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Fundamentos de Telecomunicações
Aula 4: Análise de Sinais
Sumário
Sinais Periódicos: Espectros de Linhas Sinais não Periódicos: Espectros Contínuos Modulação
Sinais Peródicos: Espectros de Linha
Forma de onda sinusoidal
período do inverso o é cíclica frequência a 1
repetição de período o é
- valor dum origem da desviado
máximo valor do facto o Representa
angular frequência
amplitudeou pico devalor
)cos()(
0
00
0
0
0
0
ofTf
T
A
tAtv
Forma de onda sinusoidal
Representação da sinusoide por um fasor
Tal como na análise de correnta alterna estacionária, a sinusóide pode ser representada por um fasor
)()(0
0
j
00)cos(
complexa lexponencia duma real parte
a como sinusoide ar representa se-Pode
1 com sincose
Euler de teoremano Baseada
tjtj AeeAtA
t
jjRepresentaçãodo fasor
Representação da Sinusoide por um fasor
O fasor tem comprimento A Roda no sentido retrógrado a fo rotações por segundoFaz um angulo de radianos com o eixo real Para descrever o fasor no domínio da frequência precisamos de associarA amplitude à fase
Convenções na representação espectral
Variável independente é a frequência f em Hz (ciclos/seg)
W em rad/seg é uma notação sintética para 2*pi*f Os ângulos de fase são medidos relativamente a
função coseno : sin wt= cos (wt-90) A amplitude é sempre positiva. Uma amplitude
negativa é absorvida na fase – –A cos(wt)= A cos (wt+-180)
Os ângulos são expressos em graus embora angulos wt sejam em radianos.
Representação no tempo dum sinal
)90120cos((4)º12040cos(10).0.2cos(7)(
)120sin((4)º6040cos(107)(
ttttv
tttv
Espectro unilateral do mesmo sinal
)90120cos((4)º60).0.2cos(7)(
)120sin((4)º6040cos(7)(
tttv
tttv
Fasores Conjugados Espectro de linhas bilateral
Simetria par
Simetria ímpar
eeA
eeA
tfA
eAezeAez
zzz
tfjtfjo
tfjtfj
oo
oo
.2
.2
)2cos(
. .
)(2
1
22
2*2
*
Versão bilateral do espectro
Espectros de Linha
Constituem representações pictóricas de sinsuoides ou fasores em função do tempo
Uma linha no espectro unilateral representa um cosseno real Uma linha no espectro bilateral representa uma exponencial
complexa donde para obter o cosseno real se deve adicionar o fasor conjugado
Qando se faz referência ao intervalo [f1,f2] num espectro bilateral tesá implícita a referência aos intervalos negativos correspondentes.
O espectro de amplitude fornece bastante mais informação que o de fase
Sinais Periódicos
Sinusóides e fasores são sinais periódicos
tamanhode intervalo qq em tomaque valores
pelos definido amentecomplement fica Sinal
sinal do período
- )()(
segundos de
temporalo translaçãqq perante invariante Sinal
o
o
o
o
T
T
ttvmTtv
T
Sinais periódicos e potência média
0
0
0
)(1
)(1
)(1
limv(t)
período um de ao igual é médio valor o periódico Sinal
)(1
limv(t)
v(t)de médio valor O
0
2
20
2
2
2
2
T
T
T
T
TT
T
TT
dttvT
dttvT
dttvT
dttvT
Sinais periódicos e potência média
vt) é voltagem aos terminais duma resistência v(t) dá lugar a uma corrente i(t)= v(t)/R Potência instantânea dissipada na resistência
sv(t)=v(t).i(t)= v2(t)/R Potência normalizada (R=1) Potência média dum sinal periódico
0
2
0
2 )(1
)(T
dttvT
tvS
Série de Fourier
Há pouco obtemos um sinal a partir da soma duma constante e várias sinusoides
Vamos agora decompor um sinal periódico em somas sinusoidas– Série de Fourier
Série de Fourier
série da escoeficient pelos
definido bilateral linhas de espectro num consiste
frequência da domínio no espectral çãoRepresenta
,....f2,f,0nf sfrequência com
arg fase e amplitude com fasores de soma uma)(
produto do médiovalor
)(
,....210)(
000
arg 2
2
2
2
0
nn
Cjtfjnn
tfjn
tfj
T
n
tfj
nn
CCtv
eeCC
v(t)eC
dtetvC
neCtv
no
o
o
o
Representação espectal da Série de Fourier
n
0
Cargn
*nn
00
00
0
0
0
CCC
realfor v(t)sinal o (iii)Se
)()(1
sinal do médio válor ao igual é costante componenteA (ii)
1 lfundamenta frequência da
harmónicas inteiras, múltiplas são sfrequência Todas (i)
amplitude de espectro)( arg
def função como amplitude de espectro)(
)(
j
T
n
e
tvdttvT
C
Tf
nfC
nfC
CnfC
Série trignométrica de Fourier
)arg2cos(2
realvalor )(
10 n
nn CnftCCv(t)
tv
Espectro de amplitude simetria parEspectro de fase simetria ímparÉ usual usar a série exponencial e o espectro bilateral
Cálculo de Cn envolve frequentemente o cálculo do valor médio dum fasor
)sin()sinc(
)sin(1
)(2
11 2
2
2
f
ftee
ftjdte
TfTjfTj
T
T
ftj
)sinc(
Sequência de pulsos rectangulares
)sinc()sin(
)(2
1
)(1
)(1
000
00
22
00
2
2
2
0
2
2
2
0
00
00
nfAfnf
nfAfC
eeTfnj
C
dtetvT
dtetvT
C
n
fjfjn
tfj
T
T
tfjn
Espectro da sequência de pulsos rectangulares
Reconstrução por série de fourier duma sequência de pulsos
..)6cos(3
2)4cos()2cos(
2
4)(
)4
sinc(2
2C 4
4
1 se
n0
0
tfA
tfA
tfAA
tv
n
n
AAC
T
ooo
Reconstrução por série de fourier duma sequência de pulsos
Exemplo 2.1
Esquematizar o espectro de amplitude de uma sequência de pulsos rectangulares para cada um dos seguintes casos.
No último caso a sequência de pulsos degenera numa constante ao longo do tempo. Como é que esse facto tarnsparece no espectro?
000 :
2;
5T
TT
Solução 2.1
22
42
22
42
22
42
22
42
24
24
2
0
24
24
2
0
2
0
00
000
0
00
000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
..2
..2
11
).(1
Definição
nfjT
nfjnfjT
nfj
nfjT
nfjnfjT
nfj
n
T
T
tnfj
T
T
tnfjn
T
tnfjn
eeeenj
A
eeeenj
AC
AeT
AeT
C
etvT
C
Solução 2.1
222222
22
42
22
42
22
42
22
42
0
22
42
22
42
22
42
22
42
00
00
00
0000
0000
00
000
0
00
000
0
..2
..2
..2
..2
..2
nfjnfjnfjnfjnfjnfj
n
nfjnfjnfjnfj
nfjnfjnfjnfj
n
nfjT
nfjnfjT
nfj
nfjT
nfjnfjT
nfj
n
eeeeeenj
AC
eeeenj
A
eeeenj
AC
T
eeeenj
A
eeeenj
AC
Teorema da Potência
Relaciona a potência média S de um sinal periódico com os seus coeficientes de Fourier
Parseval de TeoremaS
)(1
).(1
S
lexponensia série sua pela (t) vndoSusbstitui
)().(1
)(1
)().()(
complexofor v(t)Se
2*
*2
0
2*
0
*
*
0
2
0
*2
00
00
n nn nn
nn T
tfj
T n
tfjn
TT
CCC
CdtetvT
dteCtvT
dttvtvT
dttvT
S
tvtvntv
oo
Sinais não periódicos: espectros continuos
Sinais não periódicos
Só existem durante um período do tempo Se o sinal não periódico possui energia total
finita não nula– É representado no domínio da frequência por um
espectro contínuo que é a sua Transformada de Fourier
Sinal não periódico típico
2,
2
Sinal estritamente limitado no tempo v(t) =0 fora do intervaloDesignado por pulso<v(t)>=<v(t)2> =0Considera-se Energia total
pulso) do (energia
)(
anormalizad Energia
2
2
AE
dttvE
Transformada de Fourier
Sinal não periódico é um sinal periódico com período infinito
2
2
2
0
0
2
2
2
0
00
0
0
0
0
0
0
0
).()((V(f)
:Fourier de daTransforma
)(
como se-define periódico não sinal de Espectro
).(1
,....2,,0,,2...,
domínio no definida discreta Função
periódico sinal de Espectro
lim
T
T
tfj
T
T
T
tfj
dtetvtv
T
CnT
dtetvT
Cn
ffff
Cn
Transformada de Fourier
;argarg
e )()( realfor sinal o Se (iii)
de área a é )0 de valor O (ii)
fase de espectro o é ) arg e amplitude de espectro o é
real. variávelde complexa função uma é (i)
periódicos sinais para que papel mesmo o representa
Fourier de inversa daTransforma
)((V(f).ev(t)
periódico não sinal do Obtenção
*
1
-
1ftj2
V(f)-V(-f)
f)V(V(f)fVfVv(t)
v(t)V(
V(fV(f)
V(f)
CnV(f)
fVdf
Simetria par para o espectro de amplitudeSimetria ímpar para o espectro de fase
Pulso Rectangular não periódico
AV
Af
AdtAefV
tAv(t)
t
ftj
)0(
)sinc(f)sin(f)(
2t 0
2t 1
2
2
2
Espectro do pulso rectangular
Teorema da EnergiaTeorema de Rayleigh
Relação idêntica ao teorema da potência de Parseval
)(Joules/Hz energia espectral densidade
)()(
)()().(
2
2*
fVfGv
dffVdffVfVE
Largura de banda
21
1
1
2
1
11
92.0
df)sinc(f)()(
AE
AfVE
Calculado numericamente
Largura de banda dum sinal
Definição– Amplitude do menor intervalo espectral positivo
que contém 90% de energia total do sinal (ou da sua potência média se se tratar dum sinal periódico).
Modulação
Modulação de frequência
A multiplicação de um sinal v(t) por uma onda sinusoidal dá origem a um sinal vm(t)– Espectro de vm(t) é o espectro de v(t) transladado
na frequência dum valor igual à frequência do sinal sinusoidal
– Resultado da Transformada de Fourier conhecido por Teorema da modulação
Teorema da modulação
)()(2
1)(
)(2
1)(
2
1)(
2).()(
2)2cos(
)2cos()()()(
)2cos()()(
))(()()(
)(2)(2
222
22
22
pp
tffjtffjm
ftjftjftj
m
tfjtfj
p
ftjp
ftjmm
pm
ffVffVfVm
dtetvdtetvfV
dteee
tvfV
eetf
dtetftvdtetvfV
tftvfv
tvfVtv
pp
pp
Exemplo modulado em amplitude e respectivo espectro
)(fsinc2
)(fsinc2
)(
)2cos(.)(
pp
p
fA
fA
fZ
tft
Atz
Sinal modulado em frequência e espectro
)f2sinc(f)f2sinc(f2
)fsinc(f)fsinc(f2
)]2cos([)(
)4cos()2cos()2cos()(
pp
ppp
ppp
A
AtfAfV
tft
Atft
AtfAtv
