1/ 36
Física 1Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Momento Linear
01/10/2014
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 1 / 33
effete
3/ 36
Momento Linear
No estudo de sistemas de partículas, uma grandeza que serábastante útil para descrever o movimento é o Momento Linear.Essa é uma grandeza extremamente importante pois em algumascircunstâncias ela é conservada. Junto com a Lei de Conservaçãode Energia, a Lei de Conservação do Momento Linear ajuda adescrever uma quantidade enorme de processos físicos, já tendolevado a grandes descobertas e invenções.
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 3 / 33
4/ 36
Momento Linear
O Momento Linear (p) de uma partícula é definido por:
p m vPodemos expressar a Segunda Lei de Newton para umapartícula em termos de p:
F m a mdvdt
d mvdt
dpdt
Segunda Lei de Newton
Fdpdt
A Resultante das Forças que atuam sobre uma partícula é igual àtaxa de variação do momento linear
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 4 / 33
5/ 36
Momento Linear
p m vVemos que p é um vetor que tem a mesma direção e sentido de v‹ tangente à trajetória.
Esta equação pode ser escrita em 3 componentes:
px mvx py mvy pz mvz
Sua unidade no SI é kg.m/s(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 5 / 33
6/ 36
Momento Linear de um sistema de partículas
O momento linear total de um sistema de partículas é definidocomo:
P p1 p2 pn
P m1v1 m2v2 mnvn
P M VCM
Derivando esta equação:
dPdt
M ACM
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 6 / 33
7/ 36
Momento Linear de um sistema de partículas
O momento linear total de um sistema de partículas é definidocomo:
P p1 p2 pn
P m1v1 m2v2 mnvn
P M VCM
Derivando esta equação:
dPdt
M ACM
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 6 / 33
8/ 36
Momento Linear de um sistema de partículas
O momento linear total de um sistema de partículas é definidocomo:
P p1 p2 pn
P m1v1 m2v2 mnvn
P M VCM
Derivando esta equação:
dPdt
M ACM
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 6 / 33
9/ 36
Conservação do Momento Linear
dPdt
Fext
O momento linear de um sistema se conserva quandoa soma das forças externas que atuam sobre ele fornulaNote que não é necessário que não haja forças externas, acondição é que a soma se anule.
Assim como a Lei de Conservação da Energia, a Lei deConservação do Momento Linear é mais geral que a MecânicaNewtoniana, ela continua válida na física de partículassubatômicas (Mecânica Quântica) e a altas velocidades (Teoriada Relatividade).
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 7 / 33
10/ 36
Conservação do Momento Linear
dPdt
Fext
O momento linear de um sistema se conserva quandoa soma das forças externas que atuam sobre ele fornulaNote que não é necessário que não haja forças externas, acondição é que a soma se anule.
Assim como a Lei de Conservação da Energia, a Lei deConservação do Momento Linear é mais geral que a MecânicaNewtoniana, ela continua válida na física de partículassubatômicas (Mecânica Quântica) e a altas velocidades (Teoriada Relatividade).
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 7 / 33
11/ 36
Conservação do Momento Linear
dPdt
Fext P M VCM
Vemos que se Fext 0 ‹ P é constante ‹ VCM constante:
Se Fext 0 o CM permanece em repouso ou MRU.
Essa é uma equação vetorial, portanto pode ser decomposta em 3componentes:
dPx
dtFext
xdPy
dtFext
ydPz
dtFext
z
Vemos que se apenas uma das componentes da resultante dasforças se anular, teremos a conservação do momento linear nessadireção correspondente e não nas outras.
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 8 / 33
12/ 36
Aplicação
Um par de partículas de massas m1 e m2 ligadas por uma mola écolocado sobre uma superfície horizontal. Inicialmente o sistemaé mantido em repouso com a mola comprimida. O que acontecequando soltamos as partículas?
a) na ausência de atrito. Qual se moverá com maior velocidade?A energia mecânica se conserva?b) com coeficiente de atrito igual para os dois. Consideremassas iguais e massas diferentes.
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 9 / 33
13/ 36
a) Na ausência de atrito, as forças externas são o peso e anormal, que se anulam: P se conserva.
Pantes Pdepois 0 m1v1 m2v2
v1m2
m1v2
se m1 m2 v1 v2 ‹ a partícula de maior massa se movecom menor velocidade.
Como não há atrito (força dissipativa) a energia mecânica seconserva e o sistema permanecerá nesse movimento oscilatórioindefinidamente, com o CM sempre em repouso.
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 10 / 33
14/ 36
b) As forças de atrito valem m1g e m2g e tem sentidosopostos.
Se as massas são iguais Fext 0 e ‹ P se conserva, o CMcontinua parado, e v1 v2
Se m1 m2 ‹ Fext 0 ‹ P não se conserva.Fext MACM o centro de massa passa a se mover.
Como há atrito (força dissipativa) a energia mecânica não seconserva e a amplitude do movimento oscilatório irá diminuir atéo sistema parar.
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 11 / 33
15/ 36
Exemplo
(Ex. Halliday) Um astronauta de massa ma está flutuandodentro de uma nave espacial. Ele quer se mover, e pra isso lançaseu casaco, de massa mc com velocidade vc em uma certadireção. Qual será a sua velocidade? Suponhama 70kg mc 1kg vc 20m s . Como varia sua energiacinética?
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 12 / 33
aheadToothaches
16/ 36(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 13 / 33
Tenos que is collar mm like wondered do convenient :
x ao longo da tangent do MCU e positive no
Senti do em que o case - e'
atinado .
A resultant ohas for qas extends some o sistema
astronauts + casaco I perpendicular ao moviweuto
E FIT =o ⇒Pse e- rate ⇒ Van = ate = 0
0 = Ma Va + me Va
Va = - M= We = - 1×20 = 0.3 m/s
70Ma
Como 0 astronauts I bem mais Massimo que o
casaeo,
siege veloeiolade e- bem Menor
17/ 36
Recuo de Arma de fogo
Um canhão de massa M dispara uma bala de massa m nadireção horizontal com velocidade v em relação ao canhão. Ocanhão está montado de forma a que possa recuar livremente.Qual a velocidade V de recuo do canhão em relação à Terra?Suponha m 72kg M 1300kg v 55m s
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 14 / 33
mMV Ted era
snoozes
18/ 36(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 15 / 33
considering o si stems contra t bole
÷Tse [ E 't=o Pm se comma
Pi =O Pg = MV + m Vbt
% = Vbc + Vct = V + ✓
0 = MV + m ( vtv )
V = - mv.
Mt in
✓ = - 2.9 m / b
19/ 36
Barco Pessoa
Um remador de massa m , sentado na popa de uma canoa demassa M e comprimento L conseguiu trazê-la para uma posiçãoque está parada perpendicularmente à margem de um lago, quenesse ponto forma um barranco, com a proa encostada numaestaca, onde o remador quer amarrar a canoa. Ele se levanta ecaminha até a proa, o que leva a canoa a afastar-se da margem.Chegando à proa, ele consegue, esticando o braço, alcançar atéuma distância de 80cm. Ele consegue amarrar o barco? Se não,quanto falta?Suponha m 75kg M 150kg L 3m
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 16 / 33
20/ 36(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 17 / 33
E FELT= o => Pse se eonswa
,Van se cover -
ra . Van to ⇒ Xcn =ate
.
M
mm= Xm = M 42 + ml0
Xcm-
m ! M + m.rex
4 × Xcn = md + M ( 42 td )d m
-
Mt n
ignalomolo os do's
Myz+ m L = nd + M¥+ Ma
D= in L=
75×3 =
1m⇐
- M 150 +75
⇒ win consign ,faltan so on
21/ 36
Barco Pessoa(s)
Duas pessoas, de massas m1 e m2 estão em um barco de massaM , que flutua em um lago de águas tranquilas. A primeira estáremando no centro e a outra na proa, a uma distância d docentro. Depois de um tempo elas trocam de lugar. De quanto obarco se deslocará? Suponham1 80kg m2 120kg M 60kg d 2m
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 18 / 33
22/ 36(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 19 / 33
m , MZ
tmz M (
n -=\an = Ma 0 t Mix Of M2
&/M+m , tmz
Xcn = M se t mz N + mi (d+~)/M+m
, + mz
Mzd = (M tmz t m , ) a + mid
R = MZ -
if d= 0.308 -
M + ml + mi
23/ 36
Um canhão montado sobre uma carreta apontado em umadireção que faz um ângulo de 30 com a horizontal, atira umabala de 50kg, cuja velocidade na boca do canhão é de 300m/s. Amassa total do canhão e da carreta é de 5 toneladas.a) Calcule a velocidade de recuo inicial da carretab) Se o coeficiente de atrito cinético é 0,7, de que distância acarreta recua?
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 20 / 33
24/ 36(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 21 / 33
. 0=300 Mb = 50kgOi .
Vb = 30 nuts Me = 5 × 103 kg
E. Feet= 0 = > Pm se conserve
I
them se conserve = > Xeon = 0
0 = Mb Vbse + Me Ven
Ven = - Mb Tba= - 50 × 300 cos 30
= - 2.com/s-e 5 × 103
b) he = 0.7 fat =µ .N = Me me g
Wfat = A K
- fat d = 0 - 12 me VE2
d = 2- = 0 .
48 me
2 a 10×0.7
25/ 36
(Hal 9.39) Uma caldeira explode, partindo-se em três pedaços.Dois pedacos, de massas iguais, são arremessados em trajetóriasperpendiculares entre si, com a mesma velocidade de 30m/s. Oterceiro pedaço tem uma massa de três vezes a de um dos outrospedaços. Qual a sua velocidade logo após a explosão?
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 22 / 33
26/ 36(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 23 / 33
on
3miPants = 0 se comma
€1m 30 mls
- -
- - pois E Fat =othou
, ,in a :
O =-3m Nn + 30 -
Use = 10 m/s
in
y :
o =3m Vy -
30 in
Vy = 10 -Is
D= 450 : o tennis peeledfez - ain go on e 350 can falter
- dos autos dais .
27/ 36
(Hal 9. 43) Uma bala de 3,5g é disparada horizontalmente contradois blocos que se encontram em repouso em uma superfícieplana sem atrito. A bala atravessa o primeiro bloco, de massa1,2kg e fica encravada no segundo bloco de massa 1,8kg. Comisso, os blocos adquirem velocidade de 0,63m/s e 1,4m/srespectivamente. Desprezando a massa removida do primeirobloco pela bala, determine:a) a velocidade da bala após sair do primeiro blocob) a velocidade inicial da bala.
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 24 / 33
28/ 36(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 25 / 33
m M, Mz @
M = 3.5T Mz = 1,8kgMe = 1,2kg Vn , = 0.63Mt
-- > Vmz = 1,6 mA
�1��2�
20 m✓bn = M, Vrt m Vbz
- > = - >
�3� @ �3�
MY+m✓bz=MYV , +(m+MDuz
Vbz =3.5×153+1.8
× p .
4 = 721
in3.5×10-3
b) Vs , = MnVrtm✓= =937 - Is
m
29/ 36
(Hal 9.20) Um projétil é disparado por um canhão com umavelocidade inicial de 20m/s. O ângulo de disparo é 60 comrelação à horizontal. Quando chega ao ponto mais alto datrajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massasiguais. Um dos fragmentos, cuja velocidade imediatamente apósa explosão é zero, cai verticalmente. A que distância do canhão ooutro fragmento atinge o solo, supondo que o terreno seja plano ea resistência do ar possa ser desprezada.
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 26 / 33
A free que age so bn o cm ohmante to do o tempo e- a forge
gravitational .
New ease particular ,em que
en grenade explode no pronto
me's alto, ¥ mm fog unto can
' perpendicular mute, use
µ fmmto aims memeta de do X an gas isle entire -
chase Como as uses
sons i mains ,o onto frog who cannot a
1.5 Xon .
X-
e
'
0 alone , quei a for
' was X no do so do thy daalter
mailing .
Nahma, ✓y=o = > 0= Voy - ft ⇒
tI2°G== 1.77 s
9.8
X= Xo + Vox Zth = 20 sen 60 × 2×1.77 = 35.4
° whole fragments wins a 35.4 + 35T =53.1 -
2
30/ 36(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 27 / 33
To = so cos so I + - son 60 j - 1 s
innovate went antes e depois o mouth Le
conserveem se i
a m + mvk ⇒ Uk
= 2 vie-
F.Zm Use = m×O
/-
t , in = 20 - Is
/ €my :O = no +mvj⇒ viaMyif . pl m : x= se
,+ vkt y=
yy,
- ±gt2precisanos encounter z e yo .
Des - evo °
movimento da granola ants don exploresNo ports wais alto if =o
if = Voy - gt ⇒ 0 = so an Go - 9.8 t ⇒ t= 1.771
o
x,
=
Kitbat → x
, = to × 1.77 = 17.7 -
y , =#'Ivoyt - tzg th = 15.3 -
>n= 53.1in
voltamdo -
as of . p/m :n= i 7.7 twt -
tfi 15.3 - tgE2= ) t -- 1.76 s
31/ 36
(Hal 9.18) Deixa-se cair uma pedra em t 0. Uma segundapedra, com uma massa duas vezes maior que a da primeira, élargada do mesmo ponto em t 100ms.(a) Qual a posição do CM das duas pedras em t 300ms?Suponha que nenhuma das duas pedras chegou ao chão.b) Qual a velocidade do CM do sistema nesse momento?
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 28 / 33
Escreva a equação de movimento do CM e da velocidade do CM em função do tempo
•-Eme.a-t-fgggog3t3#ggsgs3-h←
•
32/ 36(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 29 / 33
¥02 m m I'm = [ Feet
3 nihon = . 3mg J
on TAin = - gj Jin = In - gtjIn = I + It - ÷ g Ej
T.
?Yom
=Yiz+Y2÷=Yjn#Yi = - £gt2 = - ztq ( ioo
×i53)2= - Eg 152
t.hn = - f of 152 = - 0.018
in n
Join = m.iii.ms#_=mI >= -it
h , + m 2 3 m 3
v, = - get = - grooms
3= . g , , .
)
33/ 36
(Hal 9.15) Um homem de massa m está pendurado em umaescada de corda presa a um balão de massa M . O balão estáparado em relação ao solo.a) Se o homem começa a subir a escada com velocidade v emrelação ao à escada, em que direção e com que velocidade (emrelação à Terra) o balão vai se mover?b) Qual será o movimento depois que o balão parar de subir?
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 30 / 33
By
34/ 36(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 31 / 33
[ Feet= o ⇒ Fate
,Tin ate
Von0 = M ✓ + m Vu , Vnt = Vue + Vet
v V
M V = - in Vut = - MV
-
m ✓
V = - m V- ( pl bonito )
Mtn
'
#•#g-
L + m¥=mqn + m #+ a )
G- =
of+ a =
5¥ a = hg = 2 -
se estara em io e foi pl 2
Se dedo con 8 -