Equaçõesliterais
173 yx
yzx 73
073x
Observa as equações seguintes:
As equações 1 e 2 são equações literais, enquanto que, a equação 3 não é uma equação literal.
Então, qual será a definição de equação literal?
Equações literais – são equações que têm mais do que uma variável, isto é, pelo menos 2 incógnitas.
26xy
xy 6
2lA
2
hbA
2
hbBA
222cba
Exemplos de equações literais:
que representa uma reta não vertical (função afim).
que representa uma reta que passa na origemdo referencial (função linear).
•A fórmula do teorema de Pitágoras
•A equação
•A equação
(equações do 1.º grau com duas incógnitas)
Quantas soluções têm?
•As fórmulas:
que representam, respetivamente, as áreas do quadrado, do triângulo e do trapézio.
• A equação da relatividade E = mc2.
Geogebra
Como resolver equações literais?
As regras para resolver equações, também se aplicam à resolução de uma equação literal, em ordem a qualquer uma das letras que nela figuram.
x
y
1222 yx
x
x
x
yx
yx
yx
yx
6
2
212
2122
1222
Perímetro 12 cm
Nota:
Quando uma letra é
a incógnita, as
outras letras
funcionam como se
fossem números.
Exemplo I:
Observa a figura:
Como a equação tem duas variáveis e y, podemos resolvê-la em ordem a
ou em ordem a y, isto é:
A figura sugere a seguinte equação,
Resolvida em ordem a
Nota: Diz-se que a equação está resolvida em ordem a x porque a variável x está isolada
num dos membros da equação, neste caso no 1.º membro.
xy
xy
xy
yx
6
2
212
2122
1222
Resolvida em ordem a y.
Qual o interesse de resolver uma equação em ordem a uma das variáveis?
x
yx 6
426 xx
Sabendo que a largura, y, do rectângulo é 2, qual é o comprimento?
Ora, aqui interessa resolver equação em ordem a (é a incógnita, o valor desconhecido).
O comprimento é 4.Assim, é muito fácil dar a resposta.
y
x
Perímetro 12 cm
Mas, se a pergunta fosse:
Sabendo que o comprimento, x , do rectângulo é 3, qual é a largura?
Neste caso já interessava resolver a equação em ordem a y.
xy 6
336 yy
Se se pretende determinar o comprimento do rectângulo, então, interessa
resolver a equação em ordem a x. Por outro lado, se se quisesse saber a
sua largura, neste caso, já interessava resolver a equação em ordem a y.
Conclusão:Uma equação literal resolve-se em ordem a uma das letras (variável)que se considera a incógnita (valor desconhecido). As outras letrasfuncionam como números (valores dados).As regras já conhecidas para resolver equações são também aplicáveisna resolução de equações literais.
c
lA=100 m2
1001100 lclc mas,
100250 lclc
100425 lclc
100520 lclc
10085,12 lclc
mas,
mas,
mas,
…
Assim, a equação tem uma
infinidade de soluções.
Equações do 1.º grau com duas incógnitas.
ax+by=c; a, b e c
Quantas soluções têm?
As soluções desta equação são, geralmente, pares ordenados de
números.
x+2y=9 S=(1,4) Uma solução
S=(0, 9/2) Outra solução
Estas equações têm uma infinidade de soluções ou nenhuma (no caso de a=0,
b=0 e c ). Cuidado:
No contexto de
problemas nem sempre
todas as soluções
servem. Dar ex.
Relacionar com as funções afins, reta,
todos os pontos que estão sobre a
reta são soluções da equação.
Exemplo II
A equação E=mc2 em que: E- energiam- quantidade de matériac- velocidade da luz
Descoberta de Einstein apontava para a possibilidade de se obterem grandes quantidades de energia a partir de pequenas quantidades de matéria. A bomba atómica é um dos frutos desta equação.
Resolve a equação em ordem a m e depois em ordem a c.
2
2
2 2 2
E mc
E mc Em
c c c
Resolvida em ordem a m.
2 2 EE m c c
m
Ec
m
Resolvida em ordem a c.
lhVc
hl
hlc
lh
V ..
Neste caso, c é a incógnita.
Para isolar c divide-se ambos os membros por lh e depois simplifica-se.
Exemplo III
A fórmula V=c.l.h serve para determinar o volume de uma caixa de cereais.
Resolve a equação em ordem a c.
2
hbBA
bB
AhhbBAh
bBA
22
2
Exemplo IV
A área de um trapézio é dada pela fórmula
Resolve a equação em ordem a h.
Neste caso, a incógnita é a letra h, as outras letras funcionam como se fossemnúmeros.
Se pretender saber quanto é a altura do trapézio é necessário conhecer os valores de B (base maior) , b (base menor) e A (área). Por exemplo:
Determina h, sabendo que A=10 cm2, B=4 cm e b=1 cm.
2 104
4 1h cm
Exercícios:
1. Resolve em ordem a x, a equação xy
y2
13
5
Neste caso a incógnita é x. A letra y “funciona” como um número.
6
107
1076
631010
23
5
3
5
21
3
5
6
322
yx
yx
xyy
xy
y
xy
y1.º Tiram-se os parênteses
2.º Tiram-se os denominadores
3.º Isolam-se os termos com a incógnita(pretendida) num dos membros
4.º Reduzem-se os termos semelhantes
5.º Determina-se o valor da incógnita, quando são dados os valores das outrasvariáveis.
A equação está resolvida em ordem a x.
2. Resolver a mesma equação em ordem a y.
6
32 2
51
3 2
5 5
3 3 2
10 10 3 6
10 3 10 6
7 10 6
10 6
7
yy x
yy x
y y x
y y x
y x
xy
xy
y2
13
5
3935199
2,70
59
322,102
559
CCCC
Celsius) e F (graus Fahrenheirt).
Processo 1: Substitui-se F por 102,2 e resolve-se a equação em ordem a C.
Processo 2: Começa-se por resolver a equação em ordem a C.
9
160516059
9
32
5
FCFC
FC
9
32
5
FC3. Em Física, a fórmula estabelece a correspondência entre C (graus
A Isabel está doente. A sua temperatura é
102,2ºF. Qual é a sua temperatura em ºC?
Na fórmula obtida substitui-se F por 102,2 e efectuam-se as contas:
399
1602,1025C R.: A Isabel tem de temperatura 39 ºC.