MTODO DE INDUO MATEMTICA Se pretendemos provar que uma propriedade A(n) se verifica no conjunto IN, devemos

provar que:

9 A(n) verifica-se para o nmero 1 9 supondo-se a propriedade A(n) verificada pelo nmero natural p, arbitrrio, ento a propriedade A(n) verifica-se para p + 1, (ou seja, A(p + 1) verdadeira), o que

se exprime dizendo que a propriedade A(n) hereditria.

Ento, podemos concluir que NnnA ),( , verdadeira.

EXERCCIOS

Recorrendo ao mtodo de induo matemtica, prova que:

1. a soma dos n primeiros termos da sucesso 12 = nun dada por 2nSn =

2. 23)36(...1593 nn =++++

l

3. a sucesso dos nmeros triangulares:

cuja definio por recorrncia

>+==

1npara,1

1

1

nttt

nn

tem o seguinte termo geral 2

2 nntn+=

4. Nnnn

n =++++ ,212

21...

81

41

21

EXEMPLO:

Seja a sucesso definida por recorrncia na

>=

=

+ 1n,21

21

1

1

nn a

a

a

Utilizando o mtodo de induo matemtica, demonstrar que Nnnnan += ,1

DEMONSTRAO

Verifiquemos que vlida para n=1.

11

1;21

11 +== aa , logo vlida

Suponhamos que se verifica para a ordem p, isto ,

1+= p

pap (hiptese de induo)

Ser que se verifica para p+1? Isto , 21

1 ++=+ p

pap ?

Aplicando a hiptese de induo, na definio de recorrncia, vem que:

21

1221

12

11 +

+=++=

+=+ p

p

ppp

ppap

Assim, fica provado que a referida propriedade verificada para n=1 e hereditria, ou seja,

fica provado que vlida para todo o Nn .

Provar, por induo matemtica, que: 23)36(...1593 nn =++++DEMONSTRAO

Verifiquemos que vlida para n=1.

3=3 (proposio verdadeira)

Suponhamos que a propriedade se verifica para a ordem p, isto ,

(hiptese de induo) 23)36(...1593 pp =++++Provemos que se verifica para a ordem p+1, isto , que

ou seja ( 213)3)1(6(...1593 +=+++++ pp ) ( )213)36(...1593 +=+++++ ppSe adicionarmos , n primo que se segue ao 36 +p 36 p , aos dois membros da hiptese de induo, fica-se com , que o mesmo que 36336)36(...1593 2 ++=++++++ pppp

( )21336)36(...1593 +=++++++ ppp Depois de provado que a propriedade verificada para n=1 e hereditria, pode-se concluir

que vlida para todo o Nn

A sucesso dos nmeros triangulares:

cuja definio por recorrncia

>+==

1npara,1

1

1

nttt

nn

tem o seguinte termo geral 2

2 nntn+=

DEMONSTRAO

Comeamos por verificar que a propriedade vlida para n=1.

Na sucesso de recorrncia tem-se que 11 =t

Pelo termo geral 12

1121 =+=t

Como 1=1 proposio verdadeira, a propriedade vlida para n=1.

Mostremos que a propriedade hereditria

Supondo que esta propriedade vlida para a ordem p,

2

2 ppt p+= (hiptese de induo)

provemos que esta propriedade vlida para a ordem p+1, isto que:

( ) ( )2

11 21

+++=+ ppt p que o mesmo que 2232

1++=+ ppt p (1)

Atendendo definio 11 ++=+ ptt pp Substituindo pt pela expresso obtida na hiptese de induo, podemos escrever

2

2312

2

1

2

1++=+++= ++ pptpppt pp (2)

Como (1)=(2), acabamos de provar a hereditariedade desta propriedade

Ficou assim provado que a propriedade verificada para n=1 e hereditria, portanto fica

provado que vlida para todo o Nn