Física 1 Mecânica - if.ufrj.brsandra/slidesFisica1/aula_grafEnergiaPot.pdf · Para estudarmos o movimento de satélites, consideramos que temos um objeto de massa m M de forma que

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Física 1

Mecânica

Sandra Amato

Instituto de Física - UFRJ

Gráfico de Energia Potencial

19/09/2014

(Gráfico de Energia Potencial) Física 1 19/09/2014 1 / 18

z.org#BesgGfanEDoBpf3of

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Gráfico de Energia Potencial

Se temos uma partícula de massa m se movendo em uma

dimensão sob a ação de uma força conservativa F x , vimos que

podemos associar a ela uma energia potencial U x :

U x F x dx

F xdUdx

Analisando o gráfico de U x podemos fazer uma discussão

qualitativa bastante detalhada do movimento, qualquer que seja

a forma da função U x .


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Relação entre Força e U x

F xdUdx

F x é 0 quando U x decresce

(inclinação da tangente é 0).

F x é 0 quando U x cresce

(inclinação da tangente é 0).

O módulo de F é em x1 do que

em x2

Pontos em que F x 0 são

pontos de equilíbrioF x é máxima nos pontos de

inflexão


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Movimentos possíveis

Vamos supor agora que saibamos o valor da energia mecânica

total E da partícula.

E1

2mv 2 U x constante

1

2mv 2 E U x

‹ O movimento só é possível em regiões em que

U x E

v x 2 m E U x

A velocidade troca de sinal quando v 0 ‹ E U x ,

chamados pontos de inversão ou pontos de retorno.


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Ex: Um objeto solto de uma altura y1


2

k9

hogget¥8ar%

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Ex: Dois poços de potencial separados

por uma barreira de potencial

A distância entre a reta de E e a

curva U é a energia cinética

o movimento só é possível para

energias E0

Se E E1 ‹ movimento limitadoe oscilatório entre x7 e x9

para E1 E E3 ‹ dois

movimentos oscilatórios possíveis

para E3 E E4 movimento é

ilimitado à esquerda com

velocidade decrescente.

para E4 E E5 não há mais

movimento oscilatório, sendo

limitado apenas em x13

Se E E6 movimento é ilimitadoNote: o movimento é

unidimensional


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Potencial de Lennard Jonnes

A energia potencial associada à força entre dois átomos neutros em uma

molécula pode ser modelada pelo chamado potencial de Lennard-Jones

U x Dax

122

ax

6

F x 12Da

ax

13 ax

7

F 0 em x a distância de

equilíbrio, raio da molécula

diatômica

U a DSe fornecermos uma energia E <

0, teremos movimento oscilatório,

com amplitude aumentando

conforme E aumenta.

Se E 0 a molécula se dissocia.

D é a energia de dissociação da

molécula.


a

- D . . - . .

Z

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Uma partícula se desloca sobre o eixo x sob ação de uma força resultante

conservativa, cuja energia potencial está representada no gráfico. No instante

inicial a partícula estava no ponto x1, afastando-se da origem do eixo x .

(a) Descreva o movimento da partícula quando a energia mecânica total é E1.

Caso existam, quais são os pontos de inversão neste movimento?

(b) Repita o item (a) no caso em que a energia mecânica total é E2.

(c) Idem para o caso em que a energia mecânica total é E3.

(d) Em que regiões do eixo x a força resultante aponta para a origem do eixo

x? Justifique todas as suas respostas.

��

��

��

��

��

� ��


E

E

E

1

2

3

.Hanger

:(

:O

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Um corpo de massa 1 kg que se move sobre o eixo x está sujeito

a uma força dada por

F x 2x

onde x é dado em metros e F em Newtons.

(a) Determine a energia potencial U em função de x ,

considerando U 0 0.

(b) Trace o gráfico de U contra x .

(c) Qual o ponto de equilíbrio estável ?

(d) Se em x 0 o corpo tem velocidade v0 1 m/s, qual a

região de x para a qual o corpo oscila?



milkyF ( se ) = - 2k

se

U ( m ) - UC o ) = - ff ( a ) du =

μ o

- €2.de#e2=xs- - -

;. . - - ;;

- - -

E.a

c) F = 0 got re = 0

d) V= 1 - Is em ⇒e=°

U ( ° ) = o k= }m5= { J =] E = IT° path de nth - e- qnondo U = E ( 1<=0 )

Uc se ) = t u2= tz m= ± if = to .tn2

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Uma partícula de massa m 2 kg move-se ao longo de uma

linha reta em uma região em que a sua energia potencial varia

como na figura. (a) Sabendo-se que a partícula se aproxima da

origem (x 0) e que sua energia cinética quando está muito

longe dela é de 10 J, determine o módulo de sua velocidade ao

passar pelos pontos x1 e x2. (b) Em que região a partícula pode

ser encontrada se sua energia total for de 3 J? (c) Neste caso,

quanta energia deve ser fornecida à partícula para que ela se

afaste indefinidamente da origem?

��

��

�

��

��

��


X

*

A Tmolicon afro wine

daunt nognefi&


a ) Wmd esta mi to longe do on'

for

U ( h ) = 0 k = ii J =] E = 10 J .

U ( x , ) = - 5J ⇒ K , t U , = 10 => Ki = 10+5 J

±my2 = 15 = > Q Iis=

-3.9 - Is

U(k2 ) = 6 J =) K< +02 = 10 = > Kz= 10 -6=4 J

lzmvi = 4 ⇒ v< = -2- Is

d) 9 J .

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A energia potencial de uma partícula de massa m em função de

sua posição x esta indicada na figura. Calcule o período de uma

oscilação completa, caso a partícula tenha uma energia mecânica

total dada por E 3U0 2.

�

��

��

� ��

��


3b / 2

DesertSim


28



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Energia Potencial Gravitacional

Usando o Teorema do Trabalho-Energia Cinética e a Conservaçãode Energia Mecânica, vimos que podemos definir uma EnergiaPotencial a Forças Conservativas:

U x U x0x

x0F x dx

No caso da Força gravitacional sobre objetos próximos àsuperfície da Terra (h RT ), usamos

F y mg

Escolhemos U y0 0 onde y0 0 (ponto mais baixo, eixo yorientado para cima)

Ug 0h

0m g dy m g h

(Vetores) Física 1 20 / 33

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Se considerarmos agora distâncias grandes, de forma a não sermais razoável usar a aproximação h RT , a força é

F GmMr 2 r

Antes de calcularmos a Energia Potencial utilizando essa forçaprecisamos mostrar que esta é uma força conservativa :


F

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Uma Força é conservativa quando o Trabalho realizado por elapara levar uma partícula de um ponto a outro não depende datrajetória.

Vamos calcular o Trabalho deuma Força central para levaruma partícula de P para Q

Wrf

riF dr

rf

riF dr

o W não depende do caminho

Toda força central éconservativa


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Uf Uirf

riF r dr G M m

rf

ri

1r 2 dr G M m

1r

rf

ri

Uf Ui G M m1rf

1ri

Como sempre, a escolha do zero de energia potencial é arbitrária.Uma escolha adequada é Ui 0 em ri


U G M mr para r RT


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F G mMr2 r U G M m

r para r RT

comentar que U 0


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Movimento de Satélites

Para estudarmos o movimento de satélites, consideramos quetemos um objeto de massa m M de forma que a Terra possaser considerado um referencial inercial, e esfericamente simétrica.A Energia Total do sistema é

E12mv2 G M m

r

Pela Segunda Lei de Newton:G M m

r2mv2

r ‹ G M m2r

mv2

2Substituindo na equação de E

EG M m

2rG M m

rG M m

r

para que o satélite se mantenha em óbita E 0(Vetores) Física 1 25 / 33

:r

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Velocidade de Escape

Ao lançarmos um objeto para cima ele sobe e retorna à Terra. Seaumentarmos a velocidade ele sobe a uma altura maior.Qual a menor velocidade que devemos dar a um objeto para queele escape do campo gravitacional Terrestre?


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Velocidade de Escape

A Energia é constante e em qualquer ponto vale

E12mv 2 G M m

r

Na superfície da Terra: v vi e ri RT . No infinito (r

12mv 2

iG M m

RT

12mv

a menor velocidade será tal que v 0

12mv 2

escG M m

RT0

vesc2GMRT


2

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vescT

2GMRT

2 6 67 10 11 5 98 1024

6 37 106 1 12 104m s

vescT 40 320km h

vesc km hMercúrio 15.480Vênus 37.080Terra 40.320Lua 8.280

Marte 18.000Júpiter 216.000Saturno 129.600Urano 79.200Netuno 86.400Plutão 3.960

Sol 2.224.800(Vetores) Física 1 28 / 33


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