UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚUNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚCENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIACENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIACURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICACURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
MATEMÁTICA BÁSICA IIMATEMÁTICA BÁSICA IITRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA
Aula 02Aula 02
Prof. Márcio NascimentoProf. Márcio [email protected]@matematicauva.org
2014.12014.1
Dada uma reta Dada uma reta rr podemos representar os seus podemos representar os seus pontos por números reaispontos por números reais
rr
OO
origemorigem
O1O1Unidade de MedidaUnidade de Medida
Sentido PositivoSentido Positivode Percursode Percurso
XX
x=m(OX)x=m(OX)Medida orientada de OXMedida orientada de OXx x > 0> 0
Sistema Retangular de Coordenadas no Sistema Retangular de Coordenadas no PlanoPlano
Reciprocamente, dado um número real Reciprocamente, dado um número real xx, existe , existe um único ponto um único ponto XX da reta tal que da reta tal que m(OX)=xm(OX)=x
rr
OO
XX
x=m(OX)x=m(OX)
Sistema Retangular de Coordenadas no Sistema Retangular de Coordenadas no PlanoPlano
Sistema Retangular de Coordenadas no Sistema Retangular de Coordenadas no PlanoPlano
Usando o raciocínio da reta, podemos Usando o raciocínio da reta, podemos representar pontos de um plano representar pontos de um plano ππ..
yy
OO
PP
x=mx=m(OX)(OX)
ππ
origemorigem
Eixos CoordenadosEixos Coordenados
xx
Unidades de medidasUnidades de medidas
y=my=m(OY)(OY)
XX
YY
x: x: abscissa de abscissa de PPy: y: ordenada de ordenada de PP(x,y): (x,y): coordenadas de coordenadas de PP
Sistema Retangular de Coordenadas no Sistema Retangular de Coordenadas no PlanoPlano
A cada ponto A cada ponto PP do plano do plano ππ corresponde um corresponde um único par ordenado de números reais.único par ordenado de números reais.
• Reciprocamente, dado um par ordenado de Reciprocamente, dado um par ordenado de números reais, obtémse um único ponto números reais, obtémse um único ponto PP no no plano plano ππ..
• Abscissa: Palavra derivada do latim Abscissa: Palavra derivada do latim abscindereabscindere, , que significa cortar em dois; divide o plano em que significa cortar em dois; divide o plano em dois.dois.
• Ordenada: ordena os pontos em relação a Ordenada: ordena os pontos em relação a abscissa.abscissa.
Sistema Retangular de Coordenadas no Sistema Retangular de Coordenadas no PlanoPlano
Exemplo: Dado o par (3,2), encontrar o ponto Exemplo: Dado o par (3,2), encontrar o ponto do plano associado.do plano associado.
yy
OO
PP
ππ
xx-3-3
22
Sistema Retangular de Coordenadas no Sistema Retangular de Coordenadas no PlanoPlano
Exemplo: Conjunto dos pontos do plano que Exemplo: Conjunto dos pontos do plano que estão a uma mesma distância estão a uma mesma distância dd da origem. da origem.
OOdd
ππ
• Pelo Teorema de PitágorasPelo Teorema de Pitágoras
xx
yy
xx22 +y +y22 =d =d22
• Este é um exemplo de Este é um exemplo de representação de figuras representação de figuras geométricas por relações geométricas por relações entre coordenadasentre coordenadas
Ângulos e GrausÂngulos e Graus
Ângulo (Ângulo (latim angulum: esquina, cantolatim angulum: esquina, canto): é a ): é a figura formada por duas semiretas de mesma figura formada por duas semiretas de mesma origem.origem.
OO
AA
BB
Lados do ânguloLados do ângulo
Vértice do ânguloVértice do ângulo
Notação: Notação: AÔBAÔB ou ou BÔABÔA
Geralmente usamos Geralmente usamos letras do alfabeto letras do alfabeto grego para representar grego para representar os ângulos:os ângulos:
αα
Ângulo NuloÂngulo Nulo
OO AA
BB
αα ≡≡BB• Ângulo RasoÂngulo Raso
OO AA
BB
ααBB
Ângulos e GrausÂngulos e Graus
Unidade de Medida: GrausUnidade de Medida: GrausÉ a fração de 1/360 do círculo.É a fração de 1/360 do círculo.
Cada uma das 360 partes é chamada Cada uma das 360 partes é chamada graugrau..
Notação: 1 Grau 1°→Notação: 1 Grau 1°→
A fração de 1/60 de um grau é A fração de 1/60 de um grau é chamada chamada minutominuto..
Notação: 1 minuto 1’→Notação: 1 minuto 1’→
A fração de 1/60 de um minuto é A fração de 1/60 de um minuto é chamada chamada segundosegundo..
Notação: 1 segundo 1’’→Notação: 1 segundo 1’’→
Ângulos e GrausÂngulos e Graus
Exemplo: Efetuar a operação Exemplo: Efetuar a operação 34°44’32’’+17°29’51’’34°44’32’’+17°29’51’’
34°44’32’’=34°+44’+32’’34°44’32’’=34°+44’+32’’17°29’51’’ = 17°29’51’’ =
17°+29’+51’’17°+29’+51’’83’’83’’73’+73’+51°+51°+
Como 83’’=60’’+23’’, temos que 83’’=1’+23’’. Daí,Como 83’’=60’’+23’’, temos que 83’’=1’+23’’. Daí,
83’’83’’73’+73’+51°+51°+ =51°+73’+(1’+23’’)=51°+73’+(1’+23’’)= 51°+74’+23’’= 51°+74’+23’’Analogamente, 74’=60’+14’=1°+14’, portanto,Analogamente, 74’=60’+14’=1°+14’, portanto,
23’’23’’74’+74’+51°+51°+ = 51°+(1°+14’)+23’’= 51°+(1°+14’)+23’’= 52°+14’+23’’= 52°+14’+23’’
Ângulos e GrausÂngulos e Graus
Portanto,Portanto,
34°44’32’’+17°29’51’’=52°14’23’’34°44’32’’+17°29’51’’=52°14’23’’
• Exercícios:Exercícios:
(a) 64°(a) 64°−−22°10’40’’22°10’40’’
(b) 5°40’32’’ (b) 5°40’32’’ ×× 5 5
(c) 26°43’12’’(c) 26°43’12’’÷÷ 3 3
Ângulos e GrausÂngulos e Graus
R: 22,75ºR: 22,75ºR: 1,72ºR: 1,72º
R: 78,376ºR: 78,376º
• Converta para a notação grau/minuto/segundo:Converta para a notação grau/minuto/segundo:
(a) 25,3º(a) 25,3º
(b) 94,735º(b) 94,735º
(c) 135,545º(c) 135,545º
R: 25º18'R: 25º18'R: 94º44'6''R: 94º44'6''
R: 135º32'42''R: 135º32'42''
• Converta para a notação decimal:Converta para a notação decimal:
(a) 22º45'(a) 22º45'
(b) 1º43'12''(b) 1º43'12''
(c) 78º22'36''(c) 78º22'36''
Ângulos e GrausÂngulos e Graus
Exemplo: qual o ângulo entre os ponteiros de Exemplo: qual o ângulo entre os ponteiros de um relógio quando este marca 13h15min?um relógio quando este marca 13h15min?
O ângulo percorrido pelo ponteiro O ângulo percorrido pelo ponteiro maior a cada 5 minutos é de 30°maior a cada 5 minutos é de 30°
O ponteiro menor continua se O ponteiro menor continua se movimentando. Ele percorre 30° a movimentando. Ele percorre 30° a cada hora, portanto percorre 30°/4 a cada hora, portanto percorre 30°/4 a cada 15 minutos.cada 15 minutos.Logo, o ângulo procurado é de Logo, o ângulo procurado é de
60°7,5°=52,5°=52°30’.60°7,5°=52,5°=52°30’.
Ângulos e GrausÂngulos e Graus
Exercícios: qual o menor ângulo entre os Exercícios: qual o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio quando este marca:ponteiros de um relógio quando este marca:
(a)(a)13h17min13h17min
(b)(b)23h52min23h52min
(c)(c)10h10min10h10min
(d)(d)17h44min17h44min
Ângulos e GrausÂngulos e Graus
ObservaçãoObservação: as palavras minuto e segundo.: as palavras minuto e segundo.O sistema sexagesimal (base 60) influenciou na escolha da O sistema sexagesimal (base 60) influenciou na escolha da divisão do círculo em 360 partes, bem como a divisão de divisão do círculo em 360 partes, bem como a divisão de cada parte em 60 partes menores (primeiras menores cada parte em 60 partes menores (primeiras menores partes) e também estas em 60 partes menores (segundas partes) e também estas em 60 partes menores (segundas menores partes);menores partes);
Na tradução para o latim:Na tradução para o latim:
Primeiras menores partes: partes Primeiras menores partes: partes minutaeminutae primae primae
Segundas menores partes: partes minutae Segundas menores partes: partes minutae secundaesecundae
Ângulos e GrausÂngulos e Graus