MAT 11A AULA 30

30.01

0,7x + 0,2(0,3x) = 3 800

0,7x + 0,06x = 3 800

0,76x = 3 800 x = 5 000

R$ 5 000,00

30.02

0,25 279 = 69,75

30.03

(V)

Novo preço = (1 – 0,11)x

Novo preço = 0,89x

(F)

Novo preço = (1 + 0,25)x

Novo preço = 1,25x

(F)

Novo preço = (1 – 0,22)x

Novo preço = 0,78x

(V)

Novo preço = (1 + 0,13)x

Novo preço = 1,13x

(V)

Novo preço = (1 – 0,10)(1 – 0,20)x

Novo preço = 0,72x

(V)

Novo preço = (1 + 0,10)(1 + 0,20)x

Novo preço = 1,32x

30.04

2100 100

504 x

x = 24% em 4 meses, ou seja, 6% ao mês.

30.05

880 450 = 430

430 100

450 x

x = 104,65% ou seja, a taxa é de 4,65%

30.06

1º) 1,02 2 000 = 2 040,00

2º) 1,08 2 040 = 2 203,20

R$ 2 203,20

30.07

x: preço por cabeça

Início = 749x

1ª Venda 749x

700

2º Venda 49 749x

700

749x49

49700749X 700

·

= 7%

30.08

0,40 0,80x = 2 032

0,32x = 2 032

x = 6 350

R$ 6 350,00

30.09

150,29 133%

x 100%

x = 113%

150,23 113 = 37,29

R$ 37,29 referente aos tributos.

30.10

x 30%

0,7x 0,6 0,3

0,18

·

0,88x

O prejuízo foi de 12%.

30.11

x 119,34

1,02x

1,02(1,02x 119,34) = 260,1

1,02(1,02x 119,34) = 260,1

1,02x 119,34 = 255

1,02x = 374,34

x = 367

R$ 367,00

30.12

1700 100

250 x

x 14,7058%

1450 100

y 85,2942

y = 1 236,76

R$ 1 236,76

30.13

1 000 5%

1 050 10%

945 5%

R$47,25

992,25

R$ 992,25

30.14

Celular = 100

A vista 90

A prazo 50 + 50

90 50 = 40 falta pagar equivalente a 50.

40 100%

50 x

x = 125%

25%

30.15

I) 0,85 3x = 2,55x

III) juros: 0,02(3x) = 0,06x

Total = 3x + 6 0,06x = 3,36x

Diferença I e III

3,36x 2,55x = 0,81x

30.16

(Varejo2050) = (1,11)(1,11)...(1,11)(Varejo2010)

(Varejo2050) = (1,11)40(Varejo2010)

(Varejo2050) = 65.(Varejo2010)

ALTERNATIVA D

30.17

1º 1530

0,85 = 1 800 s/ desconto

2º 2790

0,93 = 3 000 s/ desconto

Valor total sem desconto = 4 800

Valor total com desconto = 4 320

4320 x

4800 100 x = 90%, o desconto foi de 10%

30.18

01) (F)

80

1002

1000

= 40 = 4000

100 = 4 000%

02) (V)

04) (F)

Uma unidade.

1

5 = 0,20 = 20% desconto

08) (V)

Original Massa Valor

1ºpedaço 20 400

2ºpedaço 4 16272

16 256

400 272 = 128 desvalorização

128

400 = 30%

16) (F)

1380

1200 = 1,15 15%

30.19

a)

640000

1,60 = 400 000

R$ 400 000,00

b)

76000

400000 = 0,19 19%

30.20

Custo: 1 200

x artigos custo unitário: 1200

x

perdeu 5. Ficou com x 5

lucro por unidade:

1200

x + 10

Ganha Gasta = Lucro

(x 5) 1200

10x

1 200 = 450

1 200x + 10x2 6 000 50x = 1 650X

10x2 500x 6 000 = 0

x2 50x 600 = 0

x' = 10 e x’’ = 60

MAT 11A AULA 31

31.01

poupança poupança

CDB CDB

0,56R 500 R 2,80

100

0,876R 0,96 500 R 4,20

100

ALTERNATIVA D

31.02

Calculando as rentabilidades anuais de cada investimento:

12A A

B

2C C

A C B

R 1,03 (Tabela) R 1,426

R 1,36

R 1,18 R 1,3924

R R R

ALTERNATIVA C

31.03

74,4% de 700 = R$ 520,80

31.04

1,1x = 9 900 x = 9 000

0,9y = 9 900 y = 1 100

x + y = 20 000 deveria ter

ganhou 18 800

ou seja, um prejuízo de 200 reais.

31.05

10% 40bi

100% x 400bi

10% gasta

consumo = 400 40 = 360bi

31.06

319,80 vendeu por x

Pagou 18% de imposto restou 0,82x

0,6 custo aquisição

0,6 82x = 319,80 x = R$ 650,00.

31.07

61 =

0 1 2

25 25 25

1 i 1 i 1 i

= 1 + i = x

36 = 2

25 25

x x

236x 25x 25 0

4225

x = 25 65

72

x’ = 0,56 e x’’ = 1,25

1 + i = 1,25 i = 0,25

31.08

Inicial 10 000

Valor 1º ano 1,2 10 000 = 12 000

1ª Parcela 4 000

12 000 4 000 = 8 000

Saldo devido 8 000

1,20 8 000 = R$ 9 600,00

31.09

m = c(1 + i)t

1 125 = c (1 + 0,5)2

c = 1125

2,25

c = R$ 500,00

31.10

1 200 1,025 1,05 x = 1 330,24

x = 1330,24

1291,5 x 1,03%

ou

1 200 1,025 = 1 230 (fev)

1230 105 = 1 291,5 (mar)

Abril

1330,21

1291,5 1,029 3%

31.11

50 60

10

50 = 0,2 = 20%

31.12

A 1

4A

Lado 1

2 = 50%

Ex:

S = 16 l = 4

S = 4 l = 2

31.13

400 = 200(1,01)n

2log 2 =

2log (1,01)n

1 = n 0,0144

n = 1

0,0144 n 69,44

31.14

1 ano e 8 meses = 20 meses

m = c(1 + i)t

m = 10 000(1 + 0,015)20

m = 10 000[(1,015)10]2

m = 10 000 1,162

m = 10 000 1,3456

m = 13 456,00

31.15

01) (V)

50 20 = 34 deve

x = 1 + i i 12%

02) (F)

É correto dizer que o aumento de R$20,00 para R$40,00 é de 100%, mas é incorreto afirmar

que a redução de R$40,00 para R$20,00 é de 100%, pois é de 50%.

04) (V)

08) (V)

n(8) = 50 28

n(8) = 50 256

n(8) = 12 800 pessoas

31.16

01 – VERDADEIRO

6 200 5 000 5 000

1 200

12 meses

M C Cit

2t

100

100t

t

02 – VERDADEIRO

3 300 2 500 2 500

20 000

4% ao mês

M C Cit

i 8

800 i

i 0,04

i

04 – FALSO

08 – FALSO

Os juros pago foi de R$800,00

SOMA = 03

31.17

01) (V)

3024 120%

x 100

x = 2 520

O capital aplicado inicialmente foi de R$ 2 520,00

02) (V)

Os montantes obtidos (3024, 3024x, 3024x²) ao final de cada período de um ano formam uma

progressão

geométrica .

04) (F)

Ano 1: rendimento anual = 0,20 × 2520 = 504.

Ano 2: rendimento anual = 0,40 × 3024 = 1209,60 ≠ 2 × 504.

08) (V)

3 024 1,3 1,3 = 5 110,56

16) (F)

Supondo-se que as taxas de juros anuais para o segundo e o terceiro ano, foram,

respectivamente, de 30%

e 10%, o montante, ao final do terceiro ano, seria o mesmo se, nos dois últimos anos, a taxa

de juros anual

fosse constante e igual a 20%.

Opção I: 1,2 × 1,3 × 1,1 C = 1,716 C

Opção II: 1,2 × 1,2 × 1,2 C = 1, 728 C.

Os resultados seriam diferentes.

31.18

tg = h 0,04

0,37 1 h = 0,0148

f(2,37) = 1,08 + 0,0148

f(2,37) = 1,0948

31.19

m = C(1 + i)t

2 000 = 1 000(1 + 0,06)t

2log 2 = log 1,06t

1 = t 0,084

t = 1 1000

0,084 84 11,9 12 anos

31.20

2000 110mi

60 x

x 3,3 milhões.

MAT 11B AULA 30

30.01

24 12

34 17

30.02

1 5 9 15

2 6 10 18

3 7 11 21

4 8 12 24

30.03

Soma 0 (0,0)

Soma 1 (0,1) (1,0)

Some 2 (0,2) (1,1) (2,0)

Soma 3 (1,2) (2,1)

Soma 4 (2,2)

30.04

a) VERDADEIRO

b) VERDADEIRO

c) FALSO - Para quaisquer eventos A e B, temos: P(A B) P(A) P(B) P(A B) .

d) VERDADEIRO

e) VERDADEIRO

ALTERNATIVA C

30.05

(1 0,2) 0,7

0,2 0,7 = 0,56

30.06

1 1

5 4 20

·

30.07

2

100

99 99 1

100 99 50C

2

·

30.08

P(AB) = P(A) + P(B) P(AB)

0,8 = 0,3 + P(B) 0,3 P(B)

0,5 = P(B) 0,7

P(B) = 5

7

P(AB) = P(A) P(B)

30.09

4 certas

1 certa e 3 erradas

2 certas e 2 erradas

4 erradas

É impossível mandar 3 certas e 1 errada

30.10

a) 2

8C = 28

b) (F)

R 4B 12

1612 sem

= 0,75

Q 2B 6

86 sem

= 0,75

c) 1 0,75 = 0,25

e) 8 3

8C = 8 56 = 448

30.11

PA cres. decres

1, 2, 3

2, 3, 4

3, 4, 5

1, 3, 5

PA 4 x 2

Total 5 4 3 = 60

8 2

60 15

30.12

questão

1 3 3 3 27 4

4 4 4 4 64· · · ·

30.13

I) (V)

1 1 1 1

2 2 2 8· ·

II) (F)

1 1 1 13 4

8 8 8 2 · ·

III) (V)

m H m ou H

1 1 12 2

2 2 2

· · ··

HHH HHm HmH Hmm

mmm mmH mHm mHH

IV) (F)

4

8

30.14

Probabilidade de receber = 100% 0,1% = 99,9%

A envia e B recebe e B envia e C recebe

99,9% 99,9% = 99,8001%

A errado

B errado

C

0,1% 0,1% = 0,0001%

99,0002%

30.15

2a + 2b + 2c = 22 a + b + c = 11

Para soma ser 7 só se as faces forem 3 e 4

Então, 4 + 4 + 3 = 11 4 faces nº4 e 2 faces nº3

2 4

6

2

6 =

4

9

30.16

Considere os endereços E1, E2, E3 e E4 com as respectivas cartas C1, C2, C3 e C4. As

permutações nas quais todas as cartas serão enviadas para endereços errados são:

E1 E2 E3 E4

C2 C1 C4 C3

C2 C3 C4 C1

C2 C4 C1 C3

C3 C1 C4 C2

C3 C4 C1 C1

C3 C4 C2 C2

C4 C1 C2 C3

C4 C3 C1 C2

C4 C3 C2 C1

Como o total de possibilidades é a permutação das 4 cartas, temos, P4 = 4! = 24.

A probabilidade fica:

9 3p p

24 8

ALTERNATIVA A

30.17

(F)

(V)

192mi 3%

x 100%

x = 6 400 mi = 6,4 bi

(V)

(F)

77 3 =

(V)

0,10 0,32 = 0,32 3,2%

30.18

I – VERDADEIRO

No máximo uma peça defeituosa:

P = Nenhuma peça defeituosa OU 1 peça defeituosa

P = 0,040 x 0,965 + 0,041 x 0,964 x 5

II – VERDADEIRO

Pelo menos uma peça defeituosa:

P = 100% MENOS Nenhuma peça defeituosa

P = 1 – 0,040 x 0,965

III – FALSO

5 peças defeituosas:

P = 0,045 x 0,960 0

ALTERNATIVA B

30.19

Exercício Resolvido no material

30.20

Exercício Resolvido no material

MAT 11B AULA 31

31.01

Esta media é obtida dividindo o número de número de raios que atinge qualquer estaçãp pelo

intervalo de tempo que isso ocorre.

31.02

1

3

31.03

Analisando o gráfico, uma pessoa com 15 anos e com 60% do corpo queimado é de 0,88 pois

esta pessoa está localizada na faixa “j”.

31.04

Números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}

15 3

50 10

31.05

2

4

2

10

C 6 2

45 15C

31.06

2

5

1 1

10C

31.07

365 1 1

365 365 365

·

· = 0,0027

31.08

(4, 4)

(2, 6)

(6, 2)

(3, 5)

(5, 3)

5

36

31.09

56% + 8% = 64%

31.10

1 1

15 10

2

25

C C 15 10 1

300 2C

· · = 50%

31.11

p = 1 1 1

7 6 42

·

31.12

P = 2

10C (0,2)2 (1 0,2)8 = 45 0,22 0,088

31.13

Total P4

A _ _ _ B D A C

ABCD

3 1 3 1

9 3

24 8

31.14

(100 0,03)% DE 1 000 000

99,97% 1 000 000 = 999 700

31.15

A mulher dará à luz quadrigêmeos.

Resultado da união de 4 espermatozoides diferentes fecundados em 4 óvulos diferentes, é

como se fossem nascidos em 4 gestações diferentes. Resposta (d)

31.16

b

c

4 8 12 16 20 24

1 2 3 4 5 6

1=1 x x x x x x

2=4 x x x x x

3=9 x x x x

4=16 x x x

5=25

6=36

< 0

b2 4c < 0

b2 < 4c

6 5 4 2 17

36 36

31.17

1º

CA 1 + 1 = 2

CO 1 2 = 2

CA + CO = 4

2º

CO 1 1 = 1

CA = 1 + 2 = 3

CO + CA = 4

P(CA) P(CO) P(4)

1 1 1 1=

2 2 4· ·

P(CA) P(CO) P(CA)

1 1 1 1

2 2 2 8· ·

1 1 3

4 8 8

31.18

(V) A probabilidade de que Moisés e João sejam escolhidos para realizar esses partos é de 1/15. 1

8

3

10

8 8 1p p p p

10.9.8 120 15

3.2.1

CC

(F) A probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é de 12,5%.

1 1 1 1p 2 p p 25%

2 2 2 4

(V) Dois eventos são ditos independentes quando a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B é nula.

Eventos Independentes

Temos :

p(A B) p(A) p(B) p(A B)

p(A B) p(A) p(B)

Logo : p(A B) 0

(V) É maior que 50% a probabilidade de no mínimo um deles (Moisés ou João) ser escolhido para fazer um desses partos.

3

8

3

10

8.7.67 83.2.1p 1 p 1 p 1 p 50%

10.9.8 15 15

3.2.1

CC

(F) A probabilidade de que Moisés ou João realizem um dos partos, e de que nasça um menino, é maior que 50%.

2 2

9 9

3 3

10 10

1 1 1 1p

2 2 15 2

36 1 36 1 1p

120 2 120 2 30

3 1p

10 30

4p 50%

15

C CC C

31.19

Exercício resolvido no material

31.20

Exercício resolvido no material

MAT 11C AULA 30

30.01

Monta-se o sistema:

20 624

2 2

22

2 2

2 2

2

x y 4x 8y 16 0

4 4x4x 3y 4 0 y

3

Substituindo :

4 4x 4 4xx 4x 8 16 0

3 3

16 32x 1 2x x 4x 1 x 144 0

9 3

9x 16 32x 16x 4x 96 96x 144 0

25x 132x 32 0

0

Rua atravessa a praça (Reta secante – dois pontos de intersecção)

ALTERNATIVA E

30.02

A distância percorrida pela patinadora é a distância entre o ponto A e o ponto de tangência da

reta que ela descreve com a circunferência.

Cálculo do ponto de tangência entre a reta descrita pela patinadora e a circunferência:

2 2

2 2

22

2 2

2

2

y 1 2x

x 5 y 6 5

Substituindo :

x 5 1 2x 6 5

x 10x 25 2x 5 5

x 10x 25 4x 20x 25 5

5x 30x 45 0

x 6x 9 0

x 3 y 7 P(3,7)

Cálculo da distância entre o ponto A(0,1) e o ponto P(3,7):

2 2

d 3 0 7 1

d 45

d 3 5

ALTERNATIVA C

30.03

C = (1, 3)

dCA = 4 1 2 2 2

30.04

C = (2, 1)

dCA = 9 16 = 5

30.05

30.06

Temos que a equação geral da circunferência é:

2 2x y 10y 0

Logo, o centro da circunferência é (0, 5).

Sendo o centro da circunferência o ponto médio de um diâmetro, temos que (0,5) é o ponto

médio do diâmetro AB.

Se A(3,1) e (0,5) é ponto médio, então, B(-3,9).

ALTERNATIVA A

30.07

Substituindo o ponto P na equação da circunferência, temos:

223 1 3 ...16

25 16

Ou seja, o ponto P é externo à circunferência. Assim, a distância de P à circunferência é a

distância de P ao centro menos o raio da circunferência.

2 2

d 3 0 1 3 4

d 1

ALTERNATIVA B

30.08

Ponto do eixo das abscissas: P(x, 0)

A distância de P à circunferência é a distância de P ao centro menos o raio da circunferência.

2 2

2 2

2

2

d x 1 0 3 2 3

x 1 0 3 5

x 2x 1 9 25

x 3x 2x 15 0

x 5

P( 3,0)

ou

P(5,0)

ALTERNATIVA D

30.09

Centro (2, y)

Raio = 2

Reta externa: 3x + 4y – 7 = 0

Distância da Reta á circunferência = 1

A distância da reta à circunferência é a distância da reta ao centro menos o raio, assim:

2 2

3.2 4y 71 2

3 4

4y 1 15 y 4 2,4

15 4y 1 7 74y 1 15 y 2,

2 2

ALTERNATIVA D

30.10

Resolvendo o sistema:

2 2

2 2

2 2

2

x y 1 0 y x 1

x 1 y 4

Substituindo :

x 1 x 1 4

x 2x 1 x 2x 1 4

x 1 y 2 (1,2)2x 2

x 1 y 0 ( 1,0)

Soma 1 2 ( 1) 0

Soma 2

ALTERNATIVA C

30.11

Perceber que as duas circunferências são concêntricas (mesmo centro), cujo centro possui

coordenadas (1,2).

Cálculo dos raios das duas circunferências:

2 2 21

21

1

2 2 22

22

2

1 2 3 R

2 R

R 2

1 2 1 R

4 R

R 2

Cálculo da área da coroa circular:

2 22 1

22

Área R R

Área 2 2

Área 2

ALTERNATIVA A

30.12

A região é um círculo de raio 3, ou seja:

2

2

A R

A 3

A 9

ALTERNATIVA E

30.13

O triângulo é retângulo em O(0,0), sendo assim, o diâmetro de extremidades A(2,0) e B(0,3)

coincide com a hipotenusa do triângulo.

Cálculo da distância entre os pontos A e B:

2 2

AB

AB

d 2 0 0 3

d 13

Sendo assim, temos que o raio da circunferência é 13

R2

.

O centro da circunferência é o ponto médio dos pontos A e B, assim, temos que as

coordenadas do centro são 3

C 1,2

.

Cálculo da equação da circunferência:

222

22

3 13x 1 y

2 2

3 13x 1 y

2 4

Os pontos de intersecção da reta y = x com a circunferência são calculados pela resolução do

sistema:

22

22

2 2

2

y x

3 13x 1 y

2 4

Substituindo :

3 13x 1 x

2 4

9 13x 2x 1 x 3x

4 4

2x 5x 0

x 0 y 0 0,0

x(2x 5) 0 5 5 5 5x y ,

2 2 2 2

As somas das coordenadas podem ser: 0 ou 5.

ALTERNATIVA A

30.14

A distância da reta à circunferência é a distância da reta ao centro menos o raio, assim:

Cálculo das coordenadas do centro e do raio da circunferência:

Centro: (3, 1)

32 + 12 – 6 = R2

R = 2

Cálculo da distância entre a reta e a circunferência:

2 2

3.3 4.1 2d 2

3 4

d 3 2

d 1

ALTERNATIVA A

30.15

Um ponto qualquer da reta tem coordenadas P(k, 4 – k);

A circunferência possui centro C(-3,-3) e raio R = 2;

A distância de P até a circunferência é a distância de P até C menos o raio R, ou seja:

2 2

2 2

2

d k 3 4 k 3 2

d k 6k 9 49 14k k 2

d 2k 8k 58 2

A distância será mínima quando a expressão que estiver dentro da raiz for mínima, então:

y = 2k2 – 8k +58

y será mínimo no vértice da parábola determinada pela função e o valor de k é a abscissa do

vértice:

( 8)k k 4

2

Assim, o ponto é P(4, 0).

ALTERNATIVA A

30.16

O ponto da circunferência mais próximo de (5,5) é uma das intersecções entre a circunferência

e a reta definida por (5,5) e o centro C(0,0).

Cálculo da equação da reta:

0 5 x 00 5y 5x 0 y x

0 5 y 0

Cálculo da intersecção entre a reta e a circunferência:

2 2

2 2

1

2

2

x y 1

y x

Substituindo :

x x 1

2 2 2 2x y P ,

2 2 2 21x

2 2 2 2 2x y P ,

2 2 2 2

O ponto mais próximo é 2 2

,2 2

A soma das coordenadas é 2

ALTERNATIVA B

30.17

O ponto da circunferência mais próximo de (1,2) é uma das intersecções entre a circunferência

e a reta definida por (1,2) e o centro C(2,3).

Cálculo da equação da reta:

1 2 x 10

2 3 y 2

3 2y 2x y 3x 4 0

y x 1

Calculando as intersecções entre a reta e a circunferência:

2 2

2 2

2 2

2 2

2

12

2

y x 1

x 2 y 3 2

Substituindo :

x 2 x 1 3 2

x 2 x 2 2

x 4x 4 x 4x 4 2

2x 8x 6 0

x 1 y 2 P 1,2x 4x 3 0

x 3 y 4 P 3,4

Ou seja, o ponto (1,2) pertence à circunferência e é extremidade de um diâmetro. O ponto da

circunferência mais distante dele é a outra extremidade do diâmetro que, consequentemente,

possui o centro (2,3) como ponto médio.

O ponto mais distante é, então, (3,4) e o produto é 12.

ALTERNATIVA B

30.18

O ponto da circunferência mais próximo de (10,-6) é uma das intersecções entre a

circunferência e a reta definida por (10,-6) e o centro C(6,-2).

Cálculo da equação da reta:

10 6 x 100

6 2 y 6

20 6y 6x 10y 2x 36 0

4x 4y 16 0

y 4 x

Cálculo da intersecção entre a reta e a circunferência:

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

y 4 x

x 6 y 2 8

Substituindo :

x 6 4 x 2 8

x 6 6 x 8

x 12x 36 36 12x x 8

2x 24x 64 0

x 4 y 0 (4,0)x 12x 32 0

x 8 y 4 (8, 4)

As somas das coordenadas dos dois pontos é igual a 4.

ALTERNATIVA B

30.19

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

9 2x 1 4 3y 1 16

9 4x 4x 1 4 9y 6y 1 16

36x 36x 9 36y 24y 4 16

36x 36y 36x 24y 3 0

2 1x y x y 0

3 12

Se essa equação for circunferência o centro será 1 1

C ,2 3

.

Cálculo do raio:

2 22

2

2

1 1 1R

2 3 12

1 1 1R

4 9 12

16R

36

2R

3

ALTERNATIVA E

30.20

a)

b)

As tangentes comuns a duas circunferências se interceptam num ponto colinear com os

centros das duas circunferências. Assim:

P(k,0)

0 2 k 00

2 1 0 2

2k k 4 0

k 4

P(4,0)

30.21

a)

Cálculo da equação da reta:

2 3 x 20

2 2 3 y 2

4 2 3 3y 2x 2y 2 3 x 6 0

3x y 2 3 2 0

y 3x 2 1 3

b)

A reta tangente (t) será perpendicular à reta (r) no ponto P, assim:

r t

t

t

m m 1

3 m 1

3m

3

MAT 11C AULA 31

31.01

C (0, 0) R = 1,5

So = R2 = (150)2

So = 22 500

71 10

15m x

x = 15 106 cm

x = 150 Km

31.02

x2 + y2 4x 6y + 1075

100 = 0

(x 2)2 + (y 3)2 = 4 + 9 1075

100

R2 = 225

100 = R =

15

10

1

4C = 2R

1

4

1

42

15

10 = 0

3

4 = 0,75 u.c.

31.03

I – VERDADEIRO

d 2d 5

5d

3

As distâncias são:

5AB

3

10AC

3

II – VERDADEIRO

d = 5

As distâncias são:

AB = BC = 5

AC = 10

III – FALSO

Estando os pontos B e C no eixo x, as coordenadas precisam ser C(0,0) e B(5,0).

O ponto A, sendo móvel, para manter a condição das distâncias colocadas no enunciado, em

algum momento assumirá as coordenadas A(10,0).

Para ser uma circunferência, temos duas opções:

Centro em B: Sendo a distância entre A e B sempre igual a 5, há inúmeros momentos que a

distância entre A e C deixa de ser igual a 10.

Centro em C: Sendo a distância entre A e C sempre igual a 10, há inúmeros momentos que a

distância entre A e B deixa de ser igual a 5.

Assim, em nenhuma das duas circunferências possíveis as condições de distâncias colocadas

no enunciado são sempre seguidas.

ALTERNATIVA B

31.04

2 2 2

2 2

x 1 y 1 5

x 1 y 1 25

ALTERNATIVA C

31.05

2 2

2 2

22 2

2

3x 3y 9x 12y 3 0

x y 3x 4y 1 0

3C , 2

2

32 1 R

2

94 1 R

4

21R

2

ALTERNATIVA B

31.06

Circunferência que é tangente ao eixo das ordenadas (y), tem como raio a distância do centro

(2,5) ao eixo y que é igual ao valor da abscissa (x) do centro. Assim, tem-se R = 2.

2 2 2

2 2

x 2 y 5 2

x 2 y 5 4

ALTERNATIVA B

31.07

Se representa uma circunferência, então, o centro é C 4,1 .

Cálculo do raio:

2 2 2

2

mín

4 1 ( m) R

17 m R

Condição :17 m 0 m 17 m 16

ALTERNATIVA B

31.08

O centro da circunferência é C(2,3).

Cálculo da distância:

2 2

5.2 12.3 6d

5 12

52d

13

d 4

ALTERNATIVA C

31.09

Nesse caso, a resolução gráfica é mais indicada:

ALTERNATIVA C

31.10

Cálculo da equação da reta (r) que contém o raio da circunferência {passa pelo centro (0,0) e

pelo ponto (3,4)}.

0 3 x 0r : 0

0 4 y 0

4r : 3y 4x 0 r : y x

3

A reta tangente à circunferência (reta t) no ponto (3,4) é perpendicular à reta que contém o

raio (reta r), ou seja, t

3m

4 .

ALTERNATIVA A

31.11

C(1, 0)

R = 2

mcp = 1

1 = 1

mr = 1

y 1 = 1(x 2)

y = x + 3

e) (0. 3)

31.12

Perceber que as retas são paralelas (coeficientes angulares iguais). Assim, o raio é a distância

do centro C(0,0) até a qualquer uma das duas retas.

A equação geral da reta r é r: 3x – 4y + 20 = 0.

Cálculo do raio:

2 2

3 0 4 0 20R

3 ( 4)

R 4

Cálculo da equação da circunferência:

2 2 2

2 2

x 0 y 0 4

x y 16

ALTERNATIVA B

31.13

x2 + (x 1)2 = 13

2x2 2x 12 = 0

x2 x 6 = 0

x' = 2 y’ = 3

x’’ = 3 y’’ = 2

t = 2 25 5 5 2

31.14

Optando pela solução gráfica (esboço) , temos:

A equação da circunferência é:

2 2 2

2 2

x 0 y 0 2

x y 4 0

ALTERNATIVA B

31.15

2 2

x 2 y 2 4

x y

`

A primeira equação é a região interna de uma circunferência com centro em (2,2) e raio igual

a 2.

A segunda equação, é o semiplano superior determinado pela bissetriz ímpar.

A região é um semicírculo de raio 2. Assim:

21A 2

2

A 2

ALTERNATIVA B

31.16

R = 2

8S = 8 1

2 r r sen45o

S = 4 4 2

2

S = 8 2

31.17

A equação y = x2 – 6x + 8 representa uma função quadrática, ou seja, no plano cartesiano, os

pontos determinarão uma PARÁBOLA.

ALTERNATIVA A

31.18

(x 2)(x 4) = 0

x = 2 ou x = 4

b) um par de retas paralelas.

31.19

(x y)(x + y) = 0

X = y ou x = y

b) duas retas perpendiculares entre si.

31.20

x2 2xy = xy 2y2

x(x 2y) = (x 2y)y

x = y

ou

x = 2y

e) duas retas concorrentes e não perpendiculares.

31.21

sen = x 1

cos = y 3

sen2 + cos2

= 1

(x 1)2 + (y 3)2 = 1

b) uma circunferência.

31.22

A) O triângulo CDM possui base 10 cm e altura 10 cm. Assim:

2

10 10A

2

A 50cm

B) Aplicando Teorema de Pitágoras, temos:

22 2

2 2

R 5 10 R

R 25 100 20R R

20R 125

R 6,25cm

31.23

A área do quadrilátero PQOM é o dobro da área do triângulo OPQ, retângulo em Q. Assim:

k h3 2 k h 3

2

Aplicando as Relações Métricas no triângulo OPQ, temos:

OP PQ k h 3 PQ 3 PQ 1

Aplicando Teorema de Pitágoras no triângulo OPQ, temos:

2

2 2k 3 1 k 2

Ainda no triângulo OPQ podemos concluir que:

oOQ 3tg tg tg 3 60

PQ 1

Cálculo da equação da reta que contém PQ:

o om tg 180 m tg120 m 3

PQ : y 0 3 x 2

PQ : y 3x 2 3

Cálculo da equação da reta que contém PM:

om tg m tg60 m 3

PM : y 0 3 x 2

PM : y 3x 2 3

MAT 11D AULA 30

30.01

* Só não passa na abertura a esfera (III)

30.02

V = 4

3 R3

VE = 4

3 1

106 4

3 =

4

3R3

R = 102 R = 100

30.03

c

i

a 3R 2 3

aR

2

30.04

l = 10

V = 10 10 10

V = 1 000

R = 10

2 R = 5 cm

30.05

288 = 4

3R3

288 3

4

· = R3

216 = R3 R = 6

R = a 3

2

12 = a 3 a = 4 3

St = 6(16 3)

St = 288 cm2

30.06

3

3

V a

St 6a = 2 a = 12

Ri = 6

Vi = 4

3 63

Vi = 864

3

1

3 Vi = 96

30.07

4

3R3 = 36

R3 = 27 R = 3

V = Sb h V = 9 2 3

V = 54

30.08

V2 = R2 2R = 2R3

3

3 3

4R

4 33 4 3 2

2 R R2

· = 2

30.09

diâmetro da esfera = 8 cm

26 : 8 = 3

17 : 8 = 2

3 2 = 6 esferas

30.10

a3 = 8 a = 2

R = a 2

2 R = 2

H = a = 2

V = Sb h

V = 2 2

V = 4 m3

30.11

I) (F)

VE = 4

3R3 = 12 R3 = 9

VC = R2 2R = 24 R3 = 12

II) (F)

a3 = 64 a = 4

R = D

2 =

4 3

2

III) (V)

V = R2 h V = (2R)2 h = 4 R2 h

30.12

b 3

a 2 b =

3

2a

b = 3

V = 1

3

2a

2

b =

a2 b = 12

a2 3

2 a = 12

a3 = 8 a = 2

g2 = b2 +

2a

2

g2 = 32 + 12

g = 10

30.13

Não pode passar de 8 L

V1 = 4

3 3,14 2 = 8,37

V2 = 3,14 2 2 = 6,27 1,4 = 8,792

V3 = 3 3 7· · = 3 2,64 = 7,92

c) O paralelepípedo.

30.14

VC = 1

3 9 9 = 27

VE = 4

3 53 =

4

3 125 =

500

3

c

e

V 27 81

500V 500

3

= 0,162 = 16,2%

30.15

Altura do cilindro = 10

Raio do cilindro = 3

Altura do cone = 3

cilindroV

2 VCONE

1

2 32 105

1

2 12 3

45

44

30.16

(F)

(F)

288 = 4

3R3

216 = R3 R = 6

Vcone = 1

3 62 12

Vcone = 144

(V)

Sl = Rg

Sl = 6 6 5

Sl = 36 5

(V)

(V)

R = 5

C = 2R C = 2 5 = 10 m.

30.17

V1 = R2 h

V2 = Sb h lado da base = 2R

V2 = (2R)(2R) h

V2 = 4R2 h

21

2

2

V R h

V 4R h

4V1 = V2

30.18

VE = 4

3

3 3a a

2 6

Ve = 4

3

3a

10

= 34 a

3000

01) (F)

02) (F)

04) (V)

5 5 5 = 125

08) (V)

125 Ve = 125 3 34 a a

3000 6

16) (F)

32) (F)

3

E

3

e

aV 1 3006 V 6 44 a

3000

· = 125

30.19

l = 2r

l = 4 3

h = l 3 4 3 3

2 2

· h = 6

R2 = 2

262 3

3

R2 = 4 + 12

R = 4

VE = 4

3 43

VE = 256

3

cm3

30.20

a)

d2 + 3- = (3 3 )2

d2 = 27 9

d = 3 2 cm

b)

H = a 6

3 H = 2 6

r = H

4 r =

2 6

4

r = 6

2 cm

MAT 11D AULA 31

31.01

A associação das figuras aos sólidos é obtida pela rotação das figuras numeradas de 1 até 5

em relação ao eixo indicado.

31.02

a 3

3a 3

31.03

Vcil = R2H

Vcone = 1

3

2 2R H R H

2 2 24

·

31.04

Cone

R = L

2

h = L 3

2

Vcone = 9 3

1

3

2L L 3

2 2

· = 9 3

L3 = 27 8

L = 3 2 L = 6

31.05

h = R = x

2x2 = 144 x = 6 2

V = 1

3 72 6 2

V = 144 2

31.06

VE = 4

3R3

36 = 4

3R3

27 = R3 R = 3

Vcil = R2 H

Vcil = 32 2 3

Vcil = 54

31.07

6a2 = 54

a = 3

V = 1

3

23

2

3

V = 3 9 27

4 4

·

31.08

St = Rg + R2

St = 8 10 + 64 St = 144

31.09

Stcil = Vcil

2R h + 2R2 = R2 h

2L2 + 2L2 = L3

L3 4L2 = 0

L2(L 4) = 0

L = 4

31.10

Sendo l a medida da aresta do octaedro regular, temos:

l2 = 22 + 22 l = 2 2 cm

V = 2 1

3 (2 2 )2 2

V = 32

3 cm3

31.11

2

2

5 4 100 10 5

80 8 4 4 5

· ·

· ·

31.12

R = 3

h = 5

V = 32 5

V = 45

31.13

V = 270 1

360 3

· 62 4

V = 36

31.14

01 – FALSO

Se dobrarmos as medidas das arestas de um cubo, seu volume fica multiplicado por 8 e não

por 2.

02 – FALSO

Sólidos semelhantes são os que possuem razão constante entre as medidas - raio (R), altura

(H), geratriz(g).

1º caso:

Ao transformar em cone, temos:

g = r

1 r2 r 2 R R

2 2

2º caso:

Ao transformar em cone, temos:

g = r

1 r2 r 2 R R

4 4

A razão entre as geratrizes é diferente da razão entre os raios, ou seja, os cones não são

semelhantes.

04 – VERDADEIRO

Uma esfera inscrita em um cubo de 4 cm de aresta possui raio igual a 2 cm. Assim:

2 2S 4 .2 S 16 cm

08 – FALSO

Partindo do princípio que a altura mede 2 cm, as outras dimensões mediriam 5 cm e 7 cm.

Assim o volume do paralelepípedo seria: V = 2 . 5 . 7, ou seja, V = 70 cm3. Diferente do valor

proposto no item.

16 – VERDADEIRO

4 TRIÂNGULOS = 12 arestas

3 QUADRILÁTEROS = 12 arestas

Total = 24 = 2A

A = 12

F = 7

Pelo Teorema de Euler, temos:

V + 7 = 12 + 2

V = 7

SOMA = 20

31.15

Considerando o hexágono original como sendo a junção de 6 triângulos equiláteros iguais de

lado a, temos:

ah

2

H a

a 3r

2

a 3R 2 R a 3

2

O sólido gerado terá o volume calculado da seguinte forma:

tronco cone cilindro

2 2 2 2

22 2 2

3

V 2 V 2 V V

h 1V 2 r R rR 2 r h R H

3 3

2 a a 3 a 3 2 aV a 3 a 3 a 3 a 3 a

3 2 2 2 3 2

15V a

4

31.16

O sólido será composto de um tronco de cone vazado de um cilindro. Assim:

tronco cilindro

2 2 2

V V V

8V 4 6 4 6 4 8

3

608V 128

3

224V

3

ALTERNATIVA B

31.17

O sólido é uma semiesfera vazada de um cilindro. Assim:

3 21 4V 3 1 1

2 3

V 17

ALTERNATIVA D

31.18

O raio de uma esfera inscrita em um octaedro regular segue a seguinte relação em relação à

aresta do octaedro:a 6

r6

Sendo a = 2, tem-se que 2 6 6

r r cm6 3

.

Cálculo do volume da pérola:

3

3

4 6V

3 3

8 6V cm

27

ALTERNATIVA E

31.19

Fazendo a secção meridiana temos:

Aplicando Teorema de Pitágoras ficamos com:

2

2 2

22

2 2

a 24 a

2

a16 a

2

32a cm

3

Tendo a área de cada face do cubo, concluímos que a área total do cubo é:

S = 6a2

S = 64 cm2

31.20

a)

b) O sólido é formado por um cone e um cilindro vazados de uma semiesfera. Assim:

3 2 31 1 4V 1 1 1 3 1

3 2 3

2V 3

3 3

8V

3

MAT 11E AULA 30

30.01

x1 x2 x3 = 8

1

= 8

30.02

x1 x2 = 1

x1 x2 x3 = 14

2

1 x3 = 7

7 2 19 37 14

2 5 2 0

2x2 5x + 2 = 0

= 9

x = 5 3

4

x’ = 2 ou x’’ = 1

2

30.03

1 i = outra raiz

1 + i + 1 i + x3 = m

x3 = 2 m m = 2

(1 + i)(1 i) + (1 + i) x3 + (1 i) x3 = 2

1 + 1 + 2x3 = 2

x3 = 0

n = 0

30.04

a) FALSO

O gráfico não intercepta o eixo x no intervalo entre 3 e 5.

b) FALSO

x = 1 não é raiz de p(x) pois o gráfico não intercepta o eixo x nesse valor.

c) FALSO

As raízes reais são: -2, 0 2, 3 e 5.

d) FALSO

e) VERDADEIRO

O grau de p(x) é igual a 5.

ALTERNATIVA E

30.05

P(2) = 8 8 + 6 k P(2) = 6 k

P(3) = 27 18 + 9 k P(3) = 18 k

P(2) P(3) < 0

(6 k)(18 k) < 0

30.06

x r, x, x + r (3, 1, 5)

* 3x = 3 x = 1

a = 15 a = 15

* (1 r) 1 + (1 + r) 1 + (1 r)(1 + r) = 13

2 + 1 r2 = 13

r2 = 16 r = 4

30.07

Para f(x) =2, há 3 valores de x (pontos de intersecção com o gráfico de f(x))

ALTERNATIVA C

30.08

x

q, x, x q

x3 = 8 x = 2

2 1 7 14 8

1 5 4 0

x2 + 5x + 4 = 0

x’ = 1 e x’’ = 4

1 + (2) = 3

30.09

d = (2 i)(2 + i)(3 + 2i)(3 2i)

d = (4 + 1)(9 + 4)

d = 5 13 d = 65

30.10

V = 64

30.11

(1 + i)(1 i) + x = 0

x = 2

8 + 4 + k = 0

k = 4

30.12

a) FALSO

P(x) possui 4 raízes, ou seja, o grau de p(x) é 4.

b) FALSO

O gráfico não intercepta o eixo x em x = -3.

c) VERDADEIRO

x = 1 é raiz de p(x), ou seja, a soma dos coeficientes é zero.

d) FALSO

x = -2 não é raiz de p(x) pois o gráfico não intercepta o eixo x em x = -2.

e) FALSO

P(x) = k.(x – 1)(x – 2)(x – 4)(x – 7)

ALTERNATIVA C

30.13

1 1 3 0 6 3 3 2

1 1 2 2 4 1 2 0

1 1 1 3 1 2 0

1 1 0 3 2 0

1 1 2 0

x2 x 2 = 0

x’ = 2 ou x’’ = 1

30.14

Se z1 = 1 + i é raiz, então z1 = 1 – i também é raiz

Se z2 = –1 + i é raiz, então z2 = –1 – i também é raiz.

Logo o grau mínimo do polinômio é 4.

30.15

P(x) = a(x + 5)(x + 2)(x 1)(x 3)

P(0) = 3

30a = 3

a = 1

10

P(5) = 1

10 10 7 4 2 = 56

30.16

x(x3 + 3x2 + 6x 8) = 0

x = 0

1 1 3 6 8

1 2 8 0

x2 + 2x + 8 = 0

x' = 2 e x’’ = 4

L(1) = 1 3 + 6 + 8 = 10

30.17

Sejam as raízes: k e 2k.

Pelas relações de Girardi,, temos:

2

bk 2k b 3ak

a

ck 2k c 2ak

a

Substituindo nas alternativas, temos que:

2b2 = 9ac

2.9a2k2 = 9a.2ak2

18a2k2 = 18a2k2

ALTERNATIVA B

30.18

Raízes: {k – r, k , k + r}

Pelas relações de Girardi, temos:

SOMA = 9

k – r + k + k + r = 9

k = 3

PRODUTO = 15

(3 – r) . 3 . (3 + r) = 15

9 – r2 = 5

r = 2 (P.A crescente)

Raízes: {1, 3, 5}

A P.A determinada por esses termos são: (1, 3, 5, ... , a10). Logo:

a10 = 1 + 9.2

a10 = 19

1 1010

10

10

a a .10S

2

S 1 19 .5

S 100

ALTERNATIVA C

30.19

x1 + x2 + x3 = a

x1 x2 x3 = c

ma = 1 2 3x x x a

3 3

ma = x1 x2 x3 1 + a + b + c

a

3

= 2 = 1 + a + b + 2

a = 6

2 = 1 + 6 + b + 2

b = 11

30.20

Considerando P(x) um polinômio de coeficientes reais, temos que x1 = 1, x2 = 3, x3 = 2 + i e

x4 = 3 i são os seus zeros

Supondo a = 1 em

P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx e ou em

P(x) = a(x x1)(x x2)(x x3)(x x4)

P(x) = (x 1)(x + 3)([x 2]-i)([x 2]+i)

P(x) = (x2 + 2x 3)((x 2)2 i2)

P(x) = (x2 + 2x 3)(x2 4x + 4 + 1)

P(x) = x4 2x3 6x2 + 22x 15

MAT 11E AULA 31

31.01

O número complexo -8, na forma trigonométrica, é escrito como:

3 o ox 8 cos180 isen180

O raio da circunferência é o modulo das raízes cúbicas de x3 e, o módulo das raízes cúbicas de

um número complexo é a raiz cúbica do módulo do número que é igual a 8. Assim:

3R 8

R 2

ALTERNATIVA B

31.02

Se a solução for real, o afixo (ponto) pertence ao eixo Real (horizontal). Se a solução for

imaginária, o afixo (ponto) pertence a outro local do plano que não seja o eixo Real. Assim:

2 raízes imaginárias e 1 raiz real.

ALTERNATIVA C

31.03

z = 2i

Módulo = 2

Argumento = 90o

i

i2

z e

z 2e

ALTERNATIVA D

31.04

Tem-se que:

Módulo = 4

Argumento =

ALTERNATIVA A

31.05

4

4 o o

o o

o o

o o

o o

x 1

x 1 cos0 isen0

x 1 cos0 isen0 Real

ou

x 1 cos90 isen90 Imaginária

ou

x 1 cos180 isen180 Real

ou

x 1 cos270 isen270 Imaginária

Toda raiz Imaginária ou Real pode ser classificada como COMPLEXA.

ALTERNATIVA E

31.06

Todas as raízes de um número complexo possuem o mesmo MÓDULO. E esse módulo é a raiz

do módulo do número complexo. No exercício, o número complexo possui módulo 8 e pede-se

suas raízes cúbicas, ou seja, o módulo das raízes será igual à raiz cúbica de 8 que é igual a 2.

ALTERNATIVA D

31.07

3

3 o o

o o

o o

o o

x 8

x 8 cos180 isen180

x 2 cos60 isen60

ou

x 2 cos180 isen180

ou

x 2 cos300 isen300

ALTERNATIVA B

31.08

4

4 o o

o o

o o

o o

o o

x 1

x 1 cos0 isen0

x 1 cos0 isen0 x 1

ou

x 1 cos90 isen90 x i

ou

x 1 cos180 isen180 x 1

ou

x 1 cos270 isen270 x i

ALTERNATIVA A

31.09

o

o

eixo Imaginário

3 quadrante

4 quadrante

3

3 o o

o o

o o

o o

x i

x 1 cos270 isen270

x 1 cos90 isen90

ou

x 1 cos210 isen210

ou

x 1 cos330 isen330

ALTERNATIVA B

31.10

1 2 3 ... n

(1 n)n

2

i 1

i 1

Sendo assim, o expoente de i é um número que, ao ser dividido por 4, apresenta resto igual a

0, ou seja, esse expoente é múltiplo de 4. Logo:

(1 n)n4k

2

(1 n)n 8k

ALTERNATIVA B

31.11

Igualando as partes real e i

2 2

2 2

222 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

z z 2 8i

a bi a b 2 8i

a b (2 a) (8 b)i

a b (2 a) (8 b)i

a b (2 a) 2(2 a)(8 b)i (8 b) i

a b 4 4a a 2(2 a)(8 b)i 64 16b b

0 ( 60 16b 4a 2b ) 2(2 a)(8 b)i

maginária:

2

2

2(2 a)(8 b) 0

60 16b 4a 2b 0

a 2 b 8b 34 0 b2(2 a)(8 b) 0

b 8 a 15

Temos então que z = -15 + 8i. Logo:

2

2 2 2

2

z ( 15) 8

z 289

ALTERNATIVA E

31.12

2 2 2 222 4 6 8 2 4 6 8

2 4 8 12 162 4 6 8

2 4 6 8

f(i) f(i ) f(i ) f(i ) f(i ) i 1 i 1 i 1 i 1 i 1

f(i) f(i ) f(i ) f(i ) f(i ) i 1 i 1 i 1 i 1 i 1

f(i) f(i ) f(i ) f(i ) f(i )

2 4 6 8

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

f(i) f(i ) f(i ) f(i ) f(i ) 8

31.13

01 – VERDADEIRO

o1 (1 quadrante)

2 2

o

o o

z 1 i

1 ( 1) 2

1tg tg 45

1

z 2 cos45 isen45

02 – VERDADEIRO

2

z z z z

1 i 1 i 1 i 1 i

2 1 i

2 2

04 – VERDADEIRO

2

2

o o

i2

z 1 i (1 i) 1 2i ii

z 1 i (1 i) 1 i

z1 cos90 isen90

z

z1.e

z

08 – VERDADEIRO

24 2

24

4 2

4

4

z z

z 2i

z 4i

z 4

Logo :

z 4

SOMA = 15

31.14

a) FALSO

2

1

2

21

2

1

5i 5 3z 5 3

z 5i 5 3 5i 5 3

z 25 3i 75

z 25i 75

z 3i 3

z 4

b) FALSO

o o5 3tg tg 2 quadrante 150

35 3

c) FALSO

5i 5 3 x yi 5 3

x 10 3x yi 10 3 5i

y 5

d) FALSO

2

21

1

z 5 5 3

z 10

e) VERDADEIRO

5i 5 3 x yi 5 3

x 10 3x yi 10 3 5i

y 5

ALTERNATIVA E

31.15

6 3 6 3

6 3

6 3

6 6 3 3z 2z 2 cos isen 2 2 cos isen

3 3 3 3

z 2z 64 2 8

z 2z 80

31.16

Como são vértices de um polígono regular centrado na origem, todos possuem o mesmo

módulo. Assim, o módulo do número complexo desejado é:

2

25 3 2 7

Dois vértices consecutivos de um hexágono possuem uma “distância” de 60º e o número dado

possui um argumento tal que 3

tg5

.

Se chamarmos de o argumento do número procurado, temos que:

o

o

o

o

60

tg tg 60

tg tg60tg

1 tg tg60

33

5tg3

1 35

6 3 5tg

5 2

tg 3 3

Sabendo que pertence ao primeiro quadrante (enunciado) e usando as relações

trigonométricas temos:

2 2

22

2 2

2

2

sec 1 tg

sec 1 3 3

sec 2 7

1cos

sec

7cos

14

sen cos 1

7sen 1

14

3 21sen

14

Escrevendo o número procurado na forma trigonométrica, temos:

w cos isen

7 3 21w 2 7 i

14 14

w 1 3 3i

ALTERNATIVA D

31.17

Substituindo “a” e “b” na equação da reta, temos:

2a – b + 1 = 0

b = 2a + 1

Cálculo do módulo de z:

2 2

22

2222

2 2

2

z 2

a b 2

a 2a 1 2

a 2a 1 2

a 4a 4a 1 2

1 7a b

5a 4a 1 0 5 5

a 1 b 1

Como a e b são números INTEIROS, então z = -1- i.

31.18

2

2

1

2

1 2

1 2

1x 1

x

x 1 x

x x 1 0

1 3z i

1 3 2 2x

2 1 3z i

2 2

Temos :

z z 1

Logo :

z z 1