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Prof. Dr. Volnei Tita
. .
1
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Sumário
ARTE : XERC CIO R TICO UTILIZANDO
2
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3
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1. Teoria
Análise Estrutural
Abordagem Experimentalo e o oca : argem e egurança
3) Ensaios Experimentais:
Aborda em Analítica
-Validação de Modelos
- Tensões e MS
AbordagemNumérica
Abordagem Analítica-Numérico-Experimental
uKF = Solução?!
41) Modelo Global: Tensões{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }uKuCuMF ++= &&&
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1. Teoria
Análise EstruturalNúmero de Graus
{ } [ ]{ }uKF =Dimensionamento e
Relatório de CertificaçãoEstática (SA Report)
de Liberdade
(GDL)
Vetor de
Vetor de Cargas de Vôo,de Solo e Outras
Matriz de Rigidez
u∂Equações de
Com atibilidade Equações
Constitutivas u
X∂=ε ε=σ
Campo de Campo dees ocamen os
Deformações Tensões
5
r r os para o mens onamen o a es ru ura: r r os e Resistência; Critérios de Instabilidade, etc.
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1. Teoria
Análise Estrutural
Rigidez da EquaçõesPropriedades Elásticas Rigidez da
Estrutura Campo deDeslocamentos
(u)x,y,z
Equações
de Equilíbrio
Propriedades Elásticas
do Material
Carregamentos
Equaçõesde Compatibilidade
Valores Limites de
Resistência Mecânica
uKF = de Compatibilidade
Deformaçõesensõesritérios para o
Equações
Constitutivas Deformações
Globais
(ε)x,y,z
Tensões
Globais
(σ)x,y,z
Critérios para o
dimensionamento
da Estrutura
Constitutivas
6
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1. Teoria
Aspectos da Abordagem Computacional
Emprego de métodos numéricos (Exs: Método das Diferenças Finitas; Método dos
Elementos Finitos; Método dos Elementos de Contorno);
t zaç o e programas computac ona s: astran, aqus, nsys;
A qualidade dos resultados depende do programa, mas principalmente do engenheiro;
Cálculo dos deslocamentos, tensões e deformações para múltiplos Pontos Materiais;
sua região mais crítica;
esu a osDuvidosos
Resultados7
Precisos
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1. Teoria
Modelos Contínuos x Modelos Discretos
PTV
Forma Variacional
Fraca
Métodos de Resíduos
Ponderados
Método da Energia
0=Π δ
-Galerkin-Mínimos Quadrados
MEFMétodo de Ritz
~ ∂Π
- --Colocação
i
=∂α
8
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
De aulas anteriores, foi obtida a solução do problema de uma barra engastada em uma dasextremidades, com uma carga concentrada na extremidade livre e um carregamento distribuídoconstante ao longo de seu comprimento.
x x
t
l
t
l
ES1 ES1
ES ES
ES ES2
ES ES2
PPP PP P
x ES ES
x ES
xu ⎟ ⎠
⎜⎝
++−= 2
2)(
Solução complexa para Modelos Contínuos!!
9
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)A idéia para a solução destes problemas consiste na divisão do domínio em partes menores e compropriedades homogêneas.
- ,
deslocamentos sofridos e as aproximações (lineares, em azul) para cada intervalo em que o domínioé subdividido. Os intervalos não têm necessariamente o mesmo tamanho.
uu ~, uu ~,
u1
u2
u4
u5
u3
un
un-1
u1
u2
u4
u5
u3
un
un-1
1 2 3 4 5 n-1 n
x1 2 3 4 5 n-1 n
x
10h1 h2 h3 h4 hn-1h1 h2 h3 h4 hn-1
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
No caso de uma aproximação linear, podemos representar a função f , para cada elemento, conformemostrado na figura a seguir:
1
φ
21 3 4 5 6 ... Nó
1
0φ 1
21 3 4 5 6 ... Nó0
φ 2
21 3 4 5 6 ...
1
0
φ 3
(...)
11
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
12
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
1. Define-se o domínio do problema através de um certo número de pontos chamadosnós .
2. Na região entre os nós caracterizam-se os elementos finitos .. s unç es s o e n as por express es neares ou n o eren es e zero em
uma região e iguais a zero no resto.4. Apesar da discretização obtém-se a solução contínua por meio das funções de forma.
t
x
ES=cte
P
14
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
16
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
(Equação 1)
(Equação 2)
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
φ φ
21 3 4 5 6 ... Nó0
φ 1
21 3 4 5 6 ... Nó0
φ 1
1
φ 2
1
φ 2
21 3 4 5 6 ... Nó
1
21 3 4 5 6 ... Nó
1
21 3 4 5 6 ... Nó0
φ 3
...
21 3 4 5 6 ... Nó0
φ 3
...
18
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
Exercício : Encontrar o campo de deslocamentos u(x) para o problema abaixo utilizando o MEF
com 2 elementos para descrever a barra e empregando as equações 1 e 2.
l1
xOnde:
p1: carga distribuida no elemento 1
p2: carga distribuída no elemento 2
x1
l1
xOnde:
p1: carga distribuida no elemento 1
p2: carga distribuída no elemento 2
x1
h1
p1
F A
1
l2: comprimento do elemento 2
F A: força concentrada aplicada no nó 2
F B
: força concentrada aplicada no nó 3 x1: coordenada do nó 1
x2
p1
F A
1
l2: comprimento do elemento 2
F A: força concentrada aplicada no nó 2
F B
: força concentrada aplicada no nó 3 x1: coordenada do nó 1
x2
ES2
l2
p2
x2: coordenada do nó 2
x3: coordenada do nó 3
ES1: propriedades do elemento 1
ES2: propriedades do elemento 2 x3
ES2
l2
p2
x2: coordenada do nó 2
x3: coordenada do nó 3
ES1: propriedades do elemento 1
ES2: propriedades do elemento 2 x3
h2
F BF B
Ver Apostila
⎪⎫
⎪⎧ ++
=⎫⎧⎥
⎤⎢⎡ −+
A f h ph p
uh
ES
h
ES
h
ES
22
2211
2
2
2
2
2
1
1
Res osta:
19
⎪⎭
⎪⎩
+⎭⎩⎥⎥⎦⎢
⎢⎣
− B f h pu
h
ES
h
ES
2
223
2
2
2
2
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
Matriz de Rigidez Global e Matriz de Rigidez Elementar
uK F =
20
1 T i
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
e
2
1h
x x N
−=
21e
12
h
x x N −=
1 T i
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
[ ] ⎥⎥⎤
⎢⎢⎡ −
=⎥⎥⎤
⎢⎢⎡ −
=⎬⎫
⎨⎧
−⎪⎪⎬
⎫⎪⎪⎨
⎧−= 1
11
1
11
2
1
2
11111
1)1(
e
h
SE
h
SE
dxh
1
h
1
SEdxS11
Eh
1
K
⎥⎦⎢⎣
−
⎥⎦⎢⎣
−
⎪⎭⎪⎩ 1
11
1
11
2
1
2
1
11
1 hhhhh
11
⎥⎤
⎢⎡ −
=
⎥⎤
⎢⎡ −
=
⎫⎧
−
⎪⎪⎫
⎪⎪⎧−
=2
22
2
22
2
2
2
22)2( h
SE
h
SE
dx
h
1
h
1
SEdxS
11
E
h
1
K
22⎥⎥⎦⎢
⎢⎣−
⎥⎥⎦⎢
⎢⎣−⎭⎩
⎪⎪⎭⎪
⎪⎩ 2
22
2
22h
2
2
2
2
h22
2 hhhh
hh
h
11
1 T i
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
23
1 Teoria
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
⎤⎡− 1111 SESE
[ ] ⎥⎥⎥
⎢⎢⎢ −+−
−
=2
22
2
22
1
11
1
11
11
3x3h
SE
h
SE
h
SE
h
SE
hh
K
⎥⎥⎦⎢
⎢⎣
−2
22
2
22
h
SE
h
SE0
24
1 Teoria
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
25
1 Teoria
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
26
1 Teoria
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
=
27
1 Teoria
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1. Teoria
Método dos Elementos Finitos (MEF)
Coordenada Global e Coordenada Local (Elementar)
28
1 Teoria
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1. Teoria
Análise Estrutural
Abordagem Experimentalo e o oca : argem e egurança
3) Ensaios Experimentais:
Aborda em Analítica
-Validação de Modelos
- Tensões e MS
AbordagemNumérica
Abordagem Analítica-Numérico-Experimental
uKF = Solução?!
291) Modelo Global: Tensões{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }uKuCuMF ++= &&&
1. Teoria
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1. Teoria
Síntese geral de uma análise via MEF
Etapa 1
apa
Etapa 3
30
1. Teoria
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1. Teoria
Etapa 1: Pré-Processamento1. Gerar o modelo CAD da peça
Pensar na peça em funcionamento; Para uma análise mais eral da e a, deve-se evitar detalhamentos
como pequenos furos, pequenos chanfros, pequenos raios dearredondamento e etc; Para uma análise mais localizada, deve-se detalhar a região da peça
2. Escolher o tipo de elemento adequado
suficiente para modelar o problema;
Em análises mais complexas, checar se o elemento suporta não-linearidades geométricas e de material;
3. Gerar uma malha de elementos finitos
, ,quadriláteros ou paralelepípedos ;
Evitar gerar malhas livres, ou seja, constituídas por elementos triangularesou tetraédricos, ou mesmo
31
por uma combinação de triangulares com quadriláterosou de tetraédricos com paralelepípedos;
1. Teoria
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Etapa 1: Pré-Processamento
4. Aplicar vinculações e carregamentos
Aplicar carregamentos de tal forma a simular as solicitações que a
Os carregamentos podem ser aplicados diretamente nos nós ouentão em áreas;
Aplicar vinculações de tal forma a simular as restrições demovimentos que a peça possuí quando está em serviço;
As vinculações podem ser aplicados diretamente nos nós ou entãoem áreas;
apas e : o uç o e s- rocessamen o
5. Enviar o modelo para solução
6. Analisar os resultados
Verificar se os campos de deslocamentos obtidos são coerentes; Verificar se a distribui ão de tensões e deforma ões é coerente; Comparar os resultados obtidos com valores experimentais ou então
valores da literatura;Obs: confrontar resultados para diferentes densidades
32
1. Teoria
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Problemas de Engenharia
Trem de PousoDianteiro
33
1. Teoria
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Problemas de Engenharia
Estrutura Tubular Estrutura Semi-Monocoque
34
Caverna de Pressão
1. Teoria
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Problemas de Engenharia: Estados de Tensão e de Deformação
Estado Plano de Deformações Estado Uniaxial de Tensões
xy
z
Estado axissimétrico
35Estado Plano de Tensõesx
1. Teoria
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Estado Uniaxial de Tensões Treliças e barras carregadas axialmente;
xy
Considera-se somente σx ;
Exemplos: estruturas tubular para fuselagem e/ou asa
zxx Eε=σ Elemento Barra
Vigas carregadas axialmente e transversalmente (forçacortante);
-
Estado de Tensões
xy
x xy
Exemplos: reforçadores de revestimentos da fuselagem e da asa(estrutura semi-mocoques)
z
θ
θxElemento Viga
• Euler-Bernoulli• Timoshenko
36
θy
θz
1. Teoria
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Estado Plano de Tensões
Uma placa fina submetida a carregamentos no plano xy, de talforma que este seja o plano da estrutura;
A espessura da placa é assumida ser pequena comparada com⎪⎫
⎪⎧σx
as dimensões no plano xy;
As tensões são assumidas constantes ao longo da espessura daplaca;
⎪⎭⎪⎩τ
σ=σ
xy
y
σz , τxz e τzy são desconsideradas.
Exemplos: alguns trechos de revestimentos; nervuras da asa;
cavernas da fusela em lon arina da asa.⎤⎡Observação: Há o caso da placa com curvatura, ou seja, umacasca. Aplica-se assim, para a maioria dos revestimentos e acavernas de ressão.
ε=σ D ( ) ( )⎥⎥⎥
⎢⎢⎢
ν−ν
ν−=
100
011
ED
2
Elemento Placa Elemento Casca
37
1. Teoria
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Estado Plano de Deformações
grande quando comparada com as dimensões no plano xy;
Os carregamentos estão aplicados somente no plano xy;
⎪⎬
⎫⎪⎨
⎧
ε
ε
=ε y
x
Adota-se que os deslocamentos na direção z sejamdesprezíveis;
⎭⎩γ
xy
Os deslocamentos no plano (u e v) são independentes de z;
Exemplos: tubos de parede espessa (trem-de-pouso);
yxz σ+σν=σ
engrenagens; chapas metálicas espessas (pilone);
Importante: determinados casos de placas espessas sãoconsiderados como roblemas tridimensionais ou se a deve-seconsiderar o Estado Triplo de Tensões.
⎤⎡ νν− 01Elemento Placa
( )( ) ( )⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣ν−
ν−νν−ν+
=
2
2100
01211
ED
ε=σ D
38
1. Teoria
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Estado Axissimétrico
Um sólido tridimensional é simétrico em relação a sua linha decentro que coincide com o eixo z;⎪
⎪⎫
⎪⎪⎧
σ
σ
=σ θ
r
O sólido está submetido a carregamentos e condições decontorno que são simétricas em relação ao eixo z;
⎪⎪⎭⎪⎪⎩τ
σ
rz
z
O comportamento do sólido é independente da coordenadacilíndrica θ, necessita-se somente do plano rz.
pressurização.
−
Elemento Axissimétrico
( )( ) ⎥⎥⎥
⎢⎢⎢
ν−ν−ν
νν−ν
ν−ν+=
21010
01
211
ED
ε=σ D
39
⎥⎦⎢⎣ 2000
1. Teoria
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z, wEstado Triplo de Tensões
σz
τε=σ D
τ
zx yz
⎥⎥⎥⎥
⎢⎢⎢⎢
ν−ν−νν
νν−ν
−
210001
0001
,
σx
y
τxyτyx
( )( )
⎥
⎥⎥⎥
⎢
⎢⎢⎢
ν−ν−ν+
=
0
2
210000
2211D
x, u⎥⎦⎢⎣
−2
00000
⎪⎪
⎫
⎪⎪
⎧
ε
ε
y
x
⎪⎪
⎫
⎪⎪
⎧
σ
σ
y
x
Elemento Sólido
⎪⎪⎬
⎪⎪⎨
γ
ε=ε
xy
z
⎪⎪⎬
⎪⎪⎨
τ
σ=σ
xy
z
40⎪⎭⎪⎩γ zx
yz
⎪⎭⎪⎩τzx
yz
Referências
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Huebner, K.H. (1994).The finite element method for engineers. New York, John Wiley & Sons.
Bathe, K.J. (1996). Finite element procedures. London: Prentice-Hall.
Zienkiewicz, O.C.; Ta lor, R. (2000). “The finite element method (vol.1)”. Boston: Butterworth-
Heinemann.
Hughes, T.J.R. (1987). “The finite element method” . Prentice-Hall.
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