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Tecnicas de SolucaoEtapas para uma Solucao Numerica

Tipos de ErrosLaboratorios e Intituicoes

Problemas PraticosPrograma do Curso

Modelagem Numerica

Andrea Maria Pedrosa Valli

Laboratorio de Computacao de Alto Desempenho (LCAD)Departamento de Informatica

Universidade Federal do Esprito Santo - UFES, Vitoria, ES, Brasil

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Modelagem Numerica

1 Tecnicas de Solucao

2 Etapas para uma Solucao Numerica

3 Tipos de Erros

4 Laboratorios e Instituicoes

5 Problemas Praticos

6 Programa do Curso

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Teorica: Utiliza informacoes teoricas conhecidas para obter,em geral, uma expressao explcita para a solucao de umproblema. Ex:

11 x dx =

x2

2 |11 = 0

Experimental: Utiliza equipamentos de medicao para simularprocesso fsicos nas mais diversas areas do conhecimento.

Numerica: Utiliza ferramentas numericas e computacionaispara simular numericamente problemas nas mais diversasareas do conhecimento.

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Comparacao entre as tres tecnicas de solucao [8]:

Tecnica Vantagens DesvantagensTeorica mais geral restrita a geometrias e processos fsicos simples

formula fechada geralmente restrita a problemas linearesExperimental mais realista equipamento exigido

problemas de escaladificuldade de medicaocusto operacional

Numerica nao ha restricao a linearidade erros de truncamento e arredondamentogeometria e problemas complicados custos operacionaisevolucao temporal do processo prescricao das condicoes de contorno apropriadas

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Problema Real: Calcular a area sob uma curva.

Modelo Matematico:

Area =

ba

f (x)dx

onde a, b, f (x) sao dados conhecidos do problema.

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Modelo Numerico:

Area = AreaTrapezio + Erro

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Modelo Numerico:

Area =4

n=1

An + Erro

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Modelo Computacional: usar uma linguagem computacional(C,Fortran,C++,etc) para implementar o modelo numerico.

Verificacao do Modelo Computacional: construir, sempre quepossvel, problemas com solucao conhecida e verificar aacuracia da solucao aproximada obtida;Resolucao de Aplicacoes: obter solucoes numericas deproblemas de interesse pratico.

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Detalhamento das etapas para a obtencao da solucao numerica deum problema em engenharia [8]

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Etapas da Solucao Numerica e Erros:

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Tipos de Erros que aparecem na modelagem numerica:

1 Erros na Modelagem: erros obtidos pelo uso de dadosexperimentais errados ou pela propria representacaomatematica errada de um modelo fsico.

2 Erros de Truncamento: e o erro devido a aproximacao de umaformula por outra, ou seja, quando sao feitas aproximacoespara representar procedimentos matematicos exatos.

Exemplo: sen(x) =n=0

x2n+1

(2n+1)!

3 Erros de Arredondamento (ou de Ponto Flutuante): e o errocausado pela imperfeicao na representacao de um numero, ouseja, quando uma quantidade limitada de algarismossignificativos sao usados para representar numeros.

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Recursos de Informatica

Membro:

Laboratorio de Computacao e Alto Desempenho(LCAD/DI/UFES): http://www.lcad.inf.ufes.br/

Doutorado e Pos-Doutorado:

Nucleo Avancado de Computacao de Alto Desempenho(NACAD/COPPE/UFRJ): http://www.nacad.ufrj.br/

Institute for Computational Engineering and Science(ICES/UT at Austin): https://www.ices.utexas.edu/

Colaboracoes:

Laboratorio de Otimizacao (LabOtim/DI/UFES):http://labotim.inf.ufes.br/

Laboratorio Nacional de Computacao Cientfica(LNCC/MCTI): http://www.lncc.br/

Texas Advanced Computing Center (TACC/UT at Austin,https://www.tacc.utexas.edu/home)

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Recursos de Informatica

Projeto Veculo Autonomo da UFES (LCAD/DI/UFES,(https://lcadufes.wordpress.com/)

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Recursos de Informatica

Supercomputadores Santos Dumont (esquerda) e Lobo Carneiro(direita) do sistema SINAPAD, instalados respectivamente no LNCCe na COPPE/UFRJ.

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Recursos de Informatica

Stampede is one of the most powerful current supercomputers in theU.S. for open science research. Able to perform nearly 10 quadrillionoperations per second (TACC/UT at Austin).

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Dispersao de Poluentes na Baa de Guanabara (COPPE/UFRJ):(http://www.sisbahia.coppe.ufrj.br/Animacao/Tsunami)

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Joining and branching of hydraulic fractures (blue) in porousmedia using a phase field approach where the initial fractures areformulated by a given probability map (Dr. Mary Wheeler, ICES/UTat Austin, https://www.ices.utexas.edu/about/news/394/)

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Problemas PraticosPrograma do Curso

The ICES Center for Computational Geosciences and Optimizationdevelops models of global-scale problems such as earthquakes, aswell as simulations that provide insight into the basic principles thathave shaped the planet such as the global mantle flow pictured here.(https://www.ices.utexas.edu/about/news/394/)

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Tumor simulation imagery developed by Dr. Tinsley Oden.(ICES Tumor Modeling Group, ICES/UT at Austin and LNCC,https://www.ices.utexas.edu/about/news/383/)

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Escoamento em uma cavidade bidimensional

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Escoamento sobre um degrau para Re = 100, 500 (numero deReynolds)

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CronogramaBibliografia BasicaBibliografia Complementar

Prof.: Andrea M.P. Valli, CT VII sala 35 - tel.: 3335 2664homepage: www.inf.ufes.br/avalliemail: avalli@inf.ufes.br (alternativo: ampvalli@gmail.com)

ObjetivosEstudar e implementar algoritmos numericos para solucionar

problemas, modelados matematicamente, nas mais diversas areas doconhecimento humano.

Programa1. Tipos de Erros2. Resolucao de Sistemas Lineares3. Ajuste de Curvas4. Solucao Numerica de Equacoes Diferenciais5. Interpolacao6. Razes de Equacoes7. Integracao Numerica

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