh=2,5
10→r=1
4h
V= 13π ( 1
4h)
2
h→V=( 14 )
2 13π (h )2h→V= 1
48π h3→dV
dt= 1
16π h2 dh
dt
Como h=8m
dVdt
= 116
π ¿
dVdt
=4 π dhdt
→ dhdt
= 14 π
dVdt
= 14 π
(3 π )= 3π4π
=34m /min
27. Um automóvel aproxima-se de um cruzamento a uma velocidade de 30 m/s. Quando o automóvel está a 120 m do cruzamento, um caminhão a uma velocidade de 40 m/s atravessa o cruzamento. O automóvel e o caminhão estão em ruas que se cruzam em ângulo reto. Com que velocidade o automóvel e o caminhão estarão se afastando um do outro, 2 s após o caminhão ter passado pelo cruzamento?
Em t s depois que o caminhão passa pelo cruzamento:
x m (distância percorrida pelo caminhão)
y m (distância percorrida pelo automóvel)
S m (distância entre eles)
S=√x2+(120− y )2→S=[x2+(120− y )2]12
Dt S=12[ x2+(120− y )2]
−1 /2
D t[ x2+(120− y )2]
Dt S=12[ x2+ (120− y )2]
−1 /2
[2x Dt x+2 (120− y ) (−D t y )]
Dt S=[ x2+(120− y )2]−1 /2 12[2x Dt x+2 (120− y ) (−D t y )]
Dt S=[ x2+(120− y )2]−1 /2[ x Dt x+(120− y ) (−D t y )]
Dt S=x Dt x+(120− y ) (−Dt y )
√ x2+(120− y )2=¿
Como Dt x=40m /s e Dt y=30m/ s
Então em t=2 s, x=80m e y=60m, temos:
Dt S=x Dt x+(120− y ) (−Dt y )
√ x2+(120− y )2=
80(40)+ (120−60 ) (−30 )
√802+ (120−60 )2= 3200−1800
√6400+3600=1400
100=14
Assim, 2 s após o caminhão ter passado pelo cruzamento, o automóvel e o caminhão estão se separando à taxa de 14 m/s.
28. Uma corda está amarrada em um barco no nível da água e uma mulher em um cais puxa a corda a uma taxa de 15 m/min. Se as mãos da mulher estão a 5 m acima do nível da água, com que velocidade o bote estará se aproximando do cais quando o comprimento da corda já puxada for de 6 m?
Como a mulher puxa a corda numa taxa de 6 m/min:
dSdt
=−15m /min
Usando pitágoras e derivando implicitamente em função do tempo, teremos:
S2=x2+52→2S dSdt
=2x dxdt
+0
Substituindo S por 6 (quando a corda for puxada 6 m)
S2=x2+52→62=x2+52→x=√62−52=√11
Substituindo em 2S dSdt
=2x dxdt
+0 pelso valores encontrados de S ,dSdt
e x, teremos:
2S dSdt
=2x dxdt
→2 (6 ) (−15 )=2√11 dxdt
→ dxdt
=−1802√11
=−90√1111
Quando o comprimento da corda já puxada for 6 m, a taxa de aproximação do bote em direção
ao cais é −90√1111
m /min≅ −27,14m /min .
29. Esta semana uma fábrica está produzindo 50 unidades de um determinado produto e a produção está crescendo a uma taxa de 2 unidades por semana. Se C (x) for o custo total da produção de x unidades e C ( x )=0,08 x3−x2+10 x+48, ache a taxa corrente segundo a qual o custo de produção está crescendo.
Dt x=2
C é o custo de produção de x unidades em t semanas.
C ( x )=0,08x3−x2+10 x+48
DtC=0,24 x2D t x−2x Dt x+10Dt x
Substituindo por x=50, e Dt x por 2, teremos:
DtC ]x=50=0,24 ¿
Assim, o custo está crescendo a uma taxa de 1020 unidades monetária por semana.
30. A demanda por um determinado cereal é dada pela equação px+50 p=16000, onde x milhares de caixas são demandadas quando o preço da caixa for p. Se o preço corrente for de $ 1,60 por caixa e se o preço por caixa cresceu a uma taxa de $ 0,4 por semana, ache a taxa de variação da demanda.
x milhares de caixas são demandados se p unidades monetárias for o preço de uma caixa, onde:
px+50 p=16000→x=16000p
−50→x=16000 p−1−50
Se os preços por caixa cresceram a uma taxa de $ 0,4 por semana, dpdt
=0,4.
Derivando x=16000 p−1−50, encontramos dxdt
=−16000 p−2 dpdt .
O preço corrente é $1,60. Então substituindo p e dpdt na equação:
dxdt
=−16000 p−2 dpdt
→ dxdt
=−160001,602 (0,4 )=−2500
O preço crescendo a uma taxa de $ 0,4 por semana implica na diminuição da demanda em 2500 caixas por semana.
31. A equação de oferta para certo produto é x=1000√3 p2+20 p, onde x unidades são oferecidas por mês quando p for o preço unitário. Ache a taxa de variação na oferta se o preço corrente for de $ 20 por unidade e se o preço estiver crescendo a uma taxa de $ 0,50 por mês.
x=1000√3 p2+20 p→x=1000 (3 p2+20 p)12
dxdp
=500 (3 p2+20 p )−12 Dt p (3 p2+20 p)
dxdp
=500 (3 p2+20 p )−12 (6 p dp
dt+20 dp
dt)
dxdp
=500(6 p dp
dt+20 dp
dt)
√(3 p2+20 p )→ dx
dp=
500(6 p+20)
√(3 p2+20 p )dpdt
O preço corrente é $ 20 e a taxa de crescimento é $0,50 por mês, então:
p=20e dpdt
=0,50
dxdp ]p=20
=500 (6 p+20 )( dpdt )
√( 3 p2+20 p )=
500[6 (20 )+20](0,50)√¿¿¿
A oferta aumenta em 875 unidades por mês.
32. Suponha que na produção de x unidades de certo produto seja necessária uma força de trabalho de y operários e x=4 y2. Se a produção este ano foi de 250.000 unidades e a produção está aumentando a uma taxa de 18.000 unidades ao ano, qual será a taxa corrente segundo a qual a força de trabalho deve ser aumentada.
dxdt
=18000/ano
Mas temos de encontrar dydt . Resolvendo para y a equação dada, temos
x=4 y2→4 y2=x→ y2= x4→y=√ x
4→ y=√ x
2→y=1
2x
12
Derivando x e y implicitamente em função do tempo, teremos:
y=12x
12→ dy
dt=1
4x
−12 dxdt
Substituindo na equação, x edxdt pelos valores respectivos, 250000 e 18000, obtemos:
dydt
=14
(250000 )−12 (18000 )→dy
dt=
14(18000)
√250000=4500
500=9
Então a força de trabalho deverá ser aumentada em 9 trabalhadores.
33. A equação de demanda de uma determinada camisa é 2 px+65 p−4950=0, onde x centenas de camisas são demandandas por semana quando p for o preço unitário. Se a camisa estiver sendo vendida esta semana a $30 e o preço unitário estiver crescendo a uma taxa de $ 0,20 por semana, ache a taxa de variação na demanda.
dpdt
=0,20 e p=30
100x camisas são demandadas por semana, quando p dólares é o preço de uma camisa.
2 px+65 p−4950=0→2 px=4950−65 p→x=4950−65 p2 p
x=49502 p
− 652 p
→x=2475p
−32,5→x=2475 p−1−32,5
dxdt
=−2475 p−2 dpdt
→ dxdt
=−2475p2
dpdt
Essa semana, dpdt
=0,20e p=30
Portanto:
dxdt ]p=30
=−2475p2
dpdt
=−2475302 0,20=−0,55
Porque dxdt
=−0,55 ,100 dxdt
=−55
Logo, a demanda está decrescendo a uma taxa de 55 camisas por semana.
38. Uma escada com 7 m de comprimento está apoiada numa parede. Se o pé da escada for empurrado horizontalmente em direção à parede a 1,5 m/s, com que velocidade o topo da escada será deslocada para cima quando o pé da escada estiver a 2 m da parede.
Seja x m a distância do pé da escada até a parede e y m a distância do solo até o topo da escada, medido na parede.
dxdt
=−1,5
Utilizando o Teorema de Pitágoras:
y2=72−x2→ y=√49−x2→ y=(49−x2)12
dydt
=12(49−x2)
−12 Dt y (49−x2)→ dy
dt=1
2( 49−x2 )
−12 (−2x dx
dt )
dydt
=
12 (−2 x dx
dt )√49−x2
= −x√49−x2
dxdt
Como x=2 e dxdt
=−1,5
dydt
= −x√49−x2
dxdt
= −2√49−22
(−1,5 )= 3√45
= 3√32 .5
= 33√5
=√55≅ 0,447m /s
Quando o pé da escada se aproxima da parede a 1,5 m/s, o topo da escada é deslocado para cima a 0,447 m/s.