SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP
Data de Depósito: 08.03.2005
Assinatura: r y j m ^ 1 P 0 n (L L w ^ a ' ^ f ^ J ^
Dicotomias em equações diferenciais impulsivas
Angela Leite Moreno
Orientadora: Profa. Dra. Márcia Cristina Anderson Braz Federson
Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática.
USP-São Carlos Março/2005
Aluno: Angela Leite Moreno
A Comissão Julgadora:
Profa. Dra. Márcia Cristina Anderson Braz Federson_
Profa. Dra. Maria do Carmo Carbinatto
Prof. Dr. Aloisio José Freiria Neves
Ao meu marido
Roberto
e à minha filha
Carolina.
Agradecimen tos
Há muitos a quem agradecer, pois nenhuma pesquisa científica é solitária. Ao longo caminho,
fui orientada, inspirada e apoiada por todas as pessoas que em mim confiaram.
Agradaço, primeiramente, à Deus, por estar sempre presente em meu coração guiando-me pelos
caminhos da vida.
Em particular, agradeço profundamente ao meu marido, Roberto, por seu amor, sua amizade e
compreensão e à minha filha, Carolina, pela alegria que traz à minha vida.
Aos meus pais, Sr. Edivá e Sra. Conceição, por terem apoiado meus passos na infância, os
conselhos na adolescência e ensinamentos para toda vida; e às minhas irmãs, Rosinéia e Rosangela,
por acreditarem em mim.
Aos amigos de sempre, Alcindo, Carlos, Christiano, Danielli, Eliza, Marleide, Nair, Pandu e
Solange, pela grande amizade, pela dedicação e por todo apoio que deram durante estes anos.
À minha orientadora professora Dra. Márcia Cristina Anderson Braz Federson, que com perícia
me ajudou a vencer as dificuldades e me orientou com competência e dedicação.
Não tenho palavras para expressar também minha gratidão a:
Aos meus amigos de graduação do curso de Licenciatura Plena em Matemática da Universidade
Estadual Paulista - UNESP, campus de Presidente Prudente, SP.
Aos meus amigos do primeiro ano de gradução do curso de Licenciatura Plena em Matemática
da Universidade Federal do Mato Grosso - UFMS, campus de Três Lagoas, MS.
Aos meus amigos de minha turma de mestrado (Aldicio, Andréa, Daniela, Everaldo, Fábio,
Márcio Alexandre, Márcio, Nivaldo, Rafael, Rodrigo, Thiago e Vanda), pelo companheirismo,
amizade e por tudo que passamos juntos no início de nossa caminhada.
Aos professores da FCT, em especial aos professores Dr. José Carlos Rodrigues e Dr. José
Roberto Nogueira, pelo aconselhamento e incentivo a continuar os estudos.
Aos professores da UFMS de Três Lagoas, especialmente ao professor Dr. Antônio Carlos
Tamarozzi, pelo incentivo no início de minha caminhada.
Aos professores e funcionários da USP, meu muito obrigado por tudo!
Finalmente, ao CNPq, pelo apoio financeiro para a realização deste trabalho.
Resumo
Neste trabalho, tratamos da teoria fundamental de dicotomias para certa equação diferencial
linear com impulsos a tempo pré-fixado. Consideramos condições necessárias e suficientes para
a existência de dicotomia exponencial e dicotomia ordinária para esta equação e apresentamos
algumas consequências destes fatos. Escrevemos abreviadamente EDI para significar equação di-
ferencial impulsiva.
Alguns dos resultados interessantes contidos neste texto estão descritos a seguir. Apresentamos
algumas relações entre crescimento limitado e dicotomia exponencial para a EDI em estudo. Apre-
sentamos, também, condições para a equivalência entre a existência de dicotomia exponencial para
a EDI que tratamos e a admissibilidade de certos pares de funções para uma perturbação desta EDI.
Em particular, se nossa EDI tiver uma dicotomia exponencial, então, dada certa perturbação limi-
tada, obtemos uma EDI não-homogênea que admitirá solução também limitada e vale a recíproca.
Nós contribuímos com este resultado provando o fato de que o espaço das funções limitadas pode
ser substituído pelo espaço das funções limitadas com limite no infinito. Assim, se a EDI tiver uma
dicotomia exponencial, então dada uma perturbação limitada com limite no infinito, a EDI pertur-
bada admitirá uma solução também limitada e com limite no infinito e a recíproca é verdadeira.
Outro resultado importante diz que se a EDI estudada for quase periódica e tiver uma dicoto-
mia exponencial sobre R+, então ela terá uma dicotomia exponencial sobre toda a reta. E a nossa
contribuição aqui se deu através de um resultado mais geral que diz que se a EDI tiver uma dicoto-
mia sobre um intervalo finito de comprimento suficientemente grande, então ela terá uma dicotomia
sobre toda a reta.
Abstract
In this work we deal with the fundamental theory of dichotomies for a linear differential equa-
tion with pre-assigned moments of impulse effects. We consider necessary and sufficient conditions
for the existence of each of two types of dichotomies for this equation: ordinary and exponential
dichotomies, and we present some consequences of these facts. We write IDE for impulsive differ-
ential equation.
Some interesting results are mentioned below. We present some relations between bounded
growth and the existence of exponential dichotomy for the IDE in question. We also present the
equivalence between the existence of an exponential dichotomy for our IDE and the admissibility of
certain pairs of function for the IDE with a perturbation. In particular, if our IDE has an exponential
dichotomy, then given certain bounded perturbation, we obtain a non-homogeneous IDE which
admits a bounded solution and the converse holds. We contribute to this result showing that the
space of bounded functions can be replaced by the space of bounded function with limit at infinity.
This means that if our IDE has an exponential dichotomy, then for any bounded perturbation with
limit at infinity, the perturbed IDE admits a bounded solution with limit at infinity and we also have
a converse.
Another interesting result says that if the IDE we study is almost periodic and has an exponential
dichotomy on M+ then it also has an exponential dichotomy on E. We generalize this results
proving that if our IDE has an exponential dichotomy on a finite interval of sufficiently large length,
then the IDE also has an exponential dichotomy on R.
Sumário
Introdução 1
Notação Básica 3
1 Teoria Fundamental 5
1.1 Espaços de Banach 5
1.1.1 Espaços Normados e Espaços de Banach 5
1.1.2 Operadores Lineares 6
1.1.3 Soma Direta de Subespaços e Projeções 9
1.1.4 Complexificação de um Espaço de Banach 10
1.2 Operadores Lineares Limitados 11
1.2.1 Espectro e Resolvente 11
1.2.2 A Integral de Riesz 12
2 Equações Diferenciais Impulsivas 15
2.1 Definições Básicas 15
2.2 Existência e Unicidade de Soluções 17
2.3 Desigualdades Integrais 20
3 Dicotomias para Equações Diferenciais Impulsivas 28
3.1 Definições e Propriedades 28
3.2 Redutibilidade 44
4 Crescimento Limitado e Dicotomias 50
4.1 Definições e Propriedades 50
4.2 Relações entre Crescimento Limitado e Dicotomia Exponencial 61
5 Dicotomias e Admissibilidade 70
5.1 Dicotomia Ordinária e Admissibilidade 72
5.2 Dicotomia Exponencial e Admissiblidade 79
5.2.1 Admissibilidade de Funções com Limite no Infinito 87
6 Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 93
/
Apêndice 1: Um Teorema do Tipo Ascoli-Arzelá 117
Referências Bibliográficas 120
ii
Introdução
O estudo das equações diferenciais impulsivas (EDIs) é muito importante pois elas modelam,
de forma mais realista, vários problemas que surgem naturalmente em diversas áreas das ciências
e tecnologia como, por exemplo, em teoria de controle, engenharia (robótica industrial), física
(mecânica), ciências médicas e biológicas (farmacocinética, dinâmica populacional), economia en-
tre muitas outras. As EDIs descrevem a evolução de sistemas onde o desenvolvimento contínuo de
um processo sofre variações de estado de curta duração que podem ser consideradas instantâneas.
Esse fenómeno é chamado impulso ou ação impulsiva e corresponde às descontinuidades de
primeira espécie das soluções.
No presente trabalho, consideramos o caso de EDIs com impulsos pré-estabelecidos, ou seja,
os impulsos são conhecidos de antemão, e apresentamos um estudo sobre dicotomias para estas
EDIs e suas implicações no comportamento das soluções. O texto base para este trabalho foi [1].
Aqui, além de discutirmos vários resultados, nós também modificamos algumas demonstrações e
incluímos outras. Também agregamos alguns resultados de artigos ao texto desta dissertação e
contribuímos com alguns resultados novos.
Organizamos os capítulos desta dissertação da forma seguinte. No Capítulo 1, apresentamos
algumas propriedades básicas sobre espaços de Banach que serão utilizadas no decorrer do texto.
A referência fundamental para este capítulo é [7]. Vamos omitir as demonstrações pois estas são
bem conhecidas e podem ser encontradas em [7].
No Capítulo 2, descrevemos uma EDI usual e definimos o que é uma solução para esta EDI.
1
2
Apresentamos teoremas sobre existência e unicidade de soluções e estabelecemos algumas pro-
priedades da matriz de Cauchy para EDIs. Damos condições para valerem certas desigualdades
integrais para funções contínuas por partes, que serão utilizadas posteriormente. As referências
principais para este capítulo são [1], [4] e [8].
No Capítulo 3, consideramos a EDI linear que será nosso objeto de estudo e apresentamos as
definições de dicotomia exponencial, dicotomia ordinária e dicotomia espectral bem como algumas
de suas propriedades. Além disso, definimos equivalência cinemática e apresentamos propriedades
fundamentais deste conceito para nossa EDI. Os resultados contidos aqui podem ser encontrados
em [1], [4] e [6],
No Capítulo 4, apresentamos vários resultados que relacionam crescimento limitado e ex-
istência de dicotomia exponencial para a EDI em questão. Primeiramente, damos condições necessárias
e suficientes para que a EDI tenha crescimento limitado. Depois, relacionamos a existência de di-
cotomia exponencial e crescimento limitado de tal EDI. As referências para este capítulo são [1],
[2] e [6].
No Capítulo 5, apresentamos condições para a equivalência entre a admissibilidade de certos
pares de funções para uma perturbação de nossa EDI perturbada e a existência de uma dicotomia
exponencial para a EDI original. Tais resultados podem ser encontrados em [1] e [9].
Finalizamos este trabalho com o Capítulo 6. Apresentamos um resultado já conhecido que diz
que se a EDI (3.1), (3.2) for quase-periódica e tiver uma dicotomia exponencial sobre R+, então
ela terá uma dicotomia exponencial sobre R. Em seguida, apresentamos um resultado novo que nos
diz que se esta EDI tiver uma dicotomia sobre um intervalo finito de comprimento suficientemente
grande, então ela terá uma dicotomia sobre toda a reta.
Notação Básica
Apresentamos, aqui, algumas notações que aparecem ao longo deste trabalho.
• Z representa o conjunto dos números inteiros;
• Z+ representa o conjunto dos números inteiros não-negativos;
• N representa o conjunto dos números inteiros estritamente positivos;
• R representa o conjunto dos números reais;
• R + representa o conjunto dos números reais não—negativos;
• R_ representa o conjunto dos números reais não—positivos;
• C representa o conjunto dos números complexos;
• Re z representa a parte real do número complexo z\
• Im z representa a parte imaginária do número complexo z\
• Rn representa o espaço euclidiano N—dimensional, que denotamos por X\
• A representa o fecho de um conjunto A c i ;
• d A representa a fronteira de um conjunto A cl;
• B(x, e) = {y G X : p(y, x) < e}, onde p(x,y) denota a distância entrexe^;
• (jci,JC2) £ M representa o produto interno usual entre x\ e X2\
• Im / representa o conjunto imagem de uma função / ;
3
4
• Ker / representa o núcleo de uma função / .
Quando um conceito for introduzido pela primeira vez, as palavras que o definem estarão em
negrito.
Indicaremos o final de uma demonstração com o símbolo • .
Capítulo
1
Teoria Fundamental
1.1 Espaços de Banach
Nesta seção, enunciaremos algumas proposições gerais sobre a geometria de espaços de Ba-
nach. Este conteúdo será importante para o desenvolvimento das próximas seções. A referência
para este capítulo é [7], onde podem ser encontradas as provas para os resultados que apenas enun-
ciamos aqui.
1.1.1 Espaços Normados e Espaços de Banach
Diremos que um conjunto Jf é um espaço normado real (complexo) se
(i) Jf for um espaço vetorial linear sobre o corpo dos números reais (complexos), e
(ii) para cada vetor x 6 J f , existir um número não-negativo ||x||, denominado norma de x, com
as seguintes propriedades:
(a)
(b)
(c)
Espaços de Banach 6
A função p(x,y) = \\x — em um espaço normado Jz? 3 x,y, define uma métrica neste espaço.
Deste modo, (Jz?,p) é um espaço métrico.
Uma sequência {xn} C áf será uma sequência de Cauchy, se lim \\xn — xm|| = 0 . n , m — o
Um espaço normado será um espaço de Banach, se toda sequência de Cauchy em tiver
um ponto limite * e Jz? para o qual lim \\xn — xll = 0. Em outras palavras, um espaço de Banach n—
é completo na métrica p(x,y) = \\x — >>||.
Se outra norma | |x| 12 for dada em um espaço normado % , com norma | |x| 11, então toda sequência
convergente com respeito à norma ||x|| 1 convergirá com respeito à norma ||x|j2 se, e somente se, e-
xistir uma constante positiva c\ tal que ||x||2 < c\ ||x|| 1.
Duas normas ||x||i e ||x|]2 dadas em um espaço linear Jz? serão topologicamente equivalentes,
se a convergência em uma implicar a convergência na outra. Para isto é necessário e suficiente que
existam constantes positivas c\ e C2 tais que
c~2 < {{ j{2 < cj, x / 0. IWIi
Diremos que dois espaços de Banach são isomorfos, se existir uma aplicação linear contínua in-
jetora de um espaço sobre o outro. Esta aplicação será chamada de isomorfismo. Se o isomorfismo
preservar a norma, então ele será chamado de isomorfismo isométrico.
1.1.2 Operadores Lineares
Sejam , e espaços de Banach. Uma aplicação A\ Sê 1 —>• é um operador linear,
se A{ax + fíy) = ctAx + /3Ay para quaisquer números a , (5 e quaisquer jc, y E .
Um operador linear será contínuo, se ele for contínuo no ponto x = 0.
A continuidade é equivalente à propriedade de limitação de um operador A, isto é, à finitude da
quantidade
||A|| '.= sup í " t t t t " x ^ o l = s u p { | | A x | | 2 : x G ^ i , ||x||i = 1}. (1.1)
Espaços de Banach 7
O conjunto dos operadores lineares limitados A : Sê\ —> Sê2 será denotado por \Sê\,Sè-2\. Este
conjunto é um espaço de Banach com norma (1.1) sob a definição natural das operações de soma
de operadores e de multiplicação de um operador por um número:
(A + B)x = Ax + Bx e (ocA)x — oc(Ax).
Sejam A : S§2 Sê^ e B : Sê\ —,• S$2 operadores lineares. A fórmula Cx = A(Bx), para x£S§\,
define um operador C \ Sê\ —> Sê^ que será chamado de produto dos operadores A e B, Neste caso,
escrevemos C = AB. Se os operadores A e B deste produto forem limitados, isto é, se A £ [£$2,
e B e \Sê\, £$2}, então o operador C será limitado, ou seja, C G \Sê\, Sê{\. Além disso, teremos
||C|| = ||A5|| < ||A||||£||.
Um operador B : Sê2 —> Sê\ será chamado de inverso do operador A : Sê\ —> Sê2, e escrevemos
B = A~l, se AB = I2 e BA = I\, onde 4 é o operador identidade em ou seja Ikx = x, para
qualquer x £ k = 1,2.
O conjunto de todos os operadores lineares limitados de um espaço de Banach Sê sobre ele
mesmo será denotado por [Sê], Assim \Sê\ := \Sê,Sê\.
Sob a operação de multiplicação definida acima (produto de operadores), [Sê] será um espaço
de Banach.
Por A" denotaremos a composição do operador A e [Sê] com ele mesmo n vezes.
Diremos que a função (•, •) : Sê x Sê — C define um produto interno, se forem satisfeitas as
seguintes propriedades:
(i) (x,y) = (y,x), para todo x,y E Sê;
(ii) (hx,y) = X(x,y), para quaisquer x,y G^eleC;
(iii) (xi +x2,y) = (xuy) + {x2,y), para quaisquer xux2,y <E Sê\
(iv) (x,x) = 0 se, e somente se, x = 0.
Espaços de Banach 8
Seja Sê um espaço de Banach com produto interno. Para que um operador linear A : Sê Sê seja
limitado, isto é, A £ [Sê], será necessário e suficiente que exista um operador linear A* : Sê Sê
tal que (Ax,y) = (x,A*y), para quaisquer x,y £ Sê. Deste modo, se A £ [Sê], então A* £ [Sê] e
(A*)* = A. O operador A* é chamado operador adjunto de A.
Um operador A £ [Sê] será um operador hermitiano se A = A*.
O teorema a seguir é conhecido como Teorema de Banach. Este teorema nos diz que se tivermos
um operador linear limitado injetor de Sê\ sobre Sê2, com Sê\ e S§2 espaços de Banach, então seu
inverso também será um operador linear limitado. Isto justifica a definição de espaços de Banach
isomorfos dada na seção anterior.
Teorema 1.1 (Banach) Suponhamos que o operador A £ [Sê\, Sêj\ seja uma aplicação injetora de
um espaço de Banach Sê\ sobre um espaço de Banach Sê2. Então A 1 £ [S§2,S$\], isto é, o inverso
de A também será um operador linear limitado.
Corolário 1.1 Suponhamos que, em um espaço linear Jzf, sejam dadas duas normas ||x||i e ||x||2
que fazem de ££ espaços de Banach que denotamos por Sê\ e Sê2 respectivamente. Suponhamos,
também, que ||x||2 < c\ ||x||i, para x 6 Sâ, onde c\ é uma constante positiva. Então existirá uma
constante positiva C2 tal que ||x||i < <211112 e< consequentemente, as normas ||x||i e \\x\\2 serão
topologicamente equivalentes.
Teorema 1.2 (Princípio da Limitação Uniforme) Suponhamos que U seja um conjunto de ope-
radores de [Sê 1, Sê2] tal que, para cada x £ Sê\, tenhamos
sup{||Ax|| : A £ U} < 00.
Então U será limitado.
Em particular, segue deste teorema que se uma sequência de operadores {A„}„eN C [Sê\,Sê2]
for tal que Anx converge, qualquer que seja x £ Sê\, então a igualdade Ax = lim Anx definirá um n—}<x>
operador linear contínuo A £ [Sê\, Sê?\.
Espaços de Banach 9
Encerramos esta subseção com o Teorema da Aplicação Aberta e o Teorema do Gráfico fechado
que são essenciais neste trabalho.
Teorema 1.3 (Teorema da Aplicação Aberta) Suponhamos que A £ [Sê\, Sê^ seja sobrejetiva.
Então o operador A será aberto.
Teorema 1.4 (Teorema do Gráfico Fechado) Seja A £ [Sê\,Sê2] e suponhamos que seu gráfico
seja fechado. Então o operador A será contínuo.
1.1.3 Soma Direta de Subespaços e Projeções
Um espaço de Banach Sê poderá ser decomposto como soma direta dos subespaços Sê\ e Sê2 e,
neste caso, escreveremos
Sê = Sê\ © (1.2)
se cada elemento x £ Sê admitir uma única representação na forma
x = x ] + x 2 , (1.3)
ondexi £ Sê\ ex2 £ Sê2.
Cada um dos subespaços Sêk,k = 1,2, é dito complementar direto um do outro.
A decomposição (1.2) define dois operadores lineares Pk : Sê —> Sêk, 1,2, através das igual-
dades Pkx — xk, onde xj e X2 são as componentes de x na decomposição (1.3). Os operadores P\ e
P2 tem as seguintes propriedades:
Pl = Pk-, Pi+P2=E PiP2 = P2Pi=0', k= 1,2. (1.4)
Tais operadores também são contínuos, isto é, Pk £ \Sê\ k= 1,2. Para provarmos este fato, seja
I M I l = | | * 1 I I + I I ( = + 1 1 ^ 2 * 1 1 ) ,
para qualquer x £ Sê. Comox = x\ +X2, temos ||x|| < |jjcj || + ||x2|| = ||x||i. Não é difícil de ver que
Espaços de Banach 10
o fato dos espaços 38 \ e 382 serem completos implica que o espaço 38 é completo na norma ||x||i.
Desta forma, o Corolário 1.1 implica a existência de uma constante c > 0 tal que ||x||i < c||x||,
donde \\Pkx\\ < c||x||, isto é, P,\ £ [38], k = 1,2.
Um operador P £ [38] é chamado de projeção, se P2 = P. Se um operador Pi for uma projeção,
então o operador P2 = I — P\ também será uma projeção e todas as relações de (1.4) serão satisfeitas.
Os operadores Pi e P2 são chamados projeções mutuamente complementares.
Como podemos notar, toda decomposição direta (decomposição em soma direta) de dois su-
bespaços define um par de projeções mutuamente complementares. Reciprocamente, todo par
de projeções mutuamente complementares define uma decomposição direta como em (1.2), onde
38x = P\38e382 = Pl38.
Uma definição análoga existe para a decomposição de um espaço de Banach numa soma direta
38 — 38 \ © • • • © 38n de subespaços, e podemos mostrar que toda decomposição direta define e é
definida pela decomposição da identidade em soma de projeções I — Pi +... + Pn, as quais são duas
a duas disjuntas, ou seja,
Notemos, também, que ||P|| < ||P||2, ou seja, ||P|| > 1 para qualquer projeção P. Isto ocorre tendo
em vista que P2 = P.
1.1.4 Complexificação de um Espaço de Banach
PjPk = PkPj = SjkPk
onde ôjk é o símbolo de Kronecker, isto é,
Definimos a complexificação do espaço de Banach 38, a qual denotaremos por 3ê como um
espaço de Banach complexo isomorfo ao espaço 38 x 38. O espaço 38 consiste, por definição,
de todos os pares (x\,x2) de elementos de 38 com comportamento algébrico definido pela forma
Funções de Operadores Lineares Limitados 11
simbólica (jq ,x2) = x\ + ix2 e com norma
1*1 + '*2| = Y |* l | 2 + 1*2 P'
Como podemos verificar, é um espaço de Banach complexo.
1.2 Operadores Lineares Limitados
1.2.1 Espectro e Resolvente
Seja Sê um espaço de Banach complexo.
Um ponto X do plano complexo será chamado de ponto regular de um operador A £ se
[Sê] contiver o operador
Rx = {A-Xl)-\
que será chamado resolvente de A em A.
O conjunto p(A) de todos os pontos regulares de um operador A é aberto. O complementar de
p(A) em C será chamado espectro de A. O espectro de A, que denotaremos por c(A), será sempre
não-vazio, fechado e estará no disco |A| < ||A||.
Teorema 1.5 (Teorema do Raio Espectral) Seja A £ Então o espectro o (A) está contido no
disco de centro na origem e raio
rA = lim HA"]!'7".
Observemos que a existência do limite acima segue da relação ||Am+"|| < ||A'"|| ||A"||. CXD
Demonstração: Notemos que, quando |A| > r^, a série converge absolutamente k=0
na métrica de \â§\. A série de normas correspondente é majorada pela progressão geométrica
{(rA para qualquer e > 0 e para k £ N suficientemente grande. Multiplicando-se
Funções de Operadores Lineares Limitados 12
esta série por XI — A, obtemos I. Assim, quando |A | > RA, O resolvente sempre existirá e teremos
o o
k=o
Podemos verificar que o círculo |A| — r^ sempre contém um ponto do espectro c(A). Portanto o
limite lim ||A"|| será chamado de raio espectral de A. •
O resolvente Rx é uma função analítica de X em uma vizinhança de cada ponto regular [i e
p(A). A expansão absolutamente convergente
0 0
0
é válida para \X - fi\ < 1 /\\R^\\.
Terminamos esta seção com a seguinte regra especial, notável por sua simplicidade:
Se A £ [Sê] for tal que ||A|| < 1 (ou mais geralmente r^ < \), então o operador I — A
será invertível e valerá 0 0
1.2.2 A Integral de Riesz
Sejam Sê um espaço de Banach arbitrário e A e [Sê], isto é, A é um operador linear limitado
agindo sobre Sê. Suponhamos que o espectro cr(A) de A seja desconexo. Um subconjunto fechado
de cr(A) cujo complementar em o*(A) também é fechado será chamado de conjunto espectral.
Assumiremos que
a(A) = ur=1cx,(A)
onde cr^A), k = 1 , 2 s ã o conjuntos espectrais disjuntos. Considerando tal situação, as-
sumiremos que a fronteira T^, onde T^ é um contorno qualquer que cerque o espectro cr(A), con-
siste de partes disjuntas k — 1,2,. . . ,/n, tais que cada limita o conjunto Gk D CTj A), sendo
que Gk é qualquer conjunto que contém o^(A) e não contém nenhum elemento de Oi(A), para i k.
Funções de Operadores Lineares Limitados 13
<^(A)
Seja
' 1, A e G * ,
O, A e G j ,
As funções <j>k(A) pertencem à classe de todas as funções a valores complexos 0(A) (A-complexo)
analíticas por partes no espectro <j(A). Portanto os operadores seguintes são bem definidos
= hw = um^dx = R^dÁ,, k = 1 , 2 , m . (1.5)
O lado direito da igualdade
é chamado de integral de Riesz.
Para A e G = Uk=] Gk, temos
Portanto temos
<t>k(X)<l>j(k) = 8kj<\*k(X)
k=\
PkPj = 0,
m
/t=i
(1.6)
Assim, os operadores formam uma decomposição da identidade em uma soma de projeções duas
a duas disjuntas. De (1.5) deduzimos que Pk comuta com A, isto é,
PkA=APk, k = 1,2,... ,m. (1.7)
A partir de agora, denotaremos por Pk a projeção espectral correspondente a <Jk(A) como
acima.
Sejam um subespaço de Sê e Sê — 3è\ © Sê2. Diremos que Sê\ é invariante sob um operador
Funções de Operadores Lineares Limitados 14
A 6 [Sê], se ASê\ C Sêi. Então Sê\ será invariante com respeito a A se, e somente se,
PAP = AP
onde P : Sê —» Sê\ é uma projeção qualquer.
De (1.7) segue que todo subespaço Sê^ = P^Sê é invariante com respeito a A. Também temos
que o espectro o(A\ggk) da restrição do operador A ao subespaço Sêk coincide com o espectro do
conjunto cfy(A) e o espaço Sê pode ser decomposto como soma direta
Capítulo
2
Equações Diferenciais Impulsivas
Iniciamos este capítulo definindo o que vem a ser uma equação diferencial impulsiva (EDI)
e sua solução. Em seguida, enunciamos teoremas de existência e unicidade de soluções e es-
tabelecemos algumas propriedades da matriz de Cauchy de certa EDI linear homogénea. Além
disso, apresentamos condições para termos certas desigualdades integrais para funções contínuas
por partes.
2.1 Definições Básicas
Seja X = um espaço vetorial 7V-dimensional e seja 7 : X —> X a aplicação identidade sobre
X. Denotaremos por L(X) o espaço de todas as matrizes N xN com entradas em X.
Seja { í „ } c l = ( — u m a sequência com índices em Z ou N. Assumiremos que tn < tn+\,
para todo « Ç Z . Além disso, para {/n}„eN> assumiremos que quando n —> <*> e, para {tn}nez>
assumiremos que tn ±<*> quando n —>• Denotaremos por J um intervalo qualquer de R.
Definição 2.1 Um sistema da forma
dx — =f(t,x), t^tn, (2.1)
x(t+)=x{tn) +In(x(tn)) := Qn(x(t„)),
15
(2.2)
Notações 16
onde
• f : J x X —y X é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie
em t = t„, contínua à esquerda em t = tn, n £ Z;
• In : X ^ X é uma função contínua, para todo n £ Z tal que tn £ J.
é dito ser uma equação diferencial impulsiva (escrevemos abreviadamente EDI)
O processo simulado pela EDI (2.1), (2.2) evolui do modo como descrevemos a seguir.
A aplicação P(t) = (t,x(t)), que aplica a trajetória dex(r) com ponto inicial (ío,*o), move-se ao
longo da curva {(?,*) : t > ÍQ,X = jc(í)} determinada pela solução da equação diferencial ordinária
(escrevemos abreviadamente EDO):
com valor inicial x(to) — XQ, com t £ [ío^i]- O movimento ao longo desta curva vai até o instante
11 > ÍQ no qual a aplicação P(t) encontra o hiperplano t = t\. Neste instante, acontece um salto do
ponto (íi,x(íi)) para o ponto (t\,x(tf)) através da ação da função de impulso I\. Em seguida, para
t £ (h,h), a aplicação P(t) move-se ao longo da curva {(/,*) : t > t\,x = x(t)} onde, agora, x(t) é
a solução da equação diferencial ordinária (2.3) com t £ [t\,t2\ e valor inicial x(t^). No momento
t = t2, ocorre uma nova transição por salto realizada do ponto (t2,x(t2)) ao ponto (^-xf/^)) Pe^a
função de impulso h e assim por diante.
Definição 2.2 Uma solução da EDI (2.1), (2.2) é qualquer função contínua por partes, x: J X,
com descontinuidade de primeira espécie em t = tn, contínua à esquerda em t = tn e tal que as
equações (2.1) e (2.2) estejam satisfeitas.
Denotaremos por x(f,to,xo) = x(t) a solução da EDI (2.1), (2.2) para a qual x(to) — xo e por
(respectivamente Í2_) o intervalo maximal no qual esta solução é contínua à direita (respecti-
vamente à esquerda) do instante ÍQ. Veremos, na próxima seção, que um tal intervalo existe.
Se x(t) — x(f,to,xo) for uma solução da EDI (2.1), (2.2) com condição inicial x(to) = XQ, então
(2.3)
Existência e Unicidade de Soluções 17
a seguinte representação será válida
í f(s,x(s))ds + T I„(x(tn)), t e n + , Jín
x(t) = < X0- __
x 0 + / f(s,x(s))ds - £ /„(*(?„)), í e f í --7'0 í<ín<ío
2.2 Existência e Unicidade de Soluções
O problema de existência e unicidade da solução da EDÍ (2.1), (2.2) pode ser reduzido ao
problema de existência e unicidade da EDO (2.1) correspondente, considerando-se cada intervalo
[ t n - i , t n } , n G Z .
Teorema 2.1 [[1], Teorema 2.1] O problema de valor inicial para a EDI (2.1), (2.2) com valor
inicial lem solução única à direita de íq se, e somente se, a EDO (2.3) tiver solução única
para to ^ tn e xç, G X ou se tç, = tn e xo = x(t„), para algum n G Z. O problema de valor inicial
para a EDI (2.1), (2.2) com valor inicial (ÍQ,XQ) tem solução única à esquerda de to se, e somente
se, existirem funções , n G Z, e a equação diferencial ordinária (2.3) tiver solução única para
to G R e x0 G X.
Consideremos a EDI linear homogénea
dx — =A{t)x, t^tn, (2.4)
x(t + ) = x(tn) +In(x(tn)) := Qn(x(tn)), ( 2 - 5 )
onde
• A : J —> X é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie em
t = tn, contínua à esquerda em t = tn, n G Z;
• /„ : X —>• X é uma função contínua, para todo n G Z tal que tn G /.
Existência e Unicidade de Soluções 18
O teorema a seguir é uma consequência imediata do Teorema de Existência e Unicidade para
EDOs aplicado a cada intervalo [tn,tn+1], para n G Z.
Teorema 2.2 [[1], Teorema 2.2] Dado qualquer ponto (ío,xq) G J x X, a EDI (2.4), (2.5) admite
uma solução única x(t) definida para todo t >tQ e tal que X(ÍQ) = XQ.
Definição 2.3 Uma função a valores matriciais U (Í, T) que associa a cada elemento xr G X, t < t,
uma única solução determinada pelo problema de valor inicial (2.4), (2.5), X(T) = xT, isto é,
é uma matriz ou operador de Cauchy da EDI (2.4), (2.5). Em particular, quando x = to, temos
xr — XQ e, neste caso, escrevemos U(t) em lugar de U(t,to) e dizemos que U{t) é a matriz ou
operador fundamental da EDI (2.4), (2.5) com x(to) — XQ.
Supondo que as matrizes Qn, em (2.5) sejam não-singulares, isto é, det<2„ ^ 0, n G Z, podemos
ver que os operadores U(t) e U(t, t ) satisfazem
U{t,x)xx =x{t)
U(t)=X(t,tn)QnX(tn, tn^,)Qn_i... QiX{h, t0)
e
/ s,t G [tk-i,tk}, Xk(t,s),
Xk+1 {t,h)QkXk{tk,s), tk-1 < s < tk < t < tk+i
U(t,s)={ Xk+i(t,h)Qk
lXk(tk,s), 1 <t <tk<s< tk+l,
Xk+iit^UlQjXjitjSj^QiX^s) ti-\ < s <ti <tk<t < tk+i .i=k
Xi(t,ti) H[Qj]Xj(tj,tj-i)]Qk lXk+] (tk)s), ti-1 <t <ti<tk<s< tk+1,
onde Xk(t, r) é a matriz de Cauchy da equação diferencial ordinária
d* . / \ — = A(t)x dt
Existência e Unicidade de Soluções 19
restrita ao intervalo [tkJk+1]. c o m condição inicial x(t£), para k G Z.
Notemos que
U(t,t) = I,
U(t,s) = U(t,t)U(T,s), r<s<t,
jU{t,x)=A{t)U{t,x), x <t,t<£{tn},
T) = T ) A ( T ) , T < t, t i {tn},
U(t+,x) = QnU{tn, r),
U(t,t+) = U(t,tn)Q~l, tn < t.
Agora, vamos considerar a EDI linear não-homogênea
dx
(2.6)
dt A{t)x + f(t,x), t^tn, (2.7)
x{t+) = x(tn) + In(x(tn)) + hn(x) = Qn(x(tn)) + hn(x), (2.8)
onde
• A : J —> X é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie em
t = tn, contínua à esquerda em t = tn, n e Z;
• f : J xX X é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie
em t = tn, contínua à esquerda em t = tn,n£ Z;
• In : X —> X é uma função contínua, para todo n G Z tal que tn G J.
O lema a seguir é conhecido como Fórmula da Variação das Constantes para EDIs e [1] o
apresenta separadamente em dois lemas. Este resultado apresenta a solução da EDI não-homogênea
(2.7), (2.8) utilizando o operador de Cauchy da EDI homogénea associada a ela, isto é, a EDI (2.1),
(2.2).
Lema 2.1 (Fórmula da Variação das Constantes para EDIs) [[1], Lemas 2.2 e 2.3] Considere-
mos a EDI (2.7), (2.8) e suponhamos que a função f(t,x) seja localmente lipschitziana em x Seja
Desigualdade Integrais 20
x(t) = x(f;?o,xo) uma solução da EDI não-homogênea (2.7), (2.8). Então
x{t) = U(t,t+)x0+ f U{t,s)f(s,x(s))ds + £ U(t,t+)hn(x(tn)), te£l+. (2.9) Jto t0<tn<t
Se, além disso, as matrizes Qn forem invertíveis para todo n G Z, então
x{t) = U(t,t+)x0+ f U(t,s)f(s,x(s))ds- £ U{t,t+)hn(x(tn)), te Si-, (2.10) t<í„<i 0
onde U(t, T) é a matriz de Cauchy da EDI homogénea (2.4), (2.5) correspondente a (2.7), (2.8).
2.3 Desigualdades Integrais
Nesta seção, provamos algumas desigualdades integrais que serão usadas no decorrer do texto.
Lema 2.2 //27, Teorema 1.4.1] Suponhamos que (p : [fo, +°°) K seja uma função não-negativa,
contínua por partes com descontinuidade de primeira espécie nos pontos tn £ [/q, n G N.
Sejam p, v : [íq, —> R funções contínuas não-negativas e suponhamos que Pn>QeYn sejam
constantes para cada h G N . Suponhamos, ainda, que
(p'(t)< v(f)ç>(/)+íi(0 (2.11)
e que
Então < P ( 0 <
Demonstração: Provemos por indução sobre os intervalos [to,tn], n G N.
<p(t + ) < Pn<P{tn) + Yn, « 6 N. (2.12)
m n Pnej'°v{T)dr + E ( r i m-v ( t ) < / t >)%+ lQ<t„<t l0 «/.<' \t„<ti<t ) (2.13)
+ / 1 n ''o \T <ti<t t > í0-
Desigualdade Integrais 21
Seja t e M ] . Então, de (2.11), temos
d dt
(p(t)e J'o V(.vkv / - í! v(s)ds
que integrando de íq a t, to < t < t\, implica em
(p(t) < (p(to)eJ'ov{s)dx + f p{x)e^dsdx. J to
(2.14)
Portanto (2.13) é verdadeira para t e [to,t\}.
Agora, suponhamos que (2.13) seja válida para t e [to,tn] para algum inteiro positivo n > 1.
Então, parar e [to,tn+\], segue de (2.11) e (2.14) que
e, usando (2.12), obtemos
9 ( 0 < (I%cp(tn) + yn)elv^dx+ [ p{x)e^dsdx. (2.15)
Pela hipótese de indução, (2.15) implica que
<p(t) < P„eÚvW* m n pkeL°v(s)ds+ i ( n a 'o<tk<tn to<lk<tn \tk<H<tn
//" v(s)ds , eJ,k w | yk
/ ( E l fre&^AnWdT +ynelvWs+ f p{x)e^dsdx.
Portanto
(p{t) < cp(to) n Pnej>ov{r)dx + £ ( n PielLv{T)dT) 7n+ t0<l„<t t0<tu<t V„«,<' /
r< ( n fa^A p(x)dx, Jlo \r<ti<t
para te [to, tn+1]. Isto completa a prova.
Lema 2.3 [[ 1 ], Lema 3.1] Suponhamos que (p : [/o, °°) —> R seja uma função não-negativa, contínua
por partes com descontinuidade de primeira espécie nos pontos ti, para todo i e N. Seja
Desigualdade Integrais 22
v : [ío,°°) K uma função contínua não-negativa e sejam c > O e fy > O, i G N, constantes.
Suponhamos, ainda, que
<p{t)<c+ £ Pi<p(ti)+[ (p(T)v(x)dx, t0> 0. t0<li<í •''o
Então
ç(t)<c (1 + pi)ef'ov{r)d\ ÍQ<ti<l
Demonstração: Consideremos y/ : [ÍQ, —> M. dada por
V(t) = c+ £ PM*) + í (p(T)v(T)dr. to<ti<t
Logo, para t > to, temos
\j/(t) = v(t)(p(t), t^tn,
ljf(t0) = C,
V(tf)<(l+Pn)<P(tn).
Como (p(t) < \ff(t), dado t G temos
i / ( r ) < v ( f )v (0 , t^tn.
Além disso,
W(to) = c
e
Y(t+)<(\+Pn)Y(tn), neN.
Deste modo, podemos aplicar o Lema 2.2 para obtermos
¥ ( t ) < c n ( i + A > i i ° v ( T ) d T , *>*<> '0<li<t
e, portanto, o resultado está provado.
Desigualdade Integrais 23
Denotemos por i(a,b) o número de pontos da sequência {tn}nez contidos no interior de certo
intervalo [a,b] c R e , por j(t) = i(to,t). Deste modo, j(t) = n, se tn < t < tn+\, n G 1.
O próximo lema é um caso particular do Lema 2.3.
Lema 2.4 [[1 ], Lema 3.2] Suponhamos que (p : [ío, —> K seja uma função não-negativa, contínua
por partes com descontinuidade de primeira espécie nos pontos ti, para todo i G N, e que
Lema 2.5 [[1 ], Lema 3.3] Suponhamos que (p : [ío?00) —tM.seja uma função não-negativa, contínua
por partes com descontinuidade de primeira espécie nos pontos ti, para todo i G N tal que, para
t > to, tenhamos
(2.16)
onde a, P>0ej>0 são constantes. Então
<P(t) < a ( l + /3yM e r t ' - t o ) ,
(2.17)
onde A, J S > 0 E Y > 0 são constantes. Então
Demonstração: Note que (2.17) pode ser reescrita do seguinte modo
7
Assim, a função <p(f) H— satisfaz as condições do Lema 2.4. Portanto,
e a demonstração está completa.
Desigualdade Integrais 24
Consideremos, agora, a EDI linear não-homogênea
dx = A{t)x + f{t), t^tn, (2.18)
dt
x(t+)=x(tn)+In(x(tn))+hn = Qn(x(tn)) +hn. (2.19)
onde
• A : K + —> L(X) é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie
em t = tn, contínua à esquerda em t = tn, a é N ;
• / : R+ —> X é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie em
t = tn, contínua à esquerda em t = tn, n £ N;
• In : X —> X é uma função contínua, para qualquer n G N;
• h„ G X, para qualquer n G N.
O próximo lema nos dá uma estimativa para a solução da EDI (2.18), (2.19).
Lema 2.6 [[1], Lema 3.5] Consideremos a EDI não-homogênea (2.18), (2.19) e seja J cR um
intervalo de comprimento l. Então, para qualquer solução x{t) de (2.18), (2.19), teremos
\x(t)\< ( W o ) | + L\f(u)\du+ £ \hk\\ + ||/„||) (2.20) V tka J í„ef
jc(í)| < ( r 1 [_\x(u)\du+ [\f(u)\du+T\hk\ I ^ ^ T K ^ I I 7 " ! ! ) - (2-21)
V J j Jl tka J t„ef
Demonstração: Pelas fórmulas (2.9) e (2.10) parax(í), temos
x(t) = <
XQ+ í f(u)du+ í A(u)x(u)du+ £ hn+ £ Inx{tn), t > t0, J'0 'o tQ<ln<t ÍQ<t„<t
xq + í f(u)du+ í A(u)x(u)du- £ hn- £ Inx(tn), t < t0. J'0 J'0 t<tn<tQ t<tn<to
Desigualdade Integrais 25
Então
\x(t) \ < |xo | + / \f(u)\du + / |\A{u) |\x(u)\du JtQ JtQ " £ \hn\ + £ \\In\Mtn)\,
tneQ. t„e fi
onde
Q (tQ,t), t>to,
(Mo), t<t0.
Então
K O I < \*o\+ f \f(»)\du + \\A{u)\\\x(u)\du + L 1^1+ £ 1141114^)1-t„ef t„eJ
(2.22)
Daí, pelo Lema 2.3, segue a desigualdade (2.20).
Provemos, agora, a desigualdade (2.21). Para isto, integramos a desigualdade (2.22) sobre i e
obtemos
m<eh\\A{u)\\du J-](l + ||/n||) ( í\x{u)\du + l flfWldu + l^lhnl) .
t„el V J J t„ef ) (2.23)
A estimativa (2.21) segue de (2.23).
Observação 2.1 Em particular, se x(t) for uma solução da EDI homogénea (2.4), (2.5) e ÍQ, t G J,
então teremos as seguintes estimativas para \x{t) \:
W0l< W ^ I ^ ^ T K ^ I I 7 » ! ! ) t„eJ
(01 < y e^ A { u ) l l d u n ( J + II7'
Para isto, hasta aplicarmos o Lema 2.6 com f — 0 e hn = 0, n G N.
O próximo lema é a Desigualdade de Gronwall Generalizada que será utilizada no último
capítulo desta dissertação.
Desigualdade Integrais 26
Lema 2.7 (Desigualdade de Gronwall Generalizada) [[5], Lema 6.2] Suponhamos que a, j3, <j>:
[a,b] —> R sejam funções contínuas, com fi(t) > 0, para todo t £ [a,b], tais que
(j>(t) < a(t)+ I /3(s)(j)(s)ds, t e [a,b\. J a
Então
<K0 < a(0+ f P(s)a{s)e^li{u)duds} t e [a,b). Ja
Demonstração: Definamos
V(t)= r [3 (s)íj>(s)ds, x e[a,b}. Ja
Dado % € [fl,&], temos
dVp- = /3( t )0( t) < j8(T)a(T) + V(T)0(T), dx
daí
^ - V ( t ) / 5 ( T ) < / 5 ( T ) O ( T ) .
Multiplicando ambos os lados da desigualdade por ^(v)rfv s e g U e q U e
e-i;ms)dsWW _ v(T)j3(t)e-fjf}(s)ds < pwaWe-XPM', dx
donde
d TV /
Integrando de a a f temos
V { t ) e - í ' ' P { s ) d s < f fi(T)a(z)e-s«^x)dsdT. Ja
Portanto, para ? € temos
V(í)< f j5{x)a{x)e^P^dsdx. Ja
Desigualdade Integrais 27
Como <j)(t) < a ( t ) + V ( t ) , segue, para t £ [a,b], que
0 (0 < « ( r ) + f p{s)a{s)eti^duds. Ja
Portanto, a Desigualdade de Gronwall Generalizada está demonstrada.
Capítulo
3
Dicotomias para Equações Diferenciais
Impulsivas
Neste capítulo, apresentamos as definições de vários tipos de dicotomia para certa EDI lin-
ear homogénea. Definimos expoente geral superior e inferior e apresentamos uma relação entre
estes expoentes e a existência de uma dicotomia espectral. Finalmente, definimos equivalência
cinemática e apresentamos propriedades fundamentais deste conceito para EDIs.
3.1 Definições e Propriedades
Seja / c l um intervalo qualquer. Consideremos a EDI linear homogénea
dx -^=A(t)x, t£tn, ( 3 .1 )
X{t+) =x{tn) +In(x(tn)) = Qn{x{tn)), ( 3 . 2 )
onde
• A : J c R —> L(X) é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie
em t = tn, contínua à esquerda em t = tn, para qualquer n e Z tal que tn e J;
28
Definições e Propriedades 29
• /„ : X -» X é um operador contínuo, para qualquer n £ Z tal que tn £ 7.
Definimos Q(t) pela fórmula
<2(0= E Q n S ( t - t n ) , i„e.f
com 8(t) sendo a função característica do conjunto {0}. Esta função Q será importante ao tratarmos
de funções quase periódicas.
Vamos introduzir alguns conceitos essenciais para a obtenção dos resultados deste capítulo.
Definição 3.1 Seja X um espaço de Banach e sejam X\ e X2 subespaços de X com X = X\ ®X2.
Introduzimos a seguinte caracterização de suas inclinações mútuas:
Sn{Xx,X2) = inf{|x, + x 2 | £ X„ = 1, i= 1,2}. (3.3)
Definição 3.2 Consideremos a EDI (3.1), (3.2) e suponhamos que det<2« 0, para qualquer n £ Z
tal que tn £ J. Diremos que (3.1), (3.2) tem uma dicotomia exponencial, se o espaço X = puder
ser decomposto em uma soma direta de dois subespaços X\ e X2, isto é, X = X\ GjXo, e as seguintes
condições forem satisfeitas:
(i) para s,t £ com s <t,
\ x x { t ) \ < N x e - v ^ \ x { { s ) l (3.4)
onde x\ (t) = U (t, to)xl0 £ X\ e N\, Vi > 0;
(ii) para s, t £ J, com s > t,
\x2(t)\<N2e-v^\x2{s)\, (3.5)
onde x2(t) = U(t, íq)xq £ X2 e N2, v2 > 0;
(iii) para qualquer t £ J,
Sn(U(t)XuU{t)X2)>y> 0, (3.6)
onde íq £ J éfixo, U(t, s) é a matriz de Cauchy de (3.1), (3.2) e U(t) — U(t, 0).
Definições e Propriedades 30
Definição 3.3 Temos as seguintes definições:
(i) Chamamos de expoente geral superior de uma solução x(t) da EDI (3.1) , (3 .2) o seguinte
número
inf{a e R : 3Na > 0 tal que \x(t)\ < Naea{l~s^\x(s)\, Ws < t, s,t € •/},
que será denotado por g ( x ( t ) ) .
(ii) Chamamos de expoente geral superior das soluções da EDI (3 .1) , (3.2) , iniciando no subes-
paço X\ c X no momento íq E J, o seguinte número
inf{a G R : 3Na > 0 tal que |x(/)| < Naea^1^ |x(s)
para x(t) = U(t,to)x]Q,\/xQ G Xi,Va' < t, s,t G J},
que denotaremos por g(X]).
(iii) Chamamos de expoente geral inferior de uma solução x(t) da EDI (3 .1) , (3 .2) o seguinte
' número
sup{a G K : 3N a > 0 tal que |x(í)| > W a ^ ' - ' ^ 1*001, Vj > t, s,t G J},
que será denotado por g'(x(t)).
(iv) Chamamos de expoente geral inferior das soluções da EDI (3 .1) , (3.2) , iniciando no subes-
paço X\ C X no momento íq G J, O seguinte número
s u p j a G R : 3Na > 0 tal que |*(r)| > Naea('-^\x(s)\,
para x(t) = U(t,to)x]0,\/xQ G X\, \/s > t, s,t G /}.
Denotaremos este número por
Observação 3.1 Podemos notar que as desigualdades (3.4), (3 .5 ) da Definição 3.2 são equiva-
Definições e Propriedades 31
lentes, respectivamente, às seguintes desigualdades
g(x 0 < 0 g g ' ( x 2 ) < 0 .
Lema 3.1 Suponhamos que U seja a matriz fundamental da EDI (3.1), (3.2) e que det Qn ^ O, para
qualquer n £ Z tal que tn G J. Então, para quaisquer s,t € [tj,^] C J, teremos
\\U(tis)\\<Ml/'Jm")¥u,
ondeM] = (k-j)max{\\Qi\\,\\Q;l\\-,i = j+\,2,...,k}.
Demonstração: Sejam s,t e [tj,tk\. Se s <t, então existem inteiros l e m, com j < l < m < k, tais
que
ti<s<ti+1 e tm<t<tm+i.
Então
t/(í ,s) = í / ( í , í m )e m í / ( í m , í , w _i) . . . t / ( í / + 2, í / + i )ô / + i t / ( í /+i , j )
e, portanto,
l l t f M I I =\M*
l). . .C/(f / +2,í/+l)Gz+lí/(í/+i )s)| | <
< ||í/(í, ÍOT) || ||ô/n|| n— 1) II • • • H+\) || | |ô/+l || 11^(^+1 ; 0 I! n Ha l l ) | |[/(í,ím)| | | |[/(íw,ím_i)||... | |t/(ti+2,ti+i)\W\U{ti+\,s)W =
n WQiW ) e-//'" ÍI^C")!^"^^"... M")\\*»ef!i+l =
<tl+\<ti<tm J
n i i a i i V - 1 1 ^ * . ^/+l<'í<'m J
Por outro lado, se s>t, então existem inteiros l e m, com j < m < l < k, tais que
ti<s<t!+1 e tm<t<tm+,.
Então U(t,s) = U{t,tm+i)Q-llU(tm+i,tm+2)...U{ti_hti)Q-fíU(ti,s)
Definições e Propriedades 32
e, portanto,
\U(t,s)\\ = \\U{t,tm+l)Q~í+lU(tm+utm+2)...U(tl_htl)Q^U(tl,s)\\ <
Logo,
\U{t,s)\\ = ( n \\Q;1\\) | |£/(í ,^+1)1111^+1,^+2)11.•• | | í / ( íz-i , í /) | | | |C/(í / ,01 \hn+\<ti<tl
n llô«rl II ) eI'"+1 mu)¥u eJ'^mu)lldu . M^e^wmwdu Ktm+\<ti<ti )
n i i e r 1 ! ! ) 'm+l <ti<tl )
Donde segue o resultado.
Definição 3.4 Diremos que uma função A : J -> L(X) é integralmente limitada, se existir M > 0
tal que rt+1
J| \\A(T)\\dT<M, teJ. (3.7)
O próximo lema, cuja versão para EDOs pode ser encontrado em [4], Lema 3.1, diz que se
a função A em (3.1) for integralmente limitada, então a condição (iii) da Definição 3.2 pode ser
omitida.
Lema 3.2 Consideremos a EDI (3.1), (3.2) e suponhamos que det<2„ ^ 0, para qualquer n e Z tal
que tn 6 J. Se a função A(t) for integralmente limitada, então o item (iii) da Definição 3.2 será
uma consequência dos itens (i) e (ii) da mesma definição.
Demonstração: Pelo Lema 3.1, a estimativa (3.7) implica que
\\U(t + m,t)\\ <MxemM,
para todo m e Z tal que t + meJ, onde M\ = \j - max {\\Qk\\,\\Qkl = 1 ,2 , . . . , ; } , com
te {ti,tl+l} et + me (tj,tj+1].
Definições e Propriedades 33
Consideremos a decomposição X = X\ ®X2 da Definição 3.2. Para cada t e J fixado, consider-
emos os vetores x^t) 6 Xk, k= 1,2, tais que
xk(x) = U(r,t)xk(t), xeJ,
De (3.4) e (3.5), obtemos as estimativas
|xi(í + m)| <N\e~Vxm\x\{t)\
e
\x2{t + m)\>N^e^m\x2{t)\.
Daí,
\xi(t) +x2(t)\ = \\U(t,t + m)U(t + m,t)xi(t) + U(t,t + m)U(t + m,t)x2(t)\\ >
> M\e~mM\ \U(t -f m,t)x\ (t) + U(t + m, t)x2(t)\\ >
> M\e~mM(\\x2(t + m)\\ - ||xi (t + m)\\) >
> Mi e-'nM(N2 1 éV2tn \x2(t) | - Ni e~^'m |xi (t) |).
e, como |xi (t) \ = 1 = \x2 (t) |, segue que
\xi(t)+x2(t)\>M1e"nM(N2lev'm-Nie-vn = Ym
donde, por (3.3), temos
Sn(U(t)XhU(t)X2) > Ym, para todo me N.
Daí, como ym > 0, para m suficientemente grande, o resultado segue.
Lema 3.3 [[4], Lema 1.1] Suponhamos que o espaço X seja decomposto como soma direta dos
subespaços X\ e X2, isto é, X = X\ © X2, e sejam Pi e P2 = I — Px suas projeções correspondentes.
Então
Definições e Propriedades 34
Demonstração: Escolhamos ô > Sn(X \,X2) arbitrário. Então existem vetores unitários x^ G X^,
k— 1,2, tais que
\x\ + x2\ < Ô.
Seja x = x\ + x2. Então, para k = 1,2, temos x^ = P^x e
Assim 1
<8, k — 1,2.
Como 5 > Sn(X1 ,X2) é arbitrário, podemos tomar a sequência {5m}m g N , com ôm = Sn(Xi,X2)
para m e N. Deste modo,
T-^-j- < ôm, k = 1,2, 11 "k 11
e, fazendo m —> temos
<Sn(XuX2), k— 1,2, m G N.
Por outro lado, dado x e l arbitrário, temos
Sn(XuX2) < P i * P 2 * < P i *
|P ,x |
|P2X|
\P2x\ <
1
\Pix\ \P\x + P2x\
\P2x\ P2X < 2
X \P,x\
Portanto
Analogamente, temos
Sn(XuX2)< i n f ^ 2 - ^ : x G X , |x| mw
X Sn(XuX2)< M{2-^-:xeX, |*| = m e a prova está completa.
Observação 3.2 Suponhamos que P\ e P2 sejam projeções mutuamente complementares sobre os
Definições e Propriedades 35
espaços X\ e X2, respectivamente como no enunciado do Lema 3.3. Então
Pk = U(t)PkU~l{t), t £ j , k = 1,2.
Observação 3.3 Segue do Lema 3.3 que a condição (iii) na Definição 3.2 é equivalente à limitação
uniforme das projeções P\ e P2 = (/ — P\), isto é, existe M tal que
\\Pk\\<M, k= 1,2.
O próximo lema nos dá condições necessárias e suficientes para que (3.1), (3.2) admita uma
dicotomia exponencial. É importante ressaltar que, nos artigos que estudamos, a definição de
dicotomia é dada pela condição suficiente deste lema. Por outro lado, em [1], os autores usam
a definição com a qual trabalhamos aqui sem, contudo, demonstrar o lema seguinte.
Lema 3.4 [[1], Lema 5.1] Consideremos a EDI (3.1), (3.2) e suponhamos que detQ„ ^ 0, para
qualquer n G Z tal que tn G J. Então (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial se, e somente se,
existirem constantes positivas K, a e uma projeção P : X —> X tais que
\\U(t)PU~l(s)\\<Ke-a{'-s\ s<f, s.teJ (3.8)
e
\\U(t)(I-P)U~](s)\\ <Ke~a{x-'\ s>t\ s,teJ. (3.9)
Demonstração: Suponhamos que a EDI (3.1), (3.2) tenha uma dicotomia exponencial com decom-
posição X = X\ © X2.
Seja P a projeção de X sobre X\. Então, para s < t com s, t G / , temos, por (3.4), que
\U{t)PU-]{s)x\ = |£/(0*òl < N\e^í^\U(s)x]0\= Nie-v^'-^\U(s)PU-l(s)x\ =
Definições e Propriedades 36
donde
llí/ÍOPÍ/"1^)!! <AWie~ V l ( í _ ' ç ) . (3.10)
Analogamente, tomando a projeção I-P, para 5 > t com s,t e / , (3.5) implica
|U(t)(/ - P)U-1 (s)x| = \U(t)4\ < N2e-v^-')\U(s)x20\ =
= N2e~v^^\U(s)(I - P)U~l (s)x\ = N2e~v^s^\{I - P)x\ <
< N2e~v^-^\\I-P\\\x\ < N2M2e~v^'-^ \x\
e, portanto,
\\U(t)(I-P)U~l(s)\\<N2M2e-V2{s-'l (3.11)
Finalmente, fazendo a = min{vi, V2} e K — msLx{N\M\,N2M2}, segue de (3.10) e (3.11) que
|| U(t)PU-l(s)\\<Ke-a^
e
| | t / ( r ) ( / -P) í /~ 1 ( s ) | | <Ke-a^-'l
Reciprocamente, suponhamos que existam constantes positivas K e a e uma projeção P . X ^ X
tais que
WU{t)PU-\s)\\<Ke~a^s\ t>s\ t,seJ
e
||U(t)(I-P)U~l(s)\\<Ke-a{s-'\ t<s; s,teJ.
Tomemos X] = PX e X2 = (/ - P)X. Logo X = X\ © X2 e valem
1*1 (01 = \U(t)Px{0)\ = \U(t)PU-\s)x(s)\<
< llt/ÍOPC/"1^)!!!^)! <Ke'a^-s^\x{s)\
\x2(t)\ = \U(t)(I-P)x(0)\ = \U(t)(I-P)U-\S)x(S)\<
< \\U(t)(I- P)U-1 (s)\\\x{s)\ < Ke~aí>l~s1\x(s)\.
Definições e Propriedades 37
Pelas hipóteses, temos
||í/(r)P/7"1(S)|| <Ke~a^~s\ s<t; s,teJ
e
||U{t){I-P)U-l{s)\\<Ke-a{s-'\ s>f, s,t <EJ.
Daí, para s = t, segue que
||P|| = \\u(t)pu~l(t)\\ <K, teJ
e
||/-p|| = \\u(T)(I-P)u~L(T)\\ <K, TEJ.
Então, pela Observação 3.3, segue que
Sn(U(t)XuU(t)x2)>K=Y-
Desta forma, a EDI (3.1), (3.2) tem uma dicotomia exponencial e o lema está provado.
Uma característica importante da dicotomia exponencial é a seguinte: se a EDI (3.1), (3.2) tiver
uma dicotomia exponencial sobre ambas as semi-retas e R + com mesma projeção P : X —>• X,
constantesa, K\ e/3, / ^ . r e s p e c t i v a m e n t e , então a EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial
sobre R, com a mesma projeção P e constantes que dependerão somente de oc, K\, /3 e K2.
A seguir, apresentamos alguns exemplos de dicotomia exponencial.
Exemplo 3.1 Consideremos o problema impulsivo (3.1), (3.2), com A{t) = A, t G R+, In = I,
n G N, e suponhamos que AQ = QA, onde Q = I + l = 21. Suponhamos que os pontos
formem uma progressão aritmética, isto é, tn = nh, n G N, h > 0. Então a EDI (3.1), (3.2) tem a
forma dx — =Ax, t^nh,ne N, (3.12) dt
&x(tn) = 2Ix(t„), n G N, (3.13)
Definições e Propriedades 38
Mostraremos que a EDI (3.12), (3.13) terá uma dicotomia exponencial, se o espectro do operador
A + hXnQ não interceptar o eixo imaginário. De fato, neste caso o operador de evolução U (t) tem
a forma
U (t) = eAtQt/h
e o espectro do operador A + h\ri Q pode ser escrito como soma direta de duas partes <J\ e 02, onde
G\ está contido no semi-plano esquerdo e 02 está contido no semi-plano direito. Sendo
X=Xi @x2
a decomposição correspondente do espaço X como uma soma direta e sendo P a projeção corres-
pondente a X\, não é difícil verificar que
\\U{t)PU~\s)W<Kxe^l-s\ O <s<t<™, (3.14)
e
\ \ U ( t ) ( I - P ) U - \ s ) \ \ < K 2 e ^ { t ' s \ 0 < í < s < ° ° , (3.15)
onde fi\ é um número arbitrário pertencente ao intervalo (sup(Ji,0), /i2 é um número arbitrário
pertencente ao intervalo (supO2,0) e K\. K2 são constantes positivas.
Exemplo 3.2 Consideremos a EDI (3.1), (3.2), ondeA(t), 0 < t < °° e Qn = I+ In, n eN, comutam
entre si, isto é,
A{t)A{s)=A(s)A{t), 0 < í , 5 < o o , (3.16)
e
A(t)In=InA(t), 0 < í < n G N, (3.17)
Neste caso, o operador de evolução U(t) tem a forma
onde n(t) = min{« : t < tn}. Então a EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial, se existir
uma projeção P que comute com A(t), 0 < t < e os operadores /„, n G N, sejam tais que para
Definições e Propriedades 39
algumas constantes positivas K e a, as seguintes desigualdades sejam válidas:
e&AW°(I + In{t))...(I + In{x))P <Ke -att-T) , O < T < t < o o , (3.18)
< Ke -a (z-t. , 0 < t < T < oo . (3.19)
Exemplo 3.3 Consideremos a EDI (3.1), (3.2), onde A(t), 0 < t < e as sequências {tn}ne?q
e {/„ }„cm são (O-periódicas, isto é, existem (O > 0 e um inteiro positivo l tais que as seguintes
igualdades são válidas:
A ( t + a>) = A ( t ) , 0 < í < o o ,
tn + (0 = tn+h ne N,
In+j((o)=In, neN.
Então o operador de evolução U(?) satisfaz
U{t + (o) = U { t ) U { w ) . (3.20)
A EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial, se o espectro do operador U(co) não in-
terceptar o círculo unitário. De fato, neste caso, o espaço X pode ser escrito como uma soma
direta
X = X I © X 2
onde X\ e X2 são invariantes com respeito a U((ú).
O espectro da restrição de U{(ú) a X\ pertence ao interior do círculo unitário e o espectro da
restrição de U(co) aX2 pertence ao exterior do círculo unitário. Se P for a projeção correspon-
dente à decomposição X = X\ ® X2, com X\ = PX, então a EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia
exponencial com a projeção P mencionada.
Agora, vamos definir dicotomia ordinária para a EDI (3.1), (3.2).
Definições e Propriedades 40
Definição 3.5 Consideremos a EDI (3.1), (3.2) e suponhamos que detQn / 0, para todo n £ Z
tal que tn G J. Diremos que (3.1), (3.2) tem uma dicotomia ordinária sobre J, se existirem uma
constante positiva K e uma projeção P : X —> X tais que
\\U(t)PU~\s)\\<K, s,t G J
e
||u(t)(i-p)u~\s)\\<K, s,t eJ.
Vale observarmos que, se a EDI (3.1), (3.2) tiver uma dicotomia exponencial ou uma dicoto-
mia ordinária sobre um intervalo [/o,°°)> to £ , então ela também terá, respectivamente, uma
dicotomia exponencial ou uma dicotomia ordinária sobre a semi-reta R + , com a mesma projeção
P : X —>• X e o mesmo expoente a , no caso da dicotomia exponencial. De fato. Podemos escolher
onde M\ — |/(0,ío)| max j||<2y||, \\Qjl || 'tj G (0,/o) | • Deste modo, pelo Lema 3.1, temos
||í/(/,í)|| <M, 0<s,t<t0.
Suponhamos que 0 < s < t < to. Então,
\\U{t)PU-\s)\\<M\x{t)PU-\to)\<MKe-a(l~^ <MKeat«e~a(l~s\
Agora, se supusermos que 0 < s < to < t < teremos
IIC/COW"1 (j)| | < Af2jC/(f0)/>C/-1(r0)| < < M 2 ^ " ' 0 ^ " ^ - ^ .
Portanto
Ilíy^C/"1^)!! <Ke~a{l~s\ 0 < s < t <
onde K — M2KeatQ.
Definições e Propriedades 41
Utilizando um argumento análogo para I — P, chegaremos em
U(t)(I-P)U~l(s)\\ <Ke-^l-s\ 0 < 5 < í < oo
e, deste modo, nossa afirmação está provada.
No restante desta seção, assumiremos que detQn ^ 0, para todo n tal que tn e J na EDI (3.1),
(3.2). Isto será necessário para definirmos dicotomia espectral. Além disso, esta hipótese também
será utilizada implicitamente na definição do inverso do operador característico da EDI (3.1), (3.2)
que definiremos abaixo, bem como no Teorema 3.1.
Seja J f o espaço de Banach
Definição 3.6 Chamamos de operador característico da EDI (3.1), (3.2), para J = R, o operador
T : M3 —> Jí? dado por
{Tv)(t) = U{t,t-l)v{t-l), te R,
para todo u £ M'. Então T~l : Jí? Jíf é definido por
(T~xv){t) = u(t,t+\)v{t+\), teR.
Observemos que, para o inverso do operador característico da EDI (3.1), (3.2) estar definido, é
necessário que det Qn / 0, para qualquer n e Z, como estamos supondo.
Definição 3.7 Diremos que a EDI (3.1), (3.2) (com J = R ou J — R + ) tem uma dicotomia espectral
se a(T) flS1 = 0 , onde T é o operador característico da EDI (3.1), (3.2), a(T) é o espectro da
complexificação de T e S' é o círculo unitário no plano complexo.
A versão original do próximo teorema se encontra em [1], Teorema 5.1, onde os autores não
consideram a hipótese da invertibilidade das matrizes Qn e que g(X) < e que g'(X) >
munido da norma ||u|| = sup |u(í)|. íeR
Definições e Propriedades 42
Isto implica que o operador de evolução, U(t,s), da EDI (3.1), (3.2) está definido somente para
s < t. Entretanto, no enunciado e no decorrer da demonstração, eles utilizam o inverso do operador
característico que é definido por
(T^v)(t) = U(t,t+\)v(t+\), te R,
o que mostra que a hipótese de que as matrizes Qn sejam invertíveis é necessária. Além disso, eles
utilizam o fato dos expoentes geral superior e geral inferior das soluções da EDI (3.1), (3.2) serem
limitados. O objetivo do próximo teorema é relacionar os expoentes geral superior e geral inferior
das soluções da EDI (3.1), (3.2) com o operador característico T desta equação.
Teorema 3.1 [[1], Teorema 5.1] Consideremos a EDI (3.1), (3.2), com J = R (ou J = R+), e
suponhamos que det<2„ / 0, para qualquer n e Z (respectivamente, n e N). Suponhamos, também,
que g(X) < e que g'(X) > — Então
g(X) = \nra(T) (3.21)
e
*'(*) = - l n ra(T~l), (3.22)
onde T é o operador característico de {3.1), (3.2) e ra(T) é o raio espectral da complexificação de
T.
Demonstração: Primeiramente, mostraremos (3.21). Provemos, inicialmente, que
g(X)>\nra(T). (3.23)
Suponhamos que exista q e R tal que
|Í/(M)*| < Nq^l~s)\x\, parai- < t.
Notemos que tal número q existe pela limitação do expoente geral superior, g(X). Então
|(r*u)(f)| = \U(t,t-k)v(t-k)\ < Nqeqk\v{t-k)l
Definições e Propriedades 43
para k G N, v G J f , t G E. Portanto
\Tkv\\ < Nqeqk\\v\
para todo v G . Pelo Teorema do Raio Espectral (Teorema 1.5), segue que
ra(T) = lim \\Tk\\* < lim \\Nqeqk\\* = eq. k—k—><x>
Isto prova (3.23).
Suponhamos, agora, que exista um número real positivo p tal que p > ra(T). Novamente, pelo
Teorema do Raio Espectral (Teorema 1.5) temos que, para ko suficientemente grande, vale
||7*°II1» < p. (3.24)
Seja x G X e definamos vx G Jí? por
{0, para t ^ s,
x, para t = s.
De (3.24) segue que
IITk°vx\\ <
Pelas definições do operador característico T e de vx, segue que
s u p i r * 0 ^ * ) ! = s u p | t / ( f , r - * o ) u , ( f - * o ) | = \U(t,t-k0)x\ = te R ígK
= \\Tk°Vx\\ < Pk°\\Vx\\ = Pk°\x\.
Daí,
\U{t,s)x\ < p(t~s)\x\
e, pela limitação da expoente geral superior, chegamos à conclusão que existe um número positivo
Np tal que
|t/(M)*| <Npp{t~s)\xl
Redutibilidade 44
para todo s <t e todo x eX. Isto implica que
ln p>g(X)
o que prova (3.21).
Analogamente, prova-se (3.22).
3.2 Redutibilidade
Consideremos a EDI dx
— = B{t)x, t^tn, (3.25)
x(t+) = x{t„)+J„(x{tn)) :=Rn(x(tn)), (3.26) onde
• B: J c R —> L(X) é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie
em t = tn, contínua à esquerda em t = tn, para qualquer n G Z tal que tn G /;
• Jn : X —> X é um operador contínuo, para qualquer n 6 Z tal que tn E J.
Definição 3.8 Diremos que a EDI (3.25), (3.26) é cinematicamente equivalente (ou cinematica-
mente similar) à EDI (3.1), (3.2), se existir uma função a valores matriciais S : J C R — L ( X )
satisfazendo as seguintes propriedades:
(i) S(t) é limitada e diferenciável em t ^ tn, para todo n G Z tal que tn E J;
(ii) S(t) tem descontinuidade de primeira espécie em t = tn e é contínua à esquerda em t = t,„
para todo n G Z tal que tn G J;
(iii) S(t) é invertível com S~ 1 (/) limitada;
(iv) Se x(t)for uma solução de (3.1), (3.2), então S(t)x(t) será uma solução de (3.25), (3.26).
Redutibilidade 45
Segue diretamente da definição que a equivalência cinemática é uma relação de equivalência.
Podemos facilmente verificar que uma condição necessária e suficiente para a EDI (3.1), (3.2)
ser cinematicamente equivalente à EDI (3.25), (3.26) é a existência da função a valores matriciais
S(t), t G J, satisfazendo as propriedades (/), (ii), (iii) da Definição 3.8 tal que pelo menos uma das
três condições a seguir seja satisfeita
(i) para t G J, com t ^ tn, temos -/ p—i B = SAS~l+S'S
S(t+)Qn = RnS(tn),
para todo n G Z tal que tn G J.
(ii) para t G J, temos
S(t) = V(t)U-l(t),
onde U(t) e V(t) sao os operadores de evolução de (3.1), (3.2) e de (3.25), (3.26) respectiva-
mente.
(iii) 5 é solução da seguinte equação
d S — — B(t)S — SA(t), teJ,t^tn, (3.27)
S(t+)=RnS(tn)Q-\ (3.28)
para todo n G Z tal que tn G J.
A seguir temos uma observação importante.
Observação 3.4 A equivalência cinemática preserva as dicotomias exponencial, ordinária e es-
pectral.
O próximo lema será importante no seguinte sentido: sempre que tivermos projeções P e / — P
não necessariamente hermitianas, poderemos encontrar uma outra decomposição do espaço X com
Redutibilidade 46
novas projeções P\ e I - P\ que sejam hermitianas.
Lema 3.5 [[1], Lema 6.1] Suponhamos que X possa ser escrito como soma direta de dois subes-
paços X] e X2 com projeções P e I - P, isto é, X = X\Q X2 com X\ = PX e X2 = (/ - P)X. Então X
poderá ser representado na forma X = X\ © Y2, onde as projeções P\ : X —> X\ e (I - P\) : X —Y2
são operadores hermitianos.
Demonstração: Seja Y\ um complemento ortogonal de X\ em X. Então a projeção P\ : X X\
com Ker P\ = Y\ é hermitiana. A projeção I -Pi também é hermitiana e X pode ser escrito como
soma direta de X\ e Y2 — (/ — P\ )X.
O próximo teorema nos diz que, sempre que a EDI (3.1), (3.2) tiver uma dicotomia ordinária
cujas projeções P e I — P sejam hermitianas, poderemos encontrar uma outra EDI cinematicamente
equivalente à primeira, com algumas propriedades interessantes.
Teorema 3.2 [[1], Teorema 6.1] Suponhamos que a EDI (3.1), (3.2) tenha uma dicotomia or-
dinária. Suponhamos, ainda, que as projeções P e I — P da Definição 3.5 sejam projeções hermi-
tianas. Então existirá uma EDI que será cinematicamente equivalente à EDI (3.1), (3.2), digamos
a EDI (3.25), (3.26), com B(t) e Jn comutando com P e I — P. Além disso,
| | f l (0+fl*(0ll < ||A(/)+A*(0H, teJ. (3.29)
Demonstração: Seja
R2(t) = PlU*{t)U(t)Pl+P2U*(t)U(t)P2. (3.30)
Notemos que o operador R2(t) é uniformemente positivo e hermitiano para todo t G / . Suponhamos
que R(t) seja uma raiz quadrada positiva de R2(t). Pela Fórmula de Riesz (veja Seção 1.2.2), segue
que
R(t) = -^-<l ^/X\R2(t)-Xir'dÃ, (3.31) 2ki Jr,
onde r , é uma fronteira suave dependendo continuamente de t, cercando o espectro de R2(t) no
semi-plano ReX > 0 e orientada no sentido anti-horário. Por \fk denotamos o valor principal da
Redutibilidade 47
raiz de A. Como R2(t) é hermitiano, segue que R(t) também é hermitiano. Pelo fato de R2(t)
comutar c o m k — 1,2, segue de (3.31) que R(t) comuta com P^, k= 1,2, como queríamos.
Consideremos a função a valores matriciais S(t) = R(t)U~l(t), t e J. Por (3.31), as funções a
valores matriciais S{t) e (t) têm descontinuidade de primeira espécie em / = tn, são diferenciá-
veis em t / tn e são contínuas à esquerda em t — tn.
Provemos que S(t) é limitado para cada t G J. Da igualdade
S*S= (U~l)*R2U~l = (UP\U~])* (UP\U~X) + (UP2U~])* (UP2U~'[),
chegamos à seguinte estimativa
Redutibilidade 48
\\s\\2 <\\UP]U~1\\ + \\UP2U-[\\<M2+M2
Daí, como \\S(t)\\ < ||S|||í|, segue que S(t) é limitado para cada t G J.
Provemos, agora, que S - 1 = UR ] é limitado. De fato. Temos
P\ (S~XY S^PX+P2(S-Y S"XP2 =P]R~]U*UR~LPI +P2R~LU*UR~[P2 =
= R~1 (P]U*UPI +P2U*UP2)R~X =1
Então, tomando z G X arbitrário, temos
[S-^l2 = \S~xPu. + S~xP2z\2 <2\S~xP\z\2 + 2\S~xP2z\2 =
= 2 (S~1 Pi z, S~1 Px z) + 2 (5"1 P2z, S~1 P2z) =
= 2 [Pi {s-xys-]piz,z) + 2 (P2(S~x)*S~]P2z,z) =
= 2(z,z) = 2\z\2-
Daí, como | |S_1(í)| | < | |5 - 1 | | |r|, segue que S~\t) é limitado para cada t G J.
Resta mostrarmos que se x(t) for uma solução da EDI (3.1), (3.2), então S(t)x(t) será uma
solução da EDI (3.25), (3.26). Por (3.27), isto é equivalente a mostrarmos que
B = SAS~1+S,S~l.
dU'1 , dU , , Como = -U-] — í / " 1 = —U A, então
dt dt
i 1 (dR , , \ , di? , 5 = RU AU R + —r~U~ —RU~ A UR~] = — / T 1 . (3.32)
\ dt J dt
Devido a (3.28), temos
Portanto a EDI (3.1), (3.2) é cinematicamente equivalente à EDI (3.25), (3.26), com B(t) e Jn
comutando com k = 1,2.
Redutibilidade 49
Agora, provemos (3.29). Como o operador de evolução de (3.25), (3.26) é
V(t) = S(t)U(t)=R(t),
então, diferenciando ambos os lados de (3.30), obtemos
RdR + dRR = +
dt dt
Então, para todo z G X, vale
(3.33)
Seja j3(f) = ||A(í) + A*(í)||, t e J. De (3.33), temos a estimativa
R[t)d^{t) + Tt'[t)R{t)) Z'Z) - P(t){(vmzMt)Piz) + (U(t)P2z,U(t)P2z)} =
= f3(t)(R2(t)z,z) = m m z \ 2 ,
para z E X e t e J . Disto, de + = R(t){B{t)+B*(t))R(t) e devido a (3.32),
chegamos a
(R(t)(B(t)+B*(t))R(t))z,z) < P(t)\R(t)z\2,
ou seja,
((B(t)+B*(t))R(t))z,R{t)z) < p{t)\R(t)z\2.
Então, fazendo u = R(t)z, obtemos
((B(t)+B*(t))v,v)<p(t)\v\2.
Em outras palavras,
\\B(t)+B*(t)\\<f}(t) = \\A(t)+A*(t)\\,
para t e J.
Capítulo
4
Crescimento Limitado e Dicotomias
Neste capítulo, apresentamos vários resultados sobre crescimento limitado e dicotomia para a
EDI linear homogénea que estamos estudando. Começamos por apresentar condições necessárias
e suficientes para o crescimento limitado. Em seguida, discutimos uma relação entre dicotomia
exponencial e crescimento limitado para a EDI.
É importante observarmos que nos artigos [2] e [6], os autores não consideram, explicitamente,
a hipótese da invertibilidade das matrizes Qn, para n Ç Z tal que tn E / . Isto implica que o operador
de evolução, U(t,s), da EDI (3.1), (3.2) é definido somente para s < t. Entretanto, no decorrer
destes mesmos artigos, é utilizado o operador de evolução, U(t,s), com s > t, e para este oper-
ador estar definido, é necessária a hipótese de que as matrizes Qn sejam invertíveis. Aqui, nós
apresentamos vários resultado com a condição de inivertibilidade.
4.1 Definições e Propriedades
Nesta primeira seção, nós definimos crescimento limitado e, em seguida, apresentamos uma
condição necessária e suficiente para que a EDI (3.1), (3.2) tenha crescimento limitado. Depois
disto, apresentamos algumas condições que implicam nesta condição suficiente provando, assim,
que a EDI tem crescimento limitado.
Definição 4.1 Diremos que a EDI (3.1), (3.2) tem crescimento limitado sobre J se, para algum
50
Definições e Propriedades 51
h> O, existir uma constante C > 1 tal que toda solução x{t) da EDI (3.1), (3.2) satisfaz
|x( í) |<C|x(s) | , (4.1)
para s,t E J, com t E [s,5 + h] Pi / .
Podemos observar que, tomando to E R+, se a EDI (3.1), (3.2) tiver crescimento limitado sobre o
intervalo
J - [íO) °°)> então ela terá crescimento limitado sobre a semi-reta R + . Isto decorre dos fatos das
soluções x(t) da EDI (3.1), (3.2) serem contínuas por partes, com descontinuidade de primeira
espécie em t = tn e contínuas à esquerda em t = tn, para qualquer n E Z, e de [0,ío] ser um intervalo
compacto. Deste modo, se a EDI tiver crescimento limitado com |x(í)| < C|x(s)| como em (4.1),
então poderemos definir max{jx(f) | : t E [0,?o]} min{|x(í)| : t E [0,/o]}
e teremos
| x ( 0 | < Q |x(s)|,
parai, t G R e ? G [h,s + h], onde C\ = Cmax{l,r]}.
Do mesmo modo, se a EDI (3.1), (3.2) tiver crescimento limitado sobre o intervalo J = (—°°,ío]>
então ela terá crescimento limitado sobre a semi-reta R_.
O próximo teorema nos dá uma condição necessária e suficiente para que a EDI (3.1), (3.2)
tenha crescimento limitado. O aspecto interessante de tal teorema é que a condição se dá sobre o
operador de Cauchy da EDI. Além disso, a partir daqui, utilizaremos este resultado na maior parte
dos teoremas para concluirmos que (3.1), (3.2) tem crescimento limitado.
Teorema 4.1 [[6], Teorema 2.1 ] Consideremos a EDI (3.1), (3.2) e suponhamos que det<2« 0,
para todo n G Z tal que tn E J. Então a EDI (3.1), (3.2) terá crescimento limitado se, e somente se,
existirem constantes reais K e a tais que
(4.2)
Definições e Propriedades 52
Demonstração: Seja x(t) uma solução da EDI (3.1), (3.2). Suponhamos que (4.2) ocorra para
alguns valores de K e a. Seja h > 0 fixado e sejam s,t G J tais que í e [ i , í + / i]n7. Então, fazendo
C = Keah, temos
|x(r)| < ||í/(r,í)HKOI < Keah\x{s)\ = C\X{S)\.
Reciprocamente, suponhamos que a EDI (3.1), (3.2) tenha crescimento limitado e que h seja
como na Definição 4.1. Seja s < t. Então í e [ s + kh, s + (k+ 1 )h] para algum k G Z. Portanto,
temos
|*(01 < C\x(s + kh)\<...<Ck+l\x(s)\.
Fazendo K = C e a = h~l InC, temos Ck = eakh < ea^~s\ Logo
WOI < s<t.
E, coraox(í) = U(t,s)x(s), temos
\\U(t,s)\\ < Kea^ = K e a 5 < t.
Analogamente provamos a desigualdade acima para s > t, donde segue o resultado.
No teorema que acabamos de provar, a parte em que ocorrem os impulsos não é explícita.
Originalmente, o resultado a seguir pode ser encontrado em [6]. Aqui, em vez de assumirmos
a condição de A ser limitada, consideramos a condição mais fraca de A ser integralmente limitada.
Neste teorema, damos condições suficientes sobre A(r), sobre os operadores de impulso, Qn, com
n G Z tal que tn G J, e sobre a sequência de tempos de impulso {ím}«gn C i , a fim de obtermos (4.2)
e, deste modo, conseguimos que a EDI (3.1), (3.2) tenha crescimento limitado.
Teorema 4.2 [[6], Teorema 2.2] Consideremos a EDI (3.1), (3.2) e suponhamos que
(i) A(t) seja integralmente limitada sobre J;
(ii) Exista uma constante K > 0 tal que, para quaisquer inteiros positivos i e j, com i < j,
Definições e Propriedades 53
tenhamos
/-«+1. I I Ô « | | | | ô / + i | | . . . | | ô y | | <KeJ~
(iii) Exista h> O tal que h < tn+\ — tn, para todo n EZ tal que tn E J,
(iv) det Qn ^ O, para n GZ tal que tn € J.
Então
||í/(í,j)|| s,teR,
onde K\ = Ke e a = <5_1 lnA^ +M.
Demonstração: Suponhamos que A(t) seja integralmente limitada sobre J. Logo, existirá uma
constante M > 0 tal que rt+1
J | | i4( j ) | |d j<M, teJ.
Sejam s,t E J, com s < t. Então existirão inteiros positivos i e k, com i < k, tais que s E 1] E T E {TK,TK+1]- Assim
| | t / M | | < | | í /(í,í t) | | | |£/(í i k , íjk_i)| | . . . | | í /(í í+i ,í) | | | |ô)i | | | |G*_i| | . . . | | a+ i | | . (4.3)
Seja ^ EX. Escrevemos
U(t,tk)Ç=x(f,tk^) = Ç+ I A(s)x(s\tk,Ç)ds. Jtk
Passando a norma na igualdade acima e usando o Lema 3.1, como não temos impulso, pois t E
(tk,tk+1]> obtemos
Do mesmo modo provamos que
Definições e Propriedades 54
Portanto, de (4.3) e utilizando as hipóteses (i) e (ii), temos
\\V(t,s)\\ <eI'mu){ldu\\Qk\\...\\Qi+i\\ <KeM^ek~^+l < / ^ ' " V ^ . (4.4)
Seja s < t < s + h. Como h é a limitação inferior para a distância entre duas descontinuidades
consecutivas, segue que o número de descontinuidades entre s et é no máximo um. Em vista disto
e de (4.4), temos
l l í / M H < (Ke)^1^ =KleM^
para s < t < s + h, onde K\ = Ke.
Para s <t qualquer, existe um inteiro positivo k tal que t e [s + kh,s + (k+ l)/ij. Assim
\\U(t,s)\\ < \\U{t,s + kh)\\\\U(s + kh,s+(k-l)h)\\...\\U{s + h,s)\\<Kk+íeM^-sl
Fazendo j8 = h~1 ln Kx, temos K\ = e$kh < Portanto
||í/(í, j)|| < KieW+W-*) < Kxea^s\ s < t,
onde K\ = Ke e (X = p +M = h~l\nK\+M. Analogamente estudamos o caso s > t.
Em [2], o autor observa, sem contudo provar, que o resultado abaixo é verdadeiro. Este resul-
tado nos diz que, sob certas condições sobre A(t) e sobre os operadores de impulso, Qn, com n e Z
tal que tn e J, a EDI (3.1), (3.2) tem crescimento limitado.
Teorema 4.3 Consideremos a EDI (3.1), (3.2) e suponhamos que
(i) A seja integralmente limitada sobre J;
(ii) det Qn ^ 0, para n 6 Z tal que tn 6 J.
(iii) Existam constantes L > 0 e X £ R tais que os operadores de impulso Qn satisfaçam a
condição,
PI \\Qj\\ <LeX{'~x\ t, t g R . K t j < t
Definições e Propriedades 55
Então a EDI (3.1), (3.2) terá crescimento limitado.
Demonstração: Suponhamos que A seja integralmente limitada sobre J. Então existirá uma cons-
tante M > 0 tal que rt+1
sup / \\A(x)\\dx < M. /eJ Ji
Sejam s,t G J com s < t. Então existem inteiros k e i, com i < k, tais que 5 G (ti,ti+1] e
t G {tk,tk+1]- Assim, temos
Utilizando o Lema 3.1, temos
= WQJW < =
= Le(AÍ+A)(/-i-)=LeAt(í-.v)> s < t ,
onde fi = M + A.
Provamos o caso s > t analogamente e, portanto, a EDI (3.1), (3.2) tem crescimento limitado
sobre J.
Denotaremos por ( (A(t ) ,Q n ) , {tn}nEz, S,H) o conjunto de todas as EDIs (3.25), (3.26) cujos
operadores de Cauchy, V(t, x), satisfazem a seguinte condição:
para qualquer s G R, existe T G K tal que a seguinte desigualdade é válida:
\\V(t + s,u + s) - U(t + x,u + x)\\ < 5 (4.5)
parau.tE [—H,H], onde U(t,x) é o operador de Cauchy da EDI (3.1), (3.2).
Assim, c/V((A(t), Qn), {tn}neZ) Õ,H) representa o conjunto das EDIs cujos operadores de Cauchy
estão em uma "vizinhança" do operador de Cauchy da EDI (3.1), (3.2).
Definições e Propriedades 56
No teorema a seguir, encontramos uma estimativa para a solução x(t) da EDI (3.1), (3.2) usan-
do desigualdades integrais para funções contínuas por partes. Este resultado será utilizado na
demonstração do Teorema 4.5.
Teorema 4.4 [[6], Teorema 2.3] Assumamos que existam constantes K > 1 e a > 0 tais que
<Keat, (4.6)
para quaisquer u, í 6 l . Então, para qualquer solução x(t) da EDI (3.1), (3.2), teremos a estima-
tiva
1401 < ( n llônlll , \io<t„<i J
para t £ {tk,tk+l]> onde j(t) = k.
Demonstração: Primeiramente, reescreveremos a EDI (3.1), (3.2) do seguinte modo
dx
— = A{u)x{t) + [A(t) - A(u)]x(t), t ^ tn, (4.7)
x(t+) = Qnx(tn), ne Z, (4.8) Podemos observar que a EDI (4.7), (4.8) é uma perturbação da EDI seguinte:
dv -J-=A(u)y(t), t^tn, (4.9)
y{tt) = Qny{tn), nez. (4.10)
Utilizando a Fórmula da Variação das Constantes para EDIs (Lema 2.1), a solução x{t) da EDI
(4.7), (4.8) é dada por
x{t) = U(t,s)x(s) + £ U(t,x)[A(r) -A(u)}x(x)dT, (4.11)
Definições e Propriedades 57
, com U(t) sendo a matriz de fundamental da EDI (4.9), (4.10) dada por
= E{T-TK)A(U) J-J QNE{LN~LN.{]A{U) ^ ( 4 1 2 )
l0<'n<l
para te (tk,tk+1].
De (4.11) e (4.12), segue que
x(t) = [ Y[ Qne('n~ln~l)A{u)\e^A^x(s) + \S<tn<t J
,T <tn<I
onde t e {tk,tk-f i]j s e (ti,tj+1], com s < t e / < k, e j(x) é tal que x e (tj(x)itj{x)+\]- Utilizando a
desigualdade (4.6) em (4.13), segue que
KOI H + f t
s < t n < t (4.14) + / K M - J ( S ) + \ ]-[ \\Qn\\e^)\\A(x)-A(u)\\\x(x)\dx.
T <ln<t
Seja H fixado tal que to<s<t<H. Então, de (4.14), temos
[] \\Qn\\e-a,\x(t)\K-M <KK-M f ] ||&l||érXJ)|+ tQ<tn<H S<ln<H ^
+ [ 'K n ||Gn|k-OTAr-^)||A(T)-A(«)||WT)|dT. Jx t^I /M %<tn<H
Agora, definamos
<P(0 = E [ \\Qn\\e-mK-^\x(t)\. (4.16) t<in<H
De (4.15) e (4.16) obtemos
<p(t) < K(p(s) + j f K(?{x)\\A{x) —A(u)|||x(t)\dx
Definições e Propriedades 58
e utilizando o Lema 3.1 no intervalo tj <s <t < ti+\, segue que
Portanto,
<p(t) < K t p i t ^ e ^ W - * ^ , (4.17)
parar e (tj,ti+\). De (4.16), temos
<P(',+) 1 \x{tf)\ <p(ti) K\\Qi\\
ede (3.2), temos |x(í,+)| < ||Q;|| !*(*,•) |. Deste modo, (4.18) implica que
(4.18)
(p(t+)<K-l<p{ti). (4.19)
Daí, substituindo (4.19) em (4.17), segue que
Pode ser facilmente verificado que
Portanto
V(t)<Kç(t0)eK^}-A^d\
isto é,
t<t„<H tç><t„<H
ou ainda,
K O I < n l ! & l k a ( ' - ' o ) ^ ( ' ) - / ( ' o ) + 1 ^ ó / " l | A ( T ) " ' 4 ( " ) l | £ / r | x ( r o ) | tQ<tn<t
e a demonstração está terminada.
Definições e Propriedades 59
Observação 4.1 Segue da demonstração do Teorema 4.4 que, dados t G 1] e s € (U,U+\],
com s <t, a solução x(t) da EDI (3.1), (3.2) satisfaz a seguinte desigualdade
M 0 I < E l (4.20) S<tn<t
No teorema a seguir, considerando a EDI (3.1), (3.2) sobre R, apresentamos condições sufi-
cientes sobre A(t), sobre os operadores de impulso, Qn, n G Z, e sobre a sequência de tempos de
impulso {tn}nez a fim de obtermos (4.2), ou seja, a fim de que a EDI (3.1), (3.2) tenha crescimento
limitado.
Teorema 4.5 [[6], Teorema 2.4] Consideremos a EDI (3.1), (3.2) sobre R e suponhamos que
(i) Existam constantes K > 1 e a > 0 tais que < Keal, para quaisquer t,u G R;
(ii Exista L> 0 tal que ||A(fi) — A(t2)\\ < L\t\ — ti\, para quaisquer t\ € R;
(iii) det Qn 0, para n G Z.
(iv) Existam constantes K' > 1 e (5 > 0 tais que
s<t„<t s<tn<l
para quaisquer s, t G R,"
(iv) Exista h> 0 tal que h < tn+\ — tn, para todo n G Z.
Então \\U{t,s)\\<Me^l-s\
para quaisquer s, t G R, com s < t.
Demonstração: Sejam s,t G R, com s < t. Então existirão inteiros k e i, com i < k, tais que
sG (ti,ti+í}ete (tk,tk+1].
Definições e Propriedades 60
Seja x(t) uma solução da EDI (3.1), (3.2). Então, pela Observação 4.1 e utilizando (ii) em
(4.20), obtemos
K O I + 1 J - | \ \ Q n \ \ e ^ ) e K L f s \ x - u \ d T ^ y ( 4 2 1 ) s<tn<t
Fazendo u = (s + t)/2, podemos reescrever (4.21) como
K O I < KJ^-J{s)+1 n \\Qn\\ea^eKL^2/A\x(s)\-S<ln<t
e utilizando (iv) segue que
Daí, substituindo K2K'eP por M e utilizando (v), segue que
para s < t < s + 8.
Sejam hx = 2 { ( l n M ) / L M } X ! 2 , y = ( \ / 2 ) { L M \ n M ) 1 / 2 e h = min{<5,/íi}. Então, para 5 < t <
s + h, temos K O I < M e ^ a + ^ l ' s \ x { s ) \ . De modo geral, temos s + nh < t < s + (n + 1 )h, para algum « 6 Z . Então,
K O I < Me^+^-x-^ | x ( s + nh) \ <
< - (n - \)h)\ < ... < Mn+l
Observemos que Mn = enlnM < e]nM^-s)lh, deste modo,
K O I < ^ ( a + r + i n W / / ! ) ( í ~ - ç ) K 0 l ,
para s < t e, portanto,
\\U(t,s)\\<Me^'->\
Relações entre crescimento Limitado e Dicotomia Exponencial 61
para s < t, onde / = a + \(LM\nM)1/2 + \nM/h.
Analogamente, estudamos o caso s > t. Para este caso, utilizamos a hipótese
I I I I Q n l \ \ < K ' e ^ - ^ \ t<tn<s
Isto encerra a demonstração.
4.2 Relações entre Crescimento Limitado e Dicotomia Exponen-
cial
Nesta seção, discutimos uma relação entre dicotomia e crescimento limitado para a EDI (3.1),
(3.2).
Em [6], os autores enunciam sem contudo demonstrar o próximo teorema. Neste teorema a
condição (4.22) a seguir é somente uma condição necessária para a existência de dicotomia expo-
nencial para a EDI (3.1), (3.2).
Teorema 4.6 [[6], Teorema 4.2] Consideremos a EDI (3.1), (3.2) e suponhamos que detQn 0,
para n tal que tn G J. Suponhamos, ainda, que a EDI (3.1), (3.2) tenha uma dicotomia exponencial
sobre R. Então, para qualquer 9 G (0,1), existirá H > ÍQ tal que
|jc(s)| < 0sup{|x(w)| : \u-s\ <H}, s<H,seJ. (4.22)
Demonstração: Como a EDI (3.1), (3.2) tem uma dicotomia exponencial sobre J, segue que exis-
tem uma projeção P : X —> X e constantes positivas K e a tais que
|| V{t)PU~l(s)\\<Ke-a^-^ s<t
e
|| U(t){I-P)U-l(s)\\<Ke-~a{s~l) s>t.
Relações entre crescimento Limitado e Dicotomia Exponencial 62
Seja x(t) uma solução qualquer da EDI (3.1), (3.2). Definamos
xi(t) = U{t)PU~1(t)x(t)
e
x2(t) = U(t)(I-P)U~\t)x(t).
Assim,
Relações entre crescimento Limitado e Dicotomia Exponencial 63
x(t) = U{t)PU~l(s)x\ (s) + U(t){I - P)U~X (s)x2(s).
Suponhamos que < |x2(s)|. Então, para s < t, temos
WOI > \\U(t)(I-P)U-](s)\\\x2(S)\-\\U(t)PU~HmMs)\>
2 L
Pelo mesmo raciocínio, se supusermos que |xj (s)| > |x2(s)| então, para s >t, teremos
W 0 l > i K ~ l e a ^ - K e - " ^ |x(s) 2 L
Observemos que, para qualquer G G (0,1), podemos escolher H > 0 tão grande de modo que
tenhamos
Isto completa a demonstração.
O próximo teorema apresenta um critério de suficiência para que a EDI (3.1), (3.2) tenha uma
dicotomia exponencial sobre [ío7 •
Teorema 4.7 [[6], Teorema 4.3] Consideremos a EDI (3.1), (3.2) sobre a semi-reta J = [ío>°°) e
suponhamos que det<2„ ^ 0, para n G N. Suponhamos que existam constantes H > ÍQ, C > 1 e
9 G (0,1) tais que toda solução x(t) da EDI (3.1), (3.2) satisfaça
K~leaH - Ke~aH > 20
e, portanto,
|x(s)| < 0sup{|x(w)| : \u-s\ < H}, s< H.
|x(R)| < C |X(Í ) | , para tQ < s <t <s + H, (4.23)
e
lx(i)| < 0sup{|x(w)| : \u — s\ <H}, para s < H. (4.24)
Relações entre crescimento Limitado e Dicotomia Exponencial 64
Suponhamos, também, que toda solução não-limitada x(t) da EDI (3.1), (3.2) satisfaça a seguinte
hipótese:
Para qualquer t > tq e para qualquer inteiro positivo m, se tivermos |x(/+)| > Cd~m
então existirá um número T(t) > t tal que
0< T(t)-í <H,
Ce~{m+]) <\x(x(t) + )\<Cd-{m+V e ce~m <\x(x(t))\<C/d-{m+l).
Suponhamos, ainda, que exista uma constante positiva M tal que \\Qn\\ < M, para todo n Ç. N.
Então a EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial sobre
Demonstração: Primeiramente, suponhamos que x(t) seja uma solução limitada da EDI (3.1),
(3.2). Então
m(s) = sup{|x(w)| : u> s} <
Seja t >s + H, com H > 0. De (4.24), observamos que |x(í)| < 6m(s). Assim,
m(s) = sup{|x(u)| :s<u<s + H}. (4.25)
Seja to < s < t < oo. Então, utilizando (4.23), (4.25) e o fato de que d e (0,1), temos
\x(t) \ < Qm{s) < m(s) — SUP{|X(M)| : s < u < s + H} < C|x(s)|.
Seja n um inteiro não-negativo tal que s + nH<t<s+(n+ 1 )H. Então
|x(í)| < 0sup{|x(M,)| : t — H < u\ < t + H} <
< 0sup{|x(wi)| \ s + {n — \ )H < u\ <t + H} <
< 02sup{|x(M2)| : s+(n-2)H < u2 <t + 2H} <
<....< enc|x(^)| = ^en+í\x(s)\< ^ec-•')/«(s)|,
Relações entre crescimento Limitado e Dicotomia Exponencial 65
•(01 < \x(s)\ = Ke~a{-s-^\x{s) |
para ÍQ < s <t.
Agora, suponhamos que x(t) seja uma solução não-limitada da EDI (3.1), (3.2), com |x(fo) j = 1.
Então existirá um X\ > 0 tal que |*(Ti)| > 1 e |x(Tj+)| > C/6. Assim, a hipótese sobre soluções
não-limitadas implicará na existência de um número T(TI) = x2 tal que
0 < x2~x\ < H, C6~2 < | x ( t 2+ ) | < c e - 3 e C6~] < \x(x2)\ < ce~2.
Utilizando o mesmo raciocínio, segue que existirá um número x(x2) = T3 > 0 tal que
0<x3-x2<H, C0~3 < jx(T3+)| < Cd'4 e C 0 - 2 < | x ( t 3 ) | < C 0 - 3 .
Continuando com o argumento acima, encontramos uma sequência {T,}, com 0 < T,+ I -XI < H
e tal que
Suponhamos que i(m) seja o índice tal que xm e i,ti(m)+hti(m)+2\- Sejam s.í e R tais que
xm < t < xm+i e xn < s < xn+\, com s > t. Assim, temos
Cd"' < | x ( T + ) | < C 0 - ( , + 1 ) e C0 _ ( ' , _ 1 ) < | x ( t , ) | < ce >. (4.26)
\x(xm)\<ce-,n.
Para xm < t < xm+\ < xm + H, a condição de crescimento limitado implica que
|.v(0| < C|.v(r+)| < C||g / {m)+1 | | |x(Tw)| < C2d-'"\\Qi{m)+l (4.27)
Relações entre crescimento Limitado e Dicotomia Exponencial 66
e, para t„ < s < Tn+\ < zn+H, a condição de crescimento limitado implica que
| x ( r n + i ) | < C W 0 | . (4.28)
De (4.26), segue que
C 0 " > + 1 ) < | 4 t + + 1 ) | < | | ( 2 , ' ( „ ) + i | | K T „ + I ) |
e, portanto,
c < 11(2,•(„)+!|| Wt«+i)| . (4.29)
Assim, de (4.27) e (4.29), temos
| x (O |<C0- m 0 ' ! + 1 | | ô ; W + i | | | | e , ( n ) + , | |WT„ + 1 ) | . (4.30)
Daí, utilizando (4.28) em (4.30), obtemos
\x(t)\ < C20"~'"+1||ô/(w) + 1 II||ô/(n)+1111401 < C2M2e"~"^\x(s)\< C2M20(*-'Vh\X(S)I,
pois (/ — 0 < {n — m+l )H. Portanto
1401 1401. (4.31)
para X\ < t < s, com K = C2M2 e a = - ln 9/H > 0.
SejaXi o subespaço de todos osx(£) G X para os quais a função U(t)x(Ç), com t>%,é limitada
e seja Xo um subespaço de X complementar a X\.
Seja t, e X2, com |< | = 1. Então a solução x(t) =x(f,to,Ç) da EDI (3.1), (3.2) iniciando em
(to,Ç) é não-limitada com \x(to)\ = \ | = 1. Assim, existirá u > to tal que \x(u\to,^) \ > C0~{. Seja
T] (£) o mínimo de todos estes pontos u. Então |4Ti+)l > Cd"1.
Agora, mostraremos que o conjunto
D={ 1,(^:^X2,1^1=1}
Relações entre crescimento Limitado e Dicotomia Exponencial 67
é limitado. Suponhamos, por absurdo, que D não seja limitado. Então existirá uma sequência {t,v}
em X2 tal que \ÇV\ = 1 e —> quando v —> Como { } é uma sequência sobre a
esfera unitária de X, podemos assumir, sem perda de generalidade, que t,v —> ^ quando v —» +°o,
com \t,v\ — 1 e Çv G X2. Também temos quex(r;ío,<^v) x(t',to,Ç) quando v —> +00.
Se to < t < T] então \x{t\tQ^) \ < CQ~l. Seja t um número positivo arbitrariamente grande.
Como quando v —> segue que existe um inteiro positivo k = k(t) tal que v > k implica
que to <t < T\ (i;v). Então \x(f,to, <;v)\ < Disto e pela convergência x(f,to, x(f,to, <!;),
obtemos \x(f,tQ,Ç)\ < C0~l, para todo t > to, isto é, x{f,to,£,) é limitada. Isto contradiz os fatos
de que Ç G X2 e que toda solução com valor inicial em X2 é não-limitada. Então o conjunto D é
necessariamente limitado
Seja S = supD. Então t0 < S < De (4.31), para S <t <s < temos
\ x ( r , t 0 ^ ) \ < K e - a ^ \ x ( s - , t Q ^ ) \ . (4.32)
Observemos a seguinte diferença na obtenção de (4.31) e de (4.32): em (4.31), T\ depende do
valor inicial de x(t), enquanto que em (4.32), S é independente do valor inicial de x(t).
Seja P uma projeção ortogonal sobre X]. Então (/ - P)X = X2 e X = X\ ®X2. Para cada t
fixado, consideremos
X](t) = U{t)PU~x{t)x{t)eX 1
e
X2(t) = u{t){i-p)u-](t)x(t) ex2.
Assim,
x(t)=x:(t)+x2(t) = U(t)PU-](s)xl(s) + U(t)(I-P)U~\s)x2(s).
Por (4.32), segue que j | í 7 ( r , . v ) | | < Ke~a^~s\ s<t.
Relações entre crescimento Limitado e Dicotomia Exponencial 68
Portanto,
\U{t)PU~l(s)x(s) | = \U(t,s)xl(s)\ < for «('-*) |*i(.s)| < Ke'a(-l~^\Px(s)\ <
donde segue que ||C/(0/>C/-1(j)|| ^^-"('-^IIPII, s<t.
Analogamente,
||í/(0(/-P)í/"1(í)|| <Ke~a^-l)\\I-P\\, s>t.
Logo
|| U(t)PU-\s)\\<ke-a{l~s\ s<t
e
\\U{t)(I - P)U-1 (s)\\ < Ke~a{t~x\ s>t,
onde K = max{A'|j/'||, K\\í — /->|j}. Deste modo, o teorema está provado.
O teorema a seguir nos diz que se a EDI (3.1), (3.2) tiver crescimento limitado, então toda EDI
em uma "vizinhança" de seu operador de Cauchy terá crescimento limitado.
Teorema 4.8 [[2], Teorema 1 ] Consideremos a EDI (3.1), (3.2) sobre Re suponhamos que àe\.Qn^
0, para n 6 Z. Suponhamos que a EDI (3.1), (3.2) tenha crescimento limitado. Então cada EDI
(3.25), (3.26) em JY((A(t),Qn), {tn}neZ, 8,H) também terá crescimento limitado.
Demonstração: Suponhamos que a EDI (3.25), (3.26) pertença a ^K((A(t),Q„),{t„}ne%,S,H)
(veja definição ao final do Teorema 4.3). Então, para qualquer s e K, existirá T e R tal que, para
~H < t.u < H, tenhamos
\\V(t + s.U + s) - U[t + TAI + t)\\ < 8, (4.33)
onde V(t.s) é o operador de Cauchy da EDI (3.25), (3.26).
Relações entre crescimento Limitado e Dicotomia Exponencial 69
Pelo fato da EDI (3.1), (3.2) ter crescimento limitado existem constantes C > 1 e A > 0 tais que
U{t + x,u + x)\\ < CeA!'~"1
e, utilizando (4.33), segue que
+ + < \\V(t,u)-U(t + x,u + T)\\ + \\U{t + T,u + r)\\ < 1 + 5,
para —H <t,u<H. Como o número 5 é arbitrário, tomando-o igual a zero, segue que
||V(f,«)|| <CeAl '-"l + 5 < (4.34)
para —H <t,u<H.
Suponhamos que t > u. Então existe um número inteiro positivo k tal que
u + 2kH < t <u + 2(k + 1 )H.
Daí, por (4.34), temos
\\V(t,u)\\ < \\V(t,u + 2kH)\\\\V(u + 2kH,u + 2(k-\)H)\\...\\V{u + 2H,u)\\ <
< = (C+8)(C + Ô)W2)H~l2Hkek(t-u) <
< (C + Ô)(C + = (C+5)elÀ+(1/2)H-lHC+S)](t-u)m
O caso t <ué considerado analogamente.
Capítulo
S
Dicotomias e Admissibilidade
Neste capítulo, estabelecemos relações entre admissibilidade para pares de espaços de funções
e a existência de dicotomias exponencial ou ordinária para a EDI (3.1), (3.2) sobre R + . Con-
sideramos certos espaços de funções limitadas. Em seguida, relacionamos dicotomia ordinária e
admissibilidade. Finalmente, apresentamos dois resultados (Teoremas 5.3 e 5.4) que juntos dizem
que se nossa EDI tiver uma dicotomia exponencial, então, dada certa perturbação limitada, obte-
mos uma EDI não-homogênea que admitirá solução também limitada, e vale a recíproca. O último
teorema do capítulo refina este resultado e esta é nossa contribuição neste capítulo.
Consideremos a EDI não-homogênea
dx — =A(t)x + f(t), t^tn, (5.1)
*(/+) = x{tn) + I„x{tn) + hn = Qnx(tn) +hn: ne N, (5.2)
onde
• A : R+ —> LiX) é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie
em t = tn, contínua à esquerda em t = tn, n e N;
• / : R+ X é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie em
t — tn, contínua à esquerda em t — t„,n € N;
70
5. Dicotomias e Admissibilidade 71
• /„ : X —> X é um operador contínuo, para qualquer n G N;
• hn G X, para qualquer n G N.
Consideremos, também, os seguintes espaços lineares:
e
£i(N) = \h = {hn}neJi:'£\hn\< oo
Podemos observar que os espaços «£fi(R+,X) e ^i(N) sao espaços de Banach com respeito às
normas
respectivamente. Note que J^ i (E + ,X) é o espaço das funções de R + em X absolutamente in-
tegráveis no sentido da integral imprópria de Riemann.
Seja &(R+,X) o espaço de todas as funções limitadas em R+ com valores em X que são
contínuas em t ^ tn, têm descontinuidade de primeira espécie em t = tn e são contínuas à esquerda
em t = tn. Definamos, também, o espaço seguinte
isto é, á^(oo) é o espaço de funções de á?(R+ ,X) com limite no infinito. Os espaços á?(R+ ,X) e
munidos da norma
são espaços de Banach. Além disso, se F : R + ->• L(X) e F(t) for invertível para cada t G R+, isto
é, existe F~] (t) : X X, para cada t G então definimos
e
^lli = £ \hn
sup{|jc(f) j : t G M+},
•%FH •= {/ 6 : F~x f G ^ H } .
Dicotomia Ordinária e Admissibilidade 72
Em &f(°o), consideramos a norma
\\f\\F = \\Ff\\~.
Se F for limitada, então será um espaço de Banach.
Definição 5.1 Sejam e (S espaços de funções de R em X. Diremos que o par f S ) é admissível
para a EDI (5.1), (5.2) se, para cada f no espaço , existir uma solução de (5.1), (5.2) pertencente
a9.
Como veremos no decorrer deste capítulo, pares admissíveis são importantes na teoria de
equações diferenciais impulsivas, pois, através da admissibilidade de um par de espaços de funções
para a EDI não-homogênea (5.1), (5.2) eles definem o caminho dicotômico da EDI homogénea
associada, isto é, a EDI (3.1), (3.2).
5.1 Dicotomia Ordinária e Admissibilidade
Nesta seção, relacionamos a existência de dicotomia ordinária para a EDI homogénea (3.1),
(3.2) e a existência de soluções limitadas da EDI não-homogênea (5.1), (5.2).
No texto original [ 1 ], Teorema 7.1,0 autor apresenta o teorema abaixo com a hipótese adicional
de que
Existem um número l > O e um inteiro positivo X tais que cada intervalo em R+ com
comprimento l não contém mais que X pontos da sequência {/„}„-;;.
Entretanto tal hipótese não foi necessária conforme podemos observar em sua demonstração.
Teorema 5.1 Suponhamos que a EDI (3.1), (3.2) sobre R + tenha uma dicotomia ordinária e que
det<2„ ^ O, para qualquer n e N. Então, para toda função f 6 (R+ ,X) e toda sequência h e
t\ (N), existirá uma solução x:{t) da equação não-homogênea (5.1), (5.2) que será limitada em R + ,
ou seja, existirá uma solução x € da equação não-homogênea (5.1), (5.2).
Dicotomia Ordinária e Admissibilidade 73
Demonstração: Consideremos a equação x(t) definida pela fórmula
X(t) = j^U{t)PU-\x)f{%)dT-U(t){I-P)U~l(T)f{T)dT+
+ £u(t)pu~l(tj)hj-£u(t)(i--p)u-\tf)hj. lj<t lj>t
Provemos, inicialmente, que x(t) é uma solução da EDI (5.1), (5.2). Para isto, utilizaremos as
igualdades
^U(t,x)=A(t)U(t,x), x) = —U(F, T)A(T) (5.3) dt dx
e
U(t+,x) = QnU{tn,x), 0<x, HGN, (5.4)
(veja (2.6)).
Observemos que, pela definição de x(t) e pelos fatos de A : R + —> L(X) ser uma função contínua
por partes, com descontinuidade de primeira espécie em t = tn, contínua à esquerda em t = tn, n e N,
e de / : R + —> X ser uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie em
t = tne contínua à esquerda em t = tn, n <G N, concluímos que x(t) é contínua para t tn e que o
valor limite x(t,f) existe, para qualquer n e N. Diferenciando x(t) para t ^ tn, obtemos
-U(,)jt ( f u m - P)U-\t)f{z)dz^ - ^ fu(<)(/ - P)U-'(z)f(x)dx+
+ L ^ ^ - ' C V j - E ^ u w i - F V J - ' ( ' t ) h j = lj<t a l tj>t c u
= U(t)PU~l(t)f(t) - U(t)(I - P)U~] ( 0 / ( 0 +
+ j\(t)U{t)PU~\x)f(x)dx - J~A(t)U(t)(I - P)U-\x)f(x)dx+
+ £ A(t)U(t)PU-\tf)hj - £ A(t)U(t)(I - P)U-\t+)hj = tj<t tj>t
= f{t)+A(t)x{t).
Além disso,
Dicotomia Ordinária e Admissibilidade 74
W+ r00
C(t+) = / " U(t+)PU~\x)f(x)dX- U(t+)(I~P)U"\x)f(x)dX+
J O Jt+
+ £ U(t+)PU-l(tt)hj- E £ / ( r + ) ( / - / l ) í / - , ( f t ) / I ; . =
./o QnU(tn)PU~\x)f{x)dX- I QnU(tn)(I-P)U-{(x)f(T)dZ+
JtP,
— Qn fnU(tn)PU-l(x)f(x)dx-Qn ru(tn)(l-p)u~\x)f{x)dx+ J O A,
-Qn £ U(tn)(I-P)U-l(tf)hj + QnU(tn)(I-P)U-\t+)hn tj>ln
e, portanto,
-*0„+) = QnX{tn)+hn,
para qualquer « e N.
Agora, estimaremos o módulo de x(t). Temos
K O I < f\U(t)PV~x(x)\\f(x)\dx+ r\U(t)(I-P)U-l(x)\\f(x)\dx+ J 0 JÍ
-f £ u(t)pu-\tf) ihji + z u(t)(i-p)u-l(tf; <i« <V><
M -
Como a EDI (3.1), (3.2) tem uma dicotomia ordinária, segue da Definição 3.5 que existem uma
constante K > 0 e uma projeção P : X X tais que
\U(t)PU"\s)\ <K, para s <t,
\U(r)(I -P)U~x(s)\< K, para s > t.
Assim,
Dicotomia Ordinária e Admissibilidade 75
(01 <K \f(x)\dx + K imidx + K^lhjl+K^lhjl Jt íj<t i ->/
= K IfWldT + K^lhjl J 0 7=1
e, como / G Jz?i (R+ ,X) e h G l\ (N), segue que \x(t)\ < °o. Portanto o teorema está provado.
No restante deste capítulo, vamos considerar que X\ é o espaço dos x(Ç) G X para os quais a
função U(t)x(Ç), t > é limitada e que á?°(R+ ,X) é o subespaço de <%t(R+,X) que consiste das
funções que satisfazem a condição
X{*n) ~ QnX{tn) = 0,
ou seja, hn =• 0, n G N.
Como anteriormente, também definimos o seguinte espaço
á ? ° ( o o ) : = i fe&°(R+,X) : lim f ( t ) existe 1 , [ J
isto é, é o espaço de funções de com limite no infinito. Nos espaços
e ,á?°(oo) consideremos a norma induzida de á?(R+ ,X) . Além disso, se A : R + — L ( X ) for tal
que A(t) é invertível para cada t G R + , isto é, existe A - 1 (t) : X X, para cada t G R+, então
definiremos
W : = { / e : G •
Em consideramos a norma
ll/IU = W\\~
Se A for limitada, então será um espaço de Banach.
Lema 5.1 [[1], Lema 7.1] Suponhamos que ,^(R+,X) seja um espaço de Banach arbitrário de
funções / : E + 4 X c, para qualquer função f G &(R+,X), a equação não-homogênea (5.1),
(5.2) tenha pelo menos uma solução x G ⣰(R+,X) limitada em R+. Então, para toda função
f G existirá uma única solução limitada em R + iniciando em Xo, onde X2 é qualquer
Dicotomia Ordinária e Admissibilidade 76
complemento de X\ em X, satisfazendo a estimativa
IWI=o<M||/ | |^, (5.5)
onde M é uma constante independente de f e dependente, somente, do espaço .^(R \ - X).
Demonstração: Não é difícil ver que, se x\ (t) e x2(t) forem duas soluções da EDI não-homogênea
(5.1), (5.2), então sua diferença, z(t) = x\ (t) — x2(t), será uma solução da EDI homogénea (3.1),
(3.2). Se as soluções x\(t) e x2(t) forem limitadas, então z(t) também será limitada. Portanto
z(0) G Xi. S e x ( t ) for uma solução de (5.1), (5.2) em @°(R+,X), então x(t) = x(t) - U(t)Px(0)
também será uma solução de (5.1), (5.2) em áí?0(R+,X), com valor inicial x(0) = (f-P)x(O) G X2.
De fato. Temos
x(t + ) ~ QnX(tn) = X(t+) - U(t + )Px(0) - Qn[x{tn) - U{tn)Px{0)] =
= Qnx(t„) - QnU(t„)Px(0) - Qnx(tn) - QnU(tn)Px(0) = 0.
Portanto x G á?°(R+,X) e como
jt(0) = jc(0) - U(0)Px{0) = *(0) - Px{0) = (/ - P)x(0) G X2,
pelas condições do Lema 5.1, segue que, para / G , ^ ( R + , X ) , a EDI não-homogênea (5.1), (5.2)
tem uma única solução x(t) G ^ ° ( R + , X ) satisfazendo a igualdade Px(0) = 0. Assim, definimos
o operador K : J ? (R+ ,X) á?°(R+,X) pela associação de cada elemento / G ^ ( R + , X ) a uma
solução da EDI não-homogênea (5.1), (5.2).
Provemos que K tem gráfico fechado. Suponhamos que f n / em ^"(R + ,X) e que
ym = Kfm y. Então
v(0) = lim v„,(0) G X2 III —
e, para qualquer t fixado, temos
I f(s)ds = lim I fn{s)ds. J o
Portanto,
Dicotomia Ordinária e Admissibilidade 77
y(t)-y(0) = / /(s)ds = J O
fi /-'/+1 /•'
JO ,= 1 v/í, J/„ /•'l /•'l+l /•'
= / lim y » ( J M - s + 2 - / l i m y „ ( s ) r f s + / l imy„(j)rfs JO •/*,• '»->00 JIN
= lim / lim / y + lim / =
rh r'í+i = lim / [Â(5)>'m(s)+/w(s)]í/5+ V lim /
+ lim í [A(s)ym(s) + fm(s)}ds = •„^oo Jtn
1 [A(i)y+ /(s)]dj + £ r [A(s)y(s) + f(s)]ds+ i= 1
1
vo
Jtn
Jo
E, como
= lim = lim Qnym(tn) = Qny{tn),
segue quey(7) é uma solução da equação (3.1), (3.2). Portanto, pelo Teorema do Gráfico Fechado
de Banach, o operador é limitado, isto é, existe uma constante positiva M tal que
| | £ / | | c o < M | | / | U
e a prova está completa.
Agora, para continuarmos, introduziremos a seguinte função de Green
„ , í U(t)PU(s), s<t, O (t,s)=< (5.6)
[ -U(t){I-P)U(s), s > t,
que será utilizada nas demonstrações dos próximos teoremas.
Dicotomia Ordinária e Admissibilidade 78
O resultado a seguir dá uma recíproca do Teorema 5.1 para o caso em que h = 0. Cabe ob-
servarmos que, para este teorema, damos uma prova alternativa pois na demonstração dada em [1]
alguns pontos não ficaram suficientemente claros.
Teorema 5.2 [[1], Teorema 7.2] Suponhamos que a EDI não-homogênea (5.1), (5.2) tenha uma
única solução limitada na semi-reta R+ , para qualquer função f E ,(£\ (IR . ,X) e para h = 0.
Suponhamos, ainda, que det(2» 0. para qualquer n E N. Então a EDI homogénea (3.1), (3.2)
terá uma dicotomia ordinária.
Demonstração: Para provarmos que a EDI homogénea (3.1), (3.2) tem uma dicotomia ordinária,
é suficiente mostrarmos que, para 0 < T,Í < temos
onde K é uma constante. Para isto, sejam a,s E R arbitrários e consideremos a função fa definida
por
[0, t£[s-a,s\,
onde s > f l > 0 e z e X , com \z\ = 1. Vemos que fa E j£fi(R+,X).
Definamos, agora, a função ya(t) por
isto é, a função ya(t) é limitada.
Para 0 < / < a, a função ya(t) também é limitada, pois ela é contínua num intervalo compacto.
Portanto ya(t) é limitada na semi-reta R + , e mais, temos
G(Í,t)|| <K,
ya{t)= í G(t, x)zdz. J ,v—a
Para t > a, temos ya (t) = U (t) £, onde
ya(0)= r G(0, z)zdx = -(I — P) [ J.s-a J s-
•s U ~1 (x)zdx.
a
Dicotomia Exponencial e Admissiblidade 79
Logo>'a(0) e X2. Assim, pelo Lema 5.1, existe uma constante M > 0 tal que
i^fljoo < M||/a||i =M í \z\dx = Ma\z\ = Ma, Js—a
isto é,
e, portanto,
G(t,x)z.dx < Ma
G(t.x)zdx < M.
Daí, fazendo a tender a zero, obtemos
onde |z| = 1 e, portanto,
\G{t,s)z\<M,
|G(f,s)ll < M ,
para 0 < s,t < Logo a EDI (3.1), (3.2) tem uma dicotomia ordinária.
5.2 Dicotomia Exponencial e Admissiblidade
Nesta seção, discutiremos as relações entre a existência de dicotomia exponencial para a EDI
(3.1), (3.2) sobre R + e a existência de soluções limitadas da equação não-homogênea (5.1), (5.2).
Seja l\ (X) o espaço de todas as sequências em X tal que £ \an\ < neN
Teorema 5.3 [[1], Teorema 7.3] Suponhamos que
(i) Existam um número l > 0 e um inteiro positivo X tais que cada intervalo em R+ com com-
primento l não contenha mais que A pontos da sequência {í„}„éN;
(ii) A EDI (5.1), (5.2) tenha uma dicotomia exponencial;
(iii) det<2„ ^ 0, para todo n £ N.
Dicotomia Exponencial e Admissiblidade 80
Então,
L Para toda função f E á^(M+;X) e toda sequência {hn}ne^ e í\ (X), existirá pelo menos uma
solução limitada da EDI não-homogênea (5.1), (5.2) sobre M.. .
2. O operador linear L : @(R+,x) -» 38{R+,X) x i\(X) definido por
L*(t) = (^-A(t)x,x(t+)~Qtlx(tn)^ ,
admitirá um operador inverso contínuo à direita.
Demonstração: Primeiramente, mostraremos que o operador K : &(R+,X) x l\(X) —> á?(R+ ,X)
definido por
rt roo
K(f,h)(t) =jo U{t)PU~\x)f(x)dX-J^ U(t)(I-P)U'l(x)f(x)dX+
+ £ UMPU-^tphj-Z U(t)(I-P)U-\t+)hj
(5.7)
ti<!
é contínuo e satisfaz
LK = /, (5.8)
onde / é o operador identidade no espaço á^R+.X) . De fato. Notemos que
/' U(t)PU~{(x)f(x)dx lo
< / \U(t)PU'l{x)\\f{x)\dx< J o
< Ke~at 1
'o r ™ ii/ii. < §n/ii (5.9)
e que
/
oo
U{t)(I-P)U'\x)f(x)dx < jf \U(t)(I-P)U-x(x)\\f(x)\dx<
K, /
oo 1/
e-axdx\\f\\x< -H/lloc.
Analogamente, temos
(5.10)
Dicotomia Exponencial e Admissiblidade 81
Zu(t)PU-l(t+)hj < u(t)pu-*(t+)\\hj\< < J «
< K ( £ jj<t
a(iri) Ml< KX
— e -al
(5 .11 )
EU{t)(I-P)U-l(tf)hj <J><
< E l U ( t ) ( l - P ) U - l ( t j - ) \ \ h j \ <
<K ll/zjl,^ KX
— e -al
(5.12)
De (5.9) até (5.12), segue que a função K(f,h) é limitada e satisfaz
2K .. 2KX K(J,h)\\ao < — \\j\\oo + -a
Pela definição de K(f,h) e como / G ã$(R+,X) e h G l\(X), concluímos que K(f,h) é contínua
em t ^ f „ e que existe o valor limite K(f,h)(t+), para qualquer b g E
Ainda resta verificarmos (5.8).
Diferenciando (5.7) para t / tn e utilizando (5.3), (5.4) e as igualdades
U{t,x) = Í/_1(T,F) e U(t,x) = U{t,s)U(s,x),
onde 0 < x,s,t < °° (veja (2.6)), obtemos
K(f,h)(t) dt
u{t)pu~\t)f{t)+um - p)u~\t)m+ t poo ' A{t)U{t)PU~\x)f{x)dx - J A(t)U(t)(I - P)U~l(x)f{x)dx+
+ £A(t)U(t)PU-l(tf)hi-£A(t)U(t)(I-P)U-l(tf)hJ
>j«
= f(t)+A(t)(K(fJi)(t)).
./o
n>t
Dicotomia Exponencial e Admissiblidade 82
Além disso, para cada n G N, temos
K(f,h)(t+) =/ U^)PU-\x)f(x)dx- Í / ( F + ) ( / - P ) Í / - , ( T ) / ( T ) D T + JO J/„
+ £ u(t+)pu-l(t+)hj- £ Í / ( í + ) ( / - / , ) Í / - 1 ( Í ; ) ^
Daí, utilizando (5.4), obtemos
K(f,h)(t+) =Qn ['" U{tn)PU-\x)f{x)dx-Qn rU(tn)(I-P)U~](T)f(T)dx+ J 0 J IN
+Qn £ U(tn)PU-\tf)hj-Qn £ £/(f„)(7 — />)t/-1 (f/)/!_/+
+U(t+)PU-x(t+)hn + U(t+)(1 - P)U-](t+)hn =
= Q„K(f,h)(tn)+h„.
Assim,
L(K(f,h)(t)) =
= A(t)(K(f,h)(t))t(K(JMti))-Qn(K(f,hHtn))) =
= (f(t),hn) = (f,h)(t)
e, deste modo, terminamos a demonstração.
Observação 5.1 Podemos substituir a condição
S U p | | / ( / ) | | < o o
í € R +
do Teorema 5.3 pela condição mais fraca
f , + \ sup / \f(x)\dx < reR+ Jt
Observação 5.2 O Teorema 5.3 ainda continua válido sem a condição (/), se considerarmos a
equação não-homogênea com h = 0. Neste caso, os valores do operador definido por (5.7) ficam
Dicotomia Exponencial e Admissiblidade 83
no subespaço á?°(R+ ,X) (veja o Lema 5.1).
Teorema 5.4 [[ 1 ], Teorema 7.4] Suponhamos que a EDI (3.1), (3.2) sobre R + satisfaça as condições
(i) g{X)<^eg'{X)>-oo;
(ii) Para toda função f £ ,5^(R+,X), a EDI não-homogênea (5.1), (5.2), com h = 0, tem pelo
menos uma solução iniciando no espaço á^(R+,X);
(iii) det Q„ ^ 0, para n£ N.
Então, a EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial.
Demonstração: Seja X\ o subespaço de X consistindo de todo t; tal que
sup \U(t)Ç\ < ( ) < / < °o
Denotemos por P a projeção de X sobre X], isto é, Xi = PX.
Observemos que se xi(í) e X2(t) forem duas soluções da EDI não-homogênea (5.1), (5.2),
então sua diferença, z(t) — x\(t) — x2(t), será uma solução da EDI homogénea (3.1), (3.2). E,
se as soluções x\(t) e X2(t) forem limitadas, então z(t) também será limitada. Portanto z(0) G
Xi. Se x(t) for uma solução de (5.1), (5.2) em á^°(]R+,X), segue que a equação x(t) = x(t) -
(J(t)Px(O) também será uma solução de (5.1), (5.2) pertencente a com valor inicial
x(0) = (/ - P)x{0) G Ker P.
Por hipótese, para cada / £ a EDI não-homogênea (5.1), (5.2), com h = 0, tem
uma única solução x(t) £ /i^°(R+,X) tal que Px(0) = 0. Desta forma, definimos o operador K
como sendo a função de ,C^(R+,X) em ,°/?°(R+,X) que associa a cada elemento / G 33(R+,X)
uma solução da EDI não-homogênea (5.1), (5.2), com li = 0. Pelo Teorema do Gráfico Fechado de
Banach, este operador é contínuo, isto é, existe um número M tal que
(5.13)
Dicotomia Exponencial e Admissiblidade 84
Agora, provemos que
\U(t)PU-{(s)\\<Ke-a['-sK 0 <s<t< (5.14)
e que
| Í / ( 0 ( / - P ) Í / " , ( O I I <Ke-a{'-x), <s<t< (5.15)
onde K e a são constantes positivas.
Seja x(t) uma solução limitada da EDI (3.1), (3.2) sobre M+ , com valor inicial x(0) G X\. Para
cada a G K, definimos
ya{t) = [ Xo(z)\x(z)I ]di J o
x(t),
onde 1, 0 < t < T + a,
Xa(t)={ 1 - ( Í - T - F L ) , T + a < t < T + a + \,
0, T + a + 1 < í < ° ° .
Podemos ver que a função ya(t) é uma solução da EDI (5.1), (5.2) com h — O. Seja fa dada por
fait) =Xa{t)\x{t)\ Xx(t).
Então fa G á?(R+ ,X) e \\fa\\oo = 1. Logo (5.13) implica que
Em outras palavras,
Daí, fazendo a obtemos
f Xa(^)\x{r)\ xdx J o
WOi < K -
f \x{x)\~xdx J o
|.v(í)| < K.
Como g(X) < oo e g'{X) > -« j , deduzimos que existem constantes positivas M e N tais que
Dicotomia Exponencial e Admissiblidade 85
qualquer solução da EDI (3.1), (3.2) satisfaz
< 0<t,s<°°. (5.16)
Seja t — s > 1. Então existe T > 1 tal que t — s + T e vale
\x(t)\J\x(u)\~ldu<\x{t)\J \x(u)\~ldu<K. (5.17)
Introduziremos, agora, a seguinte função
(p(t) = j \x(u)\^xdu.
De (5.17), obtemos d(p(s + u)
Jt > 1
<p(s + u) K
que, após integrarmos com respeito a u sobre [1, T], nos dará
<p(t) = <p(s+ T) > <p(s+
Agora, por (5.16), segue que, para u > s, temos
\x(u)\~] > |x(s)\'xM-xe'fl{u-'s\
o que implica que
(p{s+ 1) = Ix(u)\-]du > Ix{s)\-xM~xe-R{u-s)du =
= \x(s)\-]M~[eRs [S+\-"udu=\x{s)\-]M-\\-eR)N~\
donde , . ., K K K !-v(0! < - w
I \x(s)\-Wh j \x{s)\-lds
Dicotomia Exponencial e Admissiblidade 86
daí,
WOI < „ , . , „_ , w t . = <
K M W _{l_sy„ , , ( 5 ' 1 8 )
\ - e ~ N
Para O < t — s < 1, temos g1/*<?-('-*)/*• > 1. Assim,
WOI <e1//re"('~-v)//r|jc(í)|
e, utilizando (5.16), obtemos
KOI < M e ^ + V ^ ^ K v ) ! . (5.19)
Daí, combinando (5.18) e (5.19), obtemos
MOI < £ie - a i{ '~-v) |x(s)|, 0 < s < í < ° o , (5.20)
í MNKe ! -./*-,*>] 1 onde K\ = max < > e ct\ = —.
\ l - e ~ N J *
Analogamente, consideramos o caso onde a solução da EDI (3.1), (3.2) se inicia em x(0) G
Ker P. Neste caso, para cada a G IR, no lugar de ya(t), consideramos a função
%{t) x{t),
e obtemos
KOI < K2e-a^'-^\x(s)\, 0 <s>t<™. (5.21)
Finalmente, podemos notar que (5.20) e (5.21) implicam em (5.14) e (5.15), onde
K = mâ\{K],K2} e a = min{oíj, a 2 ) (veja a Seção 3.1). Isto encerra a demonstração.
Observação 5.3 A condição g(X) < oo será satisfeita, se
ri +1 sup / IKOII^ ' < 00 e SUP L l l^» l l < 0 0 -I>0J< 0<J<°°t<tn<i + \
Dicotomia Exponencial e Admissiblidade 87
A condição g'(X) > — oo será satisfeita, se
sup / |A(s)||í/j < °o e sup E 11 <2/; 11 ' < 0<í <00 ;<(j| </_(_!
o o .
/>0 Ji
Observação 5.4 As condições
g(X) < o o e g'(X) > - o o
seguem imediatamente da condição (i) do Teorema 5.2 juntamente com as seguintes condições
Observação 5.5 O Teorema 5.4 continua válido se retirarmos a condição (ii) e impusermos a
seguinte condição:
(ii') Para toda função f £ 1 < p < onde Jzf^R+.X) denota o espaço de todas as
funções f : R+ —> X satisfazendo
a EDI não-homogênea (5.1), (5.2), com h = O, tem pelo menos uma solução iniciando no
subespaço
A prova pode ser obtida pelo mesmo caminho do Teorema 5.4.
5.2.1 Admissibilidade de Funções com Limite no Infinito
O objetivo desta subseção é caracterizar a dicotomia exponencial através da admissibilidade
de um par de espaços de funções com limite no infinito. O resultado que apresentamos a seguir
estabelece condições para que tenhamos a equivalência entre admissibilidade para certos pares de
s u p | |A(f ) | j < OO, sup \ \Qn\ \ < 00, í>0 neN
SUp \ \Qn j | 1 < ° ° -/ÍGN
com a norma
Dicotomia Exponencial e Admissiblidade 88
funções com respeito à EDI não-homogênea (5.1), (5.2) e a existência de uma dicotomia expo-
nencial para sua equação homogénea correspondente, a EDI (3.1), (3.2). Uma parte do resultado
é devida a Bainov et al (veja [1]). A nossa contribuição está em conseguirmos refinar o par de
funções admissíveis.
Teorema 5.5 [9] Suponhamos que
(i) A função A seja limitada sobre R+;
(ii) A matriz A(t) seja invertível, para cada t £ R + ;
(iii) det£>„ ^ 0, para qualquer n £ N;
(iv) sup £ \\Qn\\<°°e sup £ H G j - ^ o o . 0</<°°,</H</ + i o <t<°°i<tn<t+\
Então as seguintes afirmações são equivalentes:
1. Opar(,%°( R+,X),/jd°(R+,X)) é admissível, isto é, dada f e .@°(R+,X), a EDI (5.1), (5.2)
2. O par oo),,s0O(oo)) é admissível, isto é, dada f £ a EDI (5.1), (5.2) admite
3. A EDI (3.1), (3.2) tem uma dicotomia exponencial.
Demonstração:
(1. 3.) Segue diretamente dos Teoremas 5.3 e 5.4, juntamente com a Observação 5.3. Note-
mos que esta equivalência continua válida sem que as matrizes A(t) sejam invertíveis.
(1. 2.) Seja / £ ,%(«>). Como o par (âg°(R+,X),<%°(R+,X)) é admissível, segue, pela
primeira parte desta demonstração, que a EDI (3.1), (3.2) tem uma dicotomia exponencial. Então,
para qualquer / £ &(R+,X), a EDI (5.1), (5.2) tem a seguinte solução limitada
admite solução x £ ,X).
solução x £
(t) = JQ U{t)PU-\s)f{s)ds-Jt U{t)(I-P)U-\s)f{s)ds. o
Dicotomia Exponencial e Admissiblidade 89
Utilizando a função de Green (veja (5.6)), podemos escrever a solução xç acima na forma
XA<) = J G(t,s)f(s)ds.
Devemos provar que lim f ( t ) existe. Como A(t) é uma função limitada, podemos usar a í—
seguinte identidade
U {t)PU(0) - 1 = j G{t,s)A{s)ds, (5.22)
que pode ser verificada sem maiores dificuldades.
Usando (5.22), podemos escrever
xf(t) = -A~l (t)f(t) + U(t)PU~\Q)A-\t)f(t) +/, (t) + I2(t),
onde
7,(0 := f G(t,s)A(S)[A-\s)f(s)-A-\t)f(t)}ds J o
e
I2(t) := l~G(tts)A(s)[A-l(s)f(s)-A-l(t)f(t)]ds, De acordo com (3.8) e (3.9), podemos estimar /] e I2. Temos
\h (01 = / G(t,S)A(s)[A-\s)f(s)~A'l(t)f(t)]ds I o
<
< / H í / f O W ^ ^ I I I l A M I I I A - ^ í J / M - A - ^ O / Í O l r f ^ lo
< f Ke-a{l~s)\\A\\^ sup \A-x{s)f(s)-A~x{t)f{t)\ds<
^ J M - o r 1 sup \A~l(s)f(s) ~A-l(t)f(t)\ [\+e~ai] se[Q,t]
\h(t)\ G(t,s)A(s)[A~] (s)f(s) -A~](t)f(t)}ds <
< jf \\U(t)(I~P)U-\s)\\\\A(s)\\\A^(s)f(s) -A-\t)f(t)\ds < /•OO
< / sup \A-I(s)f(s)-A-I(t)f(t)\ds •>< .veíí,00)
(5.23)
Dicotomia Exponencial e Admissiblidade 90
\h(t)\ <Ka~l\\A\\„ Z \A~](s)f(S)-A-](t)f(t)\. (5 24) .ve [/,«=)
Como f e •<%{<*>), por hipótese, segue, de (5.23) e (5.24), que lim 7,(7) = 0, i = 1,2. De (5.22),
temos que lim xr(t) = - (A - 1 / ) (<») . Portanto o par é admissível.
(2. => 1.) Notemos que, se x\(t) e xj(t) forem duas soluções da EDI não-homogênea (5.1),
(5.2), então sua diferença, z(f) = xi(í) — xj(t), será uma solução da EDI homogénea (3.1), (3.2).
Se as soluções xi(t), xi(t) G ÔSa(°°), então z.{t) G e, portanto, z(0) G X\. Se x(t) for uma
solução de (5.1), (5.2) em então x{t) = x(t) - U(t)Px(O) também será uma solução de (5.1),
(5.2) em com valor inicial jc(0) = (/ - -P)- (O) G X2.
Por hipótese, para / G S$A(a EDI não-homogênea (5.1), (5.2) tem uma única solução x(t) G
3ê(°°) satisfazendo a igualdade Px(0) = 0. Assim, definimos o operador linear K : SSA (°°) —>
pela associação de cada elemento / G a u m a solução da EDI não-homogênea (5.1), (5.2).
Agora, provemos que K tem gráfico fechado. Suponhamos que fm —>• f em S$A (°°) e que
y,n = Kfm y. Então
>'(0)= lim yn (0) G X2
e, para qualquer f fixado, temos
í f(s)ds= lim / fm(s)ds.
Dicotomia Exponencial e Admissiblidade 91
Portanto,
>'(0->'( 0) — í' y'(s)ds — J o
•/O Ji, Ji„ rt i «-1 W/+1 r!
= Um y'm(s)ds+Y lim y 'm(s)ds+ lim >>' (SWJ-=
/•' 1 /•/,+1 rt lim / >4(6')^ + V lim / lim / y'm(s)ds =
m->°°Jo "i^00 7í,
Z-'1 /•''•+' lim / [A(i')>',„Gv)+/m(í)])í/.v+> lim / +/,n(j)])rfi '+
daí
E, como
I I I — > 0 0 / A < 0 0 . ,/U í-1 r'i
+ lim /
y(t)-y(0) = / ' ' [ A + 70 A
+ íl[A(s)y(s)+f(s)]ds = 7/„
7o
>-(/+) = lim ym(^) = lim Qnym{t„) = Qny{t»),
segue que >(?) é uma solução da equação (3.1), (3.2). Portanto, pelo Teorema do Gráfico Fechado
de Banach, este operador é limitado, isto é, existe uma constante positiva M tal que
| | É ( / ) | | ~ < M | | / | U . (5.25)
Seja / e X) e, para cada //? = 1,2..., seja 0m(í) uma função contínua tal que = 1 e
í 1, í e [0 ,m] , 0m(O = <
[ o , r > m + 1.
Seja, também, {/„,} uma sequência em definida por
fm(t) = 9m(t)f{t). (5.26)
Dicotomia Exponencial e Admissiblidade 92
Para cada função fm, consideremos a solução x"1 = K(fm,0) da EDI
dx ~=A(t)x(t)+fm(t), (5.27)
x(t+)=x(tn) + /„(*('/»)) = Qnx{t„). (5.28)
De acordo com (5.25), para qualquer índice m, temos
Vl\\oo < M\\fm\\A <M\\f\\A. (5.29)
Por (5.27), (5.28) e (5.29), obtemos sequências {V"}, ,^ e {(x"1)'},,,^ em &(R+,X), que são lim-
itadas sobre qualquer subintervalo compacto de R + . Pelo Teorema de Áscoli-Arzelá para funções
contínuas por partes (veja Apêndice 1) aplicado a cada intervalo compacto de R + , segue que existe
uma subseqiiência de {x"'}mefq, que denotaremos por tal que {x"!l}mi£N é conver-
gente para uma função vi G ^([0,ri],AT). Pelo mesmo argumento, existe uma subseqiiência de
}»IIGN. que denotaremos por {y"2},n2eN, tal que {x"l2}m2eN é convergente para uma função
v'2 G <é'([t\,t2],X). Continuando com este procedimento, concluímos que, para cada número natural
n, existe uma subsequência de {x"!"-> } , „ „ _ , q u e denotaremos por {*"'"}»,„gn> t al que {jc"!"}m„eN
é convergente para uma função v„ G cé'({tn-\ ,í„],X). É claro que cada subsequência {*"!"}m„eN con-
vergente para uma função u G á?(R+ ,X), onde u é uma função tal que m, = v,, para cada i = 1,2,....
De (5.26), (5.27) e (5.28), segue que u satisfaz
u'{t)=A{t)u(t)+f{t), t^t„,
u{t+) = Qnu(tn).
Isto implica que u é uma solução de (5.1), (5.2) no espaço
Capítulo
6
Dicotomia Exponencial e Funções Quase
Periódicas
Neste capítulo, primeiramente apresentamos um resultado de D. D. Bainov et al, [1], que diz
que se a EDI (3.1), (3.2) for quase periódica e tiver uma dicotomia exponencial sobre R.f, então ela
terá uma dicotomia exponencial sobre R. O objetivo deste capítulo é mostrar um resultado inédito e
mais geral que nos diz que se a EDI (3.1), (3.2) tiver uma dicotomia exponencial sobre um intervalo
finito de comprimento suficientemente grande, então ela terá uma dicotomia sobre toda a reta.
Definição 6.1 Seja Y um espaço de Banach. Dizemos que y: K —> Y é uma função quase periódica
se, de qualquer sequência {hv} C IR, pudermos extrair uma subseqiiência {hVk\ tal que o limite
lim y(t + hVk),
exista uniformemente com respeito a t G R.
Observação 6.1 A função y é quase periódica se, e somente se, para todo £ > 0, existir l(e) > 0
tal que, para todo intervalo de comprimento /(e), pudermos encontrar um número co, chamado
número e-translação paraA(t), satisfazendo
\y(t + co) - y(t) \ <£,
93
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 94
para t £
O lema a seguir relaciona o operador de evolução da EDI (3.1), (3.2) com o operador de
evolução da EDI (6.1), (6.2) abaixo, que nada mais é do que a EDI (3.1), (3.2) com uma adição em
seus tempos.
Lema 6.1 [[1], Lema 9.1 ] Consideremos a EDI (3.1), (3.2) sobre E com detQn / 0, para qualquer
n £ Z. Suponhamos que h seja uma constante positiva dada. Então a seguinte EDI
dx — =A(t + h)x, t^tn, (6.1)
x(t+) = Q(tn + h)x(tn), (6.2)
terá um operador de evolução, Vh(t), satisfazendo
Vh(t) = U(t + h)U~l(h),
onde U(t) é a matriz fundamental da EDI (3.1), (3.2).
Demonstração: Basta observarmos que
dt dt l-U-](h)U(h)U-\t + h) =
dU{t + h ) T i _ W ! ^ r r / ^ r r
dt -h\
U~ (t + h), dU(t + h)rr_l
dt
donde segue o resultado.
O próximo lema relaciona os operadores de Cauchy das EDIs (3.1), (3.2) e (3.25), (3.26),
através das estimativas (6.3), (6.4) e (6.5) seguintes.
Lema 6.2 [[1], Lema 9.2] Consideremos as EDIs (3.1), (3.2) e (3.25), (3.26). Sejam U(t.s) o
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 95
operador de Cachy da EDI (3.1), (3.2) e V(t,s) o operador de Cachy da EDI (3.25), (3.26). Se
\ \ U ( t , s ) \ \ < N e - v ^ - h ^ K (6.3)
para quaisquer t, s G IR, onde h(t), t G R, é uma função qualquer satisfazendo h(0) = 0, então
teremos
\\V{t)\\<Ne-vh^eN&^dr f ] (1 +q(tj)). (6.4) o <t,<t
\V(t)~U(t)\\ <Ne-yh^A(t) +
+Ne-vW £ Nqitj^tírW f ] O+?('*)), o <tj<t 0<tk<tj
onde
X(t) = U(t,0) + y U(/,t)(B(T) -A(T))V(T)C/T+
(6.5)
n
MO= n O </,<<
e <5(í) e a função característica do conjunto {0}.
Demonstração: Notemos que o operador V(t) = V(t, 0) é uma solução da EDI
dW --AV = {B-A)V. t^tn, (6.6)
W(t+) = Q„W(tn) + (R„ - Q„)W(t„) (6.7)
W(0)=I. (6.8)
Pela Fórmula da Variação das Constantes (Lema 2.1), temos
(6.9)
0 <(,</
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 96
onde X(t) é uma solução do problema de Cauchy (6.6), (6.7), (6.8).
Como o operador V(t) é uma solução do problema de Cauchy (6.6), (6.7), (6.8), por (6.9),
concluímos que
\\V(t)\\ < | | l / ( f , 0 ) | | + j / u V ( r , T ) t | | | f i ( T ) - A ( T ) | | | | V ( T ) | | J T +
+ £ \\u(t4MQi~RMvm-0 <!,<!
Seja (p(t) = ||V(r)||. Por (6.3), segue que
(p(t) <Ne~vh^+N f e"v{h^-h^p(T)ç(T)dT+ Jo
+ E e-vM-hWq(tj)<p(tj) 0 < t j < t
e, fazendo Ç\ (t) = (p(t)evh^'K chegamos a
<p\{t)<N + N I (p\(l)p(l)dT+ £ q(tj)<P\{tj). •/0 0 </,<í
Daí, aplicando o Lema 2.3, temos
(pi (0 <NeN^p[x)dx n 0+?(';)) 0 <tj<t
e, então,
(p(t)<Ne-vhi,)eNtipir)clT n 0 + < ? ( ' / ) ) • 0 <tj<t
Portanto a desigualdade (6.4) está provada.
Agora provaremos (6.5). Pelo fato do operador V(t) ser uma solução do problema de Cauchy
(6.6), (6.7), (6.8), por (6.9), temos
\\V(t) - U(t)\\ = U{t.0)+ / U{t,T){B{x)-A{z))V{r)dT +
+ £ U(t,t]-)(Rj-Qj)V(tj)-U(t,0)
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 97
Dai,
m O - í / ( O I I í | |í/(Í,T)|| | |B(T)-M(T)|| | |V(T)|| í/T+ £ M ^ t p W W Q j - R j O <tj<t
< J o
\\u(t,x)\\p(x)(p(x)dx + £ m ^ M t j M t j ) < 0 <'./<'
0 < / , < T
O <tj<t O <tk<i.
= Ne~vW f Np(x)eN^p{s)ds (1 + q(tj))dx+
+Ne~vh^ £ Nq(tj)eNúJPW* (I +q{tk)). O </,</ O <tk<l.
]! II -
Como f Np{x)eN^^dsdx = eN^l,(s)ds - eNío'^dx, temos
Q<I,<T
n(l) ( Ne-Vh^ £ / 7 Np(T)eNtip{s]ds [] (1 + q{tj))dx }> +
j= 1 [•''j- 1 0<lj<T
+Ne-yh^ [ Np{T)e"f°PWdx f j (\+q{tj))dx< 0 < / , < T
0<t, <í
"{') ( rtj r , £ / Np(x)eN^P^dx\ + i i (•'' ;
-V/L(/) n ( 1 + ^ ( 0 » Np(x)e's
-vll(t) O </;</
"(O E 7 = 1
oNJ0Jp{x)ds_ Nf0
j-1 p(X)d.i
-Vil(l) 0</, </
)lp{s)ds _ N j'{;'(,) p{s)ds
— A(t) (jN J q p(s)ds gN J q ° p[s)ds = Ne~vhil)A(t) eNJlP(s)ds_ j
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 98
donde segue o resultado.
Lema 6.3 [[I], Lema 9.3] Consideremos a EDI (3.1), (3.2) E e suponhamos que
(i) A EDI (3.1), (3.2) tenha uma dicotomia exponencial sobre a semi-reta E+ com constantes K
e a e projeção P;
(ii) Exista uma sequência de números {/ív}veN> com hv —> quando v —> tal que
lim A(t + hy) — B{t) e lim Q(t + hv) = Q(t) ambos os limites uniformes sobre qualquer V—yoo v—
segmento finito da reta E;
(iii) det Qn ^ 0, para qualquer n e Z.
Então existirá uma projeção P : X —>• X tal que
l i m U ( h y ) P U ~ \ h y ) = P
e a equaçao
-i = B(t)y, t ± t, (6.10)
y(tZ) = Q(tn)y(tn), (6.11)
terá uma dicotomia exponencial sobre a reta E com projeção P.
Demonstração: Consideremos a equação
dx di
A{t + hv)x,
x{t+) = Q{t + hv)x{tn),
com a matriz fundamental Vv(/). De acordo com o Lema 6.1, Vv(t) satisfaz
Vy{t) =U(t + h y ) U - \ h y ) .
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 99
onde U(s) denota a matriz fundamental de (3.1), (3.2).
Seja Pv = U (hv)PU~x (hv), onde P é a projeção da dicotomia exponencial da EDI (3.1), (3.2).
Então
j|Vv(r)PvVv-1(.v)|| = \\U(t + hv)U~l (hy)U(hv)PU-1 (hv)U(hv)U-] (s + hv)l
daí
||Vv(f)PvVV'(*)[i = \\U(t + hv)PU~l(s + hv)\\ < Ke-a['-s\ (6.12)
para —hv < s < t <
Analogamente, prova-se que
| v v ( 0 ( / - / v ) v v - 1 ( í ) l l < ^ " a ( , " ' ))
para — hv < s < t <
De (6.12) segue que, para todo v € Z, ||PV|| < K. Assim, podemos tomar uma subseqiiência
{Pv„ } da sequência {Pv} tal que exista
P = lim Pyk.
Podemos observar, pela própria definição, que P é uma projeção.
Seja W(t) a matriz fundamental da EDI (6.10), (6.11). Pelo Lema 6.2, segue que, para todo
/ e R.
lim Vv(t) = W(t). V—>OO
Então por (6.12), fazendo v —> temos
\\Vv{t)PV < Ke-a{'-x). -hv < s < t < oo
e
||Vv(f)(/-,P)V_1(j)|| < Ke~a{-S~'\ -hv<s<t< oo,
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 100
ou seja, a EDI (6.10), (6.11) tem uma dicotomia exponencial e a prova está concluída.
Considerando a EDI (3.1), (3.2) sobre E, o próximo teorema diz que seA(t) e Q(t) forem quase
periódicas sobre R e se a EDI (3.1), (3.2) admitir uma dicotomia exponencial sobre R + então ela
terá uma dicotomia exponencial sobre E.
Teorema 6.1 [[1 ], Teorema 9.1] Suponhamos que
(i) A EDI (3.1), (3.2) sobre E admita uma dicotomia exponencial sobre a semi-reta E+ .
(ii) As funções A(t) e Q(t) sejam quase periódicas sobre a reta.
(iii) det Qn 0, para qualquer n G Z.
Então a EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial sobre a reta E.
Demonstração: ComoA(í) e Q{t) são funções quase periódicas sobre a reta, segue que existe uma
sequência hv —> quando v —> tal que A(t + hv) —» A(t) e Q(t + hv) -» Q(t), quando v —> oo
uniformemente. Desta forma, o teorema segue diretamente do Lema 6.3.
O lema a seguir nos dá estimativas para funções que satisfazem algumas propriedades. Es-
tas estimativas serão importantes para mostrarmos que a EDI (3.1), (3.2) admite uma dicotomia
exponencial.
Lema 6.4 (i) Suponhamos que x : E+ —> X seja contínua por partes, com descontinuidade de
primeira espécie em t„ e contínuas à esquerda em t„, n £ N, com x(t) / 0, para todo t £ E+ .
Se existirem constantes C > 1, 0 > l e h> 0 tais que
KOl^cW-OI. o < t < s + h
e
|.r(í)| > 0 inf{|jc(j)| : \t - s\ < /?}, t>h.
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 101
Então existirão constantes a > 0 e K > 1 tais que
\x(t)\<Ke-a{l"-s)\x(s)\, 0 <s<t,
ou
\x(t)\ < Ke~a[s-!]\x{s)\, 0 <t<s.
(ii) Suponhamos que x : R_ —> X seja contínua por partes, com descontinuidade de primeira
espécie em tn e contínuas à esquerda em tn, n <G Z_, com x(t) / 0, para todo t E R_. Se
existirem constantes C>\,d>\eh>Q tais que
< s<t<s + h< 0
e
\x(t) \ > 0inf{|x(í)| : \t~s\<h], t < -h.
Então existirão constantes a > 0 e K > 1 tais que
\x(t)\ < Ke~ai'^\x(s)\, s<t< 0,
ou
1401 < Ke"a{s-Í]\x{s)l t<s< 0.
Demonstração: Provaremos apenas a afirmativa (/) pois a prova da afirmativa (ii) é análoga.
Seja A : R + —> R + definida por
A (5) = inf{|A-(»)| : u >
Dividiremos a prova em duas partes: Na primeira parte suporemos que A(0) > 0 e, na segunda
parte, consideraremos que A(0) = 0. Em cada uma destas partes obteremos uma das estimativas
que queremos.
Parte 1: Suponhamos, primeiramente, que A(0) > 0, isto é, que inf{ j : u > 0} > 0.
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 102
Por hipótese, para s > t > h, temos
1401 > 0 inf{ |4 í ) | : \t-s\ < h} =
= 0inf{|x(s)| : s - h < t <s + h} >
> 0 inf{|x(i) j : t > s - h } =
= ex(s-h).
Pela definição de A(5), existe uma sequência {um}m€-^, com um > 5, tal que
lim \x(um)\ = A(s). (6.13) 111 —
Provaremos, agora, que existe um mo £ N tal que um < s + h, para todo m > niQ. Suponhamos o
contrário, isto é, que exista uma subseqiiência {um k} n i k e^ de {«m}meN t a l Que umk > s + h. Então
\x(u,nk)\ > 0inf{|x(w)| : Iu-u„ l k \ <h} =
'• ~ h < U < Umk + h} >
> 0 inf{ |x(u) | : u > u,„k — h] =
= QX(umk - h) > 9X(s) >k(s).
Mas isto contradiz (6.13). Portanto existe um mo G N tal que um < s + h, para m > mQ. Então
X{s) = inf{|x(w)| \s<u< s + h}
e, para 0<s-2h<2 + hts<t<s + h, temos
|x(.v)| > 02 inf{|x(w)| :\u~s\<2h}>
> 02k(s - 2h) >
> 02 inf {| x{u) | :s-h<u<s + h}>
> 02C-'|.v(OI-
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 103
Assim, para t + (k — 1 )h < s < t + kh, temos
\x(s) I > 0 inf{ jx(u) | : |w - s\ <h}>
> O2 inf{ \x(u) j : \u-s\ < 2 A} > ... >
> inf{jx(w)| : \u-s\ <{k+\)h}>
> ek+lX{s-(k+\)h) =
= ek+l inf{|x(w)| :\s-(k+\)h\<u<s-kh}>
> dk+lC~l\x(t)\.
Tomando a = ln 6 e K\ = max{ 1 ,C0~' }, temos
W0I < K]e~a{x~'">\x{s)\, 2h <t < s.
Seja 2a/,max{|x(Q| :te [0,2h]}
P l min{|x(r)| [0,2/z]}'
Então
|jc(í)| 0<t<s.
Parte 2: Suponhamos, agora, que A(0) = 0, isto é, que inf{|x(w)| : u > 0} = 0.
Construamos uma sequência {t,,,},,,^ tal que
|jc(T,„)| = 0 "'"Cjx(0)|
e
|x(r)|>0~mC|x(O)|, 0 < f < T m .
Assim, h < TL < T2 < . . . < T„, < T,)L+1 < . . . .
Agora, provaremos que > xm + h. Suponhamos, por absurdo, que exista um niQ e N tal
que TJHO+I < Tmo+h. Então
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 104
\x(xmo+í)\ < inf{W")l : o < t i < t „ ! o + 1 +h\} =
< inf{jx(w)j : \u - T , „ 0 + i J < A} <
o que contradiz o fato de que jx(T„,0+1)| = 0 " " 1 | x ( r m o ) | . Assim, xm+\ > xm + h.
Seja t > s > 0. Logo existem inteiros positivos ktm tais que xm < t < tm+\ e xk < 5 < T^ j .
Então
|*(í)| > \x(zk+])\ = em~k~x\x(xm)\> dm~k-[c~l\x(t)\ = em~k+le~2c"l\x(t)\
Como
xm < t < xm+\ e xk<s< xk+i,
temos
t - s < xm+i —xk < (m — k + 1 )h
e, assim,
-(t-s) > -(m-k + 1 )h.
Daí,
Tomando a = h 1 ln 0 e  i = CO2}, segue que
\x(t)\<Kle-a{l~s)\x{.s)\, T , <s<t.
Seja 2ahmax{\x(t)\:te[0,2h}}
P l min{|x(0| :te [0.2h]}'
Então
|.Y(0| < O < S < T .
Isto completa a prova do lema.
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 105
O lema a seguir apresenta propriedades de uma EDI que admite uma dicotomia exponencial.
Lema 6.5 Consideremos a EDI (3.1), (3.2) sobre E. Suponhamos que o operador A seja limitado
e que detQn / 0, para n £ TL. Se a EDI (3.1), (3.2) tiver uma dicotomia exponencial então, para
todo 0 > 1, existirão uma constante h > 0 e N soluções linearmente independentes da EDI (3.1),
(3.2), digamos x\ (t), x2 (t), ..., x^(t), tais que
|JC/(0| > 0inf{jx/(w)| : \u — t\ < h}, i = 1,2
lim \xi(t) \ > 0, i— 1,2, . . . , / : / —> —oo
e
lim |x;(0l > 0, i = k+\,k + 2,...,N.
Demonstração: Suponhamos que a EDI (3.1), (3.2) tenha uma dicotomia exponencial. Logo
existem contantes a > 0, K > 1 e yv soluções linearmente independentes x\ (?), x2 (t), xu(t),
tais que
e
|jc/(r) | < Ke-^-^lxiit)], t<s, i = k+l,k+2,...,N,
donde
lim \xi(t)\ = +oo, / = 1,2, . . . , / : i —y — ° °
e
lim \xj(t)\ = +00, i = k+],k + 2,...,N. 1 ->-(-00
Desta forma precisamos provar apenas que, dado 0 > 1, existe h > 0 tal que
\xj(t) \ > 0inf{|x/(«)| :\u~t\<h}. i= 1.2, — N.
Seja 0 > 1 fixo e tomemos h > 0 tal que K~1 eah = 6. Assim, para / = 1,2,..../:, temos
j.r,(0| > K-leah\x,{t + h)\ = 9\xj(t + h)\ > 0inf{|jc/(m)| : \u-t\ < h}.
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 106
E, para i = k + 1, k + 2 , . . . , N, temos
MOI > K~leah\xj(t-h)\ = d\xi(t-h)\ > 6 inf{|jc,(w) j :\u-t\< h\,
donde segue o resuldado.
O próximo lema é uma recíproca do lema anterior. E importante salientarmos que, no lema
anterior, conseguimos o fato de que, sob certas hipóteses, se a EDI (3.1), (3.2) admitir uma dicoto-
mia exponencial, então para toda constante d > 1, conseguiremos encontrar uma constante h > 0
e N soluções linearmente independentes da EDI (3.1), (3.2), digamos x\(t), x2(t), ..., x^(t), de
modo que algumas propriedades sejam válidas. Por outro lado, no lema a seguir, se existirem
constantes 6 > 1, h > 0 e N soluções linearmente independentes da EDI (3.1), (3.2),digamos
x\(t), xi(t), . . . , XN(í), que satisfaçam algumas propriedades, então a EDI (3.1), (3.2) admitirá
uma dicotomia exponencial.
Lema 6.6 Consideremos a EDI (3.1), (3.2) sobre E. Suponhamos que o operador A seja limitado
e que det<2„ ^ 0, para n £ Z. Suponhamos, ainda, que existam constantes 6 > 1 e h > 0 e N
soluções linearmente independentes da EDI (3.1), (3.2), digamos x\(t), (t), ..., x^it), tais que
j xi(t)\ > 0inf{|x/(w)| : \u-t\ < h}, i= 1,2,. . . ,7V,
Tim~|.v,-(f)| > 0, /' = 1.2, . . . , / : í — o o
e
lim \xi(t)I > 0, i = k+ Lk + 2,...,N. /->-j-oo1
Então a EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial
Demonstração: Assumamos que exista uma constante h > 0 tal que o operador A da EDI (3.1),
(3.2) seja limitado, daí
|jc/(0| <C|.r,-(s)|, s<t<s + h. i= 1,2,...,AT.
Para ; = 1.2 k e t e M+, como lim jx;(í) | > 0, segue pelo Lema 6.4 que existem constantes / —> - oo
«i > 0 e K\ > 1 tais que
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 107
\xi{t)\<Kie~a,{l's)\xi(s)\, 0 <s<t. (6.14)
Novamente, pelo Lema 6.4, para t £ R_, temos que existem constantes a2 > 0 e > 1 tais que
|*/(0| < K2e-a^\xi{s)\, s<t< 0, (6.15)
ou
\xi(t) I < K2e-a2(s"t)\xi(s)\, t<s< 0. (6.16)
Queremos mostrar que apenas (6.15) é verdadeiro. Suponhamos, por absurdo, que (6.16) seja
verdadeiro, disto e por (6.14) temos
lim \xi{t) \ = 0 e lim jx,(0l = 0.
Logo, existe um to £ R tal que
|JC,'(/O)| = sup{ |JCÍ(M) | : u £ R } .
Isto contradiz a condição
jx,(í)| > mf{\xj(u)\ : \u — t\ > h}.
Como uma das duas condições necessariamente acontece, segue que apenas (6.15) é verdadeiro.
Sejam a = min {ai, a2} e K = max{K\ ,K2], por (6.14) e (6.15) obtemos
\Xi(t)\ <Ke-aU-s)\xi(s)\, s<t.
Analogamente, provamos que
|-v/(0| < Ke-a{s-'] t<s,
para / = k+ \ .k + 2, N. E, assim, a EDI (3.1), (3.2) tem uma dicotomia exponencial.
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 108
O próximo teorema apresenta condições necessárias para que a EDI (3.1), (3.2) admita uma
dicotomia exponencial.
Teorema 6.2 Consideremos a EDI (3.1), (3.2) sobre R. Suponhamos que o operador A seja lim-
itado e que det<2„ ^ 0, para todo n £ Z. Se (3.1), (3.2) tiver uma dicotomia exponencial então,
dados 0i > 1 e 02 £ (0,1), existirão uma constante h > 0 e N soluções linearmente independentes
da EDI (3.1), (3.2), digamos x\ (t), X2(t), ..., x^(t), tais que
|*/(0I > 01 inf{\xi{u) \ :\u-t\< h]
e
\xi(t) \ < 02 sup{ \xj(u) | : \u — t\ < h]
i= 1,2 ,...,/V.
Demonstração: Suponhamos que a EDI (3.1), (3.2) tenha uma dicotomia exponencial. Pelo Lema
6.5 segue que, dado 0i > 1, existem uma constante h\ > 0 e/V soluções linearmente independentes
da EDI (3.1), (3.2), digamos x\ (t), x2{t), ..., xN(t), tais que
i*/(OI > ^í inf{k(") | : I" — f | < h]}
para i = 1 ,2 , . . . .N. Como 02 £ (0,1), pelo Teorema 4.6, segue que para qualquer solução x(t) da
EDI (3.1), (3.2), existe um h2 > 0 tal que
|JC(/)| < 02sup{|A-(«) : \ u - t \ < h 2 } .
Assim, para / = 1,2, . . . .N, existe um h'2 > 0 tal que
\xj(t) \ < 02 sup{ |.ç/(t<) | : I u - t \ <h'2}
Tomando /?3 = maxj/?!, : / = 1.2, . . . , A } segue que
|jc/(r)| < 02sup{|jt/(w)| : \u~t\ < h2}.
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 109
Seja h = max{/zi, h3}. Assim
(01 > 01 inf{|*/'(")| :\u-t\<h}
e
!*/(0l — ®2sup{|*í(m)! : \u~~t \ — M-
Deste modo, o teorema está demonstrado.
O próximo teorema apresenta condições suficientes para que a EDI (3.1), (3.2) admita uma
dicotomia exponencial.
Teorema 6.3 Consideremos a EDI (3.1), (3.2) sobre IR. Suponhamos que o operador A seja
limitado e que deiQn / 0, para todo n £ Z. Suponhamos, ainda, que existam constantes 6\ >
1, 62 G (0,1) e h > 0 e N soluções linearmente independentes da EDI (3.1), (3.2), digamos
x\(0, xi (t), ..., xjy(t), tais que
\xj(t) \ < e2sup{|x,(M)| : \u — t\ < h}
i = 1. 2. . . . .N. Então a EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial.
Demonstração: Como o operador A da EDI (3.1), (3.2) é limitado, para h > 0 existe uma constante
C > 1 tal que
|*/(0I < Cpt/GOI, s<t<s + h, 1 = 1,2,...,/V.
Assim, pelo Lema 6.4, para quaisquer i= 1,2,.. . .N e t G R+ existem constantes a\ > 0 e K\ > 1
|x,(0| > 0i inf{ \XÍ{U) | : \u - t\ < h}
e
tais que
^•(01 < ^ i e _ 0 t l ( ' _ ' v ) k ' ( 0 l . o<s<t. (6.17)
ou
|x,(0| < Kie~ai{-S~^\xi(s)\, 0 <t<s. (6.18)
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 110
Novamente, utilizando o Lema 6.4, para quaisquer i = l ,2, . . . , iV e t G R_, existem constantes
a 2 > 0 e Ki > 1 tais que
|jc/(0| < ^ - « ( ' - ' ^ ( í ) ! , s<t< 0, (6.19)
ou
\xi(t) \ < Ke-^-^lx^s)], t < s < 0. (6.20)
Dividiremos a demonstração em duas partes: primeiro, suporemos que (6.17) seja verdadeiro e
provaremos que isto implicará que apenas (6.19) acontece; depois, suporemos que (6.18) seja ver-
dadeiro e provaremos que isto implicará que apenas (6.20) acontece.
Parte 1: Suponhamos, primeiramente, que (6.17) seja verdadeiro e suponhamos, por absurdo, que
(6.20) aconteça.
De (6.17) e (6.20) segue que
lim \xi(t)\ = 0 e lim |x;-(r)| = 0.
Então existe um T, G R tal que
\xí(Tj)\ = sup{|x/(r)| : t G R}.
Mas isto contradiz a hipótese do teorema. Portanto (6.19) é verdadeiro. Tomando a - min {ai, a 2 }
e K = max{£i, K2}, de (6.17) e (6.19) obtemos
|x,(OI < f o r a ( ' ~ - ç ) K ( í ) | , s < t .
Parte 1: Suponhamos, agora, que (6.18) seja verdadeiro e suponhamos, por absurdo, que (6.19)
valha.
De (6.18) e (6.19) segue que
\*i(s)\ >K;]e~a^'-s)\xi(t)\. 0 < t <x
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 111
e
!*«(*) I > K^e-^-^Xiít)], s<t< O,
e estas duas desigualdades implicam
lim |jc,-(í')| = + o ° e lim =-f°o. •V—>+°° .V—>-00
Então existe um r £ R tal que
Ijc/Ct/)! = inf{|jc/(r)| : ígR}.
Isto contradiz a hipótese do teorema. Portanto (6.20) é verdadeiro. Tomando a = min{ai,a2} e
K = max{i^i, K2}, de (6.18) e (6.20) obtemos
\xi(t)\ < s>t.
Assim, pelas partes 1 e 2, concluímos que a EDI (3.1), (3.2) tem uma dicotomia exponencial.
No próximo lema, considerando as EDIs (3.1), (3.2) e (3.25), (3.26) sobre o intervalo
J — [a,b], através de uma estimativa sobre a diferença de A(t) e B(t), obtemos uma estimativa
para os operadores de Cauchy destas EDIs.
Lema 6.7 Consideremos as EDIs (3.1), (3.2) e (3.25), (3.26), ambas sobre o intervalo J = \a,b).
Suponhamos que, para cada t G [a,b], tenhamos
\\B{t) -A(0|| <
então, para a < t,s < b, teremos
\\V{t.s)-U{t.s)\\<LeM(h-a)[eL£(h-a)- 1].
onde U(t.s) é o operador de evolução da EDI (3.1), (3.2) e V(t,s) é o operador de evolução da
EDI (3.25), (3.26).
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 121
Demonstração: Seja
M = sup{||/4(r)|| :a<t<b}
Pelo Lema 3.1, temos
\\U(t,s)\\<Le^'-sK
para s, t € [a, b], onde L = ( j - i) max {11Qk j|, 11 Q~' 11; k = i + 1, i + 2 , . . . , j} ,
Agora, como W(t) = V(t,s) - U(t,s) é solução da equação não-homogênea
dW
— = A(t)W + [B(t) - A(t)][W(t) + U(M)L t ± tn,
W(t+) = Q(tn)W(t„) + [/?(í„) - Q(tn)][W(tn) + U(tn,s)], com
= o.
Pela Fórmula da Variação das Constantes (Lema 2.1), temos
W(t) = £ U{t,o)[B(o)-A{o)][W(a) + U{o,s)]da,
e, então, se a < s < t < b, temos
\\W(t)\\ < j'LeM[t~ah \\\W(o)W+LeM{a-s^ da
< L2£(t - s)eM^'--v) + Le J' eM{'~a)\\W(cr) | |da.
Seja v(t) = e~Mí\\W(t)\\. Então, para a < s < t < b, temos
v(t) < £L 2 ( t - s )e~ M x + L£ I' v(a)do.
Então, utilizando a Desigualdade de Gronwall Generalizada (Teorema 2.7), segue
v{t)<L2e{t-s)e-Ms + L3e2e-Ms f (o ~ s)eL£[,~a)do
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 113
e, integrando por partes, chegamos em
v(t) < Le~Mx[eL£('~^ - 1],
Portanto, para a < s < t < b, temos
\\V(t,s) -U(t,s)\\ < LeM^-s)[eL£^ - 1],
Podemos provar que, para a < t < s < b, temos uma desigualdade similar. Portanto, para
s,t £ [a,b\,
||V(M)-Í/(M)|| <LeM(h~a)[eLe{h-a) - 1],
Isto completa a prova do lema.
O teorema a seguir nos diz que, considerando a EDI (3.1), (3.2) sobre R, se a (3.1), (3.2) admi-
tir uma dicotomia exponencial sobre um intervalo finito de comprimento suficientemente grande,
então a EDI (3.1), (3.2) admitirá uma dicotomia exponencial sobre E. Este resultado generaliza o
anterior.
Teorema 6.4 Sejam a,H 6 R, H > 0 e suponhamos que
(i) A EDI (3.1), (3.2) tenha uma dicotomia exponencial sobre o intervalo [a,a + H];
(ii) As funções A(t) e Q(t) sejam quase periódicas sobre a reta;
(iii) det Qn ^ 0, para qualquer n 6 TL;
(iv) £ seja um número positivo tal que LeMb(eLeh — 1) < 1/2, onde M = sup|j/l(.v)||,
L (k - i) max | |J2/||- \ \Qjl\\'J = M + 1, • • • j , com a e (í/.í/+i) ea + H <E (tk,tk+í), e
h = a-l( senh~lH + \nK).
Se H > 0 for tão grande que H > 4h e todo intervalo de comprimento H/2 contiver um número
e-translação, então a EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial sobre R.
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 114
Demonstração: Seja s e E. Então o intervalo [s- -a,s- \H -a] contém um número e-
translação T para A(t). Assim, para todo t e [s - \H - a,s - \H - a],
| |A(í)-A(r - T)|| < e . (6.21)
Agora, como [5 - - o,s — - a] C [a,a + H], segue que a EDI
^=A{t-z)y, (6.22)
y(ti) = Q(ta-r)y(tn) (6.23)
tem uma dicotomia exponencial sobre \s — \H, s + jH] com constantes K e a. Então, como t > 4h 4 e
K~xeah — Ke~ah = 2senh(a/z + InK) = 2 h,
segue do Teorema 6.2, com 6\ = | e 62 = 4, que existem N soluções da EDI (6.22), (6.23) linear-
mente independentes, digamosy,-(t), i = 1 , 2 t a i s que
\yi(s)\<l-sup{\yi(t)\:\t-s\<h}
I.V1WI >4inf{|y/(0 | : \t-s\ <h).
Agora, seja Xj(t) uma solução qualquer de (3.1), (3.2) e seja y/(t) a solução de (6.22), (6.23)
com >v(.v) = Xi(s). Segue de (6.21) e pela definição de £ que, para \t — s\ < h, temos
|>v(r) = | [ í / ( í -T, A - -T)- í / ( r , A - )K-WI < 2^ 'WI-
Assim,
\xi(s)\ =\yi(s)\<-sup{\yi(t)\-.\t-s\<h}
< i-supd.x-KOi + i>v(0--r/Cr)! : |r - < /?}
< -sup{|.v ;(0| : \ t - s \ < h } + -\xj{s)\,
6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 115
ou seja,
Também temos
| = \yi(s)\ > 4inf{|y,'(r)| \t — s\ < h}
> 4inf{|x/(/") | — \yi(t) —Xj(t) \ '• \t — s\ < h}
> 4inf{|jc,-(í)| : \t-s\ < h}-2\xj(s)\,
ou seja, 4
\xi(s) j > -inf{|jr/(0| : \t-s\ < h).
Como í é arbitrário temos que
2 \xi(s) \ < -sup{|x,(í) | : \ t - s \ < h }
4 |x/(s)| > - inf{|x,(/")j : \ t - s \ < h}.
Então, pelo Teorema 6.3, segue que a EDI (3.1), (3.2) tem uma dicotomia exponencial sobre R.
Apêndice 1: Um Teorema do Tipo /
Ascoli-Arzelá
Neste apêndice, apresentamos um teorema do tipo Áscoli-Arzelá para funções contínuas por
partes. Este teorema foi relevante para a obtenção do Teorema 5.5 desta dissertação.
Seja ,L],X) o espaço de todas as funções de [0,L] com valores em X que são contínuas
em t / tn, têm descontinuidade de primeira espécie em t = tn e são contínuas à esquerda em t = tn,
n— 1,2,... , m, onde m indica o número de descontinuidades no intervalo [0,L].
Para cada u £ ^cé\[0,L},X), definimos
I u(t), para i ^ tn, u(t) = <
I u(t„), para t = tn,
n= 1,2,...,/«. Então, dado 9 C ^"^([0,1],X), definimos il1 := {u : u £ 9).
Definimos, também,
u0(t) = u(t), í6[0 , í i ] ,
u(t), para t^tn, II, AT) = < «(r+), para t = t,u
para t £ [tn.tn+i], n = 1,2 m. Deste modo, u0 £ ^([0,fi],X) e un £ (é\[tn.tn+\\,X), n =
1 , 2 , . ...m.
Teorema 6.5 (Teorema de Áscoli-Arzelá para EDIs) [[12], Teorema 3.4] Um conjunto
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Um Teorema do Tipo Ascoli-Arzelá 117
00 C ,0^^(10, L],X) será relativamente compacto se, e somente se, as seguintes propriedades forem
verdadeiras:
(i) Para qualquer t £ M+, os conjuntos O0(t) — {u(t) : u G 00} e O0(t) = {u(t) : u G 00} forem
relativamente compactos;
(ii) O conjunto 00 (t) for eqiiicontínuo à esquerda em cada t £ [0,L];
(iii) O conjunto 00 (t) for eqiiicontínuo à direita em cada t G [0,L],
Demonstração: Suponhamos que as condições (/'), (ii) e (iii) estejam satisfeitas. É consequência
direta das hipóteses e do Teorema de Ascoli-Arzelá clássico que os conjuntos 00o e O0n, são relati-
vamente compactos em céJ([0,t\],X) e %J([tn, tn+\],X) respectivamente, n — 1 ,2 , . . . ,m.
Agora, provaremos (/) e (iii). A prova de (ii) é análoga à de (iii).
Seja { i / } ^ ^ uma sequência em 00. Então existe uma subseqtiência de { u k q u e denotare-
mos por {ukl j^eN* t a l Que j"*1 l^eN converge para uma função
vi G ^ ( [ (Vi^X) . Analogamente, a sequência {w^j^eN possui uma subseqiiência, que denotare-
mos por {ukl}/t2ÊN> t a ' Que {ãk2}k2eN converge para uma função v2 G ^([í i , f2] ,X). Continuando
com este procedimento, concluímos que existe uma subseqiiência de { u ^ 1 } ^ ^ n > Que denotare-
mos por {^"jk^n, tal que {uk"}k„eN converge para uma função v„ G Então, existe
uma subseqiiência {uk"}kn€N que converge para uma função u G onde u é uma
função tal que un = vn, para cada n= 1,2 ,...,m. Logo 00 é relativamente compacto.
Suponhamos, agora, que 00 C seja relativamente compacto. Pelo Teorema de
Ascoli-Arzelá usual, vemos facilmente que, para t / tn, n— 1 ,2 , . . . , m, os conjuntos 00(t) e 00(t)
são relativamente compactos e que 00 é equicontínuo em t.
Para estudarmos o caso em que t = /„, mostraremos, primeiramente, que para cada/z = 1,2,.. . ,m,
a função y/„(«) = " ( O é contínua.
Sejam e > 0 e w G Para todo v G B£^(u), existe <5,, > 0 tal que
| |v (C)-v( / , ! + /7 ) | |<e /3 ,
Um Teorema do Tipo Áscoli-Arzelá 118
quando 0 < h < 5,,. Com estas escolhas, para v E BEP(u) e 0 < h < <5 = min{<5w, 5,,}, temos
I K O - K O l l < I!"(',!) -u{tn + h)\\ + \\u{tn + h) -v(tn + h)\\ + \\v(t+) -v{tn + h)\\ < e,
o que prova que % é contínua e, portanto, &(t„) é relativamente compacto em X.
Mostraremos, agora, a eqiiicontinuidade de @ à direita de t — tn raciocinando por absurdo.
Suponhamos que existam e > 0 e sequências {uk}ke^ em ,L],X) e {hi}ie^ em E, com
0 < hj < 1 /i, tais que
||uk(t^) — uk(tn + hj)\\ > e.
Como @ é relativamente compacto em <^"íf([0,L],X), segue que existem uma subsequência de
{uk}kew, que denotaremos por { í / 1 } ^ ^ , e « e ,L],X) tais que uk{ m ,L],X)
quando k —»
Agora, pela continuidade de y/n, podemos fixar A^ G N tal que
||w(7+) - t / ( í , | ) j | < e, « = l , 2 , . . . ,m
e
||w* - m|| < e/3,
para todo k> Ne. Nestas condições, para k> Ne, temos
||M'(r+) - + II > \Wk(t+) - uk(tn + h)\\ - ||uk{tn + h) - u(t„ + h)||-
- | |m( Í+) -«*( Í+) | |>
> e - e / 3 - e / 3 = e/3,
o que é absurdo, pois u E ,L],X). Isto mostra que é equicontínua à direita em cada t„,
n= 1,2, . . . , m. Portanto a prova do teorema está completa.
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