Fundamentos de Análise de Sinais
Fundamentos de Probabilidade
Exemplos de Aplicações
Análise de probabilidades em eventos de natureza não determinística.
Análise de falhas e confiabilidade em estruturas. Análise de reações químicas, de transferência de
calor por radiação em superfícies rugosas. Caracterização de erros dimensionais em peças
fabricadas em série. Tratamento de imagens. Algoritmos de otimização pseudoaleatórios
(Simulated Annealing, AG, PSO, etc)
Definições para uma variável aleatória
Conjunto: valores possíveis de serem assumidos por uma variável aleatória (Conj. de números reais, de números naturais, etc)
Espaço amostral: conjunto dos valores observados com uma variável aleatória.
Probabilidade: é definida como a chance de um determinado valor ser observado em uma variável aleatória.• Probabilidade nula: O evento não ocorrerá nunca.• Probabilidade 100%: O evento ocorrerá com certeza.
Função distribuição probabilidade
P a P b a b
0 1P P
Probx k x x k x
Função distribuição probabilidade
0p x
1p x dx
0
Prob x<x klimx
x xp x
x
Para qualquer evento x(k)
x dP x
P x p d p xdx
Função distribuição probabilidade
Jogo de cara ou coroa
X(Caras)=a
X(Coroas)=b
0
12
1
x a
P x a x b
x b
1 1
2 2p x x a x b
Esperança
Função distribuição probabilidade
xE x k xp x dx
E g x k g x p x dx
2 2 2xE x k x p x dx
2 2 2 2 2x x x x xE x k x k p x dx
Função distribuição probabilidadeFunção densidade probabilidade uniforme
0
1
x a
x aP x a x b
b ax b
1
0 outros valores
b a a x bp x
Função distribuição probabilidadeFunção probabilidade uniforme
2
2
12x
b a
2x
a b
Média Variância
Função distribuição probabilidadeMudança de variáveis
Prob Probg g x k g g x x k x x
g g
Prob Probg g x k g g x x k x x x
g x g
0
0
1lim 0x
g
xdggdx
p xdxp g p x
dg dg dx np x
p gdg dx
Função distribuição probabilidadeSeno
0 0sin 2x k x X f t k
k Variável aleatória com distribuição uniforme
12 0 2
0 outros valoresp
2
0p dx
p xdx d d
20 0 0 0
2 2
cos 2 1 sin 2dx
X f t k X f t kddx
X xd
Função distribuição probabilidadeSeno
12 2
0
X x x Xp x
x X
1
0
1sin
2
1
x
X
x X
xP x p d X x X
X
x X
Momentos Estatísticos
sx sxm s E e e p x dx
00m E e p x dx
2
22
sx
sx
dm sm s xe p x dx
ds
d m sm s x e p x dx
ds
2 2
0
0
E x m xp x dx
E x m x p x dx
0nn nE x m x p x dx
Momentos Estatísticos
2 2
2
j fx j fx
j fx
C f E e p x e dx
p x C f e df
2
2
se
1j fx
j fx
p x x
C f e p x dx
x e df
2C f m j f
Desigualdade de Chebyshev
2 2 2 2x x x
x p x dx x p x dx p x dx
2
2Prob x k x
xp x dx
2
2Prob x k x
x
2
2
1Prob x k
1Prob x k 1
x x
x x
cc
cc
Desigualdade de Chebyshev
2
2
1Prob x k
1Prob x k 1
x x
x x
cc
cc
Prob x k 2 0.250
Prob x k 3 0.111
x x
x x
Função probabilidade desconhecida
Prob x k 2 0.050
Prob x k 3 0.003
x x
x x
Função probabilidade normal
95% dos valores possíveis de uma variável aleatória com FDP normal estão dentro do intervalo de +/-2s
Duas Variáveis AleatóriasFunção probabilidade
Prob , Prob &x y x k x y k y
Prob , Prob , 0y x Prob , 1
0
0
Prob x<x k & y<y k, lim
x
y
x x y yp x y
x y
Duas Variáveis AleatóriasFunção densidade probabilidade
,
,
p x p x y dy
p y p x y dx
Variáveis estatisticamente independente
,
,
p x y p x p y
P x y P x P y
Duas Variáveis Aleatórias
Esperança e Coeficiente de Correlação
, , ,E g x y g x y p x y dxdy
,xy x yC x y p x y dxdy
, x y
xy x y
xy
C x y E x k y k
C E x k y k
C E x k y k E x k E y k
Duas Variáveis Aleatórias
Esperança e Coeficiente de Correlação
2xx xC xy
xyx y
C
xy x yC
,E x k y k xyp x y dxdy
E x k y k xp x dx yp y dy E x k E y k
Variáveis estatisticamente independente
0xy Não significa que as variáveis são independentes
Duas Variáveis Aleatórias
Momentos estatísticos e funções características
, ,sx ty sx tym s t E e e p x y dxdy
00,0 , 1m E e p x y dxdy
,, ,
,, ,
sx ty
sx ty
dm s tm s t xe p x y dxdy
ds
dm s tm s t ye p x y dxdy
dt
Duas Variáveis Aleatórias
Momentos estatísticos e funções características
22
2
22
2
,,
,,
sx ty
sx ty
d m s tx e p x y dxdy
ds
d m s ty e p x y dxdy
dt
2 ,
,sx tyd m s txye p x y dxdy
dsdt
,,
r nr n r n sx ty
r n
d m s tE x y x y e p x y dxdy
ds dt
Duas Variáveis Aleatórias
Momentos estatísticos e funções características
2 2
2
, ,
, ,
j fx gy j fx gy
j fx gy
C f g E e e p x y dxdy
p x y e C f g dfdg
, 2 , 2C f g m j f j g
Distribuição Normal (Gaussiana)
A variável aleatória x(k) possui uma distribuição normal se:
2
21
22
desvio padrão
média
x a
bp x b e
b
a
2 2 2 2
0
0
x
x
E x m xp x dx a
E x m x p x dx b
Distribuição Normal (Gaussiana)
1
2
222x
x
x
x
p x e
1
2
222x
x
x
xP x e d
Princípios estatísticos
- Em análise de sistemas físicos em geral se tem variáveis aleatórias observadas através de amostras finitas.
Estimadores Propriedades estatísticas
Erros
Princípios estatísticos
2 22
x
x x x
E x xp x dx
E x x p x dx
1
22 2 2
1
1ˆ
1ˆ
N
x i xi
N
b x i xi
x xN
s x xN
Estimadores
Propriedades estatísticas
Estimador com erro de tendência
Princípios estatísticos
Índices de qualidade dos estimadores
ˆE Sem erro de tendência
2 2
1 2ˆ ˆE E
O estimador 1 é dito melhor que o estimador 2
ˆlim Prob 0N
Consistente
2ˆlim E 0N
Princípios estatísticos
Avaliação do estimador da média
1 1
1 1 1N N
i i x xi i
E x E x E x NN N N
2 22
21 1
22 2 2
2 21
1 1
1 1
N N
x i x i xi i
Nx
x i x xi
E x E x E xN N
E x E x NN N N
Princípios estatísticosAvaliação do estimador da variância
2 22
1 1
1 1N N
b i ii i
E s E x x E x xN N
2
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2
1 1 1
2 2
1
2 2
1
2
2
2
N N N N
i i x xi i i i
A B
N N N
i x x i x xi i i
N
i x x x xi
N
i x xi
x x x x A B A AB B
x x x x
x x N x N x
x N x
Princípios estatísticosAvaliação do estimador da variância
2 2 2
1 1
2 2 2
1
2 2 2 21 1
N N
i i x xi i
N
i x xi
b x x x
E x x E x E N x
E x x N
NE s N
N N
22
1
2 2 2 2 2
1ˆ
1
1 11
1 1
N
ii
x x x x
s x xN
E s N NN N
Funções Densidade Probabilidade Distribuição Normal
1
2
222x
x
x
x
p x e
x
x
xz
2
2
2
ze
p x
Prob 1
1 Prob
z
z
P z p z dz z z
P z p z dz z z
Funções Densidade Probabilidade Distribuição Normal
Unimodal
Pontos de inflexão
Monotônica
Funções Densidade Probabilidade Distribuição Qui-quadrado
2 2 2 2 2 21 2 3 4n nz z z z z
2/ 2 112 / 2 2 / 2 22 / 2 0nn
np n e
N=número de variáveis=número de graus de liberdade
2 2 2 2;2
;
Prob n nn
p d
2
2 2
2
22 2 2
n
n
E n
E n
Funções Densidade Probabilidade Distribuição Qui-quadrado
- Caso geral da função distribuição GAMA
- A raiz quadrada da distribuição qui-quadrada com n=2 (Distribuição de Rayleigh):
- Distribuição bidimensional
- Valores limites da distribuição de um ruído de banda estreita quando a largura de banda tende a zero
- A raiz quadrada da distribuição qui-quadrada com n=3 (Distribuição de Maxwell):
- Distribuição tridimensional
- Se aproxima da distribuição normal quando o número de graus de liberdade aproxima do infinito.
Funções Densidade Probabilidade Distribuição T-Student
n
zt
y n
1 221 / 21
/ 2
nn t
p tnn n
N=número de variáveis=número de graus de liberdade
,;
Prob n nn
p t dt t tt
2 2
0
2
n t
n t t
E t
nE t
n
Funções Densidade Probabilidade Distribuição F
1 21, 2
2 1n n
y nF
y n
1 2
1 / 2 1 / 2 1
1 2 1 2
/ 2
1 2 1 2
/ 2
/ 2 / 2 1
n n
n n
n n n n Fp F
n n n F n
N=número de variáveis=número de graus de liberdade
1, 2 1, 2;
1, 2;
Prob n n n n
n n
p F dF F FF
21, 2 2
2
22 2 1 22
1, 2 22
1 2 2
22
2 24
2 4
n n F
n n F F
nE F n
n
n n nE F n
n n n
Distribuição de amostragens e exemplos
Seja x1, x2, x3,…,xN N amostras observadas da variável aleatória x com probabilidade p(x):• A média estimada é uma variável
aleatória• A variância estimada é uma variável
aleatória• Outros estimadores também serão
variáveis aleatórias
Distribuição de amostragens
Distribuição da média com a variância conhecida
1
1 N
ii
x xN
x x 2
2 xx N
x
x
x Nz
Prob xx
zx
N
Se N é grande p(x) se aproxima da distribuição normal
Teorema do limite central
Intervalos de Confiança
x Estimador de com precisão x d
1 2 2Prob 1x
x
x Nz z
1 2 2
0Prob
1x
x
x Nz z
Antes da amostragem
Após a amostragem
Intervalos de Confiança
x Estimador de com precisão x d
1 2 2Prob 1x xx
z zx x
N N
; 2 ; 2Prob 1 1n nx
st stx x n N
N N
Com variância conhecida
Com variância desconhecida
Intervalos de Confiança
2 2 Estimador de com precisão xs d
2 22
2 2; 2 ;1 2
Prob 1 1xn n
ns nsn N