MAT 11A AULA 30
30.01
0,7x + 0,2(0,3x) = 3 800
0,7x + 0,06x = 3 800
0,76x = 3 800 x = 5 000
R$ 5 000,00
30.02
0,25 279 = 69,75
30.03
(V)
Novo preço = (1 – 0,11)x
Novo preço = 0,89x
(F)
Novo preço = (1 + 0,25)x
Novo preço = 1,25x
(F)
Novo preço = (1 – 0,22)x
Novo preço = 0,78x
(V)
Novo preço = (1 + 0,13)x
Novo preço = 1,13x
(V)
Novo preço = (1 – 0,10)(1 – 0,20)x
Novo preço = 0,72x
(V)
Novo preço = (1 + 0,10)(1 + 0,20)x
Novo preço = 1,32x
30.04
2100 100
504 x
x = 24% em 4 meses, ou seja, 6% ao mês.
30.05
880 450 = 430
430 100
450 x
x = 104,65% ou seja, a taxa é de 4,65%
30.06
1º) 1,02 2 000 = 2 040,00
2º) 1,08 2 040 = 2 203,20
R$ 2 203,20
30.07
x: preço por cabeça
Início = 749x
1ª Venda 749x
700
2º Venda 49 749x
700
749x49
49700749X 700
·
= 7%
30.08
0,40 0,80x = 2 032
0,32x = 2 032
x = 6 350
R$ 6 350,00
30.09
150,29 133%
x 100%
x = 113%
150,23 113 = 37,29
R$ 37,29 referente aos tributos.
30.10
x 30%
0,7x 0,6 0,3
0,18
·
0,88x
O prejuízo foi de 12%.
30.11
x 119,34
1,02x
1,02(1,02x 119,34) = 260,1
1,02(1,02x 119,34) = 260,1
1,02x 119,34 = 255
1,02x = 374,34
x = 367
R$ 367,00
30.12
1700 100
250 x
x 14,7058%
1450 100
y 85,2942
y = 1 236,76
R$ 1 236,76
30.13
1 000 5%
1 050 10%
945 5%
R$47,25
992,25
R$ 992,25
30.14
Celular = 100
A vista 90
A prazo 50 + 50
90 50 = 40 falta pagar equivalente a 50.
40 100%
50 x
x = 125%
25%
30.15
I) 0,85 3x = 2,55x
III) juros: 0,02(3x) = 0,06x
Total = 3x + 6 0,06x = 3,36x
Diferença I e III
3,36x 2,55x = 0,81x
30.16
(Varejo2050) = (1,11)(1,11)...(1,11)(Varejo2010)
(Varejo2050) = (1,11)40(Varejo2010)
(Varejo2050) = 65.(Varejo2010)
ALTERNATIVA D
30.17
1º 1530
0,85 = 1 800 s/ desconto
2º 2790
0,93 = 3 000 s/ desconto
Valor total sem desconto = 4 800
Valor total com desconto = 4 320
4320 x
4800 100 x = 90%, o desconto foi de 10%
30.18
01) (F)
80
1002
1000
= 40 = 4000
100 = 4 000%
02) (V)
04) (F)
Uma unidade.
1
5 = 0,20 = 20% desconto
08) (V)
Original Massa Valor
1ºpedaço 20 400
2ºpedaço 4 16272
16 256
400 272 = 128 desvalorização
128
400 = 30%
16) (F)
1380
1200 = 1,15 15%
30.19
a)
640000
1,60 = 400 000
R$ 400 000,00
b)
76000
400000 = 0,19 19%
30.20
Custo: 1 200
x artigos custo unitário: 1200
x
perdeu 5. Ficou com x 5
lucro por unidade:
1200
x + 10
Ganha Gasta = Lucro
(x 5) 1200
10x
1 200 = 450
1 200x + 10x2 6 000 50x = 1 650X
10x2 500x 6 000 = 0
x2 50x 600 = 0
x' = 10 e x’’ = 60
MAT 11A AULA 31
31.01
poupança poupança
CDB CDB
0,56R 500 R 2,80
100
0,876R 0,96 500 R 4,20
100
ALTERNATIVA D
31.02
Calculando as rentabilidades anuais de cada investimento:
12A A
B
2C C
A C B
R 1,03 (Tabela) R 1,426
R 1,36
R 1,18 R 1,3924
R R R
ALTERNATIVA C
31.03
74,4% de 700 = R$ 520,80
31.04
1,1x = 9 900 x = 9 000
0,9y = 9 900 y = 1 100
x + y = 20 000 deveria ter
ganhou 18 800
ou seja, um prejuízo de 200 reais.
31.05
10% 40bi
100% x 400bi
10% gasta
consumo = 400 40 = 360bi
31.06
319,80 vendeu por x
Pagou 18% de imposto restou 0,82x
0,6 custo aquisição
0,6 82x = 319,80 x = R$ 650,00.
31.07
61 =
0 1 2
25 25 25
1 i 1 i 1 i
= 1 + i = x
36 = 2
25 25
x x
236x 25x 25 0
4225
x = 25 65
72
x’ = 0,56 e x’’ = 1,25
1 + i = 1,25 i = 0,25
31.08
Inicial 10 000
Valor 1º ano 1,2 10 000 = 12 000
1ª Parcela 4 000
12 000 4 000 = 8 000
Saldo devido 8 000
1,20 8 000 = R$ 9 600,00
31.09
m = c(1 + i)t
1 125 = c (1 + 0,5)2
c = 1125
2,25
c = R$ 500,00
31.10
1 200 1,025 1,05 x = 1 330,24
x = 1330,24
1291,5 x 1,03%
ou
1 200 1,025 = 1 230 (fev)
1230 105 = 1 291,5 (mar)
Abril
1330,21
1291,5 1,029 3%
31.11
50 60
10
50 = 0,2 = 20%
31.12
A 1
4A
Lado 1
2 = 50%
Ex:
S = 16 l = 4
S = 4 l = 2
31.13
400 = 200(1,01)n
2log 2 =
2log (1,01)n
1 = n 0,0144
n = 1
0,0144 n 69,44
31.14
1 ano e 8 meses = 20 meses
m = c(1 + i)t
m = 10 000(1 + 0,015)20
m = 10 000[(1,015)10]2
m = 10 000 1,162
m = 10 000 1,3456
m = 13 456,00
31.15
01) (V)
50 20 = 34 deve
x = 1 + i i 12%
02) (F)
É correto dizer que o aumento de R$20,00 para R$40,00 é de 100%, mas é incorreto afirmar
que a redução de R$40,00 para R$20,00 é de 100%, pois é de 50%.
04) (V)
08) (V)
n(8) = 50 28
n(8) = 50 256
n(8) = 12 800 pessoas
31.16
01 – VERDADEIRO
6 200 5 000 5 000
1 200
12 meses
M C Cit
2t
100
100t
t
02 – VERDADEIRO
3 300 2 500 2 500
20 000
4% ao mês
M C Cit
i 8
800 i
i 0,04
i
04 – FALSO
08 – FALSO
Os juros pago foi de R$800,00
SOMA = 03
31.17
01) (V)
3024 120%
x 100
x = 2 520
O capital aplicado inicialmente foi de R$ 2 520,00
02) (V)
Os montantes obtidos (3024, 3024x, 3024x²) ao final de cada período de um ano formam uma
progressão
geométrica .
04) (F)
Ano 1: rendimento anual = 0,20 × 2520 = 504.
Ano 2: rendimento anual = 0,40 × 3024 = 1209,60 ≠ 2 × 504.
08) (V)
3 024 1,3 1,3 = 5 110,56
16) (F)
Supondo-se que as taxas de juros anuais para o segundo e o terceiro ano, foram,
respectivamente, de 30%
e 10%, o montante, ao final do terceiro ano, seria o mesmo se, nos dois últimos anos, a taxa
de juros anual
fosse constante e igual a 20%.
Opção I: 1,2 × 1,3 × 1,1 C = 1,716 C
Opção II: 1,2 × 1,2 × 1,2 C = 1, 728 C.
Os resultados seriam diferentes.
31.18
tg = h 0,04
0,37 1 h = 0,0148
f(2,37) = 1,08 + 0,0148
f(2,37) = 1,0948
31.19
m = C(1 + i)t
2 000 = 1 000(1 + 0,06)t
2log 2 = log 1,06t
1 = t 0,084
t = 1 1000
0,084 84 11,9 12 anos
31.20
2000 110mi
60 x
x 3,3 milhões.
MAT 11B AULA 30
30.01
24 12
34 17
30.02
1 5 9 15
2 6 10 18
3 7 11 21
4 8 12 24
30.03
Soma 0 (0,0)
Soma 1 (0,1) (1,0)
Some 2 (0,2) (1,1) (2,0)
Soma 3 (1,2) (2,1)
Soma 4 (2,2)
30.04
a) VERDADEIRO
b) VERDADEIRO
c) FALSO - Para quaisquer eventos A e B, temos: P(A B) P(A) P(B) P(A B) .
d) VERDADEIRO
e) VERDADEIRO
ALTERNATIVA C
30.05
(1 0,2) 0,7
0,2 0,7 = 0,56
30.06
1 1
5 4 20
·
30.07
2
100
99 99 1
100 99 50C
2
·
30.08
P(AB) = P(A) + P(B) P(AB)
0,8 = 0,3 + P(B) 0,3 P(B)
0,5 = P(B) 0,7
P(B) = 5
7
P(AB) = P(A) P(B)
30.09
4 certas
1 certa e 3 erradas
2 certas e 2 erradas
4 erradas
É impossível mandar 3 certas e 1 errada
30.10
a) 2
8C = 28
b) (F)
R 4B 12
1612 sem
= 0,75
Q 2B 6
86 sem
= 0,75
c) 1 0,75 = 0,25
e) 8 3
8C = 8 56 = 448
30.11
PA cres. decres
1, 2, 3
2, 3, 4
3, 4, 5
1, 3, 5
PA 4 x 2
Total 5 4 3 = 60
8 2
60 15
30.12
questão
1 3 3 3 27 4
4 4 4 4 64· · · ·
30.13
I) (V)
1 1 1 1
2 2 2 8· ·
II) (F)
1 1 1 13 4
8 8 8 2 · ·
III) (V)
m H m ou H
1 1 12 2
2 2 2
· · ··
HHH HHm HmH Hmm
mmm mmH mHm mHH
IV) (F)
4
8
30.14
Probabilidade de receber = 100% 0,1% = 99,9%
A envia e B recebe e B envia e C recebe
99,9% 99,9% = 99,8001%
A errado
B errado
C
0,1% 0,1% = 0,0001%
99,0002%
30.15
2a + 2b + 2c = 22 a + b + c = 11
Para soma ser 7 só se as faces forem 3 e 4
Então, 4 + 4 + 3 = 11 4 faces nº4 e 2 faces nº3
2 4
6
2
6 =
4
9
30.16
Considere os endereços E1, E2, E3 e E4 com as respectivas cartas C1, C2, C3 e C4. As
permutações nas quais todas as cartas serão enviadas para endereços errados são:
E1 E2 E3 E4
C2 C1 C4 C3
C2 C3 C4 C1
C2 C4 C1 C3
C3 C1 C4 C2
C3 C4 C1 C1
C3 C4 C2 C2
C4 C1 C2 C3
C4 C3 C1 C2
C4 C3 C2 C1
Como o total de possibilidades é a permutação das 4 cartas, temos, P4 = 4! = 24.
A probabilidade fica:
9 3p p
24 8
ALTERNATIVA A
30.17
(F)
(V)
192mi 3%
x 100%
x = 6 400 mi = 6,4 bi
(V)
(F)
77 3 =
(V)
0,10 0,32 = 0,32 3,2%
30.18
I – VERDADEIRO
No máximo uma peça defeituosa:
P = Nenhuma peça defeituosa OU 1 peça defeituosa
P = 0,040 x 0,965 + 0,041 x 0,964 x 5
II – VERDADEIRO
Pelo menos uma peça defeituosa:
P = 100% MENOS Nenhuma peça defeituosa
P = 1 – 0,040 x 0,965
III – FALSO
5 peças defeituosas:
P = 0,045 x 0,960 0
ALTERNATIVA B
30.19
Exercício Resolvido no material
30.20
Exercício Resolvido no material
MAT 11B AULA 31
31.01
Esta media é obtida dividindo o número de número de raios que atinge qualquer estaçãp pelo
intervalo de tempo que isso ocorre.
31.02
1
3
31.03
Analisando o gráfico, uma pessoa com 15 anos e com 60% do corpo queimado é de 0,88 pois
esta pessoa está localizada na faixa “j”.
31.04
Números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}
15 3
50 10
31.05
2
4
2
10
C 6 2
45 15C
31.06
2
5
1 1
10C
31.07
365 1 1
365 365 365
·
· = 0,0027
31.08
(4, 4)
(2, 6)
(6, 2)
(3, 5)
(5, 3)
5
36
31.09
56% + 8% = 64%
31.10
1 1
15 10
2
25
C C 15 10 1
300 2C
· · = 50%
31.11
p = 1 1 1
7 6 42
·
31.12
P = 2
10C (0,2)2 (1 0,2)8 = 45 0,22 0,088
31.13
Total P4
A _ _ _ B D A C
ABCD
3 1 3 1
9 3
24 8
31.14
(100 0,03)% DE 1 000 000
99,97% 1 000 000 = 999 700
31.15
A mulher dará à luz quadrigêmeos.
Resultado da união de 4 espermatozoides diferentes fecundados em 4 óvulos diferentes, é
como se fossem nascidos em 4 gestações diferentes. Resposta (d)
31.16
b
c
4 8 12 16 20 24
1 2 3 4 5 6
1=1 x x x x x x
2=4 x x x x x
3=9 x x x x
4=16 x x x
5=25
6=36
< 0
b2 4c < 0
b2 < 4c
6 5 4 2 17
36 36
31.17
1º
CA 1 + 1 = 2
CO 1 2 = 2
CA + CO = 4
2º
CO 1 1 = 1
CA = 1 + 2 = 3
CO + CA = 4
P(CA) P(CO) P(4)
1 1 1 1=
2 2 4· ·
P(CA) P(CO) P(CA)
1 1 1 1
2 2 2 8· ·
1 1 3
4 8 8
31.18
(V) A probabilidade de que Moisés e João sejam escolhidos para realizar esses partos é de 1/15. 1
8
3
10
8 8 1p p p p
10.9.8 120 15
3.2.1
CC
(F) A probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é de 12,5%.
1 1 1 1p 2 p p 25%
2 2 2 4
(V) Dois eventos são ditos independentes quando a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B é nula.
Eventos Independentes
Temos :
p(A B) p(A) p(B) p(A B)
p(A B) p(A) p(B)
Logo : p(A B) 0
(V) É maior que 50% a probabilidade de no mínimo um deles (Moisés ou João) ser escolhido para fazer um desses partos.
3
8
3
10
8.7.67 83.2.1p 1 p 1 p 1 p 50%
10.9.8 15 15
3.2.1
CC
(F) A probabilidade de que Moisés ou João realizem um dos partos, e de que nasça um menino, é maior que 50%.
2 2
9 9
3 3
10 10
1 1 1 1p
2 2 15 2
36 1 36 1 1p
120 2 120 2 30
3 1p
10 30
4p 50%
15
C CC C
31.19
Exercício resolvido no material
31.20
Exercício resolvido no material
MAT 11C AULA 30
30.01
Monta-se o sistema:
20 624
2 2
22
2 2
2 2
2
x y 4x 8y 16 0
4 4x4x 3y 4 0 y
3
Substituindo :
4 4x 4 4xx 4x 8 16 0
3 3
16 32x 1 2x x 4x 1 x 144 0
9 3
9x 16 32x 16x 4x 96 96x 144 0
25x 132x 32 0
0
Rua atravessa a praça (Reta secante – dois pontos de intersecção)
ALTERNATIVA E
30.02
A distância percorrida pela patinadora é a distância entre o ponto A e o ponto de tangência da
reta que ela descreve com a circunferência.
Cálculo do ponto de tangência entre a reta descrita pela patinadora e a circunferência:
2 2
2 2
22
2 2
2
2
y 1 2x
x 5 y 6 5
Substituindo :
x 5 1 2x 6 5
x 10x 25 2x 5 5
x 10x 25 4x 20x 25 5
5x 30x 45 0
x 6x 9 0
x 3 y 7 P(3,7)
Cálculo da distância entre o ponto A(0,1) e o ponto P(3,7):
2 2
d 3 0 7 1
d 45
d 3 5
ALTERNATIVA C
30.03
C = (1, 3)
dCA = 4 1 2 2 2
30.04
C = (2, 1)
dCA = 9 16 = 5
30.05
30.06
Temos que a equação geral da circunferência é:
2 2x y 10y 0
Logo, o centro da circunferência é (0, 5).
Sendo o centro da circunferência o ponto médio de um diâmetro, temos que (0,5) é o ponto
médio do diâmetro AB.
Se A(3,1) e (0,5) é ponto médio, então, B(-3,9).
ALTERNATIVA A
30.07
Substituindo o ponto P na equação da circunferência, temos:
223 1 3 ...16
25 16
Ou seja, o ponto P é externo à circunferência. Assim, a distância de P à circunferência é a
distância de P ao centro menos o raio da circunferência.
2 2
d 3 0 1 3 4
d 1
ALTERNATIVA B
30.08
Ponto do eixo das abscissas: P(x, 0)
A distância de P à circunferência é a distância de P ao centro menos o raio da circunferência.
2 2
2 2
2
2
d x 1 0 3 2 3
x 1 0 3 5
x 2x 1 9 25
x 3x 2x 15 0
x 5
P( 3,0)
ou
P(5,0)
ALTERNATIVA D
30.09
Centro (2, y)
Raio = 2
Reta externa: 3x + 4y – 7 = 0
Distância da Reta á circunferência = 1
A distância da reta à circunferência é a distância da reta ao centro menos o raio, assim:
2 2
3.2 4y 71 2
3 4
4y 1 15 y 4 2,4
15 4y 1 7 74y 1 15 y 2,
2 2
ALTERNATIVA D
30.10
Resolvendo o sistema:
2 2
2 2
2 2
2
x y 1 0 y x 1
x 1 y 4
Substituindo :
x 1 x 1 4
x 2x 1 x 2x 1 4
x 1 y 2 (1,2)2x 2
x 1 y 0 ( 1,0)
Soma 1 2 ( 1) 0
Soma 2
ALTERNATIVA C
30.11
Perceber que as duas circunferências são concêntricas (mesmo centro), cujo centro possui
coordenadas (1,2).
Cálculo dos raios das duas circunferências:
2 2 21
21
1
2 2 22
22
2
1 2 3 R
2 R
R 2
1 2 1 R
4 R
R 2
Cálculo da área da coroa circular:
2 22 1
22
Área R R
Área 2 2
Área 2
ALTERNATIVA A
30.12
A região é um círculo de raio 3, ou seja:
2
2
A R
A 3
A 9
ALTERNATIVA E
30.13
O triângulo é retângulo em O(0,0), sendo assim, o diâmetro de extremidades A(2,0) e B(0,3)
coincide com a hipotenusa do triângulo.
Cálculo da distância entre os pontos A e B:
2 2
AB
AB
d 2 0 0 3
d 13
Sendo assim, temos que o raio da circunferência é 13
R2
.
O centro da circunferência é o ponto médio dos pontos A e B, assim, temos que as
coordenadas do centro são 3
C 1,2
.
Cálculo da equação da circunferência:
222
22
3 13x 1 y
2 2
3 13x 1 y
2 4
Os pontos de intersecção da reta y = x com a circunferência são calculados pela resolução do
sistema:
22
22
2 2
2
y x
3 13x 1 y
2 4
Substituindo :
3 13x 1 x
2 4
9 13x 2x 1 x 3x
4 4
2x 5x 0
x 0 y 0 0,0
x(2x 5) 0 5 5 5 5x y ,
2 2 2 2
As somas das coordenadas podem ser: 0 ou 5.
ALTERNATIVA A
30.14
A distância da reta à circunferência é a distância da reta ao centro menos o raio, assim:
Cálculo das coordenadas do centro e do raio da circunferência:
Centro: (3, 1)
32 + 12 – 6 = R2
R = 2
Cálculo da distância entre a reta e a circunferência:
2 2
3.3 4.1 2d 2
3 4
d 3 2
d 1
ALTERNATIVA A
30.15
Um ponto qualquer da reta tem coordenadas P(k, 4 – k);
A circunferência possui centro C(-3,-3) e raio R = 2;
A distância de P até a circunferência é a distância de P até C menos o raio R, ou seja:
2 2
2 2
2
d k 3 4 k 3 2
d k 6k 9 49 14k k 2
d 2k 8k 58 2
A distância será mínima quando a expressão que estiver dentro da raiz for mínima, então:
y = 2k2 – 8k +58
y será mínimo no vértice da parábola determinada pela função e o valor de k é a abscissa do
vértice:
( 8)k k 4
2
Assim, o ponto é P(4, 0).
ALTERNATIVA A
30.16
O ponto da circunferência mais próximo de (5,5) é uma das intersecções entre a circunferência
e a reta definida por (5,5) e o centro C(0,0).
Cálculo da equação da reta:
0 5 x 00 5y 5x 0 y x
0 5 y 0
Cálculo da intersecção entre a reta e a circunferência:
2 2
2 2
1
2
2
x y 1
y x
Substituindo :
x x 1
2 2 2 2x y P ,
2 2 2 21x
2 2 2 2 2x y P ,
2 2 2 2
O ponto mais próximo é 2 2
,2 2
A soma das coordenadas é 2
ALTERNATIVA B
30.17
O ponto da circunferência mais próximo de (1,2) é uma das intersecções entre a circunferência
e a reta definida por (1,2) e o centro C(2,3).
Cálculo da equação da reta:
1 2 x 10
2 3 y 2
3 2y 2x y 3x 4 0
y x 1
Calculando as intersecções entre a reta e a circunferência:
2 2
2 2
2 2
2 2
2
12
2
y x 1
x 2 y 3 2
Substituindo :
x 2 x 1 3 2
x 2 x 2 2
x 4x 4 x 4x 4 2
2x 8x 6 0
x 1 y 2 P 1,2x 4x 3 0
x 3 y 4 P 3,4
Ou seja, o ponto (1,2) pertence à circunferência e é extremidade de um diâmetro. O ponto da
circunferência mais distante dele é a outra extremidade do diâmetro que, consequentemente,
possui o centro (2,3) como ponto médio.
O ponto mais distante é, então, (3,4) e o produto é 12.
ALTERNATIVA B
30.18
O ponto da circunferência mais próximo de (10,-6) é uma das intersecções entre a
circunferência e a reta definida por (10,-6) e o centro C(6,-2).
Cálculo da equação da reta:
10 6 x 100
6 2 y 6
20 6y 6x 10y 2x 36 0
4x 4y 16 0
y 4 x
Cálculo da intersecção entre a reta e a circunferência:
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
y 4 x
x 6 y 2 8
Substituindo :
x 6 4 x 2 8
x 6 6 x 8
x 12x 36 36 12x x 8
2x 24x 64 0
x 4 y 0 (4,0)x 12x 32 0
x 8 y 4 (8, 4)
As somas das coordenadas dos dois pontos é igual a 4.
ALTERNATIVA B
30.19
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
9 2x 1 4 3y 1 16
9 4x 4x 1 4 9y 6y 1 16
36x 36x 9 36y 24y 4 16
36x 36y 36x 24y 3 0
2 1x y x y 0
3 12
Se essa equação for circunferência o centro será 1 1
C ,2 3
.
Cálculo do raio:
2 22
2
2
1 1 1R
2 3 12
1 1 1R
4 9 12
16R
36
2R
3
ALTERNATIVA E
30.20
a)
b)
As tangentes comuns a duas circunferências se interceptam num ponto colinear com os
centros das duas circunferências. Assim:
P(k,0)
0 2 k 00
2 1 0 2
2k k 4 0
k 4
P(4,0)
30.21
a)
Cálculo da equação da reta:
2 3 x 20
2 2 3 y 2
4 2 3 3y 2x 2y 2 3 x 6 0
3x y 2 3 2 0
y 3x 2 1 3
b)
A reta tangente (t) será perpendicular à reta (r) no ponto P, assim:
r t
t
t
m m 1
3 m 1
3m
3
MAT 11C AULA 31
31.01
C (0, 0) R = 1,5
So = R2 = (150)2
So = 22 500
71 10
15m x
x = 15 106 cm
x = 150 Km
31.02
x2 + y2 4x 6y + 1075
100 = 0
(x 2)2 + (y 3)2 = 4 + 9 1075
100
R2 = 225
100 = R =
15
10
1
4C = 2R
1
4
1
42
15
10 = 0
3
4 = 0,75 u.c.
31.03
I – VERDADEIRO
d 2d 5
5d
3
As distâncias são:
5AB
3
10AC
3
II – VERDADEIRO
d = 5
As distâncias são:
AB = BC = 5
AC = 10
III – FALSO
Estando os pontos B e C no eixo x, as coordenadas precisam ser C(0,0) e B(5,0).
O ponto A, sendo móvel, para manter a condição das distâncias colocadas no enunciado, em
algum momento assumirá as coordenadas A(10,0).
Para ser uma circunferência, temos duas opções:
Centro em B: Sendo a distância entre A e B sempre igual a 5, há inúmeros momentos que a
distância entre A e C deixa de ser igual a 10.
Centro em C: Sendo a distância entre A e C sempre igual a 10, há inúmeros momentos que a
distância entre A e B deixa de ser igual a 5.
Assim, em nenhuma das duas circunferências possíveis as condições de distâncias colocadas
no enunciado são sempre seguidas.
ALTERNATIVA B
31.04
2 2 2
2 2
x 1 y 1 5
x 1 y 1 25
ALTERNATIVA C
31.05
2 2
2 2
22 2
2
3x 3y 9x 12y 3 0
x y 3x 4y 1 0
3C , 2
2
32 1 R
2
94 1 R
4
21R
2
ALTERNATIVA B
31.06
Circunferência que é tangente ao eixo das ordenadas (y), tem como raio a distância do centro
(2,5) ao eixo y que é igual ao valor da abscissa (x) do centro. Assim, tem-se R = 2.
2 2 2
2 2
x 2 y 5 2
x 2 y 5 4
ALTERNATIVA B
31.07
Se representa uma circunferência, então, o centro é C 4,1 .
Cálculo do raio:
2 2 2
2
mín
4 1 ( m) R
17 m R
Condição :17 m 0 m 17 m 16
ALTERNATIVA B
31.08
O centro da circunferência é C(2,3).
Cálculo da distância:
2 2
5.2 12.3 6d
5 12
52d
13
d 4
ALTERNATIVA C
31.09
Nesse caso, a resolução gráfica é mais indicada:
ALTERNATIVA C
31.10
Cálculo da equação da reta (r) que contém o raio da circunferência {passa pelo centro (0,0) e
pelo ponto (3,4)}.
0 3 x 0r : 0
0 4 y 0
4r : 3y 4x 0 r : y x
3
A reta tangente à circunferência (reta t) no ponto (3,4) é perpendicular à reta que contém o
raio (reta r), ou seja, t
3m
4 .
ALTERNATIVA A
31.11
C(1, 0)
R = 2
mcp = 1
1 = 1
mr = 1
y 1 = 1(x 2)
y = x + 3
e) (0. 3)
31.12
Perceber que as retas são paralelas (coeficientes angulares iguais). Assim, o raio é a distância
do centro C(0,0) até a qualquer uma das duas retas.
A equação geral da reta r é r: 3x – 4y + 20 = 0.
Cálculo do raio:
2 2
3 0 4 0 20R
3 ( 4)
R 4
Cálculo da equação da circunferência:
2 2 2
2 2
x 0 y 0 4
x y 16
ALTERNATIVA B
31.13
x2 + (x 1)2 = 13
2x2 2x 12 = 0
x2 x 6 = 0
x' = 2 y’ = 3
x’’ = 3 y’’ = 2
t = 2 25 5 5 2
31.14
Optando pela solução gráfica (esboço) , temos:
A equação da circunferência é:
2 2 2
2 2
x 0 y 0 2
x y 4 0
ALTERNATIVA B
31.15
2 2
x 2 y 2 4
x y
`
A primeira equação é a região interna de uma circunferência com centro em (2,2) e raio igual
a 2.
A segunda equação, é o semiplano superior determinado pela bissetriz ímpar.
A região é um semicírculo de raio 2. Assim:
21A 2
2
A 2
ALTERNATIVA B
31.16
R = 2
8S = 8 1
2 r r sen45o
S = 4 4 2
2
S = 8 2
31.17
A equação y = x2 – 6x + 8 representa uma função quadrática, ou seja, no plano cartesiano, os
pontos determinarão uma PARÁBOLA.
ALTERNATIVA A
31.18
(x 2)(x 4) = 0
x = 2 ou x = 4
b) um par de retas paralelas.
31.19
(x y)(x + y) = 0
X = y ou x = y
b) duas retas perpendiculares entre si.
31.20
x2 2xy = xy 2y2
x(x 2y) = (x 2y)y
x = y
ou
x = 2y
e) duas retas concorrentes e não perpendiculares.
31.21
sen = x 1
cos = y 3
sen2 + cos2
= 1
(x 1)2 + (y 3)2 = 1
b) uma circunferência.
31.22
A) O triângulo CDM possui base 10 cm e altura 10 cm. Assim:
2
10 10A
2
A 50cm
B) Aplicando Teorema de Pitágoras, temos:
22 2
2 2
R 5 10 R
R 25 100 20R R
20R 125
R 6,25cm
31.23
A área do quadrilátero PQOM é o dobro da área do triângulo OPQ, retângulo em Q. Assim:
k h3 2 k h 3
2
Aplicando as Relações Métricas no triângulo OPQ, temos:
OP PQ k h 3 PQ 3 PQ 1
Aplicando Teorema de Pitágoras no triângulo OPQ, temos:
2
2 2k 3 1 k 2
Ainda no triângulo OPQ podemos concluir que:
oOQ 3tg tg tg 3 60
PQ 1
Cálculo da equação da reta que contém PQ:
o om tg 180 m tg120 m 3
PQ : y 0 3 x 2
PQ : y 3x 2 3
Cálculo da equação da reta que contém PM:
om tg m tg60 m 3
PM : y 0 3 x 2
PM : y 3x 2 3
MAT 11D AULA 30
30.01
* Só não passa na abertura a esfera (III)
30.02
V = 4
3 R3
VE = 4
3 1
106 4
3 =
4
3R3
R = 102 R = 100
30.03
c
i
a 3R 2 3
aR
2
30.04
l = 10
V = 10 10 10
V = 1 000
R = 10
2 R = 5 cm
30.05
288 = 4
3R3
288 3
4
· = R3
216 = R3 R = 6
R = a 3
2
12 = a 3 a = 4 3
St = 6(16 3)
St = 288 cm2
30.06
3
3
V a
St 6a = 2 a = 12
Ri = 6
Vi = 4
3 63
Vi = 864
3
1
3 Vi = 96
30.07
4
3R3 = 36
R3 = 27 R = 3
V = Sb h V = 9 2 3
V = 54
30.08
V2 = R2 2R = 2R3
3
3 3
4R
4 33 4 3 2
2 R R2
· = 2
30.09
diâmetro da esfera = 8 cm
26 : 8 = 3
17 : 8 = 2
3 2 = 6 esferas
30.10
a3 = 8 a = 2
R = a 2
2 R = 2
H = a = 2
V = Sb h
V = 2 2
V = 4 m3
30.11
I) (F)
VE = 4
3R3 = 12 R3 = 9
VC = R2 2R = 24 R3 = 12
II) (F)
a3 = 64 a = 4
R = D
2 =
4 3
2
III) (V)
V = R2 h V = (2R)2 h = 4 R2 h
30.12
b 3
a 2 b =
3
2a
b = 3
V = 1
3
2a
2
b =
a2 b = 12
a2 3
2 a = 12
a3 = 8 a = 2
g2 = b2 +
2a
2
g2 = 32 + 12
g = 10
30.13
Não pode passar de 8 L
V1 = 4
3 3,14 2 = 8,37
V2 = 3,14 2 2 = 6,27 1,4 = 8,792
V3 = 3 3 7· · = 3 2,64 = 7,92
c) O paralelepípedo.
30.14
VC = 1
3 9 9 = 27
VE = 4
3 53 =
4
3 125 =
500
3
c
e
V 27 81
500V 500
3
= 0,162 = 16,2%
30.15
Altura do cilindro = 10
Raio do cilindro = 3
Altura do cone = 3
cilindroV
2 VCONE
1
2 32 105
1
2 12 3
45
44
30.16
(F)
(F)
288 = 4
3R3
216 = R3 R = 6
Vcone = 1
3 62 12
Vcone = 144
(V)
Sl = Rg
Sl = 6 6 5
Sl = 36 5
(V)
(V)
R = 5
C = 2R C = 2 5 = 10 m.
30.17
V1 = R2 h
V2 = Sb h lado da base = 2R
V2 = (2R)(2R) h
V2 = 4R2 h
21
2
2
V R h
V 4R h
4V1 = V2
30.18
VE = 4
3
3 3a a
2 6
Ve = 4
3
3a
10
= 34 a
3000
01) (F)
02) (F)
04) (V)
5 5 5 = 125
08) (V)
125 Ve = 125 3 34 a a
3000 6
16) (F)
32) (F)
3
E
3
e
aV 1 3006 V 6 44 a
3000
· = 125
30.19
l = 2r
l = 4 3
h = l 3 4 3 3
2 2
· h = 6
R2 = 2
262 3
3
R2 = 4 + 12
R = 4
VE = 4
3 43
VE = 256
3
cm3
30.20
a)
d2 + 3- = (3 3 )2
d2 = 27 9
d = 3 2 cm
b)
H = a 6
3 H = 2 6
r = H
4 r =
2 6
4
r = 6
2 cm
MAT 11D AULA 31
31.01
A associação das figuras aos sólidos é obtida pela rotação das figuras numeradas de 1 até 5
em relação ao eixo indicado.
31.02
a 3
3a 3
31.03
Vcil = R2H
Vcone = 1
3
2 2R H R H
2 2 24
·
31.04
Cone
R = L
2
h = L 3
2
Vcone = 9 3
1
3
2L L 3
2 2
· = 9 3
L3 = 27 8
L = 3 2 L = 6
31.05
h = R = x
2x2 = 144 x = 6 2
V = 1
3 72 6 2
V = 144 2
31.06
VE = 4
3R3
36 = 4
3R3
27 = R3 R = 3
Vcil = R2 H
Vcil = 32 2 3
Vcil = 54
31.07
6a2 = 54
a = 3
V = 1
3
23
2
3
V = 3 9 27
4 4
·
31.08
St = Rg + R2
St = 8 10 + 64 St = 144
31.09
Stcil = Vcil
2R h + 2R2 = R2 h
2L2 + 2L2 = L3
L3 4L2 = 0
L2(L 4) = 0
L = 4
31.10
Sendo l a medida da aresta do octaedro regular, temos:
l2 = 22 + 22 l = 2 2 cm
V = 2 1
3 (2 2 )2 2
V = 32
3 cm3
31.11
2
2
5 4 100 10 5
80 8 4 4 5
· ·
· ·
31.12
R = 3
h = 5
V = 32 5
V = 45
31.13
V = 270 1
360 3
· 62 4
V = 36
31.14
01 – FALSO
Se dobrarmos as medidas das arestas de um cubo, seu volume fica multiplicado por 8 e não
por 2.
02 – FALSO
Sólidos semelhantes são os que possuem razão constante entre as medidas - raio (R), altura
(H), geratriz(g).
1º caso:
Ao transformar em cone, temos:
g = r
1 r2 r 2 R R
2 2
2º caso:
Ao transformar em cone, temos:
g = r
1 r2 r 2 R R
4 4
A razão entre as geratrizes é diferente da razão entre os raios, ou seja, os cones não são
semelhantes.
04 – VERDADEIRO
Uma esfera inscrita em um cubo de 4 cm de aresta possui raio igual a 2 cm. Assim:
2 2S 4 .2 S 16 cm
08 – FALSO
Partindo do princípio que a altura mede 2 cm, as outras dimensões mediriam 5 cm e 7 cm.
Assim o volume do paralelepípedo seria: V = 2 . 5 . 7, ou seja, V = 70 cm3. Diferente do valor
proposto no item.
16 – VERDADEIRO
4 TRIÂNGULOS = 12 arestas
3 QUADRILÁTEROS = 12 arestas
Total = 24 = 2A
A = 12
F = 7
Pelo Teorema de Euler, temos:
V + 7 = 12 + 2
V = 7
SOMA = 20
31.15
Considerando o hexágono original como sendo a junção de 6 triângulos equiláteros iguais de
lado a, temos:
ah
2
H a
a 3r
2
a 3R 2 R a 3
2
O sólido gerado terá o volume calculado da seguinte forma:
tronco cone cilindro
2 2 2 2
22 2 2
3
V 2 V 2 V V
h 1V 2 r R rR 2 r h R H
3 3
2 a a 3 a 3 2 aV a 3 a 3 a 3 a 3 a
3 2 2 2 3 2
15V a
4
31.16
O sólido será composto de um tronco de cone vazado de um cilindro. Assim:
tronco cilindro
2 2 2
V V V
8V 4 6 4 6 4 8
3
608V 128
3
224V
3
ALTERNATIVA B
31.17
O sólido é uma semiesfera vazada de um cilindro. Assim:
3 21 4V 3 1 1
2 3
V 17
ALTERNATIVA D
31.18
O raio de uma esfera inscrita em um octaedro regular segue a seguinte relação em relação à
aresta do octaedro:a 6
r6
Sendo a = 2, tem-se que 2 6 6
r r cm6 3
.
Cálculo do volume da pérola:
3
3
4 6V
3 3
8 6V cm
27
ALTERNATIVA E
31.19
Fazendo a secção meridiana temos:
Aplicando Teorema de Pitágoras ficamos com:
2
2 2
22
2 2
a 24 a
2
a16 a
2
32a cm
3
Tendo a área de cada face do cubo, concluímos que a área total do cubo é:
S = 6a2
S = 64 cm2
31.20
a)
b) O sólido é formado por um cone e um cilindro vazados de uma semiesfera. Assim:
3 2 31 1 4V 1 1 1 3 1
3 2 3
2V 3
3 3
8V
3
MAT 11E AULA 30
30.01
x1 x2 x3 = 8
1
= 8
30.02
x1 x2 = 1
x1 x2 x3 = 14
2
1 x3 = 7
7 2 19 37 14
2 5 2 0
2x2 5x + 2 = 0
= 9
x = 5 3
4
x’ = 2 ou x’’ = 1
2
30.03
1 i = outra raiz
1 + i + 1 i + x3 = m
x3 = 2 m m = 2
(1 + i)(1 i) + (1 + i) x3 + (1 i) x3 = 2
1 + 1 + 2x3 = 2
x3 = 0
n = 0
30.04
a) FALSO
O gráfico não intercepta o eixo x no intervalo entre 3 e 5.
b) FALSO
x = 1 não é raiz de p(x) pois o gráfico não intercepta o eixo x nesse valor.
c) FALSO
As raízes reais são: -2, 0 2, 3 e 5.
d) FALSO
e) VERDADEIRO
O grau de p(x) é igual a 5.
ALTERNATIVA E
30.05
P(2) = 8 8 + 6 k P(2) = 6 k
P(3) = 27 18 + 9 k P(3) = 18 k
P(2) P(3) < 0
(6 k)(18 k) < 0
30.06
x r, x, x + r (3, 1, 5)
* 3x = 3 x = 1
a = 15 a = 15
* (1 r) 1 + (1 + r) 1 + (1 r)(1 + r) = 13
2 + 1 r2 = 13
r2 = 16 r = 4
30.07
Para f(x) =2, há 3 valores de x (pontos de intersecção com o gráfico de f(x))
ALTERNATIVA C
30.08
x
q, x, x q
x3 = 8 x = 2
2 1 7 14 8
1 5 4 0
x2 + 5x + 4 = 0
x’ = 1 e x’’ = 4
1 + (2) = 3
30.09
d = (2 i)(2 + i)(3 + 2i)(3 2i)
d = (4 + 1)(9 + 4)
d = 5 13 d = 65
30.10
V = 64
30.11
(1 + i)(1 i) + x = 0
x = 2
8 + 4 + k = 0
k = 4
30.12
a) FALSO
P(x) possui 4 raízes, ou seja, o grau de p(x) é 4.
b) FALSO
O gráfico não intercepta o eixo x em x = -3.
c) VERDADEIRO
x = 1 é raiz de p(x), ou seja, a soma dos coeficientes é zero.
d) FALSO
x = -2 não é raiz de p(x) pois o gráfico não intercepta o eixo x em x = -2.
e) FALSO
P(x) = k.(x – 1)(x – 2)(x – 4)(x – 7)
ALTERNATIVA C
30.13
1 1 3 0 6 3 3 2
1 1 2 2 4 1 2 0
1 1 1 3 1 2 0
1 1 0 3 2 0
1 1 2 0
x2 x 2 = 0
x’ = 2 ou x’’ = 1
30.14
Se z1 = 1 + i é raiz, então z1 = 1 – i também é raiz
Se z2 = –1 + i é raiz, então z2 = –1 – i também é raiz.
Logo o grau mínimo do polinômio é 4.
30.15
P(x) = a(x + 5)(x + 2)(x 1)(x 3)
P(0) = 3
30a = 3
a = 1
10
P(5) = 1
10 10 7 4 2 = 56
30.16
x(x3 + 3x2 + 6x 8) = 0
x = 0
1 1 3 6 8
1 2 8 0
x2 + 2x + 8 = 0
x' = 2 e x’’ = 4
L(1) = 1 3 + 6 + 8 = 10
30.17
Sejam as raízes: k e 2k.
Pelas relações de Girardi,, temos:
2
bk 2k b 3ak
a
ck 2k c 2ak
a
Substituindo nas alternativas, temos que:
2b2 = 9ac
2.9a2k2 = 9a.2ak2
18a2k2 = 18a2k2
ALTERNATIVA B
30.18
Raízes: {k – r, k , k + r}
Pelas relações de Girardi, temos:
SOMA = 9
k – r + k + k + r = 9
k = 3
PRODUTO = 15
(3 – r) . 3 . (3 + r) = 15
9 – r2 = 5
r = 2 (P.A crescente)
Raízes: {1, 3, 5}
A P.A determinada por esses termos são: (1, 3, 5, ... , a10). Logo:
a10 = 1 + 9.2
a10 = 19
1 1010
10
10
a a .10S
2
S 1 19 .5
S 100
ALTERNATIVA C
30.19
x1 + x2 + x3 = a
x1 x2 x3 = c
ma = 1 2 3x x x a
3 3
ma = x1 x2 x3 1 + a + b + c
a
3
= 2 = 1 + a + b + 2
a = 6
2 = 1 + 6 + b + 2
b = 11
30.20
Considerando P(x) um polinômio de coeficientes reais, temos que x1 = 1, x2 = 3, x3 = 2 + i e
x4 = 3 i são os seus zeros
Supondo a = 1 em
P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx e ou em
P(x) = a(x x1)(x x2)(x x3)(x x4)
P(x) = (x 1)(x + 3)([x 2]-i)([x 2]+i)
P(x) = (x2 + 2x 3)((x 2)2 i2)
P(x) = (x2 + 2x 3)(x2 4x + 4 + 1)
P(x) = x4 2x3 6x2 + 22x 15
MAT 11E AULA 31
31.01
O número complexo -8, na forma trigonométrica, é escrito como:
3 o ox 8 cos180 isen180
O raio da circunferência é o modulo das raízes cúbicas de x3 e, o módulo das raízes cúbicas de
um número complexo é a raiz cúbica do módulo do número que é igual a 8. Assim:
3R 8
R 2
ALTERNATIVA B
31.02
Se a solução for real, o afixo (ponto) pertence ao eixo Real (horizontal). Se a solução for
imaginária, o afixo (ponto) pertence a outro local do plano que não seja o eixo Real. Assim:
2 raízes imaginárias e 1 raiz real.
ALTERNATIVA C
31.03
z = 2i
Módulo = 2
Argumento = 90o
i
i2
z e
z 2e
ALTERNATIVA D
31.04
Tem-se que:
Módulo = 4
Argumento =
ALTERNATIVA A
31.05
4
4 o o
o o
o o
o o
o o
x 1
x 1 cos0 isen0
x 1 cos0 isen0 Real
ou
x 1 cos90 isen90 Imaginária
ou
x 1 cos180 isen180 Real
ou
x 1 cos270 isen270 Imaginária
Toda raiz Imaginária ou Real pode ser classificada como COMPLEXA.
ALTERNATIVA E
31.06
Todas as raízes de um número complexo possuem o mesmo MÓDULO. E esse módulo é a raiz
do módulo do número complexo. No exercício, o número complexo possui módulo 8 e pede-se
suas raízes cúbicas, ou seja, o módulo das raízes será igual à raiz cúbica de 8 que é igual a 2.
ALTERNATIVA D
31.07
3
3 o o
o o
o o
o o
x 8
x 8 cos180 isen180
x 2 cos60 isen60
ou
x 2 cos180 isen180
ou
x 2 cos300 isen300
ALTERNATIVA B
31.08
4
4 o o
o o
o o
o o
o o
x 1
x 1 cos0 isen0
x 1 cos0 isen0 x 1
ou
x 1 cos90 isen90 x i
ou
x 1 cos180 isen180 x 1
ou
x 1 cos270 isen270 x i
ALTERNATIVA A
31.09
o
o
eixo Imaginário
3 quadrante
4 quadrante
3
3 o o
o o
o o
o o
x i
x 1 cos270 isen270
x 1 cos90 isen90
ou
x 1 cos210 isen210
ou
x 1 cos330 isen330
ALTERNATIVA B
31.10
1 2 3 ... n
(1 n)n
2
i 1
i 1
Sendo assim, o expoente de i é um número que, ao ser dividido por 4, apresenta resto igual a
0, ou seja, esse expoente é múltiplo de 4. Logo:
(1 n)n4k
2
(1 n)n 8k
ALTERNATIVA B
31.11
Igualando as partes real e i
2 2
2 2
222 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
z z 2 8i
a bi a b 2 8i
a b (2 a) (8 b)i
a b (2 a) (8 b)i
a b (2 a) 2(2 a)(8 b)i (8 b) i
a b 4 4a a 2(2 a)(8 b)i 64 16b b
0 ( 60 16b 4a 2b ) 2(2 a)(8 b)i
maginária:
2
2
2(2 a)(8 b) 0
60 16b 4a 2b 0
a 2 b 8b 34 0 b2(2 a)(8 b) 0
b 8 a 15
Temos então que z = -15 + 8i. Logo:
2
2 2 2
2
z ( 15) 8
z 289
ALTERNATIVA E
31.12
2 2 2 222 4 6 8 2 4 6 8
2 4 8 12 162 4 6 8
2 4 6 8
f(i) f(i ) f(i ) f(i ) f(i ) i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
f(i) f(i ) f(i ) f(i ) f(i ) i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
f(i) f(i ) f(i ) f(i ) f(i )
2 4 6 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
f(i) f(i ) f(i ) f(i ) f(i ) 8
31.13
01 – VERDADEIRO
o1 (1 quadrante)
2 2
o
o o
z 1 i
1 ( 1) 2
1tg tg 45
1
z 2 cos45 isen45
02 – VERDADEIRO
2
z z z z
1 i 1 i 1 i 1 i
2 1 i
2 2
04 – VERDADEIRO
2
2
o o
i2
z 1 i (1 i) 1 2i ii
z 1 i (1 i) 1 i
z1 cos90 isen90
z
z1.e
z
08 – VERDADEIRO
24 2
24
4 2
4
4
z z
z 2i
z 4i
z 4
Logo :
z 4
SOMA = 15
31.14
a) FALSO
2
1
2
21
2
1
5i 5 3z 5 3
z 5i 5 3 5i 5 3
z 25 3i 75
z 25i 75
z 3i 3
z 4
b) FALSO
o o5 3tg tg 2 quadrante 150
35 3
c) FALSO
5i 5 3 x yi 5 3
x 10 3x yi 10 3 5i
y 5
d) FALSO
2
21
1
z 5 5 3
z 10
e) VERDADEIRO
5i 5 3 x yi 5 3
x 10 3x yi 10 3 5i
y 5
ALTERNATIVA E
31.15
6 3 6 3
6 3
6 3
6 6 3 3z 2z 2 cos isen 2 2 cos isen
3 3 3 3
z 2z 64 2 8
z 2z 80
31.16
Como são vértices de um polígono regular centrado na origem, todos possuem o mesmo
módulo. Assim, o módulo do número complexo desejado é:
2
25 3 2 7
Dois vértices consecutivos de um hexágono possuem uma “distância” de 60º e o número dado
possui um argumento tal que 3
tg5
.
Se chamarmos de o argumento do número procurado, temos que:
o
o
o
o
60
tg tg 60
tg tg60tg
1 tg tg60
33
5tg3
1 35
6 3 5tg
5 2
tg 3 3
Sabendo que pertence ao primeiro quadrante (enunciado) e usando as relações
trigonométricas temos:
2 2
22
2 2
2
2
sec 1 tg
sec 1 3 3
sec 2 7
1cos
sec
7cos
14
sen cos 1
7sen 1
14
3 21sen
14
Escrevendo o número procurado na forma trigonométrica, temos:
w cos isen
7 3 21w 2 7 i
14 14
w 1 3 3i
ALTERNATIVA D
31.17
Substituindo “a” e “b” na equação da reta, temos:
2a – b + 1 = 0
b = 2a + 1
Cálculo do módulo de z:
2 2
22
2222
2 2
2
z 2
a b 2
a 2a 1 2
a 2a 1 2
a 4a 4a 1 2
1 7a b
5a 4a 1 0 5 5
a 1 b 1
Como a e b são números INTEIROS, então z = -1- i.
31.18
2
2
1
2
1 2
1 2
1x 1
x
x 1 x
x x 1 0
1 3z i
1 3 2 2x
2 1 3z i
2 2
Temos :
z z 1
Logo :
z z 1