Física 1 Mecânica - IF - Instituto de Física / UFRJsandra/slidesFisica1/aula2_cinematica.pdf · Lei Horária do MRU r t r t0 v0 t t0 Como o movimento é retilíneo, é conveniente

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Física 1Mecânica

Sandra Amato

Instituto de Física - UFRJ

Cinemática Unidimensional

(Cinemática) Física 1 1 / 45

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Outline

1 Referencial

2 Movimento Uniforme

3 Movimento Acelerado

4 Derivada

5 MRUV

6 Integral

7 Queda Livre

8 Exercícios


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Cinemática

Para descrever o movimento precisamos primeiramente escolher um referencial(observador), que será representado aqui pelos eixos cartesianos. Devemostambém escolher a origem.

Descrever o movimento significa dizer em que posição o objeto estará emqualquer instante de tempo, queremos determinar o vetor posição r t .O vetor r t pode ser escrito em termos de suas componentes:

r t x t y t z t k


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Chamamos de vetor deslocamento da partícula entre os instantes t1 e t2 ovetor

r r t2 r t1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 k

e definimos o vetor velocidade média como a razão entre o vetordeslocamento e o intervalo de tempo necessário para realizar o deslocamento

vmed t1 t2r

t

r2 r1t2 t1

Qual é a direção do vetor vmed t1 t2 ?


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Movimento Uniforme

O Movimento Uniforme se caracteriza pelo fato de quepercursos iguais ( r) são realizados em intervalos de temposiguais. Pela definicão de velocidade vmed t1 t2

r

tvemos que

ela não varia:

v t v0

Como r v0 t ‹ r é um vetor constante ‹ MovimentoRetilíneo.Sabendo o vetor posição em um instante inicial, r t0 , e avelocidade v0, podemos obter o vetor posição em qualquerinstante de tempo:

v v0r

t

r t r t0

t t0

r t r t0 v0 t t0


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Movimento Uniforme

Lei Horária do MRU

r t r t0 v0 t t0

Como o movimento é retilíneo, é conveniente escolher a direçãode um dos eixos coincidente com a direção do movimento:

v0 v0

r t x t

como x t x0 v0 t t0

r t x0 v0 t t0


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Gráficos - MU

Uma forma bastante prática de se visualizar o movimento éatravés de gráficos

Graficamente, a velocidade é o coeficiente angular da reta nográfico x t


Gree

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Gráficos - MU

Como vx

t

x2 x1t2 t1

,

Podemos ter velocidades positivas ou negativas:

Se x2 x1 ‹ movimento no sentido crescente de x ‹ v 0

Se x2 x1 ‹ movimento no sentido decrescente de x ‹ v 0

Como ficaria o gráfico x t ?

Quanto maior a inclinação maior a velocidade.


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Movimento Acelerado (ainda retilíneo)

Qualquer Movimento Retilíneo que não seja uniforme(v constante) é chamado acelerado.

Da definição de vmx

tvemos que, graficamente, ela representa

o coeficiente angular da corda que liga os extremos P1 e P2 dacurva no gráfico x t .A velocidade média entre t1 e t2 é equivalente à velocidade de ummovimento uniforme de uma partícula que saindo de x1 em t1chegasse em x2 no instante t2.


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Exemplo

Um carro percorre 10 km a 50 km/h até que a gasolina acaba. Omotorista caminha então 4 km em meia hora até um posto.a) Qual a velocidade média desde que entrou no carro até oposto?b) Se, depois disso, o motorista traz o combustível de volta em35 min, qual a velocidade média desde o instante em que entrouno carro até o retorno ao posto?c) Faça o gráfico da posição x em função do tempo.


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Tr = Daft←at

tueho 1 ; sabemos D ki e J,

tech 2 : Sabena Dkz e Dtz

bktot = lot 4 km

Dttot = Bt , + Dtz

Btr = Dye = ! = 0,2k

Dttot = 0,2+0,5 i 0,7 h

I = I = so kmlh0,7

Note que a I ± union

das velocidades V, t Vz

= got 8

- 2-= Zq

2

I = Dktot= DR , + D kz + A k

) D rkz = - D k }÷be At

, + Dtz + Bt }

Dttot = 0.7 + 0.58 = e . z 8h →I = I. = 7 's hlh

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Movimento Acelerado

Suponha que um carro percorra 400km em linha reta em 10horas. ‹ vm 40km h .

Essa informação descreve bem o movimento?

‹ Precisamos do conceito de velocidade instantânea


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Velocidade Instantânea

A velocidade média dá apenas uma noção de como a partícula se desloca numdado intervalo de tempo, porém se quisermos uma informação mais precisatemos que definir a velocidade instantânea da partícula, no instante t ,como sendo o limite da razão entre x e t quando t 0.

v t limt 0

x

tlimt 0

x t t x t

t

dx

dt

Lê-se: A velocidade instantânea no instante t é a derivada da posição emrelação ao tempo neste instante.


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Velocidade Instantânea

Se mantivermos o ponto P fixo e considerarmos intervalos detempo cada vez menores, vemos que a direção da secante entre osdois instantes de tempo, vai se aproximando à direção datangente no instante t

A velocidade instantânea é o coeficiente angular da reta tangenteà curva do gráfico x t .


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Exemplo

Uma pedra é lançada do topo de um prédio. Suponha que afunção posição seja dada por x t 5t2, onde x está em metros et em segundos. A origem do eixo x está no topo do prédio e seusentido positivo é para baixo. Determine a velocidade da pedraem função do tempo durante o qual ela está caindo.


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Exemplo


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Gráfico

Podemos obter o gráfico de v t a partir do gráfico x t .


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Propriedades das Derivadas

A Derivada de uma função constante é nula.

x t 4dx

dtlimt 0

x t1 x t0

t1 t0limt 0

4 4t1 t0

0

A derivada da função que é igual à variável independente t éigual a 1.

x t t

dx

dtlimt 0

x t1 x t0

t1 t0limt 0

t1 t0

t1 t01


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A Derivada da função tn , é nt

n 1

x t t2

dx

dtlimt 0

x t t x t

t

x t t t2

t2 2t t

dx

dtlimt 0

t2 2t t

t2t

x t t4 dx

dt4t3

x t1t4 t

4 dx

dt4t 5 4

t5


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A Derivada das somas das funções é igual à soma dasderivadas

x t t3

t2

t 5dx

dt3t2 2t 1 0

A Derivada de atn , onde a é uma constante, é ant

n 1

x t 3t2 dx

dt6t

x t 6t2 3t3 dx

dt12t 9t2


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Exemplo

Uma partícula move-se ao longo do eixo x de modo que suaposição varia com o tempo de acordo com

x t 8 9t 2t3

(posição em m e tempo em s)a) Escreva o vetor posição da partícula em qualquer instante detempo. E no instante t 2s.

b) Qual a velocidade da partícula em qualquer instante detempo? E no instante t 3s?


a) with posiyao Fe ( t ) = sect ) I =(8t9t. 2t3 ) i

X ( t=2s ) = ( 8 + l8 - ie ) I = to T m

b ) Flt ) = DI = D= I

dt dt

D= = 9 -6+2

Ict ) = ( 9 -6+2 ) I

v. ( t =3 s ) = (9-54) i = -45 i ms

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Exercícios

1 Uma partícula se move ao longo do eixo x de acordo comx 50t 10t2 (x em m, t em s). Obtenha:

1 A vm durante os 3 primeiros segundos2 A velocidade instantânea v em t 3s3 Faça o gráfico x t e indique como a vm e a v podem ser obtidas4 Faça o gráfico v t

2 O gráfico abaixo representa o movimento de um automóvelem uma estrada retilínea. Esboce o gráfico v t

correspondente e indique os intervalos em que ele se move (a)para a frente, (b) para trás e (c) o intervalo em que está parado


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Aceleração

Uma outra grandeza importante no estudo da cinemática é aaceleração, que descreve como a velocidade varia com o tempo.Definimos a aceleração média

am t1 t2v

t

v2 v1

t2 t1

e a aceleração instantânea

a limt 0

v

tlimt 0

v t t v t

t

dv

dt

Aceleração instantânea é a derivada da velocidade em

relação ao tempo

adv

dt


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Aceleração

Como vdx

dt‹ a

dv

dt

d

dt

dx

dt

d2x

dt2

Aceleração instantânea é a derivada segunda da posição emrelação ao tempo

ad

2x

dt2

Ex: Uma partícula move-se ao longo do eixo x de modo que suaposição varia com o tempo de acordo com

x t t3 27t 4

(posição em m e tempo em s) . Qual a aceleração em t 2 s?Em que instante a velocidade é nula?


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Aceleração - através do gráfico v t


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Gráfico da aceleração através do gráfico v t


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Caso Particular - Aceleração Constante - MRUV

Aceleração instantânea é igual à aceleração média ‹ Gráficov t é uma reta.

av

tescolhendo t1 0 e v1 v0 temos a

v v0t 0

Equação da velocidade para o MRUV

v v0 at

Verifique que dv

dta


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MRUV - Variação da posição em função de t

vx

t‹ x x0 vt

Como a é constante ‹ vv0 v

2 (Demonstre)

Substituindo v v0 at nessa:

vv0 v0 at

22v0 at

2 v012at

Substituindo na eq. para x

Equação horária do MRUV

x x0 v0t12at

2


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MRUV

Equações fundamentais do MRUV

x x0 v0t12at

2v v0 at

Eliminando o tempo entre elas, obtemos a chamada equação deTorricelli

v2

v20 2a x

que permite determinar, o módulo da velocidade ao fim de umdeslocamento, a partir apenas do módulo da velocidade no iníciodo deslocamento, sem saber o tempo decorrido.


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Gráficos do MRUV

x x0 v0t12at

2 ‹ O gráfico x t é uma parábola.



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Exercícios

Um motorista freia seu carro uniformemente de forma que avelocidade cai de 60 km/h para 30 km/h em 5s. Quedistância o carro percorrerá depois disso até parar? Quantotempo levará para percorrer essa distância adicional?


72

6an

os

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Queda Livre

Um exemplo bastante comum de MRUV é a queda livre de umapartícula próxima à superfície da Terra.Esse é o movimento de uma partícula com velocidade inicialvertical; ela realiza um movimento retilíneo com aceleraçãoconstante apontando para baixo e de módulo g 9 8 m s

2 (emboa aproximação).Portanto, escolhendo como eixo do movimento, um eixo verticalOY apontando para cima, obtemos ay g , de modo que asequações fundamentais da queda livre são

Equações de queda livre

y y0 v0yt12gt

2vy v0y gt




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Exercícios

H 2.54 Quando a luz verde de um sinal de trânsito acende, umcarro parte com aceleração constante a 2 2 m/s2. No mesmoinstante, um caminhão, com velocidade constante de 9,5 m/s,ultrapassa o automóvel.

1 A que distância após o sinal, o carro ultrapassará ocaminhão?

2 Qual a velocidade do carro nesse instante?


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Exercícios

H 2.83 Um paraquedista salta e cai livremente por 50 m. Emseguida o paraquedas se abre e ele desacelera a 2,0 m/s2. Quandochega ao solo, sua velocidade é de 3,0 m/s.

1 Quanto tempo o paraquedista fica no ar?2 De que altura ele saltou?


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H 2.68 Um modelo de foguete é lançado verticalmente e sobecom uma aceleração constante de 4,00 m/s2, por 6,00 s. Seucombustível então acaba e ele passa a mover-se como umapartícula em queda livre.

1 Qual a altura máxima atingida pelo foguete?2 Qual o tempo total decorrido desde o lançamento até sua

queda na Terra?


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Obtenção de x t a partir de v t

Vimos como obter v t a partir de x t e a t a partir de v t .Queremos agora fazer o processo inverso: Obter o espaçopercorrido x t2 x t1 a partir de v t .Vamos começar usando o MRU: v constante ‹ v v v0

v v0x

tx x t2 x t1 v0 t


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IntegralVamos considerar uma função v t qualquer. Dividimos o intervalo de tempoem vários intervalos pequenos de larguras t1 t2 , de forma a poderconsiderar v v .

x t2 x t1i

vi ti

x t2 x t1 limt 0

i

vi ti

t2

t1

v t dt


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Obtenção de x no MRUV

Para o MRUV, o gráfico de v t é uma reta. Podemos calcular a área sob acurva entre os instantes t1 e t2 para saber o espaço percorrido x nesseintervalo.

x v1 t12a t

2

escolhendo t1 0 e t2 t esta equação se torna x x0 v0t12at

2



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