O Cálculo com Geometria Analítica - Vol I - 3ª Edição

Louis Leithold

Capítulo III

A derivada e a derivação

Exercícios 3.9

Taxas relacionadas

Resolvido por Nelson Poerschke

Exemplos:

01. Uma escada com 25 unidade de cimprimento está apoiada numa parede vertical. Se o pé da escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 unidades de comprimento por segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizando quando o seu pé está a 15 unidades de comprimento da parede?

dxdt

=3

Queremos encontrar dydt quando x=15.

Pelo teorema de pitágoras, y2=252+x2

y2=252−152 y2=625−225 y=√400=20

Derivando x e y em função do tempo, temos:

y2=625−x2→2 y dydt

=−2x dxdt

dydt

=−xy

dxdt

Como dxdt

=3, temos:

dydt

=−1530

(3 )=−4530

=−94

=−2 14

Logo, concluímos que, quando o pé da escada está a uma distância de 15 unidades de

comprimento da parede, o topo da mesma está se movendo a uma velocidade de 214 unidade de

comprimento por segundo. O sinal negativo indica que y decresce enquanto x cresce.

Técnica para resolver problemas envolvendo taxas.

1. Faça uma figura, se for possível.

2. Defina as variáveis. Em geral defina primeiro t , pois as outras variáveis normalmente dependem de t .

3. Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas em relação a t .

4. Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t .

5. Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada na etapa 4.

6. Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa 5 e resolva em termos da quantidade desejada.

01. Se 2 x+3 y=8 e dydt

=2, ache dxdt .

2 x+3 y=8

2 dxdt

+3 dydt

=0→2 dxdt

=−3 dydt

→ dxdt

=−32

dydt

=−32

(2 )=162

=−3

02. Se xy=10 e

dxdt

=−5, ache dydt .

xy=10→x=10 y→ dx

dt=10 dy

dt→−5=10 dy

dt→10 dy

dt=−5→dy

dt=−5

10=−1

2

03. Se xy=20 e dydt

=10, ache dxdt quando x=2.

xy=20→xD x y+ y Dx x=Dx 20→x dydt

+ y dxdt

→ x dydt

=− y dxdt

→ dxdt

=−xy

dydt

xy=20→2 y=20 y=202

=10

dxdt ]x=2

− xydydt

=−210

(10 )=−2

04. Se 2 sen x+4 cos y=3 e dydt

=3, ache dxdt em ( 1

6π , 1

3π ) .

2cos x dxdt

−4 sen y dydt

=0→2(cos 16π) dxdt −4 (sen 1

3π )(3)=0

2(√32 ) dxdt −4(√3

2 ) (3 )=0→√3 dxdt

−12√32

=0→√3 dxdt

−6√3=0

√3 dxdt

=6√3→dxdt

=6√3√3

→dxdt

=6

05. Se sen2 x+cos2 y=54 e

dxdt

=−1, ache dydt em ( 2

3π , 3

4π ) .

2 sen x cos x dxdt

+2cos y (−sen y dydt )=0→sen2x dx

dt−sen2 y dy

dt=0

dydt

= sen2xsen2 y

dxdt

→ dydt ] y=3 π

4

=sen2( 2

3π )

sen2( 34π )

dxdt

=sen 4

3π

sen 32π

(−1 )=

−12 √3

−1(−1 )=−1

2 √3

06. Se x2+ y2=25 e dxdt

=5, ache dydt quando y=4.

2 x dxdt

+2 y dydt

=0→2 y dydt

=−2 x dxdt

→ dydt

=−xy

dxdt

Como não temos o valor de x resolvemos:

x2+ y2=25→x=±√25− y2→x=±√25−42=±3

dydt ] y=4

− xydxdt

=± 34

(5 )=± 154

07. Se √ x+√ y=5 e dydt

=3, ache dxdt quando x=1.

x12+ y

12 =5→ 1

2x

−12 dxdt

+ 12y

−12 dydt

=0→ dxdt

=−1

2y

−12

12x

−12

dydt

dxdt =

− 1

y12

1

x12

dydt →

dxdt =

x12

y12

dydt

√ x+√ y=5→√ y=5−1→ y=42→y=16

dxdt ]x=1

=1

12

1612

(3 )=−34

08. Se y (tg x+1)=4 e dydt

=−4, ache dxdt quando x=π .

y ( tg x+1 )=4→y= 4tg x+1

→y=4 (tg x+1)−1

dydt

=−4 (tg x+1)−2 sec2 x dxdt

Se dydt

=−4 e x=π

−4=−4 (tg π+1)−2 sec2π dxdt

→−4=−4 (1 )( 1cos π )

2 dxdt

→−4=−4 (1 )(1) dxdt

−4=−4 dxdt

→−4 dxdt

=−4 →dxdt

=−4−4

=1

09. Uma pipa está voando a uma altura de 40 m. Uma criança está empinando-a de tal forma que ela se mova horizontalmente, a uma velocidade de 3 m/s. Se a linha estiver esticada, com que velocidade a linha estará sendo “dada”, quando o comprimento da linha desenrolada for de 50 m?

SejaS o comprimento da linha, y a altura da pipa e x a distância horizontal do menino até a projeção vertical da pipa com o solo.

Então teremos:

S2=x2+ y2→S2=x2+402→2S dSdt

=2 x→ dSdt

=2 x2S

= xS

Quando S=50, teremos

502=x2+402→x=√502−402=30 e dxdt

=3

dSdt ]S=50

= xSdxdt

=3050

(3 )=9050

=95

Quando o comprimento da linha for de 50 m, a linha estará sendo “dada” a uma taxa de 95 m/s.

10. Um balão esférico está sendo inflado de tal forma que seu volume aumente a uma taxa de 5m3 /min. Qual a taxa de crescimento do diâmetro quando ele mede 12 m?

V= 43π r3→dV

dt=4

3πr 3=4 π r2 dr

dt

Porém, sabemos que dVdt

=5, conforme o enunciado.

Então:

dVdt

=4 π r2 drdt

→5=4π r2 drdt

→ drdt

= 54π r2

Logo, quando o diâmetro for de 12 m, r=6.

drdt ]r=6

= 54 π r2 =

54 π (6)2 =

54 π (36)

= 5144 π

Como o diâmetro é igual a 2 r, quando a taxa de crescimento do raio é 5

144π , a taxa de

crescimento do diâmetro é 5

72π.

11. Uma bola de neve está se formando de tal modo que seu volume cresça a uma taxa de 8cm3/min. Ache a taxa segundo a qual o raio está crescendo quando a bola de neve tiver 4 cm de diâmetro.

V= 43π r3→dV

dt=4

3πr 3=4 π r2 dr

dt

Porém, sabemos que dVdt

=8, conforme o enunciado. Então:

dVdt

=4 π r2 drdt

→8=4 π r2 drdt

→ drdt

= 84 π r2

Logo, quando o diâmetro for de 4 cm, r=2.

drdt ]r=2

= 84 π r2 =

84 π (2)2 =

84 π (4 )

= 816 π

= 12π

Quando o diâmetro for 4 cm, o raio estará crescendo à taxa de 1

2π .

12. Suponha que quando o diâmetro da bola de neve do exercício anterior for de 6 cm, ela pare de

crescer e começe a derreter a uma taxa de 14cm3/min. Ache a taxa segundo a qual o raio estará

variando, quando o raio for de 2cm.

V= 43π r3→dV

dt=4

3πr 3=4 π r2 dr

dt

Porém, sabemos que dVdt

=−14 , conforme o enunciado. Então:

dVdt

=4 π r2 drdt

→−14=4 π r2 dr

dt→ dr

dt=

−14

4 π r2 =−1

16π r2

Logo, quando o diâmetro for de 4 cm, r=2.

drdt ]r=2

= −116π r2 =

−116π (2 )2

= −116π ( 4 )

= −164 π

Quando o raio for de 2cm, estará decrescendo à taxa de −164 π .

13. Uma certa quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10m3/min, formando um monte cônico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taxa a altura estará crescendo quando o monte tiver 8m de altura?

V=13π r2h

Como r=12h eV =1

3π r2h

V=13π ( 1

2h)

2

h→V =13π ( 1

2h)

2

h→V=13π ( 1

4h2)h

V= 112

π h3→dVdt

= 312

π h2 dhdt

→ dVdt

=14π h2 dh

dt→ dh

dt= 4

π h2dVdt

Como dVdt

=10, quando o monte tiver 8 m de altura,

dhdt ]h=8

= 4π h2

dVdt

= 4π (8 )2

(10 )= 4064 π

= 58π

m /min

14. Uma lâmpada está pendurada a 4,5 m de um piso horizontal. Se um homem com 1,80 m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade de 1,5 m/s, qual a velocidade de crescimento da sobra?

Em t segundos, sejax metros a distância do homem a partir do ponto de luz e s metros o comprimento da sombra.

dxdt

=1,5m/ sou 32m /s

Da semelhança de triângulos temos:

basealtura

= s1,8

= x+s4,5

→ 4,5 s=1,8 x+1,8 s→4,5 s−1,8 s=1,8 x→2,7 s=1,8x

s=1,8 x2,7

=1,82,7

x=0,20,3

x→ s=23x dsdt

=23dxdt

=23 ( 3

2 )=66=1

A sombra cresce a 1 m/s.

15. Com os dados do exercício anterior, com que velocidade a ponta da sombra está se movendo?

Em t s, seja x m a distância do homem até a lâmpada e seja y m a distância horizontal da ponta da sombra do homem até a base do poste em que a lâmpada está pendurada.

y−x1,8

= y4,5

→4,5 y−4,5 x=1,8 y→4,5 y−1,8 y=4,5 x

2,7 y=4,5 x y= 4,52,7

x=0,50,3

x=53x y=5

3x→ dy

dt=5

3dxdt

Como dxdt

=32 , e

dydt

=53dxdt

→ dydt

=53

32=15

6m /s

A ponta da sombra se move a 156

m /s

16. Um homem com 1,80 m de altura caminha em direção a um edifício, com uma velocidade de 1,5 m/s. Se existe um ponto de luz no chão, a 15m do edifício, com que velocidade a sombra do homem no edifício estará diminuindo, quando ele estiver a 9 m do edifício?

Como o homem se aprxima do edifício a uma velocidade de 1,5m /s, dxdt

=32 .

dzdt é a taxa com a qual a sombra projetada no edifício diminui à medida que o homem se

aproxima.

Quando o homem se encontra a 9 m do edifício, x=15−9=6m.

Da igualdade de triângulos,

z15

=1,80x

→zx=15 (1,80 )→z=27x

→z=27 x−1

dzdt

=−27 x−2 dxdt Como dxdt

=32 e x=6

dzdt

=−27 x−2 32→ dz

dt=−27

x2 ( 32 )=dz

dt=−27

62 ( 32 )=−81

72=−9

8m /s

17. Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do tumor for 0,5 cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001 cm por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor naquela instante?

V= 43π r3→dV

dt=4

3πr 3=4 π r2 dr

dt

Conforme o enunciado, drdt

=0,001 cm ou 11000

4 π r2 drdt ]r=0,5

=4 π (0,5 )2 (0,001 )=0,001π

Portanto, quando o raio do tumor tiver 0,5 cm, o volume do tumor estará crescendo a uma taxa de 0,001π , ou seja, aproximadamente 0,003 c m3 por dia.

18. Uma célula bacteriana tem a forma eférica. Se o raio da célula estiver crescendo à taxa de 0,01 micrômetros por dia quando ela tiver 1,5 μm de raio, qual será a taxa de crescimento do volume da célula naquele instante?

drdt

=0,01μm /dia

V= 43π r3→dV

dt=4

3πr 3=4 π r2 dr

dt

4 π r2 drdt ]r=1,5

=4 π (1,5 )2 (0,01 )=0,9π

O volume da célula está crescendo a uma taxa de ≅ 0,28 μm3 /dia.

19. Para o tumor do exercício 17, qual será a taxa de crescimento da sua área quando o raio for 0,5 cm?

drdt

=0,001cm /dia

S=4 π r2→ dSdt

=8 πr drdt

dSdt ]r=0,5

=8 πr drdt

=8 π (0,5 ) (0,001 )=0,004 π ≅ 0,013 c m2/dia

A taxa de crescimento da área do tumor é 0,013 c m2/dia .

20. Para a célula do exercício 18, qual será a taxa de aumento da área quando seu raio for 1,5 μm.

drdt

=0,01μm /dia

S=4 π r2→ dSdt

=8 πr drdt

dSdt ]r=1,5

=8 πr drdt

=8 π (1,5 ) (0,01 )=0,12π ≅ 0,38μm2/dia

A taxa de crescimento da área da célula é 0,38 μm2/dia.

21. Um tanque com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado a uma taxa de 6m3/min. A altura do cone é de 24 m e o raio da base é de 12 m. Ache a velocidade com que o nível de água está abaixando, quando a água tiver uma profundidade de 10 m.

Seja r m o raio da superfície da água e hm a altura da superfície da água

Da semelhança de triângulos:

hr=24

12→r=1

2h

O volume de água do tanque pode ser expresso em termos do volume do cone.

V=13π r2h→V=1

3π (1

2h)

2

h= 112

π h3→dVdt

=14π h2 dh

dt→ dh

dt= 4

π h2dVdt

Como o tanque esvazia, seu volume diminui à taxa de 6,0m3/min. Logo dVdt

=−6

dhdt ]h=10

= 4π h2

dVdt

= 4π (10 )2

(−6 )= −24100π

= −625 π

Então, quando a água tiver 10 m de profundidade, o nível estará baixando a uma taxa de 6

25πm /min ou ≅ 7,64 cm /min.

22. Um cocho tem 360 cm de comprimento e seus extremos têm a forma de triângulos isóceles invertidos, com 90 cm de altura e 90 cm de base. Água está fluindo no cocho a uma taxa de 60c m3 /min. Com que velocidade estará se elevando o nível da água quando a profundidade for de 30 cm?

O volume de um prisma triangular regular é dado por:

Área da base:

S=12bhV=1

2bh .H (onde h= altura do triângulo e H = altura do prisma).

O que se modifica com o decorrer do tempo é a altura do triângulo. Então

Como a base deste triângulo é igual à sua altura, podemos substituir bh por h2.

V=12H h2→dV

dt=Hh dh

dt→ dh

dt= 1

HhdVdt

dVdt

=0,6m3/min

dhdt ]h=0,30

= 1Hh

dVdt

= 1(3,6 ) (0,30 )

(0,60 )=0,55m /min

23. A lei de Boyle para a expansão de um gás é PV=C , onde P é o número de quilos por unidade quadrada de pressão, V é o número de unidades cúbicas de volume do gás e C é uma constante. Num certo instante, a pressão é de 150kg /m2, o volume é 1,5m3 e está crescendo a uma taxa de 1m3 /min. Ache a taxa de variação da pressão nesse instante.

dVdt

=1m3 /min

PV=C→P dVdt

+V dPdt

=0→dPdt

=−PV

dVdt

dPdt ]

V=5= P

VdVdt

=−150 kg/m2

1,5m3 (1m3/min )=−100 kg/m2

A pressão está decrescendo a uma taxa de 100 kg /m2.

24. A lei adiabática (sem ganho ou perda de calor) para a expansão do ar é PV 1,4=C , onde P é o número de quilos por unidade quadrática de pressão, V é o número de unidades cúbicas de volume do gás e C é uma constante. Num dado instante, a pressão é de 18.000g /c m2 e está crescendo a uma taxa

de 3.600 g/c m2 a cada segundo. Se C= 516 , qual será a taxa de variação do volume nesse instante?

PV 1,4=C→PV75= 5

16→V

75= 5

16P−1→V =( 5

16 )57 P

−57 →dV

dt=−5

7 ( 516 )

57 P

−127 dP

dt

dPdt

=3,600 g/c m2

dVdt

=−57 ( 5

16 )57 18000

−127 (3,600 )=

−57 ( 5

16 )57

18000127

(3,600 )=−5,68×10−5g /cm2

25. Uma pedra cai livremente num lago de água parada. Ondas circulares se espalham e o raio da região afetada aumenta a uma taxa de 16 cm/s. Qual a taxa segundo a qual a região está aumentando quando o raio for de 4 cm?

drdt

=16cm /s

S=π r2→dSdt

=2πr drdt

dSdt ]r=4cm

=2πr drdt

=2π (4 ) (16 )=128π cm2 /s

26. Uma certa quantidade de óleo está sendo despejado num tanque com a forma cônica invertida, a uma taxa de 3 π m3/min. Se o tanque tiver um raio de 2,5m no topo e 10m de profundidade, com que velocidade a profundidade do óleo estará variando quando ela tiver com 8m de profundidade?

dVdt

=3πm3/min

V=13π r2h

Da similaridade de triângulos:

rh=2,5

10→r=1

4h

V= 13π ( 1

4h)

2

h→V=( 14 )

2 13π (h )2h→V= 1

48π h3→dV

dt= 1

16π h2 dh

dt

Como h=8m

dVdt

= 116

π ¿

dVdt

=4 π dhdt

→ dhdt

= 14 π

dVdt

= 14 π

(3 π )= 3π4π

=34m /min

27. Um automóvel aproxima-se de um cruzamento a uma velocidade de 30 m/s. Quando o automóvel está a 120 m do cruzamento, um caminhão a uma velocidade de 40 m/s atravessa o cruzamento. O automóvel e o caminhão estão em ruas que se cruzam em ângulo reto. Com que velocidade o automóvel e o caminhão estarão se afastando um do outro, 2 s após o caminhão ter passado pelo cruzamento?

Em t s depois que o caminhão passa pelo cruzamento:

x m (distância percorrida pelo caminhão)

y m (distância percorrida pelo automóvel)

S m (distância entre eles)

S=√x2+(120− y )2→S=[x2+(120− y )2]12

Dt S=12[ x2+(120− y )2]

−1 /2

D t[ x2+(120− y )2]

Dt S=12[ x2+ (120− y )2]

−1 /2

[2x Dt x+2 (120− y ) (−D t y )]

Dt S=[ x2+(120− y )2]−1 /2 12[2x Dt x+2 (120− y ) (−D t y )]

Dt S=[ x2+(120− y )2]−1 /2[ x Dt x+(120− y ) (−D t y )]

Dt S=x Dt x+(120− y ) (−Dt y )

√ x2+(120− y )2=¿

Como Dt x=40m /s e Dt y=30m/ s

Então em t=2 s, x=80m e y=60m, temos:

Dt S=x Dt x+(120− y ) (−Dt y )

√ x2+(120− y )2=

80(40)+ (120−60 ) (−30 )

√802+ (120−60 )2= 3200−1800

√6400+3600=1400

100=14

Assim, 2 s após o caminhão ter passado pelo cruzamento, o automóvel e o caminhão estão se separando à taxa de 14 m/s.

28. Uma corda está amarrada em um barco no nível da água e uma mulher em um cais puxa a corda a uma taxa de 15 m/min. Se as mãos da mulher estão a 5 m acima do nível da água, com que velocidade o bote estará se aproximando do cais quando o comprimento da corda já puxada for de 6 m?

Como a mulher puxa a corda numa taxa de 6 m/min:

dSdt

=−15m /min

Usando pitágoras e derivando implicitamente em função do tempo, teremos:

S2=x2+52→2S dSdt

=2x dxdt

+0

Substituindo S por 6 (quando a corda for puxada 6 m)

S2=x2+52→62=x2+52→x=√62−52=√11

Substituindo em 2S dSdt

=2x dxdt

+0 pelso valores encontrados de S ,dSdt

e x, teremos:

2S dSdt

=2x dxdt

→2 (6 ) (−15 )=2√11 dxdt

→ dxdt

=−1802√11

=−90√1111

Quando o comprimento da corda já puxada for 6 m, a taxa de aproximação do bote em direção

ao cais é −90√1111

m /min≅ −27,14m /min .

29. Esta semana uma fábrica está produzindo 50 unidades de um determinado produto e a produção está crescendo a uma taxa de 2 unidades por semana. Se C (x) for o custo total da produção de x unidades e C ( x )=0,08 x3−x2+10 x+48, ache a taxa corrente segundo a qual o custo de produção está crescendo.

Dt x=2

C é o custo de produção de x unidades em t semanas.

C ( x )=0,08x3−x2+10 x+48

DtC=0,24 x2D t x−2x Dt x+10Dt x

Substituindo por x=50, e Dt x por 2, teremos:

DtC ]x=50=0,24 ¿

Assim, o custo está crescendo a uma taxa de 1020 unidades monetária por semana.

30. A demanda por um determinado cereal é dada pela equação px+50 p=16000, onde x milhares de caixas são demandadas quando o preço da caixa for p. Se o preço corrente for de $ 1,60 por caixa e se o preço por caixa cresceu a uma taxa de $ 0,4 por semana, ache a taxa de variação da demanda.

x milhares de caixas são demandados se p unidades monetárias for o preço de uma caixa, onde:

px+50 p=16000→x=16000p

−50→x=16000 p−1−50

Se os preços por caixa cresceram a uma taxa de $ 0,4 por semana, dpdt

=0,4.

Derivando x=16000 p−1−50, encontramos dxdt

=−16000 p−2 dpdt .

O preço corrente é $1,60. Então substituindo p e dpdt na equação:

dxdt

=−16000 p−2 dpdt

→ dxdt

=−160001,602 (0,4 )=−2500

O preço crescendo a uma taxa de $ 0,4 por semana implica na diminuição da demanda em 2500 caixas por semana.

31. A equação de oferta para certo produto é x=1000√3 p2+20 p, onde x unidades são oferecidas por mês quando p for o preço unitário. Ache a taxa de variação na oferta se o preço corrente for de $ 20 por unidade e se o preço estiver crescendo a uma taxa de $ 0,50 por mês.

x=1000√3 p2+20 p→x=1000 (3 p2+20 p)12

dxdp

=500 (3 p2+20 p )−12 Dt p (3 p2+20 p)

dxdp

=500 (3 p2+20 p )−12 (6 p dp

dt+20 dp

dt)

dxdp

=500(6 p dp

dt+20 dp

dt)

√(3 p2+20 p )→ dx

dp=

500(6 p+20)

√(3 p2+20 p )dpdt

O preço corrente é $ 20 e a taxa de crescimento é $0,50 por mês, então:

p=20e dpdt

=0,50

dxdp ]p=20

=500 (6 p+20 )( dpdt )

√( 3 p2+20 p )=

500[6 (20 )+20](0,50)√¿¿¿

A oferta aumenta em 875 unidades por mês.

32. Suponha que na produção de x unidades de certo produto seja necessária uma força de trabalho de y operários e x=4 y2. Se a produção este ano foi de 250.000 unidades e a produção está aumentando a uma taxa de 18.000 unidades ao ano, qual será a taxa corrente segundo a qual a força de trabalho deve ser aumentada.

dxdt

=18000/ano

Mas temos de encontrar dydt . Resolvendo para y a equação dada, temos

x=4 y2→4 y2=x→ y2= x4→y=√ x

4→ y=√ x

2→y=1

2x

12

Derivando x e y implicitamente em função do tempo, teremos:

y=12x

12→ dy

dt=1

4x

−12 dxdt

Substituindo na equação, x edxdt pelos valores respectivos, 250000 e 18000, obtemos:

dydt

=14

(250000 )−12 (18000 )→dy

dt=

14(18000)

√250000=4500

500=9

Então a força de trabalho deverá ser aumentada em 9 trabalhadores.

33. A equação de demanda de uma determinada camisa é 2 px+65 p−4950=0, onde x centenas de camisas são demandandas por semana quando p for o preço unitário. Se a camisa estiver sendo vendida esta semana a $30 e o preço unitário estiver crescendo a uma taxa de $ 0,20 por semana, ache a taxa de variação na demanda.

dpdt

=0,20 e p=30

100x camisas são demandadas por semana, quando p dólares é o preço de uma camisa.

2 px+65 p−4950=0→2 px=4950−65 p→x=4950−65 p2 p

x=49502 p

− 652 p

→x=2475p

−32,5→x=2475 p−1−32,5

dxdt

=−2475 p−2 dpdt

→ dxdt

=−2475p2

dpdt

Essa semana, dpdt

=0,20e p=30

Portanto:

dxdt ]p=30

=−2475p2

dpdt

=−2475302 0,20=−0,55

Porque dxdt

=−0,55 ,100 dxdt

=−55

Logo, a demanda está decrescendo a uma taxa de 55 camisas por semana.

38. Uma escada com 7 m de comprimento está apoiada numa parede. Se o pé da escada for empurrado horizontalmente em direção à parede a 1,5 m/s, com que velocidade o topo da escada será deslocada para cima quando o pé da escada estiver a 2 m da parede.

Seja x m a distância do pé da escada até a parede e y m a distância do solo até o topo da escada, medido na parede.

dxdt

=−1,5

Utilizando o Teorema de Pitágoras:

y2=72−x2→ y=√49−x2→ y=(49−x2)12

dydt

=12(49−x2)

−12 Dt y (49−x2)→ dy

dt=1

2( 49−x2 )

−12 (−2x dx

dt )

dydt

=

12 (−2 x dx

dt )√49−x2

= −x√49−x2

dxdt

Como x=2 e dxdt

=−1,5

dydt

= −x√49−x2

dxdt

= −2√49−22

(−1,5 )= 3√45

= 3√32 .5

= 33√5

=√55≅ 0,447m /s

Quando o pé da escada se aproxima da parede a 1,5 m/s, o topo da escada é deslocado para cima a 0,447 m/s.