Modelagem Numérica de Terreno - dpi.inpe.br · • Interpolador global, aproximado, estocástico – supõe que a tendência geral da superfície é independente de erros aleatórios

Modelagem Numérica de TerrenoModelagem Numérica de Terreno

Carlos Alberto Felgueiras

INPE

Modelo NuméricoModelo Numérico dede TerrenoTerreno

• Definição– Um MNT descreve a variação espacial contínua de uma grandeza

sobre uma região.

• Dados de entrada– arquivos pontuais (X,Y,Z) ou isolinhas ( { (x,y) }, z )

• Geração de distribuição contínua– problema de interpolação

• Tipos de Interpoladores– não-paramétricos (média móvel local)– ajuste global de superfície– triangulação– geo-estatística (krigeagem)

INPE

Modelo NuméricoModelo Numérico de de TerrenoTerreno((representaçõesrepresentações))

• Estruturas de representação computacional:

• (a) pontos cotados• (b) isolinhas• (c) grade triangular• (d) grade retangular

(a) pontual

(c) grade triangular

(b) isolinhas

(d) grade retangular

INPE

Modelo NuméricoModelo Numérico dede TerrenoTerreno

• O processo de Modelagem Numérica– Amostragem: dados de entrada nas representações

• pontos 3D• isolinhas• linhas de restrição (características)

– Modelagem propriamente dita: criação de estruturas • de grades regulares• de grades irregulares

– Aplicações ou análises: uso dos modelos• projeção planar, imagens, declividade• fatiamento, visibilidade, contornos, • volumes, drenagens, etc...

Amostragem

Modelagem

Aplicações

Mundo Real

INPE

Entrada e EdiçãoEntrada e Edição

INPE

Entrada e EdiçãoEntrada e Edição(Amostragem)(Amostragem)

• Fontes de amostras:

– Bases topográficas, Levantamentos em campo, GPS’s, Importação de outros sistemas (formatos DXF, Generate, etc..)

• Classificação quanto a distribuição:

– Espaçamento regular (grade retangular)

– Espaçamento não regular (amostras esparsas)

• Redução das amostras: Problemas de super-amostragem (generalização)

• Organização das amostras: Otimização para buscas de vizinhos

• Definição da vizinhança: Raio de influência e # de vizinhos + próximos

INPE

Entrada e EdiçãoEntrada e Edição(Organização das amostras)(Organização das amostras)

E

1

3

2

4C

A

B

D

1

2 3

4

A B

C D E

Partição do espaço

Árvore 2kD

INPE

Entrada e EdiçãoEntrada e Edição(Definição da vizinhança)(Definição da vizinhança)

Ponto da grade Ponto amostral Amostra vizinha

Raio de influência Número de vizinhos

Modelagem Numérica de TerrenoINPE

Modelagem Numérica por GradesModelagem Numérica por Grades

Ponto da grade Ponto amostral

Grade retangular Grade triangular


Modelagem por Grade RegularModelagem por Grade Regular(Interpolação Espacial)(Interpolação Espacial)

• Interpolação Espacial• processo de estimar grandezas a partir de amostras na área de

estudo• (usualmente) grandeza deve ser quantizada

• Lei de Tobler para SIG• pontos vizinhos no espaço tem valores mais correlacionados que

pontos distantes

• Uso de Interpolação Espacial em SIG• calculo de contornos (isolinhas)• calcular propriedades das superfícies


Modelagem por grade regularModelagem por grade regular((InterpoladoresInterpoladores: por ponto x por área): por ponto x por área)

• Interpolação pontual – dado um conjunto de pontos de localização e valor

conhecidos, determinar o valor em localizações pre-determinadas

– usada para dados coletados pontualmente (dados meteorológicos, topografia)

– uso em algoritmos de gerar contorno

• Interpolação por área – dados mapeados por zonas de entrada– produzir dados mapeados por zonas distintas – de habitantes por zonas urbana / rural para

eleitores por zona eleitoral

10 9

8 7

9.5

zona urb.

zona rural.

128a. ZE

127a. ZE


ModelagemModelagem porpor grade regulargrade regular(Interpoladores: global x local)(Interpoladores: global x local)

• Interpoladores globais– função única mapeada em toda a área– mudança em um valor afeta todo o modelo– usado quando se conhece a forma da

superfície (análise de tendência)

• Interpoladores locais– algoritmos aplicados localmente– mudanças em um valor tem efeitos dentro da

janela de interpolação


ModelagemModelagem porpor Grade RegularGrade Regular(Interpoladores:(Interpoladores: exatosexatos x x aproximadosaproximados))

• Interpoladores exatos• mantém os valores dos pontos de entrada• superfície passa em todos os pontos conhecidos• ex; B-splines, triangulação

• Interpoladores aproximados• incerteza sobre os dados de entrada• hipótese: dados tem tendências globais (que variam lentamente)

e flutuações locais• amaciamento reduz erro na superfície resultante


Modelagem por Grade RegularModelagem por Grade Regular((InterpoladoresInterpoladores: superfície de tendência): superfície de tendência)

• Interpolador global, aproximado, estocástico– supõe que a tendência geral da superfície é independente de erros

aleatórios em cada ponto– filtra variações locais– ex: correção geométrica imagens

• Superfície é aproximada por um polinômio– z = a + bx + cy + dx2 + exy + fy2

• Problemas– efeitos de borda – produz superfícies arredondadas (incomum na natureza)


Modelagem porModelagem por Grade RegularGrade Regular((visualização visualização em em projeçãoprojeção planar)planar)


Modelagem por Grade Regular:Modelagem por Grade Regular:InterpoladoresInterpoladores LocaisLocais

• Vizinho mais próximo• Média simples• Média Ponderada

– 1/d2

• Média Ponderada Quadrante• Média Ponderada por Cota e

Quadrante

INPE

Geração de Grade RetangularGeração de Grade Retangular(SPRING (SPRING -- Média simples e ponderada)Média simples e ponderada)

å

å

=

==n

ii

n

iii

w

zwZ

1

1*

Média Local Ponderada

wi = 1/dik

INPE

Geração de Grade RetangularGeração de Grade Retangular(média ponderada por quadrante)(média ponderada por quadrante)

Ponto da grade

Pontoamostral

Amostra vizinha

(a) (b)

INPE

Geração de Grade RetangularGeração de Grade Retangular(média ponderada por quadrante e cota)(média ponderada por quadrante e cota)

Za

Zb

INPE

Modelagem por Grade RetangularModelagem por Grade Retangular(representação matricial)(representação matricial)

INPE

Modelagem por Grade RetangularModelagem por Grade Retangular((interpoladoresinterpoladores))

Vizinho mais próximo Média Simples Média Ponderada


Modelagem por Grade Retangular Modelagem por Grade Retangular ((InterpoladoresInterpoladores: média móvel): média móvel)

• Ampla margem para variação• função de ponderação• número e vizinhança de pontos

• Problemas• variação dos valores interpolados limitada pelos dados de

entrada• nenhum valor pode ser maior que a entradas• como incluir restrições espaciais na interpolação ?


Modelagem por Grade Retangular Modelagem por Grade Retangular ((InterpoladorInterpolador -- Média Móvel)Média Móvel)

0

50

100

150

200

250

300

010

020

030

040

050

060

070

080

090

010

00

Terreno

Amostras

Interpol.

INPE

u

Modelagem por Grade RetangularModelagem por Grade Retangular(Refinamento da Grade)(Refinamento da Grade)

A

P

M

DC N

B

Refinamento bilinear : 4 vizinhos

Refinamento bicúbico : 25 vizinhos

zM = (1-u)zA + (u)zB

zN = (1-u)zC + (u)zD

zP = (1-v)zM + (v)zN

u,v Î [0,1]

v


Modelagem por Grade RetangularModelagem por Grade Retangular(Krigeagem linear)(Krigeagem linear)

•Krigeagem é uma “coleção de técnicas de regressão linear generalizadas para minimizar uma variância de estimação a partir de um modelo de covariância definido a priori”, Journel, 1996.

• A krigeagem estima um valor não amostrado a partir de um conjunto de valores vizinhos z(ua), a = 1,...,n. Considerando-se um modelo de FA estacionária com média m e covariância C(h), o estimador linear paraKrigeagem Simples (SK) é definido por:

mlla a

aaa ×úû

ùêë

é-+×= å å

= =

n nSKSK

SK uuuu1 1

)(1)()()( zz*

å=

=n

OK u1

1)(a

al å=

×=n

OKOK uuu

1

)()()(a

aal zz*Þ

• Krigeagem ordinária (kO) não depende do valor da média


Modelagem por Grade RetangularModelagem por Grade Retangular(Estimador de Krigeagem linear) (Estimador de Krigeagem linear)

Eduardo C.G. Eduardo C.G. CamargoCamargo

• Segundo Journel (1988): K.l = k => l = K-1 k•• SegundoSegundo JournelJournel (1988): (1988): K..l = k => l = K-1 k

ll

la

1

2

:

n

-1C C .........C 1

C C .........C 1

: : : :

C C .........C 1

1 1 ......... 1 0

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

C

C

:

C

1

10

20

n0

=

• Os elementos das matrizes de covariâncias são calcu-lados da seguinte forma (Journel, 1988):

•• Os elementos das matrizes de covariâncias são Os elementos das matrizes de covariâncias são calcucalcu--lados da seguinte forma (lados da seguinte forma (JournelJournel, 1988):, 1988):

C C C ( )ij 0 1= + - g h

• Substituindo os valores de Cij nas matrizes encontram-seos pesos l1, l2, ..., e ln.

•• Substituindo os valores de Substituindo os valores de CCijij nas matrizes encontramnas matrizes encontram--seseos pesos os pesos ll11, , ll22, ..., e , ..., e llnn..

• Variância de Krigeagem (Journel, 1988): •• Variância deVariância de KrigeagemKrigeagem ((JournelJournel, 1988): , 1988): sko2 = + -( )0 1

TC C l k

• Estimador de Krigeagem (Journel, 1988): •• EstimadorEstimador dede KrigeagemKrigeagem ((JournelJournel, 1988): , 1988): ( )Z Zo i i

i 1

n

x x* ==å l



Modelos Teóricos para ajuste do Modelos Teóricos para ajuste do SemivariogramaSemivariograma ExperimentalExperimental(Eduardo C.G.Camargo)(Eduardo C.G.Camargo)

g( )

0 , | |= 0

32

| | 12

3| ||

|

h

h

h hh

h

= +æèç

öø÷-

æèç

öø÷

é

ëêê

ù

ûúú

< £

+ >

ì

í

ïï

î

ïï

Co C1 a aa

Co C1 a

, |

, |

0

g( )

| | 0

1 exp| |

,| | 0h

h

hh

=

=

- -æèç

öø÷

éëê

ùûú

¹

ì

íï

îï

0

3

,

oC + 1Ca

g( )

| | 0

1 exp 2| |

,| | 0h

h

hh

=

=

- -æèç

öø÷

é

ëêê

ù

ûúú

¹

ì

íï

îï

0 ,

oC + 1Ca

EXPONENCIALEXPONENCIAL

ESFÉRICOESFÉRICO

GAUSSIANOGAUSSIANO

Modelos TransitivosModelos Transitivos



Imagem da variânciade krigeagem relativa

ao teor de argila

Imagem da variânciaImagem da variânciade de krigeagemkrigeagem relativarelativa

ao teor de argilaao teor de argila

Imagem da continuidadeespacial do teor de argilaproveniente de um modelode krigeagem anisotrópico

Imagem da continuidadeImagem da continuidadeespacial do teor de argilaespacial do teor de argilaproveniente de um modeloproveniente de um modelode de krigeagemkrigeagem anisotrópicoanisotrópico


Modelagem por Grade RetangularModelagem por Grade Retangular((Métodos EstocasticoMétodos Estocastico x x DeterminísticoDeterminístico) )

Métodos Geoestatísticos Métodos Determinísticos

· os pesos são determinados a partir de

uma análise de correlação espacial

baseada no semivariograma.

li = f [g(h)]

· os pesos são determinados meramente

em função da distância.

li = f (d i)

· Área de influência na interpolação é

indicada pelo alcance.

· raio de busca é arbitrário.

· Modela anisotropia, isto é, detecta as

direções de maior e menor

continuidade espacial do fenômeno.

· Anisotropia, em geral, é ignorada.

· Trata redundância automaticamente

atribui pesos adequados para

agrupamentos (clusters) de amostras.

· Redundância não tratata automaticamente

podem ocorrer superestimação ou

subestimação de valores.


Modelagem por Grade TriangularModelagem por Grade Triangular


Modelagem por Grade Triangular:Modelagem por Grade Triangular:ConceitosConceitos

• Superfície definida por um poliedro– faces triangulares– vértices = pontos amostrados – triangulação não é única.

• Triangulação de Delaunay- Critério do Circumcirculo

– “Dados os pontos pa, pb e pc Î Conjunto Amostral P onde a¹b¹c, uma triângulação T é dita ser de Delaunaysse " t Î T, com vértices nos pontos pa, pb e pc , o circumcirculo que passa pelos vértices de t não contém nenhum outro ponto pd Î P / d ¹ a ¹ b ¹ c”.


Modelagem por Grade Triangular:Modelagem por Grade Triangular:Triangulação de Triangulação de DelaunayDelaunay

T1T2 T1

T2

Critério do Circumcírculo

para definição da triangulação

de Delaunay.


Modelagem por Grade Triangular:Modelagem por Grade Triangular:Inserção de RestriçõesInserção de Restrições

T1

T2

Z1

Z2

(a)

T1

T2

Z1

Z2

(b)


Modelagem por Grade Triangular:Modelagem por Grade Triangular:Inserção de RestriçõesInserção de Restrições

(a) (b)

Z1

Z3

Z2

Z1

Z2

Z3

INPE

Geração de Grade Triangular:Geração de Grade Triangular:VisualizaçãoVisualização

INPE

Modelagem Numérica por Modelagem Numérica por Grades: Grades: ComparaçãoComparação

Grade triangular Grade regular

Vantagens 1. Melhor representação de re-

levo complexo

2. Incorporação de restrições

como linhas de crista

1. Facilita manuseio e

conversão

2. Adequada para geo-

física e visualização

3D

Problemas 1. Complexidade de manuseio

2. Inadequada para visualiza-

ção 3D

1. Representação de re-

levo complexo

2. Cálculo de declividade

INPE

Aplicações: Aplicações: Geração de ImagemGeração de Imagem

Imagem MNT Nível de Cinza

- Mapeamento linear dos valor de cota (Z) para nível de cinza

Zmin -> 1 e Zmax->255

Imagem MNT Sombreada

- Valores dos níveis de cinza proporcionais à intensidade de iluminação que atinge o pixel.

INPEImagem em Nível de Cinza Imagem Sombreada

Aplicações: Aplicações: Geração de ImagemGeração de Imagem

INPE

AplicaçõesAplicaçõesProjeção Geométrica PlanarProjeção Geométrica Planar

Modelo Digital de Terreno 3D, representado por uma grade regular, é projetado no plano 2D juntamente com uma imagem de textura (imagem sombreada ou imagem de sensoriamento remoto)

INPE

AplicaçõesAplicaçõesProjeção Geométrica PlanarProjeção Geométrica Planar

Projeção Paralela com Imagem Projeção Paralela com Imagem Sombreada como TexturaSombreada como Textura

INPE

Aplicações:Aplicações:Projeção Geométrica PlanarProjeção Geométrica Planar

Projeção Perspectiva do Modelo com Projeção Perspectiva do Modelo com Imagem de Sensoriamento RemotoImagem de Sensoriamento Remoto

INPE

Aplicações:Aplicações: FatiamentoFatiamento

Classificação de um MNT através da definição de faixas de valores e associação desses valores com classes pré-definidas.

INPEImagem em Nível de Cinza Imagem de Alturas Fatiada

(920-1000-1100-1200-1220)

Aplicações:Aplicações: FatiamentoFatiamento

INPE

Z i-1,j Z i,j

Z i-1,j-1 Z i,j-1 Z i+1,j-1

Z i+1,j

Z i+1,j+1Z i,j+1Z i-1,j+1

A declividade e a exposição são obtidas a partir da definição do vetor gradiente.

D = arctg {[( dZ/dX )2+( dZ/dY )2]1/2}

E = arctg [-( dZ/dY )/ ( dZ/dX )] ( -P< E < P )

Uma metodologia para grade regular

[dZ/dX]i,j = [( Zi+1,j+1 + 2*Zi+1,j + Zi+1,j-1 ) –( Zi-1,j+1 + 2*Zi-1,j + Zi-1,j-1 )]/8*dX

[dZ/dY]i,j = [( Zi+1,j+1 + 2*Zi,j+1 + Zi-1,j+1 ) –( Zi+1,j+1 + 2*Zi,j-1 + Zi-1,j-1 )]/8*dY

Aplicações: Aplicações: Mapa de Declividade e ExposiçãoMapa de Declividade e Exposição

INPEGrade regular de declividade Imagem de declividade fatiada

(0-2, 2-5, 5-10 e >10)

Aplicações:Aplicações:Mapa de DeclividadeMapa de Declividade

INPE

Aplicações: Aplicações: Análise de PerfisAnálise de Perfis

Determinação das trajetórias

INPE

Aplicações: Aplicações: Análise de PerfisAnálise de Perfis

INPE

Aplicações: Aplicações: Mapas de VisibilidadeMapas de Visibilidade

Modelo de Grade Regular Mapa de visibilidade

INPE

Aplicações: Aplicações: Mapas deMapas de isolinhasisolinhas

(a) (b)

Interpolações nas

arestas das células

retangulares ou

triangulares.

Isolinhas mais suaves

dependem de modelo

mais refinado.

Grade Regular Malha triangular

INPE

Aplicações: OutrasAplicações: Outras

- Cálculo de volumes

Volumes de corte e aterro em relação à uma cota Z base.

- Geração automática de drenagem (em desenvolvimento)

- Outras

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