Dinamica de Polonomios quadraticos e oQuebra-cabeca de Yoccoz
Arcelino LobatoOrientador: Sylvain Bonnot
IME - USP
Marco 18, 2016
Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
O que veremos
1 Breve historico.
2 Nocoes gerais.
3 A famılia quadratica.
4 O quebra-cabeca de Yoccoz.
Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
O que veremos
1 Breve historico.
2 Nocoes gerais.
3 A famılia quadratica.
4 O quebra-cabeca de Yoccoz.
Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
O que veremos
1 Breve historico.
2 Nocoes gerais.
3 A famılia quadratica.
4 O quebra-cabeca de Yoccoz.
Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
O que veremos
1 Breve historico.
2 Nocoes gerais.
3 A famılia quadratica.
4 O quebra-cabeca de Yoccoz.
Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
O que veremos
1 Breve historico.
2 Nocoes gerais.
3 A famılia quadratica.
4 O quebra-cabeca de Yoccoz.
Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
Breve historico
1 Cayley-Metodo de Newton em C (1879);
2 G. Julia e P. Fatou-Estudo sistematico de iteracoes de funcoesholomorfas (inıcio do seculo XX);
3 C.L.Siegel (1942);
4 Douady e Hubbard-Renascimento da dinamica holomorfa(inıcio dos anos 80).
Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
Breve historico
1 Cayley-Metodo de Newton em C (1879);
2 G. Julia e P. Fatou-Estudo sistematico de iteracoes de funcoesholomorfas (inıcio do seculo XX);
3 C.L.Siegel (1942);
4 Douady e Hubbard-Renascimento da dinamica holomorfa(inıcio dos anos 80).
Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
Breve historico
1 Cayley-Metodo de Newton em C (1879);
2 G. Julia e P. Fatou-Estudo sistematico de iteracoes de funcoesholomorfas (inıcio do seculo XX);
3 C.L.Siegel (1942);
4 Douady e Hubbard-Renascimento da dinamica holomorfa(inıcio dos anos 80).
Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
Breve historico
1 Cayley-Metodo de Newton em C (1879);
2 G. Julia e P. Fatou-Estudo sistematico de iteracoes de funcoesholomorfas (inıcio do seculo XX);
3 C.L.Siegel (1942);
4 Douady e Hubbard-Renascimento da dinamica holomorfa(inıcio dos anos 80).
Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
Breve historico
1 Cayley-Metodo de Newton em C (1879);
2 G. Julia e P. Fatou-Estudo sistematico de iteracoes de funcoesholomorfas (inıcio do seculo XX);
3 C.L.Siegel (1942);
4 Douady e Hubbard-Renascimento da dinamica holomorfa(inıcio dos anos 80).
Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
Dinamica holomorfa
Interesse:
entender o comportamento de f ◦n := f ◦ f ◦ · · · ◦ f︸ ︷︷ ︸n vezes
,
onde f : C −→ C e holomorfa
Definicao (funcao holomorfa)
Seja U ⊂ C um conjunto aberto. Vamos dizer que uma funcaof : U −→ C e holomorfa se para cada ponto z0 ∈ U existe umabola Bε(z0) ⊂ U de raio ε > 0 tal que f nessa bola pode ser escritacomo uma serie potencias convergente:
f (z) =∑
n≥0 an(z − z0)n para todo z ∈ Bε(z0).
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Dinamica holomorfa
Interesse:entender o comportamento de f ◦n := f ◦ f ◦ · · · ◦ f︸ ︷︷ ︸n vezes
,
onde f : C −→ C e holomorfa
Definicao (funcao holomorfa)
Seja U ⊂ C um conjunto aberto. Vamos dizer que uma funcaof : U −→ C e holomorfa se para cada ponto z0 ∈ U existe umabola Bε(z0) ⊂ U de raio ε > 0 tal que f nessa bola pode ser escritacomo uma serie potencias convergente:
f (z) =∑
n≥0 an(z − z0)n para todo z ∈ Bε(z0).
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Dinamica holomorfa
Interesse:entender o comportamento de f ◦n := f ◦ f ◦ · · · ◦ f︸ ︷︷ ︸n vezes
,
onde f : C −→ C e holomorfa
Definicao (funcao holomorfa)
Seja U ⊂ C um conjunto aberto. Vamos dizer que uma funcaof : U −→ C e holomorfa se para cada ponto z0 ∈ U existe umabola Bε(z0) ⊂ U de raio ε > 0 tal que f nessa bola pode ser escritacomo uma serie potencias convergente:
f (z) =∑
n≥0 an(z − z0)n para todo z ∈ Bε(z0).
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Dinamica holomorfa
A esfera de Riemann
C := C⋃{∞}
Com a topologiaτ := {U ⊂ C;U e aberto}
⋃{C−K∪{∞};K ⊂ C e compacto},
C e um espaco topologico compacto Hausdorff homeomorfo a S2.
U1 = C e Id(z) = z em U1;
U2 = C− {0}⋃{∞} e i(z) = 1
z em C− {0} e i(∞) = 0,
e um atlas holomorfo.
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Dinamica holomorfa
A esfera de Riemann
Funcao holomorfa na esfera de Riemann
Uma funcao f : C −→ C e holomorfa se f : C −→ C for holomorfa
e z 7→ 1
f ( 1z )
for holomorfa em uma vizinhanca de 0.
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Dinamica holomorfa
A esfera de Riemann
Funcao holomorfa na esfera de Riemann
Uma funcao f : C −→ C e holomorfa se f : C −→ C for holomorfa
e z 7→ 1
f ( 1z )
for holomorfa em uma vizinhanca de 0.
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Dinamica holomorfa
Extensao de um polinomio quadratico Pc = z2 + c em CNa variavel, w = 1
z , a aplicacao e dada numa vizinhanca de 0 por
w 7→ w2
1 + cw2= w2(1− cw2 + · · · ) = w2 − cw4 + · · · ,
logo holomorfa.
Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
Dinamica Holomorfa
A famılia quadratica
Q := {Pc ∈ Hol(C, C);Pc : z 7→ z2 + c com c ∈ C}
E a famılia que mais se estudou em Dinamica Holomorfa;
Todo polinomio quadratico P(z) = az2 + 2bz + d econformemente conjugado ao polinomio Pc(z) = z2 + c coma conjugacao S(z) = az + b e c = ad + b − b2.
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Dinamica Holomorfa
A famılia quadratica
Q := {Pc ∈ Hol(C, C);Pc : z 7→ z2 + c com c ∈ C}
E a famılia que mais se estudou em Dinamica Holomorfa;
Todo polinomio quadratico P(z) = az2 + 2bz + d econformemente conjugado ao polinomio Pc(z) = z2 + c coma conjugacao S(z) = az + b e c = ad + b − b2.
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Dinamica Holomorfa
A famılia quadratica
Q := {Pc ∈ Hol(C, C);Pc : z 7→ z2 + c com c ∈ C}
E a famılia que mais se estudou em Dinamica Holomorfa;
Todo polinomio quadratico P(z) = az2 + 2bz + d econformemente conjugado ao polinomio Pc(z) = z2 + c coma conjugacao S(z) = az + b e c = ad + b − b2.
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Dinamica Holomorfa
A famılia quadratica
Q := {Pc ∈ Hol(C, C);Pc : z 7→ z2 + c com c ∈ C}
E a famılia que mais se estudou em Dinamica Holomorfa;
Todo polinomio quadratico P(z) = az2 + 2bz + d econformemente conjugado ao polinomio Pc(z) = z2 + c coma conjugacao S(z) = az + b e c = ad + b − b2.
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Dinamica Holomorfa
Exemplo P0 = z2
Escrevendo z = re2πit teremos Pn0 (z) = r2ne2n+1πit , temos:
1 Pn0 (z)→∞ se r = |z | > 1;
2 Pn0 (z)→ 0 se r = |z | < 1;
3 sobre o cırculo |z | = 1, f e conjugada a S(t) = 2t mod 1.Se escrevemos t na expansao 2-adica S sera a aplicacaodeslocamento(shift).
4 note que P0(0) = 0 com P ′0(0) = 0 e P0(∞) =∞ comP ′0(∞) = 0
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Dinamica Holomorfa
Exemplo P0 = z2
Escrevendo z = re2πit teremos Pn0 (z) = r2ne2n+1πit , temos:
1 Pn0 (z)→∞ se r = |z | > 1;
2 Pn0 (z)→ 0 se r = |z | < 1;
3 sobre o cırculo |z | = 1, f e conjugada a S(t) = 2t mod 1.Se escrevemos t na expansao 2-adica S sera a aplicacaodeslocamento(shift).
4 note que P0(0) = 0 com P ′0(0) = 0 e P0(∞) =∞ comP ′0(∞) = 0
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Dinamica Holomorfa
Exemplo P0 = z2
Escrevendo z = re2πit teremos Pn0 (z) = r2ne2n+1πit , temos:
1 Pn0 (z)→∞ se r = |z | > 1;
2 Pn0 (z)→ 0 se r = |z | < 1;
3 sobre o cırculo |z | = 1, f e conjugada a S(t) = 2t mod 1.Se escrevemos t na expansao 2-adica S sera a aplicacaodeslocamento(shift).
4 note que P0(0) = 0 com P ′0(0) = 0 e P0(∞) =∞ comP ′0(∞) = 0
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Dinamica Holomorfa
Exemplo P0 = z2
Escrevendo z = re2πit teremos Pn0 (z) = r2ne2n+1πit , temos:
1 Pn0 (z)→∞ se r = |z | > 1;
2 Pn0 (z)→ 0 se r = |z | < 1;
3 sobre o cırculo |z | = 1, f e conjugada a S(t) = 2t mod 1.Se escrevemos t na expansao 2-adica S sera a aplicacaodeslocamento(shift).
4 note que P0(0) = 0 com P ′0(0) = 0 e P0(∞) =∞ comP ′0(∞) = 0
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Dinamica Holomorfa
Exemplo P0 = z2
Escrevendo z = re2πit teremos Pn0 (z) = r2ne2n+1πit , temos:
1 Pn0 (z)→∞ se r = |z | > 1;
2 Pn0 (z)→ 0 se r = |z | < 1;
3 sobre o cırculo |z | = 1, f e conjugada a S(t) = 2t mod 1.Se escrevemos t na expansao 2-adica S sera a aplicacaodeslocamento(shift).
4 note que P0(0) = 0 com P ′0(0) = 0 e P0(∞) =∞ comP ′0(∞) = 0
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Dinamica Holomorfa
Exemplo P0 = z2
Escrevendo z = re2πit teremos Pn0 (z) = r2ne2n+1πit , temos:
1 Pn0 (z)→∞ se r = |z | > 1;
2 Pn0 (z)→ 0 se r = |z | < 1;
3 sobre o cırculo |z | = 1, f e conjugada a S(t) = 2t mod 1.Se escrevemos t na expansao 2-adica S sera a aplicacaodeslocamento(shift).
4 note que P0(0) = 0 com P ′0(0) = 0 e P0(∞) =∞ comP ′0(∞) = 0
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Dinamica Holomorfa
Julia cheio K (Pc)
K (Pc) := {z ∈ C; supn≥ 0
{|Pnc (z)|} < +∞}
Exemplo
Figure: Julia cheioArcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
Dinamica Holomorfa
Exemplo
Figure: Julia cheio
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Dinamica Holomorfa
Propriedades de K (Pc)
1 K (Pc) 6= ∅;
2 K (Pc) e compacto;
3 C− K (Pc) e conexo.
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Propriedades de K (Pc)
1 K (Pc) 6= ∅;
2 K (Pc) e compacto;
3 C− K (Pc) e conexo.
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Propriedades de K (Pc)
1 K (Pc) 6= ∅;
2 K (Pc) e compacto;
3 C− K (Pc) e conexo.
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Propriedades de K (Pc)
1 K (Pc) 6= ∅;
2 K (Pc) e compacto;
3 C− K (Pc) e conexo.
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Dinamica Holomorfa
O conjunto de Julia J (Pc)
J (Pc) := ∂K (Pc)
Exemplo
(a) J (f−1) (b) J (f−0.123+i0.744))
Figure: conjunto de Julia
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O conjunto de Julia J (Pc)
J (Pc) := ∂K (Pc)
Exemplo
(a) J (f−1) (b) J (f−0.123+i0.744))
Figure: conjunto de JuliaArcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
Dinamica Holomorfa
Exemplo
(b) J (Pc); c =0.272371708245126 +i0.00115124735378853
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Dinamica Holomorfa
Propriedades de J (Pc)
1 J (Pc) 6= ∅;
2 J (Pc) e compacto;
3 forte dicotomia: J (Pc) e conexo ou um conjunto de Cantor.
Teorema
Se f nc (0)→∞, entao, J (Pc) e totalmente disconexo.
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Dinamica Holomorfa
Propriedades de J (Pc)
1 J (Pc) 6= ∅;
2 J (Pc) e compacto;
3 forte dicotomia: J (Pc) e conexo ou um conjunto de Cantor.
Teorema
Se f nc (0)→∞, entao, J (Pc) e totalmente disconexo.
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Dinamica Holomorfa
Propriedades de J (Pc)
1 J (Pc) 6= ∅;
2 J (Pc) e compacto;
3 forte dicotomia: J (Pc) e conexo ou um conjunto de Cantor.
Teorema
Se f nc (0)→∞, entao, J (Pc) e totalmente disconexo.
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Dinamica Holomorfa
Propriedades de J (Pc)
1 J (Pc) 6= ∅;
2 J (Pc) e compacto;
3 forte dicotomia: J (Pc) e conexo ou um conjunto de Cantor.
Teorema
Se f nc (0)→∞, entao, J (Pc) e totalmente disconexo.
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Dinamica Holomorfa
Propriedades de J (Pc)
1 J (Pc) 6= ∅;
2 J (Pc) e compacto;
3 forte dicotomia: J (Pc) e conexo ou um conjunto de Cantor.
Teorema
Se f nc (0)→∞, entao, J (Pc) e totalmente disconexo.
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Dinamica Holomorfa
O conjunto de Fatou
F(Pc) := C− J (Pc)
Propiedades de F(f ) e J (f )
1 F(f ) e aberto
2 F(f ) e J (f ) sao totalmente invariantes;i.e. f (F(f )) ⊂ F(f )e f −1(F(f )) ⊂ F(f )
3 F(f n) = F(f ) ⇒ J (f n) = J (f )
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Dinamica Holomorfa
O conjunto de Fatou
F(Pc) := C− J (Pc)
Propiedades de F(f ) e J (f )
1 F(f ) e aberto
2 F(f ) e J (f ) sao totalmente invariantes;i.e. f (F(f )) ⊂ F(f )e f −1(F(f )) ⊂ F(f )
3 F(f n) = F(f ) ⇒ J (f n) = J (f )
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Dinamica Holomorfa
O conjunto de Fatou
F(Pc) := C− J (Pc)
Propiedades de F(f ) e J (f )
1 F(f ) e aberto
2 F(f ) e J (f ) sao totalmente invariantes;i.e. f (F(f )) ⊂ F(f )e f −1(F(f )) ⊂ F(f )
3 F(f n) = F(f ) ⇒ J (f n) = J (f )
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Dinamica Holomorfa
O conjunto de Fatou
F(Pc) := C− J (Pc)
Propiedades de F(f ) e J (f )
1 F(f ) e aberto
2 F(f ) e J (f ) sao totalmente invariantes;i.e. f (F(f )) ⊂ F(f )e f −1(F(f )) ⊂ F(f )
3 F(f n) = F(f ) ⇒ J (f n) = J (f )
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Dinamica Holomorfa
O conjunto de Fatou
F(Pc) := C− J (Pc)
Propiedades de F(f ) e J (f )
1 F(f ) e aberto
2 F(f ) e J (f ) sao totalmente invariantes;i.e. f (F(f )) ⊂ F(f )e f −1(F(f )) ⊂ F(f )
3 F(f n) = F(f ) ⇒ J (f n) = J (f )
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Dinamica Holomorfa
Alguns problemas
1 Topologia: obter um modelo simples que descreva a topologiado Julia;
2 Geometria: Medida de Lebesgue e Dimensao de Hausdorff
Para o caso de polinomios quadraticos, a dinamica dascomponentes do conjunto de Fatou e um problema completamenteresolvido.
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Dinamica Holomorfa
Alguns problemas
1 Topologia: obter um modelo simples que descreva a topologiado Julia;
2 Geometria: Medida de Lebesgue e Dimensao de Hausdorff
Para o caso de polinomios quadraticos, a dinamica dascomponentes do conjunto de Fatou e um problema completamenteresolvido.
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Dinamica Holomorfa
Alguns problemas
1 Topologia: obter um modelo simples que descreva a topologiado Julia;
2 Geometria: Medida de Lebesgue e Dimensao de Hausdorff
Para o caso de polinomios quadraticos, a dinamica dascomponentes do conjunto de Fatou e um problema completamenteresolvido.
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Dinamica Holomorfa
Alguns problemas
1 Topologia: obter um modelo simples que descreva a topologiado Julia;
2 Geometria: Medida de Lebesgue e Dimensao de Hausdorff
Para o caso de polinomios quadraticos, a dinamica dascomponentes do conjunto de Fatou e um problema completamenteresolvido.
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Teorema (Teorema de classificacao de Sullivan)
Seja f uma funcao racional com grau(f ) ≥ 2 e U uma componenteperiodica do conjunto de Fatou, entao uma, e apenas uma, dasseguintes opcoes e satisfeita por U
1 U e uma bacia atratora;
2 U e uma petala atratora de um cıclo parabolico,isto e, existez0 ∈ ∂U tal que todo ponto de U converge para z0 poriteracao de f ;
3 U e simplesmente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional no disco unitario;
4 U e duplamente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional em um anel.
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Teorema (Teorema de classificacao de Sullivan)
Seja f uma funcao racional com grau(f ) ≥ 2 e U uma componenteperiodica do conjunto de Fatou, entao uma, e apenas uma, dasseguintes opcoes e satisfeita por U
1 U e uma bacia atratora;
2 U e uma petala atratora de um cıclo parabolico,isto e, existez0 ∈ ∂U tal que todo ponto de U converge para z0 poriteracao de f ;
3 U e simplesmente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional no disco unitario;
4 U e duplamente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional em um anel.
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Teorema (Teorema de classificacao de Sullivan)
Seja f uma funcao racional com grau(f ) ≥ 2 e U uma componenteperiodica do conjunto de Fatou, entao uma, e apenas uma, dasseguintes opcoes e satisfeita por U
1 U e uma bacia atratora;
2 U e uma petala atratora de um cıclo parabolico,isto e, existez0 ∈ ∂U tal que todo ponto de U converge para z0 poriteracao de f ;
3 U e simplesmente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional no disco unitario;
4 U e duplamente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional em um anel.
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Teorema (Teorema de classificacao de Sullivan)
Seja f uma funcao racional com grau(f ) ≥ 2 e U uma componenteperiodica do conjunto de Fatou, entao uma, e apenas uma, dasseguintes opcoes e satisfeita por U
1 U e uma bacia atratora;
2 U e uma petala atratora de um cıclo parabolico,isto e, existez0 ∈ ∂U tal que todo ponto de U converge para z0 poriteracao de f ;
3 U e simplesmente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional no disco unitario;
4 U e duplamente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional em um anel.
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Teorema (Teorema de classificacao de Sullivan)
Seja f uma funcao racional com grau(f ) ≥ 2 e U uma componenteperiodica do conjunto de Fatou, entao uma, e apenas uma, dasseguintes opcoes e satisfeita por U
1 U e uma bacia atratora;
2 U e uma petala atratora de um cıclo parabolico,isto e, existez0 ∈ ∂U tal que todo ponto de U converge para z0 poriteracao de f ;
3 U e simplesmente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional no disco unitario;
4 U e duplamente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional em um anel.
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Dinamica Holomorfa
(c) bacia de atracao (d) Petala atratora
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Dinamica Holomorfa
(e) Disco de Siegel (f) Anel de Herman
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Dinamica Holomorfa
O conjunto de Mandelbrot
M := {c ∈ C;J (Pc) e conexo}= {c ∈ C; sup
n≥0{f nc (0)} <∞}
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Dinamica Holomorfa
O conjunto de Mandelbrot
M := {c ∈ C;J (Pc) e conexo}
= {c ∈ C; supn≥0{f nc (0)} <∞}
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Dinamica Holomorfa
O conjunto de Mandelbrot
M := {c ∈ C;J (Pc) e conexo}= {c ∈ C; sup
n≥0{f nc (0)} <∞}
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Dinamica Holomorfa
Figure: Conjunto de Mandelbrot
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(a) Mandelbrot (b) pequena copia de M em M
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Dinamica Holomorfa
Conjectura (Douady-Hubbard)
M e localmente conexo.
Ja temos pronto um modelo topologico-combinatorio para M casoele seja localmente conexo.
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Dinamica Holomorfa
Conjectura (Douady-Hubbard)
M e localmente conexo.
Ja temos pronto um modelo topologico-combinatorio para M casoele seja localmente conexo.
Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
Dinamica Holomorfa
Ponto fixo
z0 ∈ C tal que Pc(z0) = z0.
multiplicador de um ponto fixo: λ := f ′(z0)
1 Se |λ| < 1 denominamos z0 de ponto fixo atrator;
Se |λ| = 0 denominamos z0 de ponto fixo superatrator;
2 Se |λ| > 1 denominamos z0 de ponto fixo repulsor;
3 Se |λ| = 1 denominamos z0 de ponto fixo indiferente:
Se λ = e2πi pq com pq ∈ Q, denominamos z0 de ponto fixo
parabolico;
Se nao, denominamos z0 de ponto fixo irracionalmenteindiferente.
Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
Dinamica Holomorfa
Ponto fixo
z0 ∈ C tal que Pc(z0) = z0.
multiplicador de um ponto fixo: λ := f ′(z0)
1 Se |λ| < 1 denominamos z0 de ponto fixo atrator;
Se |λ| = 0 denominamos z0 de ponto fixo superatrator;
2 Se |λ| > 1 denominamos z0 de ponto fixo repulsor;
3 Se |λ| = 1 denominamos z0 de ponto fixo indiferente:
Se λ = e2πi pq com pq ∈ Q, denominamos z0 de ponto fixo
parabolico;
Se nao, denominamos z0 de ponto fixo irracionalmenteindiferente.
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Dinamica Holomorfa
Ponto fixo
z0 ∈ C tal que Pc(z0) = z0.
multiplicador de um ponto fixo: λ := f ′(z0)
1 Se |λ| < 1 denominamos z0 de ponto fixo atrator;
Se |λ| = 0 denominamos z0 de ponto fixo superatrator;
2 Se |λ| > 1 denominamos z0 de ponto fixo repulsor;
3 Se |λ| = 1 denominamos z0 de ponto fixo indiferente:
Se λ = e2πi pq com pq ∈ Q, denominamos z0 de ponto fixo
parabolico;
Se nao, denominamos z0 de ponto fixo irracionalmenteindiferente.
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Dinamica Holomorfa
Ponto fixo
z0 ∈ C tal que Pc(z0) = z0.
multiplicador de um ponto fixo: λ := f ′(z0)
1 Se |λ| < 1 denominamos z0 de ponto fixo atrator;
Se |λ| = 0 denominamos z0 de ponto fixo superatrator;
2 Se |λ| > 1 denominamos z0 de ponto fixo repulsor;
3 Se |λ| = 1 denominamos z0 de ponto fixo indiferente:
Se λ = e2πi pq com pq ∈ Q, denominamos z0 de ponto fixo
parabolico;
Se nao, denominamos z0 de ponto fixo irracionalmenteindiferente.
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Dinamica Holomorfa
Ponto fixo
z0 ∈ C tal que Pc(z0) = z0.
multiplicador de um ponto fixo: λ := f ′(z0)
1 Se |λ| < 1 denominamos z0 de ponto fixo atrator;
Se |λ| = 0 denominamos z0 de ponto fixo superatrator;
2 Se |λ| > 1 denominamos z0 de ponto fixo repulsor;
3 Se |λ| = 1 denominamos z0 de ponto fixo indiferente:
Se λ = e2πi pq com pq ∈ Q, denominamos z0 de ponto fixo
parabolico;
Se nao, denominamos z0 de ponto fixo irracionalmenteindiferente.
Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
Dinamica Holomorfa
Ponto fixo
z0 ∈ C tal que Pc(z0) = z0.
multiplicador de um ponto fixo: λ := f ′(z0)
1 Se |λ| < 1 denominamos z0 de ponto fixo atrator;
Se |λ| = 0 denominamos z0 de ponto fixo superatrator;
2 Se |λ| > 1 denominamos z0 de ponto fixo repulsor;
3 Se |λ| = 1 denominamos z0 de ponto fixo indiferente:
Se λ = e2πi pq com pq ∈ Q, denominamos z0 de ponto fixo
parabolico;
Se nao, denominamos z0 de ponto fixo irracionalmenteindiferente.
Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
Dinamica Holomorfa
Ponto fixo
z0 ∈ C tal que Pc(z0) = z0.
multiplicador de um ponto fixo: λ := f ′(z0)
1 Se |λ| < 1 denominamos z0 de ponto fixo atrator;
Se |λ| = 0 denominamos z0 de ponto fixo superatrator;
2 Se |λ| > 1 denominamos z0 de ponto fixo repulsor;
3 Se |λ| = 1 denominamos z0 de ponto fixo indiferente:
Se λ = e2πi pq com pq ∈ Q, denominamos z0 de ponto fixo
parabolico;
Se nao, denominamos z0 de ponto fixo irracionalmenteindiferente.
Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz
Dinamica Holomorfa-A Coordenada de Bottcher
Teorema
Dada Pc . Para R grande o suficiente existe uma unica aplicacao
φ : {|z | > R} −→ C
que e biholomorfa de V := {|z | > R} em φ(V ) tal queφ(Pc(z)) = (φ(z))2.
φ e chamada de coordenada de Bottcher.
Teorema
Se c ∈M a coordenada de Bottcher φ nos da a uniformizacao deC− K (Pc), isto e, φ e a aplicacao de Riemann de C− K (Pc) ateC− D.
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Dinamica Holomorfa-A Coordenada de Bottcher
Teorema
Dada Pc . Para R grande o suficiente existe uma unica aplicacao
φ : {|z | > R} −→ C
que e biholomorfa de V := {|z | > R} em φ(V ) tal queφ(Pc(z)) = (φ(z))2.
φ e chamada de coordenada de Bottcher.
Teorema
Se c ∈M a coordenada de Bottcher φ nos da a uniformizacao deC− K (Pc), isto e, φ e a aplicacao de Riemann de C− K (Pc) ateC− D.
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Dinamica Holomorfa-A Coordenada de Bottcher
Teorema
Dada Pc . Para R grande o suficiente existe uma unica aplicacao
φ : {|z | > R} −→ C
que e biholomorfa de V := {|z | > R} em φ(V ) tal queφ(Pc(z)) = (φ(z))2.
φ e chamada de coordenada de Bottcher.
Teorema
Se c ∈M a coordenada de Bottcher φ nos da a uniformizacao deC− K (Pc), isto e, φ e a aplicacao de Riemann de C− K (Pc) ateC− D.
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Dinamica Holomorfa-Raios externos e equipotenciais
Definicao (Raio externo)
Dado t ∈ R mod 1 definimos a curvaRt := {z ∈ C; arg (φ(z)) = t}
Definicao (Equipotencial)
Dado R > 1 definimos a curva ER := {z ∈ C; |φ(z)| = R}
Como Pc = φ−1 ◦ θ ◦ φ em C− K (Pc), onde θ(z) := z2, temosPc(Rt) = R2t e Pc(ER) = ER2 . Em particular,se t0 e periodicopara t 7→ 2t mod 1, entao Rt0 e aplicado sobre si por algumiterado de Pc
R0 e o unico raio de K (Pc) que e fixo.
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Dinamica Holomorfa-Raios externos e equipotenciais
Definicao (Raio externo)
Dado t ∈ R mod 1 definimos a curvaRt := {z ∈ C; arg (φ(z)) = t}
Definicao (Equipotencial)
Dado R > 1 definimos a curva ER := {z ∈ C; |φ(z)| = R}
Como Pc = φ−1 ◦ θ ◦ φ em C− K (Pc), onde θ(z) := z2, temosPc(Rt) = R2t e Pc(ER) = ER2 . Em particular,se t0 e periodicopara t 7→ 2t mod 1, entao Rt0 e aplicado sobre si por algumiterado de Pc
R0 e o unico raio de K (Pc) que e fixo.
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Dinamica Holomorfa-Raios externos e equipotenciais
Definicao (Raio externo)
Dado t ∈ R mod 1 definimos a curvaRt := {z ∈ C; arg (φ(z)) = t}
Definicao (Equipotencial)
Dado R > 1 definimos a curva ER := {z ∈ C; |φ(z)| = R}
Como Pc = φ−1 ◦ θ ◦ φ em C− K (Pc), onde θ(z) := z2, temosPc(Rt) = R2t e Pc(ER) = ER2 . Em particular,se t0 e periodicopara t 7→ 2t mod 1, entao Rt0 e aplicado sobre si por algumiterado de Pc
R0 e o unico raio de K (Pc) que e fixo.
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Dinamica Holomorfa-A Coordenada de Bottcher
(c) raios externos (d) equipotenciais
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Dinamica Holomorfa-Quebra-cabeca de Yoccoz
Figure: Conjugacao
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Dinamica Holomorfa-Quebra-cabeca de Yoccoz
E uma particao dinamica do Julia cheio.
Figure: A basılica
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Dinamica Holomorfa
Aplicacoes
1 descricao combinatoria do Julia;
2 area e conexidade local do Julia;
3 conexidade local do Mandelbrot e a area de sua fronteira;
4 rigidez combinatoria;
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Dinamica Holomorfa
Aplicacoes
1 descricao combinatoria do Julia;
2 area e conexidade local do Julia;
3 conexidade local do Mandelbrot e a area de sua fronteira;
4 rigidez combinatoria;
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Dinamica Holomorfa
Aplicacoes
1 descricao combinatoria do Julia;
2 area e conexidade local do Julia;
3 conexidade local do Mandelbrot e a area de sua fronteira;
4 rigidez combinatoria;
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Referencias:
MILNOR, John. Dynamics in one complex variable, 3rdedition. Annals of Mathematics studies series no.160,Princeton University Press, 2006.
MILNOR, John. Local connectivity of the Julia sets:expositorylectures, in The Mandelbrot Set, Theme and Variations, Edit.Tan Lei. Cambridge U. Press, Cambridge, UK, 67-116, 2014.
L. Carleson and T. Gamelin. Complex Dynamics,Springer-Verlag, New York, 1993.
C. McMullen. Complex Dynamics and Renormalization, Ann.Math. Studies 135, Princeton U. Press, Princeton, 1994.
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OBRIGADO!
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