Potenciação, Radiciação e FatoraçãoPotenciação, Radiciação e Fatoração

Profª.: Daniela Fontana Almenara

Cursinho DarwinCursinho Darwin

ResumoResumo Potenciação

◦ Propriedades da potenciação

◦ Expoente inteiro e negativo

Radiciação

◦ Expoente fracionário racional

◦ Propriedades da radiciação

Fatoração

◦ Casos típicos

PotenciaçãoPotenciação

a) Base positiva: potência positiva

b) Base negativa:

b.1) expoente par: potência positiva

b.2) expoente ímpar: potência negativa

81

16

3

2

3

24

44

==

813)3).(3).(3).(3()3( 44 ==−−−−=−

8

1

2

1

2

1.

2

1.

2

1

2

133

−=

−=

−

−

−=

−

Propriedades da PotenciaçãoPropriedades da Potenciação

53232

nmnm

5555

aaa

==⋅

=⋅+

+1) Produto de potências de mesma base

Ex:

2) Quociente de potências de mesma base

42-62

6

n-mn

m

222

2

0)(a aa

a

==

≠=

Ex:

3) Potência de potência

62.332

m.nnm

33)(3

a)(a

==

=

Ex:

4) Potência de um produto

Ex:2222

mmm

204.5(5.4)

.a(a.b)

==

= b

Propriedades da PotenciaçãoPropriedades da Potenciação

Propriedades da PotenciaçãoPropriedades da Potenciação

5) Potência de um quociente

Ex:

81

16

9

4

9

4

0)(b b

a

b

a

2

22

m

mm

==

≠=

Potência com expoente inteiro negativoPotência com expoente inteiro negativo

)RN, a(naa

a *n

nn ∈∈=

=−

11

3

5

3

5

5

3

9

1

3

1

3

1)3(

11

2

22

−=

−=

−

==

=

−

−Ex:

ExemploExemplo

( )[ ]

5142

1

2

14

2

1

2

1

1

2

222

1

11

12

1112

=+=

++

=

−−+

=−−+

−−

−

−−−−

RadiciaçãoRadiciação

008,0)2,0(2,010

2

10

2

1000

8008,0

32)2(2)2(32

333

3

33

55 55

=→====

−=−→−=−=−

É a operação inversa da potenciação.

Potência com expoente fracionário racionalPotência com expoente fracionário racional

Z) m N R, n (a aa *n mn

m

∈∈∈= e

273999

1

244)4(

32 32

32

3

2 12

1

====

===−

Propriedades da RadiciaçãoPropriedades da Radiciação

4444

nnn

6323 2:

abb a 1)

=⋅=⋅

=⋅

Ex

333

3

nn

n

32

6

2

6:

0)(b b

a

b

a2)

==

≠=

Ex

Propriedades da RadiciaçãoPropriedades da Radiciação

15533 5

nmn m

333:

aa 4)

==

=

⋅Ex

( )( ) 3 223

n mmn

22:

aa 3)

=

=

Ex

FATORAR UM POLINÔMIO FATORAR UM POLINÔMIO SIGNIFICA ESCREVE-LÔ NA SIGNIFICA ESCREVE-LÔ NA FORMA DE UM PRODUTO DE FORMA DE UM PRODUTO DE DOIS OU MAIS POLINÔMIOSDOIS OU MAIS POLINÔMIOS..

FatoraçãoFatoração

Estudaremos a partir de agora alguns casos de Estudaremos a partir de agora alguns casos de fatoração muito importantes para o fatoração muito importantes para o desenvolvimento do cálculo algébrico.desenvolvimento do cálculo algébrico.

• Fator comum em evidência;

• Agrupamento;

• Diferença de dois quadrados;

• T.Q.P. – Trinômio do Quadrado Perfeito;

.

A forma fatorada é o produto do fator comum por uma expressão que é obtida dividindo-se a expressão

inicial pelo fator comum.

Fator comum em evidênciaFator comum em evidência

Quando todos os termos de uma expressão algébrica apresentam um fator comum, podemos colocá-lo em evidência

Por exemplo:

• Na expressão ab + ac, o fator a aparece nos dois termos, este é o fator comum.

Atenção!!!Atenção!!!

Na expressão 6x3 + 8x2. O fator comum é 2x2 porque 2 e o maior divisor comum de 6 e 8 e x2 é o termo de menor expoente

Fatoração por AgrupamentoFatoração por Agrupamento

Para fatorar uma expressão algébrica por agrupamento:

• Formamos grupos com os termos da expressão;

• Em cada grupo, colocamos os fatores comuns em evidência;

• Colocamos em evidência o fator comum a todos os grupos (se existir).

Exemplos:Exemplos:

x2 – ay +xy – ax= x2 – ax + xy – ay = x(x – a) + y(x – a)

= (x – a)(x + y)

ax + bx +2a + 2b= x(a + b) + 2(a + b) = (a + b)(x + 2)

y3 – 5y2 + y – 5 = y2(y – 5) +1(y – 5) = (y – 5)(y2 + 1)

aa2 2 – b– b2 2 = (a + b)(a – b)= (a + b)(a – b)

Diferença de dois quadradosDiferença de dois quadrados Neste processo verificamos que:

aa22 +2ab + b +2ab + b2 2 == (a + b)(a + b)2 2

aa22 – 2ab +b – 2ab +b2 2 == (a – b)(a – b)2 2

Trinômio do Quadrado PerfeitoTrinômio do Quadrado Perfeito

Para reconhecer se um trinômio é um quadrado perfeito, proceda da seguinte forma:

•Verifique se a expressão tem dois termos que são quadrados perfeitos (a2 e b2);

•Determine as raízes desses quadrados (a e b);

•Verifique se o 3.º termo é o dobro do produto dessas raízes (+2ab ou –2ab).

ExemplosExemplos

AtençãoAtenção

Soma e Diferença de CubosSoma e Diferença de Cubos

aa33 + b + b3 3 == (a + b) . (a(a + b) . (a22 – ab + b – ab + b22))

aa33 – – bb3 3 == (a (a – – b) . (ab) . (a22 – ab + b – ab + b22))

ExemplosExemplos

xx33 + 8 + 8 == xx33 + 2 + 233 = (x + 2) (x = (x + 2) (x22 – 2x + 4) – 2x + 4)

xx33 – 125 – 125 == xx33 – 5 – 533 = (x – 5) (x = (x – 5) (x22 + 5x + 25) + 5x + 25)

Cubo PerfeitoCubo Perfeito

aa33 + 3a + 3a22b + 3abb + 3ab22 + b + b3 3 ==

(a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b)(a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b)3 3

aa33 – 3a – 3a22b + 3abb + 3ab22 –– b b3 3 ==

(a (a –– b) . (a b) . (a –– b) . (a b) . (a –– b) = (a b) = (a –– b) b)3 3

ReferênciasReferências

http://www.authorstream.com/Presentation/rolim_marcus-497592-revis-o-matem-tica-b-sica/ http://www.4shared.com/document/UaFLUrcs/REGRAS_DE_POTENCIAO_E_RADICIAO.html http://www.4shared.com/document/hFxPWTXt/aula_3_Potenciao_e_radiciao.html http://www.alunosonline.com.br/matematica/potenciacao.html www.somatematica.com.br

Profª: Daniela Fontana Almenara

Blog: http://oxyzdamatemática.blogspot.com