Decomposição de funções racionais PRÓPRIAS

Se é racional própria e

com então existem constantes (únicas) tais que

Sobre fatoração de termos quadráticosLembre-se de que:

em que são as raízes do polinômio de segundo grau, ou seja, fazem com que

Exemplo:

Sobre soma e produto das raízes do trinômio

Lembre-se de que para , sendo as raízes então

Exemplo: encontrar, mentalmente, as raízes de

Procure por dois números tais que

Não é difícil perceber que: e .

Exemplo 1Decompor em frações parciais

1ª providência: fatorar o denominadorPara tal, precisamos de conhecer suas raízes, ou seja, números que fazem com que

Exemplo 1Decompor em frações parciais

1ª providência: fatorar o denominadorProcure dois números que adicionados dê 10 e multiplicados dê 21. Não é difícil.

Exemplo 1Decompor em frações parciais

1ª providência: fatorar o denominadorProcure dois números que adicionados dê 10 e multiplicados dê 21. Não é difícil.

Exemplo 1Decompor em frações parciais

1ª providência: fatorar o denominadorAssim, as raízes do polinômio que está no denominador são: e . Desse modo,

Exemplo 1Decompor em frações parciais

2ª providência: Escrever a fração original com o denominador fatorado.

Exemplo 1Decompor em frações parciais

3ª providência: Escrever a decomposição genérica

Exemplo 1

Você deve descobrir os valores das constantes A e B. Há pelo menos três formas de fazer isso.

1ª Solução: encontre o mínimo múltiplo comum no primeiro membro e compare o polinômio do numerador da fração da esquerda com o polinômio do numerador da direita.

Exemplo 1

Já que os denominadores já são iguais, resta pedir que sejam iguais também os numeradores. Assim, devemos ter:

Exemplo 1

Agora, desenvolvendo o membro direito ficaremos com:

Exemplo 1

Comparando os polinômios passaremos a ter o seguinte sistema:

Observe que esse sistema 2x2 apareceu porque tínhamos um denominador com DOIS FATORES LINEARES DISTINTOS. Se o número de fatores fosse quatro, o sistema seria 4x4. Sabe resolver um sistema assim? Um pouco trabalhoso, não? Vamos continuar com a resolução.

Exemplo 1

Vamos multiplicar ambos os membros por 3? Ficaremos com:

Adicionando as duas equações teremos:

Exemplo 1

Agora, como , substituindo esse valor na primeira equação (por exemplo) ficaremos com:

Assim,

Exemplo 1Desse modo,

e a decomposição está feita.

Exemplo 1Qual é o problema ou a limitação desse procedimento?

• Fica muito trabalhoso se estiver diante de situações onde o denominador é um polinômio com três ou mais fatores distintos. O sistema passa a ser 3x3, 4x4, 5x5 etc.

• É possível resolver esses sistemas? Claro que sim. O método de escalonamento está aí para isso, mas, se possível, vamos usar um caminho com menos espinhos.

Exemplo 1Do slide 12 temos que

2ª Solução: Consiste em fazer uso do “” e do fato de que existe uma única solução (não vamos discutir o porquê disso... Teremos fé ;-))

Exemplo 1Do slide 12 temos que

2ª Solução: Ora, se a relação é válida para TODO número real, em particular deve valer para alguns valores que escolheremos a dedo. Qual seria um bom valor para colocar no lugar do “x”?

Exemplo 1Do slide 12 temos que

2ª Solução: A ideia é deixar apenas um parâmetro. Por exemplo: se queremos descobrir o valor de “A”, então a parcela que está com o “B” deve anular e isso acontece se “”. Assim, fazendo , ficaremos com:

Exemplo 1Do slide 12 temos que[]

Não importa qual é o valor de “B”, o produto “” sempre e assim,

Exemplo 1

de onde vem que

De volta a mesma expressão:

podemos encontrar o valor de “B” se a parcela com o “A” se anular e isso ocorrerá se . Daí,

Exemplo 1

[]

de onde vem que

Exemplo 1Desse modo, temos mais uma vez,

e a decomposição está feita.

Exemplo 1Do slide 11 temos que

3ª Solução: Consiste em fazer uso do “” e do fato de que existe uma única solução logo na igualdade inicial depois que deixar o parâmetro que quer encontrar seu valor “desacompanhado” da variável “x”.

Exemplo 1Do slide 11 temos que

Veremos que chegaremos no seguinte:

Exemplo 1Do slide 11 temos que

Vejamos como: [A] Para descobrir o valor de “A” multiplicamos ambos os membros pelo DENOMINADOR de [A]. Ficamos então com:

Exemplo 1

Cancelando os termos idênticos ficaremos com

Agora, pense em uma escolha boa para o valor que vai atribuir ao “x”. Deve ser tal que a parcela que está com o “B” seja anulada. Logicamente, devemos fazer . Ficaremos então com:

Exemplo 1

de onde vem (já que a última parcela é nula) que

Ou seja,

Exemplo 1Do slide 11 temos que

Vejamos como: [B] Para descobrir o valor de “B” multiplicamos ambos os membros pelo DENOMINADOR de [B]. Ficamos então com:

Exemplo 1

Cancelando os termos idênticos ficaremos com

Agora, pense em uma escolha boa para o valor que vai atribuir ao “x”. Deve ser tal que a parcela que está com o “A” seja anulada. Logicamente, devemos fazer . Ficaremos então com:

Exemplo 1

de onde vem (já que a primeira parcela é nula) que

Ou seja,

Exemplo 1Desse modo, temos mais uma vez,

e a decomposição está feita.

Simples assim...

Tudo de bom.Luís Cláudio LA

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