Geometria EspacialGeometria Espacial
Prof. Kairo O SilvaProf. Kairo O Silva
AxiomasAxiomas
Axiomas, ou postulados (Axiomas, ou postulados (PP), são ), são proposições aceitas como proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. desenvolvimento de uma teoria.
A reta é infinita, ou seja, contém A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.infinitos pontos.
Por um ponto podem ser traçadas Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas. infinitas retas.
Por dois pontos distintos passa uma Por dois pontos distintos passa uma única reta. única reta.
Por três pontos não-colineares passa Por três pontos não-colineares passa um único plano. um único plano.
Por uma reta pode ser traçada uma Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos. infinidade de planos.
Posições relativas de duas Posições relativas de duas retasretas
Posições relativas de duas Posições relativas de duas retasretas
Posições relativas de duas Posições relativas de duas retasretas
Temos que considerar dois Temos que considerar dois casos particulares: casos particulares:
retas perpendiculares: retas perpendiculares:
retas ortogonais: retas ortogonais:
Postulado de Euclides ou Postulado de Euclides ou das retas paralelas das retas paralelas
Dados uma reta Dados uma reta rr e um ponto P r, e um ponto P r, existe uma única reta existe uma única reta ss, traçada por, traçada por PP, tal que , tal que r // s: r // s:
Determinação de um Determinação de um planoplano
uma reta e um ponto não-uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta: pertencente a essa reta:
Determinação de um Determinação de um planoplano
duas retas distintas concorrentes: duas retas distintas concorrentes:
Determinação de um Determinação de um planoplano
duas retas paralelas distintas: duas retas paralelas distintas:
Posições relativas de reta e Posições relativas de reta e planoplano
reta contida no plano reta contida no plano
Posições relativas de reta e Posições relativas de reta e planoplano
reta concorrente ou incidente ao reta concorrente ou incidente ao plano plano
Posições relativas de reta e Posições relativas de reta e planoplano
reta paralela ao planoreta paralela ao plano
Perpendicularismo entre Perpendicularismo entre reta e planoreta e plano
Posições relativas de dois Posições relativas de dois planosplanos
planos coincidentes ou iguais planos coincidentes ou iguais
Posições relativas de dois Posições relativas de dois planosplanos
planos concorrentes ou secantes planos concorrentes ou secantes
Posições relativas de dois Posições relativas de dois planosplanos
planos paralelo planos paralelo
Poliedros convexos e Poliedros convexos e côncavoscôncavos
Chamamos de Chamamos de poliedropoliedro o sólido o sólido limitado por quatro ou mais limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum dois somente uma aresta em comum
Poliedros convexos e Poliedros convexos e côncavoscôncavos
Os poliedros convexos possuem nomes Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:faces, como por exemplo:
tetraedro: quatro faces tetraedro: quatro faces pentaedro: cinco faces pentaedro: cinco faces hexaedro: seis faces hexaedro: seis faces heptaedro: sete faces heptaedro: sete faces octaedro: oito faces octaedro: oito faces icosaedro: vinte faces icosaedro: vinte faces
Relação de EulerRelação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:relação seguinte:
V - A + F = 2V - A + F = 2
V=8 A=12 F=68 - 12 + 6 = 2
Relação de EulerRelação de Euler
V = 12 A = 18 F = 8 V = 12 A = 18 F = 8 12 - 18 + 8 = 2 12 - 18 + 8 = 2
Poliedros platônicosPoliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:se, e somente se:
a) for convexo;a) for convexo; b) em todo vértice concorrer o b) em todo vértice concorrer o
mesmo número de arestas;mesmo número de arestas; c) toda face tiver o mesmo número c) toda face tiver o mesmo número
de arestas;de arestas; d) for válida a relação de Euler.d) for válida a relação de Euler.
Poliedros platônicosPoliedros platônicos
Poliedros platônicosPoliedros platônicos
PrismasPrismas
PrismasPrismas
bases:as regiões poligonais bases:as regiões poligonais RR e e SS altura:a distância altura:a distância hh entre os planos entre os planos arestas das bases:os lados ( dos arestas das bases:os lados ( dos
polígonos) polígonos) arestas laterais:os segmentos arestas laterais:os segmentos faces laterais: os paralelogramos faces laterais: os paralelogramos
AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A EE'A'A
PrismasPrismas
ClassificaçãoClassificação reto: quando as arestas laterais reto: quando as arestas laterais
são perpendiculares aos planos são perpendiculares aos planos das bases;das bases;
PrismasPrismas
ClassificaçãoClassificação oblíquo: quando as arestas oblíquo: quando as arestas
laterais são oblíquas aos planos laterais são oblíquas aos planos das bases.das bases.
PrismasPrismas
Chamamos de prisma regular todo Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são prisma reto cujas bases são polígonos regulares: polígonos regulares:
PrismasPrismas
PrismasPrismas
volume de um prisma volume de um prisma V = AB.h V = AB.h
Paralelepípedo retânguloParalelepípedo retângulo
Diagonais da base e do Diagonais da base e do paralelepípedoparalelepípedo
SendoSendo AL AL a área lateral de um a área lateral de um paralelepípedo retângulo, paralelepípedo retângulo,
temos: temos: AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc
= AL = 2(ac + bc)= AL = 2(ac + bc)
área total é a soma das áreas área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas: de cada par de faces opostas:
AT= 2( ab + ac + bc)AT= 2( ab + ac + bc)
volume de um volume de um paralelepípedoparalelepípedo
volume de um paralelepípedo volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões retângulo de dimensões aa, , bb e e cc é é dado por: dado por:
V = abcV = abc
CuboCubo
Diagonais da base e do Diagonais da base e do cubocubo
Área lateralÁrea lateral
AL=4a2 AL=4a2
Área totalÁrea total
AT=6aAT=6a²²
VolumeVolume
V= a . a . a = aV= a . a . a = a³³
CilindroCilindro
Classificação do CilindroClassificação do Cilindro
circular oblíquo: quando as geratrizes circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases; são oblíquas às bases;
circular reto: quando as geratrizes circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases são perpendiculares às bases
cilindro de revolução cilindro de revolução
O cilindro circular reto é também O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução chamado de cilindro de revolução
Secção transversal Secção transversal
Secção meridiana Secção meridiana
ÁreasÁreas
VolumeVolume
Vcilindro = Ab.h Vcilindro = Ab.h
PirâmidesPirâmides
Relações entre os Relações entre os elementos de uma pirâmide elementos de uma pirâmide
regularregular
Relações entre os Relações entre os elementos de uma pirâmide elementos de uma pirâmide
regularregular A face lateral da pirâmide é um A face lateral da pirâmide é um
triângulo isósceles. triângulo isósceles.
Relações entre os Relações entre os elementos de uma pirâmide elementos de uma pirâmide
regularregular Os triângulos VOB e VOM são Os triângulos VOB e VOM são
retângulos. retângulos.
ÁreasÁreas
AT = AL +AbAT = AL +Ab
VolumeVolume
Cone circularCone circular
Cone circularCone circular
altura: distância altura: distância hh do vértice do vértice VV ao plano ao plano
geratriz (geratriz (gg):segmento com uma ):segmento com uma extremidade no ponto extremidade no ponto VV e outra num e outra num ponto da circunferência ponto da circunferência
raio da base: raio raio da base: raio RR do círculo do círculo eixo de rotação:reta determinada pelo eixo de rotação:reta determinada pelo
centro do círculo e pelo vértice do cone centro do círculo e pelo vértice do cone
Cone retoCone reto
gg²² = h = h²²+ R+ R²²
Secção meridianaSecção meridiana
ÁreasÁreas
Teorema de Pappus - Guldin Teorema de Pappus - Guldin
quando uma superfície gira em torno quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal de um eixo e, gera um volume tal que:que:
d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo eS=área da superfície
VolumeVolume
Secção paralela à base de Secção paralela à base de uma pirâmideuma pirâmide
Tronco da pirâmideTronco da pirâmide
Áreas & VolumeÁreas & Volume
AT =AL+AB+Ab AT =AL+AB+Ab
Tronco do coneTronco do cone
ÁreasÁreas
VolumeVolume
EsferaEsfera
Fuso esféricoFuso esférico
Cunha esféricaCunha esférica
Calota esféricaCalota esférica
Zona esféricaZona esférica