MATEMÁTICA BÁSICA II TRIGONOMETRIA Aula 02matematicauva.org/wp-content/uploads/2014/03/parte02.pdf · A fração de 1/60 de um grau é chamada minuto. Notação: 1 minuto 1’→

UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚUNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚCENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIACENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIACURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICACURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

MATEMÁTICA BÁSICA IIMATEMÁTICA BÁSICA IITRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA

Aula 02Aula 02

Prof. Márcio NascimentoProf. Márcio [email protected]@matematicauva.org

2014.12014.1

Dada uma reta Dada uma reta rr podemos representar os seus podemos representar os seus pontos por números reaispontos por números reais

rr

OO

origemorigem

O1O1Unidade de MedidaUnidade de Medida

Sentido PositivoSentido Positivode Percursode Percurso

XX

x=m(OX)x=m(OX)Medida orientada de OXMedida orientada de OXx x > 0> 0

Sistema Retangular de Coordenadas no Sistema Retangular de Coordenadas no PlanoPlano

Reciprocamente, dado um número real Reciprocamente, dado um número real xx, existe , existe um único ponto um único ponto XX da reta tal que da reta tal que m(OX)=xm(OX)=x

rr

OO

XX

x=m(OX)x=m(OX)



Usando o raciocínio da reta, podemos Usando o raciocínio da reta, podemos representar pontos de um plano representar pontos de um plano ππ..

yy

OO

PP

x=mx=m(OX)(OX)

ππ

origemorigem

Eixos CoordenadosEixos Coordenados

xx

Unidades de medidasUnidades de medidas

y=my=m(OY)(OY)

XX

YY

x: x: abscissa de abscissa de PPy: y: ordenada de ordenada de PP(x,y): (x,y): coordenadas de coordenadas de PP


A cada ponto A cada ponto PP do plano do plano ππ corresponde um corresponde um único par ordenado de números reais.único par ordenado de números reais.

• Reciprocamente, dado um par ordenado de Reciprocamente, dado um par ordenado de números reais, obtémse um único ponto números reais, obtémse um único ponto PP no no plano plano ππ..

• Abscissa: Palavra derivada do latim Abscissa: Palavra derivada do latim abscindereabscindere, , que significa cortar em dois; divide o plano em que significa cortar em dois; divide o plano em dois.dois.

• Ordenada: ordena os pontos em relação a Ordenada: ordena os pontos em relação a abscissa.abscissa.


Exemplo: Dado o par (3,2), encontrar o ponto Exemplo: Dado o par (3,2), encontrar o ponto do plano associado.do plano associado.

yy

OO

PP

ππ

xx-3-3

22


Exemplo: Conjunto dos pontos do plano que Exemplo: Conjunto dos pontos do plano que estão a uma mesma distância estão a uma mesma distância dd da origem. da origem.

OOdd

ππ

• Pelo Teorema de PitágorasPelo Teorema de Pitágoras

xx

yy

xx22 +y +y22 =d =d22

• Este é um exemplo de Este é um exemplo de representação de figuras representação de figuras geométricas por relações geométricas por relações entre coordenadasentre coordenadas

Ângulos e GrausÂngulos e Graus

Ângulo (Ângulo (latim angulum: esquina, cantolatim angulum: esquina, canto): é a ): é a figura formada por duas semiretas de mesma figura formada por duas semiretas de mesma origem.origem.

OO

AA

BB

Lados do ânguloLados do ângulo

Vértice do ânguloVértice do ângulo

Notação: Notação: AÔBAÔB ou ou BÔABÔA

Geralmente usamos Geralmente usamos letras do alfabeto letras do alfabeto grego para representar grego para representar os ângulos:os ângulos:

αα

Ângulo NuloÂngulo Nulo

OO AA

BB

αα ≡≡BB• Ângulo RasoÂngulo Raso

OO AA

BB

ααBB


Unidade de Medida: GrausUnidade de Medida: GrausÉ a fração de 1/360 do círculo.É a fração de 1/360 do círculo.

Cada uma das 360 partes é chamada Cada uma das 360 partes é chamada graugrau..

Notação: 1 Grau 1°→Notação: 1 Grau 1°→

A fração de 1/60 de um grau é A fração de 1/60 de um grau é chamada chamada minutominuto..

Notação: 1 minuto 1’→Notação: 1 minuto 1’→

A fração de 1/60 de um minuto é A fração de 1/60 de um minuto é chamada chamada segundosegundo..

Notação: 1 segundo 1’’→Notação: 1 segundo 1’’→


Exemplo: Efetuar a operação Exemplo: Efetuar a operação 34°44’32’’+17°29’51’’34°44’32’’+17°29’51’’

34°44’32’’=34°+44’+32’’34°44’32’’=34°+44’+32’’17°29’51’’ = 17°29’51’’ =

17°+29’+51’’17°+29’+51’’83’’83’’73’+73’+51°+51°+

Como 83’’=60’’+23’’, temos que 83’’=1’+23’’. Daí,Como 83’’=60’’+23’’, temos que 83’’=1’+23’’. Daí,

83’’83’’73’+73’+51°+51°+ =51°+73’+(1’+23’’)=51°+73’+(1’+23’’)= 51°+74’+23’’= 51°+74’+23’’Analogamente, 74’=60’+14’=1°+14’, portanto,Analogamente, 74’=60’+14’=1°+14’, portanto,

23’’23’’74’+74’+51°+51°+ = 51°+(1°+14’)+23’’= 51°+(1°+14’)+23’’= 52°+14’+23’’= 52°+14’+23’’


Portanto,Portanto,

34°44’32’’+17°29’51’’=52°14’23’’34°44’32’’+17°29’51’’=52°14’23’’

• Exercícios:Exercícios:

(a) 64°(a) 64°−−22°10’40’’22°10’40’’

(b) 5°40’32’’ (b) 5°40’32’’ ×× 5 5

(c) 26°43’12’’(c) 26°43’12’’÷÷ 3 3


R: 22,75ºR: 22,75ºR: 1,72ºR: 1,72º

R: 78,376ºR: 78,376º

• Converta para a notação grau/minuto/segundo:Converta para a notação grau/minuto/segundo:

(a) 25,3º(a) 25,3º

(b) 94,735º(b) 94,735º

(c) 135,545º(c) 135,545º

R: 25º18'R: 25º18'R: 94º44'6''R: 94º44'6''

R: 135º32'42''R: 135º32'42''

• Converta para a notação decimal:Converta para a notação decimal:

(a) 22º45'(a) 22º45'

(b) 1º43'12''(b) 1º43'12''

(c) 78º22'36''(c) 78º22'36''


Exemplo: qual o ângulo entre os ponteiros de Exemplo: qual o ângulo entre os ponteiros de um relógio quando este marca 13h15min?um relógio quando este marca 13h15min?

O ângulo percorrido pelo ponteiro O ângulo percorrido pelo ponteiro maior a cada 5 minutos é de 30°maior a cada 5 minutos é de 30°

O ponteiro menor continua se O ponteiro menor continua se movimentando. Ele percorre 30° a movimentando. Ele percorre 30° a cada hora, portanto percorre 30°/4 a cada hora, portanto percorre 30°/4 a cada 15 minutos.cada 15 minutos.Logo, o ângulo procurado é de Logo, o ângulo procurado é de

60°7,5°=52,5°=52°30’.60°7,5°=52,5°=52°30’.


Exercícios: qual o menor ângulo entre os Exercícios: qual o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio quando este marca:ponteiros de um relógio quando este marca:

(a)(a)13h17min13h17min

(b)(b)23h52min23h52min

(c)(c)10h10min10h10min

(d)(d)17h44min17h44min


ObservaçãoObservação: as palavras minuto e segundo.: as palavras minuto e segundo.O sistema sexagesimal (base 60) influenciou na escolha da O sistema sexagesimal (base 60) influenciou na escolha da divisão do círculo em 360 partes, bem como a divisão de divisão do círculo em 360 partes, bem como a divisão de cada parte em 60 partes menores (primeiras menores cada parte em 60 partes menores (primeiras menores partes) e também estas em 60 partes menores (segundas partes) e também estas em 60 partes menores (segundas menores partes);menores partes);

Na tradução para o latim:Na tradução para o latim:

Primeiras menores partes: partes Primeiras menores partes: partes minutaeminutae primae primae

Segundas menores partes: partes minutae Segundas menores partes: partes minutae secundaesecundae


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